三角恒等变换的常用技

三角恒等变换的常用技巧

在不改变结果的前提下，运用基本公式及结论，从角、名、次方面入手，把一个三角函数式转化成结构比较简单、便于研究的形式，这种变形叫做三角恒等变换.

三角恒等变换的常见变换技巧归纳如下：

题型一：常值代换（特别是“1”的代换）

【知识链接】

22 丄 2 丄2 2 丄2

1 sin cos tan sec tan esc cot

4

【巩固与应用】

Q S ________

1.若x (-,-)，则.1 sinx 可化为( ) D

2 2

A.亦（：4）

B. ■ 2cos(2 ；) C . 2cos(-) 2 4 D .宓

（：-）

2 .已知tan 题型二：公式变形【知识链接】—2，求值：2si n2sin cos 2

cos .

tan tan

【巩固与应用】

(1 mta n tan )ta n( ).

1.化简：tan 10o tan20o tan20o tan60o tan 10o tan60o.

2 . (1)已知 A B 4,求证：(1 tanA)(1 tanB) 2 ;

(2)化简：(1 tan 1o)(1 tan 2°)L(1 tan44o)(1 tan4-0).

题型三：升次降次

【知识链接】

2 2 2 2

2sin 1 cos2 , 2cos 1 cos2 , cos sin cos2 , 2sin cos sin2 4sin-3sin sin3 , 4cos-cos- -cos .

上面公式正用降次，反用升次.

【巩固与应用】

6 .求函数y sinx sinx cosx

的单调区间。增

8.已知函数 f (x) 2cosxsin x — 3sin 2x sin xcosx

3

(1) 求：函数f (x)的最大值及最小值； (2) 求：函数f(x)的最小正同期、单调递增区间；

3)该函数图像可由 y si n2x 图像作怎样变化而得到。

题型四：公式活用 【知识链接】

公式正用、公式逆用、公式变形后使用 【巩固与应用】

1 .求值：tan 10o ta n20° ta n20°ta n60° 2.已知

为第三象限角，且sin 4 0 cos 4 0

cosAcosB + sin AcosB cosAsinB

则厶ABC 为

2 2

4•函数y sin x cos x 2的最小正周期是(

1 .若

2 孑，则1 cos()的值是

A . sin

2

B . cos —

2

sin —

2

D . cos —

2

2 .求值:

3 .求值: 4

n cos

一 8 sin 2

20 4

n

sin — 8 cos 2 50o sin 20o cos50°.

(08宁夏、海南理7) o

3 sin 70 2 cos 210o

12

B .

C .

(07陕西理 4)已知 sin a 5 5，则 ・4

sin a 4 cos a 的值为

15

B .

C .

15

. . 2

7.已知 cos( n 4 x) 3 5 , 17n 12 x 7n 4，求 sin2x 2sin x 的

值。

1 tanx 结果n A . 2、

2

3 B . 2.2 3 C . 2 3

D .

23

，减

tan60 tan 10

1

,那么sin2 B 等于(A )

.在△ ABC 中，若 sinAsinB

等腰直角三角形

B. 2

C. n

6. （06全国U理10）

若

f (si nx) 3 cos2x ，则f (COS X)等

于

3 cos2x 3 2sin 2x C. 3 cos2x D. 3 2sin 2x （07浙江理12）已知sin cos

3

，贝U

cos2

4

的值是

题型五：弦切互化

【知识链

接】

能实现转化的公式有: tan如

cos

tan

1 cos2

si n2

sin 2

1 cos2

【巩固与应用】

1.求值：(ta n5o

1 、sin 20o

ta n5o) 1 cos20o.-2

2. 求值：sin 50°(1 -h tan10°)

3 .已矢卩tan(45°1 2，则

tan 2 a

cos2 a

tan 2 a

cos2 a

4 .求值：

丄4cos10o. tan 10

5.求证：

1 f

2 sin2x( tanx 2) 4cos x.

tanx 2

则tan

6 .若sin 0 cos 00

+

1

tan 0

-4

题型六：辅助角变换

【知识链

接】

1.辅助角公式: asinx b cosx a2b2sin(x ）.（其证明附后）

2 .推论: sin x cosx .2 sin(x );

4 .3sin x cosx 2sin(x ) ; sinx '空cosx

6

2sin(x );

3

cosx sin x • 2cos(xm—) ；.3cosx sinx

4

2cos(xm6)；cosx 3sinx2cos(xm3).