弹塑性力学-02(张量初步)

遍历求和过程。如果误写成 aibicidi，则 i 变成自由指标，
失去了遍历求和的意义。 8
把哑标误写成自由指标的形式是初学者常犯的错误，请读 者自己判别下式中不等号的原因：
a12 a22 a32 aiai ai2
（2）在一个用指标符号表示的方程或表达式中可以包含若干 项，各项间用加号、减号或等号分开。自由指标的影响是整 体性的，它将同时出现在同一方程或表达式的所有各项中， 所以自由指标必须整体换名，即把方程或表达式中出现的同 名自由指标全部改成同一个新字母，否则未换名的项就无法 与已换名的各项同时求同一方向上的分量。
Tmn,ij
2Tmn xi xj

2Tmn xj xi
Tmn, ji
22
作业
以指标符号表示虎克定律
11

1 E
[11
( 22
33 )];
12

1
E
12 ;
22

1 E
[ 22
( 33
11)];
23

1
E
23;
33
点积 是最常用的一种内积，它是前张量A的最后指标与后
张量B的第一指标缩并的结果，记为AgB 。其指标符号为：
AgB = Aijk Bkm
两个二阶张量的点积对应于矩阵乘法。
线性代数或者空间解析几何的点积是张量运算中缩并运算的 特例
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转置 张量指标的顺序一般不能任意调换，若将张量 T（指
标符号为 Tij ）的两个指标位置相互对换，则得到一个新
若表达式中出现两个或多个不同名的自由指标，则表示具 有两个或多个方向性
i j (i, j 1, 2, 3)
两个自由指标，表示应力是二阶张量。
哑标经过遍历求和变成一个无方向性的数，正如力和位移两 个矢量经过点乘后得到功，就不再有方向性。
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哑标仅表示要做遍历求和的运算，至于用什么字母来 表示则无关紧要，因此可以成对地任意换标。
Tijk aibjck
由于矢量的并积不服从交换律，并矢量中各矢量的排列顺序 不能任意调换。
张量微积分
定义在空间域上的张量场可以用一个张量函数来表示。该函 数对坐标的导数反映了张量场的空间变化规律。在笛卡儿直 角坐标系中，沿坐标线方向的三个单位矢量是与空间点坐标 无关的常量，所以笛卡儿张量的微积分可以归结为对其每个 分量求导或求积。
失去了方向性，张量被缩并为低二阶的新张量。例如，三阶张
量 Tiji 中的第一和第三指标为哑标，则它被缩并为一个矢量：
S j Tiji
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S j Tiji
若哑标的位置不同，则缩并的结果也不同。
j i 例如， Ri Tijj 是一个保留了 方向性的矢量，而上述 S j Tiji
是一个保留了 方向性的矢量。不同方向性的物理意义是 不一样的
T =A
Tij Aij
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并积 两个同维同阶（或不同阶）张量A和B的并积（或称外 积）T是一个阶数等于A、B阶数之和的高阶张量，其分量 由A、B两个张量的分量两两相乘而得。以A、B分别为三阶 和二阶张量为例：
Tijklm Aijk Blm
其中指标的顺序不能任意调换。
缩并 若高阶张量的指标符号中出现一对哑标，则该对指标就
2
指标分两类：哑指标和自由指标。在表达式或方程的某
项中成对出现（即重复出现两次）的指标，称为哑指标， 简称哑标。哑标定义了一种运算法则，即按照爱因斯坦 （Einstein A.）求和约定，把该项在该指标的取值范围内 遍历求和。例如，两个矢量和之点积的分量表达式为：
3
agb a1b1 a2b2 a3b3 aibi
例如在应力张量 ij 中 i 代表的是截面法线的方向,而 j 代
表的是截面上应力的分解方向。
内积 并积运算加缩并运算合称为内积。在指标符号中，内积
表现为哑标的一对指标分别出现在相互并乘的两个张量中，例
如：
S jkm Aijk Bim
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对并积的不同指标进行缩并其结果也不同。
Rijl Aijk Blk S jkm
例如，原来记为ai、b j 和 ck 的三个矢量
满足矢量和关系 c a b
当用指标符号表示此求和关系时不能直接代入写为
ck ai bj
而应根据“合矢量的分量等于分矢量对应分量之和”的规则 把指标换成同名，写成
ci ai bi 或 ck ak bk
7
反之，若要把曾记为 ai 和 bi 的两个矢量的分量逐个地两
3
a1b1c1 a2b2c2 a3b3c3 aibici aibici i 1
若无法避免自由指标在同项内出现两次，一般应特别申明 对该指标不作遍历求和，或者将其中一个指标加下横，以 示不计其数。
i 例如方程 ci aibi di
是自由指标
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综上所述，通过哑指标可把许多项缩写成一项，通过自 由指标又把许多方程缩写成一个方程。
位张量，其三个主对角分量均为1，其他分量均为0。
偏斜张量
Dij Sij Pij
偏斜张量是原张量与球形张量之差，其三个主对角分量 之和为零。
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并矢量 把 K 个独立矢量并写在一起称为并矢量，它们的并 积是一个 K 阶张量。例如，并矢量 abc是一个三阶张量，
记为 T ，它的指标符号表达式为：
1
i j (i, j 1, 2, 3)
其中 是应力张量的名称，9个分量都用同一名称；右下角的i
和j称为指标，指标的数目等于张量的阶数，即张量所具有的方 向性的数目；后面括号标明了指标的取值范围，即张量所在空 间的维数，对三维空间每个方向性有三个分量，每个指标可以 取值为1或2或3。
当式中的i和j相互独立地分别1，2，3取时可以得到9种排列， 于是用一个符号 ij 就全面地表示了应力张量的9个分量。通常 约定：在笛卡儿直角坐标系中一律采用位于右下角的“下指 标”；三维空间的指标用拉丁字母表示；二维空间的指标用希 腊字母表示。按此约定，本书对用拉丁字母或希腊字母表示的 指标不再用括号加注取值范围。
+ 1212 22 22 32 32
+ 13 13 23 23 3333
注意应力张量和应变张量的对称性，有
ij ij= 11 11 22 22 33 33
2 12 12 23 23 31 31
再引进自由指标，可以进一步合并成一个表达式：
xi' aij xj
i 这里 j 是哑标， 是自由指标。自由指标可以轮流取该指
标范围内的任何值，关系式将始终成立。
4
xi' aij xj
每个自由指标代表一个方向性：当它取值1或2或3时，分 别代表该方向性在x或y或z方向上的分量。当i分别取1,2,3 时，给出三个分量方程。
i 1
3
引进对哑标的求和约定代替叠加号
agb aibi
i 1
除哑标外，在表达式或方程的某项中非成对出现（即出现一
次或重复出现三次及三次以上）的其他指标都是自由指标。 例如，采用哑标后，线性变换写成
3
x1' a11x1 a12 x2 a13x3 a1 j x j ; x2' a21x1 a22 x2 a23x3 a2 j x j ; x3' a31x1 a32 x2 a33x3 a3 j x j ;
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考虑三维空间中的张量函数
Tmn x1, x2, x3
其每个分量都有三个偏导数：
Tmn (i, m, n 1, 2,3) xi
可以更简洁地把偏导数记为
Tmn, i iTmn (i, m, n 1, 2,3)
排在逗号或偏导号后面的指标称为导数指标。
如果连续函数高阶导数与求导顺序无关的性质
张量T *（指标符号为 T ji ），称为张量 T 的转置张量。
若转置张量与原张量相等，即 Tji Tij ，则为对称张量。
若转置张量等于原张量的负值，即 称张量。
Tji ，T则ij 为反对
加法分解 任意二阶张量 T 均可唯一地分解成对称张量 S
和反对称张量A之和：
Tij Sij Aij
指标符号使书写变得十分简洁，但也必须十分小心，因 为许多重要的含义往往只表现在指标的细微变化上。在 公式推导过程中，要根据所描述问题本来的运算规律来 合理选择和及时更换指标的名称。
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练习：将下面表达式按求和约定写成展开形式
aijbic j
ijij
aijbic j=a1 jb1c j a2 jb2c j a3 jb3c j
=a11b1c1 a21b2c1 a31b3c1 a12b1c2 a22b2c2 a32b3c2 a13b1c3 a23b2c3 a33b3c3
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练习：将下面表达式按求和约定写成展开形式
aijbic j
ijij
ijij= 1 j 1j 2 j2j 3 j 3j = 11 11 21 21 31 31
指标符号与张量运算
为了推导简洁，采用了张量指标符号及相应的运算。 这里作一简介—指标符号与求和约定
张量是具有多重方向性的物理量，有多个分量。 例如弹性力学中的应力张量和应变张量在三维空间中 都有9个分量。张量可以用指标符号来简洁地表示， 指标符号由一个名称和一组指标组成，例如应力张量 可以记为：
i j (i, j 1, 2, 3)
两相乘，则指标应及时地换成异名，写成
aib j
i 这样当下标 和 j 轮流取1，2，3时，共得到九个数。
如果误写为
aibi a1b1 a2b2 a3b3
则成为矢量点积
再如：a1b1 a2b2 a3b3 c1d1 c2d2 c3d3 aibicjd j
这里用两对异名的哑标正确地表示了两个括号中相互独立的
ds2 d xid xi
多变量函数的全微分可写成
df

f xi
d xi
i 1, 2,..., n
多重求和可以用两对（或几对）不同哑标来表示。例如二重和
33
aij xi x j aij xi x j
i1 j1
这里共有九项求和。
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对于不符合“成对准则”的特殊情况需要做特殊处理。例如， 若要对在同项内出现两次以上的指标进行遍历求和，一般应 加求和号。或者，在多余指标下加一横，表示该多余指标不 计指标数。例如：
Sij

1 2
Tij Tji
;
Aij

1 2
Tij Tji
上两式的运算也称为对称化和反对称化。
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球形张量与偏斜张量 任意二阶对称张量 S 均可分解为球形张 量 P 和偏斜张量 D 之和：
Sij Pij Dij
球形张量
Pij ij ;


1 3
Sii
这里的 是张量 S 三个主对角分量之平均值； ij 是单
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张量运算-张量代数
相等 若两个张量和相等，则对应分量相等。以二阶张 量为例：
Tij Sij
和、差 若两个同维同阶张量与之和（或差）是另一个 同维同阶张量，则和（或差）的分量是两个张量的对 应分量之和（或差）。以二阶张量为例：
T = A B Tij Aij Bij
数积 张量和一个数（或标量函数）相乘得到另一个 同维同阶张量，其分量关系为

1 E
[
33
(11
22 )];
以指标符号表示下列运动方程
31

1
E

31;
G
2u1

1
1
2
x1

u1 x1
u2 x2

u3 x3

aibi a jbj ambm
只要指标仍是哑标且取值范围和相同
自由指标仅表示要在取值范围内轮流取值，因此也 可以换标
xi' aij xj
xk' ak j xj
合理选择指标和及时进行换标是熟练应用指标符号的关 键，应用时应该遵循如下原则：
6
（1）同时取值的指标必须同名，独立取值的指标应防止重名。
（3）哑标的影响是局部性的，它可以只出现在方程或表达式 的某一项中，所以哑标只需成对地局部换名。表达式中不同 项内的同名哑标并没有必然的联系，可以换成不同的名字， 因为根据求和约定，哑标的有效范围仅限于本项。
9来自百度文库
指标符号也适用于微分表达式。例如，三维空间中线元长 度和其分量之间的关系
ds2 dx1 2 dx2 2 dx3 2