寿险精算学 王燕编著 第五章_期缴保费

5.1.2完全连续净均衡净保费的厘定 完全连续均衡净保费指保险金给付连续（死亡即刻给付）， 保费缴纳也连续的情况。 1.假定条件 a.(x)岁的人购买终身寿险，死亡即刻给付1； b.被保险人从保单生效日起，每年连续缴纳 P 元保费；
c.终身寿险完全连续场合的均衡净保费记作 P Ax 。 2.均衡净保费的厘定过程
Ax E ( L) 0 Ax Px ax 0 Px ax
3.损失变量方差的厘定
2 Px 2 2 Ax ( Ax )2 Var ( L) (1 ) [ Ax ( Ax )2 ] d (d ax )2
例.假设由某寿险公司的经验生命表可得：
该险种场合，损失变量为
( L vt P( m) Ax axm)
根据净均衡原理 即
E ( L) 0
A a
x ( m) x
Ax P
( m)
0
整理得
P ( m ) Ax
Ax ( axm )
由于完全离散净均衡年缴保费 Px 比较容易求得， 还可进一步推导出 P( m) A ，P ( m ) , P 之间具有 x x x 如下的函数关系：
记变量：
Zs v
s 1
P( Ax ) , Z k v k 1 d
Var (L) Var (Zs )E(Zk2 ) E 2 (Zs )Var (Zk )
1 E (Z s ) 1 Ax
i
2i i 2 Var ( Z s ) 2
Var (L) Var (Zs )E(Zk2 ) E 2 (Zs )Var (Zk )
2
例.一个完全连续的终身寿险，死亡给付为1。已知：
0.03, 0.06, 求保险人潜在亏损变量的方差Var(L)。
解略。
常见险种净均衡保费公式：P106:表5-1
5.1.3完全离散净均衡年保费的厘定
保险金给付离散，保费缴纳也离散
1.假定条件 a.(x)的人购买终身寿险，死亡年末给付1； b.被保险人从保单生效日起，每年年初缴纳P元保费； c.终身寿险完全离散场合均衡净保费记作 Px 2.均衡净保费的厘定过程 假设死亡事件发生在第K—K+1年，则以保单 生效日为时间坐标，保险人的潜在亏损变量为：
解：
P ( 4) Ax
Ax ( ax4)
其中
0.05 0.05 Ax Ax (1 dax ) (1 1.68) 0.9428 ln 1.05 1.05 id i i ( 4) ( ax4) (4)ax (4) ( 4) ( 4) ax ( 4) ( 4) i d i d 1.000187 1.68 0.3827335 1.2976
A60 0.4097, 2 A60 0.2153, a60 10, i 0.025 求：
(1) P ;(2)Var ( L). 60
解：
Baidu Nhomakorabea
A60 0.4097 P60 0.04097 a60 10
A60 A60 0.2153 0.40972 Var L 0.7976 2 2 da60 0.025 10 1.025
(m) 2
v
Var v

t 2 2 x
P (m) (m) d
P Ax 1 (m) d
(m)
A A
2 x
例. 已知 i 0.05, ax 1.68,被保险人在每一个分数年内 死亡服从均匀分布，求 P(4) ( Ax )
第一节 期缴净保费
5.1.1期缴净保费的厘定原则 特点: 1.期缴净保费的实质是被保险人采用生存年金的方式缴纳保费; 2.它和趸交净保费一样，都要满足净均衡原理 保险人潜在亏损L均值为零 L=赔付金支出现值-净保费收入现值 E（趸缴净保费现值）=E（期缴净保费现值） 等时间间隔缴纳的等额净保费，称为均衡净保费.使用 最为广泛。
a 40 v t p40 dt e 0.05t
1 dt 0.2771 70 70 t dt 14.458 70
则
1000 P A40

0.2771 1000 19 .17 14 .458
3.损失变量方差的厘定
t t 1 v Var L Var v PAx

i (m) (1) P ( Ax ) Px Px (m) (2) Px (m) (m)(d Px )
( m)
证明见课本P112.
3.损失变量方差的厘定
( Var L Var v t P ( m) Ax axm)



t
P (m) A x Var 1 d (m) P Ax 1 d (m)
x
将
Ax P ( Ax ) ax
代入上式，则得到如下等价的方差公式
a x Ax Var L a x
又由于

2
A A
2 2 x x
2
ax Ax 1 ，损失变量方差公式可以简化为
Ax Ax Var L a x 2
t P Ax 1 Var v P Ax 1 P Ax 1
2
PA

x

Var v A A
2 2 2


t
x
2i i 2 i 2 2 i 1 2 2 Var ( L) [ 2 ] Ax ( ) [ Ax ( Ax )2 ] 2 1 Ax
5.1.5 每年缴纳数次保费的均衡净保费的厘定 每年分m次等额缴费的年缴净保费 1.假设条件 a.(x)的人购买终身寿险，死亡即刻给付1； b.被保险人从保单生效日起，每年缴费m次，每期期初缴纳； c.年均衡净保费记作 P ( m) ( Ax ) 2.均衡净保费厘定过程

2.均衡净保费的厘定过程 假设死亡事件发生在t时刻，该时刻位于整值 剩余寿命K—K+1年期间，则以保单生效日为 时间坐标，保险人的潜在亏损变量为：
L v t PAx aK 1| , t 0
其中，赔付金支出现值为被保险人t时刻死亡，死亡即刻赔 t 付1的现值 v ；净保费收入为被保险人存活时每年 年初缴纳 Px 元的年金现值 PAx aK 1| 根据净均衡原理有
按照方案一缴纳的保费精算现值为




600 400vpx 600 380px
根据经均衡原理保险给付金精算现值和缴纳的保费精算现值相等，既有
950 47.5 px 600 380px
解出
px 0.8187
按照方案二缴纳的保费精算现值为
P(1 vpx ) P(1 0.95px )
L v K 1 Px aK 1
，K=0,1,……
其中，赔付金支出现值为被保险人在K—K+1年期间死亡时， 死亡年末赔付1的现值 v K 1 ；净保费收入为被保险人 存活时每年年初缴纳 Px 元的年金现值 Px a
K 1|
根据净均衡原理有损失变量期望为0，则终身寿险完全 离散场合均衡净保费为
根据经均衡原理保险给付金精算现值和缴纳的保费精算现值相等，既有
950 47.5 px P(1 0.95px )
解出
P 512 .5
常见险种完全离散净均衡年保费公式见表5-2（P108）
5.1.4半连续净均衡净保费的厘定 半连续均衡净保费指保险金给付连续（死亡即刻给付）， 保费缴纳离散的情况。 1.假定条件 a.(x)的人购买终身寿险，死亡即刻给付1； b.被保险人从保单生效日起，每年年初缴纳P元保费； c.半连续场合终身寿险均衡净保费记作 P Ax
x:n
解略（见课本P109）。
3.损失变量方差的厘定
2i i 2 i 2 2 i 1 2 2 Var ( L) [ 2 ] Ax ( ) [ Ax ( Ax )2 ] 2 1 Ax
证明：
t 1 v k 1 Var ( L) Var v P ( Ax ) d s 1 P( Ax ) k 1 Var (v )v d
3|
L 10000 v 2.5 500 a3| 1 v3 10000 v 2.5 500 d 100001.025 7938
2.5
1 1.025 500 0.025/ 1.025
3
例.已知 i 0.025,n Ex 0.5, Ax:n 0.75, 死亡在每一年内服从 均匀分布，求1000 P ( A ) 。
所以
i
i
P
( 4)
Ax 0.9428 Ax ( 4) 0.7266 ax 1.2976
定义：保险人分期缴纳的保费， 称为期缴保费。
分类： 1）只覆盖赔付风险的期缴净保费； 2）既覆盖赔付风险又包括经营费用的 期缴毛保费；
本章重点：
1.理解期缴净保费的厘定原理； 2.熟练掌握各种常见险种情况下，均衡净保费的精算厘定； 3.了解保险业务中常见的经营费用及其分类； 4.熟练掌握在经营费用确定的情况下，期缴毛保费的精算厘 定； 5.了解保单费用和费率函数的概念，掌握使用费率函数估计 毛保费的方法。
因为 L

vt P ( Ax ) at , t 0 且 E ( L) 0 所以
E (v t ) P Ax E at | 0

又由于
E vt Ax , E at| a x


所以
Ax P A x a x

则终身寿险完全连续场合均衡净保费为
Ax P ( Ax ) ax
例. 假定寿命服从w=110的均匀分布，常数利息力 0.05, 对于完全连续的终身寿险，求1000P( A40 ). 解：
P A40


A40 a 40
在剩余寿命服从均匀分布假定下：
A40 v fT t dt e
70 t 70 0 0 70 t 70 0 0 0.05 t
2 2
例. 一个为期两年的两全寿险，保险给付金为1000元，此保 险有两种缴费方案（两种方案等价）： 方案一：第一年年初缴费600元，第二年年初缴费400元； 方案二：每年年初缴费P； 已知d=0.05，计算年缴保费P。
解：保险给付金的精算现值为
1000vqx v2 px 10000.95 1 px 0.952 px 950 47.5 px
解：（见下页）
解： 死亡事件发生时，保险公司的赔付额为10000元，当时距离前单日恰好2.5 年，所以支出现值为 ；而截至死亡事件发生时，保险公司共收到 10000 v 2.5 被保险人3次保费缴纳（2006.1.1,2007.1.1,2008.1.1），每次缴费500。这3 次缴费的现值等于 500a ；则被保险人损失变量现值为：
Ax E( L) 0 Ax PAx ax 0 PAx ax
例.某人在2006年1月1日买了一份10年定期寿险，死亡即 刻给付10000元，保费为前5年每年年初缴费500元。假定 此人在2008年6月30日死亡，求保险公司的损失在签单日 的现值。（i=0.025）