(完整版)椭圆经典例题分类汇总,推荐文档
(完整版)椭圆知识点及经典例题汇总,推荐文档
(3)顶点:①椭圆的对称轴与椭圆的交点称为椭圆的顶点。
x2
②椭圆
y2
1 (a b 0) 与坐标轴的四个交点即为椭圆的四个顶点,坐标分别为
a2 b2
A1 (a,0) , A2 (a,0) , B1 (0,b) , B2 (0,b)
③线段 A1 A2 , B1B2 分别叫做椭圆的长轴和短轴, A1 A2 2a , B1B2 2b 。 a 和 b 分
( BF1 BF2 a) ; ( OF1 OF2 c) ; A1B A2 B a 2 b2 ;
(3) A1F1 A2 F2 a c ; A1F2 A2 F1 a c ; a c PF1 a c ;
知识点四:椭圆第二定义
一动点到定点的距离和它到一条定直线的距离的比是一个 (0,1) 内常数 e ,那么这个点的轨
若 ( PF1 PF2 F1F2 ) ,则动点 P 的轨迹无图形.
知识点二:椭圆的标准方程
1.当焦点在 x 轴上时,椭圆的标准方程: x 2 y 2 1 (a b 0) ,其中 c 2 a 2 b2 a2 b2
2.当焦点在 y 轴上时,椭圆的标准方程: y 2 x 2 1 (a b 0) ,其中 c 2 a 2 b2 ; a2 b2
3.椭圆的参数方程
x
y
a b
cos sin
(为参数)
注意:1.只有当椭圆的中心为坐标原点,对称轴为坐标轴建立直角坐标系时,才能得到椭圆
的标准ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ程;
2.在椭圆的两种标准方程中,都有 (a b 0) 和 c 2 a 2 b2 ;
3.椭圆的焦点总在长轴上.
当焦点在 x 轴上时,椭圆的焦点坐标为 (c,0) , (c,0) ;
《椭圆》方程典型例题20例(含标准答案)
例1 椭圆的一个顶点为()02,A 分析:解:(1)当()02,A 椭圆的标准方程为:11422=+y x (2)当()02,A 为短轴端点时,b 椭圆的标准方程为:116422=+y x 说明:横竖的,因而要考虑两种情况.例2 解:31222⨯⨯=c a c ∴23c =∴3331-=e . 说明:和c 的齐次方程,再化含e 例3 已知中心在原点,焦点在x 点,OM 的斜率为0.25解:由题意,设椭圆方程为22+ax )直线与曲线的综合问题,经常要借)22y ,与焦点()04,F 的距离成等差数BT 的斜率k .(2)因为线段AC 221=+-y y y 又∵点T 在x ()212221024x x y y x --=-又∵点()11y x A ,,(2x B ∴ ()212125259x y -=()222225259x y -= ∴ (12221259x y y +-=-将此式代入①,并利用 253640-=-x ∴ 4540590=--=x k BT例5 已知椭圆13422=+yx ,距离MN 是1MF 与2MF 解:假设M 存在,设M 2=a ,3=b ,∴=c ∵左准线l 的方程是=x ① ②.k ,利用条件求k . ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=21x k .代入椭圆方程,并整理∵P 是弦中点,∴121=+x x 所以所求直线方程为342-+y x 分析二:设弦两端坐标为(11y x ,率:2121x x y y --.解法二:设过⎪⎭⎫⎝⎛2121,P ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+=+=+=+④1.③1②12①12212122222121y y x x y x y x ,,, ①-②得0222212221=-+-y y x x .将③、④代入⑤得212121-=--x x y y 所求直线方程为0342=-+y x 说明:(1迹;过定点的弦中点轨迹.(2(3线问题也适用.例7 (1)长轴长是短轴长的2(2)在x 12222=+b y a x 求出1482=a ,372=b ,1=. .182=a .故所求方程为191822=+y x .MF AM 2+为最小值M 到右准线的距离,从而得最小8=x l :.过A 作l AQ ⊥,垂足为AQ ,即M 为所求点,因此说明:是M 例9 求椭圆32x 分析:值.解:椭圆的参数方程为⎩⎨⎧距离为26sin cos 3=+-=θθd 当13sin -=⎪⎭⎫⎝⎛-θπ时,d 说明:例10的点的最远距离是7分析:要注意讨论b 提高逻辑推理能力.0>>b a 待定.21<b 矛盾.⎪⎭⎫-21,点⎪⎭⎫ ⎝⎛-213,到点⎪⎭⎫⎝⎛230,P 的距==θθsin cos b y a x ,其中0>>b a ,待定,πθ20≤≤,θ为参数.由22222221⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-==a b a b a a c e 2143112=-=-=e a b ,即a 设椭圆上的点()y x ,到点 ⎝⎛0P 22222cos 23=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=θa y x d sin 3sin 34222--=θθb b b 421sin 3222+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=b b b θ如果121>b ,即21<b ,则当由题设得()22237⎪⎭⎫⎝⎛+=b 于是当b21sin -=θ时2d 由题设知()34722+=b,∴∴所求椭圆的参数方程是⎩⎨⎧y x 由21sin -=θ,cos θ例11 设x ,R ∈y ,y x 63222=+分析:考虑椭圆及圆的位置关系求得最值.0,0)点和(3,0)点. )1->.0,0)点时,半径最41=+m ,∴15=m .a 、b 如何变化, 120≠∠APB .(2分析:22222y ba a x -=解:(1 ⎩⎨⎧b x 2于是k AP=∵APB ∠∴tan ∠∵22c a >∴tan ∠故tan ∠(2)设∴tan ∠12-=k c .由21=e ,得4=k . k -1.8与9的大小关系不定,所以椭圆的焦点可能在x 轴上,也可能在y 例14 已知椭圆142222=+by b x 分析:解法一:由142222=+by b x ,得由椭圆定义,a PF PF 221=+b b b PF b PF 34421=-=-=.由椭圆第二定义,e d PF =11,∴b ePF d 3211==,即P 到左准线的距离为b 32解法二:∵e d PF =22,2d 为P ∴b ePF d 33222==. 又椭圆两准线的距离为c a 22=⋅∴P 到左准线的距离为b 338说明:圆的第二定义.3π=∠POx ,求P 点坐标.3π, 552, )0>上的一点,P 到左焦点1F 和右焦.ca 20+,∴01ex a PQ e r +==说明:例17 已知椭圆15922=+y x 上一点.(1) 求1PF PA +(2) 求223PF PA +分析:即代数方法.二是数形结合,解:(1)如上图,62=a ,)0,2(2F ,22AF PF PA -≥,∴1+PF PA 22AF PF PA -=时成立,此时P 、由22AF PF PA +≤,∴+PA 22AF PF PA +=时成立,此时P 、==45,02得两交点 ,P 点与2P 重合时,2PF PA +取Q 为垂足,由3=a ,2=c ,PQ PA PF PA +=+223,要使29=x .1,代入椭圆得满足条件的A 向相应准线作垂线段.巧用(2)分析:解:(1) ⎩⎨⎧==θθsin 2cos 3y x )(R ∈θ.(2)设椭圆内接矩形面积为S )sin 2,cos 3(θθ则2sin 12sin 2cos 34=⨯⨯=θθS 故椭圆内接矩形的最大面积为说明:问题,用参数方程形式较简便.例19 已知1F ,2F (1)(2)求证21F PF ∆分析:12222=+b y a x (0>>b a )),(11y x P ,)0,(1c F -,)0,(2c F 方程联立消去21x 得2312212-+cy b y c 出1y 可以求出21F PF ∆思路二:利用焦半径公式1PF =再利用],[1a a x -∈,可以确定离心率a 2求解.),11y ,)0,(1c F -,)0,(2c F ,0>c ,(1)在21F PF ∆︒==60sin 2sin sin cn m βα∴︒=++60sin 2sin sin cn m βα∵a n m 2=+, ∴︒=+60sin 2sin sin 2ca βα∴sin sin 60sin βα=+︒==a c e 212cos21≥-=βα.当且仅当βα=(2)在21F PF ∆-+=2)2(222mn n m c mn n m -+=22 mn n m 3)(2-+=∵a n m 2=+,∴mn a c 34422-=,即∴60sin 2121mn S F PF ︒=∆即21F PF ∆说明:椭圆上的一点P 21PF PF +的结,若这个椭圆上总存在点P ,使AP OP ⊥,转化为P 点坐的一个不等式,转化为关于e 的不等222ba b -=θ, ,又222c a b -= P 使AP OP ⊥.如何证明?。
高中数学人教A版选修2-1椭圆经典例题分类汇总.docx
椭圆经典例题分类汇总1.椭圆第一定义的应用例1 椭圆的一个顶点为()02,A ,其长轴长是短轴长的2倍,求椭圆的标准方程. 分析:题目没有指出焦点的位置,要考虑两种位置.解:(1)当()02,A 为长轴端点时,2=a ,1=b , 椭圆的标准方程为:11422=+y x ; (2)当()02,A 为短轴端点时,2=b ,4=a , 椭圆的标准方程为:116422=+y x ; 说明:椭圆的标准方程有两个,给出一个顶点的坐标和对称轴的位置,是不能确定椭圆的横竖的,因而要考虑两种情况.例2 已知椭圆19822=++y k x 的离心率21=e ,求k 的值. 分析:分两种情况进行讨论.解:当椭圆的焦点在x 轴上时,82+=k a ,92=b ,得12-=k c .由21=e ,得4=k . 当椭圆的焦点在y 轴上时,92=a ,82+=k b ,得k c -=12.由21=e ,得4191=-k ,即45-=k . ∴满足条件的4=k 或45-=k .说明:本题易出现漏解.排除错误的办法是:因为8+k 与9的大小关系不定,所以椭圆的焦点可能在x 轴上,也可能在y 轴上.故必须进行讨论.例3 已知方程13522-=-+-ky k x 表示椭圆,求k 的取值范围. 解:由⎪⎩⎪⎨⎧-≠-<-<-,35,03,05k k k k 得53<<k ,且4≠k .∴满足条件的k 的取值范围是53<<k ,且4≠k .说明:本题易出现如下错解:由⎩⎨⎧<-<-,03,05k k 得53<<k ,故k 的取值范围是53<<k .出错的原因是没有注意椭圆的标准方程中0>>b a 这个条件,当b a =时,并不表示椭圆.例4 已知1c o s s i n22=-ααy x )0(πα≤≤表示焦点在y 轴上的椭圆,求α的取值范围. 分析:依据已知条件确定α的三角函数的大小关系.再根据三角函数的单调性,求出α的取值范围.解:方程可化为1cos 1sin 122=+ααy x .因为焦点在y 轴上,所以0sin 1cos 1>>-αα. 因此0sin >α且1tan -<α从而)43,2(ππα∈.说明:(1)由椭圆的标准方程知0sin 1>α,0cos 1>-α,这是容易忽视的地方. (2)由焦点在y 轴上,知αcos 12-=a ,αsin 12=b . (3)求α的取值范围时,应注意题目中的条件πα<≤0例5 已知动圆P 过定点()03,-A ,且在定圆()64322=+-y x B :的内部与其相内切,求动圆圆心P的轨迹方程.分析:关键是根据题意,列出点P 满足的关系式.解:如图所示,设动圆P 和定圆B 内切于点M .动点P 到两定点,即定点()03,-A 和定圆圆心()03,B 距离之和恰好等于定圆半径, 即8==+=+BM PB PM PB PA .∴点P 的轨迹是以A ,B 为两焦点,半长轴为4,半短轴长为73422=-=b 的椭圆的方程:171622=+y x . 说明:本题是先根据椭圆的定义,判定轨迹是椭圆,然后根据椭圆的标准方程,求轨迹的方程.这是求轨迹方程的一种重要思想方法.2.焦半径及焦三角的应用例1 已知椭圆13422=+y x ,1F 、2F 为两焦点,问能否在椭圆上找一点M ,使M 到左准线l 的距离MN 是1MF 与2MF 的等比中项?若存在,则求出点M 的坐标;若不存在,请说明理由.解:假设M 存在,设()11y x M ,,由已知条件得2=a ,3=b ,∴1=c ,21=e . ∵左准线l 的方程是4-=x , ∴14x MN +=. 又由焦半径公式知:111212x ex a MF -=-=,112212x ex a MF +=+=. ∵212MF MF MN ⋅=,∴()⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+11212122124x x x . 整理得048325121=++x x . 解之得41-=x 或5121-=x . ① 另一方面221≤≤-x . ② 则①与②矛盾,所以满足条件的点M 不存在.例2 已知椭圆方程()012222>>=+b a by a x ,长轴端点为1A ,2A ,焦点为1F ,2F ,P 是椭圆上一点,θ=∠21PA A ,α=∠21PF F .求:21PF F ∆的面积(用a 、b 、α表示). 分析:求面积要结合余弦定理及定义求角α的两邻边,从而利用C ab S sin 21=∆求面积.解:如图,设()y x P ,,由椭圆的对称性,不妨设()y x P ,,由椭圆的对称性,不妨设P 在第一象限.由余弦定理知: 221F F 2221PF PF +=12PF -·224cos c PF =α.①由椭圆定义知: a PF PF 221=+ ②,则-①②2得 αcos 12221+=⋅b PF PF . 故αsin 212121PF PF S PF F ⋅=∆ ααsin cos 12212+=b 2tan 2αb =. 3.第二定义应用例1 椭圆1121622=+y x 的右焦点为F ,过点()31,A ,点M 在椭圆上,当MF AM 2+为最小值时,求点M 的坐标.分析:本题的关键是求出离心率21=e ,把MF 2转化为M 到右准线的距离,从而得最小值.一般地,求MF eAM 1+均可用此法. 解:由已知:4=a ,2=c .所以21=e ,右准线8=x l :.过A 作l AQ ⊥,垂足为Q ,交椭圆于M ,故MF MQ 2=.显然MF AM 2+的最小值为AQ ,即M 为所求点,因此3=M y ,且M 在椭圆上.故32=M x .所以()332,M .说明:本题关键在于未知式MF AM 2+中的“2”的处理.事实上,如图,21=e ,即MF 是M 到右准线的距离的一半,即图中的MQ ,问题转化为求椭圆上一点M ,使M 到A 的距离与到右准线距离之和取最小值.例2 已知椭圆142222=+by b x 上一点P 到右焦点2F 的距离为b )1(>b ,求P 到左准线的距离.分析:利用椭圆的两个定义,或利用第二定义和椭圆两准线的距离求解.解法一:由142222=+by b x ,得b a 2=,b c 3=,23=e .由椭圆定义,b a PF PF 4221==+,得b b b PF b PF 34421=-=-=.由椭圆第二定义,e d PF =11,1d 为P 到左准线的距离,∴b ePF d 3211==,即P 到左准线的距离为b 32.解法二:∵e d PF =22,2d 为P 到右准线的距离,23==a c e , ∴b ePF d 33222==.又椭圆两准线的距离为b c a 33822=⋅.∴P 到左准线的距离为b b b 32332338=-. 说明:运用椭圆的第二定义时,要注意焦点和准线的同侧性.否则就会产生误解.椭圆有两个定义,是从不同的角度反映椭圆的特征,解题时要灵活选择,运用自如.一般地,如遇到动点到两个定点的问题,用椭圆第一定义;如果遇到动点到定直线的距离问题,则用椭圆的第二定义.例3 已知椭圆15922=+y x 内有一点)1,1(A ,1F 、2F 分别是椭圆的左、右焦点,点P 是椭圆上一点.(1) 求1PF PA +的最大值、最小值及对应的点P 坐标; (2) 求223PF PA +的最小值及对应的点P 的坐标. 分析:本题考查椭圆中的最值问题,通常探求变量的最值有两种方法:一是目标函数当,即代数方法.二是数形结合,即几何方法.本题若按先建立目标函数,再求最值,则不易解决;若抓住椭圆的定义,转化目标,运用数形结合,就能简捷求解.解:(1)如上图,62=a ,)0,2(2F ,22=AF ,设P 是椭圆上任一点,由6221==+a PF PF ,22AF PF PA -≥,∴26222211-=-=-+≥+AF a AF PF PF PF PA ,等号仅当22AF PF PA -=时成立,此时P 、A 、2F 共线.由22AF PF PA +≤,∴26222211+=+=++≤+AF a AF PF PF PF PA ,等号仅当22AF PF PA +=时成立,此时P 、A 、2F 共线.建立A 、2F 的直线方程02=-+y x ,解方程组⎩⎨⎧=+=-+4595,0222y x y x 得两交点)2141575,2141579(1+-P 、)2141575,2141579(2-+P . 综上所述,P 点与1P 重合时,1PF PA +取最小值26-,P 点与2P 重合时,2PF PA +取最大值26+.(2)如下图,设P 是椭圆上任一点,作PQ 垂直椭圆右准线,Q 为垂足,由3=a ,2=c ,∴32=e .由椭圆第二定义知322==e PQ PF ,∴223PF PQ =,∴PQ PA PF PA +=+223,要使其和最小需有A 、P 、Q 共线,即求A 到右准线距离.右准线方程为29=x .∴A 到右准线距离为27.此时P 点纵坐标与A 点纵坐标相同为1,代入椭圆得满足条件的点P 坐标)1,556(. 说明:求21PF ePA +的最小值,就是用第二定义转化后,过A 向相应准线作垂线段.巧用焦点半径2PF 与点准距PQ 互化是解决有关问题的重要手段.4.参数方程应用例1 求椭圆1322=+y x 上的点到直线06=+-y x 的距离的最小值. 分析:先写出椭圆的参数方程,由点到直线的距离建立三角函数关系式,求出距离的最小值. 解:椭圆的参数方程为⎩⎨⎧==.sin cos 3θθy x ,设椭圆上的点的坐标为()θθsin cos 3,,则点到直线的距离为263sin 226sin cos 3+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+-=θπθθd . 当13sin -=⎪⎭⎫⎝⎛-θπ时,22=最小值d . 说明:当直接设点的坐标不易解决问题时,可建立曲线的参数方程.例2 (1)写出椭圆14922=+y x 的参数方程;(2)求椭圆内接矩形的最大面积. 分析:本题考查椭圆的参数方程及其应用.为简化运算和减少未知数的个数,常用椭圆的参数方程表示曲线上一点坐标,所求问题便化归为三角问题.解:(1) ⎩⎨⎧==θθsin 2cos 3y x )(R ∈θ.(2)设椭圆内接矩形面积为S ,由对称性知,矩形的邻边分别平行于x 轴和y 轴,设)s in 2,c os 3(θθ为矩形在第一象限的顶点,)20(π<θ<,则122sin 12sin 2cos 34≤=⨯⨯=θθθS故椭圆内接矩形的最大面积为12.说明:通过椭圆参数方程,转化为三角函数的最值问题,一般地,与圆锥曲线有关的最值问题,用参数方程形式较简便.例3 椭圆12222=+by a x )0(>>b a 与x 轴正向交于点A ,若这个椭圆上总存在点P ,使AP OP ⊥(O 为坐标原点),求其离心率e 的取值范围.分析:∵O 、A 为定点,P 为动点,可以P 点坐标作为参数,把AP OP ⊥,转化为P 点坐标的一个等量关系,再利用坐标的范围建立关于a 、b 、c 的一个不等式,转化为关于e 的不等式.为减少参数,易考虑运用椭圆参数方程.解:设椭圆的参数方程是⎩⎨⎧==θθsin cos b y a x )0(>>b a ,则椭圆上的点)sin ,cos (θθb a P ,)0,(a A , ∵AP OP ⊥,∴1cos sin cos sin -=-⋅aa b a b θθθθ,即0cos cos )(22222=+--b a b a θθ,解得1cos =θ或222cos ba b -=θ, ∵1cos 1<<-θ ∴1cos =θ(舍去),11222<-<-ba b ,又222c a b -=∴2022<<ca ,∴22>e ,又10<<e ,∴122<<e . 说明:若已知椭圆离心率范围)1,22(,求证在椭圆上总存在点P 使AP OP ⊥.如何证明?5.相交情况下--弦长公式的应用例1 已知椭圆1422=+y x 及直线m x y +=. (1)当m 为何值时,直线与椭圆有公共点? (2)若直线被椭圆截得的弦长为5102,求直线的方程. 解:(1)把直线方程m x y +=代入椭圆方程1422=+y x 得 ()1422=++m x x ,即012522=-++m mx x .()()020*********≥+-=-⨯⨯-=∆m m m ,解得2525≤≤-m . (2)设直线与椭圆的两个交点的横坐标为1x ,2x ,由(1)得5221mx x -=+,51221-=m x x .根据弦长公式得 :51025145211222=-⨯-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅+m m .解得0=m .方程为x y =.说明:处理有关直线与椭圆的位置关系问题及有关弦长问题,采用的方法与处理直线和圆的有所区别.这里解决直线与椭圆的交点问题,一般考虑判别式∆;解决弦长问题,一般应用弦长公式. 用弦长公式,若能合理运用韦达定理(即根与系数的关系),可大大简化运算过程. 例2 已知长轴为12,短轴长为6,焦点在x 轴上的椭圆,过它对的左焦点1F 作倾斜解为3π的直线交椭圆于A ,B 两点,求弦AB 的长.分析:可以利用弦长公式]4))[(1(1212212212x x x x k x x k AB -++=-+=求得, 也可以利用椭圆定义及余弦定理,还可以利用焦点半径来求.解:(法1)利用直线与椭圆相交的弦长公式求解.2121x x k AB -+=]4))[(1(212212x x x x k -++=.因为6=a ,3=b ,所以33=c .因为焦点在x 轴上,所以椭圆方程为193622=+y x ,左焦点)0,33(-F ,从而直线方程为93+=x y . 由直线方程与椭圆方程联立得:0836372132=⨯++x x .设1x ,2x 为方程两根,所以1337221-=+x x ,1383621⨯=x x ,3=k , 从而1348]4))[(1(1212212212=-++=-+=x x x x k x x k AB .(法2)利用椭圆的定义及余弦定理求解.由题意可知椭圆方程为193622=+y x ,设m AF =1,n BF =1,则m AF -=122,n BF -=122. 在21F AF ∆中,3co s22112212122πF F AF F F AF AF -+=,即21362336)12(22⋅⋅⋅-⋅+=-m m m ;所以346-=m .同理在21F BF ∆中,用余弦定理得346+=n ,所以1348=+=n m AB .(法3)利用焦半径求解.先根据直线与椭圆联立的方程0836372132=⨯++x x 求出方程的两根1x ,2x ,它们分别是A ,B 的横坐标.再根据焦半径11ex a AF +=,21ex a BF +=,从而求出11BF AF AB +=6.相交情况下—点差法的应用例1 已知中心在原点,焦点在x 轴上的椭圆与直线01=-+y x 交于A 、B 两点,M 为AB 中点,OM 的斜率为0.25,椭圆的短轴长为2,求椭圆的方程.解:由题意,设椭圆方程为1222=+y ax ,由⎪⎩⎪⎨⎧=+=-+101222y ax y x ,得()021222=-+x a x a , ∴222112a a x x x M +=+=,2111a x y M M +=-=,4112===ax y k M M OM ,∴42=a , ∴1422=+y x 为所求. 说明:(1)此题求椭圆方程采用的是待定系数法;(2)直线与曲线的综合问题,经常要借用根与系数的关系,来解决弦长、弦中点、弦斜率问题.例2 已知椭圆1222=+y x ,求过点⎪⎭⎫⎝⎛2121,P 且被P 平分的弦所在的直线方程. 分析一:已知一点求直线,关键是求斜率,故设斜率为k ,利用条件求k . 解法一:设所求直线的斜率为k ,则直线方程为⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-2121x k y .代入椭圆方程,并整理得 ()()0232122212222=+-+--+k k x k kx k .由韦达定理得22212122kkk x x +-=+. ∵P 是弦中点,∴121=+x x .故得21-=k . 所以所求直线方程为0342=-+y x .分析二:设弦两端坐标为()11y x ,、()22y x ,,列关于1x 、2x 、1y 、2y 的方程组,从而求斜率:2121x x y y --.解法二:设过⎪⎭⎫ ⎝⎛2121,P 的直线与椭圆交于()11y x A ,、()22y x B ,,则由题意得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+=+=+=+④1.③1②12①12212122222121y y x x y x y x ,,, ①-②得0222212221=-+-y y x x . ⑤ 将③、④代入⑤得212121-=--x x y y ,即直线的斜率为21-.所求直线方程为0342=-+y x .说明:(1)有关弦中点的问题,主要有三种类型:过定点且被定点平分的弦;平行弦的中点轨迹;过定点的弦中点轨迹.(2)解法二是“点差法”,解决有关弦中点问题的题较方便,要点是巧代斜率. (3)有关弦及弦中点问题常用的方法是:“韦达定理应用”及“点差法”.有关二次曲线问题也适用.例3 已知椭圆1222=+y x ,(1)求过点⎪⎭⎫ ⎝⎛2121,P 且被P 平分的弦所在直线的方程; (2)求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程;(3)过()12,A 引椭圆的割线,求截得的弦的中点的轨迹方程; (4)椭圆上有两点P 、Q ,O 为原点,且有直线OP 、OQ 斜率满足21-=⋅OQ OP k k , 求线段PQ 中点M 的轨迹方程.分析:此题中四问都跟弦中点有关,因此可考虑设弦端坐标的方法.解:设弦两端点分别为()11y x M ,,()22y x N ,,线段MN 的中点()y x R ,,则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+=+=+④,③,②,①,y y y x x x y x y x 222222212122222121①-②得()()()()022*******=-++-+y y y y x x x x . 由题意知21x x ≠,则上式两端同除以21x x -,有()()0221212121=-+++x x y y y y x x ,将③④代入得022121=--+x x y y yx .⑤(1)将21=x ,21=y 代入⑤,得212121-=--x x y y ,故所求直线方程为: 0342=-+y x . ⑥ 将⑥代入椭圆方程2222=+y x 得041662=--y y ,0416436>⨯⨯-=∆符合题意,0342=-+y x 为所求.(2)将22121=--x x y y 代入⑤得所求轨迹方程为: 04=+y x .(椭圆内部分)(3)将212121--=--x y x x y y 代入⑤得所求轨迹方程为: 022222=--+y x y x .(椭圆内部分)(4)由①+②得 :()2222212221=+++y y x x , ⑦, 将③④平方并整理得 212222124x x x x x -=+, ⑧, 212222124y y y y y -=+, ⑨将⑧⑨代入⑦得:()224424212212=-+-y y y x x x , ⑩ 再将212121x x y y -=代入⑩式得: 221242212212=⎪⎭⎫⎝⎛--+-x x y x x x , 即 12122=+y x .此即为所求轨迹方程.当然,此题除了设弦端坐标的方法,还可用其它方法解决.例4 已知椭圆13422=+y x C :,试确定m 的取值范围,使得对于直线m x y l +=4:,椭圆C 上有不同的两点关于该直线对称.分析:若设椭圆上A ,B 两点关于直线l 对称,则已知条件等价于:(1)直线l AB ⊥;(2)弦AB 的中点M 在l 上.利用上述条件建立m 的不等式即可求得m 的取值范围. 解:(法1)设椭圆上),(11y x A ,),(22y x B 两点关于直线l 对称,直线AB 与l 交于),(00y x M 点. ∵l 的斜率4=l k ,∴设直线AB 的方程为n x y +-=41.由方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++-=,134,4122yx n x y 消去y 得 0481681322=-+-n nx x①。
椭圆各类题型分类汇总
椭圆经典例题分类汇总1. 椭圆第一定义的应用例1 椭圆的一个顶点为()02,A ,其长轴长是短轴长的2倍,求椭圆的标准方程. 例2 已知椭圆19822=++y k x 的离心率21=e ,求k 的值. 例3 已知方程13522-=-+-ky k x 表示椭圆,求k 的取值范围. 例4 已知1cos sin 22=-ααy x )0(πα≤≤表示焦点在y 轴上的椭圆,求α的取值范围.例 5 已知动圆P 过定点()03,-A ,且在定圆()64322=+-y x B :的内部与其相内切,求动圆圆心P 的轨迹方程.2.焦半径及焦三角的应用例1 已知椭圆13422=+yx ,1F 、2F 为两焦点,问能否在椭圆上找一点M ,使M 到左准线l 的距离MN 是1MF 与2MF 的等比中项?若存在,则求出点M 的坐标;若不存在,请说明理由.例2 已知椭圆方程()012222>>=+b a by a x ,长轴端点为1A ,2A ,焦点为1F ,2F ,P 是椭圆上一点,θ=∠21PA A ,α=∠21PF F .求:21PF F ∆的面积(用a 、b 、α表示).3.第二定义应用例1 椭圆1121622=+y x 的右焦点为F ,过点()31,A ,点M 在椭圆上,当MF AM 2+为最小值时,求点M 的坐标.例2 已知椭圆142222=+by b x 上一点P 到右焦点2F 的距离为b )1(>b ,求P 到左准线的距离.例3 已知椭圆15922=+y x 内有一点)1,1(A ,1F 、2F 分别是椭圆的左、右焦点,点P是椭圆上一点.(1) 求1PF PA +的最大值、最小值及对应的点P 坐标; (2) 求223PF PA +的最小值及对应的点P 的坐标. 4.参数方程应用例1 求椭圆1322=+y x 上的点到直线06=+-y x 的距离的最小值.例2 (1)写出椭圆14922=+y x 的参数方程;(2)求椭圆内接矩形的最大面积.例3 椭圆12222=+by a x )0(>>b a 与x 轴正向交于点A ,若这个椭圆上总存在点P ,使AP OP ⊥(O 为坐标原点),求其离心率e 的取值范围.5.相交情况下--弦长公式的应用例1 已知椭圆1422=+y x 及直线m x y +=. (1)当m 为何值时,直线与椭圆有公共点? (2)若直线被椭圆截得的弦长为5102,求直线的方程. 例2 已知长轴为12,短轴长为6,焦点在x 轴上的椭圆,过它对的左焦点1F 作倾斜解为3π的直线交椭圆于A ,B 两点,求弦AB 的长. 6.相交情况下—点差法的应用例1 已知中心在原点,焦点在x 轴上的椭圆与直线01=-+y x 交于A 、B 两点,M 为AB 中点,OM 的斜率为,椭圆的短轴长为2,求椭圆的方程.例2 已知椭圆1222=+y x ,求过点⎪⎭⎫⎝⎛2121,P 且被P 平分的弦所在的直线方程.例3 已知椭圆1222=+y x ,(1)求过点⎪⎭⎫⎝⎛2121,P 且被P 平分的弦所在直线的方程;(2)求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程;(3)过()12,A 引椭圆的割线,求截得的弦的中点的轨迹方程; (4)椭圆上有两点P 、Q ,O 为原点,且有直线OP 、OQ 斜率满足21-=⋅OQ OP k k ,求线段PQ 中点M 的轨迹方程.例4 已知椭圆13422=+y x C :,试确定m 的取值范围,使得对于直线m x y l +=4:,椭圆C 上有不同的两点关于该直线对称.例5 已知)2,4(P 是直线l 被椭圆193622=+y x 所截得的线段的中点,求直线l 的方程.椭圆经典例题分类汇总1.椭圆第一定义的应用例1 椭圆的一个顶点为()02,A ,其长轴长是短轴长的2倍,求椭圆的标准方程.分析:题目没有指出焦点的位置,要考虑两种位置.解:(1)当()02,A 为长轴端点时,2=a ,1=b , 椭圆的标准方程为:11422=+y x ;(2)当()02,A 为短轴端点时,2=b ,4=a , 椭圆的标准方程为:116422=+y x ;说明:椭圆的标准方程有两个,给出一个顶点的坐标和对称轴的位置,是不能确定椭圆的横竖的,因而要考虑两种情况.例2 已知椭圆19822=++y k x 的离心率21=e ,求k 的值. 分析:分两种情况进行讨论.解:当椭圆的焦点在x 轴上时,82+=k a ,92=b ,得12-=k c .由21=e ,得4=k . 当椭圆的焦点在y 轴上时,92=a ,82+=k b ,得k c -=12.由21=e ,得4191=-k ,即45-=k . ∴满足条件的4=k 或45-=k .说明:本题易出现漏解.排除错误的办法是:因为8+k 与9的大小关系不定,所以椭圆的焦点可能在x 轴上,也可能在y 轴上.故必须进行讨论.例5 已知方程13522-=-+-ky k x 表示椭圆,求k 的取值范围. 解:由⎪⎩⎪⎨⎧-≠-<-<-,35,03,05k k k k 得53<<k ,且4≠k .∴满足条件的k 的取值范围是53<<k ,且4≠k .说明:本题易出现如下错解:由⎩⎨⎧<-<-,03,05k k 得53<<k ,故k 的取值范围是53<<k .出错的原因是没有注意椭圆的标准方程中0>>b a 这个条件,当b a =时,并不表示椭圆.例6 已知1cos sin 22=-ααy x )0(πα≤≤表示焦点在y 轴上的椭圆,求α的取值范围.分析:依据已知条件确定α的三角函数的大小关系.再根据三角函数的单调性,求出α的取值范围.解:方程可化为1cos 1sin 122=+ααy x .因为焦点在y 轴上,所以0sin 1cos 1>>-αα.因此0sin >α且1tan -<α从而)43,2(ππα∈.说明:(1)由椭圆的标准方程知0sin 1>α,0cos 1>-α,这是容易忽视的地方. (2)由焦点在y 轴上,知αcos 12-=a ,αsin 12=b . (3)求α的取值范围时,应注意题目中的条件πα<≤0例 5 已知动圆P 过定点()03,-A ,且在定圆()64322=+-y x B :的内部与其相内切,求动圆圆心P 的轨迹方程.分析:关键是根据题意,列出点P 满足的关系式.解:如图所示,设动圆P 和定圆B 内切于点M .动点P 到两定点,即定点()03,-A 和定圆圆心()03,B 距离之和恰好等于定圆半径, 即8==+=+BM PB PM PB PA .∴点P 的轨迹是以A ,B 为两焦点,半长轴为4,半短轴长为73422=-=b 的椭圆的方程:171622=+y x .说明:本题是先根据椭圆的定义,判定轨迹是椭圆,然后根据椭圆的标准方程,求轨迹的方程.这是求轨迹方程的一种重要思想方法.2.焦半径及焦三角的应用例1 已知椭圆13422=+yx ,1F 、2F 为两焦点,问能否在椭圆上找一点M ,使M 到左准线l 的距离MN 是1MF 与2MF 的等比中项?若存在,则求出点M 的坐标;若不存在,请说明理由.条件得解:假设M 存在,设()11y x M ,,由已知2=a ,3=b ,∴1=c ,21=e . ∵左准线l 的方程是4-=x , ∴14x MN +=.又由焦半径公式知:111212x ex a MF -=-=,112212x ex a MF +=+=. ∵212MF MF MN ⋅=,∴()⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+11212122124x x x .整理得048325121=++x x . 解之得41-=x 或5121-=x . ① 另一方面221≤≤-x . ② 则①与②矛盾,所以满足条件的点M 不存在.例2 已知椭圆方程()012222>>=+b a b y a x ,长轴端点为1A ,2A ,焦点为1F ,2F ,P 是椭圆上一点,θ=∠21PA A ,α=∠21PF F .求:21PF F ∆的面积(用a 、b 、α表示).分析:求面积要结合余弦定理及定义求角α的两邻边,从而利用C ab S sin 21=∆求面积. 解:如图,设()y x P ,,由椭圆的对称性,不妨设()y x P ,,由椭圆的对称性,不妨设P 在第一象限.由余弦定理知:221F F 2221PF PF +=12PF -·224cos c PF=α.① 由椭圆定义知: a PF PF 221=+ ②,则-①②2得 αcos 12221+=⋅b PF PF . 故αsin 212121PF PF S PFF ⋅=∆ ααsin cos 12212+=b 2tan 2αb =. 3.第二定义应用例1 椭圆1121622=+y x 的右焦点为F ,过点()31,A ,点M 在椭圆上,当MF AM 2+为最小值时,求点M 的坐标.分析:本题的关键是求出离心率21=e ,把MF 2转化为M 到右准线的距离,从法. 而得最小值.一般地,求MF eAM 1+均可用此线解:由已知:4=a ,2=c .所以21=e ,右准8=x l :.过A 作l AQ ⊥,垂足为Q ,交椭圆于M ,故MF MQ 2=.显然MF AM 2+的最小值为AQ ,即M 为所求点,因此3=M y ,且M 在椭圆上.故32=M x .所以()332,M .说明:本题关键在于未知式MF AM 2+中的“2”的处理.事实上,如图,21=e ,即MF 是M 到右准线的距离的一半,即图中的MQ ,问题转化为求椭圆上一点M ,使M 到A 的距离与到右准线距离之和取最小值.例2 已知椭圆142222=+by b x 上一点P 到右焦点2F 的距离为b )1(>b ,求P 到左准线的距离.分析:利用椭圆的两个定义,或利用第二定义和椭圆两准线的距离求解.解法一:由142222=+by b x ,得b a 2=,b c 3=,23=e .由椭圆定义,b a PF PF 4221==+,得b b b PF b PF 34421=-=-=.由椭圆第二定义,e d PF =11,1d 为P 到左准线的距离,∴b ePF d 3211==,即P 到左准线的距离为b 32. 解法二:∵e d PF =22,2d 为P 到右准线的距离,23==a c e ,∴b e PF d 33222==.又椭圆两准线的距离为b c a 33822=⋅. ∴P 到左准线的距离为b b b 32332338=-. 说明:运用椭圆的第二定义时,要注意焦点和准线的同侧性.否则就会产生误解.椭圆有两个定义,是从不同的角度反映椭圆的特征,解题时要灵活选择,运用自如.一般地,如遇到动点到两个定点的问题,用椭圆第一定义;如果遇到动点到定直线的距离问题,则用椭圆的第二定义.例3 已知椭圆15922=+y x 内有一点)1,1(A ,1F 、2F 分别是椭圆的左、右焦点,点P是椭圆上一点.(1) 求1PF PA +的最大值、最小值及对应的点P 坐标; (2) 求223PF PA +的最小值及对应的点P 的坐标. 分析:本题考查椭圆中的最值问题,通常探求变量的最值有两种方法:一是目标函数当,即代数方法.二是数形结合,即几何方法.本题若按先建立目标函数,再求最值,则不易解决;若抓住椭圆的定义,转化目标,运用数形结合,就能简捷求解.解:(1)如上图,62=a ,)0,2(2F ,22=AF ,设P 是椭圆上任一点,由6221==+a PF PF ,22AF PF PA -≥,∴26222211-=-=-+≥+AF a AF PF PF PF PA ,等号仅当22AF PF PA -=时成立,此时P 、A 、2F 共线.由22AF PF PA +≤,∴26222211+=+=++≤+AF a AF PF PF PF PA ,等号仅当22AF PF PA +=时成立,此时P 、A 、2F 共线.建立A 、2F 的直线方程02=-+y x ,解方程组⎩⎨⎧=+=-+4595,0222y x y x 得两交点 )2141575,2141579(1+-P 、)2141575,2141579(2-+P . 综上所述,P 点与1P 重合时,1PF PA +取最小值26-,P 点与2P 重合时,2PF PA +取最大值26+.(2)如下图,设P 是椭圆上任一点,作PQ 垂直椭圆右准线,Q 为垂足,由3=a ,2=c ,∴32=e .由椭圆第二定义知322==e PQ PF ,∴223PF PQ =,∴PQ PA PF PA +=+223,要使其和最小需有A 、P 、Q 共线,即求A 到右准线距离.右准线方程为29=x .∴A 到右准线距离为27.此时P 点纵坐标与A 点纵坐标相同为1,代入椭圆得满足条件的点P 坐标)1,556(. 说明:求21PF ePA +的最小值,就是用第二定义转化后,过A 向相应准线作垂线段.巧用焦点半径2PF 与点准距PQ 互化是解决有关问题的重要手段.4.参数方程应用例1 求椭圆1322=+y x 上的点到直线06=+-y x 的距离的最小值.分析:先写出椭圆的参数方程,由点到直线的距离建立三角函数关系式,求出距离的最小值.解:椭圆的参数方程为⎩⎨⎧==.sin cos 3θθy x ,设椭圆上的点的坐标为()θθsin cos 3,,则点到直线的距离为263sin 226sin cos 3+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+-=θπθθd . 当13sin -=⎪⎭⎫⎝⎛-θπ时,22=最小值d .说明:当直接设点的坐标不易解决问题时,可建立曲线的参数方程.例2 (1)写出椭圆14922=+y x 的参数方程;(2)求椭圆内接矩形的最大面积.分析:本题考查椭圆的参数方程及其应用.为简化运算和减少未知数的个数,常用椭圆的参数方程表示曲线上一点坐标,所求问题便化归为三角问题.解:(1) ⎩⎨⎧==θθsin 2cos 3y x )(R ∈θ.(2)设椭圆内接矩形面积为S ,由对称性知,矩形的邻边分别平行于x 轴和y 轴,设)sin 2,cos 3(θθ为矩形在第一象限的顶点,)20(π<θ<, 则122sin 12sin 2cos 34≤=⨯⨯=θθθS 故椭圆内接矩形的最大面积为12.说明:通过椭圆参数方程,转化为三角函数的最值问题,一般地,与圆锥曲线有关的最值问题,用参数方程形式较简便.例3 椭圆12222=+by a x )0(>>b a 与x 轴正向交于点A ,若这个椭圆上总存在点P ,使AP OP ⊥(O 为坐标原点),求其离心率e 的取值范围.分析:∵O 、A 为定点,P 为动点,可以P 点坐标作为参数,把AP OP ⊥,转化为P 点坐标的一个等量关系,再利用坐标的范围建立关于a 、b 、c 的一个不等式,转化为关于e 的不等式.为减少参数,易考虑运用椭圆参数方程.解:设椭圆的参数方程是⎩⎨⎧==θθsin cos b y a x )0(>>b a ,则椭圆上的点)sin ,cos (θθb a P ,)0,(a A , ∵AP OP ⊥,∴1cos sin cos sin -=-⋅aa b a b θθθθ, 即0cos cos )(22222=+--b a b a θθ,解得1cos =θ或222cos ba b -=θ,∵1cos 1<<-θ ∴1cos =θ(舍去),11222<-<-b a b ,又222c a b -=∴2022<<ca ,∴22>e ,又10<<e ,∴122<<e . 说明:若已知椭圆离心率范围)1,22(,求证在椭圆上总存在点P 使AP OP ⊥.如何证明? 5.相交情况下--弦长公式的应用例1 已知椭圆1422=+y x 及直线m x y +=. (1)当m 为何值时,直线与椭圆有公共点? (2)若直线被椭圆截得的弦长为5102,求直线的方程. 解:(1)把直线方程m x y +=代入椭圆方程1422=+y x 得 ()1422=++m x x ,即012522=-++m mx x .()()020*********≥+-=-⨯⨯-=∆m m m ,解得2525≤≤-m . (2)设直线与椭圆的两个交点的横坐标为1x ,2x ,由(1)得5221mx x -=+,51221-=m x x .根据弦长公式得 :51025145211222=-⨯-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅+m m .解得0=m .方程为x y =.说明:处理有关直线与椭圆的位置关系问题及有关弦长问题,采用的方法与处理直线和圆的有所区别.这里解决直线与椭圆的交点问题,一般考虑判别式∆;解决弦长问题,一般应用弦长公式.用弦长公式,若能合理运用韦达定理(即根与系数的关系),可大大简化运算过程.例2 已知长轴为12,短轴长为6,焦点在x 轴上的椭圆,过它对的左焦点1F 作倾斜解为3π的直线交椭圆于A ,B 两点,求弦AB 的长. 分析:可以利用弦长公式]4))[(1(1212212212x x x x k x x k AB -++=-+=求得,也可以利用椭圆定义及余弦定理,还可以利用焦点半径来求.解:(法1)利用直线与椭圆相交的弦长公式求解.2121x x k AB -+=]4))[(1(212212x x x x k -++=.因为6=a ,3=b ,所以33=c .因为焦点在x 轴上,所以椭圆方程为193622=+y x ,左焦点)0,33(-F ,从而直线方程为93+=x y .由直线方程与椭圆方程联立得:0836372132=⨯++x x .设1x ,2x 为方程两根,所以1337221-=+x x ,1383621⨯=x x ,3=k , 从而1348]4))[(1(1212212212=-++=-+=x x x x k x x k AB . (法2)利用椭圆的定义及余弦定理求解.由题意可知椭圆方程为193622=+y x ,设m AF =1,n BF =1,则m AF -=122,n BF -=122.在21F AF ∆中,3cos22112212122πF F AF F F AF AF -+=,即21362336)12(22⋅⋅⋅-⋅+=-m m m ;所以346-=m .同理在21F BF ∆中,用余弦定理得346+=n ,所以1348=+=n m AB .(法3)利用焦半径求解.先根据直线与椭圆联立的方程0836372132=⨯++x x 求出方程的两根1x ,2x ,它们分别是A ,B 的横坐标.再根据焦半径11ex a AF +=,21ex a BF+=,从而求出11BF AF AB += 6.相交情况下—点差法的应用例1 已知中心在原点,焦点在x 轴上的椭圆与直线01=-+y x 交于A 、B 两点,M 为AB 中点,OM 的斜率为,椭圆的短轴长为2,求椭圆的方程.解:由题意,设椭圆方程为1222=+y ax ,由⎪⎩⎪⎨⎧=+=-+101222y ax y x ,得()021222=-+x a x a , ∴222112a a x x x M +=+=,2111a x y M M +=-=, 4112===ax y k M M OM Θ,∴42=a , ∴1422=+y x 为所求. 说明:(1)此题求椭圆方程采用的是待定系数法;(2)直线与曲线的综合问题,经常要借用根与系数的关系,来解决弦长、弦中点、弦斜率问题.例2 已知椭圆1222=+y x ,求过点⎪⎭⎫⎝⎛2121,P 且被P 平分的弦所在的直线方程.分析一:已知一点求直线,关键是求斜率,故设斜率为k ,利用条件求k . 解法一:设所求直线的斜率为k ,则直线方程为⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-2121x k y .代入椭圆方程,并整理得()()0232122212222=+-+--+k k x k kx k .由韦达定理得22212122k kk x x +-=+.∵P 是弦中点,∴121=+x x .故得21-=k . 所以所求直线方程为0342=-+y x .分析二:设弦两端坐标为()11y x ,、()22y x ,,列关于1x 、2x 、1y 、2y 的方程组,从而求斜率:2121x x y y --. 解法二:设过⎪⎭⎫ ⎝⎛2121,P 的直线与椭圆交于()11y x A ,、()22y x B ,,则由题意得①-②得0222212221=-+-y y x x . ⑤ 将③、④代入⑤得212121-=--x x y y ,即直线的斜率为21-. 所求直线方程为0342=-+y x . 说明:(1)有关弦中点的问题,主要有三种类型:过定点且被定点平分的弦;平行弦的中点轨迹;过定点的弦中点轨迹.(2)解法二是“点差法”,解决有关弦中点问题的题较方便,要点是巧代斜率.(3)有关弦及弦中点问题常用的方法是:“韦达定理应用”及“点差法”.有关二次曲线问题也适用.例3 已知椭圆1222=+y x ,(1)求过点⎪⎭⎫⎝⎛2121,P 且被P 平分的弦所在直线的方程;(2)求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程;(3)过()12,A 引椭圆的割线,求截得的弦的中点的轨迹方程; (4)椭圆上有两点P 、Q ,O 为原点,且有直线OP 、OQ 斜率满足21-=⋅OQ OP k k ,求线段PQ 中点M 的轨迹方程.分析:此题中四问都跟弦中点有关,因此可考虑设弦端坐标的方法. 解:设弦两端点分别为()11y x M ,,()22y x N ,,线段MN 的中点()y x R ,,则①-②得()()()()022*******=-++-+y y y y x x x x .由题意知21x x ≠,则上式两端同除以21x x -,有()()0221212121=-+++x x y y y y x x ,将③④代入得022121=--+x x y y yx .⑤ (1)将21=x ,21=y 代入⑤,得212121-=--x x y y ,故所求直线方程为:0342=-+y x . ⑥将⑥代入椭圆方程2222=+y x 得041662=--y y ,0416436>⨯⨯-=∆符合题意,0342=-+y x 为所求.(2)将22121=--x x y y 代入⑤得所求轨迹方程为: 04=+y x .(椭圆内部分) (3)将212121--=--x y x x y y 代入⑤得所求轨迹方程为: 022222=--+y x y x .(椭圆内部分)(4)由①+②得 : ()2222212221=+++y y x x , ⑦, 将③④平方并整理得 212222124x x x x x -=+, ⑧, 212222124y y y y y -=+, ⑨将⑧⑨代入⑦得:()224424212212=-+-y y y x x x , ⑩ 再将212121x x y y -=代入⑩式得: 221242212212=⎪⎭⎫ ⎝⎛--+-x x y x x x , 即12122=+y x .此即为所求轨迹方程.当然,此题除了设弦端坐标的方法,还可用其它方法解决.例4 已知椭圆13422=+y x C :,试确定m 的取值范围,使得对于直线m x y l +=4:,椭圆C 上有不同的两点关于该直线对称.分析:若设椭圆上A ,B 两点关于直线l 对称,则已知条件等价于:(1)直线l AB ⊥;(2)弦AB 的中点M 在l 上.利用上述条件建立m 的不等式即可求得m 的取值范围.解:(法1)设椭圆上),(11y x A ,),(22y x B 两点关于直线l 对称,直线AB 与l 交于),(00y x M 点.∵l 的斜率4=l k ,∴设直线AB 的方程为n x y +-=41.由方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++-=,134,4122yx n x y 消去y得0481681322=-+-n nx x①。
《椭圆》方程典型例题20例(含标准答案)
《椭圆》方程典型例题20例典型例题一例1 椭圆的一个顶点为()02,A ,其长轴长是短轴长的2倍,求椭圆的标准方程. 分析:题目没有指出焦点的位置,要考虑两种位置. 解:(1)当()02,A 为长轴端点时,2=a ,1=b ,椭圆的标准方程为:11422=+y x ; (2)当()02,A 为短轴端点时,2=b ,4=a ,椭圆的标准方程为:116422=+y x ; 说明:椭圆的标准方程有两个,给出一个顶点的坐标和对称轴的位置,是不能确定椭圆的横竖的,因而要考虑两种情况.典型例题二例2 一个椭圆的焦点将其准线间的距离三等分,求椭圆的离心率.解:31222⨯⨯=c a c ∴223a c =, ∴3331-=e . 说明:求椭圆的离心率问题,通常有两种处理方法,一是求a ,求c ,再求比.二是列含a 和c 的齐次方程,再化含e 的方程,解方程即可.典型例题三 例3 已知中心在原点,焦点在x 轴上的椭圆与直线01=-+y x 交于A 、B 两点,M 为AB 中点,OM 的斜率为0.25,椭圆的短轴长为2,求椭圆的方程.解:由题意,设椭圆方程为1222=+y ax ,由⎪⎩⎪⎨⎧=+=-+101222y ax y x ,得()021222=-+x a x a , ∴222112aa x x x M +=+=,2111a x y M M +=-=,4112===a x y k M M OM ,∴42=a , ∴1422=+y x 为所求. 说明:(1)此题求椭圆方程采用的是待定系数法;(2)直线与曲线的综合问题,经常要借用根与系数的关系,来解决弦长、弦中点、弦斜率问题.典型例题四例4椭圆192522=+y x 上不同三点()11y x A ,,⎪⎭⎫⎝⎛594,B ,()22y x C ,与焦点()04,F 的距离成等差数列.(1)求证821=+x x ;(2)若线段AC 的垂直平分线与x 轴的交点为T ,求直线BT 的斜率k . 证明:(1)由椭圆方程知5=a ,3=b ,4=c . 由圆锥曲线的统一定义知:ac x ca AF =-12, ∴ 11545x ex a AF -=-=. 同理 2545x CF -=. ∵ BF CF AF 2=+,且59=BF , ∴ 51854554521=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x ,即 821=+x x .(2)因为线段AC 的中点为⎪⎭⎫⎝⎛+2421y y ,,所以它的垂直平分线方程为()42212121---=+-x y y x x y y y . 又∵点T 在x 轴上,设其坐标为()00,x ,代入上式,得()212221024x x y y x --=-又∵点()11y x A ,,()22y x B ,都在椭圆上,∴ ()212125259x y -=()222225259x y -= ∴ ()()21212221259x x x x y y -+-=-. 将此式代入①,并利用821=+x x 的结论得 253640-=-x ∴ 4540590=--=x k BT.典型例题五例5 已知椭圆13422=+yx ,1F 、2F 为两焦点,问能否在椭圆上找一点M ,使M到左准线l 的距离MN 是1MF 与2MF 的等比中项?若存在,则求出点M 的坐标;若不存在,请说明理由.解:假设M 存在,设()11y x M ,,由已知条件得2=a ,3=b ,∴1=c ,21=e . ∵左准线l 的方程是4-=x ,∴14x MN +=. 又由焦半径公式知:111212x ex a MF -=-=,112212x ex a MF +=+=.∵212MF MF MN ⋅=,∴()⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+11212122124x x x .整理得048325121=++x x .解之得41-=x 或5121-=x . ① 另一方面221≤≤-x . ②则①与②矛盾,所以满足条件的点M 不存在. 说明:(1)利用焦半径公式解常可简化解题过程.(2)本例是存在性问题,解决存在性问题,一般用分析法,即假设存在,根据已知条件进行推理和运算.进而根据推理得到的结果,再作判断.(3)本例也可设()θθsin 3cos 2,M 存在,推出矛盾结论(读者自己完成).典型例题六例6 已知椭圆1222=+y x ,求过点⎪⎭⎫⎝⎛2121,P 且被P 平分的弦所在的直线方程.分析一:已知一点求直线,关键是求斜率,故设斜率为k ,利用条件求k . 解法一:设所求直线的斜率为k ,则直线方程为⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-2121x k y .代入椭圆方程,并整理得()()0232122212222=+-+--+k k x k kx k .由韦达定理得22212122k kk x x +-=+.∵P 是弦中点,∴121=+x x .故得21-=k .所以所求直线方程为0342=-+y x .分析二:设弦两端坐标为()11y x ,、()22y x ,,列关于1x 、2x 、1y 、2y 的方程组,从而求斜率:2121x x y y --. 解法二:设过⎪⎭⎫⎝⎛2121,P 的直线与椭圆交于()11y x A ,、()22y x B ,,则由题意得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+=+=+=+④1.③1②12①12212122222121y y x x y x y x ,,, ①-②得0222212221=-+-y y x x . ⑤ 将③、④代入⑤得212121-=--x x y y ,即直线的斜率为21-.所求直线方程为0342=-+y x .说明:(1)有关弦中点的问题,主要有三种类型:过定点且被定点平分的弦;平行弦的中点轨迹;过定点的弦中点轨迹.(2)解法二是“点差法”,解决有关弦中点问题的题较方便,要点是巧代斜率.(3)有关弦及弦中点问题常用的方法是:“韦达定理应用”及“点差法”.有关二次曲线问题也适用.典型例题七例7 求适合条件的椭圆的标准方程.(1)长轴长是短轴长的2倍,且过点()62-,;(2)在x 轴上的一个焦点与短轴两端点的联机互相垂直,且焦距为6.分析:当方程有两种形式时,应分别求解,如(1)题中由12222=+b y a x 求出1482=a ,372=b ,在得方程13714822=+y x 后,不能依此写出另一方程13714822=+x y . 解:(1)设椭圆的标准方程为12222=+b y a x 或12222=+bx a y .由已知b a 2=. ①又过点()62-,,因此有 ()1622222=-+b a 或()1262222=+-ba . ② 由①、②,得1482=a ,372=b 或522=a ,132=b .故所求的方程为13714822=+y x 或1135222=+x y . (2)设方程为12222=+b y a x .由已知,3=c ,3==c b ,所以182=a .故所求方程为191822=+y x . 说明:根据条件求椭圆的标准方程的思路是“选标准,定参数”.关键在于焦点的位置是否确定,若不能确定,应设方程12222=+b y a x 或12222=+bx a y .典型例题八例8 椭圆1121622=+y x 的右焦点为F ,过点()31,A ,点M 在椭圆上,当MF AM 2+为最小值时,求点M 的坐标.分析:本题的关键是求出离心率21=e ,把MF 2转化为M 到右准线的距离,从而得最小值.一般地,求MF eAM 1+均可用此法. 解:由已知:4=a ,2=c .所以21=e ,右准线8=x l :.过A 作l AQ ⊥,垂足为Q ,交椭圆于M ,故MF MQ 2=.显然MF AM 2+的最小值为AQ ,即M 为所求点,因此3=M y ,且M 在椭圆上.故32=M x .所以()332,M .说明:本题关键在于未知式MF AM 2+中的“2”的处理.事实上,如图,21=e ,即MF 是M 到右准线的距离的一半,即图中的MQ ,问题转化为求椭圆上一点M ,使M 到A 的距离与到右准线距离之和取最小值.典型例题九 例9 求椭圆1322=+y x 上的点到直线06=+-y x 的距离的最小值.分析:先写出椭圆的参数方程,由点到直线的距离建立三角函数关系式,求出距离的最小值.解:椭圆的参数方程为⎩⎨⎧==.sin cos 3θθy x ,设椭圆上的点的坐标为()θθsin cos 3,,则点到直线的距离为263sin 226sin cos 3+⎪⎭⎫⎝⎛-=+-=θπθθd . 当13sin -=⎪⎭⎫⎝⎛-θπ时,22=最小值d .说明:当直接设点的坐标不易解决问题时,可建立曲线的参数方程.典型例题十 例10设椭圆的中心是坐标原点,长轴在x 轴上,离心率23=e ,已知点⎪⎭⎫ ⎝⎛230,P 到这个椭圆上的点的最远距离是7,求这个椭圆的方程,并求椭圆上的点P 的距离等于7的点的坐标.分析:本题考查椭圆的性质、距离公式、最大值以及分析问题的能力,在求d 的最大值时,要注意讨论b 的取值范围.此题可以用椭圆的标准方程,也可用椭圆的参数方程,要善于应用不等式、平面几何、三角等知识解决一些综合性问题,从而加强等价转换、形数结合的思想,提高逻辑推理能力.解法一:设所求椭圆的直角坐标方程是12222=+b y a x ,其中0>>b a 待定.由222222221ab a b a ac e -=-==可得 2143112=-=-=e a b ,即b a 2=. 设椭圆上的点()y x ,到点P 的距离是d ,则4931232222222+-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=y y b y a y x d 34213493342222++⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=+--=b y y y b其中b y b ≤≤-. 如果21<b ,则当b y -=时,2d (从而d )有最大值. 由题设得()22237⎪⎭⎫ ⎝⎛+=b ,由此得21237>-=b ,与21<b 矛盾.因此必有21≥b 成立,于是当21-=y 时,2d (从而d )有最大值. 由题设得()34722+=b ,可得1=b ,2=a .∴所求椭圆方程是11422=+y x . 由21-=y 及求得的椭圆方程可得,椭圆上的点⎪⎭⎫ ⎝⎛--213,,点⎪⎭⎫ ⎝⎛-213,到点⎪⎭⎫⎝⎛230,P 的距离是7.解法二:根据题设条件,可取椭圆的参数方程是⎩⎨⎧==θθsin cos b y a x ,其中0>>b a ,待定,πθ20≤≤,θ为参数.由22222221⎪⎭⎫⎝⎛-=-==a b a b a a c e 可得 2143112=-=-=e a b ,即b a 2=. 设椭圆上的点()y x ,到点⎪⎭⎫⎝⎛230,P 的距离为d ,则22222223sin cos 23⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=θθb a y x d49sin 3sin 34222+--=θθb b b 3421sin 3222++⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=b b b θ如果121>b ,即21<b ,则当1sin -=θ时,2d (从而d )有最大值.由题设得()22237⎪⎭⎫ ⎝⎛+=b ,由此得21237>-=b ,与21<b 矛盾,因此必有121≤b成立. 于是当b21sin -=θ时2d (从而d )有最大值. 由题设知()34722+=b ,∴1=b ,2=a .∴所求椭圆的参数方程是⎩⎨⎧==θθsin cos 2y x .由21sin -=θ,23cos ±=θ,可得椭圆上的是⎪⎭⎫ ⎝⎛--213,,⎪⎭⎫ ⎝⎛-213,.典型例题十一例11 设x ,R ∈y ,x y x 63222=+,求x y x 222++的最大值和最小值.分析:本题的关键是利用形数结合,观察方程x y x 63222=+与椭圆方程的结构一致.设m x y x =++222,显然它表示一个圆,由此可以画出图形,考虑椭圆及圆的位置关系求得最值.解:由x y x 63222=+,得123492322=+⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-y x 可见它表示一个椭圆,其中心在⎪⎭⎫⎝⎛023,点,焦点在x 轴上,且过(0,0)点和(3,0)点.设m x y x =++222,则 ()1122+=++m y x它表示一个圆,其圆心为(-1,0)半径为()11->+m m .在同一坐标系中作出椭圆及圆,如图所示.观察图形可知,当圆过(0,0)点时,半径最小,即11=+m ,此时0=m ;当圆过(3,0)点时,半径最大,即41=+m ,∴15=m .∴x y x 222++的最小值为0,最大值为15.典型例题十二例12 已知椭圆()012222>>=+b a by a x C :,A 、B 是其长轴的两个端点.(1)过一个焦点F 作垂直于长轴的弦P P ',求证:不论a 、b 如何变化,120≠∠APB .(2)如果椭圆上存在一个点Q ,使 120=∠AQB ,求C 的离心率e 的取值范围.分析:本题从已知条件出发,两问都应从APB ∠和AQB ∠的正切值出发做出估计,因此要从点的坐标、斜率入手.本题的第(2)问中,其关键是根据什么去列出离心率e 满足的不等式,只能是椭圆的固有性质:a x ≤,b y ≤,根据120=∠AQB 得到32222-=-+ay x ay ,将22222y b a a x -=代入,消去x ,用a 、b 、c 表示y ,以便利用b y ≤列出不等式.这里要求思路清楚,计算准确,一气呵成.解:(1)设()0,c F ,()0,a A -,()0,a B . ⎪⎪⎭⎫⎝⎛⇒⎩⎨⎧=+=a b c P b a y a x b c x 2222222, 于是()a c a b k AP+=2,()a c ab k BP -=2.∵APB ∠是AP 到BP 的角.∴()()()2222242221tan ca a c ab ac a b a c a b APB -=-++--=∠ ∵22c a > ∴2tan -<∠APB故3tan -≠∠APB ∴ 120≠∠APB . (2)设()y x Q ,,则a x y k QA +=,ax y k QB -=. 由于对称性,不妨设0>y ,于是AQB ∠是QA 到QB 的角.∴22222221tan a y x ay a x y a x ya x y AQB -+=-++--=∠∵ 120=∠AQB , ∴32222-=-+ay x ay整理得()023222=+-+ay a y x∵22222y ba a x -=∴0213222=+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-ay y b a∵0≠y , ∴2232c ab y = ∵b y ≤, ∴b cab ≤2232 232c ab ≤,()222234c c a a ≤-∴04444224≥-+a c a c ,044324≥-+e e ∴232≥e 或22-≤e (舍),∴136<≤e .典型例题十三例13 已知椭圆19822=++y k x 的离心率21=e ,求k 的值. 分析:分两种情况进行讨论.解:当椭圆的焦点在x 轴上时,82+=k a ,92=b ,得12-=k c .由21=e ,得4=k .当椭圆的焦点在y 轴上时,92=a ,82+=k b ,得k c -=12.由21=e ,得4191=-k ,即45-=k . ∴满足条件的4=k 或45-=k .说明:本题易出现漏解.排除错误的办法是:因为8+k 与9的大小关系不定,所以椭圆的焦点可能在x 轴上,也可能在y 轴上.故必须进行讨论.典型例题十四例14 已知椭圆142222=+by b x 上一点P 到右焦点2F 的距离为b )1(>b ,求P 到左准线的距离.分析:利用椭圆的两个定义,或利用第二定义和椭圆两准线的距离求解.解法一:由142222=+by b x ,得b a 2=,b c 3=,23=e .由椭圆定义,b a PF PF 4221==+,得b b b PF b PF 34421=-=-=. 由椭圆第二定义,e d PF =11,1d 为P 到左准线的距离,∴b ePF d 3211==,即P 到左准线的距离为b 32. 解法二:∵e d PF =22,2d 为P 到右准线的距离,23==a c e , ∴b ePF d 33222==.又椭圆两准线的距离为b c a 33822=⋅.∴P 到左准线的距离为b b b 32332338=-. 说明:运用椭圆的第二定义时,要注意焦点和准线的同侧性.否则就会产生误解.椭圆有两个定义,是从不同的角度反映椭圆的特征,解题时要灵活选择,运用自如.一般地,如遇到动点到两个定点的问题,用椭圆第一定义;如果遇到动点到定直线的距离问题,则用椭圆的第二定义.典型例题十五例15 设椭圆⎩⎨⎧==.sin 32,cos 4ααy x (α为参数)上一点P 与x 轴正向所成角3π=∠POx ,求P 点坐标.分析:利用参数α与POx ∠之间的关系求解.解:设)sin 32,cos 4(ααP ,由P 与x 轴正向所成角为3π, ∴ααπcos 4sin 323tan=,即2tan =α.而0sin >α,0cos >α,由此得到55cos =α,552sin =α, ∴P 点坐标为)5154,554(.典型例题十六例16 设),(00y x P 是离心率为e 的椭圆12222=+by a x )0(>>b a 上的一点,P 到左焦点1F 和右焦点2F 的距离分别为1r 和2r ,求证:01ex a r +=,02ex a r -=. 分析:本题考查椭圆的两个定义,利用椭圆第二定义,可将椭圆上点到焦点的距离转化为点到相应准线距离.解:P 点到椭圆的左准线c a x l 2-=:的距离,ca x PQ 20+=,由椭圆第二定义,e PQPF =1,∴01ex a PQ e r +==,由椭圆第一定义,0122ex a r a r -=-=.说明:本题求证的是椭圆的焦半径公式,在解决与椭圆的焦半径(或焦点弦)的有关问题时,有着广泛的应用.请写出椭圆焦点在y 轴上的焦半径公式.典型例题十七例17 已知椭圆15922=+y x 内有一点)1,1(A ,1F 、2F 分别是椭圆的左、右焦点,点P 是椭圆上一点.(1) 求1PF PA +的最大值、最小值及对应的点P 坐标; (2) 求223PF PA +的最小值及对应的点P 的坐标. 分析:本题考查椭圆中的最值问题,通常探求变量的最值有两种方法:一是目标函数当,即代数方法.二是数形结合,即几何方法.本题若按先建立目标函数,再求最值,则不易解决;若抓住椭圆的定义,转化目标,运用数形结合,就能简捷求解.解:(1)如上图,62=a ,)0,2(2F ,22=AF ,设P 是椭圆上任一点,由6221==+a PF PF ,22AF PF PA -≥,∴26222211-=-=-+≥+AF a AF PF PF PF PA ,等号仅当22AF PF PA -=时成立,此时P 、A 、2F 共线.由22AF PF PA +≤,∴26222211+=+=++≤+AF a AF PF PF PF PA ,等号仅当22AF PF PA +=时成立,此时P 、A 、2F 共线.建立A 、2F 的直线方程02=-+y x ,解方程组⎩⎨⎧=+=-+4595,0222y x y x 得两交点 )2141575,2141579(1+-P 、)2141575,2141579(2-+P . 综上所述,P 点与1P 重合时,1PF PA +取最小值26-,P 点与2P 重合时,2PF PA +取最大值26+.(2)如下图,设P 是椭圆上任一点,作PQ 垂直椭圆右准线,Q 为垂足,由3=a ,2=c ,∴32=e .由椭圆第二定义知322==e PQ PF ,∴223PF PQ =,∴PQ PA PF PA +=+223,要使其和最小需有A 、P 、Q 共线,即求A 到右准线距离.右准线方程为29=x .∴A 到右准线距离为27.此时P 点纵坐标与A 点纵坐标相同为1,代入椭圆得满足条件的点P 坐标)1,556(. 说明:求21PF ePA +的最小值,就是用第二定义转化后,过A 向相应准线作垂线段.巧用焦点半径2PF 与点准距PQ 互化是解决有关问题的重要手段.典型例题十八例18 (1)写出椭圆14922=+y x 的参数方程; (2)求椭圆内接矩形的最大面积.分析:本题考查椭圆的参数方程及其应用.为简化运算和减少未知数的个数,常用椭圆的参数方程表示曲线上一点坐标,所求问题便化归为三角问题.解:(1) ⎩⎨⎧==θθsin 2cos 3y x )(R ∈θ.(2)设椭圆内接矩形面积为S ,由对称性知,矩形的邻边分别平行于x 轴和y轴,设)sin 2,cos 3(θθ为矩形在第一象限的顶点,)20(π<θ<,则122sin 12sin 2cos 34≤=⨯⨯=θθθS 故椭圆内接矩形的最大面积为12.说明:通过椭圆参数方程,转化为三角函数的最值问题,一般地,与圆锥曲线有关的最值问题,用参数方程形式较简便.典型例题十九例19 已知1F ,2F 是椭圆的两个焦点,P 是椭圆上一点,且︒=∠6021PF F .(1)求椭圆离心率的取值范围;(2)求证21F PF ∆的面积与椭圆短轴长有关. 分析:不失一般性,可以设椭圆方程为12222=+b y a x (0>>b a ),),(11y x P (01>y ). 思路一:根据题设容易想到两条直线的夹角公式,即3160tan 1212=+-=︒PF PF PF PF K K K K ,设),(11y x P ,)0,(1c F -,)0,(2c F ,化简可得03233212121=--+c cy y x .又1221221=+by a x ,两方程联立消去21x 得0323412212=-+b cy b y c ,由],0(1b y ∈,可以确定离心率的取值范围;解出1y 可以求出21F PF ∆的面积,但这一过程很繁.思路二:利用焦半径公式11ex a PF +=,12ex a PF -=,在21F PF∆中运用余弦定理,求1x ,再利用],[1a a x -∈,可以确定离心率e 的取值范围,将1x 代入椭圆方程中求1y ,便可求出21F PF ∆的面积.思路三:利用正弦定理、余弦定理,结合a PF PF 221=+求解.解:(法1)设椭圆方程为12222=+by a x (0>>b a ),),(11y x P ,)0,(1c F -,)0,(2c F ,0>c ,则11ex a PF +=,12ex a PF -=. 在21F PF ∆中,由余弦定理得))((24)()(2160cos 1122121ex a ex a c ex a ex a -+--++==︒, 解得2222134ea c x -=. (1)∵],0(221a x ∈,∴2222340a ea c <-≤,即0422≥-a c . ∴21≥=a c e . 故椭圆离心率的取范围是)1,21[∈e .(2)将2222134e a c x -=代入12222=+by a x 得 24213c b y =,即cb y 321=.∴22213332212121b cb c y F F S F PF =⋅⋅=⋅=∆. 即21F PF ∆的面积只与椭圆的短轴长有关.(法2)设m PF =1,n PF =2,α=∠12F PF,β=∠21F PF , 则︒=+120βα.(1)在21F PF ∆中,由正弦定理得︒==60sin 2sin sin cn m βα. ∴︒=++60sin 2sin sin cn m βα ∵a n m 2=+, ∴︒=+60sin 2sin sin 2ca βα, ∴2cos 2sin 260sin sin sin 60sin βαβαβα-+︒=+︒==a c e 212cos21≥-=βα.当且仅当βα=时等号成立.故椭圆离心率的取值范围是)1,21[∈e .(2)在21F PF ∆中,由余弦定理得:︒-+=60cos 2)2(222mn n m cmn n m -+=22 mn n m 3)(2-+= ∵a n m 2=+,∴mn a c 34422-=,即22234)(34b c a mn =-=. ∴23360sin 2121b mn S F PF =︒=∆. 即21F PF ∆的面积与椭圆短轴长有关.说明:椭圆上的一点P 与两个焦点1F ,2F 构成的三角形为椭圆的焦点三角形,涉及有关焦点三角形问题,通常运用三角形的边角关系定理.解题中通过变形,使之出现21PF PF +的结构,这样就可以应用椭圆的定义,从而可得到有关a ,c 的关系式,使问题找到解决思路.典型例题二十例20 椭圆12222=+b y a x )0(>>b a 与x 轴正向交于点A ,若这个椭圆上总存在点P ,使AP OP ⊥(O 为坐标原点),求其离心率e 的取值范围.分析:∵O 、A 为定点,P 为动点,可以P 点坐标作为参数,把AP OP ⊥,转化为P 点坐标的一个等量关系,再利用坐标的范围建立关于a 、b 、c 的一个不等式,转化为关于e 的不等式.为减少参数,易考虑运用椭圆参数方程.解:设椭圆的参数方程是⎩⎨⎧==θθsin cos b y a x )0(>>b a ,则椭圆上的点)sin ,cos (θθb a P ,)0,(a A , ∵AP OP ⊥,∴1cos sin cos sin -=-⋅aa b a b θθθθ,即0cos cos )(22222=+--b a b a θθ,解得1cos =θ或222cos b a b -=θ,∵1cos 1<<-θ ∴1cos =θ(舍去),11222<-<-b a b ,又222c a b -= ∴2022<<ca ,∴22>e ,又10<<e ,∴122<<e . 说明:若已知椭圆离心率范围)1,22(,求证在椭圆上总存在点P 使AP OP ⊥.如何证明?。
《椭圆》方程典型例题20例(含标准答案)
X 1 + X 2二 X M 1 一21 a2 2~ , a1 1 a 2《椭圆》方程典型例题 20例典型例题一例1椭圆的一个顶点为A 2,0,其长轴长是短轴长的2倍,求椭圆的标准方程. 分析:题目没有指出焦点的位置,要考虑两种位置. 解:(1)当A 2,0为长轴端点时,a =2 , b = 1 ,2 2椭圆的标准方程为:— ^=1;41(2)当A 2,0为短轴端点时,b=2 , a = 4,2 2椭圆的标准方程为:—1 ;416说明:椭圆的标准方程有两个,给出一个顶点的坐标和对称轴的位置, 是不 能确定椭圆的横竖的,因而要考虑两种情况.典型例题二例2 一个椭圆的焦点将其准线间的距离三等分,求椭圆的离心率.说明:求椭圆的离心率问题,通常有两种处理方法,一是求 a ,求c ,再求 比•二是列含a 和c 的齐次方程,再化含e 的方程,解方程即可.典型例题三例3已知中心在原点,焦点在x 轴上的椭圆与直线x ,y-1=0交于A 、B 两点, M 为AB 中点,OM 的斜率为0.25,椭圆的短轴长为2,求椭圆的方程.2解:由题意,设椭圆方程为笃• y 2 =1,ax y -1 = 0 2X + 2「—+ y =1 .a解:;2c 二丄 2 -c 3••• 3c= a 2,得 1 a 2x 2 -2a 2x =0 ,1yM2 2y M112xMa4y 2 =1为所求.说明:(1)此题求椭圆方程采用的是待定系数法;(2)直线与曲线的综合问 题,经常要借用根与系数的关系,来解决弦长、弦中点、弦斜率问题.典型例题四f 9 >=1 上不同三点 A (X 1, y 1 ), B 4, ,C(X 2, y )与焦点 F(4,0)的< 5 /距离成等差数列.4 5 x-i5 x 1 x 2 =8—「二 x-4 .2y 1 一丫2又•••点T 在x 轴上,设其坐标为x°,0,代入上式,得••• a 2 =4,2 2 例4椭圆-y25 9(1) 求证 x 1 x 2 =8 ;(2) 证明: 若线段AC 的垂直平分线与x 轴的交点为T ,求直线BT 的斜率k . (1)由椭圆方程知a =5,b =3,c =4 . 由圆锥曲线的统一定义知:|AF| a X 1c 同理 4AF = a-ex, =5—一 x 1 .5CF =5 - 4 x 2 .5AF +CF = 2BF ,且 BF(2) 因为线段AC 的中点为4, 宁,所以它的垂直平分线方程为又•••点Ax i , y i , BX 2, y 都在椭圆上,-最二X i X 2 X i _X 2 .25将此式代入①,并利用X ^ x 2 =8的结论得36 25典型例题五2 2例5已知椭圆— -=1,F i 、F 2为两焦点,问能否在椭圆上找一点M ,使M43到左准线I 的距离MN 是MR 与MF 2的等比中项?若存在,则求出点 M 的坐 标;若不存在,请说明理由.解:假设M 存在,设M X-], %,由已知条 件得a =2,又由焦半径公式知:1MF i = a - exi = 2 X 1,2 MF 2 = a ex = 2 x . 2••• MN| = MF 1 MF 2,•••—I 2./#"整理得 5xf 32x 1 4^0 .•••左准线I 的方程是x = -4,2y iX o - 4 =4 —X解之得x, = -4或%二另一方面—2乞x i 乞2 .②则①与②矛盾,所以满足条件的点 M 不存在. 说明: (1) 利用焦半径公式解常可简化解题过程.(2) 本例是存在性问题,解决存在性问题,一般用分析法,即假设存在, 根据已知条件进行推理和运算•进而根据推理得到的结果,再作判断.(3) 本例也可设M 2cosr ,3sinr 存在,推出矛盾结论(读者自己完成)典型例题六方程,并整理得1 2k2 x 2 - 2k 2 —2k x 」k 2 — k3 = 0 . 2 2 2由韦达定理得x 「x 2二得1T P 是弦中点,J. x 1 x 2 = 1 .故得k = -一2所以所求直线方程为2x ,4y-3=0 .分析二:设弦两端坐标为x-i , %、x 2, y 2 ,列关于x-i 、x 2、y 、y 2的方程 组,从而求斜率:y1一y2X 1 — X2解法二:设过P 11的直线与椭圆交于 Ax , y )、B (X 2, y 2),则由题意得I 2 2丿122例6已知椭圆-y 2=1,求过点P -i 且被P 平分的弦所在的直线方程.-2丿分析一:已知一点求直线,关键是求斜率,故设斜率为 k ,利用条件求k .1 -.代入椭圆2<2 1 f解法一:设所求直线的斜率为k ,则直线方程为y -〒k-「2今+ y2=1, ①2煜+ y;=1, ②% +x2 =1, ③y +y2 =1. ④2 2①—②得X2 y2_y| -0 .将③、④代入⑤得二一丄,即直线的斜率为X-| — X? 2所求直线方程为2x・4y —3=0 .说明:(1)有关弦中点的问题,主要有三种类型:过定点且被定点平分的弦;平行弦的中点轨迹;过定点的弦中点轨迹.(2)解法二是“点差法”,解决有关弦中点问题的题较方便,要点是巧代斜率.(3 )有关弦及弦中点问题常用的方法是:“韦达定理应用”及“点差法”.有关二次曲线问题也适用.典型例题七例7求适合条件的椭圆的标准方程.(1)长轴长是短轴长的2倍,且过点2, -6 ;(2)在x轴上的一个焦点与短轴两端点的联机互相垂直,且焦距为6.2 2分析:当方程有两种形式时,应分别求解,如(1)题中由笃=1求出a b2 2a2 =148,b2中,在得方程金3? =1后,不能依此写出另一方程解:(1)设椭圆的标准方程为务 -a b由已知a = 2b .又过点2, 6,因此有仝丄才或土空才a2b2a2 b2由①、②,得a2=148,b2=37或a2=52,b2=13 .故所求的方程为2 2乂「1. 148 3722 22丄丄=1或2_X_=1.148 3752 132 2⑵设方程为才舒1 .由已知,c = 3,—3,所以a 1 2 3=18 .故所2 2求方程为H1 .189说明:根据条件求椭圆的标准方程的思路是“选标准, 定参数”.关键在于2 2焦点的位置是否确定,若不能确定,应设方程 x y 2a b典型例题八2 2例8椭圆—y 1的右焦点为F ,过点A1, 3,点M 在椭圆上,当16 12AM +2MF 为最小值时,求点 M 的坐标.分析:本题的关键是求出离心率e J 21-,把2MF 转化为M 到右准线的距离, 从而得最小值.一般地,求 AM +-MF 均可用此法.e 1解:由已知:a=4, c = 2 .所以e=—,右准线2过A 作AQ _ I ,垂足为Q ,交椭圆于M ,故 MQ|=2MF .显然 AM|+2MF 即M 为所求点,因此y M -.3,X M =2 .3 .所以 M 23 .说明:本题关键在于未知式 AM| +2MF 中的“2 的处理.事实上,如图,MQ ,问题转化为求椭圆的最小值为AQ , 且M 在椭圆上.故d 2 =x 2y¥y 2 -3y 94分析:先写出椭圆的参数方程,由点到直线的距离建立三角函数关系式, 求 出距离的最小值.解:椭圆的参数方程为日,设椭圆上的点的坐标为(V 3cos 日,sin 日), y =si n T . 则点到直线的距离为V 3cos 0 —sin 日 +q 2sin 占日广6d = ------------ - ---------- = -------- ;= ---- •J2 <2说明:当直接设点的坐标不易解决问题时,可建立曲线的参数方程.典型例题十例10设椭圆的中心是坐标原点,长轴在X 轴上,离心率e =—,已知点p'o 」l21 2丿到这个椭圆上的点的最远距离是-.7,求这个椭圆的方程,并求椭圆上的点 P 的 距离等于的点的坐标.分析:本题考查椭圆的性质、距离公式、最大值以及分析问题的能力,在求 d的最大值时,要注意讨论b 的取值范围•此题可以用椭圆的标准方程,也可用 椭圆的参数方程,要善于应用不等式、平面几何、三角等知识解决一些综合性问 题,从而加强等价转换、形数结合的思想,提高逻辑推理能力.2 2解法一:设所求椭圆的直角坐标方程是 笃•爲/,其中a b 0待定.a b2 2 2 2由e 2二与二旦 —1可得 a aa—=-e 2 =—3 =1,即 a = 2b •a.42设椭圆上的点X ,y 到点P 的距离是d ,则当sin d 最小值=2 2•(31—-0<3I 2 4b 2 3 2=4b 2 ~"3y 2 -"3y ■ _4其中一b <y <b .1如果b :.-,则当y - -b 时,d 2 (从而d )有最大值. 1 1因此必有b --成立,于是当y=--时,d 2 (从而d )有最大值.2 22由题设得.7=4D 2 3,可得b = 1 , a = 2.2 2x_ 丄=14 1由y r 及求得的椭圆方程可得,椭圆上的点(-心汀点冋-]到 点P 隅的距离是万.解法二:根据题设条件,可取椭圆的参数方程是{;::驚,其中a>b >0 , 待定,0 一二一2二,二为参数.討I—“3 冷,即 a =2b.(3、设椭圆上的点(x ,y 倒点P 0,- |的距离为d ,贝U< 2/# 、2 / 、2.22j 3 l 2 2口+[.口 3d =x + y —— 丨=a cos 曰 + bsin 廿—丨< 2.丿 < 2丿= 4b 2-3b 2sin 2:-3bsi94=-3b 2 sin 日 +— i +4b 2 +3 l 2b 丿I 1如果一 1,即b ::: —,则当si- -1时,d 2 (从而d )有最大值. 2b 2由此得&~7-3 2,与b 冷矛盾.•••所求椭圆方程是 由题设得.72 2 2a -b£z由题设得(V72」b+3〕, 由此得b=^7,与be1矛盾,因此必有I 2 丿 2 2 2—_1成立.2b1于是当sin,…一时d2(从而d )有最大值.2b由题设知(J7f =4b2+3,二b=1 , a =2 ."x = 2 cos 日•••所求椭圆的参数方程是/"2cos.y =s in G由sin T = — 1, cosT = ±—3,可得椭圆上的是—J3,—丄I, \>i3,—丄i .2 2 i 2丿I 2丿典型例题十一例11设x , y R , 2x23y2 = 6x,求x2 y2 2x的最大值和最小值.分析:本题的关键是利用形数结合,观察方程2x2 3y^6x与椭圆方程的结构一致.设x2 y2 2^m,显然它表示一个圆,由此可以画出图形,考虑椭圆及圆的位置关系求得最值.解:由2x2 3y^6x,得x —2可见它表示一个椭圆,其中心在3,0点,焦点在x轴上,且过(0, 0)点12丿和(3, 0)点.设x2 y2• 2x ,贝U(x +12+y2 = m +1它表示一个圆,其圆心为(一1, 0)半径为•、m • 1 m • -1 .在同一坐标系中作出椭圆及圆,如图所示.观察图形可知,当圆过(0, 0)点时,半径最小,即】m,1 =1,此时m=0 ;当圆过(3, 0)点时,半径最大,即.m 仁 4 m =15 .典型例题十二2 2例12已知椭圆C :务•占=1a b 0 , A 、B 是其长轴的两个端点.a b(1)过一个焦点F 作垂直于长轴的弦PP ,求证:不论a 、b 如何变化,APB =120 .(2)如果椭圆上存在一个点Q ,使.AQB =120 •,求C 的离心率e 的取值范 围. 分析:本题从已知条件出发,两问都应从• APB 和.AQB 的正切值出发做出 估计,因此要从点的坐标、斜率入手.本题的第(2)问中,其关键是根据什么 去列出离心率e 满足的不等式,只能是椭圆的固有性质:x^a ,y 乞b ,根据-AQB =120得到一=-・、3,将x 2二a 2 -电y 2代入,消去x ,用a 、b 、x +y -abc 表示y ,以便利用y^b 列出不等式.这里要求思路清楚,计算准确,一气呵成.解:(1)设 F c,0,A -a,0,B a,0 ."x = c .22丄 2 222,b x +a y =a bb 2k BP 二a(c —a )PcT I a 丿于是k APb 2 ac a 'V . APB 是AP 到BP 的角.2 2bb••• tanAPB^^a 0^「翌 卄— ca 2 * c 2 _a 22 2-a c••• tan /APB -2 故tan. APB = 一.、3 • . APB =120 . (2)设 Q x , y ,则 k Q A— , k Q B 匚. x+ax —a由于对称性,不妨设y .0,于是.AQB 是QA 到QB 的角.y y• tan. AQB=x_a x a 1+才2ab 2--y 2寸3c 2V AQB =120 ,2ayx 2 y 2 _a 2整理得3 x 2 y 2-a、、3 1 -务 y 2 2ay 二b 22ab 乞、3c 2,4a 2 a 2 2-c<3c 2• 4c 4 4a 2c 2 -4a 4-0,3e 4 4e 2 - 4 _ 0(舍) •虫兰e<1, 3.x 2y 2ay 2 2 …aV y 7,3例13已知椭圆分析:分两种情况进行讨论.1解:当椭圆的焦点在x 轴上时,a 2二k • 8 , b 2 = 9,得c 2二k 「1 .由-, 得 k =4.当椭圆的焦点在y 轴上时,a 2=9 , b 2二k ,8,得c 2=1-k .11 - k 1 5由e = —,得 ,即k 二2 9 4 45•••满足条件的k = 4或k =--.4说明:本题易出现漏解.排除错误的办法是:因为k 8与9的大小关系不定,所以椭圆的焦点可能在x 轴上,也可能在y 轴上.故必须进行讨论.典型例题十四2 2例14已知椭圆 电 岂-1上一点P 到右焦点F 2的距离为b (b 1),求P 到左 4b 2 b 2 准线的距离.分析:利用椭圆的两个定义,或利用第二定义和椭圆两准线的距离求解.2 2 解法一:由-^7=1,得 a = 2b , c = 3b , e =—.4b 2 b 22由椭圆定义,PF^.-|PF 2 =2^ 4b ,得 PR =4b - PF2I =4b-b=3b .由椭圆第二定义,■PF _=e ,d 1为P 到左准线的距离,d 1即P 到左准线的距离为2. 3b .PF 2解法二:T ―- =e , d2为P 到右准线的距离,d 2二 d 2典型例题十三求k 的值.又椭圆两准线的距离为2 — =^-^b .c 3••• P到左准线的距离为Ub—^b =2.. 3b .3 3说明:运用椭圆的第二定义时,要注意焦点和准线的同侧性.否则就会产生误解. 椭圆有两个定义,是从不同的角度反映椭圆的特征,解题时要灵活选择,运用自如.一般地,如遇到动点到两个定点的问题,用椭圆第一定义;如果遇到动点到定直线的距离问题,则用椭圆的第二定义.典型例题十五"x = 4 COSG , 冗例15设椭圆」L (口为参数)上一点P与X轴正向所成角N POx = —,y =2j3si n ot. 3求P点坐标.分析:利用参数〉与/POx之间的关系求解.解:设P(4cos: , 2 .. 3sin :),由P与x轴正向所成角为—,3.丄兀2J3sin a 前丄o…tan ,即tan: - 2.3 4 cos 二J 5 2 J 5而sin 壽r 0,cos t ■=■ 0,由此得到cos ,sin5 54、5 4.15、--P点坐标为(,).5 5典型例题十六2 2例16设P(x0, y0)是离心率为e的椭圆(a b 0)上的一点,P到左a b焦点F1和右焦点F2的距离分别为*和r2,求证:r^a ex0,q =a-ex0 .分析:本题考查椭圆的两个定义,利用椭圆第二定义,可将椭圆上点到焦点的距离转化为点到相应准线距离.1QP7T -电2P 点到椭圆的左准线丨:^-―的距离,PQc由椭圆第二定义,鲁虫,* =ePQ =a +ex ),由椭圆第一定义, a = 2a - 口 = a -ex o .说明:本题求证的是椭圆的焦半径公式,在解决与椭圆的焦半径(或焦点弦) 的有关问题时,有着广泛的应用.请写出椭圆焦点在y 轴上的焦半径公式.典型例题十七2 2例17已知椭圆—=1内有一点A(1,1),Fi 、F2分别是椭圆的左、右焦点,95点P 是椭圆上一点.(1) 求PA +|PF 』的最大值、最小值及对应的点 P 坐标; 3(2)求PA +3P F 2I 的最小值及对应的点P 的坐标.分析:本题考查椭圆中的最值问题,通常探求变量的最值有两种方法:一是 目标函数当,即代数方法.二是数形结合,即几何方法.本题若按先建立目标函 数,再求最值,则不易解决;若抓住椭圆的定义,转化目标,运用数形结合,就 能简捷求解.2a-x ^c解: 解:(1)如上图,2a =6,F 2(2,0), AF 2〔=J 2,设P 是椭圆上任一点,由PF 1 + PF ? =2a =6 , PA Z PF 2 - AF 2 ,••• PA +|卩可艺『只 +|PF 2 — AF 2 =2a —AF 2| =6—J 2 ,等号仅当 PA =| PF 2 — AF 2 时成立,此时P 、A 、F 2共线.由 PA| 勻PF?|+|AF 2 , • PA+|PF i| M|PF i|+|PF 2|+| AF 2I =2a+|AF 』=6+J 2 , 等号仅当|PA = PF ?] +|AF 2时成立,此时P 、A 、F 2共线.x + v — 2 = 0建立A 、F 2的直线方程x + y-2=0,解方程组」2 2 '得两交点5x +9y =45P i (^l 5V2,^15V 2)、詰+匹血上一匹逅).7 147 147 147 14综上所述,P 点与R 重合时,PA PF 1取最小值6 — 2 , P 点与P 2重合时, PA PF 2取最大值6,2 .⑵ 如下图,设P 是椭圆上任一点,作PQ 垂直椭圆右准线,即求A 到右准Q 为垂足,由2心,皿,•.由椭圆第二定义知PF 22 . 一 3-=e=—,… PQ = PF 2PQ| 321,代入椭圆• PA3|PF 2|PA PQ ,要使其和最小需有 A 、P 、Q 共线,2得满足条件的点P坐标(*,1).51说明:求PA PF2的最小值,就是用第二定义转化后,过A向相应准线作e典型例题十八2 2例18⑴写出椭圆才才1的参数方程;(2)求椭圆内接矩形的最大面积.分析:本题考查椭圆的参数方程及其应用.为简化运算和减少未知数的个数, 常用椭圆的参数方程表示曲线上一点坐标,所求问题便化归为三角问题.⑵ 设椭圆内接矩形面积为S ,由对称性知,矩形的邻边分别平行于x 轴和yTT 轴,设(3COST , 2sin 二)为矩形在第一象限的顶点,(0 :: v ::),则 S =4 3cosr 2si n 「12si n2 _12 故椭圆内接矩形的最大面积为12.说明:通过椭圆参数方程,转化为三角函数的最值问题,一般地,与圆锥曲 线有关的最值问题,用参数方程形式较简便.典型例题十九例19已知F 1,F 2是椭圆的两个焦点,P 是椭圆上一点,且• F 1PF 2 =60 .(1)求椭圆离心率的取值范围;⑵ 求证■ PF 1F 2的面积与椭圆短轴长有关.分析:不失一般性,可以设椭圆方程为x 2 3 y 2T + 2=1 ( anbnO ), P (X 1 , yj ( y^>0).a b 思路一:根据题设容易想到两条直线的夹角公式,即K - K_tan60 巴 旦—3,设卩匕,yj , F'-c,。
椭圆各类题型分类汇总
椭圆各类题型分类汇总文档编制序号:[KKIDT-LLE0828-LLETD298-POI08]椭圆经典例题分类汇总 1. 椭圆第一定义的应用 例1 椭圆的一个顶点为()02,A ,其长轴长是短轴长的2倍,求椭圆的标准方程. 例2 已知椭圆19822=++y k x 的离心率21=e ,求k 的值. 例3 已知方程13522-=-+-ky k x 表示椭圆,求k 的取值范围. 例4 已知1cos sin 22=-ααy x )0(πα≤≤表示焦点在y 轴上的椭圆,求α的取值范围.例5 已知动圆P 过定点()03,-A ,且在定圆()64322=+-y x B :的内部与其相内切,求动圆圆心P 的轨迹方程.2.焦半径及焦三角的应用例1 已知椭圆13422=+y x ,1F 、2F 为两焦点,问能否在椭圆上找一点M ,使M 到左准线l 的距离MN 是1MF 与2MF 的等比中项若存在,则求出点M 的坐标;若不存在,请说明理由.例2 已知椭圆方程()012222>>=+b a by a x ,长轴端点为1A ,2A ,焦点为1F ,2F ,P 是椭圆上一点,θ=∠21PA A ,α=∠21PF F .求:21PF F ∆的面积(用a 、b 、α表示).3.第二定义应用例1 椭圆1121622=+y x 的右焦点为F ,过点()31,A ,点M 在椭圆上,当MF AM 2+为最小值时,求点M 的坐标.例2 已知椭圆142222=+b y b x 上一点P 到右焦点2F 的距离为b )1(>b ,求P 到左准线的距离.例3 已知椭圆15922=+y x 内有一点)1,1(A ,1F 、2F 分别是椭圆的左、右焦点,点P 是椭圆上一点.(1) 求1PF PA +的最大值、最小值及对应的点P 坐标;(2) 求223PF PA +的最小值及对应的点P 的坐标. 4.参数方程应用例1 求椭圆1322=+y x 上的点到直线06=+-y x 的距离的最小值. 例2 (1)写出椭圆14922=+y x 的参数方程;(2)求椭圆内接矩形的最大面积. 例3 椭圆12222=+b y a x )0(>>b a 与x 轴正向交于点A ,若这个椭圆上总存在点P ,使AP OP ⊥(O 为坐标原点),求其离心率e 的取值范围.5.相交情况下--弦长公式的应用例1 已知椭圆1422=+y x 及直线m x y +=.(1)当m 为何值时,直线与椭圆有公共点(2)若直线被椭圆截得的弦长为5102,求直线的方程. 例2 已知长轴为12,短轴长为6,焦点在x 轴上的椭圆,过它对的左焦点1F 作倾斜解为3π的直线交椭圆于A ,B 两点,求弦AB 的长. 6.相交情况下—点差法的应用例1 已知中心在原点,焦点在x 轴上的椭圆与直线01=-+y x 交于A 、B 两点,M 为AB 中点,OM 的斜率为,椭圆的短轴长为2,求椭圆的方程.例2 已知椭圆1222=+y x ,求过点⎪⎭⎫ ⎝⎛2121,P 且被P 平分的弦所在的直线方程. 例3 已知椭圆1222=+y x ,(1)求过点⎪⎭⎫ ⎝⎛2121,P 且被P 平分的弦所在直线的方程; (2)求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程;(3)过()12,A 引椭圆的割线,求截得的弦的中点的轨迹方程; (4)椭圆上有两点P 、Q ,O 为原点,且有直线OP 、OQ 斜率满足21-=⋅OQ OP k k , 求线段PQ 中点M 的轨迹方程.例4 已知椭圆13422=+y x C :,试确定m 的取值范围,使得对于直线m x y l +=4:,椭圆C 上有不同的两点关于该直线对称.例5 已知)2,4(P 是直线l 被椭圆193622=+y x 所截得的线段的中点,求直线l 的方程. 椭圆经典例题分类汇总1.椭圆第一定义的应用例1 椭圆的一个顶点为()02,A ,其长轴长是短轴长的2倍,求椭圆的标准方程. 分析:题目没有指出焦点的位置,要考虑两种位置.解:(1)当()02,A 为长轴端点时,2=a ,1=b , 椭圆的标准方程为:11422=+y x ; (2)当()02,A 为短轴端点时,2=b ,4=a , 椭圆的标准方程为:116422=+y x ;说明:椭圆的标准方程有两个,给出一个顶点的坐标和对称轴的位置,是不能确定椭圆的横竖的,因而要考虑两种情况.例2 已知椭圆19822=++y k x 的离心率21=e ,求k 的值. 分析:分两种情况进行讨论.解:当椭圆的焦点在x 轴上时,82+=k a ,92=b ,得12-=k c .由21=e ,得4=k .当椭圆的焦点在y 轴上时,92=a ,82+=k b ,得k c -=12. 由21=e ,得4191=-k ,即45-=k . ∴满足条件的4=k 或45-=k . 说明:本题易出现漏解.排除错误的办法是:因为8+k 与9的大小关系不定,所以椭圆的焦点可能在x 轴上,也可能在y 轴上.故必须进行讨论.例5 已知方程13522-=-+-ky k x 表示椭圆,求k 的取值范围. 解:由⎪⎩⎪⎨⎧-≠-<-<-,35,03,05k k k k 得53<<k ,且4≠k .∴满足条件的k 的取值范围是53<<k ,且4≠k .说明:本题易出现如下错解:由⎩⎨⎧<-<-,03,05k k 得53<<k ,故k 的取值范围是53<<k . 出错的原因是没有注意椭圆的标准方程中0>>b a 这个条件,当b a =时,并不表示椭圆.例6 已知1cos sin 22=-ααy x )0(πα≤≤表示焦点在y 轴上的椭圆,求α的取值范围. 分析:依据已知条件确定α的三角函数的大小关系.再根据三角函数的单调性,求出α的取值范围.解:方程可化为1cos 1sin 122=+ααy x .因为焦点在y 轴上,所以0sin 1cos 1>>-αα. 因此0sin >α且1tan -<α从而)43,2(ππα∈. 说明:(1)由椭圆的标准方程知0sin 1>α,0cos 1>-α,这是容易忽视的地方. (2)由焦点在y 轴上,知αcos 12-=a ,αsin 12=b . (3)求α的取值范围时,应注意题目中的条件πα<≤0 例5 已知动圆P 过定点()03,-A ,且在定圆()64322=+-y x B :的内部与其相内切,求动圆圆心P 的轨迹方程.分析:关键是根据题意,列出点P 满足的关系式.解:如图所示,设动圆P 和定圆B 内切于点M .动点P 到两定点,即定点()03,-A 和定圆圆心()03,B 距离之和恰好等于定圆半径, 即8==+=+BM PB PM PB PA .∴点P 的轨迹是以A ,B 为两焦点,半长轴为4,半短轴长为73422=-=b 的椭圆的方程:171622=+y x . 说明:本题是先根据椭圆的定义,判定轨迹是椭圆,然后根据椭圆的标准方程,求轨迹的方程.这是求轨迹方程的一种重要思想方法.2.焦半径及焦三角的应用例1 已知椭圆13422=+y x ,1F 、2F 为两焦点,问能否在椭圆上找一点M ,使M 到左准线l 的距离MN 是1MF 与2MF 的等比中项若存在,则求出点M 的坐标;若不存在,请说明理由.解:假设M 存在,设()11y x M ,,由已知条件得 2=a ,3=b ,∴1=c ,21=e .∵左准线l 的方程是4-=x , ∴14x MN +=. 又由焦半径公式知: 111212x ex a MF -=-=,112212x ex a MF +=+=. ∵212MF MF MN ⋅=,∴()⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+11212122124x x x . 整理得048325121=++x x .解之得41-=x 或5121-=x . ① 另一方面221≤≤-x . ②则①与②矛盾,所以满足条件的点M 不存在.例2 已知椭圆方程()012222>>=+b a by a x ,长轴端点为1A ,2A ,焦点为1F ,2F ,P 是椭圆上一点,θ=∠21PA A ,α=∠21PF F .求:21PF F ∆的面积(用a 、b 、α表示).分析:求面积要结合余弦定理及定义求角α的两邻边,从而利用C ab S sin 21=∆求面积. 解:如图,设()y x P ,,由椭圆的对称性,不妨设()y x P ,,由椭圆的对称性,不妨设P 在第一象限.由余弦定理知: 221F F 2221PF PF +=12PF -·224cos c PF =α.① 由椭圆定义知: a PF PF 221=+ ②,则-①②2得 αcos 12221+=⋅b PF PF . 故αsin 212121PF PF S PF F ⋅=∆ ααsin cos 12212+=b 2tan 2αb =. 3.第二定义应用例1 椭圆1121622=+y x 的右焦点为F ,过点()31,A ,点M 在椭圆上,当MF AM 2+为最小值时,求点M 的坐标. 分析:本题的关键是求出离心率21=e ,把MF 2转化为M 到右准线的距离,从而得最小值.一般地,求MF eAM 1+均可用此法. 解:由已知:4=a ,2=c .所以21=e ,右准线8=x l :.过A 作l AQ ⊥,垂足为Q ,交椭圆于M ,故MF MQ 2=.显然MF AM 2+的最小值为AQ ,即M 为所求点,因此3=M y ,且M 在椭圆上.故32=M x .所以()332,M .说明:本题关键在于未知式MF AM 2+中的“2”的处理.事实上,如图,21=e ,即MF 是M 到右准线的距离的一半,即图中的MQ ,问题转化为求椭圆上一点M ,使M 到A 的距离与到右准线距离之和取最小值.例2 已知椭圆142222=+by b x 上一点P 到右焦点2F 的距离为b )1(>b ,求P 到左准线的距离.分析:利用椭圆的两个定义,或利用第二定义和椭圆两准线的距离求解.解法一:由142222=+by b x ,得b a 2=,b c 3=,23=e . 由椭圆定义,b a PF PF 4221==+,得b b b PF b PF 34421=-=-=.由椭圆第二定义,e d PF =11,1d 为P 到左准线的距离, ∴b e PF d 3211==,即P 到左准线的距离为b 32.解法二:∵e d PF =22,2d 为P 到右准线的距离,23==a c e , ∴b e PF d 33222==.又椭圆两准线的距离为b c a 33822=⋅. ∴P 到左准线的距离为b b b 32332338=-. 说明:运用椭圆的第二定义时,要注意焦点和准线的同侧性.否则就会产生误解. 椭圆有两个定义,是从不同的角度反映椭圆的特征,解题时要灵活选择,运用自如.一般地,如遇到动点到两个定点的问题,用椭圆第一定义;如果遇到动点到定直线的距离问题,则用椭圆的第二定义.例3 已知椭圆15922=+y x 内有一点)1,1(A ,1F 、2F 分别是椭圆的左、右焦点,点P 是椭圆上一点.(1) 求1PF PA +的最大值、最小值及对应的点P 坐标;(2) 求223PF PA +的最小值及对应的点P 的坐标. 分析:本题考查椭圆中的最值问题,通常探求变量的最值有两种方法:一是目标函数当,即代数方法.二是数形结合,即几何方法.本题若按先建立目标函数,再求最值,则不易解决;若抓住椭圆的定义,转化目标,运用数形结合,就能简捷求解.解:(1)如上图,62=a ,)0,2(2F ,22=AF ,设P 是椭圆上任一点,由6221==+a PF PF ,22AF PF PA -≥,∴26222211-=-=-+≥+AF a AF PF PF PF PA ,等号仅当22AF PF PA -=时成立,此时P 、A 、2F 共线.由22AF PF PA +≤,∴26222211+=+=++≤+AF a AF PF PF PF PA ,等号仅当22AF PF PA +=时成立,此时P 、A 、2F 共线.建立A 、2F 的直线方程02=-+y x ,解方程组⎩⎨⎧=+=-+4595,0222y x y x 得两交点 )2141575,2141579(1+-P 、)2141575,2141579(2-+P . 综上所述,P 点与1P 重合时,1PF PA +取最小值26-,P 点与2P 重合时,2PF PA +取最大值26+.(2)如下图,设P 是椭圆上任一点,作PQ 垂直椭圆右准线,Q 为垂足,由3=a ,2=c ,∴32=e .由椭圆第二定义知322==e PQ PF ,∴223PF PQ =,∴PQ PA PF PA +=+223,要使其和最小需有A 、P 、Q 共线,即求A 到右准线距离.右准线方程为29=x . ∴A 到右准线距离为27.此时P 点纵坐标与A 点纵坐标相同为1,代入椭圆得满足条件的点P 坐标)1,556(. 说明:求21PF ePA +的最小值,就是用第二定义转化后,过A 向相应准线作垂线段.巧用焦点半径2PF 与点准距PQ 互化是解决有关问题的重要手段.4.参数方程应用例1 求椭圆1322=+y x 上的点到直线06=+-y x 的距离的最小值. 分析:先写出椭圆的参数方程,由点到直线的距离建立三角函数关系式,求出距离的最小值.解:椭圆的参数方程为⎩⎨⎧==.sin cos 3θθy x ,设椭圆上的点的坐标为()θθsin cos 3,,则点到直线的距离为263sin 226sin cos 3+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+-=θπθθd . 当13sin -=⎪⎭⎫⎝⎛-θπ时,22=最小值d .说明:当直接设点的坐标不易解决问题时,可建立曲线的参数方程.例2 (1)写出椭圆14922=+y x 的参数方程;(2)求椭圆内接矩形的最大面积. 分析:本题考查椭圆的参数方程及其应用.为简化运算和减少未知数的个数,常用椭圆的参数方程表示曲线上一点坐标,所求问题便化归为三角问题.解:(1) ⎩⎨⎧==θθsin 2cos 3y x )(R ∈θ.(2)设椭圆内接矩形面积为S ,由对称性知,矩形的邻边分别平行于x 轴和y 轴,设)sin 2,cos 3(θθ为矩形在第一象限的顶点,)20(π<θ<,则122sin 12sin 2cos 34≤=⨯⨯=θθθS 故椭圆内接矩形的最大面积为12.说明:通过椭圆参数方程,转化为三角函数的最值问题,一般地,与圆锥曲线有关的最值问题,用参数方程形式较简便.例3 椭圆12222=+by a x )0(>>b a 与x 轴正向交于点A ,若这个椭圆上总存在点P ,使AP OP ⊥(O 为坐标原点),求其离心率e 的取值范围.分析:∵O 、A 为定点,P 为动点,可以P 点坐标作为参数,把AP OP ⊥,转化为P 点坐标的一个等量关系,再利用坐标的范围建立关于a 、b 、c 的一个不等式,转化为关于e 的不等式.为减少参数,易考虑运用椭圆参数方程.解:设椭圆的参数方程是⎩⎨⎧==θθsin cos b y a x )0(>>b a ,则椭圆上的点)sin ,cos (θθb a P ,)0,(a A , ∵AP OP ⊥,∴1cos sin cos sin -=-⋅aa b a b θθθθ,即0cos cos )(22222=+--b a b a θθ,解得1cos =θ或222cos b a b -=θ,∵1cos 1<<-θ ∴1cos =θ(舍去),11222<-<-b a b ,又222c a b -= ∴2022<<ca ,∴22>e ,又10<<e ,∴122<<e . 说明:若已知椭圆离心率范围)1,22(,求证在椭圆上总存在点P 使AP OP ⊥.如何证明5.相交情况下--弦长公式的应用例1 已知椭圆1422=+y x 及直线m x y +=. (1)当m 为何值时,直线与椭圆有公共点 (2)若直线被椭圆截得的弦长为5102,求直线的方程. 解:(1)把直线方程m x y +=代入椭圆方程1422=+y x 得 ()1422=++m x x , 即012522=-++m mx x .()()020*********≥+-=-⨯⨯-=∆m m m ,解得2525≤≤-m . (2)设直线与椭圆的两个交点的横坐标为1x ,2x ,由(1)得5221mx x -=+,51221-=m x x .根据弦长公式得 :51025145211222=-⨯-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅+m m .解得0=m .方程为x y =.说明:处理有关直线与椭圆的位置关系问题及有关弦长问题,采用的方法与处理直线和圆的有所区别.这里解决直线与椭圆的交点问题,一般考虑判别式∆;解决弦长问题,一般应用弦长公式.用弦长公式,若能合理运用韦达定理(即根与系数的关系),可大大简化运算过程.例2 已知长轴为12,短轴长为6,焦点在x 轴上的椭圆,过它对的左焦点1F 作倾斜解为3π的直线交椭圆于A ,B 两点,求弦AB 的长. 分析:可以利用弦长公式]4))[(1(1212212212x x x x k x x k AB -++=-+=求得,也可以利用椭圆定义及余弦定理,还可以利用焦点半径来求.解:(法1)利用直线与椭圆相交的弦长公式求解.2121x x k AB -+=]4))[(1(212212x x x x k -++=.因为6=a ,3=b ,所以33=c .因为焦点在x 轴上,所以椭圆方程为193622=+y x ,左焦点)0,33(-F ,从而直线方程为93+=x y . 由直线方程与椭圆方程联立得:0836372132=⨯++x x .设1x ,2x 为方程两根,所以1337221-=+x x ,1383621⨯=x x ,3=k , 从而1348]4))[(1(1212212212=-++=-+=x x x x k x x k AB . (法2)利用椭圆的定义及余弦定理求解.由题意可知椭圆方程为193622=+y x ,设m AF =1,n BF =1,则m AF -=122,n BF -=122.在21F AF ∆中,3cos22112212122πF F AF F F AF AF -+=,即21362336)12(22⋅⋅⋅-⋅+=-m m m ;所以346-=m .同理在21F BF ∆中,用余弦定理得346+=n ,所以1348=+=n m AB .(法3)利用焦半径求解.先根据直线与椭圆联立的方程0836372132=⨯++x x 求出方程的两根1x ,2x ,它们分别是A ,B 的横坐标.再根据焦半径11ex a AF +=,21ex a BF +=,从而求出11BF AF AB += 6.相交情况下—点差法的应用例1 已知中心在原点,焦点在x 轴上的椭圆与直线01=-+y x 交于A 、B 两点,M 为AB 中点,OM 的斜率为,椭圆的短轴长为2,求椭圆的方程.解:由题意,设椭圆方程为1222=+y ax ,由⎪⎩⎪⎨⎧=+=-+101222y ax y x ,得()021222=-+x a x a , ∴222112a a x x x M +=+=,2111a x y M M +=-=, 4112===ax y k M M OM ,∴42=a , ∴1422=+y x 为所求. 说明:(1)此题求椭圆方程采用的是待定系数法;(2)直线与曲线的综合问题,经常要借用根与系数的关系,来解决弦长、弦中点、弦斜率问题.例2 已知椭圆1222=+y x ,求过点⎪⎭⎫⎝⎛2121,P 且被P 平分的弦所在的直线方程.分析一:已知一点求直线,关键是求斜率,故设斜率为k ,利用条件求k . 解法一:设所求直线的斜率为k ,则直线方程为⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-2121x k y .代入椭圆方程,并整理得()()0232122212222=+-+--+k k x k kx k .由韦达定理得22212122k kk x x +-=+.∵P 是弦中点,∴121=+x x .故得21-=k .所以所求直线方程为0342=-+y x .分析二:设弦两端坐标为()11y x ,、()22y x ,,列关于1x 、2x 、1y 、2y 的方程组,从而求斜率:2121x x y y --. 解法二:设过⎪⎭⎫⎝⎛2121,P 的直线与椭圆交于()11y x A ,、()22y x B ,,则由题意得①-②得0222212221=-+-y y x x . ⑤ 将③、④代入⑤得212121-=--x x y y ,即直线的斜率为21-. 所求直线方程为0342=-+y x . 说明:(1)有关弦中点的问题,主要有三种类型:过定点且被定点平分的弦;平行弦的中点轨迹;过定点的弦中点轨迹.(2)解法二是“点差法”,解决有关弦中点问题的题较方便,要点是巧代斜率. (3)有关弦及弦中点问题常用的方法是:“韦达定理应用”及“点差法”.有关二次曲线问题也适用.例3 已知椭圆1222=+y x ,(1)求过点⎪⎭⎫⎝⎛2121,P 且被P 平分的弦所在直线的方程;(2)求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程;(3)过()12,A 引椭圆的割线,求截得的弦的中点的轨迹方程; (4)椭圆上有两点P 、Q ,O 为原点,且有直线OP 、OQ 斜率满足21-=⋅OQ OP k k ,求线段PQ 中点M 的轨迹方程.分析:此题中四问都跟弦中点有关,因此可考虑设弦端坐标的方法. 解:设弦两端点分别为()11y x M ,,()22y x N ,,线段MN 的中点()y x R ,,则①-②得()()()()022*******=-++-+y y y y x x x x .由题意知21x x ≠,则上式两端同除以21x x -,有()()0221212121=-+++x x y y y y x x ,将③④代入得022121=--+x x y y y x .⑤ (1)将21=x ,21=y 代入⑤,得212121-=--x x y y ,故所求直线方程为:0342=-+y x . ⑥将⑥代入椭圆方程2222=+y x 得041662=--y y ,0416436>⨯⨯-=∆符合题意,0342=-+y x 为所求.(2)将22121=--x x y y 代入⑤得所求轨迹方程为: 04=+y x .(椭圆内部分) (3)将212121--=--x y x x y y 代入⑤得所求轨迹方程为: 022222=--+y x y x .(椭圆内部分)(4)由①+②得 : ()2222212221=+++y y x x , ⑦, 将③④平方并整理得 212222124x x x x x -=+, ⑧, 212222124y y y y y -=+, ⑨将⑧⑨代入⑦得:()224424212212=-+-y y y x x x , ⑩ 再将212121x x y y -=代入⑩式得: 221242212212=⎪⎭⎫⎝⎛--+-x x y x x x , 即12122=+y x .此即为所求轨迹方程.当然,此题除了设弦端坐标的方法,还可用其它方法解决.例4 已知椭圆13422=+y x C :,试确定m 的取值范围,使得对于直线m x y l +=4:,椭圆C 上有不同的两点关于该直线对称.分析:若设椭圆上A ,B 两点关于直线l 对称,则已知条件等价于:(1)直线l AB ⊥;(2)弦AB 的中点M 在l 上.利用上述条件建立m 的不等式即可求得m 的取值范围.解:(法1)设椭圆上),(11y x A ,),(22y x B 两点关于直线l 对称,直线AB 与l 交于),(00y x M 点.∵l 的斜率4=l k ,∴设直线AB 的方程为n x y +-=41.由方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++-=,134,4122yx n x y 消去y 得0481681322=-+-n nx x ①。
(完整版)椭圆经典精讲例题详细答案
变式二
题面:
B.在线段F1M的内部或NF2内部
C.点N或点M
D.以上三种情况都有可能 答案:C.
详解:
若P在右支上,并设内切圆与PF1,PF2的切点分别为A,B,则|NF1|-|NF2|=|PF1|-|PF2|=(|PA|+|AF1|)-(|PB|+|BF2|)=|AF1|-|BF2|.
所以N为切点,同理P在左支上时,M为切点.
椭圆经典精讲
1、基本概念、基本图形、基本性质
题1、
题面:集合
().
A.AI B AB. A B C. B AD.AAB = ?
答案:D.
变式一
题面:
设双曲线的左,右焦点为Fi,F2,左,右顶点为M,N,若△PF1F2的一个顶点P
在双曲线上,则△PF1F2的内切圆与边F1F2的切点的位置是()
A.在线段MN的内部
题面:如图,倾斜圆柱形容器,液面的边界近似一个椭圆。
若容器底面与桌面成角为60°,则这个椭圆的离心率是
以角B为直角的直角三角形,则椭圆的离心率
答案:B.
详解:
—1±5由题意得a2+b2+a2=(a+c)2,即c2+ac—a2=0,即e2+e—1=0,解得e=—-—.
又e>0,故所求的椭圆的离心率为
.5— 1
变式二
题面:
若直线mx+ny=4和圆O:x2+y2=4没有交点,则过点(m,n)的直线与椭圆 彳+£ =1的交点个数为()
A.至多1个B.2个
C.1个D.0个
答案:B.
详Hale Waihona Puke :4由题意得,_4一>2,即m2+n2v4,则点(m,n)在以原点为圆心,以2为半径的Pm2+n2
(完整版)椭圆经典精讲例题详细答案
椭圆经典精讲1、基本概念、基本图形、基本性质 题1、题面:集合}12|),{(}4|),{(2222=+==+=y x y x B y x y x A 与的关系可表述为( ).A.A B A =IB.A B ⊆C.B A ⊆D.A ∩B = Ø 答案:D.变式一题面:设双曲线的左,右焦点为F 1,F 2,左,右顶点为M ,N ,若△PF 1F 2的一个顶点P 在双曲线上,则△PF 1F 2的内切圆与边F 1F 2的切点的位置是( )A .在线段MN 的内部B .在线段F 1M 的内部或NF 2内部C .点N 或点MD .以上三种情况都有可能 答案:C. 详解:若P 在右支上,并设内切圆与PF 1,PF 2的切点分别为A ,B ,则|NF 1|-|NF 2|=|PF 1|-|PF 2|=(|P A |+|AF 1|)-(|PB |+|BF 2|)=|AF 1|-|BF 2|. 所以N 为切点,同理P 在左支上时,M 为切点.变式二题面:若直线mx +ny =4和圆O :x 2+y 2=4没有交点,则过点(m ,n )的直线与椭圆x 29+y 24=1的交点个数为( )A .至多1个B .2个C .1个D .0个答案:B. 详解:由题意得4m 2+n 2>2,即m 2+n 2<4,则点(m ,n )在以原点为圆心,以2为半径的圆内,此圆在椭圆x 29+y 24=1的内部.题2、题面:如图,倾斜圆柱形容器,液面的边界近似一个椭圆。
若容器底面与桌面成角为60o,则这个椭圆的离心率是 。
答案:解题步骤: 由图,短轴就是内径2r ,长轴为4r ,即:2,,a r b r c ===,2e =.变式一题面:已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的两顶点为A (a,0),B (0,b ),且左焦点为F ,△F AB 是以角B 为直角的直角三角形,则椭圆的离心率e 为( )A.3-12B.5-12 C.1+54D.3+14答案:B. 详解:由题意得a 2+b 2+a 2=(a +c )2,即c 2+ac -a 2=0,即e 2+e -1=0,解得e =-1±52.又e >0,故所求的椭圆的离心率为5-12.变式二题面:60o4r2r(2012·新课标全国卷)设F 1,F 2是椭圆E :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右焦点,P 为直线x =3a2上一点,△F 2PF 1是底角为30°的等腰三角形,则E 的离心率为( )A.12B.23C.34D.45答案:C. 详解:由题意可得|PF 2|=|F 1F 2|,∴2⎝⎛⎭⎫32a -c =2c ,∴3a =4c ,∴e =34.题3、题面:椭圆22143x y +=与圆 22(1)1x y -+=的公共点个数是 。
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椭圆高考典型题型归纳题型一. 定义及其应用例1.已知一个动圆与圆22:(4)100C x y ++=相内切,且过点(4,0)A ,求这个动圆圆心M 的轨迹方程;例2. 方程2x =+所表示的曲线是 练习:1.6=对应的图形是( )A.直线B. 线段C. 椭圆D. 圆2.10=对应的图形是( )A.直线B. 线段C. 椭圆D. 圆3.10=成立的充要条件是( )A.2212516x y += B.221259x y += C. 2211625x y += D. 221925x y +=4.1m =+表示椭圆,则m 的取值范围是5.过椭圆22941x y +=的一个焦点1F 的直线与椭圆相交于,A B 两点,则,A B 两点与椭圆的另一个焦点2F 构成的2ABF ∆的周长等于 ;6.设圆22(1)25x y ++=的圆心为C ,(1,0)A 是圆内一定点,Q 为圆周上任意一点,线段AQ 的垂直平分线与CQ 的连线交于点M ,则点M 的轨迹方程为 ;题型二. 椭圆的方程 (一)由方程研究曲线例1.方程2211625x y +=的曲线是到定点 和 的距离之和等于 的点的轨迹; (二)分情况求椭圆的方程例2.已知椭圆以坐标轴为对称轴,且长轴是短轴的3倍,并且过点(3,0)P ,求椭圆的方程; (三)用待定系数法求方程例3.已知椭圆的中心在原点,以坐标轴为对称轴,且经过两点1P 、2(P ,求椭圆的方程;例4.求经过点(2,3)-且与椭圆229436x y +=有共同焦点的椭圆方程;注:一般地,与椭圆22221x y a b+=共焦点的椭圆可设其方程为222221()x y k b a k b k +=>-++; (四)定义法求轨迹方程;例5.在ABC ∆中,,,A B C 所对的三边分别为,,a b c ,且(1,0),(1,0)B C -,求满足b a c >>且,,b a c 成等差数列时顶点A 的轨迹;(五)相关点法求轨迹方程;例6.已知x 轴上一定点(1,0)A ,Q 为椭圆2214x y +=上任一点,求AQ 的中点M 的轨迹方程;(六)直接法求轨迹方程;例7.设动直线l 垂直于x 轴,且与椭圆2224x y +=交于,A B 两点,点P 是直线l 上满足1PA PB =的点,求点P 的轨迹方程;(七)列方程组求方程例8.中心在原点,一焦点为F 的椭圆被直线32y x =-截得的弦的中点的横坐标为12,求此椭圆的方程;题型三.焦点三角形问题例1. 已知椭圆2211625x y +=上一点P 的纵坐标为53,椭圆的上下两个焦点分别为2F 、1F ,求1PF 、2PF 及12cos F PF ∠;例2.题型四.椭圆的几何性质例 1.已知P 是椭圆22221x y a b +=上的点,的纵坐标为53,1F 、2F 分别为椭圆的两个焦点,椭圆的半焦距为c ,则12PF PF 的最大值与最小值之差为例 2.椭圆22221x y a b+=(0)a b >>的四个顶点为,,,A B C D ,若四边形ABCD 的内切圆恰好过焦点,则椭圆的离心率为 ;例3.若椭圆22114x y k +=+的离心率为12,则k = ; 例 4.若P 为椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上一点,1F 、2F 为其两个焦点,且01215PF F ∠=,02175PF F ∠=,则椭圆的离心率为题型五.求范围例1.方程22221(1)x y m m +=-表示准线平行于x 轴的椭圆,求实数m 的取值范围;题型六.椭圆的第二定义的应用例1. 方程2x y =++所表示的曲线是 例2.求经过点(1,2)M ,以y 轴为准线,离心率为12的椭圆的左顶点的轨迹方程; 例3.椭圆221259x y +=上有一点P ,它到左准线的距离等于52,那么P 到右焦点的距离为例4.已知椭圆13422=+y x ,能否在此椭圆位于y 轴左侧的部分上找到一点M ,使它到左准线的距离为它到两焦点12,F F 距离的等比中项,若能找到,求出该点的坐标,若不能找到,请说明理由。
椭圆各类题型分类汇总
......椭圆经典例题分类汇总1.椭圆第一定义的应用例 1椭圆的一个顶点为 A 2,0 ,其长轴长是短轴长的 2 倍,求椭圆的标准方程.例 2 椭圆x2y 21的离心率e1k 89,求 k 的值.2例 3x2y2k 的取值围.方程31表示椭圆,求k 5k例 4x2sin y 2 cos 1 (0) 表示焦点在y 轴上的椭圆,求的取值围.例 5 动圆P 过定点A3,0 ,且在定圆 B:x 3 2y 264 的部与其相切,求动圆圆心 P 的轨迹方程.2.焦半径及焦三角的应用例 1 椭圆x2y 2 1 , F1、 F2为两焦点,问能否在椭圆上找一点M,使M到左准43线 l 的距离 MN 是 MF1与 MF2的等比中项?假设存在,那么求出点M 的坐标;假设不存在,请说明理由.例 2 椭圆方程x2y 2 1 a b0 ,长轴端点为 A1, A2,焦点为 F1, F2,P是椭a2b2圆上一点, A1PA2,F1PF2.求: F1PF2的面积〔用 a 、b、表示〕.3.第二定义应用例1椭圆 x2y 21的右焦点为 F ,过点A 1,3,点 M 在椭圆上,当 AM2MF 为1612最小值时,求点M 的坐标.例 2 椭圆x2y 21上一点P到右焦点 F2的距离为b (b1) ,求P到左准线的距4b 2 b 2离.例 3椭圆 x2y21有一点 A(1 , 1) , F1、 F2分别是椭圆的左、右焦点,点P 是椭95圆上一点.(1)求 PA PF1的最大值、最小值及对应的点P 坐标;(2)求 PA 3PF2的最小值及对应的点 P 的坐标.24.参数方程应用例 1 求椭圆x2y21上的点到直线 x y 60 的距离的最小值.322例 2(1)写出椭圆xy1 的参数方程; (2)求椭圆接矩形的最大面积.94例 3椭圆 x2y 2 1 (a b 0) 与 x 轴正向交于点 A ,假设这个椭圆上总存在点P ,使a 2b 2OP AP ( O 为坐标原点 ),求其离心率 e 的取值围.5.相交情况下 --弦长公式的应用例 1 椭圆 4x 2y 2 1及直线 y xm .〔 1〕当 m 为何值时,直线与椭圆有公共点?〔 2〕假设直线被椭圆截得的弦长为2 10,求直线的方程.5例 2 长轴为12,短轴长为 6,焦点在x轴上的椭圆,过它对的左焦点F1作倾斜解为A ,B 两点,求弦 AB 的长.3的直线交椭圆于6.相交情况下—点差法的应用例 1中心在原点,焦点在x 轴上的椭圆与直线x y 1 0 交于A、B两点,M为AB 中点, OM 的斜率为,椭圆的短轴长为2,求椭圆的方程.例 2 椭圆x2y21,求过点 P11且被 P 平分的弦所在的直线方程.22,2例 3 椭圆x 2 y 21 ,〔 1〕求过点 P1 1且被 P 平分的弦所在直线的方程;22 ,2( 2〕求斜率为 2 的平行弦的中点轨迹方程;( 3〕过 A 2,1 引椭圆的割线,求截得的弦的中点的轨迹方程;〔 4〕椭圆上有两点P 、 Q , O 为原点,且有直线 OP 、 OQ 斜率满足 k OP k OQ1 ,2求线段 PQ 中点 M 的轨迹方程.x 2y24x m ,椭圆 C例 4 椭圆 C :1 ,试确定 m 的取值围, 使得对于直线 l : y 4 3上有不同的两点关于该直线对称.22 例 5 P( 4 , 2) 是直线 l 被椭圆xy1 所截得的线段的中点,求直线 l 的方程.369椭圆经典例题分类汇总1.椭圆第一定义的应用例 1 椭圆的一个顶点为A 2,0 ,其长轴长是短轴长的 2 倍,求椭圆的标准方程.分析: 题目没有指出焦点的位置,要考虑两种位置.解:〔1〕当 A 2,0 为长轴端点时,a2 , b 1,椭圆的标准方程为:x 2y 2 1 ;41〔 2〕当 A 2,0 为短轴端点时, b 2 , a 4 ,椭圆的标准方程为:x 2y 2 1 ;416说明:椭圆的标准方程有两个,给出一个顶点的坐标和对称轴的位置,是不能确定椭圆的横竖的,因而要考虑两种情况.例 2 椭圆x 2y 21 的离心率 e1 ,求 k 的值.k892分析: 分两种情况进行讨论.解:当椭圆的焦点在 x 轴上时,a 2k 8 , 29c 2k1 e1k4,得.由 ,得.b2当椭圆的焦点在 y 轴上时, a 2 9 , b 2 k 8 ,得 c 21 k .由 e1 ,得 1 k 1,即 k5 .29454∴满足条件的 k 4或 k.4k 8 与 9说明: 此题易出现漏解.排除错误的方法是:因为的大小关系不定,所以椭圆的焦点可能在x 轴上,也可能在 y 轴上.故必须进行讨论. 例 5方程x 2y 2 1表示椭圆,求k 的取值围 .k 53kk 5 0,解: 由 3 k 0,得 3 k5,且 k 4 .k 5 3 k,∴满足条件的 k 的取值围是 3k 5,且 k4 .k 5 0, 5 ,故 k 的取值围是 3 k 5.说明: 此题易出现如下错解:由k得 3 k3 0,......出错的原因是没有注意椭圆的标准方程中a b0这个条件,当 a b 时,并不表示椭圆.例 6 x2sin y 2 cos 1 (0) 表示焦点在y 轴上的椭圆,求的取值围.分析:依据条件确定的三角函数的大小关系.再根据三角函数的单调性,求出的取值围.x 2y21.因为焦点在y轴上,所以110 .解:方程可化为1cos sin1sin cos因此 sin0 且 tan1从而(,3) .24说明: (1)由椭圆的标准方程知10,10 ,这是容易无视的地方.cossin(2) 由焦点在y轴上,知a21, b 21. (3)求的取值围时,应注意题目中的条件 0cos sin例 5 动圆P过定点A3,0,且在定圆 B:x 3 2y 264的部与其相切,求动圆圆心 P 的轨迹方程.分析:关键是根据题意,列出点P 满足的关系式.解:如下图,设动圆P 和定圆 B 切于点 M .动点 P 到两定点,即定点 A3,0和定圆圆心 B3,0距离之和恰好等于定圆半径,即 PA PB PM PB BM8 .∴点 P 的轨迹是以 A , B 为两焦点,半长轴为4,半短轴长为b42327 的椭圆的方程:x2y 2 1 .167说明:此题是先根据椭圆的定义,判定轨迹是椭圆,然后根据椭圆的标准方程,求轨迹的方程.这是求轨迹方程的一种重要思想方法.2.焦半径及焦三角的应用例 1 椭圆x2y 2 1 , F1、 F2为两焦点,问能否在椭圆上找一点M,使M到左准43线 l 的距离 MN 是 MF1与 MF2的等比中项?假设存在,那么求出点M 的坐标;假设不存在,请说明理由.解:假设 M 存在,设M x1, y1,由条件得a 2 ,b 3 ,∴c 1 , e 1.∵左准线 l 的方程是 x 4 ,2∴ MN4 x 1 .又由焦半径公式知:MF 1a ex 1 2 1x 1 , MF 2a ex 12 1x 1 .222MF 2 ,∴ x 1 221x 1 21x 1 .∵ MN MF 1422整理得 5x 1232 x 1 48 0 .解之得 x 14 或 x 112 . ①5另一方面2 x 1 2 .②那么①与②矛盾,所以满足条件的点M 不存在.例 2 椭圆方程x 2 y 2 1 a b0 ,长轴端点为A 1, A 2 ,焦点为 F 1, F 2,P 是a 2b 2椭圆上一点,A 1PA 2, F 1PF 2.求:F 1PF 2 的面积〔用 a 、 b 、 表示〕.分析: 求面积要结合余弦定理及定义求角的两邻边, 从而利用 S1ab sin C 求面积.2解:如图, 设 P x , y ,由椭圆的对称性, 不妨设 P x , y ,由椭圆的对称性, 不妨设 P2 PF 1 22·PF 2 cos4c 2 .①在第一象限.由余弦定理知:F 1F 2PF 22 PF 1 由椭圆定义知:PF 1PF 22a②,那么 ② 2-①得PF 1 PF 22b 2 .1 cos故S FPF21 PF 1 PF2 sin1 2b 2sinb 2 tan.122 1 cos23.第二定义应用例 1 椭圆 x 2y 2 1的右焦点为F ,过点 A 1,3 ,点 M 在椭圆上,当 AM2MF 为1612最小值时,求点M 的坐标.分析: 此题的关键是求出离心率 e1,把 2 MF 转化为 M 到右准线的距离,从而得 2最小值.一般地,求AM1MF 均可用此法.e 1解: 由:a4 , c 2 .所以 ,右准线e2l :x 8 .过A作AQ l ,垂足为 Q ,交椭圆于M ,故 MQ 2MF .显然 AM2MF 的最小值为 AQ ,即 M 为所求点,因此y M 3 ,且M在椭圆上.故 x M 2 3 .所以M2 3,3.说明:此题关键在于未知式 AM 2 MF 中的“2〞的处理.事实上,如图,e 1,2即 MF 是 M 到右准线的距离的一半,即图中的 MQ ,问题转化为求椭圆上一点M ,使M 到 A 的距离与到右准线距离之和取最小值.例 2 椭圆x2y 21上一点P到右焦点 F2的距离为b (b 1) ,求P到左准线的距4b 2 b 2离.分析:利用椭圆的两个定义,或利用第二定义和椭圆两准线的距离求解.解法一:由x2y 21,得a2b ,c3b , e3.4b 2 b 22由椭圆定义,PF1PF22a4b ,得PF1 4b PF24b b3b.由椭圆第二定义,PF1e ,d1为 P 到左准线的距离,d1PF123b ,∴ d1e即 P 到左准线的距离为 2 3b.PF2e,d2为 P 到右准线的距离,e c3解法二:∵a ,d22PF2 2 3b .又椭圆两准线的距离为2a28 3∴ d 23c b .e3∴ P 到左准线的距离为8 3 b 2 3 b 23b.33说明:运用椭圆的第二定义时,要注意焦点和准线的同侧性.否那么就会产生误解.椭圆有两个定义,是从不同的角度反映椭圆的特征,解题时要灵活选择,运用自如.一般地,如遇到动点到两个定点的问题,用椭圆第一定义;如果遇到动点到定直线的距离问题,那么用椭圆的第二定义.例 3椭圆 x2y21有一点 A(1 , 1) , F1、 F2分别是椭圆的左、右焦点,点P 是椭95圆上一点.(1)求 PA PF1的最大值、最小值及对应的点P 坐标;(2)求 PA 3PF2的最小值及对应的点 P 的坐标.2分析:此题考查椭圆中的最值问题,通常探求变量的最值有两种方法:一是目标函数当,即代数方法.二是数形结合,即几何方法.此题假设按先建立目标函数,再求最值,那么不易解决;假设抓住椭圆的定义,转化目标,运用数形结合,就能简捷求解.解:(1) 如上图,2a 6 ,F2( 2 , 0),AF2 2 ,设 P 是椭圆上任一点,由PF1PF22a 6,PA PF2AF2,∴PA P F1PF1 PF2 AF2 2a AF2 6 2 ,等号仅当PA PF2AF2时成立,此时 P 、 A、F2共线.由 PA PF2AF2,∴ PA PF1PF1PF2AF22a AF2 62,等号仅当 PA PF2AF2时成立,此时P、 A、F2共线.建立 A 、F2的直线方程x y2x y 20,0 ,解方程组9 y2得两交点5x245P1(9152,5 152)、 P2(9 152,5 152).714714714714综上所述, P 点与P1重合时,PA PF1取最小值 6 2 ,P点与 P2重合时,PA PF2取最大值 6 2 .(2)如下列图,设P是椭圆上任一点,作PQ垂直椭圆右准线,Q为垂足,由a3,c 2 ,∴ e2PF 2 2 ,∴PQ3 .由椭圆第二定义知PQePF 2 ,∴332PA3PF 2 PA PQ ,要使其和最小需有A 、 P 、Q 共线,即求 A 到右准线距离. 右29准线方程为x.2∴ A 到右准线距离为7.此时 P 点纵坐标与 A 点纵坐标相同为 1,代入椭圆得满足条2件的点 P 坐标 (65,1).5说明:求 PA1PF 2 的最小值,就是用第二定义转化后, 过 A 向相应准线作垂线段. 巧e用焦点半径 PF 2 与点准距 PQ 互化是解决有关问题的重要手段.4.参数方程应用例 1 求椭圆x 2y 21上的点到直线 x y 6 0 的距离的最小值.3分析:先写出椭圆的参数方程,由点到直线的距离建立三角函数关系式,求出距离的最小值.解:椭圆的参数方程为x3 cos ,3 cos ,sin ,那么点到设椭圆上的点的坐标为y sin .直线的距离为3 cos sin 62sin63d.22当 sin 1时, d 最小值2 2 .3说明: 当直接设点的坐标不易解决问题时,可建立曲线的参数方程.22例 2(1)写出椭圆xy1 的参数方程; (2)求椭圆接矩形的最大面积.94分析:此题考查椭圆的参数方程及其应用. 为简化运算和减少未知数的个数, 常用椭圆的参数方程表示曲线上一点坐标,所求问题便化归为三角问题.x 3cos( R) .解: (1)2 siny(2) 设椭圆接矩形面积为S ,由对称性知,矩形的邻边分别平行于x 轴和 y 轴,设(3 cos, 2sin ) 为矩形在第一象限的顶点, (0) , 那么 S4 3cos 2 sin 12sin 2122故椭圆接矩形的最大面积为12.说明: 通过椭圆参数方程,转化为三角函数的最值问题,一般地,与圆锥曲线有关的最值问题,用参数方程形式较简便.例 3 椭圆 x2y 2 1(a b0)与 x 轴正向交于点A ,假设这个椭圆上总存在点 P ,使a 2b 2OP AP ( O 为坐标原点 ),求其离心率 e 的取值围.分析: ∵ O 、 A 为定点, P 为动点, 可以 P 点坐标作为参数, 把 OP AP ,转化为 P点坐标的一个等量关系,再利用坐标的围建立关于a 、b 、c 的一个不等式,转化为关于 e 的不等式.为减少参数,易考虑运用椭圆参数方程.x a cos 0) ,解: 设椭圆的参数方程是y b sin (a b那么椭圆上的点 P(a cos , bsin) , A(a , 0) ,∵ OPAP ,∴b sinbsin1,acosa cosa即 (a 222a 2cosb 20 ,解得 cos 1 或 cosb 2 ,b ) cosa 2b 2∵ 1cos1 ∴ cos1 〔舍去〕, 1a 2b 21 ,又 b2 a 2 c 2b 2∴ 0a 22 ,∴ e2,又 0 e 1,∴2 e 1.c 2 2 2说明: 假设椭圆离心率围(2 , 1),求证在椭圆上总存在点P 使OP AP .如何证2明?......5.相交情况下 --弦长公式的应用例 1 椭圆4x2y 21及直线y x m .〔 1〕当m为何值时,直线与椭圆有公共点?〔 2〕假设直线被椭圆截得的弦长为2 10,求直线的方程.5解:〔 1〕把直线方程y x m代入椭圆方程 4 x2y21得4x2x m 2 1 ,即 5x22mx m2 1 0 .2m 2 4 5 m2 116 m2200,解得5m5 2.2〔 2〕设直线与椭圆的两个交点的横坐标为x1,x2,由〔1〕得 x1x22m m2 1,x1x2.552m 2m212 10.解得 m根据弦长公式得: 11240 .方程为555y x .说明:处理有关直线与椭圆的位置关系问题及有关弦长问题,采用的方法与处理直线和圆的有所区别.这里解决直线与椭圆的交点问题,一般考虑判别式;解决弦长问题,一般应用弦长公式.用弦长公式,假设能合理运用韦达定理〔即根与系数的关系〕,可大大简化运算过程.例 2 长轴为12,短轴长为6,焦点在x轴上的椭圆,过它对的左焦点F1作倾斜解为A ,B 两点,求弦 AB 的长.3的直线交椭圆于分析:可以利用弦长公式 AB 1 k 2 x1 x2(1 k 2 )[( x1 x2 )2 4 x1 x2 ] 求得,也可以利用椭圆定义及余弦定理,还可以利用焦点半径来求.解: (法 1)利用直线与椭圆相交的弦长公式求解.AB1 k 2 x1 x2(1 k 2 )[( x1 x2 ) 24x1x2 ] .因为 a 6 ,b 3 ,所以c 3 3.因为焦点在 x 轴上,所以椭圆方程为x2y23 , 0) ,从而直线方程为y3x9 .361,左焦点 F ( 39由直线方程与椭圆方程联立得:13x 2 72 3x 36 8.设 x 1 , x 2 为方程两根,所以x 1 x 272 3,x 1x 2 368, k 3 ,从 而1313AB1 k2 x 1 x 2(1 k 2 )[( x 1 x 2 )2 4x 1x 2 ]48 .13( 法 2)利用椭圆的定义及余弦定理求解.由 题 意 可 知 椭 圆 方 程 为x 2y 2 1,设 AF 1 m , BF 1 n , 那么 AF 212 m ,369BF 212 n .AF 1 F 2AF 2 22 F 1 F 2 22 AF 1 F 1F 2 cos在中,AF 1, 即13 (12 m) 2m 236 3 2 m 63 ;2所以 m6BF 1F 2 中,用余弦定理得 n6,所以 AB m n48 4.同理在43.313( 法 3)利用焦半径求解.先根据直线与椭圆联立的方程13x 2 72 3x 36 80 求出方程的两根1 ,2 ,它们分x x别是 A , B 的横坐标.再根据焦半径AF 1a ex 1, BF 1 a ex 2 ,从而求出 ABAF 1BF 16.相交情况下 —点差法的应用例 1 中心在原点,焦点在x 轴上的椭圆与直线 x y 10交于 A 、B 两点, M 为AB 中点, OM 的斜率为 ,椭圆的短轴长为2,求椭圆的方程.解: 由题意,设椭圆方程为x 2 y 2 1,a 2x y 1 0222由x 2,得 1a x2a x0 ,y 21a 2∴ x Mx 1x 2 1 a 21 x M1 2,2a 2, yM1 ay M 11 24 ,OM2,∴2 ∴xy 2 1 为所求.4说明:〔 1〕此题求椭圆方程采用的是待定系数法; 〔 2〕直线与曲线的综合问题,经常要借用根与系数的关系,来解决弦长、弦中点、弦斜率问题.例 2 椭圆x 2 y2 1 ,求过点 P1 1 且被 P 平分的弦所在的直线方程.22,2分析一: 一点求直线,关键是求斜率,故设斜率为k ,利用条件求 k .解法一: 设所求直线的斜率为k ,那么直线方程为 y1 1 .代入椭圆方程,并2k x2整理得1 2k2 x 22k 2 2k x 1k 2k3 0 .2 2由韦达定理得 x 1 x 22k 2 2k .12k 2∵ P 是弦中点,∴ x 1x 2 1.故得 k1 .2所以所求直线方程为 2 x 4y 3 0 .分析二: 设弦两端坐标为x 1, y 1 、 x 2, y 2 ,列关于 x 1 、 x 2 、 y 1 、 y 2 的方程组,从而求斜率:y 1y 2 . x 1x 2P 1 1 A x 1, y 1 、 B x 2, y 2解法二: 设过 2 , 的直线与椭圆交于 ,那么由题意得2x 12 y 12 1,①2x 22 y 22 1, ②2 1,x 1 x 2 ③ y 1 y 2 1.④①-②得x 12x 22y 12 y 22 0 .⑤2将③、④代入⑤得 y 1 y 21,即直线的斜率为1 .x 1 x 222所求直线方程为2x 4 y 30 .. ... ..说明:( 1〕有关弦中点的问题,主要有三种类型:过定点且被定点平分的弦;平行弦的中点轨迹;过定点的弦中点轨迹.( 2〕解法二是“点差法〞 ,解决有关弦中点问题的题较方便,要点是巧代斜率.( 3〕有关弦及弦中点问题常用的方法是: “韦达定理应用〞及“点差法〞 .有关二次曲线问题也适用.例 3 椭圆x 2 y 21 ,〔 1〕求过点 P1 1且被 P 平分的弦所在直线的方程;22 ,2( 2〕求斜率为 2 的平行弦的中点轨迹方程;( 3〕过 A 2,1 引椭圆的割线,求截得的弦的中点的轨迹方程;〔 4〕椭圆上有两点P 、 Q , O 为原点,且有直线 OP 、 OQ 斜率满足 k OP k OQ1 ,2求线段 PQ 中点 M 的轨迹方程.分析: 此题中四问都跟弦中点有关,因此可考虑设弦端坐标的方法.解: 设弦两端点分别为 M x 1, y 1 , N x 2, y 2 ,线段 MN 的中点 R x , y ,那么2 2①-②得 xxx x2 yyyy0 .x 1 2y 12①1212121 2,2 2,②由题意知 x 1x 2 ,那么上式两端同除以x 1x 2 ,有x 2 2y 22y 1y 2,③ x 1x 2 2 y 1,x 1 x 22x,④y2 x 1x 2y 1 y 22y2yy1y 2 0 .⑤将③④代入得 xx 1x 2〔 1〕将 x1 ,y 1 代入⑤,得 y 1y 21,故所求直线方程为:2x 4y 3 0 . ⑥22x 1 x 2 2将⑥代入椭圆方程x 2 2 y 2 2 得 6 y 2 6y1 0,3646 1 0 符合题意,442x 4y 3 0 为所求.〔 2〕将y 1y 2 2代入⑤得所求轨迹方程为:x 4 y 0 .〔椭圆局部〕x 1x 2〔 3〕将y 1y 2 y1代入⑤得所求轨迹方程为: x 2 2 y 2 2x 2 y 0 .〔椭圆部x 1x 2x 2分〕〔 4〕由①+②得:x 12 x 22y 12 y 22 2, ⑦,将③④平方并整理得2. ... ..x 12 x 22 4x 2 2x 1 x 2 ,⑧,y 12 y 22 4 y 2 2 y 1 y 2 ,⑨将⑧⑨代入⑦得:4x 22x 1 x 2 4 y 2 2y 1 y 22 ,⑩4再将 y 1 y 21x 1 x 2 代入⑩式得:2x 2x 1x 2 4 y 221x 1x 22 ,即22x 2y 211.2此即为所求轨迹方程.当然,此题除了设弦端坐标的方法,还可用其它方法解决.例 4x 2 y 24x m ,椭圆 C椭圆 C :1,试确定 m 的取值围, 使得对于直线 l : y43上有不同的两点关于该直线对称.分析: 假设设椭圆上A ,B 两点关于直线 l 对称,那么条件等价于:(1) 直线 ABl ; (2)弦 AB 的中点 M 在 l 上.利用上述条件建立m 的不等式即可求得 m 的取值围.解:(法 1) 设椭圆上 A( x 1 , y 1 ) ,B( x 2 , y 2 ) 两点关于直线 l 对称,直线 AB 与 l 交于 M ( x 0 , y 0 )点.y1 n ,∵ l 的斜率 k l4 ,∴设直线 AB 的方程为 y1 x n .由方程组xx 24 消去 y 得4y241,313 x 2 8nx 16n 2 48 0① 。
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解:如图,设 Px,y,由椭圆的对称性,不妨设 Px,y,由椭圆的对称性,不妨设 P 在第一
象限.由余弦定理知:
F1F2 2 PF1 2 PF2 2 2 PF1 · PF2 cos 4c2 .①
由椭圆定义知: PF1 PF2 2a ②,则 ②2-① 得
PF1
PF2
2b2 1 cos
.
S 故 F1PF2
得
3
k
5
,故
k
的取值范围是
3
k
5
.
出错的原因是没有注意椭圆的标准方程中 a b 0 这个条件,当 a b 时,并不表示椭圆.
例 4 已知 x2 sin y2 cos 1 (0 ) 表示焦点在 y 轴上的椭圆,求 的取值范围.
1
分析:依据已知条件确定 的三角函数的大小关系.再根据三角函数的单调性,求出 的取值范
1 2
PF1
PF2
sin
1 2b2 sin 2 1 cos
b2 tan . 2
3.第二定义应用
例 1
x2
椭圆
y2
1的右焦点为 F ,过点 A 1,3
,点 M
在椭圆上,当
AM
2 MF
为最小值
16 12
时,求点 M 的坐标.
分析:本题的关键是求出离心率 e 1 ,把 2 MF 转化为 M 到右准线的距离,从而得最小 2
当椭圆的焦点在 y 轴上时, a2 9 , b2 k 8 ,得 c2 1 k .
由e
1
1 k
,得
1
,即 k
5
.
2
94
4
∴满足条件的 k 4 或 k 5 . 4
说明:本题易出现漏解.排除错误的办法是:因为 k 8 与 9 的大小关系不定,所以椭圆的焦
点可能在 x 轴上,也可能在 y 轴上.故必须进行讨论.
∴ MN 4 x1 .
又由焦半径公式知:
MF1
a ex1
2
1 2
x1
,
MF2
a ex1
2
1 2
x1
.
∵
MN
2
MF1
MF2
,∴ x1
42
2
1 2
x1
2
1 2
x1
.
2
整理得 5x12 32x1 48 0 .
解之得
x1
4
或
x1
12 5
.
①
另一方面 2 x1 2 .
②
则①与②矛盾,所以满足条件的点 M 不存在.
椭圆的标准方程为: x2 y2 1 ; 4 16
说明:椭圆的标准方程有两个,给出一个顶点的坐标和对称轴的位置,是不能确定椭圆的横竖 的,因而要考虑两种情况.
例 2 已知椭圆 x2 y2 1 的离心率 e 1 ,求 k 的值.
k 8 9
2
分析:分两种情况进行讨论.
解:当椭圆的焦点在 x 轴上时, a2 k 8 , b2 9 ,得 c 2 k 1.由 e 1 ,得 k 4 . 2
cos
sin
件0
例 5 已知动圆 P 过定点 A 3,0,且在定圆 B:x 32 y2 64 的内部与其相内切,
求动圆圆心 P 的轨迹方程.
分析:关键是根据题意,列出点 P 满足的关系式.
解:如图所示,设动圆 P 和定圆 B 内切于点 M .动点 P 到两定点,
即定点 A 3,0和定圆圆心 B3,0距离之和恰好等于定圆半径,
值.一般地,求 AM 1 MF 均可用此法. e
解:由已知: a 4 , c 2 .所以 e 1 ,右准线
.
2
l:x 8
过 A 作 AQ l ,垂足为 Q ,交椭圆于 M ,故
MQ 2 MF
.显然 AM 2 MF 的最小值为 AQ ,即 M 为所求点, yM 3 ,且 M 在椭圆上.故 xM 2 3 .所以
例2
已知椭圆方程
x2 a2
y2 b2
1a
b
0,长轴端点为
A1 ,
A2 ,焦点为 F1 , F2 ,
P 是椭圆上一点, A1PA2 , F1PF2 .求: F1PF2 的面积(用 a 、 b 、 表
示).
分析:求面积要结合余弦定理及定义求角
的两邻边,从而利用
S
1 2
ab sin C
求面
积.
(b 1) ,求 P 到左准线的距离.
分析:利用椭圆的两个定义,或利用第二定义和椭圆两准线的距离求解.
围.
x2
解:方程可化为
y2
1.因为焦点在 y 轴上,所以
1
1
0.
1
1
cos sin
sin cos
因此 sin
0 且 tan
1
从而
(
,
3).
24
1
说明:(1)由椭圆的标准方程知
0,
1
0 ,这是容易忽视的地方.
sin
cos
(2)由焦点在 y 轴上,知 a2 1 , b2 1 . (3)求 的取值范围时,应注意题目中的条
因此
M 2 3,3
.
说明:
本题关键在于未知式
AM
2 MF
中的“2”的处理.事实上,如图, e
1
,即
MF
பைடு நூலகம்
是M
到右
2
3
准线的距离的一半,即图中的 MQ ,问题转化为求椭圆上一点 M ,使 M 到 A 的距离与到右准线
距离之和取最小值.
例2
x2
已知椭圆
4b 2
y2 b2
1 上一点 P 到右焦点 F2 的距离为 b
1.椭圆第一定义的应用
椭圆经典例题分类汇总
例 1 椭圆的一个顶点为 A2,0,其长轴长是短轴长的 2 倍,求椭圆的标准方程.
分析:题目没有指出焦点的位置,要考虑两种位置.
解:(1)当 A2,0为长轴端点时, a 2 , b 1,
椭圆的标准方程为: x2 y2 1 ; 41
(2)当 A2,0为短轴端点时, b 2 , a 4 ,
例 3 已知方程 x2 y2 1表示椭圆,求 k 的取值范围. k 5 3k
k 5 0, 解:由 3 k 0, 得 3 k 5 ,且 k 4 .
k 5 3 k, ∴满足条件的 k 的取值范围是 3 k 5 ,且 k 4 .
说明:本题易出现如下错解:由
k 3
5 k
0, 0,
例1
已知椭圆
x2 4
y 3
2
1,
F1 、
F2 为两焦点,问能否在椭圆上找一点 M
,使
M
到左准线 l
的距
离
M
M的N坐标是;M若F1不与存M在F,2 请的说等明比理中由项.?若存在,则求
出点
解:假设 M a 2,b
存在,设 M 3 ,∴ c
1x,1,ey1 1,.由已知条件
得
2
∵左准线 l 的方程是 x 4 ,
即 PA PB PM PB BM 8 .∴点 P 的轨迹是以 A , B 为两焦点,
半长轴为 4,半短轴长为 b 42 32 7 的椭圆的方程: x2 y2 1 . 16 7
说明:本题是先根据椭圆的定义,判定轨迹是椭圆,然后根据椭圆的标准方程,求轨迹的方程.这 是求轨迹方程的一种重要思想方法. 2.焦半径及焦三角的应用