初一数学下册因式分解复习过程
因式分解法四个基本步骤
因式分解法四个基本步骤宝子，今天咱来唠唠因式分解法的四个基本步骤哈。
一、提公因式。
这就像是从一群小伙伴里先把那个带头的找出来。
比如说式子3x + 6，这里面3就是公因式呀。
你看，3乘以x是3x，3乘以2是6，那咱就可以把3提出来，写成3(x + 2)。
这一步呢，就是要眼睛尖一点，看看式子里面有没有那种每个项都有的东西，就像在一堆东西里找相同的小零件一样，找到了提出来就好啦。
二、运用公式。
这里面有几个很厉害的公式呢。
像平方差公式a² - b²=(a + b)(a - b)，完全平方公式(a±b)²=a²±2ab + b²。
比如说给你个式子x² - 9，这就是个平方差呀，9是3的平方，那它就可以分解成(x + 3)(x - 3)。
要是遇到x²+6x + 9呢，这就是完全平方公式的样子啦，它可以写成(x + 3)²。
这一步就像是给式子找个合适的模板，看看它符合哪个公式，然后就套进去。
三、分组分解。
这就有点像给一群小伙伴分组啦。
比如说式子ax + ay + bx + by，咱们可以把前面两个有a的放一组，后面两个有b的放一组，就变成(ax + ay)+(bx + by)。
然后呢，第一组提个a出来变成a(x + y)，第二组提个b出来变成b(x + y)，最后整个式子就可以写成(a + b)(x + y)啦。
这一步要有点小创意，知道怎么分组能让式子变得好分解。
四、十字相乘法。
这个可有趣啦。
就拿x²+5x + 6来说吧。
咱们要把二次项系数1和常数项6拆成两个数相乘的形式，1只能拆成1乘以1，6可以拆成2乘以3。
然后像这样十字交叉相乘再相加，1乘以3加上1乘以2正好等于一次项系数5呢。
那这个式子就可以分解成(x + 2)(x + 3)。
这一步就像是在玩数字的拼图游戏，要找到合适的数字组合才行。
宝子，因式分解法的这四个基本步骤就是这样啦，多练练，你就会觉得可好玩了呢。
因式分解的步骤
因式分解的步骤因式分解的步骤导语：因式分解的常用方法，还有很多方法都很不错，也能对我们的数学能力进行拓展，例如十字相乘法等等。
我们在学习初中数学因式分解的时候，一定要多做题，题海战术虽然饱受诟病，但是对于初中数学确实是理解和熟练知识点的最佳途径，当然要适量，不可疲劳战，这是为了保持对学习的浓厚兴趣，长此以往，养成习惯，你会发现数学这么简单。
因式分解的步骤1、提公因式;2、公式法(完全平方式、平方差公式)。
初中数学因式分解常用解法有哪些提公因式法①公因式：各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的～.②提公因式法：一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法.am+bm+cm=m(a+b+c)③具体方法：当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数;字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的.如果多项式的第一项是负的，一般要提出“-”号，使括号内的第一项的系数是正的.初中数学因式分解常用解法有哪些运用公式法①平方差公式：.a^2-b^2=(a+b)(a-b)②完全平方公式：a^2±2ab+b^2=(a±b)^2※能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，其中有两项能写成两个数(或式)的平方和的形式，另一项是这两个数(或式)的积的2倍.分组分解法分组分解法：把一个多项式分组后，再进行分解因式的方法.分组分解法必须有明确目的，即分组后，可以直接提公因式或运用公式.拆项、补项法拆项、补项法：把多项式的某一项拆开或填补上互为相反数的两项(或几项)，使原式适合于提公因式法、运用公式法或分组分解法进行分解;要注意，必须在与原多项式相等的原则进行变形.※多项式因式分解的一般步骤：①如果多项式的各项有公因式，那么先提公因式;②如果各项没有公因式，那么可尝试运用公式、十字相乘法来分解;③如果用上述方法不能分解，那么可以尝试用分组、拆项、补项法来分解;④分解因式，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止。
初一数学代数式的展开与因式分解总结
初一数学代数式的展开与因式分解总结【初一数学代数式的展开与因式分解总结】数学中的代数式是代数运算中非常基础和重要的内容，而代数式的展开与因式分解是初一学生必须掌握的基本技能。
本文将总结初一数学代数式的展开与因式分解的方法和步骤，帮助学生更好地理解和应用。
一、代数式的展开代数式的展开是指将一个复杂的代数式写成一个简单的代数式或多项式的过程。
下面我们来介绍如何展开一个代数式。
1. 展开两个括号的乘积展开两个括号的乘积时，需要使用分配律原则。
例如，展开(a + b)(c + d)的过程如下：展开前：(a + b)(c + d)展开后：ac + ad + bc + bd2. 展开含有多个括号的乘积当代数式中含有多个括号时，我们需要运用分配律原则多次展开。
例如，展开(a + b)(c + d)(e + f)的过程如下：展开前：(a + b)(c + d)(e + f)展开后：(ac + ad)(e + f) + (bc + bd)(e + f)= ace + acf + ade + adf + bce + bcf + bde + bdf3. 注意符号的处理在展开代数式时，需要特别注意符号的处理，遵循正负相乘的法则。
例如，展开(a - b)(c - d)的过程如下：展开前：(a - b)(c - d)展开后：ac - ad - bc + bd二、代数式的因式分解代数式的因式分解是指将一个多项式分解成几个乘积的过程。
下面我们来介绍如何进行代数式的因式分解。
1. 提取公因式在因式分解中，首先需要尝试提取公因式。
例如，将2x + 6分解成2(x + 3)的过程如下：分解前：2x + 6分解后：2(x + 3)2. 利用特殊公式或公式配方法进行因式分解除了提取公因式外，我们还可以利用一些特殊公式或公式配方法进行因式分解。
例如，将x² - 1分解成(x - 1)(x + 1)的过程如下：分解前：x² - 1分解后：(x - 1)(x + 1)3. 利用分组法进行因式分解分组法是在因式分解中常用的方法之一。
初一数学因式分解题讲义
初一因式分解（奥数题）进行因式分解：①x³-19x+30（奥数常考题，因式分解技巧解答）考知识点：①会读题②会拼凑拆分首先，明确我们的目标，我们需要把上面的各个数值累加变成各个因数的累乘。
下面我们来看一下各类解法：一、解法1x³-19x+30从题目中，我们可以看到，这一道因式分解题，最高的次方根是三次方，最低的是一次方，而且仅有两个带方根的函数。
这时候，我们开始对数值进行拆分，把19x拆分成10x+9x，这一步是解本题最难的部分，很多人都不容易想到，为什么要这样拆分？x³-19x+30= x³-9x-10x+30=x（x²-9）-10（x-3）到这一步之后，我们下一步是要再次找到公因式，我们可以看到（x-3）是公因式，因为（x²-9）可以分解成（x+3）（x-3）。
这一步的重点是，我们要看得到（x-9）是可以分解的。
即x（x²-9）-10（x-3）=x（x-3）（x+3）-10（x-3）=（x-3）（x+3x-10）到这一步之后，我们就需要对（x+3x-10）进行再次分解，可以采用以下方法：把x 和10进行拆分：x -2x 5于是得出：x+3x-10=（x-2）（x+5）这一步计算方法是运用了排列知识，需要一定的口算能力，就是把x 拆成两个x，运用排列知识，进行拆分，对角的数的乘积和等于3x，排列上上，下下对应的数值乘积分别等于x 和10。
所以说，本题解法1的答案就是：x³-19x+30=（x-3）（x-2）（x+5）解法1重点：①排列的应用②拆分、拼数③找到公因式二、解法2x³-19x+30跟解法1相同的是，还是读题，再拆分。
不过解法2的拆分跟解法1拆分不同，解法2是拆30这个数。
30我们可以拆成（57-27），为什么这么拆呢？因为我们需要找到公因式，（x-3）即：x³-19x+30= x³-27-19x+57=（x³-3³）-19（x-3）（x³-3³）我们可以进行分解，提取出公因式（x-3）得（x³-3³）=（x-3）（x+3x+9）所以（x³-3³）-19（x-3）=（x-3）（x+3x+9）-19（x-3）=（x-3）（x+3x-10）剩下的解法就跟解法1一样了，所以得出值：x³-19x+30=（x-3）（x-2）（x+5）解法2重点：①会拆分②拆分、拼数③找到公因式解法1和解法2不同的是，拆分的对象不同，一个拆19x，一个拆30，但是它们的共同点都是找到公因式（x-3）。
因式分解复习步骤详解
因式分解复习步骤详解因式分解是数学中常见的一种运算方式，用于将一个多项式拆分成更简单的因子。
以下是因式分解的详细步骤：1. 提取公因数：首先检查多项式中是否存在公共因子，如果有，可将其提取出来。
这样做可以简化表达式，减少计算量。
提取公因数：首先检查多项式中是否存在公共因子，如果有，可将其提取出来。
这样做可以简化表达式，减少计算量。
2. 判定多项式类型：进行因式分解前，需要确定多项式的类型。
常见的类型包括二次多项式、立方多项式等。
不同类型的多项式会使用不同的因式分解方法。
判定多项式类型：进行因式分解前，需要确定多项式的类型。
常见的类型包括二次多项式、立方多项式等。
不同类型的多项式会使用不同的因式分解方法。
3. 观察多项式结构：观察多项式的结构，寻找一些规律或特殊模式。
例如，是否存在平方差、立方差等特点。
这些特点可以帮助我们确定因式分解的起点。
观察多项式结构：观察多项式的结构，寻找一些规律或特殊模式。
例如，是否存在平方差、立方差等特点。
这些特点可以帮助我们确定因式分解的起点。
4. 使用因式分解公式：根据多项式的类型，选择适当的因式分解公式进行分解。
常见的因式分解公式有二次差方公式、立方差方公式等。
使用因式分解公式：根据多项式的类型，选择适当的因式分解公式进行分解。
常见的因式分解公式有二次差方公式、立方差方公式等。
5. 检验分解结果：进行因式分解后，需要检验分解结果是否正确。
可以通过将因子相乘得到原多项式，或借助计算机软件进行验证。
检验分解结果：进行因式分解后，需要检验分解结果是否正确。
可以通过将因子相乘得到原多项式，或借助计算机软件进行验证。
6. 合并同类项：在因式分解完成后，需要合并分解得到的各个因子中的同类项，得到最简形式的多项式。
合并同类项：在因式分解完成后，需要合并分解得到的各个因子中的同类项，得到最简形式的多项式。
通过以上步骤，我们可以在解决数学问题时运用因式分解的方法。
因式分解是数学中的一项基础技能，熟练掌握这一技能可以提高解题的效率。
冀教版七年级下册数学第11章 因式分解 用完全平方公式分解因式
2
知3－讲
总结
知2－讲
因式分解时，要注意综合运用所学的分解方法， 常用的分析思路是：①提公因式法；②公式法．有 时，需要反复利用公式法因式分解，直至每一个因式 都不能分解为止．注意综合利用乘法公式，既用到平 方差公式又用到完全平方公式．
知2－练
1 把下列各式分解因式： (1)6xy－x2－9y2；(2)－m3＋2m2－m； (3)3x2－6x＋3； (4)4xy2＋4x2y＋y3.
知2－练
2 把下列各式分解因式： (1)x2－6x(y－z)＋9(y－z)2； (2)(a＋b)2－4(a＋b)c＋4c2.
解：(1)x2－6x(y－z)＋9(y－z)2＝x2－2·x·3(y－z)＋[3(y －z)]2＝[x－3(y－z)]2＝(x－3y＋3z)2.
(2)(a＋b)2－4(a＋b)c＋4c2＝(a＋b－2c)2.
知2－练
6 把2xy－x2－y2分解因式，结果正确的是( C ) A．(x－y)2B．(－x－y)2 C．－(x－y)2D．－(x＋y)2
7 把多项式(a＋b)2－4(a2－b2)＋4(a－b)2因式分解的 结果为C( ) A．(3a－b)2B．(3b＋a)2 C．(3b－a)2D．(3a＋b)2
解：(1) ax2＋2a2x＋a3；
＝a(x2＋2ax＋a2)
＝a(x＋a)2.
(2) (x＋y)2－4(x＋y)＋4.
＝ (x＋y)2－2·(x＋y)·2＋22
＝ (x＋y－2)2.
(3) (3m－1)2＋(3m－1)＋1
4 ＝ (3m－1)2－2·(3m－1)·
＝
3m
1 2
2
.
1 2
1 2
例1 判断下列多项式是否为完全平方式．
初中数学代数复习二因式分解
代数复习二-----------因式分解因式分解是代数式的一种重要的恒等变形，它与整式乘法是相反方向的变形．在分式运算、解方程及各种恒等变形中起着重要的作用．是一种重要的基本技能．因式分解的方法较多，除了初中课本涉及到的提取公因式法和公式法(平方差公式和完全平方公式)外，还有公式法(立方和、立方差公式)、十字相乘法和分组分解法等等．一）、公式法【例1】用立方和或立方差公式分解下列各多项式：(1) 38x +(2) 30.12527b -分析： (1)中，382=，(2)中3330.1250.5,27(3)b b ==． 解：(1) 333282(2)(42)x x x x x +=+=+-+ (2) 333220.125270.5(3)(0.53)[0.50.53(3)]b b b b b -=-=-+⨯+2(0.53)(0.25 1.59)b b b =-++说明：(1) 在运用立方和(差)公式分解因式时，经常要逆用幂的运算法则，如3338(2)a b ab =，这里逆用了法则()n n n ab a b =；(2) 在运用立方和(差)公式分解因式时，一定要看准因式中各项的符号． 【例2】分解因式：(1) 34381a b b -(2) 76a ab -分析：(1) 中应先提取公因式再进一步分解；(2) 中提取公因式后，括号内出现66a b -，可看着是3232()()a b -或2323()()a b -．解：(1) 3433223813(27)3(3)(39)a b b b a b b a b a ab b -=-=-++． (2) 76663333()()()a ab a a b a a b a b -=-=+-22222222()()()()()()()()a ab a ab b a b a ab b a a b a b a ab b a ab b =+-+-++=+-++-+二)、分组分解法 从前面可以看出，能够直接运用公式法分解的多项式，主要是二项式和三项式．而对于四项以上的多项式，如ma mb na nb +++既没有公式可用，也没有公因式可以提取．因此，可以先将多项式分组处理．这种利用分组来因式分解的方法叫做分组分解法．分组分解法的关键在于如何分组．1．分组后能提取公因式【例3】把2105-+-分解因式．ax ay by bx分析：把多项式的四项按前两项与后两项分成两组，并使两组的项按x的降幂排列，然后从两组分别提出公因式2a与b-，这时另一个因式正好都是5-，x y这样可以继续提取公因式．解：21052(5)(5)(5)(2)-+-=---=--ax ay by bx a x y b x y x y a b 说明：用分组分解法，一定要想想分组后能否继续完成因式分解，由此合理选择分组的方法．本题也可以将一、四项为一组，二、三项为一组，同学不妨一试．【例4】把2222---分解因式．ab c d a b cd()()分析：按照原先分组方式，无公因式可提，需要把括号打开后重新分组，然后再分解因式．解：22222222---=--+ab c d a b cd abc abd a cd b cd()()2222=-+-abc a cd b cd abd()()=-+-=-+()()()()ac bc ad bd bc ad bc ad ac bd说明：由例3、例4可以看出，分组时运用了加法结合律，而为了合理分组，先运用了加法交换律，分组后，为了提公因式，又运用了分配律．由此可以看出运算律在因式分解中所起的作用．2．分组后能直接运用公式【例5】把22x y ax ay-++分解因式．分析：把第一、二项为一组，这两项虽然没有公因式，但可以运用平方差公式分解因式，其中一个因式是x y+；把第三、四项作为另一组，在提出公因式a 后，另一个因式也是x y+.解：22()()()()()x y ax ay x y x y a x y x y x y a-++=+-++=+-+【例6】把222++-分解因式．2428x xy y z分析：先将系数2提出后，得到222++-，其中前三项作为一组，x xy y z24它是一个完全平方式，再和第四项形成平方差形式，可继续分解因式．解：222222++-=++-24282(24)x xy y z x xy y z22=+-=+++-2[()(2)]2(2)(2)x y z x y z x y z说明：从例5、例6可以看出：如果一个多项式的项分组后，各组都能直接运用公式或提取公因式进行分解，并且各组在分解后，它们之间又能运用公式或有公因式，那么这个多项式就可以分组分解法来分解因式．三)、十字相乘法 1．2()x p q x pq +++型的因式分解这类式子在许多问题中经常出现，其特点是：(1) 二次项系数是1；(2) 常数项是两个数之积；(3) 一次项系数是常数项的两个因数之和．22()()()()()x p q x pq x px qx pq x x p q x p x p x q +++=+++=+++=++ 因此，2()()()x p q x pq x p x q +++=++ 运用这个公式，可以把某些二次项系数为1的二次三项式分解因式． 【例7】把下列各式因式分解：(1) 276x x -+(2) 21336x x ++解：(1) 6(1)(6),(1)(6)7=-⨯--+-=-2 76[(1)][(6)](1)(6)x x x x x x ∴-+=+-+-=--． (2)3649,4913=⨯+=2 1336(4)(9)x x x x ∴++=++说明：此例可以看出，常数项为正数时，应分解为两个同号因数，它们的符号与一次项系数的符号相同．【例8】把下列各式因式分解：(1) 2524x x +-(2) 2215x x --解：(1) 24(3)8,(3)85-=-⨯-+=2 524[(3)](8)(3)(8)x x x x x x ∴+-=+-+=-+ (2)15(5)3,(5)32-=-⨯-+=-2 215[(5)](3)(5)(3)x x x x x x ∴--=+-+=-+ 说明：此例可以看出，常数项为负数时，应分解为两个异号的因数，其中绝对值较大的因数与一次项系数的符号相同． 【例9】把下列各式因式分解：(1) 226x xy y +-(2) 222()8()12x x x x +-++分析：(1) 把226x xy y +-看成x 的二次三项式，这时常数项是26y -，一次项系数是y ，把26y -分解成3y 与2y -的积，而3(2)y y y +-=，正好是一次项系数．(2) 由换元思想，只要把2x x +整体看作一个字母a ，可不必写出，只当作分解二次三项式2812a a -+．解：(1) 222266(3)(2)x xy y x yx x y x y +-=+-=+- (2) 22222()8()12(6)(2)x x x x x x x x +-++=+-+-(3)(2)(2)(1)x x x x =+-+-2．一般二次三项式2ax bx c ++型的因式分解大家知道，2112212122112()()()a x c a x c a a x a c a c x c c ++=+++． 反过来，就得到：2121221121122()()()a a x a c a c x c c a x c a x c +++=++我们发现，二次项系数a 分解成12a a ，常数项c 分解成12c c ，把1212,,,a a c c 写成1122a c a c ⨯，这里按斜线交叉相乘，再相加，就得到1221a c a c +，如果它正好等于2ax bx c ++的一次项系数b ，那么2ax bx c ++就可以分解成1122()()a x c a x c ++，其中11,a c 位于上一行，22,a c 位于下一行．这种借助画十字交叉线分解系数，从而将二次三项式分解因式的方法，叫做十字相乘法．必须注意，分解因数及十字相乘都有多种可能情况，所以往往要经过多次尝试，才能确定一个二次三项式能否用十字相乘法分解． 【例10】把下列各式因式分解：(1) 21252x x --(2) 22568x xy y +-解：(1) 21252(32)(41)x x x x --=-+3241-⨯(2) 22568(2)(54)x xy y x y x y +-=+-1 254y y -⨯说明：用十字相乘法分解二次三项式很重要．当二次项系数不是1时较困难，具体分解时，为提高速度，可先对有关常数分解，交叉相乘后，若原常数为负数，用减法”凑”，看是否符合一次项系数，否则用加法”凑”，先”凑”绝对值，然后调整，添加正、负号．因式分解专练1．把下列各式分解因式： (1) 327a +(2) 38m -(3) 3278x -+2．把下列各式分解因式： (1) 34xy x +(2) 33n n x x y +-(3) 2232(2)y x x y -+ 3．把下列各式分解因式： (1) 232x x -+ (2) 2627x x --(3) 2245m mn n --4．把下列各式分解因式： (1) 5431016ax ax ax -+ (2) 2126n n n a a b a b +++- (3) 22(2)9x x -- (4) 2282615x xy y +- (5) 27()5()2a b a b +-+-5．把下列各式分解因式： (1) 233ax ay xy y -+- (2) 328421x x x +--(3) 251526x x xy y -+- (4) 22414xy x y +--(5) 432234ab b a b a b a --+ (6) 66321x y x --+ (7) 2(1)()x x y xy x +-+ 6．已知2,23a b ab +==，求代数式22222a b a b ab ++的值．7．证明：当n 为大于2的整数时，5354n n n -+能被120整除．8．已知0a b c ++=，求证：32230a a c b c abc b ++-+=．。
苏教版数学七年级下期末复习三---因式分解
苏教版数学七年级下期末复习三---因式分解一、知识点：1、因式分解：（1）把一个多项式写成几个整式的积的形式叫做多项式的因式分解。
（2）多项式的乘法与多项式因式分解的区别，简单地说：乘法是积．化和．，因式分解是和．化积．。
（3）因式分解的方法：①提公因式法；②运用公式法。
2、因式分解的应用：（1）提公因式法：如果多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来。
把多项式化成公因式与另一个多项式的积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。
（2）公因式：多项式ab＋ac＋ad的各项ab、ac、ad都含有相同的因式a，a称为多项式各项的公因式。
（3）用提公因式法时的注意点：①公因式要提尽，考虑的顺序是，先系数，再单独字母，最后多项式。
如：4a2(a-2b)-18ab(a-2b)=2a(a-2b)(2a-9b)；②当多项式的第一项的系数为负数时，把“－”号作为公因式的负号写在括号外，使括号内的第一项的系数为正。
如：-2m3+8m2-12m= -2．m(m2-4m+6)；③提公因式后，另一个多项式的求法是用原多项式除以公因式。
（4）运用公式法的公式：①平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b)②完全平方公式：a2+2ab+b2=(a+b)2a2-2ab+b2=(a-b)2（5）因式分解的步骤和要求：把一个多项式分解因式时，应先提公因式．．．，注意公因式要提尽．．，然后再应用公式，如果是二项式考虑用平方差公式，如果是三项式考虑用完全平方公式，直到把每一个因式都分解到不能再分解为止。
如：-2x5y+4x3y3-2xy5=-2xy(x4-2x2y2+y4) =-2xy(x2-y2)(x2+y2)=-2xy(x+y)(x-y)(x2+y2) 二、举例：例1：分解因式：（1）(a+b)2－2(a+b) （2）a(x－y)+b(y－x)+c(x－y) （3）(x+2)2－9 （4）4(a+b)2－9(a－b)2（5）80a2(a＋b)－45b2(a＋b)（6）(x2－2xy)2＋2y2(x2－2xy)＋y4（7）(m＋n)2－4(m＋n)＋4 （8）x4-81 （9）(x＋y)2－4(x2－y2)＋4(x－y)2（10）16a4－8a2＋1 （11）(x2+4)2-16x2（12）12422---yyx例2：计算：（1）20042-4008×2005+20052（2）9.92－9.9×0.2＋0.01（3）22200120031001-（4）(1－221)(1－231)(1－241) (1)291)(1－2101) 例3：观察下列算式回答问题：32－1=8×1 52－1=24=8×3 72－1=48=8×692－1=80=8×10 ………问：根据上述的式子，你发现了什么？你能用数学式子来说明你的结论是正确的吗？例4：解答题：（1）已知x2－y2=－1 ，x+y=21，求x－y 的值。
整式和因式分解复习教案
整式和因式分解复习教案第一章：整式的概念与性质1.1 内容概述本节主要回顾整式的定义、分类及其基本性质。
1.2 教学目标(1) 理解整式的概念，掌握整式的分类；(2) 掌握整式的加减法、乘法运算规则；(3) 理解整式的系数、次数、度等基本性质。
1.3 教学重点与难点重点：整式的概念、分类、基本性质；难点：整式的运算规则及性质的灵活运用。
1.4 教学方法采用讲授法、例题解析法、小组讨论法等。
1.5 教学过程(1) 复习整式的定义及分类；(2) 复习整式的加减法、乘法运算规则；(3) 复习整式的系数、次数、度等基本性质；(4) 进行典型例题讲解与分析；(5) 学生练习，教师点评。
第二章：因式分解的概念与方法2.1 内容概述本节主要回顾因式分解的定义、方法及其应用。
(1) 理解因式分解的概念，掌握因式分解的方法；(2) 学会运用因式分解解决实际问题。
2.3 教学重点与难点重点：因式分解的概念、方法；难点：因式分解在实际问题中的应用。
2.4 教学方法采用讲授法、例题解析法、小组讨论法等。
2.5 教学过程(1) 复习因式分解的定义及方法；(2) 复习因式分解在实际问题中的应用；(3) 进行典型例题讲解与分析；(4) 学生练习，教师点评。
第三章：提公因式法与公式法3.1 内容概述本节主要回顾提公因式法与公式法在因式分解中的应用。
3.2 教学目标(1) 掌握提公因式法与公式法的运用；(2) 学会运用提公因式法与公式法解决实际问题。
3.3 教学重点与难点重点：提公因式法与公式法的运用；难点：提公因式法与公式法在实际问题中的应用。
采用讲授法、例题解析法、小组讨论法等。
3.5 教学过程(1) 复习提公因式法与公式法的定义及运用；(2) 复习提公因式法与公式法在实际问题中的应用；(3) 进行典型例题讲解与分析；(4) 学生练习，教师点评。
第四章：因式分解的应用4.1 内容概述本节主要回顾因式分解在实际问题中的应用。
4.2 教学目标(1) 学会运用因式分解解决实际问题；(2) 培养学生的数学应用能力。
因式分解步骤三步
因式分解步骤三步要因式分解一个多项式，可以按照以下三个步骤进行：步骤一：找出公因式（如果存在）步骤二：使用分解方法（如公式法、配方法或因式定理等）步骤三：继续分解直到无法再分解为止现在让我们更详细地解释一下这三个步骤。
步骤一：找出公因式首先，我们需要检查多项式中是否存在公因式。
公因式是指可以被多项式中的每一项整除的单项式。
例如，在多项式2x^3+4x^2+6x中，公因式为2x，因为它可以整除每一项。
找到公因式后，我们可以将其从多项式中提取出来，并将剩余的部分写成括号中的差，例如：2x^3+4x^2+6x=2x(x^2+2x+3)。
步骤二：使用分解方法如果多项式中不存在公因式，我们需要使用特定的分解方法来分解它。
以下是一些常见的分解方法：公式法：当我们遇到二次多项式时，可以使用一些已知的二次公式进行分解。
例如，在多项式x^2 + 5x + 6中，我们可以使用二次公式x = (-b ±√(b^2 - 4ac))/(2a)来将其分解为(x + 2)(x + 3)。
配方法：如果多项式不是二次多项式，我们可以使用配方法来进行分解。
配方法是一种通过将多项式后面的项拆分为两个因子的乘积，然后进行分组以重新组合项的方法。
例如，在多项式2x^3+3x^2-2x-3中，我们可以通过分解(a+b)(c+d)为了配方法，将其分解为(x^2-1)(2x+3)。
因式定理：如果我们知道多项式的一个因子，我们可以使用因式定理进行分解。
因式定理告诉我们，如果一个多项式可以整除另一个多项式，那么它们的余数为零。
所以，我们可以使用因式定理来检查一些值是不是多项式的因子，如果是，我们可以将多项式除以这个值，然后再继续分解。
例如，如果我们知道(x+1)是多项式x^3+8的一个因子，我们可以使用因式定理得到(x+1)(x^2-x+1)。
步骤三：继续分解直到无法再分解为止在进行上述分解方法之后，我们最终会得到一个无法再分解的多项式，这个多项式没有进一步的公因式，也无法再使用公式法、配方法或因式定理进行分解。
定远县五中七年级数学下册 第3章 因式分解章末复习教案湘教版
章末复习【知识与技能】掌握提公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法的运用，及在实数范围内分解因式的方法,培养学生简便运算和应用因式分解解决数学问题的能力。
【过程与方法】通过寻求乘法公式与因式分解的关系，理解因式分解的含义.【情感态度】通过因式分解的学习,体会整体数学思想和转化的数学思想。
【教学重点】熟练运用各种方法来进行因式分解.【教学难点】因式分解各种方法的综合运用,利用因式分解解决数学问题。
一、知识结构分解因式分解因式的概念提取公因式法分解因式的方法平方差公式应用公式法完全平方公式⎧⎪⎧⎪⎨⎪⎧⎨⎪⎨⎪⎪⎩⎩⎩【教学说明】引导学生回忆本章知识点，使学生系统地了解本章知识及它们之间的关系。
二、释疑解惑，加深理解1。
因式分解的定义把一个多项式表示成假设干个多项式的乘积的形式,这种变形叫做把这个多项式因式分解.2。
提公因式法如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提到括号外面,这种分解因式的方法叫做提公因式法.3。
公式法〔1)平方差公式：a2-b2=〔a+b〕〔a-b)。
即两个数的平方差，等于这两个数的和与这个数的差的积。
〔2〕完全平方公式：a2±2ab+b2=〔a±b)2。
其中，a2±2ab+b2叫做完全平方式。
【教学说明】〔1〕因式分解与整式乘法是相反方向的变形,即互逆的运算。
〔2〕因式分解是恒等变形,因此可以用整式乘法来检验。
三、典例精析，复习新知例1以下变形是否是因式分解?为什么？〔1〕3x2y—xy+y=y(3x2—x)；〔2〕x2-2x+3=〔x—1)2+2;〔3〕x2y2+2xy-1=〔xy+1)〔xy—1〕;〔4〕x n〔x2—x+1〕=x n+2—x n+1+x n。
解：(1〕不是因式分解，因为因式分解是恒等变形而此题不恒等;〔2)不是因式分解，不满足因式分解的含义；〔3〕不是因式分解,因为因式分解是恒等变形而此题不恒等；〔4)不是因式分解,是整式乘法.例2以下变形是否正确?为什么?〔1)x2—3y2=(x+3y)(x—3y〕;〔2〕4x2—6xy+9y2=〔2x—3y)2；(3〕x2—2x—1=〔x—1〕2。
第9章 整式乘法与因式分解-七年级数学下册单元复习(苏科版)
【变式训练】
C
1．计算 x x3 1 的结果（ ）
A． x 4 1
B． x4 x
C． x4 x
D． x4 x
【答案】C
【分析】根据去括号法则及单项式乘多项式法则直接求解即可得到答案．
【详解】解：由题意可得，
x x3 1 x 4 x ，故选
＝a12
D．（a2）3（﹣
【答案】B
1
【详解】解：A． 2
a3 2a 2＝a5 ，选项正确，不符合题意；B．
（-3a 2） 4a3 a＝-12a6 ，选项错误，
4
3
2
a）
＝-a5 ，选项正确，不符合题意；D．（a 2）
（﹣
a3）
＝a12 ，选项正确，
符合题意；C． a（-
不符合题意；故选：B．
A． 2x 1 1 2x
B． ab 1 ab 1
C． 2x y 2x y
D． a 5 a 5
【答案】A
【分析】根据平方差公式的结构特点判断即可．
【详解】解：A、 2x 1 1 2x 2x 1 2x 1 2x 1 ，故该选项符合题意；B、
补充公式:
+ + = + + +
± ∓ + = ±
±
++
= ± + ±
= + + + + +
【典型例题】
A
下列各式中，不能运用平方差公式计算的是（ ）
知识点二 乘法公式
七年级下-数学-因式分解-讲义
定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式因式分解的意义与整式乘法的关系：互逆提取公因式法：)(c b a m mc mb ma ++=++因式分解的主要方法 平方差公式：()()b a b a b a -+=-22 因式分解 公式法完全平方公式：()2222b ab a b a +±=±因式分解的一般步骤：先看能否用提取公因式，再看能否用公式法因式分解的应用4.1 因式分解知识点：一般地，把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做因式分解，也叫分解因式。
考点①:判断因式分解。
关键：1、等式右边是几个整式乘积的形式2、是否分解彻底；3、用整式乘法来检验因式分解的正确性。
例1：下列各式从左到右的变形中，是因式分解的是（）A. ()2132-22+-=+x x x B. ()()111222-+=-+xy xy xy y x C. ()x x y xy y x -=-2233 D. ()()y x y x y x 32329422++-=+- 例2：检验下列因式分解是否正确.(1) ()()1212122+-=-a a a(2) ()()3393-+=-x x x x x(3) ()()3824112++=+-m m m m(4) ()()y x y x y xy x +-=-+2222 考点②：已知因式或其中一个因式，求原多项式的系数。
关键：1、将因式的乘积用整式乘法做化简，再与原多项式一项一项对比。
2、若只知一个因式，则将另一个因式设为类似mx-n 的形式，再与已知因式相乘做化简，最后与原多项式对比。
例1：若()()43--x x 是多项式122+-ax x 分解因式的结果，则a 的值是______. 例2：若()3-x 是多项式122+-ax x 分解因式的结果，则a 的值是______. 例3：若()3-x 是多项式a x x +-72分解因式的结果，则a 的值是______.例4：甲、乙两名同学分解因式b ax x++2时，甲看错了b ，分解结果为()()42++x x ；乙看错了a ，分解结果为()()91++x x ，则.____=-b a考点③：将考点②反过来，已知原多项式和它的因式分解的其中一个因式，求另一个因式.例1：()ab aby abx ab 749147-=+--，括号里应填（）A ． y x 721++- B. y x 72-1+- C. y x 7-2-1 D. y x 721-+例2：已知将122-+x x 因式分解得到的一个因式是()3-x ，另一个因式是_________.考点④：利用因式分解简单计算.例1：（1）2012012- （2）223565-4.2 提取公因式法知识点一：公因式1. 一般地，一个多项式中每一项都含有的相同的因式，叫做这个多项式各项的公因式.2. 多项式各项的公因式应是各项系数的最大公约数与各项都含有的相同字母的最低次幂的积.知识点二：提取公因式法3. 如果一个多项式的各项含有公因式，那么可把该公因式提取出来进行因式分解，这种方法叫做提取公因式法。
因式分解单元分类总复习-2021-2022学年七年级数学下学期重难点及章节分类精品讲义(浙教版)
《因式分解》单元分类总复习考点一因式分解知识总结：1.因式分解与整式乘法的关系：互为逆运算（故：将因式分解的结果乘出来可以用来检验因式分解的正误）2.因式分解基本步骤：一“提”→提取公因式（公因式可以是单独数字、单独字母、数字与字母乘积类的单项式；也可以是一个整体的多项式；提公因式一定要一次提完）二“套”→套用乘法公式（两项想平方差公式、三项想完全平方公式）3.分解因式时，一定要按照步骤，先观察能否提取公因式，再考虑用公式法分解，对于结果，一定要进行检查，看是否已分解彻底【例题典析】1．（2021春•拱墅区校级期中）下列各式由左边到右边的变形中，是因式分解的是（）A．x3﹣xy2＝x（x﹣y）2B．﹣x2﹣2x﹣1＝﹣（x+1）2C．x2+4x﹣4＝x（x+4）﹣4D．4x2+2xy+y2＝（2x+y）2【分析】根据因式分解的概念进行逐项分析解答即可．（把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解）【解答】解：A、x3﹣xy2＝x（x2﹣y2）＝x（x+y）（x﹣y），是因式分解不完全，故这个选项不符合题意；B、﹣x2﹣2x﹣1＝﹣（x+1）2，是因式分解，故这个选项符合题意；C、结果不是整式的积的形式，不是因式分解，故这个选项不符合题意；D、4x2+4xy+y2＝（2x+y）2，左右两边不相等，所以因式分解错误，故这个选项不符合题意．故选：B．2．（2021春•罗湖区校级期末）下列各式从左到右因式分解正确的是（）A．2x﹣6y+2＝2（x﹣3y）B．x2﹣2x+1＝x（x﹣2）+1C．x2﹣4＝（x﹣2）2D．x3﹣x＝x（x+1）（x﹣1）【分析】直接利用公式法以及提取公因式法分解因式进而得出答案．【解答】解：A、2x﹣6y+2＝2（x﹣3y+1），故原式分解因式错误，不合题意；B、x2﹣2x+1＝（x﹣1）2，故原式分解因式错误，不合题意；C、x2﹣4＝（x+2）（x﹣2），故原式分解因式错误，不合题意；D、x3﹣x＝x（x+1）（x﹣1），正确．故选：D．3．（2020春•绍兴期中）下列多项式可以用平方差公式进行因式分解的有（）①﹣a2+b2；②x2+x+；③x2﹣4y2；④（﹣m）2﹣（﹣n）2；⑤﹣121a2+36b2；⑥﹣s2+2s．A．2个B．3个C．4个D．5个【分析】直接利用平方差公式分别分解因式得出答案．【解答】解：①﹣a2+b2＝（b+a）（b﹣a），可以用平方差公式进行因式分解；②x2+x+＝（x+）2，不可以用平方差公式进行因式分解；③x2﹣4y2＝（x+2y）（x﹣2y），可以用平方差公式进行因式分解；④（﹣m）2﹣（﹣n）2＝（m+n）（m﹣n），可以用平方差公式进行因式分解；⑤﹣121a2+36b2＝（6b﹣11a）（6b+11a），可以用平方差公式进行因式分解；⑥﹣s2+2s＝﹣s（s﹣4），不可以用平方差公式进行因式分解；故选：C．4．下列多项式能分解因式的是（）A．﹣m2﹣n2B．m2+2m+1C．m2﹣m+D．m2﹣n【分析】根据因式分解的方法逐个判断即可．【解答】解：A．不能分解因式，故本选项不符合题意；B．能用完全平方公式分解因式，故本选项符合题意；C．不能分解因式，故本选项不符合题意；D．不能分解因式，故本选项不符合题意；故选：B．5．（2021秋•十堰期末）下列多项式中，不能在有理数范围进行因式分解的是（）A．﹣a2+b2B．﹣a2﹣b2 C．a3﹣3a2+2a D．a2﹣2ab+b2﹣1【分析】根据提公因式法，公式法进行分解即可判断．【解答】解：A．﹣a2+b2＝（b﹣a）（b+a），故A不符合题意；B．﹣a2﹣b2在有理数范围不能进行因式分解，故B符合题意；C．a3﹣3a2+2a＝a（a﹣1）（a﹣2），故C不符合题意；D．a2﹣2ab+b2﹣1＝（a﹣b+1）（a﹣b﹣1），故D不符合题意；故选：B．6．（2021秋•黄石港区期末）如图1，在边长为a的正方形中剪去一个边长为b的小正方形（a＞b），把剩下部分拼成一个梯形（如图2），利用这两幅图形面积，可以验证的公式是（）A．a2+b2＝（a+b）（a﹣b）B．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）C．（a+b）2＝a2+2ab+b2D．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2【分析】根据左图中阴影部分的面积是a2﹣b2，右图中梯形的面积是（2a+2b）（a﹣b）＝（a+b）（a﹣b），利用面积相等即可解答．【解答】解：∵左图中阴影部分的面积是a2﹣b2，右图中梯形的面积是（2a+2b）（a ﹣b）＝（a+b）（a﹣b），∴a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．故选：B．7．将下列多项式因式分解，结果中不含有因式a+1的是（）A．a2﹣1B．a2+a C．（a﹣1）2﹣a+1D．（a+2）2﹣2（a+2）+1【分析】根据因式分解的意义求解即可．【解答】解：A、原式＝（a+1）（a﹣1），故A不符合题意；B、原式＝a（a+1），故B不符合题意；C、原式＝（a﹣1）（a﹣1﹣1）＝（a﹣2）（a﹣1），故C符合题意；D、原式＝（a+1）2，故D不符合题意；故选：C．8．（2021春•拱墅区校级期中）因式分解（1）﹣a2+1；（2）2x3y+4x2y2+2xy3；（3）4（x+2y）2﹣25（x﹣y）2；（4）（a2+a）2﹣8（a2+a）+12．【分析】（1）运用平方差公式进行因式分解．（2）先提公因式，再运用完全平方公式．（3）先运用平方差公式，再提公因式．（4）运用十字相乘法进行因式分解，注意分解彻底．【解答】解：（1）﹣a2+1＝（1+a）（1﹣a）．（2）2x3y+4x2y2+2xy3＝2xy（x2+2xy+y2）＝2xy（x+y）2．（3）4（x+2y）2﹣25（x﹣y）2＝[2（x+2y）+5（x﹣y）][2（x+2y）﹣5（x﹣y）]＝（2x+4y+5x﹣5y）（2x+4y﹣5x+5y）＝（7x﹣y）（﹣3x+9y）＝﹣3（7x﹣y）（x﹣3y）．（4）（a2+a）2﹣8（a2+a）+12＝（a2+a﹣2）（a2+a﹣6）＝（a+2）（a﹣1）（a+3）（a﹣2）．9．（2021春•长清区期末）因式分解：（1）mx2﹣my2；（2）2m（a﹣b）﹣3n（b﹣a）．【分析】（1）直接提取公因式m，再利用平方差公式分解因式得出答案；（2）直接提取公因式（a﹣b），进而分解因式即可．【解答】解：（1）mx2﹣my2＝m（x2﹣y2）＝m（x+y）（x﹣y）；（2）2m（a﹣b）﹣3n（b﹣a）＝2m（a﹣b）+3n（a﹣b）＝（a﹣b）（2m+3n）．10．（2021春•北仑区期中）分解因式：（1）4x2﹣；（2）3a﹣6a2+3a3．【分析】（1）直接利用平方差公式分解因式得出答案；（2）直接提取公因式3a，再利用完全平方公式分解因式即可．【解答】解：（1）4x2﹣＝（2x﹣）（2x+）；（2）3a﹣6a2+3a3＝3a（1﹣2a+a2）＝3a（1﹣a）2．考点二因式分解方法拓展知识总结：分组分解因式：当多项式有四项及以上时常需要分组。
七年级下册数学因式分解知识点
因式分解概述定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫作分解因式。
意义：它是中学数学中最重要的恒等变形之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具。
因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用。
学习它，既可以复习的整式四则运算，又为学习分式打好基础；学好它，既可以培养学生的观察、注意、运算能力，又可以提高学生综合分析和解决问题的能力。
分解因式与整式乘法互为逆变形。
因式分解的方法因式分解没有普遍的方法，初中数学教材中主要介绍了提公因式法、公式法。
而在竞赛上，又有拆项和添减项法，分组分解法和十字相乘法，待定系数法，双十字相乘法，对称多项式轮换对称多项式法，余数定理法，求根公式法，换元法，长除法，除法等。
注意三原则1 分解要彻底2 最后结果只有小括号3 最后结果中多项式首项系数为正（例如：-3x^2+x=-x(3x-1)）基本方法⑴提公因式法各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公因式。
如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。
具体方法：当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，多项式的次数取最低的。
如果多项式的第一项是负的，一般要提出“-”号，使括号内的第一项的系数成为正数。
提出“-”号时，多项式的各项都要变号。
口诀：找准公因式，一次要提净；全家都搬走，留1把家守；提负要变号，变形看奇偶。
例如：-am+bm+cm=-m(a-b-c)；a(x-y)+b(y-x)=a(x-y)-b(x-y)=(x-y)(a-b)。
注意：把2a^2+1/2变成2(a^2+1/4)不叫提公因式⑵公式法如果把乘法公式反过来，就可以把某些多项式分解因式，这种方法叫公式法。
因式分解
第11讲：因式分解的方法【知识梳理】一、因式分解的意义把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，其操作过程叫分解因式。
其中每一个整式叫做积的因式。
二、因式分解的方法1、常用方法有提公因式法、公式法、分组分解法、十字相乘法等，通常根据多项式的项数来选择分解的方法。
2、一些复杂的因式分解的方法：（1）换元法：对结构比较复杂的多项式，若把其中某些部分看成一个整体，用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题简单化、明朗化，在减少多项式项数、降低多项式结构复杂程度等方面有独到作用。
（2）主元法：在解多变元问题时，选择其中某个变元为主要元素，视其他变元为常量，将原式重新整理成关于这个字母的按降幂排列的多项式，则能排除字母间的干扰，简化问题的结构。
（3）拆项、添项法：拆项是将多项式中的某项拆成两项或更多项的代数和的一种恒等变形；添项是特殊的拆项，即把零拆成两个相反项的和。
配方法则是一种特殊的拆项、添项法。
（4）待定系数法：对所给的数学问题，根据已知条件和要求，先设出问题的多项式表达式（含待定的字母系数），然后利用已知条件，确定或消去所设待定系数，使问题得以解答。
（5）常用的公式：平方差公式：()()b a b a b a -+=-22； 完全平方公式：()2222b a b ab a ±=+±； ()2222222c b a ca bc ab c b a ++=+++++； ()2222222c b a ca bc ab c b a -+=--+++； ()2222222c b a ca bc ab c b a --=-+-++； 立方和（差）公式：()()2233b ab a b a b a +-+=+；()()2233b ab a b a b a ++-=-；完全立方公式：()3322333b a b ab b a a +=+++； ()3322333b a b ab b a a -=-+-。
因式分解知识点总结七下
因式分解知识点总结七下因式分解是数学中的重要概念和方法。
在初中数学课程中，我们学习了因式分解七下的相关知识。
本文将对这些知识进行总结和归纳。
一、因式分解的概念和基本方法因式分解是将一个多项式分解为几个因式的过程。
多项式是由若干个单项式相加得到的表达式，因式分解的目的是将一个多项式表示为几个特定因式相乘的形式。
常见的因式分解方法包括公因式提取法、提取共同因子法、分组分解法和配方法。
在使用这些方法时，我们需要根据具体情况选择合适的方法来进行因式分解。
二、一步因式分解一步因式分解是指将一个多项式一次性分解为多个因式，而不需要进一步分解的过程。
常见的一步因式分解的方法有公因式提取法和配方法。
1. 公因式提取法公因式提取法是在多项式中找出公因式，然后将公因式提取出来，最后将剩下的部分写成另一个因式的形式。
例如，对于多项式5x+10y，我们可以提取出公因式5，得到5(x+2y)。
2. 配方法配方法是通过对多项式进行适当的配方使其可以进行因式分解。
常见的一步因式分解的配方法有两种情况：(1) 平方差公式：a^2-b^2=(a-b)(a+b)。
通过将多项式表示成两个平方的差的形式，可以进行因式分解。
例如，x^2-9=(x-3)(x+3)。
(2) 完全平方公式：a^2+2ab+b^2=(a+b)^2。
通过将多项式表示成两个完全平方的和的形式，可以进行因式分解。
例如，x^2+4x+4=(x+2)^2。
三、多步因式分解多步因式分解是指将一个多项式逐步进行因式分解的过程。
常见的多步因式分解方法包括提取共同因子法和分组分解法。
1. 提取共同因子法提取共同因子法是指在多项式中找出共同的因子，先提取出公因式，再进行进一步分解。
例如，对于多项式2x+4xy，我们可以先提取出公因式2，得到2(x+2y)，然后继续分解。
2. 分组分解法分组分解法是将多项式按照某种方式进行分组，然后对每组进行因式分解，最后将分解的因式相乘得到最终的结果。
数学复习正负数的因式分解
数学复习正负数的因式分解正负数的因式分解是数学中一个基础而重要的概念。
掌握了正负数的因式分解，不仅能够帮助我们解决一些数学问题，还能够为后续学习提供良好的基础。
本文将介绍正负数的因式分解方法及其应用。
一、正负数的因式分解方法1. 正数的因式分解正数的因式分解是将一个正整数分解成几个素数的乘积。
例如，我们将30分解成2、3、5的乘积，即30=2×3×5，这就是30的因式分解。
2. 负数的因式分解负数的因式分解与正数类似，不过需要额外考虑负号的问题。
例如，我们将-30分解成2、3、5的乘积，即-30=(-1)×2×3×5，这就是-30的因式分解。
二、正负数的因式分解应用1. 约束问题在一些实际问题中，我们需要找到满足一定条件的整数。
通过正负数的因式分解，我们可以更方便地找到这些整数。
例如，某个问题要求找到两个数的和为20，而且这两个数之间的差为5。
我们可以设其中一个数为x，那么另一个数就是20-x。
根据题目要求可以得到方程x-(20-x)=5，化简之后得到2x=25，解得x=12.5。
显然，12.5不是整数，但是通过因式分解我们可以得到更多的解。
将x分解成整数和分数部分，即x=12+0.5，那么另一个数就是8+0.5=8.5。
所以，满足条件的两个数为12.5和8.5。
2. 带有多个变量的问题正负数的因式分解还可以应用于带有多个变量的问题。
通过因式分解，我们可以更好地理解问题并解决它。
例如，某个问题要求求解方程x+y=0。
我们可以将x分解成两个部分，即x=(-y)+y。
这样，方程变为((-y)+y)+y=0，化简之后得到y=0。
再将y代入方程，可以得到x=(-0)+0=0。
所以，方程x+y=0的解为x=0，y=0。
3. 计算问题在一些计算问题中，我们需要对正负数进行运算。
正负数的因式分解可以帮助我们简化计算的过程。
例如，计算-6×(-3)。
我们知道-6可以通过因式分解得到，即-6=(-1)×2×3。
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初一数学下册因式分解因式分解的常用方法第一部分：方法介绍多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具．因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用．初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法．本讲及下一讲在中学数学教材基础上，对因式分解的方法、技巧和应用作进一步的介绍：一、提公因式法.：ma+mb+mc=m(a+b+c)二、运用公式法：在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如：（1）平方差公式：))((22b a b a b a -+=-（2）完全平方公式：222222)(2,)(2b a b ab a b a b ab a -=+-+=++（3）立方和公式：（4）立方差公式：例.已知a b c ，，是ABC ∆的三边，且222a b c ab bc ca ++=++， 则ABC ∆的形状是（ ）A.直角三角形 B 等腰三角形 C 等边三角形 D 等腰直角三角形解：222222222222a b c ab bc ca a b c ab bc ca ++=++⇒++=++222()()()0a b b c c a a b c ⇒-+-+-=⇒==三、分组分解法：（一）分组后能直接提公因式例1、分解因式：bn bm an am +++分析：从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用公式分解，但从“局部”看，这个多项式前两项都含有a ，后两项都含有b ，因此可以考虑将前两项分为一组，后两项分为一组先分解，然后再考虑两组之间的联系。
解：原式=)()(bn bm an am +++=)()(n m b n m a +++ 每组之间还有公因式！=))((b a n m ++例2、分解因式：bx by ay ax -+-5102解法一：第一、二项为一组； 解法二：第一、四项为一组；第三、四项为一组。
第二、三项为一组。
解：原式=)5()102(bx by ay ax -+- 原式=)510()2(by ay bx ax +-+-=)5()5(2y x b y x a --- =)2(5)2(b a y b a x ---=)2)(5(b a y x -- =)5)(2(y x b a --练习：分解因式1、bc ac ab a -+-2 2、1+--y x xy（二）分组后能直接运用公式例3、分解因式：ay ax y x ++-22分析：若将第一、三项分为一组，第二、四项分为一组，虽然可以提公因式，但提完后就能继续分解，所以只能另外分组。
解：原式=)()(22ay ax y x ++-=)())((y x a y x y x ++-+=))((a y x y x +-+例4、分解因式：2222c b ab a -+-解：原式=222)2(c b ab a -+-=22)(c b a --=))((c b a c b a +---练习：分解因式3、y y x x 3922--- 4、yz z y x 2222---综合练习：（1）3223y xy y x x --+ （2）b a ax bx bx ax -+-+-22（3）181696222-+-++a a y xy x （4）a b b ab a 4912622-++-（5）92234-+-a a a （6）y b x b y a x a 222244+--四、十字相乘法：（一）二次项系数为1的二次三项式直接利用公式——))(()(2q x p x pq x q p x ++=+++进行分解。
特点：（1）二次项系数是1；（2）常数项是两个数的乘积；（3）一次项系数是常数项的两因数的和。
例5、分解因式：652++x x分析：将6分成两个数相乘，且这两个数的和要等于5。
由于6=2×3=(-2)×(-3)=1×6=(-1)×(-6)，从中可以发现只有2×3的分解适合，即2+3=5。
1 2解：652++x x =32)32(2⨯+++x x 1 3=)3)(2(++x x 1×2+1×3=5用此方法进行分解的关键：将常数项分解成两个因数的积，且这两个因数的代数和要等于一次项的系数。
例6、分解因式：672+-x x解：原式=)6)(1()]6()1[(2--+-+-+x x 1 -1 =)6)(1(--x x 1 -6（-1）+（-6）= -7练习5、分解因式(1)24142++x x (2)36152+-a a (3)542-+x x练习6、分解因式(1)22-+x x (2)1522--y y (3)24102--x x（二）二次项系数不为1的二次三项式——c bx ax ++2条件：（1）21a a a = 1a 1c（2）21c c c = 2a 2c（3）1221c a c a b += 1221c a c a b +=分解结果：c bx ax ++2=))((2211c x a c x a ++例7、分解因式：101132+-x x分析： 1 -23 -5（-6）+（-5）= -11解：101132+-x x =)53)(2(--x x练习7、分解因式：（1）6752-+x x （2）2732+-x x （3）317102+-x x （4）101162++-y y（三）二次项系数为1的齐次多项式例8、分解因式：221288b ab a --分析：将b 看成常数，把原多项式看成关于a 的二次三项式，利用十字相乘法进行分解。
1 8b1 -16b8b+(-16b)= -8b解：221288b ab a --=)16(8)]16(8[2b b a b b a -⨯+-++=)16)(8(b a b a -+练习8、分解因式(1)2223y xy x +-(2)2286n mn m +-(3)226b ab a --（四）二次项系数不为1的齐次多项式例9、22672y xy x +-10、2322+-xy y x1 -2y 把xy 1 -12 -3y 1 -2解：原式=)32)(2(y x y x --=)2)(1(--xy xy练习9、分解因式：（1）224715y xy x -+ （2）8622+-ax x a综合练习10、（1）17836--x x （2）22151112y xy x -- （3）10)(3)(2-+-+y x y x（4）344)(2+--+b a b a （5）222265x y x y x -- （6）2634422++-+-n m n mn m（7）3424422---++y x y xy x （8）2222)(10)(23)(5b a b a b a ---++（9）10364422-++--y y x xy x （10）2222)(2)(11)(12y x y x y x -+-++思考：分解因式：abc x c b a abcx +++)(2222五、换元法。
例13、分解因式（1）2005)12005(200522---x x（2）2)6)(3)(2)(1(x x x x x +++++解：（1）设2005=a ，则原式=a x a ax ---)1(22=))(1(a x ax -+=)2005)(12005(-+x x（2）型如e abcd +的多项式，分解因式时可以把四个因式两两分组相乘。
原式=222)65)(67(x x x x x +++++设A x x =++652，则x A x x 2672+=++∴原式=2)2(x A x A ++=222x Ax A ++=2)(x A +=22)66(++x x练习13、分解因式（1）)(4)(22222y x xy y xy x +-++ （2）90)384)(23(22+++++x x x x（3）222222)3(4)5()1(+-+++a a a例14、分解因式（1）262234+---x x x x观察：此多项式的特点——是关于x 的降幂排列，每一项的次数依次少1，并且系数成“轴对称”。
这种多项式属于“等距离多项式”。
方法：提中间项的字母和它的次数，保留系数，然后再用换元法。
解：原式=)1162(222x x x x x +---=[]6)1()1(2222-+-+x x xx x 设t x x =+1，则21222-=+t xx∴原式=[]6)2222---t t x （=()10222--t t x =()()2522+-t t x =⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+215222x x x x x =⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+21··522·x x x x x x =()()1225222+++-x x x x =)2)(12()1(2--+x x x（2）144234+++-x x x x 解：原式=22241(41)x x x x x -+++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛+1141222x x x x x 设y x x =-1，则21222+=+y xx ∴原式=22(43)x y y -+=2(1)(3)x y y -- =)31)(11(2----xx x x x =()()13122----x x x x 练习14、（1）673676234+--+x x x x（2）)(2122234x x x x x +++++六、添项、拆项、配方法。
例15、分解因式（1）4323+-x x解法1——拆项。
解法2——添项。
原式=33123+-+x x 原式=444323++--x x x x=)1)(1(3)1)(1(2-+-+-+x x x x x =)44()43(2++--x x x x =)331)(1(2+-+-+x x x x =)1(4)4)(1(++-+x x x x =)44)(1(2+-+x x x =)44)(1(2+-+x x x=2)2)(1(-+x x =2)2)(1(-+x x（2）3369-++x x x解：原式=)1()1()1(369-+-+-x x x=)1()1)(1()1)(1(333363-++-+++-x x x x x x=)111)(1(3363+++++-x x x x=)32)(1)(1(362++++-x x x x x练习15、分解因式（1）893+-x x （2）4224)1()1()1(-+-++x x x （3）1724+-x x（4）22412a ax x x -+++ （5）444)(y x y x +++ （6）444222222222c b a c b c a b a ---++七、待定系数法。