高量3 矢量空间的直积和直和78页PPT
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高中数学第3章空间向量与立体几何3.1.5空间向量的数量积课件苏教版选修2-1
利用数量积求夹角和距离
如 图 3-1-26 所 示 ， 在 平 行 六 面 体
ABCD-A′B′C′D′中，AB＝4，AD＝3，AA′＝5，∠
BAD＝90°，∠BAA′＝∠DAA′＝60°.
(1)求 AC′的长；
(2)求AC→′与A→C的夹角的余弦值．
图 3-1-26
【精彩点拨】 求线段长，要利用向量的方法求解，关键是找到表示 AC′
Байду номын сангаас
1．已知向量 a＝(4，－2，－4)，b＝(6，－3,2)，则(a＋b)·(a－b)的值为________． 【解析】 ∵a＋b＝(10，－5，－2)，a－b＝(－2,1，－6)，
∴(a＋b)·(a－b)＝－20－5＋12＝－13. 【答案】 －13 2．已知向量 a＝(2，－3,0)，b＝(k,0,3)．若 a，b 成 120°的角，则 k＝________. 【解析】 cos 〈a，b〉＝|aa|··|bb|＝ 13 2k9＋k2＝－12，得 k＝－ 39. 【答案】 － 39
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若 a·b＝0，则 a＝0 或 b＝0.( ) (2)在△ABC 中，〈A→B，B→C〉＝∠B.( ) (3)两个向量的数量积是数量，而不是向量．( ) (4)若 a，b 均为非零向量，则 a·b＝|a||b|是 a 与 b 共线的充要条件．( ) 【答案】 (1)× (2)× (3)√ (4)×
∴A→1B⊥C→1M，故 A1B⊥C1M.
[探究共研型]
空间向量数量积的运算特征 探究 1 数量积运算是否满足消去律？ 【提示】 对于三个不为 0 的实数 a，b，c，若 ab＝ ac，则 b＝c.对于三个非零向量 a，b，c，若 a·b＝a·c，不 能得出 b＝c，即向量不能约分． 如图，在三棱锥 S-ABC 中，SC⊥平面 ABC，则 SC⊥AC，SC⊥BC.设C→S＝a， C→A＝b，C→B＝c，则 a·b＝a·c＝0，但 b≠c.
空间向量的数量积运算(43张PPT)——高中数学人教A版选择性必修第一册
环节一创设情境引入课题根据功的计算，我们定义了 平面向量的数量积运算， 一旦 定义出来，我们发现这种运算 非常有用，它能解决有关长度 和角度问题，在空间向量中亦 是如此。
在必修第二册中我们还学习了平面向量的数量积运算，现在我们 类比平面向量数量积的运算，学习空间向量的数量积运算.
平面
空间(学生填空)
空间向量及其 线性运算
共线向量的判定及应用共面向量的判定及应用
线性运算的应用
相关概念
作业布置：教科书习题1.1 第4,7题.
环节七 目标检测，作业布置
设BB₁=1,则AB=√2.∵AB₁=BB₁-BA,BC₁ =BB₁ +BC, ∴AB₁·BC₁=(BB₁-BA)·(BB₁+BC)=BB²-BA·BC=1-√2×√2×cos60°=0, ∴AB₁ ⊥BC₁ , ∴AB₁与BC₁所成的角为90°
思考1.对于三个均不为0的数a,b,c,若ab=ac, 则b=c, 对于向量a,b,c,由a.b=a·c,你能得到b=c 吗?如果不能，请举出反例.
设a是非零向量，且b≠c,求证：a·b=a·c ⇔b-c)⊥a B
a.b=a·c⇔a.b-a·c=0⇔a.(b-c)=0 →(b-c)⊥a
思考2.对于三个均不为0的数a,b,c,若ab=c, 则 (或 对于向量a,b,若a.b=k, 能不能写成 的形式?3.对于三个均不为0的数a,b,c,有(ab)c=a(bc),对于向量a,b,c,(a.b)·c=a·(b·c) 成立吗?为什么?
1.如图，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，若AB=√2BB₁,则AB₁与BC₁所成 角的大小为(B )A.60° B.90° C.105° D.75°
(第1题)
2.如图，正方体ABCD-A'B'C'D'的棱长为1,设AB=a,AD=b,AA'=c,求：(1)a.(b+c); (2)a·(a+b+c); (3)(a+b)·(b+c).(1)a.(b+c)=a.b+a·c=0+0=0;(2)a·(a+b+c)=a²+a.b+a·c=a²+0+0=1;(3)(a+b)·(b+c)=a.b+a·c+b²+bc=0+0+l²+0=1(第2题)
在必修第二册中我们还学习了平面向量的数量积运算，现在我们 类比平面向量数量积的运算，学习空间向量的数量积运算.
平面
空间(学生填空)
空间向量及其 线性运算
共线向量的判定及应用共面向量的判定及应用
线性运算的应用
相关概念
作业布置：教科书习题1.1 第4,7题.
环节七 目标检测，作业布置
设BB₁=1,则AB=√2.∵AB₁=BB₁-BA,BC₁ =BB₁ +BC, ∴AB₁·BC₁=(BB₁-BA)·(BB₁+BC)=BB²-BA·BC=1-√2×√2×cos60°=0, ∴AB₁ ⊥BC₁ , ∴AB₁与BC₁所成的角为90°
思考1.对于三个均不为0的数a,b,c,若ab=ac, 则b=c, 对于向量a,b,c,由a.b=a·c,你能得到b=c 吗?如果不能，请举出反例.
设a是非零向量，且b≠c,求证：a·b=a·c ⇔b-c)⊥a B
a.b=a·c⇔a.b-a·c=0⇔a.(b-c)=0 →(b-c)⊥a
思考2.对于三个均不为0的数a,b,c,若ab=c, 则 (或 对于向量a,b,若a.b=k, 能不能写成 的形式?3.对于三个均不为0的数a,b,c,有(ab)c=a(bc),对于向量a,b,c,(a.b)·c=a·(b·c) 成立吗?为什么?
1.如图，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，若AB=√2BB₁,则AB₁与BC₁所成 角的大小为(B )A.60° B.90° C.105° D.75°
(第1题)
2.如图，正方体ABCD-A'B'C'D'的棱长为1,设AB=a,AD=b,AA'=c,求：(1)a.(b+c); (2)a·(a+b+c); (3)(a+b)·(b+c).(1)a.(b+c)=a.b+a·c=0+0=0;(2)a·(a+b+c)=a²+a.b+a·c=a²+0+0=1;(3)(a+b)·(b+c)=a.b+a·c+b²+bc=0+0+l²+0=1(第2题)
矢量PPT课件
( Ay Bz Az By )iˆ ( Az Bx Ax Bz ) ˆj ( Ax By Ay Bx )kˆ
iˆ iˆ ˆj ˆj kˆ kˆ 0
iˆ ˆj kˆ, kˆ iˆ ˆj, ˆj kˆ iˆ
ˆj iˆ kˆ,iˆ kˆ ˆj, kˆ ˆj iˆ
– 结合律(associative law): (A+B)+C=A+(B+C)
三、矢量的加法和减法 (vector addition and subtraction)
４.两矢量的减法：
– 定义： C=A-B=A+(-B) 即两矢量A和B的矢量差C可看成为矢量A和矢量(-B)的矢量和
– 运算方法： • 平行四边形法则：以A和(-B)为邻边做平行四边形，其对角线 即为矢量差C • 三角形法则：将A和B的矢尾相接，由B的矢端向A的矢端做矢 量，则该矢量即为矢量差C
• 直角坐标系下n个矢量的求和
–
n个矢量：
A1
,
A2
,,
An
–
每个矢量都可分解成矢量投影式
Ai
Aixiˆ
Aiy
ˆj
Aiz kˆ
– 和矢量：
A
Axiˆ
Ay
ˆj
Az kˆ
A
n
Ai
n
( Aixiˆ Aiy ˆj Aiz kˆ)
i 1
i 1
n
n
n
( Aix )iˆ ( Aiy ) ˆj ( Aiz )kˆ
t 0 t
➢ 方向：当t0时，A的极限方向，沿A(t)的矢端曲线的切线且指向时
• 把一个矢量分解成若干个分矢量之和，可能采取的分解方式有无
限规多定个矢，量如A 果在规某定一了直 三角个坐正标交系分的量xy的z轴方上向分，解则，分则解z可是表唯示一成的。如， A A1 A2 A3
矢量的标积和矢量的正交PPT课件
b21
b22
b2k
c21
c22
c2k
an1
n2
anm
bm1
bm2
bmk
cn1
cn2
cnk
12
例1
1 0 1 A 0 1 0
2 1 B 0 1
1 0
2 1
AB
1 0
0 1
1 0
0 1
1 0
3 0
1 1
2 1
2 1 2
BA 0 1
1 0
1 0
0 1
1 0
0 1
1 0
0 1
一般而言
a31 a32 a33
i1
|A| = a11a22a33－a12a21a33－a13a22a31－ a11a23a32
＋a12a23a31＋a13a21a32
21
2. 行列式的展开
n
n
a A a A A
= (1)i j ij ij
ij
' ij
(i = 1, 2, ,
j 1
j 1
n)
(3.26)
情况下，算符的乘法不对易。
定义 [A, B] = AB – BA — 对易关系式
例5 Dxf(x)=D(xf(x)) = f(x) + xf’(x) xDf(x)= xf’(x) = xf’(x) Dxf(x)=(I + xD)f(x) or Dx = I + xD
Exercise
令
pi
i qi
,
n
n
a A a A A (1)i j ij ij =
ij
' ij
( j = 1, 2, ,
高等量子力学 课件
20
进而 对于任意的 fr(q) , 总可以进行如下的幺正变换:
(q) 是任意实函数. 于是上式成为:
21
因而, 只要选择 (q) 使得
就有 即 譬如:
(通过适当选择基矢的相因子)
22
于是, 对于任一依赖于坐标和动量的算符
有
小结 在坐标表象中，坐标算符和动量算符对态矢量的作 用, 对应于以下算符对波函数的作用:
15
形式上, 可以把(k), A(k, k)理解为下标连续改变的矩阵:
16
§1.3.4 坐标表象
1 基矢 以体系的Descartes直角坐标本征态为基矢的
表象称为坐标表象, 或Schrodinger表象.
选取全体Descartes直角坐标
为厄米
算符完备组, 可以证明, 其本征值有连续谱, 于是正交归
反之 i = Ui 上述即为矢量的表象变换.
11
二、算符的表象变换
设算符A在K表象、L表象中分别表示为{Aij}和{A}:
Aij = iAj , A = A.
于是， A = ij iiAjj
即
一化关系和完备性公式分别为:
17
2 态矢量|和坐标算符函数的表示
其中,
是
在 |q 上的本征值.
进而,
18
3 动量算符的表示
利用原理3, 即 Heisenberg 对易关系 有
我们知道 (x) 具有性质:
19
将 与 则知, 若
取如下形式
对比
可使上述等式恒成立. 其中 fr(q)是q的任意实函数.
第一章 Hilbert空间
§1.1 矢量空间
1 定义; 2 正交性和模; 3 基矢; 4 子空间
§1.2 线性算符
进而 对于任意的 fr(q) , 总可以进行如下的幺正变换:
(q) 是任意实函数. 于是上式成为:
21
因而, 只要选择 (q) 使得
就有 即 譬如:
(通过适当选择基矢的相因子)
22
于是, 对于任一依赖于坐标和动量的算符
有
小结 在坐标表象中，坐标算符和动量算符对态矢量的作 用, 对应于以下算符对波函数的作用:
15
形式上, 可以把(k), A(k, k)理解为下标连续改变的矩阵:
16
§1.3.4 坐标表象
1 基矢 以体系的Descartes直角坐标本征态为基矢的
表象称为坐标表象, 或Schrodinger表象.
选取全体Descartes直角坐标
为厄米
算符完备组, 可以证明, 其本征值有连续谱, 于是正交归
反之 i = Ui 上述即为矢量的表象变换.
11
二、算符的表象变换
设算符A在K表象、L表象中分别表示为{Aij}和{A}:
Aij = iAj , A = A.
于是， A = ij iiAjj
即
一化关系和完备性公式分别为:
17
2 态矢量|和坐标算符函数的表示
其中,
是
在 |q 上的本征值.
进而,
18
3 动量算符的表示
利用原理3, 即 Heisenberg 对易关系 有
我们知道 (x) 具有性质:
19
将 与 则知, 若
取如下形式
对比
可使上述等式恒成立. 其中 fr(q)是q的任意实函数.
第一章 Hilbert空间
§1.1 矢量空间
1 定义; 2 正交性和模; 3 基矢; 4 子空间
§1.2 线性算符
第一章1.1.2空间向量的数量积运算PPT课件(人教版)
证明 设A—1→B1＝a，A—1→D1＝b，—A1→A ＝c，
则a·b＝0，b·c＝0，a·c＝0，|a|＝|b|＝|c|. ∵—A1→O＝—A1→A ＋A→O＝—A1→A ＋12(A→B＋A→D) ＝c＋12a＋12b， B→D＝A→D－A→B＝b－a，
O→G＝O→C＋C→G＝12(A→B＋A→D)＋21—CC→1 ＝21a＋12b－12c， ∴—A1→O ·B→D＝c＋12a＋21b·(b－a)
3 随堂演练
PART THREE
1.如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，下列各组向量的夹角为45°的是
√A.A→B与A—1→C1
B.A→B与C—1→A1
C.A→B与A—1→D1
D.A→B与B—1→A1
12345
2.设ABCD－A1B1C1D1是棱长为a的正方体，则有
A.A→B·—C1→A ＝a2
三、用数量积求解夹角和模
例3 如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1 ＝2，点N为AA1的中点.
(1)求B→N的模；
解 由已知得|C→A|＝|C→B|＝1，|—CC→1|＝|—AA→1 |＝2，A→N＝12—AA→1 ＝12—CC→1. 〈C→A，—CC→1 〉＝〈C→B，—CC→1 〉＝〈C→A，C→B〉＝90°，
＝
| BA1 || CB1 |
3 6×
＝ 5
30 10 .
延伸探究 1.(变结论)本例中条件不变，求B→N与—CB→1 夹角的余弦值.
解 由例题知，|B→N|＝ 3，|—CB→1 |＝ 5，
B→N·—CB→1 ＝C→A＋12—CC→1－C→B·(C→B＋—CC→1)
＝12—CC→12－C→B2＝12×22 －12＝1.
空间向量及其运算(共22张PPT)
向量场的点乘
两个向量场进行点乘运算，得到一个标量场，其 每个标量是原来两个向量场的对应向量的点乘结 果。
向量场的几何意义
向量场表示了空间中某一点受到的力或速度等物理量的分布情况，可以通 过图形表示出来。
向量场的方向表示了该点受到的力的方向或速度的方向，向量的大小表示 了力的大小或速度的大小。
通过观察图形可以直观地了解向量场的分布情况，从而更好地理解物理现 象和问题。
向量的模
向量的模定义为从起点到终点距离的 长度，记作|a|。
向量的模具有以下性质：|a + b| ≤ |a| + |b|，|a - b| ≤ |a| + |b|，|λa| = |λ||a| （λ为实数）。
向量的加法
向量的加法定义为同起点同终点的向量相加，即a + b = b + a（交换律），(λ + μ)a = λa + μa（结合律）。
向量场具有方向性和大小，表 示了空间中某一点受到的力或 速度等物理量的分布情况。
向量场的运算律
1 2 3
向量场的加法
将两个向量场叠加，得到一个新的向量场，其每 个向量是原来两个向量场的对应向量的和。
向量场的数乘
将一个标量与一个向量场中的每个向量相乘，得 到一个新的向量场，其每个向量是原来向量场的 对应向量与该标量的乘积。
向量在其他领域的应用
经济学
在经济学中，例如在市场分析和供需关系中，可以使用向量来表示不同因素之间的关系，通过向量的运算来分析 这些因素之间的关系。
生物学
在生物学中，例如在生态学和生物力学中，可以使用向量来描述生物体的运动、方向和力的作用，通过向量的运 算来分析这些力的作用和影响。
THANKS
两个向量场进行点乘运算，得到一个标量场，其 每个标量是原来两个向量场的对应向量的点乘结 果。
向量场的几何意义
向量场表示了空间中某一点受到的力或速度等物理量的分布情况，可以通 过图形表示出来。
向量场的方向表示了该点受到的力的方向或速度的方向，向量的大小表示 了力的大小或速度的大小。
通过观察图形可以直观地了解向量场的分布情况，从而更好地理解物理现 象和问题。
向量的模
向量的模定义为从起点到终点距离的 长度，记作|a|。
向量的模具有以下性质：|a + b| ≤ |a| + |b|，|a - b| ≤ |a| + |b|，|λa| = |λ||a| （λ为实数）。
向量的加法
向量的加法定义为同起点同终点的向量相加，即a + b = b + a（交换律），(λ + μ)a = λa + μa（结合律）。
向量场具有方向性和大小，表 示了空间中某一点受到的力或 速度等物理量的分布情况。
向量场的运算律
1 2 3
向量场的加法
将两个向量场叠加，得到一个新的向量场，其每 个向量是原来两个向量场的对应向量的和。
向量场的数乘
将一个标量与一个向量场中的每个向量相乘，得 到一个新的向量场，其每个向量是原来向量场的 对应向量与该标量的乘积。
向量在其他领域的应用
经济学
在经济学中，例如在市场分析和供需关系中，可以使用向量来表示不同因素之间的关系，通过向量的运算来分析 这些因素之间的关系。
生物学
在生物学中，例如在生态学和生物力学中，可以使用向量来描述生物体的运动、方向和力的作用，通过向量的运 算来分析这些力的作用和影响。
THANKS
矢量空间的直和与直积ppt课件
算符的加法和乘法可根据上述定义得出：
(A L) (B M ) (A B) (L M ) （5.7）
(A L)( ) A L
(A L)(B M ) AB LM
(5.8)
证明：将其左边作用于直和空间中的任一矢量 上，有
(A L()A(BL)M(B)(M)( )(A)L()ABL)BM M
中的全部矢量，都是形如 的矢量。
在 R1 中取一组基矢{i },i 1,2,, n1, ，设这组基矢是算
符 K 的本征矢量（ K 表象）；在 R2 中取 P 表象，其基矢为
{ m },m 1,2,, n2 , 那么直和空间中的任意矢量 都可
以写成下列的形式：
i i m m
最后讨论一下子空间中的直和。若 R1 和 R2 是大空间的两个子空间， 则只有当 R1 和 R2 除零矢量 O 外不含公共矢量时，才可以谈论二者的直 和。这是因为大空间中的加法适用于所有矢量，从 R1 和 R2 中各取一个矢
量构成的双矢量 与二者之和 是等价的，前面公式中矢量
的直和号 可以径直改写为加号。直和空间不只包含 R1 和 R2 中的所有矢 量，还包含更多的矢量。例如在三维物理空间中，若 R1 是 xy 平面上的所 有矢量，R2 是沿 z 轴的矢量，则 R1 R2 包含这个三维空间中的全部矢量。 由于算符在整个大空间中都有定义，所以一切算符在 R1 和 R2 中是通用的， 这时没有算符的直和这一概念，（5.6）式和（5.14）式都不存在。
功了一个新的矢量空间 R ，我们说空间 R 是 R1 和 R2 的直和空间，
表为
R R1 R2
（5.5）
现在，用 R1 中的算符 A，B， 和 R2 中的算符 L，M，
去构造直和空间中的算符 A L ，称为 A，L 两算符的直和，其
空间向量及其线性运算(26张PPT)——高中数学人教A版选择性必修第一册
C D
2.已知空间任一点O 和不共线的三点A,B,C, 下列能得到P,A,B,C四点共面的是(B )A.OP=OA+OB+OC
解 析 ：若点P,A,B,C 共面，设OP=xOA+yOB+zOC,则x+y+z=1, 满足条件的只有B, 故选B.
D. 以上都不对
(2)∵M 是AA的中点，
又N 是BC的中点，
回顾一下本节课学习了哪些新知识呢?1.空间向量的概念2.空间向量的运算律3.共线向量和共面向量
小结：
同学们再见！
授课老师：
时间：2024年9月1日
2024课件
同学们再见！
授课老师：
时间：2024年9月1日
的充要条件是
如图，0是直线1上一点，在直线1上取非零向量a, 则对于直线1上任意一 点P, 由数乘向量的定义及向量共线的充要条件可知，存在实数λ,使得
直线的方向向量
OP=λa. 把与向量a 平行的非零向量称为直线l的方向向量.
共面向量如图，如果表示向量a 的有向线段OA 所在的直线OA 与直线1平行或重合，那么称向量α平行于直线l.如果直线OA 平行于平面α或在平面α内，那么称向量a 平行于平面α.平行于同一个平面的向量，叫做共面向量.a0 Aa 1aa如果两个向量a,b 不共线，那么向量p 与 向 量a,b 共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x,y), 使 P=xa+yb.
证明：设 DA=a,DC=b.则DB=DC+CB=b+a,
10.如图，在平行六面体ABCD-A₁B₁CD₁中，设AA M,N,P 分别是AA,BC,C₁D₁的中点，试用a,b,c
=a,AB=b,AD=c,表示以下向量：
2.已知空间任一点O 和不共线的三点A,B,C, 下列能得到P,A,B,C四点共面的是(B )A.OP=OA+OB+OC
解 析 ：若点P,A,B,C 共面，设OP=xOA+yOB+zOC,则x+y+z=1, 满足条件的只有B, 故选B.
D. 以上都不对
(2)∵M 是AA的中点，
又N 是BC的中点，
回顾一下本节课学习了哪些新知识呢?1.空间向量的概念2.空间向量的运算律3.共线向量和共面向量
小结：
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的充要条件是
如图，0是直线1上一点，在直线1上取非零向量a, 则对于直线1上任意一 点P, 由数乘向量的定义及向量共线的充要条件可知，存在实数λ,使得
直线的方向向量
OP=λa. 把与向量a 平行的非零向量称为直线l的方向向量.
共面向量如图，如果表示向量a 的有向线段OA 所在的直线OA 与直线1平行或重合，那么称向量α平行于直线l.如果直线OA 平行于平面α或在平面α内，那么称向量a 平行于平面α.平行于同一个平面的向量，叫做共面向量.a0 Aa 1aa如果两个向量a,b 不共线，那么向量p 与 向 量a,b 共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x,y), 使 P=xa+yb.
证明：设 DA=a,DC=b.则DB=DC+CB=b+a,
10.如图，在平行六面体ABCD-A₁B₁CD₁中，设AA M,N,P 分别是AA,BC,C₁D₁的中点，试用a,b,c
=a,AB=b,AD=c,表示以下向量：
1.1.2 空间向量的数量积运算 课件(59张)高中数学新人教A版选择性必修第一册(2021年)
就是 = + + , , , ∈ .这个集合可看作由向量, , 生
基向量
基底
成的，我们把 , , 叫做空间的一个_______，
, , 都叫做______.
知识点3 空间向量数乘运算及运算律
特别的，如果空间的一个基底中三个基向量两两垂直，且长度都为
⋅
求夹角.
【跟踪训练】3.( 2022·全国·高二课时练习)如图，已知正方体 −
′ ′ ′ ′ ，设 = , = , ′ = ，则 ′ , ′′ =(
A.6
【答案】D
B.
3
C.
2
D.
2
3
)
【解析】设正方体棱长为 1，
∴′ ⋅ ′′ = ′ + ⋅ ′′ + ′′
(4)转化为线段长度，两直线垂直及夹角问题.
⋅
求夹角.
【解析】
对于 A：令 + = + + + ，则, ∈ ∅，所以 A 正
确；对于 B：因为 − = − − − − ，所以 − , − , −
不能构成基底；
对于 C：
因为 + + = + + ，
所以 + , , ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ+
1.2空间向量基本定理
（提升课）
学业要求
学科素养
1．能够掌握空间向量基本定理，体
会其作用．
1．通过利用基底表示其它向量，培
养逻辑推理等核心素养．
2．能够简单应用空间向量基本定理．
2．利用空间向量基本定理求垂直问
基向量
基底
成的，我们把 , , 叫做空间的一个_______，
, , 都叫做______.
知识点3 空间向量数乘运算及运算律
特别的，如果空间的一个基底中三个基向量两两垂直，且长度都为
⋅
求夹角.
【跟踪训练】3.( 2022·全国·高二课时练习)如图，已知正方体 −
′ ′ ′ ′ ，设 = , = , ′ = ，则 ′ , ′′ =(
A.6
【答案】D
B.
3
C.
2
D.
2
3
)
【解析】设正方体棱长为 1，
∴′ ⋅ ′′ = ′ + ⋅ ′′ + ′′
(4)转化为线段长度，两直线垂直及夹角问题.
⋅
求夹角.
【解析】
对于 A：令 + = + + + ，则, ∈ ∅，所以 A 正
确；对于 B：因为 − = − − − − ，所以 − , − , −
不能构成基底；
对于 C：
因为 + + = + + ，
所以 + , , ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ+
1.2空间向量基本定理
（提升课）
学业要求
学科素养
1．能够掌握空间向量基本定理，体
会其作用．
1．通过利用基底表示其它向量，培
养逻辑推理等核心素养．
2．能够简单应用空间向量基本定理．
2．利用空间向量基本定理求垂直问
高中数学空间向量的运算课件
思考⑴:对空间任意两个向量 a 与 b ,如果 a b ,那 么 a 与 b 有什么关系?反过来呢?
类似于平面,对于空间任意两个向量 a , b ( b 0 ),
a // b R , a b . c
b
第十七页，本课件共47页
a
17
思考:如图, l 为经过已知点 A 且平行非零向量 a 的直线,
⑴AB BC； ⑵ABADAA'；
D’ A’
C’ B’
(3)A BC BA A
(4 )A C D B D C
D
C
A
B
第十二页，本课件共47页
例 1 、 已 知 平 行 六 面 体 A B C D A 'B 'C 'D '， 化 简 下
列 向 量 表 达 式 ， 并 标 出 化 简 结 果 的 向 量 ：
。
第十四页，本课件共47页
C’ B’
C B
三、空间向量的数乘运算法则
与平面向量一样,实数 与空间向量 a 的乘积
a 仍然是一个向量.
⑴当 0时, a 与向量 a 的方向相同; ⑵当 0时, a 与向量 a 的方向相反; ⑶当 0 时, a 是零向量.
例如:
3a
a
3a 15
第十五页，本课件共47页
∴点 P 在平面 上 是存在唯一有序实数对(x, y), 使 AP xAB yAC ②
⑶∵已知点 B 、C 在平面 内且 AB a , AC b ,对于空间任意一点 O ∴点 P 在平面 上
是存在唯一有序实数对(x, y), 使 OP OA x AB y AC ③
注:①、②、③式都称为平面的向量表示式,
ab ba 加法结合律:
类似于平面,对于空间任意两个向量 a , b ( b 0 ),
a // b R , a b . c
b
第十七页，本课件共47页
a
17
思考:如图, l 为经过已知点 A 且平行非零向量 a 的直线,
⑴AB BC； ⑵ABADAA'；
D’ A’
C’ B’
(3)A BC BA A
(4 )A C D B D C
D
C
A
B
第十二页，本课件共47页
例 1 、 已 知 平 行 六 面 体 A B C D A 'B 'C 'D '， 化 简 下
列 向 量 表 达 式 ， 并 标 出 化 简 结 果 的 向 量 ：
。
第十四页，本课件共47页
C’ B’
C B
三、空间向量的数乘运算法则
与平面向量一样,实数 与空间向量 a 的乘积
a 仍然是一个向量.
⑴当 0时, a 与向量 a 的方向相同; ⑵当 0时, a 与向量 a 的方向相反; ⑶当 0 时, a 是零向量.
例如:
3a
a
3a 15
第十五页，本课件共47页
∴点 P 在平面 上 是存在唯一有序实数对(x, y), 使 AP xAB yAC ②
⑶∵已知点 B 、C 在平面 内且 AB a , AC b ,对于空间任意一点 O ∴点 P 在平面 上
是存在唯一有序实数对(x, y), 使 OP OA x AB y AC ③
注:①、②、③式都称为平面的向量表示式,
ab ba 加法结合律:
高中教育数学必修第三册《8.1.1 8.1.2 向量数量积的概念及运算律》教学课件
又因为|a|＝3，|b|＝4，
6
6
1
1
所以|cos 〈a，b〉|＝ ＝3×4＝2，所以cos 〈a，b〉＝±2.
π
2π
因为〈a，b〉∈[0，π]，所以a与b的夹角为 3 或 3 .
投影是一个数量，不是向量，其值可为正，可为负，也可为零．
知识点四 数量积的性质
|a|cos 〈a·e〉
1．若e是单位向量，则e·a＝a·e＝______________．
2． 若a⊥b， 则a·b ＝ 0；反之，若 a·b ＝0， 则a⊥b，通 常记作
a⊥b⇔a·b＝0(a≠0，b≠0)．
状元随笔 向量的数量积与数乘向量的区别是什么？
将x＝1代入原方程可得1＋2×1＋a·b＝0，所以a·b＝－3，所以a·b＝|a||b|cos 〈a，b〉＝2|b|cos 120°＝－3，
所以|b|＝3.
题型4 平面向量数量积的性质
例4 (1)已知|a|＝3，|b|＝2，向量a，b的夹角为60°，c＝3a＋5b，d
＝ma－3b，求当m为何值时，c与d垂直？
【解析】 由已知得a·b＝3×2×cos 60°＝3.
由c⊥d，知c·d＝0，
即c·d＝(3a＋5b)·(m a－3b)
＝3m a2＋(5m－9)a·b－15b2＝27m＋3(5m－9)－60＝42m－87＝0，
29
29
∴m＝14，即m＝14时，c与d垂直．
状元随笔 (1)设a与b都是非零向量，若a⊥b，则a·b等于多少？反
的投影，而不是投影长，故⑧错．综上可知①②⑥正确．
(2) 在 梯 形 ABCD 中 ， AB∥DC ， AD⊥AB ， AD ＝ 2 ， 则 BC ·AD ＝
(
6
6
1
1
所以|cos 〈a，b〉|＝ ＝3×4＝2，所以cos 〈a，b〉＝±2.
π
2π
因为〈a，b〉∈[0，π]，所以a与b的夹角为 3 或 3 .
投影是一个数量，不是向量，其值可为正，可为负，也可为零．
知识点四 数量积的性质
|a|cos 〈a·e〉
1．若e是单位向量，则e·a＝a·e＝______________．
2． 若a⊥b， 则a·b ＝ 0；反之，若 a·b ＝0， 则a⊥b，通 常记作
a⊥b⇔a·b＝0(a≠0，b≠0)．
状元随笔 向量的数量积与数乘向量的区别是什么？
将x＝1代入原方程可得1＋2×1＋a·b＝0，所以a·b＝－3，所以a·b＝|a||b|cos 〈a，b〉＝2|b|cos 120°＝－3，
所以|b|＝3.
题型4 平面向量数量积的性质
例4 (1)已知|a|＝3，|b|＝2，向量a，b的夹角为60°，c＝3a＋5b，d
＝ma－3b，求当m为何值时，c与d垂直？
【解析】 由已知得a·b＝3×2×cos 60°＝3.
由c⊥d，知c·d＝0，
即c·d＝(3a＋5b)·(m a－3b)
＝3m a2＋(5m－9)a·b－15b2＝27m＋3(5m－9)－60＝42m－87＝0，
29
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∴m＝14，即m＝14时，c与d垂直．
状元随笔 (1)设a与b都是非零向量，若a⊥b，则a·b等于多少？反
的投影，而不是投影长，故⑧错．综上可知①②⑥正确．
(2) 在 梯 形 ABCD 中 ， AB∥DC ， AD⊥AB ， AD ＝ 2 ， 则 BC ·AD ＝
(