第一讲 17.1一元二次方程的概念(公开课)

二次项系数 一次项系数 常数项
注意:要确定一元二次方程的系数和常数项 ,必
须先将方程化为一般形式 在写一元二次方程的一般形式时,通常按未 知数的次数从高到低排列,即先写二次项,再写 一次项,最后是常数项。
例3.把下列方程化为一元二次方程的形式，并写出它的二次
项系数、一次项系数和常数项：
一般形式 二次项 系 数 一次项 系 数 常数项
(m-3)x -(m-1)x-m=0(m≠3)
2
2
2 -4 3 4 m-3 3
1 2 -1
4 0 -1
2
2
2
0
1-m -8
-5
-m -10
3x(x-1)=5(x+2)
－2bx+a=0, ①在什么条件下此方程为一元二次方程？ ②在什么条件下此方程为一元一次方程？ 解： ①由题意得，2a－4≠0，解之得a≠2 ∴当a≠2时是一元二次方程；
3.下列方程中,无论a为何值,总是关于x的一元二 次方程的是(D ) A.(2x-1)(x2+3)=2x2-a B.ax2+2x+4=0 C.ax2+x=x2-1 D.(a2+1)x2=0 4.当m为何值时,方程
4 m 2 (m 1) x 27mx 5 0
是关于x的一元二次方程.
4(m 1) 6 5m 4 0
m6
练一练
已知关于x的一元二次方程x2+ax+a=0的一个根 是3，求a的值。 解：由题意得 把x=3代入方程x2+ax+a=0得，
32+3a+a=0 9+4a=0 4a=-9
9 a 4
已知关于x的一元二次方程
ax2+bx+c=0 (a≠0)一个根为1, 求a+b+c的值. 解：由题意得
方
2
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程
3x =5x-1 (x+2)(x -1)=6
3 3x2－5 5x＋1＝0 1x2 ＋1 x－8＝0
3 1
－5 1
1 －8
4-7x =0
2
7x2 － 4＝0 7 0 －4
抢答：
一元二次方程 二次项 一次项 常数项 系数 系数
2x +x+4=0 -4y +2y=0 3x -x-1=0 4x -5=0
例4：
方程(2a－4)x2
（默4）
②由题意得， 2a－4=0 －2b≠0 解之得
a=2 b≠0
∴当a＝2且b≠0时是一元一次方程.
例2 5：当 m 取什么值时，关于 x 的方程 m 2x 为一元二次方程。
m2 2
mx 10 0
（默5）
解：根据题意得： m 2 2 22
(1) x 2 x 5 0 (2)4 x 3 y 1 0
2
2
可能为0
(3)ax bx c 0
2
(4) x( x 1) 2 0
1 (5)a 0 a
2
是分式
(6)(m 2) 1
2
是二次 根式
(7) x x 5
2
(8)2x x 3 2x 1
(1)x +x =36
(3)x+3y=36 (5) x+1=0
2

(2) x + x =36


1 2 (4) 2 0 x x
2

(7)4x 1 (2 x 3)
(8)( x ) 2 x 6 0
2
x (6) 6 3 2
（默3）
下列方程中哪些是一元二次方程？
xx 10 900
整理可得： x 2 10x 900 „„ （2）
4 x 20 900
x 10x 900
2
思考1：方程（2）与一元一次方程的区别在哪里？ 思考2：方程（1）和方程（2）有什么共同点呢？ 思考3：你能类比一元一次方程给方程（2）起个 名称吗？
思考4：根据以上讨论的结果，你能说出什么方程是 一元二次方程吗？ 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数 是2的整式方程，叫做一元二次方程。
2+bx+c=0 (a≠0） ax ax=b (a≠0） 都是整式方程，只含有一个未知数
不同点 未知数最高次数是1
未知数最高次数是2
判断一个方程是否是一元二次方程，关键是要将方程 判断下列方程是否为一元二次方程？ 例1 ： 化为一般式，然后根据一元二次方程必须同时满足的三个 条件进行判别。 2 （默3） 3 2
1.本节学习的数学知识是：
（1） 2、学习的数学思想方法是 转化、建模思想。
一元二次方程的概念 一元二次方程的一般形式 （2）
3、如何理解一元二次方程的一般形式 2 ax bx c 0 (a≠0)？ (a≠0)是成为一元二次方程的必要条件 （1）
找一元二次方程的二次项、一次项 （2） 系数及常数项要先化为一般式
2
又∵ m 2 0 ∴m 2 ∴ m 2
m 4 2 2 m m 2 0 m 2
∴当 m 2 时，该方程是一元二次方程。
练习巩固
1.关于x的方程(k－3)x2 ＋ 2x－1＝0,
当k ≠3 时，是一元二次方程．
2.关于x的方程(k2－1)x2 ＋ 2 (k－1) x ＋ 2k ＋ 2＝0, 当 k ≠ ±1 时，是一元二次方程． ＝－1 当k 时，是一元一次方程．
一元二次方程的概念
（默1）
• 像这样的等号两边都是整式, 只含有 一个未知数(一元)，并且未知数的最 高次数是2(二次)的方程叫做一元二次 方程。 即：一元二次方程的共同特点: ① 只含一个未知数; ②未知数的最高次数是2. ③ 都是整式方程;
一元二次方程的一般形式
2
“=”的右 边必须整理 成0. 一般地,任何一个关于x 的一元二次方程都可以化为
完全的一元二次方程
ax2+bx+c=0
(a≠0, b≠0, c≠0)
ax2+bx+c=0
(a≠0)
不完全的
ax2+bx=0 (a≠0,b≠0)
2+c=0 (a≠0,c≠0) ax 一元二次方程
ax2=0
(a≠0)
一元一次方程与一元二次方 程有什么区别与联系？
整式方程
一元一次方程 一般式 相同点 一元二次方程
问题1： 某小区住宅设计，准备在每两幢楼房之间，开辟周长 为900米的一块长方形绿地，并且长比宽多10米，那么绿 地的长和宽各为多少？ 解：设长方形绿地的宽为x米，得 2x x 10 900
整理可得： 4 x 20 900
„„ （1）
变式：某小区住宅设计，准备在每两幢楼房之间，开辟面 积为900平方米的一块长方形绿地，并且长比宽多10米，那 么绿地的长和宽各为多少？ 解：设长方形绿地的宽为x米，得
2
化简为： 6 x 1.
(1) ( 4) ( 6) 是一元二次方程的有：____________
二次项、二次项系数、一次项、一次项系数、常 例题讲解 数项都是包括符号的
例题讲解
[例2] 将下列方程化为一般形式，并分别指出它们 的二次项、一次项和常数项及它们的系数： 2 (1) 3 x ( x 1) 5( x 2) (2) 解：3x 2
a 1 b1 c 0 即a b c 0
2
思考:若 a+b+c=0,你能通过观察,求出方程 ax2+bx+c=0 (a≠0)一个根吗? 解：由题意得 a b c 0
即a 1 b 1 c 0
2
∴方程ax2+bx+c=0 (a≠0)一个根是1
拓展:若 a-b+c=0, 你能通过观察,求出方程 ax2+bx+c=0 (a≠0)一个根吗?
m +1 0 4 m -2=2
m=1
三，一元二次方程解的概念
方程解的定义是怎样的呢?
默6能使方程左右两边相等的未知数的值就叫方程的 ） 解.一元二次方程的解也叫做一元二次方程根. 例6：已知关于x的一元二次方程(m－1)x2＋ 3x-5m＋4＝0有一根为2,求m. 分析:一根为2，即x＝2,只需把x＝2代入原方程.
2
3x 5 x 10
x 0
3x 3x 5x 10 0 2 3x 8x 10 0
二次项： 3x 2，其系数为 3
一次项：－ 8x，其系数为－ 8
二次项： x 2、系数为 1
一次项： 0、系数为 0
常数项： 0
常数项为－ 10
2 ax
+ bx + c = 0 (a≠0)
的形式,我们把 ax bx c 0
为什么要限制a≠0， (a,b,c为常数，a≠0）称为一元二次方程的一般形式 . b,c可以为零吗？ 二次 项 一次 项
ax bx c 0
2
a x 2+ b x + c = 0
(a ≠ 0)
（默2）
a是二次项系数 b是一次项系数 常数项
一元二次方 程的一般形式