第一讲 17.1一元二次方程的概念(公开课)

合集下载

一元二次方程的概念-PPT课件

一元二次方程的概念-PPT课件
一元二次方程的概念 一元二次方程的解法 一元二次方程根的判别式 一元二次方程根与系数的关系 用一元二次方程解决实际问题
一 元 二 次 方 程 复 习
一.相关概念
只含有 一个未知数x的 整式方程,并且都可以化 成 ax2+bx+c=0(a,b,c为常数, a≠0)的形式, 这样的方程叫做一元二次方程. 把ax2+bx+c=0(a,b,c为常数,a≠0)称为一元二 次方程的一般形式,其中ax2 , bx , c分别称为二 次项、一次项和常数项,a, b分别称为二次项系数 和一次项系数.
注意:
第(1)题容易解得x=0这一个解; 第(2)题若方程两边都除以x-6,得: x=-2,则原方程少了一个解,原因是 6 时,应保证 x 60 在除以 x 。故此 种做法不可取,应避免在方程两边都除 以一个代数式。
例7、用指定的方法解下列方程:
2
(1) (x 1 0 ) 3 ——直接开平方法
2
a1 0
2、利用方程解的定义:
2 x 2 xp 0 例3、若关于x的一元二次方程
的一个根是-1,求p的值。 根据方程的解的定义将x=1代入原方程,解 之得 p 2 1
tx 2 0 例4、关于的一元二次方程 x , 若有一个根为2,
2
求另一个根和t的值。 分析:此例已知方程的一个根,利用这 个根,先确定t的值,再求另一个根。
配方法: 配方法解方程的基本步骤 把二次项系数化为1(方程的两边同时除以二次项系数a) 把常数项移到方程的右边; 把方程的左边配成一个完全平方式; 利用开平方法求出原方程的两个解. ★一除、二移、三配、四开平方、五解. 公式法:
1、把方程化成一般形式,并写出a,b,c的值.
2 、求出 b 4 a c 的值

沪教版(上海)八年级上册数学 17.1 一元二次方程的概念 课件(共15张ppt)

沪教版(上海)八年级上册数学 17.1 一元二次方程的概念 课件(共15张ppt)

趁热打铁☞
判断下列方程是否为一元二次方程:
① 10x2=9 ( √ ) ③2x2-3x-1=0 ( √ ) ⑤2xy-7=0 ( × ) ⑦4x2=5x ( √ )
②2(x-1)=3x ( × )

1)
⑥9x2=5-4x ( √ )
⑧3y2+4=5y ( √ )
下列方程中是一元二次方程的为( C )
(A)、x2+3x=
2
x2
(B)、2(X-1)+3x=2
(C)、x2=2+3x
(D)、x2+x3-4=0
小路的面积是 2×20x m2,两
者重叠的面积是2x2 m2.由于
花坛的总面积是570m2,
32
x 20
2、你能根据题意,列出方程吗?
32×20-(32x+2×20x)+2x2=570
整理以上方程可得: x2-36x+35=0 (2)
32-2x
(20-x)(32-2x)=570
20-2x 20
想一想:
X2=4
2X2-4=(x+2)2
1 x2 10x 900 0
(3)方程(2a-4)x2-2bx+a=0在什 么条件下为一元二次方程?
(1)在确定一元二次方程的二次项系数、一 次项系数和常数项时必须把方程化为一般形式 才能进行。
(2)二次项系数、一次项系数以及常 数项都要连同它前面的符号。
(3)二次项系数a≠0
2、如图:如果假设无公害蔬菜产量的年平均增长率是x,2017年
的产量为a,那么2018年无公害蔬菜产量为 a+ax=a(1+x) , 2019年无公害蔬菜产量为 a(1+x)+a(1+x)x=a(1+x)2 。

【最新】沪科版八年级数学下册第十七章《一元二次方程的概念》公开课课件.ppt

【最新】沪科版八年级数学下册第十七章《一元二次方程的概念》公开课课件.ppt
2、一元二次方程的一般形式?
ax2+bx+c=0,(a≠0)
• 9、春去春又回,新桃换旧符。在那桃花盛开的地方,在这醉人芬芳的季节,愿你生活像春天一样阳光,心情像桃花一样美丽,日子像桃子一样甜蜜。 2021/1/122021/1/12Tuesday, January 12, 2021
• 10、人的志向通常和他们的能力成正比例。2021/1/122021/1/122021/1/121/12/2021 9:17:21 AM • 11、夫学须志也,才须学也,非学无以广才,非志无以成学。2021/1/122021/1/122021/1/12Jan-2112-Jan-21 • 12、越是无能的人,越喜欢挑剔别人的错儿。2021/1/122021/1/122021/1/12Tuesday, January 12, 2021 • 13、志不立,天下无可成之事。2021/1/122021/1/122021/1/122021/1/121/12/2021
小路(两条纵向,一条横向,
20m
横向与纵向垂直)把这块空地
分成大小一样的6块,建成小 花坛,如图,要使花坛的总面
32m
积为570m2,问小路的宽应为
多少? 解: 设小路宽为x,则:
32×20-(32x+2x20x)+2x2=570
整理得:
X2-36x+35=0
观察
上面问题中这两个方程:z x xk
③方程两边都是整式;
一元二次方程通常可写成如下的一般形式:
二次项 系数
一次项 系数
ax2+bx+c=0(a≠0)
二次项
一次项
常数项
自我检测:
1、下列方程中哪些是一元二次方程?

17.1 一元二次方程的概念 课件

17.1 一元二次方程的概念 课件

x2 10x 1200
( x)2 12 x 8 共同的特点
只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是二次
第十七章 一元二次方程
Байду номын сангаас
我们学过的与方程相关的知识
什么叫方程? 含有未知数的等式叫方程
什么叫方程的解(根)?
使方程两边相等的未知数的值叫方程的 解
一元方程的解叫做方程的根
检验一个数是否为方程根的方法 学过方程(组)的类型有哪些?
1 x2 x 12 0 64
一元二次方程的例题
例题1 把下列一元二次方程化成一般式, 并写出方程中的各项与各项的系数:
一元二次方程的例题
例题2 判断2,5,-4是不是一元二次方程
的根。
一元二次方程的思考题
体验: 在下列方程中,哪些方程有一个根为0?哪些方程有一个根为1? 哪些方程有一个根为-1?
古印度趣题:猴子游戏
设猴子总数为x,则( x )2 12 x 8
印度古算书有这样一首诗“一群猴子分两队,高高兴兴在游戏,八分之一 再平方,蹦蹦跳跳树林里;其余十二叽喳喳,伶俐活泼又调皮。告我总数 共多少,两队猴子在一起。”
生活情境:
设宽为x米,则x2 10 x 1200
一块长方形绿地的面积为1200平方米,并且长比宽多10米,那么长和 宽各为多少米?
一元一次方程
二元一次方程
一元一次不等式 一元一次不等式组
二元一次方程组 三元一次方程组
可化为一元一次 方程的分式方程
方程类型 一元一次方程 二元一次方程
二元一次方程组 一元一次不等式
可化为一元一次 方程的分式方程
定义
一个未知数、一次 二个未知数、项最高一次
整个方程组

一元二次方程(概念一般形式公开课)ppt课件

一元二次方程(概念一般形式公开课)ppt课件
一元二次方程是只含有一个未知 数,且该未知数的最高次数为2的 整式方程。
详细描述
一元二次方程的标准形式为 ax^2 + bx + c = 0,其中 a、b、c 是 常数,且 a ≠ 0。这个方程只含 有一个未知数 x,且 x 的最高次 数为2。
一元二次方程的一般形式
总结词
一元二次方程的一般形式是 ax^2 + bx + c = 0,其中 a、b、c 是常数,且 a ≠ 0。
• 解一元二次方程的数学思想主要包括转化思想和数形结合思想 。转化思想是将二次方程转化为一次方程或常数项,数形结合 思想则是将一元二次方程与二次函数图像结合起来,通过图像 直观地理解方程的解。
THANKS
感谢观看
详细描述
一元二次方程的一般形式包括未知数 x 的平方项、一次项和常数项,其中 a、b 、c 可以是任何实数,但 a 不能为0,否则不是二次方程。
一元二次方程的解的概念
总结词
一元二次方程的解是满足该方程的未知数的值。
详细描述
一元二次方程的解也称为根,是使方程成立的未知数的值。对于一般形式的一元 二次方程 ax^2 + bx + c = 0,它的解可以通过公式或因式分解等方法求得。
公式法
01
总结词
利用一元二次方程的解的公式直接求解。
02 03
详细描述
一元二次方程的解的公式为 $x = frac{-b pm sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$, 其中 $a$、$b$、$c$ 是方程的系数。通过代入系数值,可以直接求得 方程的解。
举例
对于方以代入公式得到 $x = frac{-(4) pm sqrt{(-4)^2 - 4 times 2 times 2}}{2 times 2}$,解得 $x = 1$ 或 $x = 2$。

《认识一元二次方程》一元二次方程PPT(第1课时)教学课件

《认识一元二次方程》一元二次方程PPT(第1课时)教学课件
102+112+122=132+142.
你还能找到五个连续整数,使前三个数的平方 和等于后两个数的平方和吗?
如果将这五个连续整数中的第一个数设为x,那 么怎样用含x的代数式表示其余四个数?根据题意, 你能列出怎样的方程?
如图,一个长为10 m的梯子斜靠在墙上,梯子的顶端距地 面的垂直距离为8 m.如果梯子的顶端下滑1 m,那么梯 子的底端滑动多少米?
(来自《点拨》)
知3-练
1 随州市尚市“桃花节”观赏人数逐年增加,据有关部门统计, 2014年约为20万人次,2016年约为28.8万人次,设观赏人数年 均增长率为x,则下列方程中正确的是( ) A.20(1+2x)=28.8 B.28.8(1+x)2=20 C.20(1+x2)=28.8 D. 20+(1+2x)+20(1+x)2=28.8
油利画用的长面方积形与的整面个积挂公 图式的和面油积画.面积与整个
90+2x
挂图面积之间的关系
解:(90+2x)(40+2x)×54%=90×40.
列(方来程自《点拨》)
总结
知3-讲
建立一元二次方程模型解决实际问题时,既要 根据题目条件中给出的等量关系,又要抓住题目中隐 含的一些常用关系式(如面积公式、体积公式、利润 公式等)进行列方程.
到右依次填写28,18,10,4. (4)通过分析表格中的数值,估计方程的解,对表格中所填数值
的分析应至少包括以下两个方面:①表格中,当x的值从小到 大变化时,(8-2x)(5-2x)的值逐渐减小,经历了从大于 18到等于18再到小于18的过程. ②由表格可知,当x=1时, (8-2x)(5-2x)-18,由方程的解得意义,可以得出“x-1是 方程,(8-2x)(5-2x)-18的解得结论,从而所求宽度为1 m.

《一元二次方程》PPT课件

《一元二次方程》PPT课件
《一元二次方程》PPT 课件
演讲人
《一元二次方程》PPT课件
1. 一元二次方程的一般形式: a≠0时,ax2+bx+c=0叫一元二次方程的一般形 式,研究一元二次方程的有关问题时,多数习题要先化为一般形式,目的是确 定一般形式中的a、 b、 c; 其中a 、 b,、c可能是具体数,也可能是含待定字 母或特定式子的代数式。 2. 一元二次方程的解法: 一元二次方程的四种解法要求灵活运用, 其中直接开 平方法虽然简单,但是适用范围较小;公式法虽然适解法适用范围较大,且计算简便,是方法,配方法使 用较少。 3. 一元二次方程根的判别式: 当ax2+bx+c=0 (a≠0)时,Δ=b2-
《一元二次方程》PPT课件
4ac 叫一元二次方程根的判别 式.请注意以下等价命题:
Δ<0 <=> 无实根; Δ≥0 <=> 有两个实根(等或不等)。
Δ>0 <=> 有两个不等的实根; Δ=0 <=> 有两个相等的实根;
谢谢

《一元二次方程的概念》课件ppt

《一元二次方程的概念》课件ppt

二次项系数
一次项系数
例2.把下列方程化为一元二次方程的形式,并写出它的二次
项系数、一次项系数和常数项:
一般形式 二次项 系 数 一次项 系 数 常数项

2
程ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
3x =5x-1 (x+2)(x -1)=6
3 3x2-5 5x+1=0 1x2 +1 x-8=0
3 1
-5 1 0
1 -8 4
4-7x =0
3、如何理解一元二次方程的一般形式 2 ax bx c 0 (a≠0)?
(a≠0)是成为一元二次方程的必要条件 (1) 找一元二次方程的二次项、一次项 (2) 系数及常数项要先化为一般式
共同进步!
1 是同一场比赛,所以全部比赛共 x( x 1) 28 场. 2

各赛1场, 由于甲队对乙队的比赛和乙队对甲队的比赛
x x 56
2
?
一块四周镶有宽度相等的花边的地毯如下图,它的 长为8m,宽为5m.如果地毯中央长方形图案的面 积为18m2 ,则花边多宽?
你怎么解决这个问题?
解:如果设花边的宽为xm ,那么地毯中央长方形图案 的长为 m,宽为 (8-2x) (5-2x)m,根据题意,可得方程:
1 2 -1
4 0 -1
2
2
2
0
-(m-1) -8
-5
-m -10
3x(x-1)=5(x+2)
发散思维: 以-2、3、0三个数作为一个一元二次方程 的系数和常数项,请尽可能多的写出满足条 件的不同的一元二次方程?
关于x的方程,kx x - 1 2 x 一定是一元二次
2 2
方程吗?
练习巩固

一元二次方程概念ppt课件

一元二次方程概念ppt课件
34
例题讲解
3、已知m, n都是方程x2 2006x 2008 0 的根,试求(m2 2006m 2007)(n2 2006n 2007)的值.
35
解 :∵m, n是方程x2 2006x 2008 0 的根,由根的定义知: m2 2006m 2008 0 n2 2006n 2008 0 即: m2 2006m 2008 n2 2006n 2008
请写出一个一元二次方程,要求二次项
系数为负数,一次项系数是整数,常数 项是分数
-x2+8x+ 69=0
8
2019/11/10
22
巩固提高:
2:若ax2 -bx+6=0
是一元二次方程应满足的条件是: 是一元一次方程应满足的条件是:
3.已知关于x的方程(k2-1)x2+2(k-1)x+2k+2=0 当k__≠_±__1__时,它是一元二次方程,此时各项 系数分别为__(k_2_-_1_),____2_(k_-_1_)___2_k+2 当k_=__-__1__时,它是一元一次方程。
(50-2x)cm,面积为3600cm2 ,得到:
(100-2x)(50-2x)=3600
化简为:
? x2 75x 350 0
想一想
对于这样的一元二次方程我们
如何去求得其解呢?
解法
2019/11/10
5
◆例2:
有一块四周镶有宽度相等的花边的地毯,它
的长8米,宽长5米,如果地毯中央长方形图
根据题意得:x(x-1)=2×28
x²-在墙上,梯子 的顶端距离地面的垂直距离为8m, 如果梯子的顶 端下滑1m,那么梯子的底端滑动多少m?

一元二次方程课件ppt

一元二次方程课件ppt

• 问题1、绿苑小区住宅设计,准备在每两幢楼 房之间,开辟面积为900平方米的一块长方 形绿地,并且长比宽多10米,那么绿地的长 和宽各为多少?
(x+10)
x
问题1、绿苑小区住宅设计,准备在每两幢楼房之间, 开辟面积为900平方米的一块长方形绿地,并且 长比宽多10米,那么绿地的长和宽各为多少?
例1.将方程(8-2x)(5-2x)=18化成一元二次 方程的一般形式,并写出其中的二次项系数、一次
项系数及常数项.
• 分析:一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0(a≠0).因此, 方程(8-2x) (•5-2x)=18必须运用整式运算进行整理,包括 去括号、移项等.
• 解:去括号,得: • 40-16x-10x+4x2=18 • 移项,得:4x2-26x+22=0 • 其中二次项系数为4,一次项系数为-26,常数项为22.
3
你会用描点法画二次函数y=x2的图象吗?
观察y=x2的表达式,选择适当x值,并计算 相应的y值,完成下表:
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 … y=x2 … 9 4 1 0 1 4 9 …
描点,连线 y 10
y=x2
8
6
4
2
?
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 x -2
二次函数 y=x2的图象 形如物体抛 射时所经过 的路线,我们 把它叫做抛 物线
方程
二次项 一次项 常数 系数 系数 项
2x2 x 3 0 2
1
-3
3x2 5 0
3
0
-5
x2 3x 0 1
-3
0
2、将下列一元二次方程化为一般形式,并分别 指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项:

一元二次方程数学PPT课件

一元二次方程数学PPT课件

解得:m=20
∴ 方程的解为:x1=55, x2=15。
D 拓展训练 ● 推导求根公式 ● 几何意义 ● 韦达定理
拓展训练 之 求根公式推导
一元二次方程 ax²+bx+c=0(a≠0)求根公式推导过程如下:
第一步:约分
第二步:配方
第三步:通分
第四步:开平方
拓展训练 之 几何意义
一元二次方程 ax²+bx+c=0(a≠0)的几何意义
整理,得x2-36x+35=0.
解方程,得x1=1,x2=35. x2=35不合题意舍去,所以 x=1.
答:道路宽为1米.
解应用题 之 精选例题
【数学问题】
5、一个两位数,十位上数字与个位上数字之和为5;把十位上的数字与个位上数字互 换后再乘以原数得736,求原来两位数. 解:设原来两位数个位上的数字为x,则十位上的数字为(5-x),原来的两位数就是: 10(5-x)+x,新的两位数就是:10x+(5-x).可列出方程:
【例题】
1、解方程 x²-8x+15=0 解:利用十字相乘法,-8=-3-5, 15=3×5
∴原式可化为(x-3)(x-5)=0 ∴ x1=3;x2=5
方程解法 之 基本方法 • 配方法
【之三 配方法】
将一元二次方程配成(x+m)2=n 的形式,再利用直接开平方法求解的方法。配方法 的理论依据是完全平方公式。配方法的关键是:先将一元二次方程的二次项系数化为1, 然后在方程两边同时加上一次项系数一半的平方。
基本步骤
①把原方程化为一般形式; ②方程两边同除以二次项系数,使二次项系数为1,并把常数项移到方程右边; ③方程两边同时加上一次项系数一半的平方; ④把左边配成一个完全平方式,右边化为一个常数; ⑤进一步通过直接开平方法求出方程的解,如果右边是非负数,则方程有两个实根; 如果右边是一个负数,则方程有一对共轭虚根。

一元二次方程(概念一般形式公开课)ppt课件

一元二次方程(概念一般形式公开课)ppt课件
注意事项
适用于可以因式分解的一元二次方程。
因式分解可能不唯一,需要选择正确的因 式分解方式。
04 一元二次方程的应用
生活中的一元二次方程
投资回报
在投资中,一元二次方程可以用 来计算投资回报率,例如计算复
利。
贷款还款
贷款的月供、年供等可以通过一元 二次方程来计算。
购物优惠
在购物时,商家经常会提供一些优 惠活动,例如满减、折扣等,这些 优惠可以通过一元二次方程来计算 最优解。
数学中的一元二次方程
01
02
03
几何学
在几何学中,一元二次方 程可以用来解决一些与面 积、体积、角度等有关的 问题。
三角函数
在三角函数中,一元二次 方程可以用来求解一些与 角度、边长等有关的问题 。
数列
在数列中,一元二次方程 可以用来求解一些与数列 的通项公式、前n项和等 有关的问题。
科学中的一元二次方程
物理学
在物理学中,一元二次方 程可以用来解决一些与力 学、电磁学、光学等有关 的问题。
化学
在化学中,一元二次方程 可以用来解决一些与化学 反应速率、化学平衡等有 关的问题。
天来解决一些与行 星运动、恒星演化等有关 的问题。
THANKS
特点
方程的一般形式为ax^2 + bx + c = 0,其中a、b、c为常数,且 a≠0。
方程的一般形式
01
ax^2 + bx + c = 0,其中a、b 、c为常数,且a≠0。
02
特殊情况:当b=0时,方程退化 为一元一次方程;当a=0时,方 程变为线性方程。
方程的解
解的定义
满足方程的未知数的值称为方程的解 。

认识一元二次方程公开课课件

认识一元二次方程公开课课件

可知x取值的大致范围是:1<x<1.5
在1<x<1.5这个范围中,如果x取整数是几?如 果x精确到十分位呢?百分位呢?
☞ 做一做
估算一元二次方程的解
在1<x<1.5这个范围中,如果x取整数是几?如 果x精确到十分位呢?百分位呢?
x
x2+12x-15
… 1.1 1.2 1.3 1.4 … … -0.59 0.84 2.29 3.76…
1 认识一元二次方程
☞ 忆一忆
我们过去学过那些方程? 一元一次方程 2x+3=0 二元一次方程组 2x+3y=0 x-y=1
☞ 做一做
花边有多宽
一块四周镶有宽度相等的花边的地毯如下图,它的 长为8m,宽为5m.如果地毯中央长方形图案的面 积为18m2 ,则花边有多宽?
解:如果设所求的宽为xm ,那么地毯中央长方形
或7x2 - 4=0
7
-5 1 1 -8 04 0 -4
☞ 做一做
解:设教室未铺地毯区域的宽为xm , 根据题意得
(8 - 2x) (5 - 2x) = 18. 即2x2-13x+11 = 0.
你能求出x吗?怎么去估计x呢? 8
x可能小于0吗?说说你 x
的理由.
x
(8-2x)
x
x可能大于4吗?可能大5 于2.5吗?说说你的理由.
解:如果设梯子底端 滑动x m,根据题意得
72+(x+6)2=102
即 x2+12x-15=0
数学化 1m 8m 7m
6m xm
☞ 想一想
你能行132+142
你还能找到其他的五个连续整数,一使前三个数的平 方和等于后两个数的平方和吗? 般

《认识一元二次方程》公开课ppt

《认识一元二次方程》公开课ppt
结论:当一元二次方程的系数满足某些条件时,它的解会具有对称性。这种对称性可以为我们提供更多关于方程的信息,例如当一个一元 二次方程具有根的对称性时,它的系数必须满足特定的条件。
应用:在解决实际问题时,我们可以利用根的对称性来简化计算过程,例如在一些物理问题中,当一个物体做对称运动时,我们可以利用 根的对称性来求解一些物理量。
如何利用一元二次方程解决实际问题
理解一元二次方 程的概念和解题 思路
掌握求解一元二 次方程的方法
了解一元二次方 程的应用场景
学会利用一元二 次方程解决实际 问题
06
总结与展望
对一元二次方程的认识与收获总结
理解一元二次方程的概念和一 般形式
掌握求解一元二次方程的方法
理解一元二次方程的应用和实 际意义
a x ²+ b x + c = 0 ( a , b , c 是 常 数 , a≠0)
根的判别式:Δ=b²-4ac
配方法:将一元二次方程配成 ( x + m ) ²= n 的 形 式 , 再 利 用 直 接开平方法求解
公式法:用求根公式解一元二 次方程
一元二次方程的解法
公式法:$ax^{2} + bx + c = 0$,其中$a \neq 0$
科学中的一元二次方程应用场景
物理:解决与速 度、加速度、重 力等有关的问题
化学:计算化学 反应中物质的质 量、能量等问题
经济学:预测市 场趋势、评估投 资风险等
工程学:设计建 筑结构、机械装 置等
04
一元二次方程的拓 展知识
一元二次方程的根的判别式
定义:一元二次方程的根的判别式是二次项系数a、一次项系数b和常数项c之间的一种关 系式。

《一元二次方程的概念》教学PPT课件

《一元二次方程的概念》教学PPT课件

3 如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0有一个根为1,那么a+b+c=_0_.如
倍 果a-b+c=0那么方程的另一个根是_x_=_.-1 速 课 时 学 练
辨析概念 感悟内涵
例 将方程3x(x-1)=5(x+2)化成一元二次方程的一般形 式,并写出其中的二次项系数,一次项系数及常数项.
解:去括号,得

(物体短段与长段之比值为 0.618),12个“黄金矩形”(宽与长比值为

0.618的长方形)和2个“黄金指数”(两物体间的比例关系为 0.618)。
线段的黄金分割
2.关于x 的方程(k-1)x│k│+1-x-2=0是一元二次方程,求 k 的值。
具体作答过程见黑板板书
倍 速 课 时 学 练
回忆概念 善于反思
1.本节课你收获了哪些知识? 一元二次方程的概念以及根的定义 一元二次方程的ax2+bx+c=0 其中 a≠0 b c为常 数
2.本节课包含了哪些数学思想?
倍 速 课 时
化简,得 x2-75x+350=0 ②
2 要组织一次排球邀请赛,参赛的每两个队之间 都要比赛一场,根据场地和时间等条件,赛程计 划安排7天,每天安排4场比赛,比赛组织者应邀 请多少个队参赛?


列方程,得 x(x-1)=56
化简,得 x2-x-56=0 ③
类比学习 剖析概念
思考 方程① ② ③有什么特点?

类比学习 剖析概念
1.一般地,任何一个关于x的一元二次方程,经过整
理,都能化成如下形式
ax2+bx+c=0(a≠0 b c为常数)

一元二次方程定义(公开课)

一元二次方程定义(公开课)

移项,合并同类项得
2 3x -7x+1=0
二次项、二 次项系数、 一次项、一 次项系数、 常数项都是 包括符号的
尝试练习二
把下列方程化为一元二次方程的形式,并写出它的二次项系 数、一次项系数和常数项: 方
2

一般形式
二次项 系 数
一次项 系 数
常数项
3x =5x-1 (x+2)(x -1)=6
3 3x2-5 5x+1=0 1x2 +1 x-8=0
2
• 1、方程(2a - 4)x2 -2bx+a=0, 在什么 条件下此方程为一元二次方程?在什么 条件下此方程为一元一次方程?
解:当a≠2时是一元二次方程; 当a=2,b≠0时是一元一次方程。
变式:当m为何值时,方程
(m 1) x
4m
2
27mx 5 0
是关于x的一元二次方程.
变式: 当m为何值时,方程 4 m 2
3 1
-5 1 0
1 -8Hale Waihona Puke 44-7x =02
-7x2 +4=0 0x+4=0 -7 或- -7x 7 2 +0 或7x2 - 4=0 7
0
-4
尝试练习三
下列哪些数是方程
x x6 0
2
的根?如何给一元二次方程的根下定义呢?
-3,-2,-1,0,1,2,3
使一元二次方程左右两边相等的未 知数的值叫做一元二次方程的根。
3600
100㎝
50㎝
x 75 x 350 0
2
问题(2) 要组织一次排球邀请赛,参赛的每两队 之间都要比赛一场,根据场地和时间等条件,赛程 计划安排7天,每天安排4场比赛,比赛组织者应邀 请多少个队参加比赛? 分析: 全部比赛共 4×7=28场 设应邀请x个队参赛,每个队要与其他 (x-1) 个队

一元二次方程(概念一般形式公开课)ppt课件

一元二次方程(概念一般形式公开课)ppt课件
详细描述
一元二次方程的一般形式是 ax^2 + bx + c = 0,其中 a、b 、c 是常数,且 a ≠ 0。这个形式包含了所有可能的一元二次 方程,可以根据具体情况确定 a、b、c 的值。
一元二次方程的解的概念
总结词
一元二次方程的解是一组数,使得这组数代入方程后左右两边相等。
详细描述
一元二次方程的解是一组数 x1, x2,使得 ax1^2 + bx1 + c = 0 和 ax2^2 + bx2 + c = 0。这组数必须满足方 程的条件,即代入后左右两边相等。解的个数可以是0个、1个或2个。
解一元二次方程 x^2 - 2x - 3 = 0 的答案是 x = -1 和 x = 3。通 过因式分解或使用公式法,我们 可以得到这两个解。
应用题答案与解析
这个物体下落前距地面的距离是 78.4米。根据等差数列求和公式 ,第一秒下落距离是4.9米,前4 秒下落总距离是4 × (4.9 + 4.9 + 9.8) / 2 = 78.4米。
选择题答案与解析
选择题答案是 B. 2个。一元二 次方程的解的个数是由判别式 决定的,判别式 Δ = b^2 4ac。当 Δ > 0 时,方程有两个 不相等的实根;当 Δ = 0 时, 方程有两个相等的实根;当 Δ < 0 时,方程没有实根。因此 ,一元二次方程的解的个数是 不确定的,但通常有两个实根
VS
详细描述
配方法是先将一元二次方程化为一般形式 ,然后通过移项、配方等步骤,将方程化 为一个完全平方项加上一个常数的形式, 最后对方程两边同时开平方,得到方程的 解。这种方法适用于各种类型的一元二次 方程,如$x^2+2x-3=0$或$x^24x+3=0$等。
  1. 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
  2. 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
  3. 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。
2
化简为: 6 x 1.
(1) ( 4) ( 6) 是一元二次方程的有:____________
二次项、二次项系数、一次项、一次项系数、常 例题讲解 数项都是包括符号的
例题讲解
[例2] 将下列方程化为一般形式,并分别指出它们 的二次项、一次项和常数项及它们的系数: 2 (1) 3 x ( x 1) 5( x 2) (2) 解:3x 2
(1) x 2 x 5 0 (2)4 x 3 y 1 0
2
2
可能为0
(3)ax bx c 0
2
(4) x( x 1) 2 0
1 (5)a 0 a
2
是分式
(6)(m 2) 1
2
是二次 根式
(7) x x 5
2
(8)2x x 3 2x 1
4(m 1) 6 5m 4 0
m6
练一练
已知关于x的一元二次方程x2+ax+a=0的一个根 是3,求a的值。 解:由题意得 把x=3代入方程x2+ax+a=0得,
32+3a+a=0 9+4a=0 4a=-9
9 a 4
已知关于x的一元二次方程
ax2+bx+c=0 (a≠0)一个根为1, 求a+b+c的值. 解:由题意得
2
3x 5 x 10
x 0
3x 3x 5x 10 0 2 3x 8x 10 0
二次项: 3x 2,其系数为 3
一次项:- 8x,其系数为- 8
二次项: x 2、系数为 1
一次项: 0、系数为 0
常数项: 0
常数项为- 10
2 ax
+ bx + c = 0 (a≠0)
m +1 0 4 m -2=2
m=1
三,一元二次方程解的概念
方程解的定义是怎样的呢?
默6能使方程左右两边相等的未知数的值就叫方程的 ) 解.一元二次方程的解也叫做一元二次方程根. 例6:已知关于x的一元二次方程(m-1)x2+ 3x-5m+4=0有一根为2,求m. 分析:一根为2,即x=2,只需把x=2代入原方程.
xx 10 900
整理可得: x 2 10x 900 „„ (2)
4 x 20 900
x 10x 900
2
思考1:方程(2)与一元一次方程的区别在哪里? 思考2:方程(1)和方程(2)有什么共同点呢? 思考3:你能类比一元一次方程给方程(2)起个 名称吗?
思考4:根据以上讨论的结果,你能说出什么方程是 一元二次方程吗? 只含有一个未知数,并且未知数的最高次数 是2的整式方程,叫做一元二次方程。
a 1 b1 c 0 即a b c 0
2
思考:若 a+b+c=0,你能通过观察,求出方程 ax2+bx+c=0 (a≠0)一个根吗? 解:由题意得 a b c 0
即a 1 b 1 c 0
2
∴方程ax2+bx+c=0 (a≠0)一个根是1
拓展:若 a-b+c=0, 你能通过观察,求出方程 ax2+bx+c=0 (a≠0)一个根吗?
(m-3)x -(m-1)x-m=0(m≠3)
2
2
2 -4 3 4 m-3 3
1 2 -1
4 0 -1
2
2
2
0
1-m -8
-5
-m -10
3x(x-1)=5(x+2)
-2bx+a=0, ①在什么条件下此方程为一元二次方程? ②在什么条件下此方程为一元一次方程? 解: ①由题意得,2a-4≠0,解之得a≠2 ∴当a≠2时是一元二次方程;

2

3x =5x-1 (x+2)(x -1)=6
3 3x2-5 5x+1=0 1x2 +1 x-8=0
3 1
-5 1
1 -8
4-7x =0
2
7x2 - 4=0 7 0 -4
抢答:
一元二次方程 二次项 一次项 常数项 系数 系数
2x +x+4=0 -4y +2y=0 3x -x-1=0 4x -5=0
一元二次方程的概念
(默1)
• 像这样的等号两边都是整式, 只含有 一个未知数(一元),并且未知数的最 高次数是2(二次)的方程叫做一元二次 方程。 即:一元二次方程的共同特点: ① 只含一个未知数; ②未知数的最高次数是2. ③ 都是整式方程;
一元二次方程的一般形式
2
“=”的右 边必须整理 成0. 一般地,任何一个关于x 的一元二次方程都可以化为
的形式,我们把 ax bx c 0
为什么要限制a≠0, (a,b,c为常数,a≠0)称为一元二次方程的一般形式 . b,c可以为零吗? 二次 项 一次 项
ax bx c 0
2
a x 2+ b x + c = 0
(a ≠ 0)
(默2)
a是二次项系数 b是一次项系数 常数项
一元二次方 程的一般形式
二次项系数 一次项系数 常数项
注意:要确定一元二次方程的系数和常数项 ,必
须先将方程化为一般形式 在写一元二次方程的一般形式时,通常按未 知数的次数从高到低排列,即先写二次项,再写 一次项,最后是常数项。
例3.把下列方程化为一元二次方程的形式,并写出它的二次
项系数、一次项系数和常数项:
一般形式 二次项 系 数 一次项 系 数 常数项
完全的一元二次方程
ax2+bx+c=0
(a≠0, b≠0, c≠0)
ax2+bx+c=0
(a≠0)
不完全的
ax2+bx=0 (a≠0,b≠0)
2+c=0 (a≠0,c≠0) ax 一元二次方程
ax2=0
(a≠0)
一元一次方程与一元二次方 程有什么区别与联系?
整式方程
一元一次方程 一般式 相同点 一元二次方程
问题1: 某小区住宅设计,准备在每两幢楼房之间,开辟周长 为900米的一块长方形绿地,并且长比宽多10米,那么绿 地的长和宽各为多少? 解:设长方形绿地的宽为x米,得 2x x 10 900
整理可得: 4 x 20 900
„„ (1)
变式:某小区住宅设计,准备在每两幢楼房之间,开辟面 积为900平方米的一地的宽为x米,得
3.下列方程中,无论a为何值,总是关于x的一元二 次方程的是(D ) A.(2x-1)(x2+3)=2x2-a B.ax2+2x+4=0 C.ax2+x=x2-1 D.(a2+1)x2=0 4.当m为何值时,方程
4 m 2 (m 1) x 27mx 5 0
是关于x的一元二次方程.
(1)x +x =36
(3)x+3y=36 (5) x+1=0
2

(2) x + x =36


1 2 (4) 2 0 x x
2

(7)4x 1 (2 x 3)
(8)( x ) 2 x 6 0
2
x (6) 6 3 2
(默3)
下列方程中哪些是一元二次方程?
例4:
方程(2a-4)x2
(默4)
②由题意得, 2a-4=0 -2b≠0 解之得
a=2 b≠0
∴当a=2且b≠0时是一元一次方程.
例2 5:当 m 取什么值时,关于 x 的方程 m 2x 为一元二次方程。
m2 2
mx 10 0
(默5)
解:根据题意得: m 2 2 22
2
又∵ m 2 0 ∴m 2 ∴ m 2
m 4 2 2 m m 2 0 m 2
∴当 m 2 时,该方程是一元二次方程。
练习巩固
1.关于x的方程(k-3)x2 + 2x-1=0,
当k ≠3 时,是一元二次方程.
2.关于x的方程(k2-1)x2 + 2 (k-1) x + 2k + 2=0, 当 k ≠ ±1 时,是一元二次方程. =-1 当k 时,是一元一次方程.
1.本节学习的数学知识是:
(1) 2、学习的数学思想方法是 转化、建模思想。
一元二次方程的概念 一元二次方程的一般形式 (2)
3、如何理解一元二次方程的一般形式 2 ax bx c 0 (a≠0)? (a≠0)是成为一元二次方程的必要条件 (1)
找一元二次方程的二次项、一次项 (2) 系数及常数项要先化为一般式
2+bx+c=0 (a≠0) ax ax=b (a≠0) 都是整式方程,只含有一个未知数
不同点 未知数最高次数是1
未知数最高次数是2
判断一个方程是否是一元二次方程,关键是要将方程 判断下列方程是否为一元二次方程? 例1 : 化为一般式,然后根据一元二次方程必须同时满足的三个 条件进行判别。 2 (默3) 3 2
相关文档
最新文档