三角恒等变换的常用技
三角恒等变换技巧(生)
三角恒等变换技巧三角学中，有关求值、化简、证明以及解三角方程与解几何问题等，都经常涉及到运用三角变换的解题方法与技巧，而三角变换主要为三角恒等变换。
三角恒等变换在整个初等数学中涉及面广，是常用的解题工具，而且由于三角公式众多，方法灵活多变，若能熟练掌握三角恒等变换的技巧，不但能加深对三角公式的记忆与内在联系的理解，而且对发展数学逻辑思维能力，提高数学知识的综合运用能力都大有益处。
三角恒等变换是以三角基本关系式，诱导公式，和，差，倍角等公式为基础的，三角变换的常见策略有：（1）发现差异；（2）寻找联系；（3）合理转换。
概括起来就是：利用和，差，倍角等三角公式实行各种转化，从而达到问题解决的目的。
三角变换是运算化简的过程中运用较多的变换，提高三角变换能力，要学会创设条件，灵活运用三角公式，掌握运算，化简的方法和技能。
常用的数学思想方法技巧如下：一、变“名”三角变换的主要目的在于“消除差异，化异为同”，而题目中经常出现不同名的三角函数，这就需要变“名”，即化异名函数为同名函数。
变换的依据是同角三角的关系式和诱导公式，切化弦、弦化切等。
例： 已知311tan 1tan =+-θθ，求θθθθ22cos 2cos sin sin ++的值二、变“角”在三角化简、求值中，题目中的表达式中往往会出现较多的相异角，根据角与角之间的和差、倍角、互补、互余的关系，进行变“角”，即寻找已知条件与结论中角的差异，从而使问题获解.常见的变角方式有① α2是α的二倍；α4是α2的二倍；α是2α的二倍；2α是4α的二倍；α3是23α的二倍；3α是6α的二倍；απ22±是απ±4的二倍;②2304560304515oo o o o o =-=-=； ② ββαα-+=)(；2)()(βαβαα-++=;④)4(24αππαπ--=+； ⑤)4()4()()(2απαπβαβαα--+=-++=；等等 例：已知52)tan(=+βα，41)5tan(=-πβ，求)5tan(πα+的值三、逆变在进行三角变换时，顺用公式较多，但有时若能逆用两角和差的正弦、余弦、正切公式解题可以帮助我们快速开拓解题思路。
高中数学：三角恒等变换知识点
高中数学:三角恒等变换知识点1.两角和与差的正弦、余弦和正切公式:⑴()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+；⑵()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-； ⑶()sin sin cos cos sin αβαβαβ-=-；⑷()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+； ⑸()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ--=+ ⇒ （()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ-=-+）；⑹()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ++=- ⇒ （()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ+=+-）．2.二倍角的正弦、余弦和正切公式: 《1》sin22sin cos ααα=．222)cos (sin cos sin 2cos sin 2sin 1ααααααα±=±+=±⇒ ⑵2222cos2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-⇒升幂公式2sin 2cos 1,2cos 2cos 122αααα=-=+⇒降幂公式2cos 21cos 2αα+=，21cos 2sin 2αα-=． ⑶22tan tan 21tan ααα=-． 3.⇒（后两个不用判断符号，更加好用）4.合一变形⇒把两个三角函数的和或差化为“一个三角函数，一个角，一次方”的 B x A y ++=)sin(ϕϖ形式。
辅助角公式: ()sin cos αααϕA +B =+，其中tan ϕB =A． 5.三角变换是运算化简的过程中运用较多的变换，提高三角变换能力，要学会创设条件，灵活运用三角公式，掌握运算，化简的方法和技能．常用的数学思想方ααααααααα半角公式cos 1sin cos 1cos 12tan2cos 12sin ;2cos 12cos :-==+-±=-±=+±=2tan 12tan 1 cos ;2tan 12tan 2 sin :222αααααα万能公式+-=+=法技巧如下:（1）角的变换:在三角化简，求值，证明中，表达式中往往出现较多的相异角，可根据角与角之间的和差，倍半，互补，互余的关系，运用角的变换，沟通条件与结论中角的差异，使问题获解，对角的变形如: ①α2是α的二倍；α4是α2的二倍；α是2α的二倍；2α是4α的二倍； ②2304560304515o ooooo=-=-=；问:=12sin π；=12cosπ ；③ββαα-+=)(；④)4(24αππαπ--=+； ⑤)4()4()()(2απαπβαβαα--+=-++=；等等（2）函数名称变换:三角变形中，常常需要变函数名称为同名函数。
三角恒等变换的技巧(生)
巧用三角恒等变换三角学中，有关求值、化简、证明以及解三角方程与解几何问题等，都经常涉及到运用三角变换的解题方法与技巧，而三角变换主要为三角恒等变换。
三角恒等变换在整个初等数学中涉及面广，是常用的解题工具，而且由于三角公式众多，方法灵活多变，若能熟练掌握三角恒等变换的技巧，不但能加深对三角公式的记忆与内在联系的理解，而且对发展数学逻辑思维能力，提高数学知识的综合运用能力都大有益处。
三角恒等变换是以三角基本关系式，诱导公式，和，差，倍角等公式为基础的，三角变换的常见策略有：（1）发现差异；（2）寻找联系；（3）合理转换。
概括起来就是：利用和，差，倍角等三角公式实行各种转化，从而达到问题解决的目的。
三角变换是运算化简的过程中运用较多的变换，提高三角变换能力，要学会创设条件，灵活运用三角公式，掌握运算，化简的方法和技能。
常用的数学思想方法技巧如下：一、知角求值一般所给出的角都是非特殊角。
当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”；当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式。
例：已知R α∈，sin 2cos αα+=，则tan 2α=（ ） A ．43 B ．34 C ．34- D ．43- 变式：已知向量(2,sin )a θ=- 与(cos ,1)b θ= 互相垂直，其中(,)2πθπ∈。
（1）求sin θ和cos θ的值；（2）若sin()2πθϕϕπ-=<<，求cos ϕ的值。
二、逆用公式运用两角和与差的正弦、余弦公式常能将有些三角式化简，但深入观察三角式的结构特征，有时能巧妙地逆用公式，不仅丰富了解题技巧，而且回味无穷。
例：若11sin(),sin()23αβαβ+=-=，则tan tan αβ= 。
变式设θ为第二象限角，若1tan()42πθ+=，则sin cos θθ+= 。
三角恒等变换的常见技巧(生)
三角恒等变换的常见技巧一、核心技巧方法1、三角恒等变换中的“统一”思想：三角恒等变换的主要目的是异名化同名、异次化同次、异角化同角、异构化同构，即化异为同，也就是将待证式左右两边统一为一个形式，或将条件中的角、函数式表达为问题中的角或函数式，达到以已知表达未知的目的。
基本切入点是统一角，往往从统一角入手便能全面达到化异为同的目的。
2、统一思想的应用——引入辅助角：对x b x a y cos sin +=型函数式的性质的研究，我们常常引入辅助角ϕ。
即化ab x b a x b x a y =++=+=ϕϕtan ),sin(cos sin 22，然后将该式与基本三角函数x A sin y =进行比照研究。
“位置相同，地位平等”是处理原则。
3、统一思想的应用——拆、拼角，如()()()()22β-α+β+α=αβ-β+α=αβ+β+α=β+α，，等等；4、统一思想的应用——弦切互化，如利用万能公式，把正余弦化为正切等等；对关于正余弦函数的齐次式的处理也属于“弦化切”技巧；5、统一思想的应用——公式变、逆用，主要做法是将三角函数式或其一部分整理成公式的一部分，然后利用公式的这一部分与另一部分的等量关系代入6、代换思想的应用——关于正余弦对等式的处理，常以21t x cos x sin ,t x cos x sin 2-==+代入，把函数式化为关于t 的函数式进行研究；另外，三角代换也是处理函数最值、值域等问题的重要技巧。
二、考点解析与典型例题考点一 引入辅助角研究三角函数的性质例. 设f （x ）=asin x ω+bcos x ω（0,,>ωb a ）的周期为π且最大值f （12π）=4； 1）求ω、a 、b 的值；2）若α、β为f （x ）=0的两个根（α、β终边不共线）， 求tan （α+β）的值。
考点二 拆、拼角 例. 已知cos （91)2-=-βα，sin （2α－β）=32，且,20,2πβπαπ<<<<求.2cos βα+考点三 化弦为切例. 当π04x <<时，函数22c o s ()c o s s i n s i n x f x x x x=-的最小值是（ ）． （A ）4 （B ） （C ）2 （D ） 考点四 巧用公式例. 求︒︒+︒+︒28tan 17tan 28tan 17tan 的值。
常用三角恒等变换技巧(师)
常用三角恒等变换技巧解答三角函数问题，几乎都要通过恒等变换将复杂问题简单化，将隐性问题明朗化。
三角恒等变换的公式很多，主要有“同角三角函数的基本关系”、“诱导公式”、“和、差、倍、半角公式”、“辅助角公式（化一公式）”等，这些公式间一般都存在三种差异，如角的差异、函数名的差异和运算种类的差异，只有灵活有序地整合使用这些公式，消除差异、化异为同，才能得心应手地解决问题，这是三角问题的特点。
下面从九个方面解读三角恒等变换的常用技巧。
一、“角变换”技巧角变换的基本思想是，观察发现问题中出现的角之间的数量关系，把“未知角”分解成“已知角”的“和、差、倍、半角”，然后运用相应的公式求解。
例1 已知534cos =⎪⎭⎫ ⎝⎛+πx ，4743ππ<<x ，求x x x tan 1sin 22sin 2-+的值。
【分析】考虑到“已知角”是4π+x ，而“未知角”是x 和x 2，注意到44ππ-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=x x ，可直接运用相关公式求出x sin 和x cos 。
【简解】因为ππ4743<<x ，所以πππ24<+<x ， 又因为0534cos >=⎪⎭⎫ ⎝⎛+πx ，所以πππ2423<+<x ，544sin -=⎪⎭⎫ ⎝⎛+πx 10274sin 4cos 4cos 4sin 44sin sin -=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=ππππππx x x x ， 从而102cos -=x ，7tan =x . 原式=7528tan 1sin 2cos sin 22-=-+x x x x . 【反思】（1）若先计算出102cos -=x ，则在计算x sin 时，要注意符号的选取；（2）本题的另一种自然的思路是，从已知出发，用和角公式展开，结合“平方关系”通过解二元二次方程组求出x sin 和x cos . 但很繁琐，易出现计算错误；（3）本题也可由2422ππ-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=x x ，运用诱导公式和倍角公式求出x 2sin 。
进行三角恒等变换的三个技巧
解题宝典在解答三角函数问题时，经常需对三角函数式进行三角恒等变换，这就要求同学们熟练掌握一些进行三角恒等变换的技巧，以便能顺利化简三角函数式、求出三角函数式的值.那么怎样合理进行三角恒等变换呢？可以从以下三个方面进行.一、变换角当进行三角恒等变换时，首先要仔细观察已知角和所求角之间的差别，并建立两角之间的联系,如互余、互补、半角、倍角等，然后利用诱导公式、二倍角公式、两角的和差公式等求解.在进行角的变换时，还可将已知角、所求角与特殊角，如π6、π4、π3等建立联系，然后利用这些特殊角的函数值进行求解.例1.已知cos æèöøα+π4=35，π2≤α<3π2，求cos(2α+π4)的值.分析：先观察题目中的角可发现，已知角α+π4与所要求的角2α+π4之间相差一个α，可以找到一个关系：2æèöøα+π4−π4=2α+π4，用二倍角公式和诱导公式求出sin 2æèöøα+π4和cos 2æèöøα+π4的值，最后根据余弦的两角和公式cos ()α−β=cos α∙cos β+sin α∙sin β求出cos æèöø2α+π4的值.解：由于π2≤α<3π2，所以3π4≤α+π4<7π4，又因为cos æèöøα+π4=35>0，可知3π2≤α+π4<7π4，因此sin æèöøα+π4=−45，所以sin 2æèöøα+π4=2sin æèöøα+π4cos æèöøα+π4=−2425，cos 2æèöøα+π4=2cos 2æèöøα+π4−1=−725，因此cos æèöø2α+π4=cos éëêùûú2æèöøα+π4−π4=cos 2æèöøα+π4cos π4+sin 2æèöøα+π4sin π4=.二、变换函数名称有些三角函数式中的函数名称并不相同，此时，我们需变换函数的名称，如将正切、余切转化为正弦、余弦，将正弦化为余弦，将余弦化为正弦，等等，以达到统一函数名称的目的.在变换函数名称的过程中，常用到的公式有诱导公式sin ()2k π+α=sin α()k ∈Z 、cos ()2k π+α=cos α()k ∈Z 、tan ()2k π+α=tan α(k ∈Z)，重要关系式tan α=sin αcos α、sin 2α+cos 2α=1、辅助角公式a sin α+b cos α=a 2+b 2sin （α+φ）等.例2.化简2cos 2α−12tan æèöøπ4−αsin 2æèöøπ4+α.分析：这个式子中既含有正切函数也有正弦、余弦函数，我们第一步就是要想办法将正切函数转变为正弦函数.观察式子中角的特点，可发现æèöøπ4−α+æèöøπ4+α=π2，根据角的特征，可以利用诱导公式将函数式转化成函数名称一致的式子.解：原式=cos 2α2sin æèöøπ4−αcos æèöøπ4−αsin 2éëêùûúπ2−æèöøπ4−α=cos 2α2sin æèöøπ4−αcos æèöøπ4−α=cos 2αsin æèöøπ2−2α=1.三、变换幂的次数有些三角函数式中幂的次数不相同，此时，我们要对其作升幂或者降幂处理，以便使函数式中的次数相同.“升幂”可以通过二倍角公式cos 2α=cos 2α−sin 2α=2cos 2α−1=1−2sin 2α、tan 2α=2tan α1−tan 2α来实现，“降幂”可以通过二倍角公式sin 2α=2sin αcos α及变形式sin 2α=1−cos 2α2，cos 2α=1+cos 2α2.sin 2α=1−cos 2α2，cos 2α=1+cos 2α2来达到目的.例3.已知tan α=−13，求sin α−cos 2α1+cos 2α的值.分析：由于已知tan α=−13，目标式中含有正弦函数和余弦函数，且含有二次式，可以先利用二倍角公式把2α转变为α，使幂的次数统一，即将所求的式子转化为关于sin α、cos α的齐次式，然后依据tan α=sin αcos α，将目标式中的分子、分母同时除以cos 2α，得到只含有tan α的分式，将tan α=−13代入求解即可得到答案.解：原式=2sin αcos α−cos 2α2cos 2α=2sin α−cos α2cos α=tan α−12=−56.总而言之，在进行三角恒等变换时最重要的就是要做到“变异为同”，灵活使用各种三角函数公式，将角、函数名称、幂的次数不同的式子转化为角、函数名称、次数相同的式子.在解题的过程中，同学们要熟记各种三角函数公式，并灵活使用，根据角、函数名称、幂的特点合理进行变换，以实现“变异为同”.（作者单位：山东省聊城第一中学）41Copyright©博看网 . All Rights Reserved.。
三角函数变换的技巧
三角函数变换的技巧由于三角函数的变换是解决三角函数有关问题的重要工具,所以能熟练的掌握变换的一般方法和技巧是能有效地解决三角函数问题的标志.凡是与三角函数有关的化简、求值和证明等问题都以三角公式的恒等变形为解决手段,正确掌握三角公式,才能在解决问题时展开联想,合理选择,灵活运用.由于三角公式比较多,变换灵活多样,掌握三角变换的常用技巧非常重要,在解答此类问题时,要学会创设条件,灵活运用三角公式,考虑选择恰当的变换使复杂的问题简单化.本文阐述了常用的三角恒等变换的方法与技巧,即：公式的变换、常数的变换、引进参量的变换、“幂”的变换．下面就以具体例题说明三角恒等变换的技巧: 1﹑公式的变换三角公式作为恒等式,我们不仅要知道公式,还要熟悉变形后的公式和公式的逆用,这样才有利于问题的求解.例1证明.证由变形有,将其整理,得,令.点评:本题很巧妙的运用了的变形式,使问题简单化.例2求证.证左边右边.原式成立.点评:本题的解题关键就是将和角公式进行了逆用，使问题得以解决.2﹑常数的变换在三角函数式的化简﹑求值和证明中,经常会用到常数的代换,特别是常数“1”的代换,可为求解过程增加多种可用工具.例3已知,求的值.解.点评:本题解题的关键是将分子﹑分母中的1用“”进行常数代换.例4化简.解原式.点评:本题解题的关键就是很巧妙的将分子上的1用代替.通过对三角函数的简单分析探究，掌握了三角函数的几种变换技巧，学习了运用分类讨论的思想将三角函数分类并归纳出其变换的技巧.首先将三角函数的变换分为六大类，然后分别对其中的每一类举例应用，并加以点评，说明其解题的关键在哪里，并说明题中用到的三角函数中的重要公式和常用的解题方法，让问题更加清晰、明朗化，也让三角函数变换的技巧得以升华.应该指出的是，本文所提出的三角函数变换技巧只是平时比较常用的几种变换技巧，还有很多很奇妙变换技巧也是值得我们去发现和研究的.。
9种常用三角恒等变换技巧总结
9种常用三角恒等变换技巧总结三角函数是数学中一种重要的函数，它广泛应用于几何、物理、工程等领域。
而在解题过程中，常常需要通过三角恒等变换技巧来简化或转换问题，以便更容易求解或证明。
下面我们将总结一下常用的九种三角恒等变换技巧。
1.正弦和余弦平方和恒等式：sin^2(x) + cos^2(x) = 1这是最基本的三角恒等式，即正弦和余弦的平方和等于1、它在很多场合都会被应用到，例如求解三角方程、证明三角函数的性质等。
2.余弦的二倍角公式：cos(2x) = cos^2(x) - sin^2(x) = 2cos^2(x) - 1 = 1 - 2sin^2(x)这个公式可以将一个角的余弦值转化为另一个角的余弦值，同时也可以将余弦值转化为正弦值。
它在解决一些二次方程和证明一些三角恒等式的时候非常有用。
3.正弦的二倍角公式：sin(2x) = 2sin(x)cos(x)这个公式可以将一个角的正弦值转化为另一个角的正弦值，或者将正弦值转化为余弦值。
它在解决一些二次方程和证明一些三角恒等式的时候非常有用。
4.正切的和差公式：tan(x±y) = (tan(x)±tan(y))/(1∓tan(x)tan(y))这个公式可以将两个角的正切值的和或差转化为一个角的正切值，或者将一个角的正切值转化为两个角的正切值之和或差。
它在解决一些三角方程和证明一些三角恒等式的时候非常有用。
5.两角和差公式：sin(x±y) = sin(x)cos(y)±cos(x)sin(y)cos(x±y) = cos(x)cos(y)∓sin(x)sin(y)这些公式可以将两个角的正弦值或余弦值的和或差转化为一个角的正弦值或余弦值，或者将一个角的正弦值或余弦值转化为两个角的正弦值或余弦值之和或差。
它们在解决一些三角方程和证明一些三角恒等式的时候非常有用。
6.正切的和公式：tan(x+y) = (tan(x)+tan(y))/(1-tan(x)tan(y))这个公式可以将两个角的正切值的和转化为一个角的正切值，或者将一个角的正切值转化为两个角的正切值之和。
三角恒等变换的常用技巧
三角恒等变换的常用技巧1.三角函数的互余关系三角函数的互余关系是指正弦函数与余弦函数之间、正切函数与余切函数之间存在一种关系，即sin(x) = cos(π/2 - x)，cos(x) =sin(π/2 - x)，tan(x) = cot(π/2 - x)，cot(x) = tan(π/2 - x)。
利用这个关系，可以将一个三角函数用另一个三角函数表示，从而简化计算。
2.三角函数的辅助角公式三角函数的辅助角公式是指通过引入辅助角，使得原函数形式得到简化或变形的运算方法。
常见的辅助角公式包括:sin(2x) = 2sin(x)cos(x)cos(2x) = cos^2(x) - sin^2(x) = 2cos^2(x) - 1 = 1 - 2sin^2(x) tan(2x) = (2tan(x))/(1 - tan^2(x))利用辅助角公式，可以将一个三角函数表达式化简为另一个形式，从而方便计算。
3.和差角公式和差角公式是指将两个角的三角函数的和或差，表示为一个三角函数乘积的展开公式。
常见的和差角公式包括:sin(x ± y) = sin(x)cos(y) ± cos(x)sin(y)cos(x ± y) = cos(x)cos(y) ∓ sin(x)sin(y)tan(x ± y) = (tan(x) ± tan(y))/(1 ∓ tan(x)tan(y))通过和差角公式，可以将一个复杂的三角函数表达式展开为两个简单的三角函数表达式的和或差，方便进一步计算。
4.二倍角公式二倍角公式是指将一个角的三角函数的平方形式化简为另一个角的三角函数表达式的公式。
常见的二倍角公式包括:sin^2(x) = (1 - cos(2x))/2cos^2(x) = (1 + cos(2x))/2tan^2(x) = (1 - cos(2x))/(1 + cos(2x))通过二倍角公式，可以将一个角的三角函数平方形式化简为另一个角的三角函数的表达式，使得计算更加简化。
9种常用三角恒等变换技巧总结
9种常用三角恒等变换技巧总结三角恒等变换是数学中常用的一种技巧，在解决三角函数相关问题时非常有用。
下面总结了九种常见的三角恒等变换技巧。
1.倍角公式：sin2θ = 2sinθcosθcos2θ = cos²θ - sin²θtan2θ = 2tanθ / (1 - tan²θ)这些公式可以用于将一个三角函数中的角度变为它的倍角，从而简化计算。
2.半角公式：sin(θ/2) = ±√((1 - cosθ) / 2)cos(θ/2) = ±√((1 + cosθ) / 2)tan(θ/2) = ±√((1 - cosθ) / (1 + cosθ))这些公式可以用于将一个三角函数中的角度变为它的半角，从而简化计算。
3.和差公式：sin(A ± B) = sinAcosB ± cosAsinBcos(A ± B) = cosAcosB ∓ sinAsinBtan(A ± B) = (tanA ± tanB) / (1 ∓ tanAtanB)这些公式可以用于将两个角度的三角函数变成一个角度的三角函数，从而简化计算。
4.和差化积公式：sinA + sinB = 2sin((A+B)/2)cos((A-B)/2)sinA - sinB = 2cos((A+B)/2)sin((A-B)/2)cosA + cosB = 2cos((A+B)/2)cos((A-B)/2)cosA - cosB = -2sin((A+B)/2)sin((A-B)/2)这些公式可以用于将和或差的三角函数转化为乘积的三角函数，从而简化计算。
5.积化和差公式：sinAcosB = 1/2(sin(A+B) + sin(A-B))cosAsinB = 1/2(sin(A+B) - sin(A-B))cosAcosB = 1/2(cos(A+B) + cos(A-B))sinAsinB = -1/2(cos(A+B) - cos(A-B))这些公式可以用于将乘积的三角函数转化为和或差的三角函数，从而简化计算。
三角恒等变换必会必考2
三角恒等变换必会必考例1、 计算：37tan 23tan 337tan 23tan ++【变式】15tan 315tan 1++例2、58cos 77sin 148cos 347sin +【变式】︒︒︒︒+70sin 160cos 110cos 20sin技巧一：和差公式的变形使用：先形，再名角。
【变式】：（2）已知πβπα<<<<20，()53sin ,54sin -=+=βαα，求βsin 的值。
例4. )4cos()4sin(3παπα+-+技巧二：凑角解决此类问题的关键在于寻找条件和结论中的角的关系，分析角与角之间的互余、互补关系，合理拆、凑，把未知角用已知角表示。
技巧三：辅助角公式x b x a cos sin +)sin(22ϕ++=x b a其中22cos b a a +=ϕ22sin ba b+=ϕab=ϕtan【变式】：（1）x x 2cos 2sin + （2）)6sin(23)6cos(23ππ-+-x x例5.已知m x x =++cos 3sin 41,求m 的取值范围【变式】： （1） 求xx y cos sin 21++=的最值（2） b x a y -=cos 的最大值为7，最小值为-1，求a 和b 的值。
例6、求函数()x x x x f cos sin 32cos 22-=的最值。
【变式】： 求函数()2cos 34cos 4sin 2xx x x f +=，求函数的最小正周期、单调区间。
若⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈34,3ππx ，()x f 的值域还会求吗？ 技巧四：三角函数的有界性应用技巧五：降幂公式x x x 2sin 21cos sin =22cos 1sin 2xx -=22cos 1cos 2xx +=。
三角恒等式证明9种基本技巧
三角恒等式证明9种根本技巧三角恒等式的证明是三角函数中一类重要问题，这类问题主要以无条件和有条件恒等式出现。
根据恒等式的特点，可采用各种不同的方法技巧，技巧常从以下各个方面表示出来。
1．化角观察条件及目标式中角度间联系，立足于消除角间存在的差异，或改变角的表达形式以便更好地沟通条件与结论使之统一，或有利于公式的运用，化角是证明三角恒等式时一种常用技巧。
例1求证：tan23x - tan 21x =xx x 2cos cos sin 2+ 思路分析：此题的关键是角度关系：x=23x -21x ，可作以下证明：2．化函数三角函数中有几组重要公式，它们不仅提醒了角间的关系，同时提醒了函数间的相互关系，三角变换中，以观察函数名称的差异为主观点，以化异为为同〔如化切为弦等〕的思路，恰中选用公式，这也是证明三角恒等式的一种根本技巧。
例2 设A B A tan )tan(-+AC22sin sin =1，求证：tanA 、tanC 、tanB 顺次成等比数列。
思路分析：欲证tan 2C = tanA ·tanB ，将条件中的弦化切是关键。
3．化幂应用升、降幂公式作幂的转化，以便更好地选用公式对面临的问题实行变换，这也是三角恒等式证明的一种技巧。
例3求证 cos4α-4cos2α+3=8sin 4α 思路分析：应用降幂公式，从右证到左：4．化常数将或目标中的常数化为特殊角的函数值以适应求征需要，这方面的例子效多。
如1=sin 2α+cos 2α=sec 2α-tan 2α=csc 2α-cot 2α=tan αcot α=sin αcsc α=cos αsec α，1=tan450=sin900=cos00等等。
如何对常数实行变换，这需要对具体问题作具体分析。
例4 求证αααα22sin cos cos sin 21--=ααtan 1tan 1+-思路分析：将左式分子中“1〞用“sin 2α+cos 2α〞代替，问题便迎刃而解。
方法技巧专题19 三角恒等变换(解析版)
(2)化简：tan 23°＋tan 37°＋ 3tan 23°tan 37°.
【解析】
方法一 tan 23°＋tan 37°＋ 3tan 23°tan 37°
＝tan(23°＋37°)(1－tan 23°tan 37°)＋ 3tan 23°tan 37°
＝tan 60°(1－tan 23°tan 37°)＋ 3tan 23°tan 37°＝ 3.
【解析】原式＝cos π＝ 3. 62
(2)计算：1－tan275°； tan 75°
【解析】 1－tan275°＝2·1－tan275°＝2· 1 ＝－2 3.[来源:学科网ZXXK]
tan 75°
2tan 75° tan 150°
(3)计算：cos 20°cos 40°cos 80°.
【解析】原式＝ 1 ·2sin 20°cos 20°cos 40°cos 80°＝ 1 ·sin 40°·cos 40°cos 80°
A.π
B.2π
C.π
D.π
3
3
6
4
【解析】A
∵tan A＋tan B＋ 3＝ 3tan Atan B⇔tan(A＋B)·(1－tan Atan B)＝ 3(tan Atan B－1)．(*)
若 1－tan Atan B＝0，
则 cos Acos B－s in Asin B＝0，即 cos(A＋B)＝0.
方法二 ∵tan(23°＋37°)＝ tan 23°＋tan 37° ， 1－tan 23°tan 37°
∴ 3＝ tan 23°＋tan 37° ， 1－tan 23°tan 37°
∴ 3－ 3tan 23°tan 37°＝tan 23°＋tan 37°，
∴tan 23°＋tan 37°＋ 3tan 23°tan 37°＝ 3.
三角恒等变换解题秘籍(一)
二、基本招数 、基本招数 3．正切和差角公式的知二求 3 正切和差角公式的知二求一
二、基本招数 、基本招数 4．弦切互化 4 弦切互化
三个基本因子: 三个基本因子 tanα± tanβ tan(α±β) tanαtanβ β
【例3】(1＋tan55 )(1 tan10 ) 【例3】(1＋tan55°)(1－tan10°)
【例4】cosα＝-4/5，且α是第三象限角，求 α 1＋公式怎么记？——广播体操法 公式怎么记？ 广播体操法 已知表未知？——四大招数 知表未知 大 数 基本题型有哪些？ 如何选择正确招数 如何选择正确招数？
—— 请听下回分解
2
三角恒等变换解题秘籍（ ） 三角恒等变换解题秘籍（一）
提纲(两次课) ( ) 1．记忆技巧 1 记忆技巧 2．常用招数(×4) 2 常用招数(×4) 3．基本题型及招数的使用(×3) 3 基本题型及招数的使用(×3)
一、记忆技巧 记忆技 要点： 1．一切从cos(α＋β)开始； 2．记住关键推导步骤； 2 记住关键推导步骤
我们的目标是：
用已知表示未知
二、基本招数 、基本招数 1． 1 运算方式表示未知角
二、基本招数 、基本招数 2． 2 正余弦和差角公式的平方关系
已知角的和、差、二倍、半倍、诱导公式 已知角的和 差 二倍 半倍 诱导公式
【例1】 sin133°cos13°＋cos47°cos77° 例
sinα＋sinβ＝sinγ，cosα＋cosβ＝cosγ，则 β γ β γ 则 【例 】 【例2】 cos(α－γ)＝__________
三角恒等变换的几种常见技巧
三角恒等变换的几种常见技巧三角恒等变换是三角函数部分的重点内容.《考试说明》明确指出对三角公式和三角恒等变换的考查通常与三角函数的图像与性质相结合，或直接化简求值.化简求值的问题，不仅考查学生对相关公式掌握的熟练程度，更重要的是以三角公式（倍、半、和差、诱导等）为素材，重点考查相关的数学思想和方法，比如函数与方程思想，化归与转化思想，等等.所以同学们熟练掌握三角恒等变换的一般方法和技巧是解决三角函数问题的关键.本文归纳了几种三角恒等变换的常用技巧，仅供参考.虽然三角变换的技巧多且灵活，但是万变不离其宗，多是通过观察角、名、形、幂之间的差异，进行差异分析，实现异角化同角、异名化同名、高次化底次、弦切互化等的变异求同.1.变“角”例1.设α∈（0，），β∈（，），cos（α-）=，sin（β+）=-，求sin（α+β）的值.【分析】条件角是α-，β+，目标角是α+β，运用转化与化归思想得到α+β=（α-）+（β+）-.【解答】由α∈（0，）得到α-∈（-，0），所以sin（α-）=-=-.由β∈（，）得到β+∈（π，），所以cos（β+）=-=-.所以sin（α+β）=sin[（α-）+（β+）-]=-cos[（α-）+（β+）]=.【评析】本题可以直接利用和角、差角公式展开cos（α-）=，sin（β+）=-得到sinα，sinβ，cosα，cosβ.这也是一种思路，但是计算量太大.本题的解法通过配角化异求同，沟通已知角与未知角的关系，大大提高了解题效率.但是解题中要注意角的范围，α-∈（-，0），β+∈（π，）是不可缺少的，忽视角的范围限制，容易产生运算错误.常用的角度变换有：α=（α+β）-β=（α-β）+β，2α=（α+β）+（α-β），（+α）+（-α）=，等等.2.变“名”例2.已知函数f（x）=tan（2x+），（ⅰ）求f（x）的定义域与最小正周期；（ii）设α∈（0，），若f（）=2cos2α，求α的大小.【分析】解决三角函数问题要三看，即看角、看名、看式.由f （）=2cos2α得到tan（α+）=2cos2α，这里有复角α+，倍角2α，单角α，首先得消除角的差异，即α+，2α→α；其次函数化切化弦.【解答】（i）易解得定义域为{x|x≠+，k∈z}，最小正周期t=.（ii）解：由f（）=2cos2α得到tan（α+）=2cos2α，即=2（cosα-sinα），即=2（cosα+sinα）（cosα-sinα）.因为α∈（0，），所以sinα+cosα≠0，所以（cosα-sinα）=，即sin2α=.由α∈（0，），得2α∈（0，），所以2α=，α=.【评析】弦切互化是化函数异名为同名的最常用方法.忽视角的范围限制是产生错误的重要原因.3.变“式”例3.求值：tan17°+tan43°+tan17°tan43°.【分析】非特殊角→特殊角，利用公式变形整体求解.【解答】tan60°=tan（17°+43°）==，所以tan17°+tan43°=（1-tan17°tan43°），所以tan17°+tan43°+tan17°tan43°=.【评析】在进行三角变换时，顺用公式的情况比较普遍，但如果能根据题目的结构，联想到公式的变形、逆用，那么就会“柳暗花明又一村”.本题的巧妙之处在于将两角和的正切公式变形为tan α+tanβ=tan（α+β）（1-tanαtanβ）.4.变“次”例4.函数f（x）=sin（2x-）-2sinx的最小正周期是？摇？摇？摇？摇.【分析】已知条件中存在次数的差异，应先运用降次、升幂公式消除次数差异.【解答】f（x）=sin（2x-）-2=sin2x-cos2x-+cos2x=sin2x+cos2x-=sin（2x+）-，所以最小正周期是π.【评析】通过降次、升幂等手段，为使用公式创造条件，也是三角变换的一种重要策略.常见的降次公式有sinx=，cosx=；升幂公式有：sin2α=2sinαcosα，cos2α=cosα-sinα=2cosα-1=1-2sinα.5.“1”的妙用例5.已知a，β均为锐角，且tanβ=，则tan（α+β）=？摇？摇？摇？摇.【分析】已知条件是sinα，cosα的齐一次式，联想到化弦为切，转化为tanα，tanβ的关系.【解答】tanβ===tan（-α）.又因为α，β均为锐角，所以β=-α，即α+β=，所以tan（α+β）=1.【评析】在三角变换中，“1”的妙用使问题迎刃而解.常见的有1=sinα+cosα，1=tan.6.整体处理例6.已知sinθ+cosθ=，且θ∈[，]，则cos2θ的值是？摇？摇？摇？摇.【分析】看到sinθ+cosθ=比较容易想到sinθ+cosθ=sin（θ+）=，那么2θ=2（θ+）-，这是一种思路.当然还可以从化同角的角度把单角变倍角，则只需平方即（sinθ+cosθ）=sinθ+2sinθcosθ+cosθ=1+2sinθcosθ=1+sin2θ；或者把倍角转化为单角，则cos2θ=cosθ-sinθ=（cosθ+sinθ）（cosθ-sinθ），只要能求出cosθ-sinθ，这个问题就解决了.【解答】法一：sinθ+cosθ=两边平方得（sinθ+cosθ）=sin θ+2sinθcosθ+cosθ=1+2sinθcosθ=1+sin2θ=，即sin2θ=-.又因为θ∈[，]，所以2θ∈[π，]，所以cos2θ=-=-.法二：sinθ+cosθ=两边平方得（sinθ+cosθ）=sinθ+2sin θcosθ+cosθ=1+2sinθcosθ=，即2sinθcosθ=-，又（cosθ-sinθ）=cosθ-2sinθcosθ+sinθ=1-2sinθcosθ=，又θ∈[，]，所以cosθ-sinθ<0，即cosθ-sinθ=-.所以cos2θ=cosθ-sin θ=（cosθ+sinθ）（cosθ-sinθ）=·（-）=-.【评析】题目虽短，却是三角函数中的一个非常典型的问题，它体现了三角函数解题的一些基本规律和基本方法，比如角的变换、函数名的变换、整体处理等.特别要熟悉sinθ+cosθ，sin θ·cosθ，sinθ-cosθ这三者之间的联系，即知一求二.总之，在三角恒等变换中要注意：（1）发现差异：观察角、函数、结构之间的差异，进行“差异分析”；（2）寻找联系：运用相关的公式，找出差异之间的内在联系；（3）合理转化：选择适当的公式，进行差异的转化.从而实现“名”、“角”、“形”的统一，同时要注意角的取值范围对转化的影响.。
三角恒等变换一般解题步骤
三角恒等变换是一种在解决三角函数问题时常用的方法，如求值问题、求角问题、参数问题等，一般都需要先进行三角恒等变换。
其主要目标是简化式子、方便计算或变形/变换。
一般的解题步骤如下：
1. 公式选择：根据题目中的条件和要求，选择合适的公式，如和角公式、差角公式、倍角公式、降幂公式、辅助角公式、万能公式、积化和差公式、和差化积公式等。
2. 拆角技巧：对复杂的式子进行适当的拆分，以便更好地应用所选的公式。
3. 常数代换：用某些三角函数值代替某些常数，使之代换后能运用相关的公式。
4. 利用“整体配对”思想，构造对偶式来解题。
5. 注意角度的取值范围：在进行恒等变换的过程中要注意式子中角度的取值范围。
必修四第三章 三角恒等变换解题技巧
必修四第三章 三角恒等变换解题技巧1 三角恒等变换中角的变换的技巧三角函数是以角为自变量的函数，因此三角恒等变换离不开角之间的变换.观察条件及目标式中角度间联系，立足消除角之间存在的差异，或改变角的表达形式以便更好地沟通条件与结论使之统一，或有利于公式的运用，化角是三角恒等变换的一种常用技巧. 一、利用条件中的角表示目标中的角例1 已知cos ⎝⎛⎭⎫π6＋α＝33，求cos ⎝⎛⎭⎫5π6－α的值. 分析 将π6＋α看作一个整体，观察π6＋α与5π6－α的关系.解 ∵⎝⎛⎭⎫π6＋α＋⎝⎛⎭⎫5π6－α＝π， ∴5π6－α＝π－⎝⎛⎭⎫π6＋α. ∴cos ⎝⎛⎭⎫5π6－α＝cos ⎣⎡⎦⎤π－⎝⎛⎭⎫π6＋α ＝－cos ⎝⎛⎭⎫π6＋α＝－33， 即cos ⎝⎛⎭⎫5π6－α＝－33. 二、利用目标中的角表示条件中的角例2 设α为第四象限的角，若sin 3αsin α＝135，则tan 2α＝_______________________.分析 要求tan 2α的值，注意到sin 3α＝sin(2α＋α)＝sin 2αcos α＋cos 2αsin α，代入到sin 3αsin α＝135，首先求出cos 2α的值后，再由同角三角函数之间的关系求出tan 2α. 解析 由sin 3αsin α＝sin (2α＋α)sin α＝sin 2αcos α＋cos 2αsin αsin α＝2cos 2α＋cos 2α＝135.∵2cos 2α＋cos 2α＝1＋2cos 2α＝135.∴cos 2α＝45.∵α为第四象限的角， ∴2k π＋3π2<α<2k π＋2π(k ∈Z )，∴4k π＋3π<2α<4k π＋4π(k ∈Z )，∴2α可能在第三、四象限，又∵cos 2α＝45，∴2α在第四象限， ∴sin 2α＝－35，tan 2α＝－34.答案 －34三、注意发现互余角、互补角，利用诱导公式转化角 例3 已知sin ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝513，0<x <π4，求cos 2x cos ⎝⎛⎭⎫π4＋x 的值. 分析 转化为已知角⎝⎛⎭⎫π4－x 的三角函数值，求这个角的其余三角函数值.这样可以将所求式子化简，使其出现⎝⎛⎭⎫π4－x 这个角的三角函数. 解 原式＝sin ⎝⎛⎭⎫π2＋2x cos ⎝⎛⎭⎫π4＋x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4＋x ·cos ⎝⎛⎭⎫π4＋x cos ⎝⎛⎭⎫π4＋x＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4＋x ＝2cos ⎝⎛⎭⎫π4－x ， ∵sin ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝513，且0<x <π4， ∴π4－x ∈⎝⎛⎭⎫0，π4. ∴cos ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝1－sin 2⎝⎛⎭⎫π4－x ＝1213，∴原式＝2×1213＝2413.四、观察式子结构特征，灵活凑出特殊角例4 求函数f (x )＝1－32sin(x －20°)－cos(x ＋40°)的最大值.分析 观察角(x ＋40°)－(x －20°)＝60°，可以把x ＋40°看成(x －20°)＋60°后运用公式展开，再合并化简函数f (x ).解 f (x )＝1－32sin(x －20°)－cos [(x －20°)＋60°]＝12sin(x －20°)－32sin(x －20°)－cos(x －20°)cos 60°＋sin(x －20°)sin 60° ＝12[sin(x －20°)－cos(x －20°)]＝22sin(x －65°)， 当x －65°＝k ·360°＋90°，即x ＝k ·360°＋155°(k ∈Z )时，f (x )有最大值22.2 三角函数化简求值的“主角”三角函数化简求值是学习三角的一个重要内容，而“变角”是化简的重要形式，是化简求值这场大戏中的主角，它的表演套路主要有以下几招： 第一招 单角化复角例1 已知sin α＝12，α是第二象限的角，且tan(α＋β)＝－3，则tan β的值为________.解析 因为sin α＝12，α为第二象限的角，所以cos α＝－32，所以tan α＝－33. 所以tan β＝tan [(α＋β)－α]＝－3－(－33)1＋(－3)×(－33)＝－2332＝－33.答案 －33点评 将单角用已知复角表示时，需要将复角进行适当的组合、拆分，常见的拆分组合形式如：α＝(α＋β)－β、α＝β－(β－α)，α＝(2α－β)－(α－β)，α＝12[(α＋β)＋(α－β)]，α＝12[(β＋α)－(β－α)]等. 第二招 复角化单角例2 化简：sin (2α＋β)sin α－2cos(α＋β).解 原式＝sin (2α＋β)－2cos (α＋β)sin αsin α＝sin[α＋(α＋β)]－2cos (α＋β)sin αsin α＝sin (α＋β)cos α－cos (α＋β)sin αsin α＝sin (α＋β－α)sin α＝sin βsin α.点评 由于该式含有2α＋β和α＋β，这两个角都是复角，而化简的要求为最终结果皆为单角，所以化简的思路就是利用两角和的正弦或余弦公式展开即可. 第三招 复角化复角例3 已知π4<α<34π，0<β<π4，cos(π4＋α)＝－35，sin(34π＋β)＝513，求sin(α＋β)的值.解 因为π4<α<34π，π2<π4＋α<π，所以sin(π4＋α)＝1－cos 2(π4＋α)＝45.又因为0<β<π4，34π<34π＋β<π，所以cos(34π＋β)＝ －1－sin 2(34π＋β)＝－1213，所以sin(α＋β)＝－sin(π＋α＋β) ＝－sin[(π4＋α)＋(34π＋β)]＝－[sin(π4＋α)cos(34π＋β)＋cos(π4＋α)sin(34π＋β)]＝－[45×(－1213)＋(－35)×513]＝6365.点评 由已知条件求出sin α或cos α过程较烦琐，故需要找到α＋β与π4＋α和34π＋β的关系，即是将所求复角化为已知复角，再结合题目中等式关系和角的范围限制具体求解.3 三角恒等变换的几个技巧三角题是高考的热点，素以“小而活”著称.除了掌握基础知识之外，还要注意灵活运用几个常用的技巧.下面通过例题进行解析，希望对同学们有所帮助. 一、灵活降幂 例13－sin 70°2－cos 210°＝________.解析3－sin 70°2－cos 210°＝3－sin 70°2－1＋cos 20°2＝3－cos 20°3－cos 20°2＝2. 答案 2点评 常用的降幂技巧还有：因式分解降幂、用平方关系sin 2θ＋cos 2θ＝1进行降幂：如cos 4θ＋sin 4θ＝(cos 2θ＋sin 2θ)2－2cos 2θsin 2θ＝1－12sin 22θ，等等.二、化平方式 例2 化简求值： 12－1212＋12cos 2α(α∈(3π2，2π)). 解 因为α∈(3π2，2π)，所以α2∈(3π4，π)，所以cos α>0，sin α2>0，故原式＝ 12－121＋cos 2α2＝12－12cos α＝ sin 2α2＝sin α2.点评 一般地，在化简求值时，遇到1＋cos 2α、1－cos 2α、1＋sin 2α、1－sin 2α常常化为平方式：2cos 2α、2sin 2α、(sin α＋cos α)2、(sin α－cos α)2. 三、灵活变角例3 已知sin(π6－α)＝13，则cos(2π3＋2α)＝________.解析 cos(2π3＋2α)＝2cos 2(π3＋α)－1＝2sin 2(π6－α)－1＝2×(13)2－1＝－79.答案 －79点评 正确快速求解本题的关键是灵活运用已知角“π6－α”表示待求角“2π3＋2α”，善于发现：前者和后者的一半互余. 四、构造齐次弦式比，由切求弦例4 已知tan θ＝－12，则cos 2θ1＋sin 2θ的值是________.解析 cos 2θ1＋sin 2θ＝cos 2θ－sin 2θcos 2θ＋sin 2θ＋2sin θcos θ＝1－tan 2θ1＋tan 2θ＋2tan θ＝1－141＋14＋2×(－12)＝3414＝3.答案 3点评 解本题的关键是先由二倍角公式和平方关系把“cos 2θ1＋sin 2θ”化为关于sin θ和cos θ的二次齐次弦式比. 五、分子、分母同乘以2n sin α求cos αcos 2αcos 4αcos 8α…cos 2n －1α的值例5 求值：sin 10°sin 30°sin 50°sin 70°. 解 原式＝12cos 20°cos 40°cos 80°＝4sin 20°cos 20°cos 40°cos 80°8sin 20°＝2sin 40°cos 40°cos 80°8sin 20°＝sin 80°cos 80°8sin 20°＝116·sin 160°sin 20°＝116.点评 这类问题的解决方法是分子、分母同乘以最小角的正弦的倍数即可.4 聚焦三角函数最值的求解策略一、化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B 的形式求解例1 求函数f (x )＝sin 4x ＋cos 4x ＋sin 2x cos 2x 2－sin 2x 的最值.解 原函数变形得：f (x )＝(sin 2x ＋cos 2x )2－sin 2x cos 2x2－sin 2x＝1－14sin 22x 2－sin 2x ＝⎝⎛⎭⎫1＋12sin 2x ⎝⎛⎭⎫1－12sin 2x 2⎝⎛⎭⎫1－12sin 2x＝14sin 2x ＋12.∴f (x )max ＝34，f (x )min ＝14. 例2 求函数y ＝sin 2x ＋2sin x cos x ＋3cos 2x 的最小值，并写出y 取最小值时x 的集合. 解 原函数化简得：y ＝sin 2x ＋cos 2x ＋2 ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋2.当2x ＋π4＝2k π＋32π，k ∈Z ，即x ＝k π＋58π，k ∈Z 时，y min ＝2－ 2.此时x 的集合为{x |x ＝k π＋58π，k ∈Z }.点评 形如y ＝a sin 2ωx ＋b sin ωx cos ωx ＋c cos 2ωx ＋d (a ，b ，c ，d 为常数)的式子，都能转化成y ＝A sin(2ωx ＋φ)＋B 的形式求最值. 二、利用正、余弦函数的有界性求解 例3 求函数y ＝2sin x ＋12sin x －1的值域.解 原函数整理得：sin x ＝y ＋12(y －1).∵|sin x |≤1，∴⎪⎪⎪⎪⎪⎪y ＋12(y －1)≤1，解出y ≤13或y ≥3.例4 求函数y ＝sin x ＋3cos x －4的值域.解 原函数整理得：sin x －y cos x ＝－4y －3， ∴y 2＋1sin(x ＋φ)＝－4y －3，∴sin(x ＋φ)＝－4y －31＋y2.∵|sin(x ＋φ)|≤1，解不等式⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪－4y －31＋y 2≤1得： －12－2615≤y ≤－12＋2615. 点评 对于形如y ＝a sin x ＋b c sin x ＋d 或y ＝a sin x ＋b c cos x ＋d 的这类函数，均可利用三角函数中弦函数的有界性去求最值.三、转化为一元二次函数在某确定区间上求最值例5 设关于x 的函数y ＝cos 2x －2a cos x －2a 的最小值为f (a )，写出f (a )的表达式. 解 y ＝cos 2x －2a cos x －2a ＝2cos 2x －2a cos x －(2a ＋1)＝2⎝⎛⎭⎫cos x －a 22－⎝⎛⎭⎫a22＋2a ＋1. 当a2<－1，即a <－2时，f (a )＝y min ＝1， 此时cos x ＝－1.当－1≤a 2≤1，即－2≤a ≤2时，f (a )＝y min ＝－a 22－2a －1，此时cos x ＝a2.当a2>1，即a >2时，f (a )＝y min ＝1－4a ，此时cos x ＝1. 综上所述，f (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧1(a <－2)，－12a 2－2a －1(－2≤a ≤2)，1－4a (a >2).点评 形如y ＝a sin 2x ＋b sin x ＋c 的三角函数可转化为二次函数y ＝at 2＋bt ＋c 在区间[－1,1]上的最值问题解决.例6 试求函数y ＝sin x ＋cos x ＋2sin x cos x ＋2的最值.解 设sin x ＋cos x ＝t ，t ∈[－2，2 ]，则2sin x cos x ＝t 2－1，原函数变为y ＝t 2＋t ＋1，t ∈[－2， 2 ]，当t ＝－12时，y min ＝34；当t ＝2时，y max ＝3＋ 2.点评 一般地，既含sin x ＋cos x (或sin x －cos x )又含sin x cos x 的三角函数采用换元法可以转化为t 的二次函数解最值.注意以下结论的运用，设sin x ＋cos x ＝t ，则sin x cos x ＝12(t 2－1)；sin x －cos x ＝t ，则sin x cos x ＝12(1－t 2).四、利用函数的单调性求解例7 求函数y ＝(1＋sin x )(3＋sin x )2＋sin x 的最值.解 y ＝sin 2x ＋4sin x ＋3sin x ＋2＝(sin x ＋2)2－1sin x ＋2＝(sin x ＋2)－1(sin x ＋2)，令t ＝sin x ＋2，则t ∈[1,3]，y ＝t －1t.利用函数单调性的定义易证函数y ＝t －1t 在[1,3]上为增函数.故当t ＝1即sin x ＝－1时，y min ＝0； 当t ＝3即sin x ＝1时，y max ＝83.例8 在Rt △ABC 内有一内接正方形，它的一条边在斜边BC 上，设AB ＝a ，∠ABC ＝θ，△ABC 的面积为P ，正方形面积为Q .求PQ的最小值.解 AC ＝a tan θ，P ＝12AB ·AC ＝12a 2tan θ.设正方形边长为x ，AG ＝x cos θ，BC ＝acos θ.BC 边上的高h ＝a sin θ，∵AG AB ＝h －x h ，即x cos θa ＝a sin θ－xa sin θ， ∴x ＝a sin θ1＋sin θcos θ，∴Q ＝x 2＝a 2sin 2θ(1＋sin θcos θ)2.从而P Q ＝sin θ2cos θ·(1＋sin θcos θ)2sin 2θ＝(2＋sin 2θ)24sin 2θ＝1＋⎝⎛⎭⎫sin 2θ4＋1sin 2θ. 易知函数y ＝1t ＋t4在区间(0,1]上单调递减，从而，当sin 2θ＝1时，⎝⎛⎭⎫P Q min＝94. 点评 一些复杂的三角函数最值问题，通过适当换元转化为简单的代数函数后，可利用函数单调性巧妙解决.5 行百里者半九十——《三角恒等变换》一章易错问题盘点一、求角时选择三角函数类型不当而致错 例1 已知sin α＝55，sin β＝1010，α和β都是锐角，求α＋β的值. [错解] 因为α和β都是锐角，且sin α＝55，sin β＝1010，所以cos α＝255，cos β＝31010， sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝55×31010＋255×1010＝22.因为α，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，则α＋β∈(0，π). 所以α＋β＝π4或3π4.[剖析] 由sin α＝55，sin β＝1010，α和β都是锐角，可以知道α和β都是定值，因此α＋β也是定值，因此上述解法出现两个答案，其中就有一个是错误的.这是因为sin(α＋β)在第一、第二象限没有区分度，应选择计算cos(α＋β)的值. [正解] 因为α和β都是锐角，且sin α＝55，sin β＝1010，所以cos α＝255，cos β＝31010，cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝255×31010－55×1010＝22.因为α，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，则α＋β∈(0，π)， 所以α＋β＝π4.温馨点评 根据条件求角，主要有两步：(1)求角的某种三角函数值；(2)确定角的范围，从而确定所求角的值.完成第一步一般要选择相对角的范围区分度比较大的三角函数，且确定范围要尽量缩小.二、忽视条件中隐含的角的范围而致错例2 已知tan 2α＋6tan α＋7＝0，tan 2β＋6tan β＋7＝0，α、β∈(0，π)，且α≠β，求α＋β的值.[错解] 由题意知tan α、tan β是方程x 2＋6x ＋7＝0的两根，由根与系数的关系得：⎩⎪⎨⎪⎧tan α＋tan β＝－6 ①tan αtan β＝7 ②∴tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝－61－7＝1.∵0<α<π，0<β<π，∴0<α＋β<2π， ∴α＋β＝π4或α＋β＝54π.[剖析] 由①②知tan α<0，tan β<0.角α、β都是钝角.上述解法忽视了这一隐含条件.[正解] 由⎩⎪⎨⎪⎧tan α＋tan β＝－6，tan αtan β＝7易知tan α<0，tan β<0.∵α、β∈(0，π)， ∴π2<α<π，π2<β<π.∴π<α＋β<2π. 又∵tan(α＋β)＝1，∴α＋β＝54π.温馨点评 在给值求角或给式求角时，由于三角函数知识间及与其它知识间都有较为密切的联系，一些隐含的制约条件不易被发现，容易导致角的范围扩大.解答此类问题时一定要仔细挖掘题目中的隐含条件才能有效地避免失误.三、忽略三角形内角间的关系而致错例3 在△ABC 中，已知sin A ＝35，cos B ＝513，求cos C .[错解] 由sin A ＝35，得cos A ＝±45，由cos B ＝513，得sin B ＝1213，当cos A ＝45时，cos C ＝－cos(A ＋B )＝sin A sin B －cos A cos B ＝1665.当cos A ＝－45时，cos C ＝－cos(A ＋B )＝sin A sin B －cos A cos B ＝5665.[剖析] 在△ABC 中，三个内角A 、B 、C 的和为π，解题时要充分利用这一定理.本题得到cos A ＝±45后，没有对cos A ＝－45这一结果是否合理进行检验，从而导致结论不正确.[正解] 由cos B ＝513>0，∴B ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，且sin B ＝1213. 由sin A ＝35，得cos A ＝±45，当cos A ＝－45时，cos A <－12.∴A >2π3.∵sin B ＝1213>32，B ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴B >π3. 故当cos A ＝－45时，A ＋B >π，与A 、B 是△ABC 的内角矛盾.∴cos A ＝45，cos C ＝－cos(A ＋B )＝sin A sin B －cos A cos B ＝1665.温馨点评 涉及三角形中的内角问题时，一定要注意内角和A ＋B ＋C ＝180°这一隐含条件.尤其是由内角正弦值确定角的大小时，要防止增解出现. 四、忽略三角函数的定义域而致错例4 判断函数f (x )＝1＋sin x －cos x 1＋sin x ＋cos x 的奇偶性.[错解] f (x )＝1＋sin x －cos x1＋sin x ＋cos x＝1＋2sin x 2cos x2－⎝⎛⎭⎫1－2sin 2x 21＋2sin x 2cos x 2＋⎝⎛⎭⎫2cos 2x 2－1＝2sin x2⎝⎛⎭⎫cos x 2＋sin x 22cos x2⎝⎛⎭⎫sin x 2＋cos x 2＝tan x2，由此得f (－x )＝tan ⎝⎛⎭⎫－x 2＝－tan x2＝－f (x )， 因此函数f (x )为奇函数.[剖析] 运用公式后所得函数f (x )＝tan x2的定义域为{}x |x ∈R ，x ≠2k π＋π，k ∈Z .两函数的定义域不同，变形后的函数定义域扩大致错. [正解] 事实上，由1＋sin x ＋cos x ≠0可得 sin x ＋cos x ≠－1， 即2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4≠－1， 从而sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4≠－22， 所以x ＋π4≠2k π＋5π4且x ＋π4≠2k π＋7π4(k ∈Z )，故函数f (x )的定义域是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠2k π＋π且x ≠2k π＋3π2，k ∈Z ，显然该定义域不关于原点对称. 因此，函数f (x )为非奇非偶函数.温馨点评 判断函数的奇偶性，首先要看定义域，若定义域不关于原点对称，则函数一定是非奇非偶函数.上述解法正是由于忽视了对函数定义域这一隐含条件的考虑致错. 五、误用公式a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)而致错例5 若函数f (x )＝sin(x ＋θ)＋cos(x －θ)，x ∈R 是偶函数，求θ的值. [错解] ∵f (x )＝sin(x ＋θ)＋cos(x －θ)， ∴f (0)＝sin θ＋cos θ＝2sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4. ∵f (x )＝sin(x ＋θ)＋cos(x －θ)是偶函数.∴|f (0)|＝f (x )max ＝ 2. ∴f (0)＝2sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝±2， ∴sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝±1， ∴θ＋π4＝k π＋π2，k ∈Z .即θ＝k π＋π4，k ∈Z .[剖析] ∵x ＋θ与x －θ是不同的角.∴函数f (x )的最大值不是2，上述解答把f (x )的最大值误当作2来处理. [正解] ∵f (x )＝sin(x ＋θ)＋cos(x －θ)是偶函数. ∴f (x )＝f (－x )对一切x ∈R 恒成立.即sin(x ＋θ)＋cos(x －θ)＝sin(－x ＋θ)＋cos(－x －θ)恒成立. ∴[sin(x ＋θ)＋sin(x －θ)]＋[cos(x －θ)－cos(x ＋θ)]＝0. ∴2sin x cos θ＋2sin x sin θ＝0恒成立. 即2sin x (cos θ＋sin θ)＝0恒成立. ∴cos θ＋sin θ＝0.∵cos θ＋sin θ＝2sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝0. ∴θ＋π4＝k π，即θ＝k π－π4，k ∈Z .温馨点评 注意公式a sin x ＋b cos x ＝\r(a 2＋b 2)·sin (x ＋φ)的左端是同角x .当三角函数式不符合这一特征时，不能使用该公式.,例如：函数f (x )＝sin (x ＋θ)＋\r(3)cos (x －θ)(x ∈R )的最大值不是2.6 平面向量与三角函数的交汇题型大全平面向量与三角函数的交汇是当今高考命题的一个热点，这是因为此类试题既新颖而精巧，又符合在知识的“交汇处”构题的命题思想.这类试题解答的关键是利用向量的平行、垂直、夹角、模、数量积公式将问题转化为三角问题，然后联想相关的三角函数知识求解. 一、平面向量平行与三角函数交汇例1 已知a ＝(2cos x ＋23sin x,1)，b ＝(y ，cos x )，且a ∥b .若f (x )是y 关于x 的函数，则f (x )的最小正周期为________.解析 由a ∥b 得2cos 2x ＋23sin x cos x －y ＝0， 即y ＝2cos 2x ＋23sin x cos x ＝cos 2x ＋3sin 2x ＋1 ＝2sin(2x ＋π6)＋1，所以f (x )＝2sin(2x ＋π6)＋1，所以函数f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.答案 π点评 解答平面向量平行与三角函数的交汇试题一般先用平面向量平行的条件求涉及到三角函数的解析式或某角的函数值，然后再利用三角知识求解. 二、平面向量垂直与三角函数交汇例2 已知向量a ＝(4,5cos α)，b ＝(3，－4tan α)，α∈(0，π2)，若a ⊥b ，则cos(2α＋π4)＝________.解析 因为a ⊥b ，所以4×3＋5cos α×(－4tan α)＝0， 解得sin α＝35.又因为α∈(0，π2)，所以cos α＝45.cos 2α＝1－2sin 2α＝725，sin 2α＝2sin αcos α＝2425，于是cos(2α＋π4)＝cos 2αcos π4－sin 2αsin π4＝－17250.答案 －17250点评 解答平面向量垂直与三角函数的交汇试题通常先利用平面向量垂直的条件将向量问题转化为三角函数问题，再利用三角函数的知识进行处理. 三、平面向量夹角与三角函数交汇例3 已知向量m ＝(sin θ，1－cos θ)(0<θ<π)与向量n ＝(2,0)的夹角为π3，则θ＝________.解析 由条件得 |m |＝sin 2θ＋(1－cos θ)2＝2－2cos θ，|n |＝2，m ·n ＝2sin θ，于是由平面向量的夹角公式得cos π3＝m ·n|m ||n |＝2sin θ22－2cos θ＝12，整理得2cos 2 θ－cos θ－1＝0，解得cos θ＝－12或cos θ＝1(舍去).因为0<θ<π，所以θ＝2π3.答案2π3点评 解答平面向量的夹角与三角函数的交汇试题主要利用平面向量的夹角公式建立某角的三角函数的方程或不等式，然后由三角函数的知识求解. 四、平面向量的模与三角函数交汇例4 若向量a ＝(cos θ，sin θ)，b ＝(3，－1)，则|2a －b |的最大值为________. 解析 由条件可得|a |＝1，|b |＝2，a ·b ＝3cos θ－sin θ， 则|2a －b |＝ |2a －b |2＝4a 2＋b 2－4a ·b＝8－4(3cos θ－sin θ)＝8－8cos (θ＋π6)≤4，所以|2a －b |的最大值为4. 答案 4点评 解答平面向量的模与三角函数交汇一般要用到向量的模的性质|a |2＝a 2.如果是求模的大小，则一般可直接求解；如果是求模的最值，则常常先建立模关于某角的三角函数，然后利用三角函数的有界性求解. 五、平面向量数量积与三角函数交汇例5 若函数f (x )＝2sin(π6x ＋π3)(－2<x <10)的图象与x 轴交于点A ，过点A 的直线l 与函数的图象交于B 、C 两点，则(OB →＋OC →)·OA →等于( ) A.－32 B.－16 C.16 D.32解析 由f (x )＝0，解得x ＝4，即A (4,0)，过点A 的直线l 与函数的图象交于B 、C 两点，根据对称性可知，A 是BC 的中点，所以OB →＋OC →＝2OA →，所以(OB →＋OC →)·OA →＝2OA →·OA →＝2|OA →|2＝2×42＝32，答案 D点评 平面向量数量积与三角函数的综合主要体现为两类：(1)利用三角函数给出向量的坐标形式，然后求数量积，解答时利用数量积公式可直接解决；(2)给出三角函数图象，求图象上相关点构成的向量之间的数量积，解答时关键是求涉及到的向量的模、以及它们的夹角.7 单位圆与三角恒等变换巧结缘单位圆与三角函数有着密切联系，下面我们通过例题来看看单位圆与三角恒等变换是如何结缘的.一、借助单位圆解决问题例1 已知sin α＋sin β＝14，cos α＋cos β＝13，求tan α＋β2.(提示：已知A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB 中点的坐标为⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22，⎝⎛⎭⎫y 1＋y 22)解 设A (cos α，sin α)，B (cos β，sin β)均在单位圆上，如图，则以OA 、OB 为终边的角分别为α、β，由已知，sin α＋sin β＝14，cos α＋cos β＝13，用题设所给的中点坐标公式，得AB的中点C ⎝⎛⎭⎫16，18，如图，由平面几何知识知，以OC 为终边的角为β－α2＋α＝α＋β2，且过点C ⎝⎛⎭⎫16，18，由三角函数的坐标定义，知tan α＋β2＝1816＝34.点评 借助单位圆使问题简单化，这种思维方法贯穿整个三角函数问题的始 终，特别在求值中更能显出它的价值. 二、单位圆与恒等变换的交会例2 已知圆x 2＋y 2＝R 2与直线y ＝2x ＋m 相交于A 、B 两点，以x 轴的正方向为始边，OA 为终边(O 是坐标原点)的角为α，OB 为终边的角为β，则tan(α＋β)的值为________. 解 如图，过O 作OM ⊥AB 于M ，不妨设α、β∈[0,2π]， 则∠AOM ＝∠BOM ＝12∠AOB ＝12(β－α)，又∠xOM ＝α＋∠AOM ＝α＋β2，所以tanα＋β2＝k OM ＝－1k AB ＝－12，故tan(α＋β)＝2tanα＋β21－tan2α＋β2＝－43.点评 若是采用先求A 、B 两点的坐标，再求α、β的正切值这一思路就很繁锁甚至做不下去，可见用不同的解决方法繁简程度不同.例3 如图，A ，B 是单位圆O 上的点，OA 为角α的终边，OB 为角β的终边，M 为AB 的中点，连接OM 并延长交圆O 于点C .(1)若α＝π6，β＝π3，求点M 的坐标；(2)设α＝θ(θ∈⎣⎡⎦⎤0，π3)，β＝π3，C (m ，n )，求y ＝m ＋n 的最小值，并求使函数取得最小值时θ的取值.解 (1)由三角函数定义可知，A ⎝⎛⎭⎫32，12，B ⎝⎛⎭⎫12，32， 由中点坐标公式可得M ⎝⎛⎭⎪⎫3＋14，3＋14.(2)由已知得∠xOC ＝12(α＋β)＝12(θ＋π3)，即C ⎝⎛⎭⎫cos ⎝⎛⎭⎫12θ＋π6，sin ⎝⎛⎭⎫12θ＋π6，故m ＝cos ⎝⎛⎭⎫12θ＋π6，n ＝sin ⎝⎛⎭⎫12θ＋π6， 所以y ＝cos ⎝⎛⎭⎫12θ＋π6＋sin ⎝⎛⎭⎫12θ＋π6 ＝2sin ⎝⎛⎭⎫12θ＋5π12，又θ∈⎣⎡⎦⎤0，π3，故5π12≤12θ＋5π12≤7π12， 当θ＝0或π3时，函数取得最小值y min ＝2sin 5π12＝3＋12.点评 借助单位圆和点的坐标，数形结合，利用平面几何知识和三角函数的定义使问题简单化.8 教你用好辅助角公式在三角函数中，辅助角公式a sin θ＋b cos θ＝a 2＋b 2sin(θ＋φ)，其中角φ所在的象限由a ，b 的符号确定，φ的值由tan φ＝ba 确定，它在三角函数中应用比较广泛，下面举例说明，以供同学们参考. 一、求最值例1 求函数y ＝2sin x (sin x －cos x )的最小值. 解 y ＝2sin x (sin x －cos x ) ＝2sin 2x －2sin x cos x ＝1－cos2x －sin 2x＝1－2⎝⎛⎭⎫sin 2x ·12＋cos 2x ·12＝1－2⎝⎛⎭⎫sin 2x ·cos π4＋cos 2x ·sin π4 ＝1－2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4， 所以函数y 的最小值为1－ 2. 二、求单调区间例2 求函数y ＝12cos 2x ＋32sin x cos x ＋1的单调区间.解 y ＝12cos 2x ＋32sin x cos x ＋1＝14(1＋cos 2x )＋34sin 2x ＋1 ＝34sin 2x ＋14cos 2x ＋54＝12⎝⎛⎭⎫32sin 2x ＋12cos 2x ＋54 ＝12sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋54. 由2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π2(k ∈Z )，得k π－π3≤x ≤k π＋π6(k ∈Z ).由2k π＋π2≤2x ＋π6≤2k π＋3π2(k ∈Z )，得k π＋π6≤x ≤k π＋2π3(k ∈Z ).所以函数的单调增区间是[k π－π3，k π＋π6](k ∈Z )；函数的单调减区间是[k π＋π6，k π＋2π3](k ∈Z ).三、求周期例3 函数y ＝cos 22x ＋4cos 2x sin 2x 的最小正周期是( ) A.2π B.π C.π2 D.π4答案 C解析 y ＝cos 22x ＋4cos 2x sin 2x ＝12cos 4x ＋2sin 4x ＋12＝172sin(4x ＋φ)＋12(其中sin φ＝1717，cos φ＝41717)，函数的最小正周期T ＝2π4＝π2.故选C.四、求参数的值例4 如果函数y ＝sin 2x ＋a cos 2x 的图象关于直线x ＝－π8对称，则实数a 的值为( )A. 2B.－ 2C.1D.－1答案 D 解析 y ＝1＋a 2sin(2x ＋φ)(其中tan φ＝a ). 因为x ＝－π8是对称轴，所以直线x ＝－π8过函数图象的最高点或最低点.即x ＝－π8时，y ＝1＋a 2或y ＝－1＋a 2.所以sin ⎝⎛⎭⎫－π4＋a cos ⎝⎛⎭⎫－π4＝±1＋a 2. 即22(a －1)＝±1＋a 2. 所以a ＝－1.故选D.9 二倍角公式用法揭秘从两角和的三角公式推出二倍角的正弦、余弦和正切公式，是化归思想的体现，倍角公式的内涵是：揭示具有倍数关系的两个角的三角函数的运算规律.下面对此公式的应用作以梳理，供同学们参考. 一、二倍角公式的正用例1 已知sin α＋cos α＝13，且0＜α＜π，求sin 2α，cos 2α，tan 2α的值.分析 可先将已知式平方，再利用二倍角公式求sin 2α、cos 2α，进而利用商数关系求出tan 2α的值.解 因为sin α＋cos α＝13，所以(sin α＋cos α)2＝19，即1＋2sin αcos α＝19，所以sin 2α＝－89.因为0＜α＜π，所以sin α＞0， 又sin αcos α＝－49＜0，所以cos α＜0，从而sin α－cos α＞0， 所以sin α－cos α＝(sin α－cos α)2＝1－sin 2α＝173. 故cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝(sin α＋cos α)(cos α－sin α) ＝13×⎝⎛⎭⎫－173＝－179. tan 2α＝sin 2αcos 2α＝81717.评注 一般情况下，求sin 2α、cos 2α时需先求出sin α、cos α的值，往往需用到平方关系和方程或方程组，解题过程中需注意角α的范围的判定，即cos α符号的判定.二、二倍角公式的逆用例2 已知sin ⎝⎛⎭⎫π4＋x sin ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝16，x ∈⎝⎛⎭⎫π2，π，求sin 4x 的值. 分析 由题设注意到π4＋x ＋π4－x ＝π2，因此需变换之后再用公式求解. 解 因为sin ⎝⎛⎭⎫π4＋x sin ⎝⎛⎭⎫π4－x＝sin ⎝⎛⎭⎫π4＋x cos ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫π4－x ＝sin ⎝⎛⎭⎫π4＋x cos ⎝⎛⎭⎫π4＋x＝12sin ⎝⎛⎭⎫π2＋2x ＝12cos 2x ， 所以12cos 2x ＝16，即cos 2x ＝13. 因为x ∈⎝⎛⎭⎫π2，π，所以2x ∈(π，2π)，所以sin 2x ＝－223. 故sin 4x ＝2sin 2x cos 2x ＝－429. 评注 一般说来，在题目中有单角、倍角时，应将倍角化为单角，同时应注意2α、2α－π2、α－π4等角之间关系的应用. 三、二倍角公式的变形应用例3 求tan 67°30′－tan 22°30′的值.分析 考虑到67°30′×2＝135°，22°30′×2＝45°，且67°30′＋22°30′＝90°，故可用二倍角的正切公式来求解.解 原式＝tan 67°30′－sin22°30′cos 22°30′＝tan 67°30′－cos 67°30′sin 67°30′＝－2×1－tan 267°30′2tan 67°30′＝－22tan 67°30′1－tan 267°30′＝－2tan 135°＝2. 评注 本题是二倍角正切公式的变用，强调的是在具体的运算过程中对公式的灵活变换.二倍角公式灵活多样，应用广泛，如升幂、降幂等，在具体应用中要根据具体的题目要求，合理选用公式进行相关运算.四、二倍角公式的构造例4 求sin 10°sin 30°sin 50°sin 70°的值.分析 可利用二倍角的正弦公式的变形公式sin α＝sin 2α2cos α进行运算；也可利用诱导公式先将正弦全部化为余弦，再逆用二倍角公式求解；也可以构造对偶式列方程求解.解 方法一 因为sin 2α＝2sin αcos α，所以sin α＝sin 2α2cos α， 故原式＝sin 20°2cos 10°×12×sin 100°2cos 50°×sin 140°2cos 70°＝sin 20°2sin 80°×12×sin 80°2sin 40°×sin 40°2sin 20°＝116. 方法二 原式＝cos 80°×12×cos 40°×cos 20° ＝2sin 20°cos 20°cos 40°cos 80°4sin 20°＝sin 40°cos 40°cos 80°4sin 20°＝sin 80°cos 80°8sin 20°＝sin 160°16sin 20°＝116. 方法三 令x ＝sin 10°sin 50°sin 70°，y ＝cos 10°cos 50°cos 70°，则xy ＝sin 10°cos 10°sin 50°cos 50°sin 70°cos 70°＝12sin 20°×12sin 100°×12sin 140° ＝18sin 20°sin 80°sin 40° ＝18cos 10°cos 50°cos 70°＝18y ， 因为y ≠0，所以x ＝18，从而有sin 10°sin 30°sin 50°sin 70°＝116.评注本题是二倍角公式应用的经典题型，方法一和方法二通过观察角度的关系，发现其特征(二倍角形式)逆用二倍角的正弦公式，使得问题出现连用二倍角正弦公式的形式.方法三利用构造对偶式解题具有一般性，事实上，有些数学问题，可根据本身的特点，相应地构造相“匹配”的另一整体，然后由其相依相伴的关系进行求解，这种思想我们称之为“配对”，本题中是一种积式的对偶，三角函数中的sin α、cos α就是一种常见的对偶关系.。
三角恒等变换与方程的性质知识点总结
三角恒等变换与方程的性质知识点总结三角恒等变换是指在三角函数表达式中，通过一系列等价的变换，将一个三角函数表达式转化为另一个等价的三角函数表达式。
这种变换在解决三角方程、简化三角表达式等数学问题中有着重要的应用。
本文将对三角恒等变换及相关的方程性质进行总结，并提供一些例子来帮助读者更好地理解和应用这些知识点。
一、平凡的三角恒等变换：1. 正弦函数的平方等于1减去余弦函数的平方：sin^2(x) = 1 -cos^2(x)该恒等变换适用于解决三角方程中含有sin^2(x)类型的问题。
2. 余弦函数的平方等于1减去正弦函数的平方：cos^2(x) = 1 -sin^2(x)该恒等变换适用于解决三角方程中含有cos^2(x)类型的问题。
3. 正切函数的平方加1等于割函数的平方：tan^2(x) + 1 = sec^2(x)该恒等变换适用于解决三角方程中含有tan^2(x)类型的问题。
4. 余切函数的平方加1等于余割函数的平方：cot^2(x) + 1 = csc^2(x)该恒等变换适用于解决三角方程中含有cot^2(x)类型的问题。
以上四个平凡的三角恒等变换是基础中的基础，掌握了这些变换，可以更好地应对复杂的三角恒等变换问题。
二、复杂的三角恒等变换：除了上述的平凡的恒等变换外，还存在一些复杂的恒等变换，下面是其中的两个例子：1. 和差化积公式：sin(A ± B) = sin(A)cos(B) ± cos(A)sin(B)cos(A ± B) = cos(A)cos(B) ∓ sin(A)sin(B)和差化积公式常用于解决三角方程中的和差类型问题，其中的正负号取决于题目中给出的具体条件。
2. 二倍角公式：sin(2A) = 2sin(A)cos(A)cos(2A) = cos^2(A) - sin^2(A) = 2cos^2(A) - 1 = 1 - 2sin^2(A)二倍角公式常用于解决三角方程中的二倍角类型问题，同样，具体的变换方式需根据题目给出的条件而定。
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三角恒等变换的常用技巧在不改变结果的前提下，运用基本公式及结论，从角、名、次方面入手，把一个三角函数式转化成结构比较简单、便于研究的形式，这种变形叫做三角恒等变换.三角恒等变换的常见变换技巧归纳如下：题型一：常值代换（特别是“1”的代换）【知识链接】22 丄 2 丄2 2 丄21 sin cos tan sec tan esc cot4【巩固与应用】Q S ________1.若x (-,-)，则.1 sinx 可化为( ) D2 2A.亦（：4）B. ■ 2cos(2 ；) C . 2cos(-) 2 4 D .宓（：-）2 .已知tan 题型二：公式变形【知识链接】—2，求值：2si n2sin cos 2cos .tan tan【巩固与应用】(1 mta n tan )ta n( ).1.化简：tan 10o tan20o tan20o tan60o tan 10o tan60o.2 . (1)已知 A B 4,求证：(1 tanA)(1 tanB) 2 ;(2)化简：(1 tan 1o)(1 tan 2°)L(1 tan44o)(1 tan4-0).题型三：升次降次【知识链接】2 2 2 22sin 1 cos2 , 2cos 1 cos2 , cos sin cos2 , 2sin cos sin2 4sin-3sin sin3 , 4cos-cos- -cos .上面公式正用降次，反用升次.【巩固与应用】6 .求函数y sinx sinx cosx的单调区间。
增8.已知函数 f (x) 2cosxsin x — 3sin 2x sin xcosx3(1) 求：函数f (x)的最大值及最小值； (2) 求：函数f(x)的最小正同期、单调递增区间；3)该函数图像可由 y si n2x 图像作怎样变化而得到。
题型四：公式活用 【知识链接】公式正用、公式逆用、公式变形后使用 【巩固与应用】1 .求值：tan 10o ta n20° ta n20°ta n60° 2.已知为第三象限角，且sin 4 0 cos 4 0cosAcosB + sin AcosB cosAsinB则厶ABC 为2 24•函数y sin x cos x 2的最小正周期是(1 .若2 孑，则1 cos()的值是A . sin2B . cos —2sin —2D . cos —22 .求值:3 .求值: 4n cos一 8 sin 220 4nsin — 8 cos 2 50o sin 20o cos50°.(08宁夏、海南理7) o3 sin 70 2 cos 210o12B .C .(07陕西理 4)已知 sin a 5 5，则 ・4sin a 4 cos a 的值为15B .C .15. . 27.已知 cos( n 4 x) 3 5 , 17n 12 x 7n 4，求 sin2x 2sin x 的值。
1 tanx 结果n A . 2、23 B . 2.2 3 C . 2 3D .23，减tan60 tan 101,那么sin2 B 等于(A ).在△ ABC 中，若 sinAsinB等腰直角三角形B. 2C. n6. （06全国U理10）若f (si nx) 3 cos2x ，则f (COS X)等于3 cos2x 3 2sin 2x C. 3 cos2x D. 3 2sin 2x （07浙江理12）已知sin cos3，贝Ucos24的值是题型五：弦切互化【知识链接】能实现转化的公式有: tan如costan1 cos2si n2sin 21 cos2【巩固与应用】1.求值：(ta n5o1 、sin 20ota n5o) 1 cos20o.-22. 求值：sin 50°(1 -h tan10°)3 .已矢卩tan(45°1 2，则tan 2 acos2 atan 2 acos2 a4 .求值：丄4cos10o. tan 105.求证：1 f2 sin2x( tanx 2) 4cos x.tanx 2则tan6 .若sin 0 cos 00+1tan 0-4题型六：辅助角变换【知识链接】1.辅助角公式: asinx b cosx a2b2sin(x ）.（其证明附后）2 .推论: sin x cosx .2 sin(x );4 .3sin x cosx 2sin(x ) ; sinx '空cosx62sin(x );3cosx sin x • 2cos(xm—) ；.3cosx sinx42cos(xm6)；cosx 3sinx2cos(xm3).3 •利用公式厝tan(x 7)及普诙("4 X)引入.【巩固与应用】4.与y 2sinx cosx的周期、振幅都相同的函数是( A )题型七：角的和差拆分变换【知识链接】1.原则：化未知为已知.2 .拆分技巧：再如10 30 20 .如2% (a 3) (a 3);()(),() (),4 2 4 3 2 6a (a 3) 3 ( a 3) B 字•一宁牛等.2 2 2 2a a a3 .半角与倍角的相对性：女口a是2 a的半角，同时也是 -的倍角；-是a的半角，同时也是一的2 2 4倍角；【巩固与应用】已知sin(2 a 3) ,sin 3 5 ，且a , n , 313 2-,0，求sin a的值.0)个单位，所得的图像关于y轴对称则m 的最小正值是()2 5A.—B.—C.— D .—6 3 3 63 .函数y sin2x cos2x 的最小正周期为sin2x cos2x4 .求函数y sinx (sin x cosx)的单调区间.3 .当一x —时，函数 f x sin x . 3 cosx 的值(DB .最大值是1最小值是1 2C .最大值是2最小值是-2D .最大值是2最小值是-1A . y .5 sinxB . y 2sin x C. y 3 cosx D. y sin xcosx函数y 3sin( 2x) cos2x 的最小值是(2 .把函数y cosx </3sinx的图像向左平移m(m)A .最大值是1，最小值是-12(06重庆理13)已知,(08天津理17)已知cos(x (,),sin( 4210值.(07江苏理11)若cos( cos((08山东理5)已知COS(a sinA . 23 5 B. 2.355. (08上海春理6)化简：cos(-6. (08江苏理15)在平面直角坐标系3 12) ,sin( ) ,则cos( )5 4 13 4—.(1)求的sinx值；(2)求sin 2x 的3)3，则5 tan tansinxOy中，以Ox轴为始边作两个锐角a、B，它们的终边B两点.已知A、B的横坐标分别为•一2 10、2.5 5 .(1) 求ta n( )的值；(2) 求2的值.7 .已知02,sinA. 0 B . 0 或—25C .o8. sin7o cos15sin8的值等于(cos7 sin15 sin8A. 2 .3 B2 32分别与单位圆相交于A、9 .设sin( 2 )3sin,则3 /,cos(5) -，则sin524D.2425 25)C. 2 3 D 2 33 2tantan10 .已知tanA. 1318—,tan -,那么tan 的值是(B )5 4 4 4B. 3 22C. 13 22D. 31811.已知是锐角，cos a 4 5 , tan( a ®13，求cos的值。
cos B 50 10题型八：和积互化(不要求)【知识链接】1 .积化和差公式2.和差化积公式3 .禾口 sin x cosx 积 sin x cosx 互化.1 .如果 (0,), sin2cos2—，贝y cos2为（)A 廳 B3C3 D . 3 2 2242 .已知sin 1巧cos5(0,)那么 tan 的值是 ( )2A . 3 3B .3C .3 3D . 3【巩固与应用】 2 23 .化简：cos 2 A+cos 2 (A)+COS 2( A).334 .已知x 是第二象限角，且 sinx cosx a （ a 1）， 求下列各式的值:值。
(1) tan x cotx ;2)1_s inx 1_cosx ■ 1 si nx ■ 1 cosx5 .已知tan , tan 是方程x 22x 40的两根,6.已知三角形 ABC 中的三个内角 A, B, C 满足解法（I ）:由题设条件B 60 ， 120cos2 cos2的值. si n2 si n2 1 2B ,cosA cosC2 cosB求cosA~C 的2 Q 」cos60 o A C 2cos —2 2.2丄 cosA A C cos — 2 1cosC2[cos(A cosA cosC 2.2 cosAcosCC) cos(A C)]将 cos —cos 602A C cos —2辽2c2由 cos(A 2C) 2cos4 3 cosC c 2cos2C (2cos22)(2 2(解法（II ）： 因为cos(A C)C)C 2 B 60 ，3)0Q2云0S 23 0 cosC 1203则 AC 2 a A 60 a ， C 60 acos A cosC cos(60 acos(6011 、3 . —cos a ---- sin a2 211 ,3 . —cos a ---- s in a2 2COSa 1 2 —cosa 43 . sin4 2cos cos a 3a —4cos a 23cos a —4 2 cos Bcos a 32cos a(2.2 cos a3)(2cos附录一起点公式的证明 1 •两角和余弦公式的推导 2 •两角和正弦公式的推导3.半角公式tan sin—2 1 cos 1 sincos 4 •辅助角的推导及其推论 asin x bcosx a 2 b 2 sin(x 2.24 2 cos 2 a 2cos a 3 2的推导 tan由asinx bcosx 的系数a,b 可得点P （a,角的终边，设为，于是有： b—；bcosx a b ）（一定要注意所以 其中,推论: tan b ，cos aa sin x bcosx cos a ----- (Q cos a2A C cos— 2asinx ■. a 2 b 2 cos(x a 与b 顺序），射线OP ),tan（O 为坐标原点）可作为某个a .a 2b 2 a 2 b 2cos ,sin b .a 2 b 2 a 2 b 2 sin■. a 2 b 2 (sin xcos cosxsin ) 薦_b sin( x ) 叫做辅助角，它所在象限取决于点 P （a, b ）所在象限，它的一个函数值为: tansin x cosx . 2 sin(x ) ; 3sin x cosx 2sin(x -) ; sinx 463 cos x2sin(xcosx sinx2cos(xm —)； “再cosx sin x 2cos(xm —) ； cosx 4 63sin x 2cos(xm-) •口诀：正余化正，加减不变，余正化余，加减颠倒，前5.附录二些常用的结果1 • (cos sin cos )21 sin2sin cos tan 1tan(1 4)sin cos tan2cos2sin2 .十 1 tanx1.已知1 tanx附录四半角公式3 1 ，求sin2 x的值.1cos a cos B —[cos( a B) cos(a B)], sin asin B2和差化积公式:9 9 sin 9 sin <fc 2sin cos—2 29 © 9 ©sin 9 sin © 2cos sin2 22.sin cos 1 tantan( 7)，sin cos 1 tan3.tan 1 2 tan 1tan sin 2tan 万能公式sina2tan —a2_2 a1 tan -2COSa2atan —,tana tan -2a2tan —22 a tan—2a 1 COS asin i ------------------- 2 V 2a 1 cos a acos- . ----------- , tan —2 2 2COSa COSasina1 cos a.（符号由半角终边位置决定）1 cos a sin acos2 sin 2( 4）2cos( )sin(44),sin 2 cos2(4）cos2( )sin2(4)2cos2( ) 1 1 2sin2(4 4附录六三倍角公式sin3 3sin 4sin3,cos3 4cos3 3 .附录五衍生二倍角公式附录七和积互化公式积化和差公式：匸）.sin a cos B [sin( a2 B sin( a B)] , cos a sin p -[sin( a2B sin( a B],cos 9cos ©2cos 9Jcos 932 2 cos 9 cos ©2sin附录三1-[cos( a B) cos( a B)] •2。