8.流体力学-边界层理论基础和绕流运动-wyj
流体力学第八章(20160228)
8.3 边界层的动量积分方程
利用动量定理，建立了边界层的动量 代入并整理边界层的动量积分方程— 积分方程。 PCD PAB PAC Fx —卡门动量积分方程 d d 2 dp 单位宽度，则单位时间通过AB、CD、 dy dy 0 u u u dx 0 x dx 0 x dx AC 各个面上的动量分别为 边界层的动量积分方程的求解 P u dy
0
AB
边界层的动量积分方程有5个未知量， 流场速度：由势流方程求解；压强： 作用在ABCD上的外力。忽略质量力， 由伯努利方程求解；边界层厚度：动 只有表面力， 量方程求解；边界层内流速：边界层 内流速分布关系式；边界层内切应力： p 1 p dxd 0dx 边界层内切应力分布关系式。 F x dx
P AB dx u xdy P CD P AB 0 x x u xdy dx P AC u 0 0 x
0
x
u dy dx
0 2 x
d u0 dx
0
d u xdy dx
0
u 2 xdy
第八章 边界层理论基础和绕流运动
王浩 1251934
本章概论
8.1 边界层的基本概念
8.2 边界层微分方程普朗特边界层方程 8.3 边界层的动量积分方程
8.4 平板上的层流边界层
8.5 平板上的湍流边界层
8.6 边界层的分离现象和卡门涡街
8.7 绕流运动
8.1 边界层的基本概念
8.1.1边界层的提出
dp 0 dx
第8章 边界层理论基础及绕流运动
ux
∂ux ∂x
+ uy
∂ux ∂y
=
−
1 ρ
∂p ∂x
+
ν
∂ 2u x ∂y 2
∂ux ∂x
+
∂uy ∂y
=
0
边界条件： y =∞（或y = δ），ux = U0 y = 0，ux = 0， uy = 0
其中 U0 = U0(x) =边界层外界限上外部流动的流速 且 p = p(x) = 边界层外界限上外部流动的压强
=
1 2
δ
∫ ∫ δ2 =
δ 0
ux u0
⎜⎜⎝⎛1 −
ux u0
⎟⎟⎠⎞dy
=
δ
1η(1− η)dη = 1 δ
0
6
∫ ∫ ( ) δ3 =
δ 0
ux u0
⎜⎜⎝⎛1 −
ux 2 u0 2
⎟⎟⎠⎞dy
=
δ
1η 1− η2
0
dη = 1 δ 4
10
8.2 边界层微分方程
——利用边界层的性质对粘性流体基本方程（纳维－斯托克斯方 程）的简化。
⎟⎠⎞
=
−δ
dp dx
− τ0
其中: dp/dx和u0应由外部流动求出 → 三个未知量：τ0、δ、ux
应用动量积分方程求解边界层问题的步骤： (1) 补充 ux (x, y)、τ0(δ)关系式，积分方程转变为δ的常微分方程
（2）求解方程 → δ(x) →τ0(x) → 总阻力→ 计算位移厚度等其他 参数。
∫ ∫∫ ∑ 积分形式的动量方程
∂ ∂t
ρurdV
cv
+
cs
ρurundA
流体力学边界层理论
于是
τ 0 = 0.332
μρU 2 x
上式可看出平板层流边界层局部摩擦切应力与ｘ坐标的平方根成反比的规
律随着ｘ的增加而减小。
现计算整个平板上总摩擦阻力。设板长为Ｌ，板宽为ｂ，则平板单面总摩擦
阻力是：
∫ ∫ Rf =
Lτ
0
0bdx
=b
L
0.332
0
μρU 3 dx = 0.664 x
μρ LU 3
总摩擦阻力系数 C f 由下式确定：
2
则：
vx
(
x,
y)
=
U
⋅
1 2
ϕ ′(η )
设 U=25 km/h，ν=0.15cm2/s, x=3m,ｙ=5mm，
求：Vx＝？
解：U=25×1000/3600=6.95m/s, ν=0.0015m2/s,
x=3m, y=0.005m,
代入η中得：
η = 1 × 5×10−3 × 2
6.95 0.15 ×10−4
（11-14）式应采取如下形式：
ϕ(x, y) = xϕ( y ) x
（11-16）
返回为有量纲解时，不出现Ｌ，即 ：
ϕ = ν U x ϕ (η )
η=1y U 2 νx
（11-18）
通过以上分析，来求解下列形式的ψ。
⎡y⎤
ϕ=
νUL
x
⎢ ⎢
L⎢
⎢ ⎣
νL ⎥
U ⎥=
x⎥
L
⎥ ⎦
⎡ νUxϕ ⎢ y
Ｕ（起参数作用），ν和Ｕ不同时，同一空间点上ψ的值不同。
现设法将方程和边界条件中各个物理量无量纲化，不再出现ν和Ｕ。
选特征量：
Ｌ：ｘ的比例尺
流体力学教案第8章边界层理论
第八章 边界层理论§8-1 边界层的基本概念实际流体和理想流体的本质区别就是前者具有粘性。
对层流而言，单位面积摩擦力的大小yud d μτ=，可以看出，对于确定的流体的等温流场，摩擦力的大小与速度梯度有关，其比例函数即动力粘度。
速度梯度yud d 大，粘性力也大，此时的流场称为粘性流场。
若速度梯度yud d 很小，则粘性力可以忽略，称为非粘性流场。
对于非粘性流场，则可按理想流体来处理。
则N-S 方程可由欧拉方程代替，从而使问题大为简化。
Vlv l lV v A y u V l tVl t u mρρμρρ======2223d d d d 粘性力惯性力当空气、蒸汽，水等小粘度的流体与其它物体作高速相对运动时，一般雷诺数很大。
由vVl==粘性力惯性力Re ，则在这些流动中，惯性力>>粘性力，所以可略去粘性力。
但在紧靠物体壁面存在一流体薄层，粘性力却与惯性力为同一数量级。
所以，在这一薄层中，两者均不能略去。
这一薄层就叫边界层，或叫速度边界层，由普朗特在1904年发现。
a ．流体流过固体壁面，紧贴壁面处速度从零迅速增至主流速度，这一流体薄层，就叫边界层或速度边界层。
b ．整个流场分为两部分 层外，0=∂∂yu，粘性忽略，无旋流动。
层内，粘性流，主要速度降在此，有旋流动。
c ．由边界层外边界上∞=V u %99，来定义δ，δ为边界层厚度。
d ．按流动状态，边界层又分为层流边界层和紊流边界层。
由于在边界层内，流体在物体表面法线方向(即yu∂∂)速度梯度很大，所以，边界层内的流体具有相当大的旋涡强度；而在层外，由于速度梯度很小。
所以，即使对于粘度很大的流体，粘性力也很小，故可忽略不计，所以可认为，图8-2空气沿平板边界层速度分布外部区域边界层边界层外的流动是无旋的势流。
边界层的基本特征有： (1)1<<Lδ⇒薄层性质，其中L 为物体的长度；沿流方向↑↑→δx 。
(2) 层内yu∂∂很大， 边界层内存在层流和紊流两种流态。
8 第八章 边界层与绕流阻力解析
应用量级比较法
流 体 力 学 与 流 体 机 械
Fluid Mechanics and Machinery
第二节 边界层微分方程
~ L, ~ 1 ~ , dy ~ ~ , x ~ 1, u x ~ U
ux ~ 1, x u y ~ 1, u y ux 1 2 ux 2ux 1 ~ , ~ 1, ~ 2, ~1 2 2 y y x y u y ~ 1, u y x ~ , 2u y x
u x u x 1 p 2 u x 2 u x uy ( 2 2 ) u x y x x y x 2 2 u y 1 p u y u y u y uy ( 2 2 ) u x y y x y x u x u y x y 0
流 体 力 学 与 流 体 机 械
第一节 边界层概念 2 边界层的形成与发展
U
层流边界层
过渡区
紊流边界层
Rex=Ux/
层流底层
x
边界层的发展
流体流过光滑平板时，边界层由层流转变为湍流发生在 Rek=21053106
Fluid Mechanics and Machinery
流 体 力 学 与 流 体 机 械
U 2 U U u dy
2 0
2
0
u U
u 1 U
u dy 0 U
u 1 U
dy
Fluid Mechanics and Machinery
流 体 力 学 与 流 体 机 械
第二节 边界层微分方程 对不可压缩、二维、恒定流绕流流动，忽略质量力， 则其N-S方程式为：
流体力学第八章 绕流运动
由此得 24 Cd Re
（8-70）
二、悬浮速度 设在上升的气流中，小球的密度为 m，大于气体的密 度 , 即 m 。小球受力情况如下。 方向向上的力有： u 0 2 1 2 2 F C A C d u 绕流阻力 d d 0 1 3 D 2 8 FB d g 浮力 6 方向向下的力有： 1 重力 G d 3 m g
绕流物体的摩擦阻力作用，主要表现在附面层 内流速的降低，引起动量的变化。
附面层的动量方程为 d d dp 2 u x dy U u x dy 0 dx 0 dx 0 dx
、 p、 u x、 U 和 0。 附面层动量方程有五个未知数： dp 其中U可以用理想流体的势流理论求得， 可
u y
为平面无旋流动。
u x x y
平面无旋流动的速度势函数为 d u x dx u y dy 并满足拉普拉斯方程：
2 2 2 0 2 x y
义一个函数 , 令u x ,uy y x 满足上式的函数称为流函数。
由不可压缩流体平面流动的连续性方程可以定
第八章 绕流运动
第一节 无旋流动 第二节 平面无旋流动 第三节 几种简单的平面无旋运动 第四节 势流叠加 第五节 绕流运动与附面层基本概念 第六节 附面层动量方程 第七节 平板上层流附面层的近似计算 第八节 平板上紊流附面层的近似计算 第九节 曲面附面层的分离现象与卡门涡街 第十节 绕流阻力和升力
因此，无旋流动的前提条件是
u z u y y z u x u z z x u y u x x y 由不可压缩流体的连续性方程 u x u y u z 0 x y z 得出拉普拉斯方程 2 2 2 2 2 0 2 x z y
《流体力学》第八章绕流运动
函数实际上就是表示流场中的不同的等势线簇。
H
11
流函数与势函数间关系为：
ux x y
uy
y
x
两者交叉相乘得： 0
y y x x
由高等数学得到，上式表明， φ(x,y)=C1和
ψ(x,y)=C2是互为正交的。由此表明：流线与等势
线是相互垂直的。当给出不同的常数C1，C2时，就
可得到一系列等势线和流线，它们间构成相互正交
有尖锐边缘的物体（迎流方向的圆盘），附面层分离点位置固定，旋涡区大小不 变，阻力系数基本不变。
机翼绕流阻力H1、2、3、4
28
悬浮速度：
固体对流体的阻力，也就是流体对固体的 推动力，正是这个数值上等于阻力的推动 力，控制着固体或液体微粒在流体中的运 动。
悬浮速度即颗粒所受到的绕流阻力、浮力 和重力平衡时的流体速度。此时，颗粒处 于悬浮状态。
附面层的厚度如何变化？
H
18
u
u
u 紊流边界层
层流边界层
xx l
δ δ
层流底层
H
19
附面层由层流变为紊流的条件：临界雷诺数。 如速度取来流速度u0，长度取平板前端至流态转换点的距离xk，则临界雷诺数为
（3.5-5.0）*105 如长度取流态转换点的附面层厚度，则相应的临界雷诺数为3000-3500。 流场的计算：势流区和附面层。 “压力穿越边界层不变”的边界层特性。 确定附面层外边界上的流速和压强分布是附面层和外部势流区流动的主要衔接条件。
x M'
u P 0
x
S' S
M
S
➢MM断面以前：减压增速区。
➢MM断面以后：增压减速区。
➢压强沿程的变化规律，适用于附面层外边界，也
流体力学第8章
u x x y 由 u y y x
y y x x
可以看出平面势流的流函数和势函数互为共轭函数。 在数学上表明：流函数和势函数是相互垂直的。 也就是说等势线与流线垂直。
即 0 y y x x
性质(3)的证明 dn为等势线间的网格长；dm为流线间的网格长。 证明dn/dm＝定值
dx dn cos dy dn sin u x u cos u y u sin
d ux dx uy dy udn(sin2 cos 2 ) udn
同理：dm的投影得：
3
(1) 流线与等势线正交 (2) 相邻两流线流函数数值之差是此两流线间的 单宽流量.(单位宽度的体积流量) (3) 流网中每一网格的相邻边长维持一定的比例。
ux x y
2
1
13
§8－2 平面无旋流动
性质(2)的证明 取ab为流线 ψ1 与 ψ1+Δψ 之间的 过流断面，将ab分解为dx,dy，单 位宽度，则 ab 断面的流量分解为 dx,dy两个面上的流量和（由a到b， 末态减初态，dx为负）。
y (
无旋流动在数学上有个重要的特性，就是存在势函数，无旋→有势。
根据全微分的理论：如果上面这三个式子成立 ,那么在空间某位置上存在位置函数 φ（x,y,z）（标量函数）。即上面三式是存在位置函数的充分必要条件。
这个位置函数φ的全微分形式可写成：
d ( x, y, z ) ux dx u y dy uz dz
函数φ称为速度势函数。存在速度势函数的流动称为有势流动（或势流）， 所以无旋流动就是有势流动。
无旋必有势；有势必无旋。
8第八章 边界层理论基础和绕流运动
第八章 边界层理论基础和绕流运动8—1 设有一静止光滑平板宽b ＝1m ，长L ＝1m ，顺流放置在均匀流u ＝1m/s 的水流中，如图所示，平板长边与水流方向一致，水温t ＝20℃。
试按层流边界层求边界层厚度的最大值δmax 和平板两侧所受的总摩擦阻力F f 。
解：20℃水的运动粘度ν＝1.003⨯10-6 m 2/s 密度3998.2/kg m ρ=6119970091.00310ν-⨯===⨯L uLRe因为 56310997009310⨯<=<⨯L Re按层流边界层计算。
max 1/25.4470.0055m Re L L δ===3f 1/21.46 1.4610-===⨯L C Re 223998.2122 1.461011N 1.46N 22f ff u F C A ρ-⨯==⨯⨯⨯⨯⨯= 8—2 设有极薄的静止正方形光滑平板，边长为a ，顺流按水平和铅垂方向分别置放于二维恒定均速u 的水流中，试问：按层流边界层计算，平板两种置放分别所受的总摩擦阻力是否相等，为什么？解：因为两种置放情况的物理模型和数学模型及其分析、推导所得计算公式是相同的，所以两种情况平板所受的总摩擦阻力相等。
8—3 设有一静止光滑平板,如图所示,边长1m,上宽0.88m,下宽0.38m,顺流铅垂放置在均匀流速u =0.6m/s 的水流中，水温t =15℃。
试求作用在平板两侧的总摩擦阻力F f 。
注：若为层流边界层，C f 按式（8—24）计算。
解：由表1—1查得，15℃时水的密度ρ=999.13/kg m ，运动粘度ν=1.139×10-6m 2/s 。
首先判别流态，计算平板上宽雷诺数560.60.884635655101.13910ν-⨯===<⨯⨯L uLRe ，按层流边界层计算。
设z 轴铅垂向上,平板宽度x 为0.38+0.5z ，阻力系数C f 按式（8-24）计算,即12f 60.6(0.380.5)1.328 1.13910--⨯+⎡⎤==⨯⎢⎥⨯⎣⎦z C1521.328 5.2677810(0.380.5)z -轾=创?犏臌总摩擦阻力F f 按式(8—20)计算，f f1212(0.380.5)d 2F C u z z r =?ò115202 1.328 5.2677810(0.380.5)z -轾=创创+犏臌ò21999.10.6(0.380.5)d 2z z 创创+ 1120.658(0.380.5)d z z =?ò。
流体力学第8、10、11章课后习题
第八章 边界层理论基础一、主要内容（一）边界层的基本概念与特征1、基本概念：绕物体流动时物体壁面附近存在一个薄层，其内部存在着很大的速度梯度和漩涡，粘性影响不能忽略，我们把这一薄层称为边界层。
2、基本特征：（1）与物体的长度相比，边界层的厚度很小；（2）边界层内沿边界层厚度方向的速度变化非常急剧，即速度梯度很大； （3）边界层沿着流体流动的方向逐渐增厚；（4）由于边界层很薄，因而可以近似地认为边界层中各截面上压强等于同一截面上边界层外边界上的压强；（5）在边界层内粘性力和惯性力是同一数量级；（6）边界层内流体的流动与管内流动一样，也可以有层流和紊流2种状态。
（二）层流边界层的微分方程（普朗特边界层方程）22100y x x xy y x v pv v v v xy x y py v v x y νρ⎧∂∂∂∂+=-+⎪∂∂∂∂⎪⎪∂⎪=⎨∂⎪⎪∂∂⎪+=∂∂⎪⎩其边界条件为：在0y =处，0x y v v == 在δ=y 处，()x v v x =（三）边界层的厚度从平板表面沿外法线到流速为主流99%的距离，称为边界层的厚度，以δ表示。
边界层的厚度δ顺流逐渐加厚，因为边界的影响是随着边界的长度逐渐向流区内延伸的。
图8-1 平板边界层的厚度1、位移厚度或排挤厚度1δδδδ=-=-⎰⎰1001()(1)x x v v v dy dy v v2、动量损失厚度2δδρρ∞∞=-=-⎰⎰221()(1)x x x x v vv v v dy dy v v v（四）边界层的动量积分关系式δδρρδτ∂∂∂-=--∂∂∂⎰⎰200x x w Pv dy v v dy dx x x x对于平板上的层流边界层，在整个边界层内每一点的压强都是相同的，即P =常数。
这样，边界层的动量积分关系式变为δδτρ∞-=-⎰⎰200w x x d d v dy v v dy dx dx 二、本章难点（一）平板层流边界层的近似计算 根据三个关系式：（1）平板层流边界层的动量积分关系式；（2）层流边界层内的速度分布关系式；（3）切向应力关系式。
流体力学教案第8章边界层理论
第八章 边界层理论§8-1 边界层的基本概念实际流体和理想流体的本质区别就是前者具有粘性。
对层流而言，单位面积摩擦力的大小yud d μτ=，可以看出，对于确定的流体的等温流场，摩擦力的大小与速度梯度有关，其比例函数即动力粘度。
速度梯度yud d 大，粘性力也大，此时的流场称为粘性流场。
若速度梯度yud d 很小，则粘性力可以忽略，称为非粘性流场。
对于非粘性流场，则可按理想流体来处理。
则N-S 方程可由欧拉方程代替，从而使问题大为简化。
Vlv l lV v A y u V l tVl t u mρρμρρ======2223d d d d 粘性力惯性力当空气、蒸汽，水等小粘度的流体与其它物体作高速相对运动时，一般雷诺数很大。
由vVl==粘性力惯性力Re ，则在这些流动中，惯性力>>粘性力，所以可略去粘性力。
但在紧靠物体壁面存在一流体薄层，粘性力却与惯性力为同一数量级。
所以，在这一薄层中，两者均不能略去。
这一薄层就叫边界层，或叫速度边界层，由普朗特在1904年发现。
a ．流体流过固体壁面，紧贴壁面处速度从零迅速增至主流速度，这一流体薄层，就叫边界层或速度边界层。
b ．整个流场分为两部分 层外，0=∂∂yu，粘性忽略，无旋流动。
层内，粘性流，主要速度降在此，有旋流动。
c ．由边界层外边界上∞=V u %99，来定义δ，δ为边界层厚度。
d ．按流动状态，边界层又分为层流边界层和紊流边界层。
由于在边界层内，流体在物体表面法线方向(即yu∂∂)速度梯度很大，所以，边界层内的流体具有相当大的旋涡强度；而在层外，由于速度梯度很小。
所以，即使对于粘度很大的流体，粘性力也很小，故可忽略不计，所以可认为，图8-2空气沿平板边界层速度分布外部区域边界层边界层外的流动是无旋的势流。
边界层的基本特征有： (1)1<<Lδ⇒薄层性质，其中L 为物体的长度；沿流方向↑↑→δx 。
(2) 层内yu∂∂很大， 边界层内存在层流和紊流两种流态。
边界层及绕流
边界层及绕流由于流体粘滞性的存在，紧靠平板的一层流体质点将附着于平板表面上，与平板表面无U，相对运动，流速为0，而在距平板法线方向一定距离处流速仍为未受扰动的原有流速因此从平板表面到未扰动的流体之间存在着一个流速分布不均匀的区域，这个区域就是水流受平板影响的范围叫边界层。
边界层厚度常用符号δ表示。
边界层的厚度是沿平板而变化的。
因为粘滞流体流经平板时有内摩擦阻力发生，克服阻力必耗损一部分能量，以致平板附近部分水流的流速变缓，流经平板距离越长，耗损能量越多，水流受平板影响范围也越大，所以边界层的厚度总是沿板端的距离x而增加的。
边界层内的流体形态可能是层流，也可能是紊流。
在板端附近边界层极薄，流速自0U，因此流速剃度极大，以致产生很大的内摩擦阻力，所以板端附近边界层内的迅速增至流体往往是层流。
沿板端距离越远，边界层厚度越厚。
流速剃度随边界层厚度增加而变小，内摩擦阻力也相应减小，边界层内的流体可自层流逐渐过渡到紊流。
但在紊流边界层中靠近固体表面仍有一层极薄的粘性存在，如图所示若雷诺数用下列形式表示：0Re x U xγ=则距板端距离越远，雷诺数也越大。
当雷诺数达到某一临界值时，流体即自层流转变为紊流。
据实验结果临界雷诺数约在5*510～610之间，如流体非常平静，最高的临界雷诺数也可超过610。
根据边界层的概念，可把粘滞流体分成两个区域：在边界层外，流速剃度为0，无内摩擦力发生，因而也可视为理想流体的流动，符合势流的运动规律；在边界层以内，流速自0增至0U ，流速剃度很大，内摩擦力十分显著。
因此，分析边界层内的运动规律时，必须以粘滞流体所服从的定律（纳为－斯托克斯方程式）为依据。
边界层的分离现象及绕流阻力流体压强在驻点N 处最大，在较高压强作用下，流体由此分道向圆柱体两侧流动。
由于圆柱面的阻滞作用便形成了边界层。
边界层内的特点是流体流动时有能量损失，从N 点起向下游达到A 或B 以前，由于圆柱表面的弯曲，使流体挤压，流速沿程增加，故沿边界层的外边界上0U x ∂∂＝正值，p x∂∂＝负值，即在外边界上压强是沿程下降的，由此可知在NA 或NB 一段边界层内的流体是处于加速减压状态的，也就是说，在该段边界层内用压强下降来补偿能量损失外，尚有一部分压能转变为动能。
绕流流动与边界层课件
1
2 1
2
9
ux u x yuy u y y1 p y( 2 x u 2 y 2 y u 2 y)
1Δ Δ1
2 Δ
1
ux uy 0
x y
11
ux u xxuy u yx 1 x p 2 y u 2x
ux uy 0 x y
10
二 积分方程 近似的方法，需补充近似的关系式
取单位宽度的边界层内微元段 y
边界层厚度的变化：湍流边界层厚度变化快
7
第三节 不可压缩流体边界层内摩擦阻力
一 微分方程x y z
ux uy 0 （1） x y
u x u x xuy u y x1 p x( 2 x u 2 x 2 y u 2 x)（2）
ux u x yuy u y y1 p y( 2 x u 2 y 2 y u 2 y)（3）
K A BqvA B ux0
ux2dy
K A C Uq v A C U x(0 u x d y)d x
K C D K A B ( K x A B ) d x 0 u x 2 d y x (0 u x 2 d y ) d x
13
联立得
K C D K A B K A C x (0 u x 2 d y ) d x U x (0 u x d y ) d x
Fp
Cp
U2 2
A
Cp —— 取决于形状的阻力系数，由实验确定
A ——垂直于流动方向的面积
绕流阻力为 FDFf Fp
FD
CD
U2 2
A
CD ——绕流阻力系数
4
第二节 边界层
粘性流体流动具有的两个特性： （1）固体壁面上，流体速度为0； （2）流体之间发生相对运动（或角变形）时，流体 之间存在摩擦力。
流体力学边界层理论
平板上u=0u=0
边界层内粘 性力不可忽
一薄层内速度这
∂vx
梯度 ∂y 很大
边界层外边界
U99％
边界层名义厚度 :外边界上流速达到 U99％的点到物面的法向距离 边界层厚度：
根据速度分布的特点，可将流场分为两个区域：
一、边界层：
∂vx 1.这一薄层内速度梯度 ∂y 很大。
2.边界层内的流动是有旋流动 ωz
表 11-1 给出问题的数值解，其中 1 ϕ′(η) = vx 就是边界层内无量纲的速
2
U
度分布。
例 11.1 本例说明上表 11-1 的用法。
(1) 欲求边界层内点（x,y）的速度 Vx（x,y）可将ｘ及ｙ的值代入η = 1 y U ， 2 νx
1
中得出η值，由此值从上表中找出相应的
ϕ
′ (η
)
⎣
U⎤
ν
x
⎥ ⎦
将ψ代入（11-17）式求解
（11-17）
∂ϕ = νUx dϕ dη = νUxϕ ⋅ 1 U = 1 Uϕ′(η)
∂y
dη dy
2 νx 2
∂ 2ϕ ∂y 2
=
1U 4
U ϕ′′(η) νx
∂3ϕ = 1 U 2 ϕ′′′(η) ∂y3 8 ν x
∂ϕ = 1 Uν [ϕ(η) −ηϕ′(η)] ∂x 2 ν x ∂2ϕ = − 1 U ηϕ′′(η) ∂x∂y 4 x
2 νx
δ = 2.5× 2 ν x = 5 0.15×10−4 × 3 = 0.128m = 1.28cm
U
6.95
（3)求板面上的切应力 τ0
解：
由牛顿内摩擦定律
τ0
=
水力学 第八章 边界层理论基础与绕流运动
2、边界层的厚度（Boundary Layer Thickness）
（1）边界层名义厚度
自固体边界表面沿其外法线到纵向流速 ux 达到主流速U0的99%处的距离。 边界层的厚度顺流增大，所以δ 是 x 的函数，即：δ （x）。
8-1 边界层的基本概念
4
（2）边界层位移厚度d（流量亏损厚度、排挤厚度）
第八章
§8 — 1 §8 — 2 §8 — 3 §8 — 4 §8 — 5 §8 — 6 §8 — 7
第八章
边界层理论基础和绕流运动
边界层的基本概念 边界层微分方程•普朗特边界层方程 边界层的动量积分方程 平板上的层流边界层 平板上的湍流边界层 边界层的分离现象和卡门涡街 绕流运动
1
边界层理论基础和绕流运动
3 10 Re xcr
5
教材中取： （2）边界层厚度
Re xcr 5.0 10
U 0xcr 3 106 v
5
1）层流边界层： 5 x Re 1x/ 2
8-1 边界层的基本概念
10
0.381x 2）紊流边界层： /5 Re1 x
2、管流或明渠流的边界层
进口处没有特别干扰的光 滑圆管流，进口段或起始段 长度为
8-1 边界层的基本概念
7
3、层流边界层与紊流边界层
当边界层厚度较小时，流速梯度很大，粘滞应力也很大，边界层内 的流动属于层流，这种边界层称为层流边界层（Laminar Boundary Layer）。 当雷诺数达到一定数值时，边界层内的流动经过一过渡段后转变为湍 流，成为湍流边界层（Turbulence Boundary Layer） 。
如图所示，可知： ρU δ δd 也可表示为：
工程流体力学 第2版 项目8 边界层理论基础
普朗特针对大雷诺数流动，提出边界层概念和正确地简化NS方程组的方法，使相当发展的理想流体理论有了实际价值。所 以边界层理论被誉为近代流体力学的重大发展之一。目前，边 界层理论已广泛地应用于航空、航海、水利、气象、机械、化 工及环境科学等方面。本项目主要介绍边界层理论中最基本的 内容，包括：边界层概念，边界层基本特征及边界层厚度，边 界层方程，并对平板层流边界层的计算问题和边界层分离现象 及绕流阻力等进行了分析和讨论。
代入连续性方程的积分方程得：
以上积分关系式可以改造成更简单的形式：
任务5 平板上层流边界层的计算
一、平板层流边界层 （1）边界层内的流速分布关系式
图8 层流边界层速度分布
（2）边界层内的切应力分布关系式 图9 层流边界层阻力分布
如需求流体对平板两面的总摩擦阻力时，只需将上式乘2即可。
二、平板上的紊流边界层 （1）光滑平板上的紊流边界层
【案例导入】
改变世界的科技—特斯拉涡轮机
图1 特斯拉涡轮机
图2 内部原理图
主要内容
任务1 边界层的概念 任务2 边界层厚度 任务3 平面层流边界层的微分方程 任务4 边界层的动量积分方程 任务5 平板上层流边界层的计算 任务6 边界层分离现象及绕流阻力
任务1 边界层的概念
一、边界层的定义 如图3所示，假设一薄平板平行于流速的方向，流体以均匀速 度U流过平板。
Ux Rex v
图3 边界层和外流区
（1）边界层的定义
在雷诺数较大的流动中，紧靠物体表面，流速受到粘性显 著影响，摩擦剪应力不能略去不计，这一极薄层流体，定义为 边界层（附面层）。
通常设定v = 0. 99 U的位置线作为边界层的外边界（理论上 讲应伸至无穷远），U为完全理想流体绕流时物面上的切向速 度。
流体力学第八章绕流运动
流体⼒学第⼋章绕流运动第⼋章绕流运动⼀、应⽤背景1、问题的⼴泛存在性：在⾃然界和⼯程实际中，存在着⼤量的流体绕物体的流动问题（绕流问题），如：飞机在空⽓中的飞⾏、河⽔流过桥墩、⼤型建筑物周围的空⽓流动、植物护岸（消浪，船⾏波），粉尘颗粒在空⽓中的飞扬和沉降，⽔处理中固体颗粒污染物在⽔中的运动。
（⼀种：流体运动；另外⼀种：物体运动），我们研究，将坐标系固结于物体上，将物体看成静⽌的，讨论流体相对于物体的运动。
2、问题的复杂性上⼀章的内容中可以看出，流体⼒学的问题可以归结为求解在⼀定边界条件和初始条件下偏微分⽅程组的求解。
但描述液体运动的⽅程式⾮常复杂的：⼀⽅⾯，是⽅程的⾮线性性质，造成⽅程求解的困难；另⼀⽅⾯，复杂的边界条件和初始条件都给求解流体⼒学造成了很多⿇烦。
迄今为⽌，只有很少数的问题得到了解决。
平⾯泊萧叶流动，圆管coutte流动等等。
⽽我们所要解决的绕流问题正是有着⾮常复杂的边界条件。
3、问题的简化及其合理性流体⼒学对此的简化则是，简化原⽅程，建⽴研究理想液体的势流理论。
实际液体满⾜势流运动的条件：粘性不占主导地位，或者粘性还没有开始起作⽤。
正例：远离边界层的流体绕流运动、地下⽔运动、波浪运动、物体落⼊静⽌⽔体中，⽔的运动规律研究。
反例：研究阻⼒规律、能量损失、内能转换等等。
圆柱绕流（经典之⼀）半⽆限长平板绕流（经典之⼆）分成两个区域：⼀个区域是远离边界的地⽅，此区域剪切作⽤不明显，⽽且流体惯性⼒的影响远远⼤于粘性⼒的影响（理想液体）（引导n-s⽅程）；另⼀个是靠近边界的地⽅（附⾯层，粘性底层），此区域有很强烈的剪切作⽤，粘性⼒的影响超强，据现代流体⼒学的研究表明，此区域是产⽣湍流的重要区域，有强烈的剪切涡结构，但此区域只有⾮常薄的厚度。
此区域对绕流物体的阻⼒、能量耗损、扩散、传热传质都产⽣重要影响。
4、本章的主要研究内容（1）外部：理想液体，（简化⽅法，求解⽅式）、（2）内部：附⾯层理论，（简化⽅法，求解⽅式，求解内容，现象描述）（3）两者的衔接。
绕流运动、边界层分离现象
δ KAC = ue ∫ ρvxdy dx x 0
整理上述单位时间内通过控制面的流体动量的通量在x方向的 分量,得 δ 2 δ ∑Kx = Kx+dx Kx KAC = ∫ ρvx dy dx ue ∫ ρvxdy dx
x 0 x 0
下面计算作用在控制面上所有外力在x轴方向的合力.忽略质 量力,故只有表面力. 作用在控制面BD上的表面力为
二,卡门涡街 1911年,匈牙利科学家卡门在德国专门研究了这种圆柱背后 旋涡的运动规律.实验研究表明,当时黏性流体绕过圆柱体,发 生边界层分离,在圆柱体后面产生一对不稳定的旋转方向相反的 对称旋涡,超过40后,对称旋涡不断增长,至时,这对不稳定的 对称旋涡,最后形成几乎稳定的非对称性的,多少有些规则的, 旋转方向相反,上下交替脱落的旋涡,这种旋涡具有一定的脱落 频率,称为卡门涡街,如图5-6所示.
外部流动
尾迹 外部流动 边界层
外部流体 曲面边界层分离现象示意图
现以不可压缩流体绕流圆柱体为例,着重从边界层内流动的物理过程说明曲 面边界层的分离现象.当黏性流体绕圆柱体流动时,在圆柱体前驻点A处,流速 为零,该处尚未形成边界层,即边界层厚度为零. 随着流体沿圆柱体表面上下两侧绕流,边界层厚度逐渐增大.层外的流体可 近似地作为理想流体,理想流体绕流圆柱体时,在圆柱体前半部速度逐渐增加, 压强逐渐减小,是加速流.当流到圆柱体最高点B时速度最大,压强最小.到圆 柱体的后半部速度逐渐减小,压强逐渐增加,形成减速流.由于边界层内各截面 上的压强近似地等于同一截面上边界层外边界上的流体压强,所以,在圆柱体前 半部边界层内的流动是降压加速,而在圆柱体后半部边界层内的流动是升压减速. 因此,在边界层内的流体质点除了受到摩擦阻力的作用外,还受到流动方向 上压强差的作用.在圆柱体前半部边界层内的流体质点受到摩擦阻滞逐渐减速, 不断消耗动能.但由于压强沿流动方向逐渐降低,使流体质点得到部分增速,也 就是说流体的部分压强能转变为动能,从而抵消一部分因摩擦阻滞作用而消耗的 动能,以维持流体在边界层内继续向前流动.
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• 第八章 边界层理论基础和绕流运动
武汉工程大学资源与土木工程学院 王亚军
第八章 边界层理论基础和绕流运动
• §8-1边界层的基本概念 • §8-2边界层微分方程——普朗特边界层方程 • §8-3边界层的动量积分方程 • §8-4平板上的层流边界层 • §8-5平板上的湍流边界层 • §8-6边界层的分离现象和卡门涡街 • §8-7绕流运动
9
y 过渡段忽略
Uo
湍流
层流
δc
x
xc
2020/6/17
10
2、管流的边界层 ——边界层的概念对管流同样有效。
（1）管流的发展：边界层厚度等于半径 r0 后，
形成充分发展的管流。
（2）入口段长度Le： 经试验分析，对光滑圆管，
层流： Le=0.058Red 湍流： Le=（25～50）d
2020/6/17
此处边界层 可作为流场中 两个区间（边界层 与势流区）的
分界。 6
y
Uo
Uo
U0
边界层外边界
粘性底层
x
层流边界层 过渡段
xc
湍流边界层
（2）边界层厚度随流程增加，其函数表达式为：
δ＝δ（x）
2020/6/17
7
（3）边界层内两种流动型态
1>层流——位于边界层前部的一部分，此部分厚度小、 速度梯度大，主要由粘滞力控制流动。
8-1 ～ 8-16
16
That’s all ! Good Luck!
1、绕流阻力 （1）概念： ——流体绕经物体时，物体受到绕物体的流体所给 予的阻力，称为绕流阻力。 （2）分类：
绕流阻力可分为摩擦阻力和形状阻力两大部分。
即： 绕流阻力＝摩擦阻力＋形状阻力
2020ห้องสมุดไป่ตู้6/17
3
1>摩擦阻力： ——由流体的粘性引起的，在物 体表面上产生的切向力。
摩擦阻力主要发生在紧靠物体表面的一个 速度梯度很大的流体薄层内，此薄层即边界层。
<
0
13
2、压差阻力 由物体迎、背面所产生的压强差，造成
的作用在物体上的压差阻力。
湍流时，摩擦阻力比压差阻力小得多，故 减小压差阻力，即可减小绕流阻力。
2020/6/17
14
3、卡门涡街
可由漩涡仪观测之。
4、绕流阻力计算：
D
CD
U
2 0
2
A
图8—10 8—11。
2020/6/17
会用 15
作业 P317～318习题
2>形状阻力： ——边界层发生分离，形成旋涡产 生的阻力，又称压差阻力。
2020/6/17
4
形状阻力主要是指流体绕物体运动时，边界层 发生分离，从而产生漩涡所造成的阻力，因此种阻 力与物体形状有关，故称形状阻力。
2、解决实际流体流动（特别是绕流运动），
可将流动分为两个区间，
边界层理论 1>紧靠固体边壁，粘性起主要作用的区间。
即：
2>不受固体边壁影响，粘性不起作用势的流区理间论。
2020/6/17
5
一、边界层概念 1904年，普朗特提出把受粘滞性影响的液层称为边界层。
1、平板边界层 平板边界层厚度一般只有平板长度的几百分之一。
（1）边界层厚度δ 定义
由壁面沿法线方向到速度
u=0.99u0 处的距离，
即边界层厚度。 2020/6/17
图示见 图8—2 11
二、曲面边界层分离及绕流阻力计算
概念：
边界层与固体壁面分离称为边界层分离 （或脱离）现象。
产生原因： 减速增压与物面阻滞作用的综合结果。
2020/6/17
12
1、曲面边界层分离
以绕圆柱 流动为例 进行简单 的分析。
p 0 x
¶u ¶x
>
0
2020/6/17
¶p ¶x
>
0
¶u ¶x
2>湍流——当边界层厚度增加，速度梯度逐渐减小时， 粘滞力对流动的影响逐渐减弱，层流流动 转变为湍流流动。
2020/6/17
8
（4）两种流态的判别
临界雷诺数
Rexcr
U (
0
x
)cr 3 105
~ 3 106
Re
U0c
2700 ~ 8500
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xc——层流区长度。 δc——层流区厚度。