线性相关性

定义

给定向量组A: a1, a2, ···, am , 如果存在不全为零的数 k1, k2, ···,km , 使

k1 a1 + k2 a2+ ··· + km am = 0

则称向量组A是线性相关的, 否则称它是线性无关.

注意

1、对于任一向量组而言, 不是线性无关的就是线性相关的.

2、若a1, a2, ···, am线性无关, 则只有当k1= k2 = ··· = km=0时, 才有 k1 a1 + k2 a2+ ··· + km am = 0成立.

3、向量组A只包含一个向量a时,若a=0则说A线性相关; 若a≠0, 则说A线性无关.

4、包含零向量的任何向量组是线性相关的.

5、含有相同向量的向量组必线性相关.

6、增加向量的个数，不改变向量的相关性.(注意，原本的向量组是线性相关的)

【局部相关，整体相关】

7、减少向量的个数，不改变向量的无关性.(注意，原本的向量组是线性无关的）

【整体无关，局部无关】

8、任意n+1个n维向量必线性相关.

【个数大于维数必相关】

9、一个向量组线性无关，则在相同位置处都增加一个分量后得到的新向量组仍线性无关.

【无关组的加长组仍无关】

10、一个向量组线性相关，则在相同位置处都去掉一个分量后得到的新向量组仍线性相关.

【相关组的缩短组仍相关】

定理

1、向量a1,a2,···,an(n≧2)线性相关的充要条件是这n个向量中的（至少有一个）一个为其余(n-1)个向量的线性组合。

2、一个向量线性相关的充分条件是它是一个零向量。

3、两个向量a、b共线的充要条件是a、b线性相关。

4、三个向量a、b、c共面的充要条件是a、b、c线性相关。

5、空间中任意四个向量总是线性相关。

我以为同一个线性相关的向量组（n个向量）里的向量应该都能够用这个组里的其他n-1个向量表示而成，结果出乎我意料的是书上说至少有一个能由其他n-1个向量线性表示，注意是至少有一个，不是全部，结果不幸的是我成了其中的一个，所以我选择线性无关。线性相关又如何，还不是不能由别人来表示，线性无关又何妨？大家都高兴，即使不高兴也可以装高兴，不是多好吗？纠结的线性相关，蛋疼的线性无关，你说该线性相关还是线性无关呢？选择线性无关何必还去想线性相关呢？是不？既然是线性相关，就应该成为能够用别人表示的一份子，既然不能这样，就线性无关吧，虽然书上没说不能选择，但是现实中却是可以选择线性相关或无关的，果断的...我纠结的选择线性无关，虽然偶尔会烦躁，比如现在，但是总比线性相关着并且一直烦躁好吧，好吧，我思想境界低，我是坏人，没有达到无法无念的境界，年少气盛是通病.如果让我在魔和神之间选择一个，我会选择魔，魔神或许更好，半魔半神，魔神毕竟也是神，虽然有个魔字，孰能理解魔神的无奈。当累了变成泪了，当无奈变成无赖，你会怎样选择？线性无关？线性相关？亦或许还有其他选择？这是本坏人今天看线性代数的感慨

在一本资料书上看到如下两句话

一向量组线性相关，则在相同位置上去掉相同个数的分量所得的向量组仍线性相关

一向量组线性无关，则在相同位置上增加相同个数的分量所得的向量组仍线性无关

个人认为是错的

好像与教材上说的：

若向量组A：a1,a2.....am线性相关，则向量组B:a1,a2......am,a(m+1)也线性相关，反之，若向量组B线性无关，则向量组A也线性无关

矛盾了

请高人说说那两句话的正确性，并给出理由。

最佳答案

资料书上和教材上的都是对的，两者并不矛盾，注意区分下列两种说法：

（1）向量组向量总数不变但都增加（或都去掉）相同个数的分量；

（2）向量组每个向量的分量个数（即维数）不变但向量组向量个数增加（或减少）；

向量组线形相关可理解为存在一组系数，

对向量组的每一维，该系数对应的线性方程都成立，

线性无关则可理解为不存在满足上述条件的系数。

一n维向量组线性相关，说明存在一组系数使n维对应的n个方程都成立，

去掉相同个数的分量，维数降低，方程个数减少，

同一组系数当然还是能使每个方程成立。

一n维向量组线性无关，说明不存在一组系数使n维对应的n个方程都成立，增加相同个数的分量，维数增加，方程个数变多，

满足更强条件的系数当然就更不存在了。

增加向量组向量的个数，相当于增加上述线性方程的元数，

如果较少元数都能找到满足条件的系数，取同一组系数，

对增加的元数令系数为0，易知如此扩展的一组系数也必定满足条件。

上述结论的逆否命题即为，

减少向量组向量的个数，原来无关的向量组仍应无关。

选择题：已知向量组，a1,a2,a3,a4线性无关，则向量组（）

A a1+a2, a2+a3, a3+a4，a4+a1 线性无关

B a1-a2, a2-a3, a3-a4, a4-a1 线性无关

C a1+a2, a2+a3, a3+a4, a4-a1 线性无关

D a1+a2, a2+a3, a3-a4, a4-a1 线性无关

后面答案是这么写的

由于（a1+a2）-(a2+a3)+(a3+a4)-(a4+a1)=0

(a1-a2) +(a2-a3)+(a3-a4)+(a4-a1)=0

(a1+a2) -(a2+a3)+(a3-a4)+(a4-a1)=0

所以A,B,D这三个是错的。

可是我看不懂这是什么意思，不知道哪位能给解答一下，或者用别的方法把这道题解出来也可以，感激不尽~

最佳答案

你看下线性相关和线性无关的定义就知道了

定义是这样的：设A1，A2，……，An是一个向量组，如果存在不全为零的常数K1，K2，……，Kn，使得式子（一）K1A1+K2A2+……+KnAn=0，则称A1，A2，……，An这个向量组线性相关，如果要K1，K2，……，Kn全为零式子（一）才成立的话，那他就线性无关了。α

替换定理

设向量组（1）α

1，α

2

，…α

s

线性无关，且（1）中每个向量都可由向量组（2）

β

1，β

2

，…β

t

线性表示，则

1）s≤t;

2）必要时可对向量组（20中的向量重新编号，使向量组α

1，α

2

，…α

s

与向量组

（2）

β

1，β

2

，…β

t

等价。