简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词 知识点与题型归纳

●高考明方向

1.了解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义．

2.理解全称量词与存在量词的意义．

3.能正确地对含有一个量词的命题进行否定.

★备考知考情

1.含逻辑联结词命题真假的判断，含全称量词、 存在量词命题的否定是近几年高考的热点．

2.常与集合、不等式、函数等相结合考查，

在知识的交汇点处命题．

3.命题主要以选择题为主，属中低档题.

一、知识梳理《名师一号》P7

知识点一 逻辑联结词

1.命题中的或、且、非叫做逻辑联结词．

2．命题p 且q 、p 或q 、非p 的真假判断

归纳拓展：

(1)p 与q 全真时，p 且q 为真，否则p 且q 为假； 即一假假真．

(2)p 与q 全假时，p 或q 为假，否则p 或q 为真； 即一真即真．

(3)p 与非p 必定是一真一假.

注意1：《名师一号》P8 问题探究 问题1

逻辑联结词中的“或”相当于集合中的“并集”， 逻辑联结词中的“且”相当于集合中的“交集”， 逻辑联结词中的“非”相当于集合中的“补集”，

注意2：《名师一号》P8 问题探究 问题2

命题的否定与否命题的区别：

（1）前者否定结论，后者否定条件及结论

（2）前者真假性与原命题必相反，

后者真假性与原命题关系不定

注意3：(补充) “且”、“或”命题的否定 （1）p q ∧的否定为 ()p q ⌝∧=p q ⌝∨⌝

（2）p q ∨的否定为()p q ⌝∨=p q ⌝∧⌝

知识点二 全称量词与存在量词

1、全称量词、全称命题的定义

“一切的”，“所有的”，“每一个”，“任意的”，“任给”，“凡”，“都”等词在逻辑中通常叫做全称量

词，用符号“∀”表示.含有全称量词的命题，叫做全称命题.

2.存在量词、特称命题的定义

“存在”，“有一个”，“有的”，“至少有一个”，“对某个”，“有些”等词在逻辑中通常叫做存在量词，用符号“∃”表示.含有存在量词的命题，叫做特称命题.

3.全称命题、特称命题的否定

（1）全称命题的否定

全称命题P ：)(,

x p M x ∈∀； 其命题否定┓P 为：)(,x p M x ⌝∈∃。 （2）特称命题的否定

特称命题P ：)(,x p M x ∈∃；

其否定命题┓P 为：)(,x p M x ⌝∈∀。

即须遵循下面法则： 否定全称得特称，否定特称得全称.

二、例题分析

（一）含有逻辑联结词的命题的真假判定

例1.(1) 《名师一号》P7 对点自测2

设p ，q 是两个命题，则“p ∨q 为真，p ∧q 为假”的充要条件是( )

A ．p ，q 中至少有一个为真

B ．p ，q 中至少有一个为假

C ．p ，q 中有且只有一个为真

D ．p 为真，q 为假

答案: C

解析 “p ∨q ”为真，则命题p 、q 中至少有一个为真，“p ∧q ”为假，则命题p 、q 中至少有一个为假，则“p ∨q 为真，p ∧q 为假”的充要条件是“p 、q 中有且只有一个为真”．

例1.(2) 《名师一号》P8 高频考点 例1(1)

（2013湖北3）在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次，设命题p 是“甲降落在指定范围”，q 是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为( )

A ．(⌝p )∨(⌝q )

B ．p ∨(⌝q )

C ．(⌝p )∧(⌝q )

D ．

p ∨q

答案:A

例1.(3) 《名师一号》P8 高频考点例1(2)

(2014·湖南卷)已知命题p：若x>y，则－x<－y；命题q：若x>y，则x2>y2.在命题：①p∧q；②p∨q；

③p∧(⌝q)；④(⌝p)∨q中，真命题是( )

A．①③ B．①④ C．②③ D．②④

答案:C

注意：《名师一号》P8 高频考点例1 规律方法(1)“p∨q”、“p∧q”、“⌝p”形式命题真假的判断步骤：

①确定命题的构成形式；

②判断其中命题p，q的真假；

③确定“p∨q”、“p∧q”、“⌝p”形式命题的真假．

(2)p且q形式是“一假必假，全真才真”，

p或q形是“一真必真，全假才假”，

非p则是“与p的真假相反”．

（二）含有一个量词的命题的否定

例1.《名师一号》P8 高频考点例2

写出下列命题的否定，并判断其真假：

(1)p：∀x∈R，x2－x＋14≥0；

(2)q：所有的正方形都是矩形；

(3)r：∃x0∈R，x20＋2x0＋2≤0；

(4)s：至少有一个实数x使x3＋1＝0.

解析

(1)⌝p：∃x0∈R，x20－x0＋14<0，假命题．

(2)⌝q：至少存在一个正方形不是矩形，假命题．

(3)⌝r：∀x∈R，x2＋2x＋2>0，真命题．

(4)⌝s：∀x∈R，x3＋1≠0，假命题．

注意：《名师一号》P8 高频考点例2 规律方法全称命题与特称命题的否定与命题的否定有一定的区别，否定全称命题和特称命题时，

一是要改写量词，全称量词改写为存在量词，

存在量词改写为全称量词；

二是要否定结论．

而一般命题的否定只需直接否定结论即可．

（三）由命题的真假确定参数的取值范围

例1.《名师一号》P9 高频考点 例3

给定两个命题，命题p ：对任意实数x 都有ax 2>－ax －1恒成立，命题q ：关于x 的方程x 2－x ＋a ＝0有实数根．若“p ∨q ”为真命题，“p ∧q ”为假命题，则实数a 的取值范围为________．

解析

若p 为真命题，则a ＝0或⎩⎨⎧ a >0，a 2－4a <0，即0≤a <4；

若q 为真命题，则(－1)2－4a ≥0，即a ≤14

. 因为“p ∨q ”为真命题，“p ∧q ”为假命题，

所以p ，q 中有且仅有一个为真命题．

若p 真q 假，则14

综上，实数a 的取值范围为(－∞，0)∪⎝ ⎛⎭

⎪⎫14，4.

注意：《名师一号》P9 高频考点 例3 规律方法

根据命题的真假求解参数的取值范围的关键是

先求出相关命题为真时所对应的参数的取值范围， 如本例中，先求出命题p ，q 为真命题时参数a 的 取值范围；

再根据含有逻辑联结词的命题的真值表，判断两个 命题的真假； 最后根据命题的真假情况，利用集合的交集和补集的运算，求解参数的取值范围，

如本例中，列出关于a 的不等式组．

解答题注意答题格式规范！

（四）利用逻辑关系判断命题真假

含逻辑联结词的命题的真假判断，虽非高考命题的重点，却是大家易错的高频点，其知识考查覆盖面广，考查方式多种多样，让人有一种“逻辑扑朔迷离，命题真假难辨”的感觉，在备考中要格外注意．

例1.《名师一号》P9 特色专题 例1

对于中国足球参与的某次大型赛事，有三名观众对结果作如下猜测：甲：中国非第一名，也非第二名；乙：中国非第一名，而是第三名；丙：中国非第三名，而是第一名．竞赛结束后发现，一人全猜对，一人猜对一半，一人全猜错，则中国足球队得了第________名．