九年级数学PPT教学课件：相似三角形

点为M.
(1)求证：
；
(2)求这个矩形EFGH的周长．
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图22－2
第22讲┃相似三角形及其应用
解 (1)证明：∵四边形 EFGH 为矩形， ∴EF∥GH. ∴∠AHG＝∠ABC. 又∵∠HAG＝∠BAC， ∴△AHG∽△ABC， ∴ AAMD＝HBCG.
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图22－6
第22讲┃相似三角形及其应用
解：(1)△ASR∽△ABC.理由：PQRS是正方形 ⇒SR∥BC⇒⇒△ASR∽△ABC.
(2)因为△ASR∽△ABC，根据相似三角形对应高的比等
于相似比，可得AADE＝BSRC. 设正方形PQRS的边长为x cm， 则AE＝(40－x)cm， 所以404－0 x＝6x0. 解得x＝24. 所以正方形PQRS的边长为24 cm.
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第22讲┃相似三角形及其应用
变式题 如图22－3，一个人拿着一把刻有厘米刻度的 小尺，站在离电线杆约20 m的地方，他把手臂向前伸直， 小尺竖直，看到尺上约12个刻度恰好遮住电线杆，已知臂 长约40 cm，你能根据以上数据求出电线杆的高度吗？
图22－3 解 析 运用的是相似三角形的对应高的比等于相似比， 来求出电线杆的高度，注意单位的转化．
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第22讲┃相似三角形及其应用
解 根据题意，得△AOB∽△DOC， 所以CD∶AB＝20∶0.4， 即CD∶0.12＝20∶0.4， 解得CD＝6 m. 故电线杆的高度为6 m.
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第22讲┃相似三角形及其应用
探究三 三角形相似的判定方法及其应用 命题角度： 1．利用两个角判定三角形相似； 2．利用两边及夹角判定三角形相似； 3．利用三边判定三角形相似.
位似图 形定义
点，对应边互相平行，像这样的两个图形叫做位似图 形，这个点叫做位形中心
位似与 位似是一种特殊的相似，构成位似的两个图形不仅相
相 似关系
似，而且对应点的连线相交于一点，对应边互相平行
位似图 形
的性质
(1)位似图形上的任意一对对应点到位似中心的距离 的比等于_相__似__比___； (2)位似图形对应点的连线或延长线相交于___一_____ 点； (3)位似图形对应边__平__行__(或在一条直线上)； (4)位似图形对应角相等
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第22讲┃相似三角形及其应用
探究四 位似
命题角度：
1. 位似图形及位似中心定义； 2. 位似图形的性质应用； 3. 利用位似变换在网格纸里作图．
例 4 [2013·孝感] 在平面直角坐标系中，已知点 E(－4，2)，
F(－2，－2)，以原点 O 为位似中心，相似比为12，把△EFO 缩小，
考点3 相似三角形的判定
判定定 平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所 理1 构成的三角形与原三角形__相__似____
判定定 如果两个三角形的三组对应边的___比_____相等， 理2 那么这两个三角形相似
判定定 如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且 理3 __相__应__的__夹__角__相等，那么这两个三角形相似
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第22讲┃相似三角形及其应用
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如图22－7，△ABC是一块锐角三角形的材料，边BC＝120 mm ，高AD＝80 mm，要把它加工成正方形零件，使正方形的一 边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，这个正方形零件 的边长是_4_8______mm.
图22－7
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第22讲┃相似三角形Hale Waihona Puke Baidu其应用
判定两个三角形相似的常规思路：①先找两对对应角 相等；②若只能找到一对对应角相等，则判断相等的角 的两夹边是否对应成比例；③若找不到角相等，就判断 三边是否对应成比例，否则可考虑平行线分线段成比例 定理及相似三角形的“传递性”．
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第22讲┃相似三角形及其应用
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探究一 比例线段
命题角度： 1．直角三角形两锐角互余； 2．直角三角形斜边上中线等于斜边的一半．
例1 [2013·上海] 如图22－1，已知在△ABC中，点D、E
、F分别是边AB、AC、BC上的点，DE∥BC，EF∥AB，
且AD∶DB＝3∶5，那么CF∶CB等于( A )
相似三 角形
(2)相似三角形面积的比等于相似比的平方
(3)相似三角形对应高、对应角平分线、对应 中线的比等于相似比
相似多 边形
(1)相似多边形周长的比等于相似比 (2)相似多边形面积的比等于相似比的平方
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第22讲┃相似三角形及其应用
考点5 位似
两个多边形不仅相似，而且对应顶点间连线相交于一
判定定 如果一个三角形的两个角与另一个三角形的 理4 两_个__角__对__应__相__等_，那么这两个三角形相似
拓展
直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角 形与原直角三角形相似
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第22讲┃相似三角形及其应用 考点4 相似三角形的性质
(1)相似三角形周长的比等于相似比
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第22讲┃相似三角形及其应用
解 析 (1)证明△AHG∽△ABC，根据相似三角形对应 高的比等于相似比，证明结论． (2)设HE＝x，则HG＝2x，利用第一问中的结论求解．
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解 (2)由(1)得AAMD＝HBCG.设 HE＝x， 则 HG＝2x，AM＝AD－DM＝AD－HE＝30－x. 可得303－0 x＝24x0，解得 x＝12，2x＝24. 所以矩形 EFGH 的周长为 2×(12＋24)＝72 (cm)．
在线段AB上，点C把线段AB分成两条
线段AC和BC(AC＞BC)，如果________，一条线段的黄金
黄金 分割
那么称线段AB被点C黄金分割，点C叫 做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比
分割点有___两___ 个
叫做黄金比，黄金比为________ 0.618
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图22－5
第22讲┃相似三角形及其应用
解
(1)证明：连接OC.
∵OC＝OA，
∴∠OAC＝∠OCA.
又∠OAC＝∠DAC，
∴∠DAC＝∠OCA，
∴OC∥AD，∴OC⊥CD.
即DC为⊙O的切线．
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解 (2)连接 BC. ∵∠ADC＝∠ACB＝90°， ∠DAC＝∠CAB， ∴△ADC∽△ACB， ∴AADC＝AACB，即 AC2＝AD·AB. 又⊙O 的半径为 3， ∴AB＝6.又∵AD＝4，∴AC＝2 6.
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探究五 相似三角形与圆
命题角度： 1. 圆中的相似计算； 2. 圆中的相似证明． 例5 [2013·黄冈] 如图22－5，AB为⊙O的直径，C为⊙O 上一点，AD和过C点的直线互相垂直，垂足为D，且AC平 分∠DAB. (1)求证：DC为⊙O的切线； (2)若⊙O的半径为3，AD＝4，求AC的长．
相似三角形及其应用
第22讲┃相似三角形及其应用
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考点1 相似图形的有关概念
相似图形
形状相同的图形称为相似图形
相似多边形
定义 相似比
如果两个多边形满足对应角相等， 对应边的比相等，那么这两个多 边形相似
相似多边形对应边的比称为相似
比k
相似三 角形
两个三角形的对应角相等，对应边成比例，
则这两个三角形相似．当相似比k＝1时，
A．5∶8
B．3∶8
C．3∶5
D．2∶5
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图22－1
第22讲┃相似三角形及其应用
解 析 先由AD∶DB＝3∶5，求得BD∶AB的长，再由 DE∥BC，根据平行线分线段成比例定理，可得CE∶AC ＝BD∶AB，然后由EF∥AB，根据平行线分线段成比例 定理，可得CF∶CB＝CE∶AC，则可求得答案．具体 解题过程如下：
两个三角形全等
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考点2 比例线段
定义
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比例 线段
对于四条线段a、b、c、d，如果其中
两条线段的长度的比与另两条线段的 长度的比相等，即_a_∶__b_＝__c_∶__d__，那 么，这四条线段叫做成比AC 例线段，简 称比例线段
求两条线段的比 时，对这两条线 段要用同一长度 单位
则点 E 的对应点 E′的坐标是( D )
A．(－2，1)
B．(－8，4)
C．(－8，4)或(8，－4) D．(－2，1)或(2，－1)
解 析 根据题意画出相应的图形，找出点E的对应点E′
的坐标即可．
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第22讲┃相似三角形及其应用
利用位似将图形放大或缩小的作图步骤：第一步：在 原图上选取关键点若干个，并在原图外任取一点P；第二 步：以点P为端点向各关键点作射线；第三步：分别在射 线上取关键点的对应点，满足放缩比例；第四步：顺次 连接截取点．即可得到符合要求的新图形．
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以坐标原 点为中心 的位似 变换
在平面直角坐标系中，如果位似是以原点
为位似中心，相似比为k，那么位似图形对
应点的坐标的比等于________
位似 作图
(1)确定位似中心O； (2)连接图形各顶点与位似中心O的线段(或
延长线)； (3)按照相似比取点； (4)顺次连接各点，所得图形就是所求的图 形
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三角形中的内接四边形问题 教材母题 北师大版八下P147例题
如图22－6，AD是△ABC的高，点P，Q在BC边上，点R在 AC边上，点S在AB边上，BC＝60 cm，AD＝40 cm，四边 形PQRS是正方形． (1)△ASR与△ABC相似吗？为什么？ (2)求正方形PQRS的边长．
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第22讲┃相似三角形及其应用
解 析 ∵AD∶DB＝3∶5，
∴BD∶AB＝5∶8.
∵DE∥BC，
∴CE∶AC＝BD∶AB＝5∶8，
∵EF∥AB，
∴CF∶CB＝CE∶AC＝5∶8.
故选A.
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探究二 相似三角形的性质及其应用
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第22讲┃相似三角形及其应用 考点6 相似三角形的应用
几何图形 的证明与
计算
相似三角 形在实际 生活中的
应用
常见 问题
建模 思想
常见 题目 类型
证明线段的数量关系，求线段的长 度，图形的面积大小等
建立相似三角形模型
(1)利用投影，平行线，标杆等构 造相似三角形求解； (2)测量底部可以达到的物体的高 度； (3)测量底部不可以到达的物体的 高度； (4)测量不可以达到的河的宽度
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解 (2)在▱ABCD 中，CD＝AB＝8， 由(1)知△ADF∽△DEC， ∴ADDE＝CADF， ∴DE＝ADA·FCD＝64 3×38＝12. 在 Rt△ADE 中，由勾股定理得： AE＝ DE2－AD2＝ 122－（6 3）2＝6.
例3 [2013·巴中] 如图22－4，在平行四边形ABCD中，过 点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点， 且∠AFE＝∠B. (1)求证：△ADF∽△DEC； (2)若AB＝8，AD＝6 ，AF＝4 ，求AE的长．
图22－4
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第22讲┃相似三角形及其应用
命题角度： 1. 利用相似三角形性质求角的度数或线段的长度； 2. 利用相似三角形性质探求比值关系．
例2 如图22－2，△ABC是一张锐角三角形的硬纸片， AD是边BC上的高，BC＝40 cm，AD＝30 cm，从这张硬纸 片上剪下一个长HG是宽HE的2倍的矩形EFGH，使它的一
边EF在BC上，顶点G、H分别在AC，AB上，AD与HG的交