第三章 一元一次方程小结与复习

需谨记未知数的系数不为0.
考点二 等式的基本性质
例2 下列说法正确的是
(D)
A. x +1 = 2+2x 变形得到 1= x
B. 2x = 3x 变形得到 2 = 3
C. 将方程 2x 3 系数化为1，得 x 4
2
3
D. 将方程 3x = 4x－4 变形得到 x = 4
方法总结：已利用等式的性质变形，需注意符号 问题，同时一定要谨记，利用等式性质2变形， 等式两边同时除以一个数时，该数不能为0.
三、一元一次方程的解法
解一元一次方程的一般步骤：
(1) 去分母：方程两边都乘各分母的最小公倍数， 别漏乘．
(2) 去括号：注意括号前的系数与符号． (3) 移项：把含有未知数的项移到方程的左边，常
数项移到方程右边，移项注意要改变符号． (4) 合并同类项：把方程化成 ax ＝ b (a≠0)的形式． (5) 系数化为1：方程两边同除以 x 的系数，得
依题意得 x 10 x 5 . 15 60 12 60
解得
x =15.
答：他家到学校的路程是15 千米.
例5 抗洪救灾小组在甲地有28人，乙地有15人，现在 又调来17人，分配在甲、乙两地，要求调配后甲地人 数与乙地人数之比为3:2，求应调至甲地和乙地各多 少人？
解：设应调至甲地 x 人，则调至乙地的人数为 (17－x) 人，根据调配后甲乙两地人数的数 量关系得
4
12
解：去分母，得
3(2x+1)－12 = 12x－(10x+1).
去括号，得 6x＋3－12 = 12x－10x－1.
移项，得 6x－12x＋10x = －1－3＋12.
合并同类项，得
4x = 8.
系数化为1，得
x = 2.
(2)
3 4
4 3
1 2
x
1 4
8
3x 2
.
提示：先用分配律、去括号简化方程，再求解较
解：设乙、丙还要 x 天才能完成这项工作，由甲、 乙合作 3 天的工作量+乙、丙合作的工作量=1， 得
1 8
1 12
3
1 12
1 24
x
1.
解得
x = 3.
答：乙、丙还要3天才能完成这项工作
针对训练
6. 一辆拖拉机耕一片地，第一天耕了这片地的 2 ，
第二天耕了剩余部分的
1பைடு நூலகம்
3
，还剩下42公顷，则这
x＝m 的形式.
四、实际问题与一元一次方程
1. 列方程解决实际问题的一般步骤：
审：审清题意，分清题中的已知量、未知量．
设：设未知数，设其中某个未知量为x.
列：根据题意寻找等量关系列方程．
解：解方程．
验：检验方程的解是否符合题意．
答：写出答案 (包括单位)．
审题是基础，找 等量关系是关键.
2. 常见的几种方程类型及等量关系： (1) 行程问题中基本量之间关系： 路程＝速度×时间． ① 相遇问题： 全路程＝甲走的路程＋乙走的路程； ② 追及问题： 甲为快者，被追路程＝甲走路程－乙走路程； ③ 流水行船问题： v顺＝v静＋v水，v逆＝v静－v水．
针对训练
2. 下列运用等式的性质，变形正确的是 (B)
A. 若 x = y，则 x－5 = y+5
B. 若 a = b，则 ac = bc
C. 若 a b ，则 2a = 3b cc
D. 若 x = y，则 x y aa
a可能为0
考点三 一元一次方程的解法
例3 解下列方程：
(1) 2x 1 1 x 10x 1 ；
二、等式的性质
1. 等式的性质1：等式两边加 (或减) 同一个数 (或 式子)，结果仍相等．如果 a＝b，那么 a± c ＝ b±c.
2. 等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一
个不为 0 的数，结果仍相等．如果 a＝b，那么 ac
＝ _b_c_；如果 a = b (c≠0)，那么
a c
b ＝__c__．
样．由题意知，当 x ≤ 500 时，甲超市的促销力度大于
乙超市，此时，标价总额一样的条件下，甲超市实付
款始终小于乙超市实付款，所以 x＞500．
根据题意得 0.88x = 500×(1－10％) + 0.8(x－500)，
解得
x = 625．
答：当标价总额是 625 元时，甲、乙超市实付款一样.
(3) 小王两次到乙超市分别购物付款198元和466元，若 他只去一次该超市购买同样多的商品，可以节省多 少元？
答：他应该去乙超市，理由如下： 当 x =500 时，在甲超市购物所付的费用为： 0.8×500+60 = 460 (元)； 在乙超市购物所付的费用为： 0.85×500+30 = 455 (元). ∵460＞455， ∴他去乙超市划算．
(3) 计算一下，李明购买多少元的商品时，到两家超 市购物所付的费用一样？
解析：将 x＝2 代入方程得1＋a＝－1，解得a＝－2.
方法总结：已知方程的解求字母参数的值，将方 程的解代入方程中，得到关于字母参数的方程， 解方程即可得字母参数的值.
针对训练
1. 若 (m＋3) x| m|－2＋2＝1 是关于 x 的一元一次方
程，
3
则 m的值为___．
注意：结合一元一次方程的定义求字母参数的值，
针对训练
8. 甲、乙两家超市以相同的价格出售同样的商品，为 了吸引顾客，各自推出不同的优惠方案：在甲超市 累计购买商品超出 300 元之后，超出部分按原价 8 折优惠；在乙超市累计购买商品超出 200 元之后， 超出部分按原价 8.5 折优惠．设顾客累计购物 x 元 (x＞300)． (1) 请用含 x 的代数式分别表示顾客在两家超市购物 所付的费用；
② 利润率 = 商商品品进利价润100％ ；
折扣数
③ 商品售价 = 标价×
；
10
④ 商品售价 = 商品进价+商品利润
= 商品进价+商品进价×利润率
= 商品进价×(1+利润率).
考点讲练
考点一 方程的有关概念
例1 如果 x = 2是方程 1 x a 1的解，那么 a 的
2
值是
(C)
A. 0 B. 2 C. －2 D. －6
假设两家超市相同商品的标价都一样.
(1) 当一次性购物标价总额是300元时，甲、乙超市 实付款分别是多少？
解：当一次性购物标价总额是300元时， 甲超市实付款：300×0.88=264 (元)， 乙超市实付款：300×0.9=270 (元).
(2) 当标价总额是多少时，甲、乙超市实付款一样？
解：设当标价总额是 x 元时，甲、乙超市实付款一
解：设甲商城原来有该品牌服装x件，则乙商城原来有 该品牌服装（450-x）件， 根据题意,得x+50=2[（450-x）-50]， 解得x=250，则450-x=200． 答：甲商城原来有该品牌服装250件，乙商城原来有该 品牌服装200件.
例6 一项工作，甲单独做8天完成，乙单独做12天完 成，丙单独做24天完成．现甲、乙合作3天后，甲 因有事离去，由乙、丙合作，则乙、丙还要几天才 能完成这项工作？
由顺水航行时间＋逆水航行时间＝往返一次共
用时间，得 x x 28. 72 72
解得
x = 90.
答：甲、乙两码头之间的距离是 90 km.
针对训练
4. 小明从家里骑自行车到学校，每小时骑15千米， 可早到10分钟；每小时骑12千米，就会迟到5分钟， 则他家到学校的路程是多少千米？
解：设他家到学校的路程是 x 千米，
分析：由题目信息可知，在乙超市购物： ① 不超过200元，不予优惠； ②大于等于200元小于500元，实付款大于等于180元，
小于450元； ③大于等于500元，实付款大于等于450元.
解：由题意知： ① 购物标价总额不超过200元，不予优惠； ② 大于等于200元小于 500 元，实付款大于等于 200×0.9 =180 (元)，小于 500×0.9 = 450 (元)； ③大于等于500元，实付款大于等于450元.
解：顾客在甲超市购物所付的费用为： 300+0.8(x－300) = (0.8x+60) 元 (x＞300)；
顾客在乙超市购物所付的费用为： 200+0.85(x－200) = (0.85x+30) 元 (x＞300)．
(2) 李明准备购买 500 元的商品，你认为他应该去哪 家超市？请说明理由．
解：由题意得
0.8x+60 = 0.85x+30. 解得 x = 600. 答：李明购买600元的商品时，到两家超市购物 所付的费用一样．
(2) 工程问题中基本量之间的关系：
① 工作量 = 工作效率×工作时间； ② 合作的工作效率 = 工作效率之和； ③ 工作总量 = 各部分工作量之和 = 合作的工作效
率×工作时间； ④ 在没有具体数值的情况下，通常把工作总量看
做1.
(3) 销售问题中基本量之间的关系：
① 商品利润 = 商品售价－商品进价；
容易．
解：去括号，得 1 x 1 6 3 x. 24 2
移项，得
1 x 3 x 1 6. 22 4
合并同类项，得 x 6 1 . 4
系数化为1，得
x 6 1 . 4
针对训练
3. 解方程：x 2 2 x 3 .
5
2
解：去分母，得 2(x－2) = 20－5(x＋3).
去括号，得 2x－4 = 20－5x－15.
小王第一次购物付款 198 元＜200元，购物标价可 能是 198 元，也可能是198÷0.9=220 (元)，
第二次购物付款 466 元＞450 元，所以购物标价 大于500元，为 (466－450)÷0.8+500 = 520 (元)，
所以，小王两次购物标价之和为 198+520 = 718 (元)， 或 220+520 = 740 (元)． 若他只去一次该超市购买同样多的商品，实付款为 500×0.9 + 0.8(718－500) = 624.4 (元)，或 500×0.9 + 0.8(740-500) = 642 (元)， 可以节省 198+466－624.4 = 39.6 (元)，或 198+466－642 = 22 (元)． 答：若他只去一次该超市购买同样多的商品，可以 节省 39.6 元或 22 元．
10
解：设最多可以打 x 折，根据题意得
5001 40％ x 500112％.
10 解得 x = 8.
答：广告上可写出最多打 8 折.
针对训练
7. 一家商店将某种商品按进价提高40%后标价，节假 日期间又以标价打八折销售，结果这种商品每件 仍可获利24元，问这件商品的进价是多少元？
解：设这件商品的进价是 x 元，根据题意得
x 1 40％ 8 x 24.
10 解得 x = 200.
答：这件商品的进价是 200 元.
例8 小王逛超市看到如下两个超市的促销信息：
甲超市促销信息栏
乙超市促销信息栏
全场8.8折
不超过200元，不予优惠； 满200元而不超过500元，打九折； 满500元，其中500元的部分优惠 10％，超过500元的部分打八折
28 x 2 15 (17 x).
3 解得 x = 8. 则17-x=9.
答：应调至甲地 8 人，乙地 9 人.
针对训练
5. 春节期间，甲、乙两商场有某品牌服装共450件， 由于甲商场销量上升，需从乙商场调运该服装50件， 调运后甲商场该服装的数量是乙商场的2倍，求甲、 乙两商场原来各自有该品牌服装的数量．
3
片地共有 189 公顷.
解析：设这片地共有 x 公顷. 由题意，得
x
2 3
x
1 3
x
2 3
x
42.
解得
x =189.
例7 某个商品的进价是 500 元，把它提价 40% 后作 为标价. 如果商家要想保住 12% 的利润率搞促销活 动，请你计算一下广告上可写出最多打几折?
提示：提价 40％ 后，商品标价为 500×(1+40％)，要 保住 12％ 的利润率，商品的售价应为500×(1+12％)， 根据商品售价 = 标价× 折扣数 可列方程.
移项，得 2x＋5x = 20－15＋4.
合并同类项，得 7x = 9.
系数化为1，得
x 9. 7
考点四 实际问题与一元一次方程
例4 一轮船在甲、乙两码头间往返航行，已知船在静 水中速度为7 km/h，水流速度为2 km/h，往返一次共 用28 h，求甲、乙两码头之间的距离．
解：设甲、乙两码头之间的距离是 x km.
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七年级数学上（RJ） 教学课件
第三章 一元一次方程
小结与复习
要点梳理
一、方程的有关概念
1. 方程：含有未知数的等式叫做方程． 2. 一元一次方程的概念：只含有__一__个未知数，未
知数的次数都是__1__，等号两边都是__整__式__，这 样的方程叫做一元一次方程． 3. 方程的解：使方程左右两边的值相等的未知数的 值叫做方程的解． 4. 解方程：求方程解的过程叫做解方程．