指数函数(3)
指数函数3
3 期后的本利和为y a1 r ,
3
x 期后的本利和为y a1 r , x N ,
x
即本利和 y 随存期x 变化的函数关系式为
2将 a 1000元, r 2.25%, x 5 代入上式, 得 5 y 1000 1 2.25% 1000 1.02255 1117 68元. .
后的本利和. 复利是把前一期的利息 和本金加在一起作本金再计算 ,
下一期利息的一种计算 利息方法 .
解 1已知本金为a 元, 利率为r, 则 1期后的本利和为y a a r a1 r ,
2 期后的本利和为y a1 r a1 r r a1 r ,
(精确到0.001) ?
在例 5中, 请借助计算器解答下列问题 :
作业
P55
3
2 . 2 . .进一步体会指数函数是现代科技、生 活中具有广泛用途的重要数学模型； 2.进一步体会从具体到抽象、从特殊到 一般的思维过程； 3.进一步体会归纳----总结的一般方法； 4.进一步学习使用计算器进行计算。
自学指导
1.什么叫做复利? 2.例4、例5中都体现了一种什么样的思维过 程？它们用的方法有什么共同之处？你能够 总结吗？
即5 期后的本利和约为 111768元. .
y a1 r , x N .
x
分层训练
一必做题
1.用清水漂洗衣服，若每次能洗去污垢 的3/4，写出存留污垢y与漂洗次数x的函 数关系式，若要使存留的污垢不超过原 1 来的 2 ，则至少要漂洗几次？
16
思考题 :
1第几期后本利和超过本金的1.5 倍 ? 2要使10 期后本利和翻一番, 利率应为多少 ?
2.1.2指数函数及其性质(3)
|
x
1}
当a 1时, x的取值范围是{x | x 1} 5
5
完成预学案P38拓展问题1
解：由已知,当0 a 1时 x2 5x x 7 即x2 6x 7 0 解得1 x 7 当a 1时 x2 5x x 7 即x2 6x 7 0 解得x 7或x 1 综上所述,当0 a 1时,
问题 引入
问题1：某种细胞分裂时，由1个分裂成2个， 2个分裂成4个，……以此类推，1个这样的细 胞分裂x次后，得到的细胞个数y与x的函数关 系式是什么？
研究
分裂
次数 1次 2次 3次 4次
x次
……
y 2x(x N*)
细胞 2个 4个 8个 16个
总数
21
22
23
24
2x
问题 引入
问题2、《庄子·天下篇》中写道：“一尺 之棰，日取其半，万世不竭。”请你写出 截取x次后，木棰剩余量y关于x的函数关 系式？
0 21 1 31
指数函数y (21)x 在R上是减函数
又3.4 0
31 0(
21)3.4
1
2.13.4 3.13.4
31
2.指数函数的图象和性质
练习：
a>1
0<a<1 1.当a (1,+) 时,函数y ax
图
y y=ax
y=ax y
(a 0且a 1)为增函数.这时,
y=1
y=1 (0,1)
4.当x>0时, 0<y<1;当x<0 时, y>1.
5.既不是奇函数也不是偶函数.
0 0.25 2x1 1
函数的值域为 (0,1].
完成课本P58题2、P59题5
数学人教A版必修第一册4.2.2指数函数的图象和性质课件(3)
]关于
x的方程
| a x 1 |且
2aa≠1)有两个不相等的实数根
(a 0, 且a 1)有两个不等实根, 求a.
转化为函数 y＝|ax－1|与 y＝2a 有两个交点．
1
①当 0<a<1 时，如图①，∴0<2a<1，即 0<a<2；
②当 a>1 时，如②，而 y＝2a>1 不符合要求．
0.71
2.83
0.35
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
2 和
=
1
( ) 的图象.
2
1 x
思考：观察y＝( ) 的图象与函数y＝2x的图象，它们有何特点？
2
图象都在x轴上方
x
1
y 2 与y 的图象关于y轴对称
2
x
减函数
增函数
为了得到指数函数y＝ax（a＞０，且a≠１）的性质，我们还需要选取底数
例2：比较下列各题中两个值的大小:
x的性质，1.72.5<1.73.
2.5
3
(1)根据函数y=1.7
(1)1.7 ，1.7 ;
x的性质，0.8− 2 < 0.8− 3 .
(2)根据函数y=0.8
(2)0.8− 2 ,0.8− 3 ;
2 0.5
1 0.5
0.5
(3)根据幂函数 = 的性质，(5) >(3) .
指数函数的应用六：单调性与奇偶性
例8：判断函数的奇偶性
(1)() =
2 −1
2 +1
(2)() =
3 −3−
第三章 第五节 指数函数 课件(共53张PPT)
由图象知，其在(－∞，0]上单调递减，所以 k 的取值范围为(－∞，0].
答案： (－∞，0]
指数函数的性质及应用
角度一 比较指数幂的大小
解析： (1)由函数 y＝kx＋a 的图象可得 k<0，0<a<1.因为函数的图象与 x 轴交点的横坐标大于 1，所以 k>－1，所以－1<k<0.函数 y＝ax＋k 的图象可以 看成把 y＝ax 的图象向右平移－k 个单位长度得到的，且函数 y＝ax＋k 是减函 数，故此函数与 y 轴交点的纵坐标大于 1，结合所给的选项，选 B.
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
n (1)
an
＝(n
a
)n＝a(n∈N＋).(
)
m
(2)分数指数幂 an
可以理解为mn
个 a 相乘．(
)
(3)函数 y＝3·2x 与 y＝2x＋1 都不是指数函数．( )
(4)若 am<an(a>0，且 a≠1)，则 m<n.( )
答案： (1)× (2)× (3)√ (4)×
角度二 解简单的指数方程或不等式
(1)若
，则函数 y＝2x 的值域是( )
1 A．8，2
1 B．8，2
C．－∞，18
D．[2，＋∞)
4x，x≥0， (2)已知实数 a≠1，函数 f(x)＝2a－x，x<0， 若 f(1－a)＝f(a－1)，则 a 的
值为________．
解析： (1)因为
人教A版数学必修一2.1.2指数函数及其性质 (3)
2.1.2指数函数及其性质班级:__________姓名:__________设计人__________日期__________课后练习【基础过关】1．在同一坐标系内，函数f(x)=2x+1，g(x)=21−x的图象关于A.原点对称B.x轴对称C.y轴对称D.直线y=x对称2．已知f(x)=3x−b(2≤x≤4，b为常数)的图象经过点(2，1)，则f(x)的值域是A.[9，81]B.C.D.3．已知函数f(x)为定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)=2x+2x+m(m为常数)，则f(−1)的值为A.-3B.-1C.1D34．函数，满足f(x)>1的x的取值范围为A.(−1,1)B.(−1,+∞)C.{x|x>0或x<−2}D.{x|x>1或x<−1}信达信达5．函数的定义域为 .6．已知-1<a<0，则三个数3a,a 13，a3由小到大的顺序是 .7．已知函数y=a x(a>0且a≠1)在[1,2]上的最大值与最小值之和为20，记f(x)=a xa x+2.(1)求a的值；(2)证明f(x)+f(1−x)=1；(3)求f(12013)+f(22013)+f(32013)+⋯+f(20122013)的值.8．已知f(x)为定义在(−1，1)上的奇函数，当x∈(0，1)时，数f(x)=2x2−2x.(1)求f(x)在(−1，1)上的解析式；(2)求函数f(x)的值域.【能力提升】已知f(x)=a x−a−xa+a,(0<a<1).(1)判断f(x)的奇偶性；(2)证明f(x)在其定义域上为减函数；(3)求f(x)的值域.2.1.2指数函数及其性质课后作业·详细答案【基础过关】1．C【解析】作出函数f(x)＝2x＋1，的图象如图所示，可知两个函数的图象关于y轴对称.2．C【解析】由题意得f(2)＝32－b＝1，∴2－b＝0，b＝2，∴f(x)＝3x－2，由2≤x≤4得0≤x－2≤2，所以1≤3x－2≤9，所以f(x)的值域是[1，9].3．A【解析】∵函数f(x)为定义在R上的奇函数，又∵当x≥0时，f(x)＝2x＋2x＋m，∴f(0)＝20＋2×0＋m＝0，∴m＝－1.∴当x≥0时，f(x)＝2x＋2x−1.∴f(－1)＝－f(1)＝－(2＋2×1－1)＝－3.4．D【解析】本题考查指数函数的性质与求值.当x≤0时，f(x)=2−x−1>1，即2−x>2，解得x<−1；当x>0时，f(x)=x 12>1，解得x>1；所以满足f(x)>1的x的取值范围为{x|x>1或x<−1}.选D.信达信达5．[－12，＋∞)6．a 13<a 3<3a【解析】本题考查指数函数的性质与运算.因为-1<a <0，所以3a>0,；所以a 13<a 3<3a . 7．(1)函数y ＝a x (a ＞0且a ≠1)在[1，2]上的最大值与最小值之和为20， ∴a ＋a 2＝20，得a ＝4或a ＝－5(舍去). (2)由(1)知f (x )＋4x 4x +2，∴f (x )＋f (1−x )＝4x 4x +2+41−x41−x +2＝4x4x +2+44x44x +2＝4x 4x +2+42·4x +4 ＝4x4x +2+24x +2＝1.(3)由(2)知f (12013)+f (20122013)＝1， f (22013)+f (20112013)＝1，…，f (10062013)+f (10072013)＝1，∴+[f (1006)+f (1007)]＝1＋1＋…＋1＝1006.8．(1)因为f (x )为定义在(－1，1)上的奇函数，所以对于任意的x ∈(－1，1)都有f (－x )＝－f (x ).据此一方面可由x ∈(0，1)时的函数解析式求x ∈(－1，0)时的函数解析式，另一方面可以根据f (x )为奇函数求得f (0)＝0.(2)求函数f (x )的值域时，可以用换元法，设t ＝x 2－2x ，先求t 的取值范围，再求2t 的取值范围. (1)设－1＜x ＜0，则0＜－x ＜1，f(−x)＝2(−x)2－2(−x)＝2x2＋2x.∵f (x )是定义在(−1，1)上的奇函数， ∴f (－x )＝－f (x )，f (0)＝0，∴f(x)＝－2x 2＋2x (－1＜x ＜0).故(2)设t＝x2−2x，则y＝2t.∵0＜x＜1，∴－1＜t＜0.∴12＜y＜1.∵f(x是奇函数，∴－1＜x＜0时，.故函数f(x)的值域为(－1，−12)∪{0}∪(12，1).【备注】方法技巧：关于指数型函数的最值的求法指数型函数的最值问题常见类型有：化为指数函数型，化为二次函数型，化为反比例函数型等.形如型的最值问题，通常将f(x)换元，化为指数型的最值问题(求出f(x)的范围后利用指数函数图象求解)；形如y＝(a x)2−ka x+b型的最值问题通常将a x换元，化为二次函数型最值问题(求出a x的范围后利用二次函数图象求解).【能力提升】解：(1),所以是奇函数；(2)证明：令x1<x2;f(x1)−f(x2)=a x1−a−x1a x1+a−x1−a x2−a−x2a x2+a−x2>0,即f(x1)>f(x2);所以f(x)在其定义域上为减函数.(3);因为a x>0,所以(a x)2>0，(a x)2+1>1；所以0<1(a x)2+1<1,−2<−2(a x)2+1<0，所以−1<1−2(a x)2+1<1.所以的值域是(−1,1).信达信达。
14指数函数3(教学案)
1 2
本节内容个人掌握情况反思：
2
学习要点及自主学习导引
1. 若函数 y 2 x1 m 的图象不经过第一象限，则 m 的取值范围是 _______ 。 x 2.解方程 4 2x 1 8 0
y
3.如图为指数函数 (1) y a x , (2) y b x , (3) y c x , (4) y d x ， 则 a, b, c, d 与 1 的大小关系为
典例探究
a b
c d
O
x
思想方法总结
例1、 已知函数 y f ( x) 是奇函数，则当 x 0 时， f ( x) 3 x 1 ，求
当 x 0 时 y f ( x) 的解析式。
例 2、已知 2 x
2
x
1 4
x2
, 求函数 yΒιβλιοθήκη 2 x 2 x 的值域1
例 3、 （1）求.函数 y=（ ） x
1 2
2
2 x 2
的递增区间。
（2）求.函数 y 36x 12 6x 5 的单调区间。
例 4、已知定义域为 R 的函数 f ( x) （Ⅰ）求 a , b 的值；
2 x b 是奇函数。 2 x 1 a
（Ⅱ）若对任意的 t R ，不等式 f (t 2 2t ) f (2t 2 k ) 0 恒成立，求
k 的范围；
课堂练习： 1、已知函数 f ( x)
自我纠错
a x 1 (a 0, a 1) ax 1
（1）求 f ( x ) 的定义域和值域； （2）讨论 f ( x ) 的单调性。
2、若 a2x+ ·ax－ ≤0（a＞0 且 a≠1） ，求 y=2a2x－3·ax+4 的值 域.
指数函数(3)
x 练习： 1.方程4
3 2
x 1
16 0的解为________
．
2.已知关于x的方程2a （ 1 ）求实数a的值；
2 x2
9a
2 x2
x 1
4 0有一根为2.
x 1
(2)若0 a 1, 求不等式2a
9a
4 0的解集.
9.解指数方程及图像间交点问题：
x
x
例6
作出下列函数的图像并 求出其单调区间： （ 1 ）y 3x 1
(3) y 3
x2
(2) y 3 x 1 2
1
1 x (4) y ( ) 1 3
9.解指数方程及图像间交点问题：
例7 解指数方程
பைடு நூலகம்
3
x2
3
2 x
80
评注：解指数方程通常是通过换元转化成二次方程求解，要注意验根．
x
1 x2 例4. 作出 y ( ) 的图像，并指出其单调 区间. 2
练习：求下列函数的单 调区间： （ 1 ）f ( x) 2
x 1
1 x 2 2 x （2）f ( x) ( ) 3 1 x2 x2 (3) y ( ) 2
抓住复合函数：
同增异减
注意：定义域优先
拓展：
y dx yc
x
y
y b
x
ya
x
0 c d 1 a b
0
．
x
指数函数在同一直角坐标系下的底数大小的判断方法：
方法1：作直线x=1 方法2：在第一象限，底数越大，图像越靠近y轴
x x
恒有f (1 m) f (1 m ) 0, 求m的取值范围。
2.1.2指数函数及其性质(3)
太原市新希望双语学校高一年级第一学期数学学科练习题2.1.2-3课题：指数函数(3) 责任编辑人：赵晶晶 校对人：杨鹏飞 日期：班级： 姓名：一、选择题：1.已知函数()⎪⎩⎪⎨⎧≤⎪⎭⎫ ⎝⎛>=,0,21,0,21x x x x f x 则()()=-4f f （ ） A.-4 B.41- C.4 D. 6 2.函数()()21025--+-=x x y 的定义域是 （ ） A.{}2,5≠≠x x x B.{}2>x x C.{}5>x x D.{}552><<x x x 或 3.若a a 23122121-+⎪⎭⎫ ⎝⎛<⎪⎭⎫ ⎝⎛，则实数a 的取值范围是 ( )A.()+∞,1B.⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞,21C.()1,∞-D.⎪⎭⎫ ⎝⎛∞-21, 4.设函数(),1,1,2,13≥<⎩⎨⎧-=x x x x f x 则满足()()()a f a f f 2=的a 的取值范围是 （ ） A.⎥⎦⎤⎢⎣⎡1,32 B.[]1,0 C.⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,32D.[)+∞,1二、填空题：5.不等式12193-+<x x 的解集为 . 6.方程81323=-x ，则=x .7.方程803322=--+x x ，则=x .8.()=⋅-+⎪⎭⎫ ⎝⎛63430321687 . 9.已知()()x x a a a a -+++>++12126464，则x 的取值范围为 .三、解答题：10.（1）解不等式22112≤⎪⎭⎫ ⎝⎛-x ；（2）若43+->x x a a （0>a 且1≠a ）求x 的取值范围.11.设10≤≤x ，求10264+⋅-=--x x y 的最大值和最小值.（选做题）已知定义域为R 的函数()x f 满足()()()y f x f y x f ⋅=+，当0>x 时，()1>x f . ⑴求()0f ；⑵证明：()()()y f x f y x f =-； ⑶判定()x f 的单调性.。
指数函数公式
数知识：作为实数变量x的函数，有时，尤其是在科学中，术语指数函数更一般性的用于形如的指数函数欧拉数e 的指数函数。
指数函数的一般形式为(a>0且≠1) (x∈R)，从上面我们关于幂函数的讨论就可以知道，要想使得x能够取整个实数集合为定义域，则只有使得a>0且a≠1如图所示为a的不同大小影响函数图形的情况。
在函数中可以看到（5）可以看到一个显然的规律，就是当a从0趋向于无穷大的过指数函数线y=1是从递减到递增的一个过渡位置。
（6）函数总是在某一个方向上无限趋向于X轴,并且永不相交。
（7）函数总是通过（0，1）这点,(若,则函数定过点(0,1+b))（8）指数函数无界。
（9）指数函数是非奇非偶函数（10）当指数函数中的自变量与因变量一一映射时，指数函数具有反函数。
2公式推导e的定义：()'指数函数======特殊地，当a=e时，()'=(ln x)'=1/x。
方法二：设，两边取对数ln y=xln a两边对x求导：y'/y=ln a，y'=yln a=a^xln a特殊地，当a=e时，y'=(a^x)'=(e^x)'=e^xln e=e^x。
eº=13函数图像指数函数（1）由指数函数y=a^x与直线x=1相交于点（1，a)可知：在y轴右侧，图像从下到上相应的底数由小变大。
（2）由指数函数y=a^x与直线x=-1相交于点（-1，1/a）可知：在y轴左侧，图像从下到上相应的底数由大变小。
（3）指数函数的底数与图像间的关系可概括的记忆为：在y轴右边“底大图高”；在y 轴左边“底大图低”。
（如右图）。
(4)与的图像关于y轴对称。
4幂的比较比较大小常用方法：（1）比差（商）法：（2）函数单调性法；（3）中间值法：要比较A与B的大小，先找一个中间值C，再比较A与C、B与C的大小，由不等式的传递性得到A与B之间的大小。
比较两个幂的大小时，除了上述一般方法之外，还应注意：（1）对于底数相同，指数不同的两个幂的大小比较，可以利用指数函数的单调性来判断。
第三章-§3-指数函数高中数学必修第一册北师大版
根据在轴右侧③的图象在④的图象上方可知 > ；根据在轴左侧①的图象在②的
图象下方可知 > .
综上可知 < < 1 < < .
方法2 作直线 = 1（如图3-3-3），则直线 = 1与题中四个函数图象
例12 若方程 3 − 1 = 有一解，则的取值范围为_____________.
【解析】函数 = 3 − 1 的图象是由函数 = 3 的图象向下平
移一个单位长度后，再把位于轴下方的图象沿轴翻折到轴上
方得到的，函数图象如图3-3-6所示.
当 = 0或 ≥ 1时,直线 = 与函数 = 3 − 1 的图象有唯一的
所以2 − 3 + 3 = 1，解得 = 2或 = 1，又 > 0且 ≠ 1，所以 = 2.
题型2 求指数型函数的定义域或值域
例7 ［教材改编P91 A组T1］求下列函数的定义域和值域：
（1） = 1 − 3 ；
【解析】要使函数式有意义，则1 − 3 ≥ 0，即3 ≤ 1 = 30 .
1 −4
2
2
− 4 ≥ −4,
= 16.
0,所以函数 =
2
1 −2−3
的值域为(0,16].
2
题型3 指数函数的图象及应用
例8 利用函数 = = 2 的图象，作出下列各函数的图象：
（1） − 1 ；（2） ；（3） − 1；
（4）− ；（5） − 1 ．
【解析】作出函数 = |3 − 1| − 1的图象如图3-3-8所示.
由图象知 ≤ −1,
新人教版高中数学必修一教案：第3节 指数函数
2.3指数函数【知识要点】1. 指数函数：一般地，函数y=xa （a>0,且a ≠1）叫做指数函数。
2. 指数函数y=xa （a>0,且a ≠1）的图像与性质3.指数函数的运算性质 （1）m n a a ∙= m na +（a>0，m,n ∈R ）（2）()m nmna a= （a>0，m,n ∈R ）（3）()n n nab a b = （a>0，m,n ∈R ） （4）mnm na a a-÷= （a>0，m,n ∈R ）（5） ()nn n a a b b= （a>0,b>0,n ∈R ）4. 指数函数图像的平移规律若已知y=xa 的图像，则把y=xa 的图像向左平移b(b>0)个单位，则得到y=x ba +的图像；把y=xa 的图像向右平移b （b>0）个单位，则得到y=x ba-；把y=xa 的图像向上平移b(b>0)个单位，则得到y=xa +b 的图像；把y=xa 的图像向下平移b(b>0)个单位，则得到y=xa -b的图像。
5. 指数函数的实际运用在实际生活中经常遇到的与指数函数有关的函数模型：（1）指数增长模型，在(1)x y N p =+型函数中N 为原产值，p 为平均增长率，y 为总产值，x 为时间。
（2）复利计算公式(1)xy a r =+（a 为本金，r 为每期利率，x 为期数，y 为本利和），我国现行定期储蓄中的自动转存业务类似复利计算。
【知识应用】1. 方法：判断一个函数是否为指数函数，通过知道指数函数y=xa （a>0,且a ≠1）解析式的结构特征：（1）底数：大于零且不等于1的常数；（2）指数：自变量x ；（3）系数：1. （特别提醒：指数函数的结构的三个特征是判断函数是否为指数函数的三个标准，缺一不可）【J 】例1 指出下列函数中哪些是指数函数：（1）y= 4x （2）y= 4x （3）y=-4x（4）y= (4)x- （5）xy π=【L 】例2已知函数2(33)xa a a -+是指数函数，则a=_________【C 】例3 指出下列函数哪些是指数函数：（1）y=24x （2）y=xx (3)y= (21)xa -(a>12,且a ≠1) （4）31xy =+2. .方法：利用函数图像研究函数性质是一种直观而形象的的方法，记忆指数函数性质时可以联想函数的图像。
苏教版高一上册数学作业单6.2(3)指数函数(3)
课题指数函数(3)学习目标1、了解指数函数的定义，会作指数函数的图象；2、掌握指数函数的性质，并能运用解题。
教学过程学法指导活动一：情境引入某工厂今年的产值为a万元，为了增加产值，今年增加了新产品研发，预计从明年起，年产值递增r%，则明年的产值为____________万元，后年的产值为____________，设x年后实现产值翻两番，则得方程____________活动二：活动探究指数函数实际应用例1、某种放射性物质不断变化为其他物质，每经过1年，这种物质剩留的质量是原来的84%，写出这种物质的剩留量关于时间的函数关系式式。
利用指数函数的性质解不等式例2、某种储蓄按复利计算利息，若本金为a元，每期利率为r，设存期为x (x∈N*)，本利和(本金加上利息)为y元，(1)写出本利和y随存期时间x变化的函数关系式；(2)已知存入本金1000元，每期利率为2.25%，试计算5期后的本利和。
知识梳理1、指数型函数的定义在实际问题中，经常遇到类似的指数函数模型，设原有基数(如今年的产值)为m，平均增长率为p，则对于经过时间x后的数值y为y＝m(1+p)x。
我们把形如y=ka x(k∈R，a＞0且a≠1)的函数称为指数型函数，这是非常有用的函数模型。
(1)指数型函数，常见于工农业生产，环境治理及投资理财等；(2)递增型的指数型模型为：递减型的指数型模型为：2、指数型函数实际应用问题求解的注意点(1)精确度的问题，同学们在使用过程中往往忽视题中的精确度；(2)定义域的问题，在实际问题中函数的定义域必须要使研究的问题有意义。
3、关于单利与复利的计算设a为本金，r为利率，n为存期，S为本利和，则(1)单利：(2)复利：课堂检测班级：姓名：得分：一、选择题1、已知某企业去年的年产值是a万元，计划在今后6年内每年比上一年产值增长10％，则第6年的产值为（）A、6.6a万元B、1.6a万元C、a1.06万元1.16万元 D、a2、如图,某池塘中的浮萍蔓延的面积y(m2)与时间t(月)满足关系式y=a t(a>0,且a ≠1),给出下列说法:①这个指数函数的底数是2;②第5个月时,浮萍的面积就会超过30m2;③浮萍从4 m2蔓延到12 m2需要经过1.5个月;④浮萍每个月增加的面积都相等.其中正确的是( ）A.①②③B.①②③④C.②③④D.①②3、酒驾是严重危害交通安全的违法行为,为了保障安全,根据国家有关规定:100 mL血液中酒精含量达到20~80 mg(不包括80 mg)的驾驶员即为酒后驾车,80 mg及以上的人即为醉酒驾车.某驾驶员喝了一定量的酒后,其血液中酒精含量上升到了0.6 mg/mL,如果停止饮酒后,他的血液中的酒精会以每小时25%的速度减少,那么他要想驾车,至少需要经过的小时数为 ()A.6B.5C.4D.3二、填空题1、如果某厂一年中12月份的产量是1月份的产品产量的m倍，那么该工厂这一年中产品产量的余额平均增长率为2、某企业响应环保政策，通过技术改造计划在今后的m年内每年比上一年减少p％的二氧化碳排放量。
高中数学指数函数及其性质教案3
指数函数及其性质3三维目标一、知识与技能1.能根据指数函数的性质解决有关函数单调性、奇偶性的讨论问题.2.注意指数函数的底数的讨论.二、过程与方法1.通过师生之间、学生与学生之间的互相交流，使学生成为一个会与别人共同学习的人.2.通过探索比较复杂函数与简单初等函数的关系，培养学生的利用化归思想解决问题的能力.三、情感态度与价值观1.通过讨论比较复杂的函数的单调性、奇偶性，使学生感知知识之间的有机联系，感受数学的整体性，感受并体会数学中的化归思想的巨大作用及其在生活中对处理生活琐事的指导作用，激发学生的学习兴趣.2.在教学过程中，通过学生的相互交流，增强学生数学交流能力，合作学习的能力，同时培养学生倾听、接受别人意见的优良品质.教学重点讨论含有指数式的比较复杂的函数的单调性和奇偶性.教学难点将讨论复杂函数的单调性、奇偶性问题转化为讨论比较简单的函数的有关问题.教具准备多媒体课件、投影仪、打印好的作业.教学过程一、复习旧知复合函数y =f ［g （x ）］是由函数u =g （x ）和y =f （u ）构成的，函数u =g （x ）的值域应是函数y =f （u ）的定义域的子集.在复合函数y =f ［g （x ）］中，x 是自变量，u 是中间变量.当u =g （x ）和y =f （u ）在给定区间上增减性相同时，复合函数y =f ［g （x ）］是增函数；增减性相反时，y =f ［g （x ）］是减函数.二、创设情景，引入新课师：我们已经比较熟练地掌握了指数函数的图象和性质，并运用这些知识解决了一些具体的问题，我们知道指数函数y =a x是非奇非偶函数，那么含有指数式的函数，如：y =110110-+x x 有奇偶性吗？ 这就是我们这一节课所要研究的内容.三、讲解新课（一）例题讲解 【例1】 当a ＞1时，判断函数y =11-+x x a a 是奇函数. 师：你觉得应该如何去判断一个函数的奇偶性？（生口答，师生共同归纳总结）方法引导：判断一个函数奇偶性的一般方法和步骤是：（1）求出定义域，判断定义域是否关于原点对称.（2）若定义域关于原点不对称，则该函数是非奇非偶函数.（3）若所讨论的函数的定义域关于原点对称，进而讨论f （－x ）和f （x ）之间的关系.若f （－x ）=f （x ），则函数f （x ）是定义域上的偶函数；若f （－x ）=－f （x ），则函数f （x ）是定义域上的奇函数；若f （－x ）=f （x ）且f （－x ）=－f （x ），则函数f （x ）在定义域上既是奇函数又是偶函数. 师：请同学们根据以上方法和步骤，完成例题1.（生完成引发的训练题，通过实物投影仪，交流各自的解答，并组织学生评析，师最后投影显示规范的解答过程，规范学生的解题）证明：由a x －1≠0，得x ≠0，故函数定义域为{x |x ≠0}，易判断其定义域关于原点对称.又f （－x ）=11-+--x x a a =x x x x a a a a )1()1(-+--=x xaa -+11=－f （x ）， ∴f （－x ）=－f （x ）.∴函数y =11-+x x a a 是奇函数. 合作探究：此题是函数奇偶性的证明，在证明过程中的恒等变形用到推广的实数指数幂运算性质.请思考，证明f （－x ）=－f （x ）的目标指向能否更加简单？如改证f （－x ）±f （x ）=0或者)()(x f x f -=±1，以上两种处理方式何时用何种形式能够使得解题过程更加简洁?【例2】 求函数y =（21）x x 22-的单调区间，并证明之. 师：证明函数单调区间的方法是什么?（生口答，师生共同归纳总结）方法引导：（1）在区间D 上任取x 1＜x 2.（2）作差判断f （x 1）与f （x 2）的大小：化成因式的乘积，从x 1＜x 2出发去判断.（3）下结论：如果f （x 1）＜f （x 2），则函数f （x ）在区间D 上是增函数；如果f （x 1）＞f （x 2），则函数f （x ）在区间D 上是减函数.解：在R 上任取x 1、x 2，且x 1＜x 2， 则12y y =12122222)21()21(x x x x --=（21）12212122x x x x ++-=（21）)2)((1212-+-x x x x . ∵x 1＜x 2，∴x 2－x 1＞0.当x 1、x 2∈（－∞，1］时，x 1+x 2－2＜0.这时（x 2－x 1）（x 2+x 1－2）＜0，即12y y ＞1. ∴y 2＞y 1，函数在（－∞，1］上单调递增.当x 1、x 2∈［1，+∞）时，x 1+x 2－2＞0，这时（x 2－x 1）（x 2+x 1－2）＞0，即12y y ＜1. ∴y 2＜y 1，函数在［1，+∞上单调递减.综上，函数y 在（－∞，1］上单调递增，在［1，+∞）上单调递减.合作探究：在填空、选择题中用上述方法就比较麻烦，因此我们可以考虑用复合函数的单调性来解题.如下例.【例3】 求函数y =3322++-x x 的单调区间和值域.师：请同学们分析观察所给函数有什么特点？这些特点会给你解答该题提供哪些信息？（生讨论交流，师捕捉学生交流具有价值的信息，及时归纳，得出如下结论）结论：所给函数解析式右边是指数式，指数式的指数又是一个关于自变量x 的二次三项式. 师：以上结论能否为你解决该问题提供一点思路呢？（生交流，师总结）由以上结论想到：若设u =－x 2+2x +3，则y =3u ，这样原来一个比较复杂的函数单调性的讨论问题就转化为两个基本初等函数的单调性的讨论问题.（师生共同完成解答，师规范板书）解：由题意可知，函数y =3322++-x x的定义域为实数R . 设u =－x 2+2x +3（x ∈R ），则f （u ）=3u ，故原函数由u =－x 2+2x +3与f （u ）=3u 复合而成.∵f （u ）=3u 在R 上是增函数，而u =－x 2+2x +3=－（x －1）2+4在x ∈（－∞，1］上是增函数，在［1，+∞）上是减函数.∴y =f （x ）在x ∈（－∞，1］上是增函数，在［1，+∞）上是减函数.又知u ≤4，此时x =1，∴当x =1时，y max =f （1）=81，而3322++-x x＞0，∴函数y =f （x ）的值域为（0，81］.方法引导：在讨论比较复杂的函数的单调性时，首先根据函数关系确定函数的定义域，进而分析研究函数解析式的结构特征，将其转化为两个或多个简单初等函数在相应区间上的单调性的讨论问题.在该问题中先确定内层函数（u =－x 2+2x +3）和外层函数（y =3u ）的单调情况，再根据内外层函数的单调性确定复合函数的单调性.四、巩固练习 1.已知函数f （x ）=1212+-x x ， （1）判断函数f （x ）的奇偶性；（2）求证：函数f （x ）在x ∈（－∞，+∞）上是增函数.2.讨论函数y =36322+-x x 的单调性，并指出它的单调递增区间和单调递减区间.答案：1.（1）函数f （x ）为奇函数，（2）根据单调性的定义进行证明，证明过程略.2.单调递减区间为（－∞，43］，单调递增区间为［43，+∞）. 五、课堂小结1.复合函数单调性的讨论步骤和方法；2.复合函数奇偶性的讨论步骤和方法.六、布置作业1.已知f （x ）=|2x －1|，当a ＜b ＜c 时，有f （a ）＞f （c ）＞f （b ），则下列各式中正确的是A.2a ＞2cB.2a ＞2bC.2－a ＜2c D.2a +2c ＜2 2.已知函数f （x ）=a x +k 的图象过点（1，3），又其反函数f －1（x ）的图象过点（2，0），则f （x ）=________.3.已知偶函数f （x ）的定义域为R ，当x ≥0时有f （x ）=（31）x x -2，求f （x ）的解析式. 4.已知函数y =222xx -+，求： （1）函数的定义域、值域；（2）判断函数的奇偶性.5.已知f （x ）=132+x +m 是奇函数，求常数m 的值. 板书设计2.1.2 指数函数及其性质（3）一、复合函数单调性的方法二、复合函数奇偶性的方法三、例题解析与学生练习四、课堂小结五、布置作业。
高中数学指数函数(3)苏教版必修一
指数函数(3)[教学目标]一、知识与技能1、结合对指数函数性质的研究，深化对函数定义域、值域、单调性和奇偶性的认识；2、了解简单函数的平移变换规律会进行函数图象的平移变换，并体会分类讨论的数学思想。
二、过程与方法通过探究、思考，培养学生理性思维能力、分析问题的能力。
三、情感、态度与价值观通过指数函数性质的应用以及对图象平移变换的研究，使学生体会知识之间的有机联系，感受数学的整体性。
[教学重点]指数函数性质的运用[教学难点]函数图象的平移变换[教学过程]一、复习回顾1．指数函数的概念、图象、性质2．比较以下各题中两个值的大小；()()0.5 2.30.30.242.50.1(1)3.1,3.122(2),;333 2.3;0.2----⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭3．求以下不等式()()()()11282327134532x x x x x ><⎛⎫>< ⎪⎝⎭二、例题分析例1． 说明以下函数的图象与指数函数2x y =的图象的关系，并画出它们的示意图：〔1〕12x y +=； 〔2〕22x y -=．说明：一般地，当0a >时，将函数()y f x =的图象向左平移a 个单位得到的图象； 当0a <时，将函数()y f x =的图象向右平移||a 个单位，得到()y f x a =+的图象 练习：指出以下函数图象之间的关系：〔1〕11y x =+与1y x=； 〔2〕3x y -=与3x a y -+=；〔3〕22y x x =+与22y x x =-； 〔4〕34x y --=与4x y -=；〔5〕将函数21()3x y =图象的左移2个单位，再下移1个单位所得函数的解析式是；〔6〕画出函数1()2x y =的草图。
例2．函数1762)21(+-=x x y ，求①函数的定义域、值域；②确定函数单调区间。
练习：求定义域〔1〕3x y -= 〔2〕1(0,1)1x x a y a a a -=>≠+．〔2〕判断24x x y a +=(0,1)a a >≠的单调区间问题：复合函数的单调性如何判断？例3．函数)10(122≠>-+=a a a a y x x 且在区间［－１，１］上的最大值是１４，求a 值。
高级高中数学3.1.2指数函数(3)课件(新版)苏教版必修1
数学应用：
例2．某医药研究所开发一种新药，据检测：如果成人按规定的剂量服用， 服药后每毫升血液中的含药量为y(微克)与服药后的时间t(小时)之间近似满足 如图曲线，其中OA是线段，曲线ABC是函数y＝kat的图象．试根据图象， 求出函数y＝ f(t)的解析式．
2．递增的常见模型为y＝(1＋p%)x(p＞0)； 递减的常见模型则为y＝(1－p%)x(p＞0)．
数学应用：
例1．某种放射性物质不断变化为其他，每经过一年，这种物质剩留的 质量是原来的84%，写出这种物质的剩留量关于时间的函数关系式．
变式： 截止到1999年底我国人口约13亿．如果今后能将人口平均增长率控
制在1%，那么经过20年后，我国人口约为多少(精确到亿)？
数学建构：
对于实际应用问题还有两点必需注意： 一是精确度的问题，同学们在解决问题时往往忽视题中的精确度； 二是定义域，在实际问题中函数的定义域必需使实际问题有意义．
数学应用： 练习：
1．一电子元件去年生产某种规格的电子元件a个，计划从今年开始 的m年内，每年生产此种规格电子元件的产量比上一年增长p%，试写出 此种规格电子元件的年产量随年数变化的函数关系式；
数学应用：
例4．2000~2002年，我国国内生产总值年平均增长7.8%．按照这个增 长速度，画出从2000年开始我国年国内生产总值随时间变化的图象， 并通过图象观察到2010年我国年国内生产总值约为2000年的多少倍(结 果取整数)．
数学用：
练习：
3．某种细菌在培养过程中，每20分钟分裂一次(一个分裂为两个)， 经3小时后，这种细菌可由1个分裂成个 ．
苏教版 高中数学必修第一册 指数函数 课件3
化
时， 0<y<1
时， y>1
单调性
在(－∞，＋∞)上是 _增__函__数__
在(－∞，＋∞)上是 __减__函__数___
奇偶性
非奇非偶函数
指数函数图象的应用 命题角度1 指数函数整体图象 例 4 在如图所示的图象中，二次函数 y＝ax2＋bx＋c 与函数 y＝bax 的图 象可能是
√
解析 根据图中二次函数图象可知c＝0， ∴二次函数y＝ax2＋bx，
3．某公司为激励创新，计划逐年加大研发奖金投入．若该公司
2016 年全年投入研发奖金 130 万元．在此基础上，每年投入的研发
奖金比上一年增长 12%，则该公司全年投入的研发奖金开始数据：lg 1.12＝0.05，lg 1.3＝0.11，lg 2
＝0.30)．
2020 [设第n年开始超过200万元，则130×(1＋12%)n－2 016>200，化简得
指数函数的性质 角度1 函数过定点 【例2－1】 函数f(x)＝2ax＋1－3(a>0，且a≠1)的图象恒过的定点是________.
解析 因为y＝ax的图象过定点(0，1)，所以令x＋1＝0，即x＝－1，则f(－1)＝－ 1，故f(x)＝2ax＋1－3的图象过定点(－1，－1). 答案 (－1，－1)
随堂测试 1.函数f(x)＝ax－b的图象如图所示，其中a，b均为常数，则下列结论 正确的是 A.a>1，b<0 B.a>1，b>0 C.0<a<1，b>0
指数函数3解析
分析： 洗1次后，y= 1 1 2
洗2次后，y=
1
1 2
2
洗3次后，y=
1
1 3 2
… 洗x次后，y=
1
1 2
x
1 2
x
思考2:据国务院发展研究中心2000年发表的 《未来20年我国发展前景分析》判断，未来 20年我国GDP(国内生产总值)年平均增长率可 望达到7.3%. 设x年后我国的GDP为2000年的y 倍，则y与x的函数关系是什么？
列表:
X -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2
y=2x 0.25 0.35 0.5 0.71 1 1.41 2 2.83 4
y=3x 0.11 0.19 0.33 0.58 1 1.732 3 5.20 9
描点作图:
y
y 2x
Байду номын сангаас
.
. .1 . .
.
-1 0
.x
1
-1 -0y.5 0 0.y5 3x
2.1.2 指数函数及 其性质(1)p54
清丰县第一高级中学
秦银建
问题提出
1.对任意实数x，3 x的值存在吗？ ( 3) x的值存
在吗？1x的值存在吗？0x 的值存在吗？
2. y 3x (x R) 是函数吗？若是，这是什
么类型的函数？
第一课时
知识探究（一）:指数函数的概念
思考1:用清水漂洗含1个质量单位污垢的衣服， 若每次能洗去残留污垢的1/2，则漂洗x次后， 衣服上的残留污垢y与x的函数关系是什么？
所以,y= (1 7.3x
思构考上有3:何函共数同y特点 12？x ,和y (1 7.3x 在其结
系数为1
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2 y( x) 0
y( x)的值域为 2,0] [
记住下列重要结记.
1. f ( x)与 f ( x)增减性相反.
1 2. f ( x)恒为正或恒为负时,函数f ( x)与 增减性相反. f ( x)
3.函数f ( x)与f ( x) k增减性相同.
4.当k 0, f ( x)与kf ( x)的增减性相同, k 0时, f ( x)与kf ( x)增减性相反.
10 10 例6:讨论函数f(x)= x x 10 10
x
x
的奇偶性
和单调性
解:(1)函数的定义域为R ∵f(-x)=
10 10 x x 10 10
x
x
=－
10 10 x x 10 10
x
x
＝－f(x) ∴ f(x)在R上是奇函数
（2）解法一:设x1,x2∈R,且x1<x2
f ( x) f ( x)
f ( x)
的值域.
与函数f ( x)单调性相同;
与函数f ( x)的单调性相反.
例题讲解
1 例1.求函数y 3 的定义域 9 1 1 2 x 1 2 x 1 解:3 0 3 化同底 9 9 2 x1 2 利用指数函数的性质
3 x 1
3
3
x
f (a 2) 3
ax a x
a2
,3
x x
a 2
18
x
3 2
a
又 y ( x) 3 4
x
y ( x) (3 ) 4 2 4
(2) 函数y( x)的定义域为[0,1] 令t 2 , x [0,1],函数t在区间[0,1]单调递增.
b f ( x)的对称轴为x 1, 即 1 2
2
b 2, 又f (0) 3,c 3
在(1, )内递增.
若x 0, 则3 2 1,
x x
f ( x) x 2 x 3在(,1)内递减,
f (3 ) f (2 )
x x
若x 0, 则3 2 1,
2 102 x 1 ∵f(x)= =1－ 2x 2x 10 1 10 1
则f(x1)－f(x2)=(1－
＝
2
10
2 x1
1
）－（1－
2
2 x2
10
1
2 x2
）
2 10
2 x2
1
－
2 10 1
2 x1
＝
2(10 10 ) 2 x1 2 x2 (10 1)(10 1)
2 x1
4 在1, 内单调递增, 又 1 5 4 y ( ) | x 1| 的单调递减为1, 区间 5 单调递增区间为 ,1
y 1 O x
1
1 x 1 x 1 例5.讨论函数y ( ) ( ) 2的单调性. 4 2
1 x 1 x 1 1 x 2 1 x 解 : y ( ) ( ) 2 [ ) ] ( ) 2 2. 4 2 2 2
1 x t ( ) 在R是递减, 又y t 2 2t 2 (t 1) 2 1 2 在 ,1 上递减, 在1, 递增.
1 x 令t ( ) , 则y t 2 2t 2 2
化归:换元转化
1 x 1 x 而当t ( ) 1, 则x 0;当t ( ) 1时, x 0 21 x 1 x 1 2 函数y ( ) ( ) 2在 , 0 上递减; 4 2 在 0, 上递增.
复习
a＞1 图 象
O
0＜a＜1
y
y=ax (a＞1)
y
y=ax (0＜a＜1)
1 1
1
x
O
1
x
图 函 象 数 特 性 征 质
◆图象可向左、右两方无限伸展 ◆定义域：R ◆图象都在x 轴上方 ◆值 域： （0，+∞） 向上无限伸展，向下与x 轴无限接近（x 轴是其渐进线） ◆当x＝0时，y＝1 ◆都经过坐标为（0，1）的点 ◆ a＞1时，图象 a＞1时，在R上是 0＜a＜1时，图象 a＜1时，在R上是 增函数； 自左至右逐渐上升 减函数. 自左至右逐渐下降
当a 1时, 定义域为[0，+） 当0<a<1时，定义域为（-，0]
a x 1 例3.求函数y x (a 0且a 1)的值域. a 1
a x 1 2 解法一 :由y x 1 x a 1 a 1 x x 又 a 0, a 1 1, 0
5.在公共区间内, 增函数 增函数 增函数, 增函数 减函数 增函数.
1 2 x 1 2 x 2
1 所求函数的定义域为 , 2
例2.求函数y
a 1 的定义域
x
(其中a 0, 且a 1).
解 :由a 1 0得a 1 a
x x 0
当a 1时, x 0
当0 a 1时, x 0
x2 x2 x1 x1
2 (2 ) 2 (2 )
x2 x2 x2 2 x1 x1 x2 x1
x1 2 x2 x1
2 2 (2 2 )(2 2 ) (2 2 )(1 2 2 )
x2 x1 x2 x1
2 2 且1 2 2,1 2 2
∵ x1<x2 ∴上式的分子小于0，分母大于0 即：f(x1)<f(x2) 故函数f(x)大R上是增函数。
解法2 : f ( x) 1
x
2 102 x 1
2x
而10 为增函数,10 1为增函数,
2 10 1
2x
为减函数,
2 10 1
2x
为增函数.
f ( x) 1
巩固练习
1 x 2 3 x 2 1.求函数y ( ) 的增区间. 3
2
3 2 1 解 : 令u x 3x 2, u ( x ) , 2 4 3 u对x的减区间 , 2
1 u 又函数y ( ) 在定义域内是减函数. 3
3 函数的增区间为 , 2
2.求函数y 0.5
2
12 x x2
的定义域和值域.
2
解 : 函数的定义域为R.
1 2x x ( x 1) 2 2
而y 0.5 在R上是减函数.
u
y 0.5
12 x x2
0.5 0.25
2
值域为0.25, .
3.函数f ( x) x 2 bx c满足f (1 x) f (1 x)
2
2x
10 1
在定义域内是增函数.
பைடு நூலகம்2x
10 0,1 y 1
2x
10 1 1 y 2x (2)令y f ( x),由y 2 x 得10 10 1 1 y
即f ( x)的值域为(1,1)
巩固练习:
2 f ( x R) 1.设a是实数， ( x) a x 2 1
2.已知函数f ( x) 3 , 且f (a 2) 18,
x
y ( x) 3 4 的定义域为区间[0,1]
ax x
(1)求y( x)的解析式; (2)求y( x)的单调区间, 确定其增减性并用定义证明.
(3)求y( x)的值域.
解 : f (a 2) 18
而f ( x) 3
A 且f (0) 3, 则f (b )与f (c )的大小关系是 ____ .
x x
A. f (b ) f (c )
x x
B. f (b ) f (c )
x x
C. f (b ) f (c )
x x
D.大小关系随x的不同区间而改变.
解 : f (1 x) f (1 x)
y2
在R上是增函数,
x1 x2
2 2 0 x1 x2 又2 1 0, 2 1 0 f ( x1 ) f ( x2 ) 0 即f ( x1 ) f ( x2 )
且 x1 x2 2 x1 2 x2
因为此结论与a取值无关，所以对于a取任意 实数， f ( x) 为增函数.
2 1 1
x0 xx1 x2 x1
x1 x2
x2
1 2 2 4 y ( x2 ) y ( x1 ),函数y ( x)在[0,1]上单调递减.
(3) y( x)[0,1]上是减函数 则x [0,1] ,
3 y(1) y( x) y(0)
y(1) 2, y(0) 0
x
1 2 1 t [1, 2], 则y (t ) t t (t ) , t [1, 2] 2 4
2
函数t 2 在[0,1]上单调递增,函数y(t ) t t
x
2
在[1, 2]上单调递减.
y( x)在[0,1]上单调递减.
证明 : 设x1 , x2 [0,1]且x1 x2 , y ( x2 ) y ( x1 ) 2 4 2 4
化归法
1 1 x a 1
2 2 0 x 2, 即 2 x 0 y (1,1) a 1 a 1 解法二 : 逆求法
a x 1 y x , a x ( y 1) 1 y a 1
1 y 1
所求函数的值域为(1,1)
4 | x 1| 例4.函数y ( ) 的单调区间是 ____ . 5 解 : 设u | x 1|, 作图可知u | x 1| 在 ,1内单调递减,
x x