【数学】数学 旋转的专项 培优练习题及答案

一、旋转真题与模拟题分类汇编（难题易错题）

1．已知正方形ABCD的边长为4，一个以点A为顶点的45°角绕点A旋转，角的两边分别与BC、DC的延长线交于点E、F，连接EF，设CE＝a，CF＝b．

（1）如图1，当a＝42时，求b的值；

（2）当a＝4时，在图2中画出相应的图形并求出b的值；

（3）如图3，请直接写出∠EAF绕点A旋转的过程中a、b满足的关系式．

【答案】（1）422）b＝8；（3）ab＝32．

【解析】

试题分析：（1）由正方形ABCD的边长为4，可得AC＝2，∠ACB＝45°．

再CE＝a＝2∠CAE＝∠AEC，从而可得∠CAF的度数，既而可得 b=AC；

（2）通过证明△ACF∽△ECA，即可得；

（3）通过证明△ACF∽△ECA，即可得.

试题解析：（1）∵正方形ABCD的边长为4，∴AC＝2，∠ACB＝45°．

∵CE＝a＝2∴∠CAE＝∠AEC＝45

2︒

＝22.5°，∴∠CAF＝∠EAF－∠CAE＝22.5°，

∴∠AFC＝∠ACD－∠CAF＝22.5°，∴∠CAF＝∠AFC，∴b=AC＝CF＝42

（2）∵∠FAE＝45°，∠ACB＝45°，∴∠FAC＋∠CAE＝45°，∠CAE＋∠AEC＝45°，∴∠FAC ＝∠AEC．

又∵∠ACF＝∠ECA＝135°，∴△ACF∽△ECA，∴AC CF

EC CA

=，∴

42

442

=∴CF＝

8，即b＝8．（3）ab＝32．

提示：由（2）知可证△ACF∽△ECA，∴∴AC CF

EC CA

=，∴

42

42

a

=，∴ab＝32．

2．如图1，在锐角△ABC中，∠ABC=45°，高线AD、BE相交于点F．

（1）判断BF与AC的数量关系并说明理由；

（2）如图2，将△ACD沿线段AD对折，点C落在BD上的点M，AM与BE相交于点N，当DE∥AM时，判断NE与AC的数量关系并说明理由．

【答案】（1）BF=AC，理由见解析；（2）NE=1

2

AC，理由见解析.

【解析】

试题分析：（1）如图1，证明△ADC≌△BDF（AAS），可得BF=AC；

（2）如图2，由折叠得：MD=DC，先根据三角形中位线的推论可得：AE=EC，由线段垂直平分线的性质得：AB=BC，则∠ABE=∠CBE，结合（1）得：△BDF≌△ADM，则

∠DBF=∠MAD，最后证明∠ANE=∠NAE=45°，得AE=EN，所以EN=1

2 AC．

试题解析：

（1）BF=AC，理由是：

如图1，∵AD⊥BC，BE⊥AC，∴∠ADB=∠AEF=90°，

∵∠ABC=45°，

∴△ABD是等腰直角三角形，∴AD=BD，

∵∠AFE=∠BFD，

∴∠DAC=∠EBC，

在△ADC和△BDF中，

∵

DAC DBF

ADC BDF AD BD

∠=∠

⎧

⎪

∠=∠

⎨

⎪=

⎩

，

∴△ADC≌△BDF（AAS），∴BF=AC；

（2）NE=1

2

AC，理由是：

如图2，由折叠得：MD=DC，∵DE∥AM，

∴AE=EC，

∵BE⊥AC，

∴AB=BC，

∴∠ABE=∠CBE，

由（1）得：△ADC≌△BDF，∵△ADC≌△ADM，

∴△BDF≌△ADM，

∴∠DBF=∠MAD，

∵∠DBA=∠BAD=45°，

∴∠DBA﹣∠DBF=∠BAD﹣∠MAD，即∠ABE=∠BAN，

∵∠ANE=∠ABE+∠BAN=2∠ABE，∠NAE=2∠NAD=2∠CBE，

∴∠ANE=∠NAE=45°，

∴AE=EN，

∴EN=1

2 AC．

3．在平面直角坐标中，边长为2的正方形OABC的两顶点A、C分别在y轴、x轴的正半轴上，点O在原点.现将正方形OABC绕O点顺时针旋转，当A点一次落在直线y x

=上时停止旋转，旋转过程中，AB边交直线y x

=于点M，BC边交x轴于点N（如图）.

（1）求边OA在旋转过程中所扫过的面积；

（2）旋转过程中，当MN和AC平行时，求正方形OABC旋转的度数；

（3）设MBN

∆的周长为p，在旋转正方形OABC的过程中，p值是否有变化？请证明你的结论.

【答案】（1）π/2（2）22.5°(3)周长不会变化，证明见解析

【解析】

试题分析：（1）根据扇形的面积公式来求得边OA在旋转过程中所扫过的面积；

（2）解决本题需利用全等，根据正方形一个内角的度数求出∠AOM的度数；

（3）利用全等把△MBN的各边整理到成与正方形的边长有关的式子．

试题解析：（1）∵A点第一次落在直线y=x上时停止旋转，直线y=x与y轴的夹角是45°，

∴OA旋转了45°．

∴OA在旋转过程中所扫过的面积为

2

452

3602ππ

⨯

=．

（2）∵MN∥AC，

∴∠BMN=∠BAC=45°，∠BNM=∠BCA=45°．∴∠BMN=∠BNM．∴BM=BN．

又∵BA=BC，∴AM=CN．

又∵OA=OC，∠OAM=∠OCN，∴△OAM≌△OCN．

∴∠AOM=∠CON=1

2（∠AOC-∠MON）=

1

2

（90°-45°）=22.5°．

∴旋转过程中，当MN和AC平行时，正方形OABC旋转的度数为45°-22.5°=22.5°．

（3）在旋转正方形OABC的过程中，p值无变化．

证明：延长BA交y轴于E点，

则∠AOE=45°-∠AOM，∠CON=90°-45°-∠AOM=45°-∠AOM，

∴∠AOE=∠CON．

又∵OA=OC，∠OAE=180°-90°=90°=∠OCN．

∴△OAE≌△OCN．

∴OE=ON，AE=CN．

又∵∠MOE=∠MON=45°，OM=OM，

∴△OME≌△OMN．∴MN=ME=AM+AE．

∴MN=AM+CN，

∴p=MN+BN+BM=AM+CN+BN+BM=AB+BC=4．

∴在旋转正方形OABC的过程中，p值无变化．

考点：旋转的性质.

4．在平面直角坐标系中，O为原点，点A（0，4），点B（﹣2，0），把△ABO绕点A逆时针旋转，得△AB′O′，点B、O旋转后的对应点为B′、O′．

（1）如图①，若旋转角为60°时，求BB′的长；

（2）如图②，若AB′∥x轴，求点O′的坐标；

（3）如图③，若旋转角为240°时，边OB上的一点P旋转后的对应点为P′，当O′P+AP′取得最小值时，求点P′的坐标（直接写出结果即可）

【答案】（1）252）点O′的坐标为（85

5

，

5

5

+4）；（3）点P′的坐标为（﹣

83

，36

5

．

【解析】

分析：（1）由点A、B的坐标可得出AB的长度，连接BB′，由旋转可知：AB=AB′，