-泰勒公式

介于x与x0之间)
注：(1)拉格朗日型余项Rn (x) o (x x0)n
称Rn (x) o (x x0)n 为佩亚诺型余项；
f (x)
f (x0 )
f
'(x0 )(x x0 )
f
''( x0 2!
)
(
x
x0
)2
L
f
(n) ( x0 n!
)
(
x
x0
)n
o
(
x
x0
)n
.
f (x)按(x x0 )的幂展开的 带佩亚诺型余项的泰勒公式
(1)Pn (x0 ) f (x0 ); Pn '(x0 ) f '(x0 ); Pn ''(x0 ) f ''(x0 ); L Pn(n) (x0 ) f (n) (x0 ).
a0 f (x0 ); a1 f '(x0 ); 2!a2 f ''(x0 );
L n!an f (n) (x0 ).
缺陷：(1)精确度不高； (2)没有给出误差的估计式.
设f (x)在含x0的开区间内有直到(n 1)阶导数.
问题：
(1) f (x) Pn (x) a0 a1(x x0 ) a2 (x x0 )2 L an (x x0 )n ?
(2) f (x) Pn (x) o (x x0)n ? 给出误差的具体表达式？
a0
f (x0 ), a1
f
'(x0 ), a2
f
''(x0 ) ,L 2!
, an
f (n) (x0 ) . n!
Pn (x)
f (x0 )
f
'(x0 )(x x0 )
f
''(x0 2!
)
(x
x0
)2
L
f
(n) (x0 n!
)
(x
x0
)n.
f (x)按(x x0 )的幂展开的带拉格
泰勒中值定理：朗日型余项的n阶泰勒公式
x f
f (nx10)
()2x(!0) )fx22M(x!0,则) (x有误fx(0nn差))!(20估) 计xn式
f
(
n) (x0 ) (x n ! Rn (x)
x0
)n Mf((nn1x)1()n!)1
(n 1) !
(x x0 )n1
( 在 x0 与
x
之间)
麦克劳林 目录 上页 下页 返回 结束
1.求f (x) ex带拉格朗日型余项的n阶麦克劳林公式.
解：f (x) f '(x) f ''(x) L f (n) (x) ex.
于是，f (0) f '(0) f ''(0) L f (n) (0) 1.
f (n1) ( x) e x.
ex 1 x 1 x2 1 x3 L 1 xn e x xn1.(0 1)
ln
n
n
1 2
lim
n
ln nLeabharlann Baidu
1
n2
0
例3 目录 上页 下页 返回 结束
§3-3 泰勒公式
f (x)在x0点可导，则
f (x) f (x0) f '(x0)(x x0) o(x x0). f (x) f (x0) f '(x0)(x x0) o(x x0).
f (x) f (x0 ) f '(x0 )(x x0 ).
例12. 求 lim n ( n n 1).
n
0型
法1 用洛必达法则 11
分析: 为用洛必达法则 , 必须改求 lim x2 (x x 1).
x
但对本题用此法计算很繁 !
法2
原式
11
lim n2 (nn 1)
n
lim
n
1
en
ln n
1
n
1 2
n
n
e
1 n
ln
n
1
eu 1～ u
lim
n
1 n
(2)是微分中值定理的推广;
(3)在泰勒公式中若取 x0 0 则有
f (0) f (0)x f (0) x2
f (n) (0) xn
2!
n!
称为麦克劳林（ Maclaurin ）公式 .
由此得近似公式
f (x) f (0) f (0)x
若在f (公x) 式 成f (立x0的) 区f间(x上0 )(
f (x)在含x0的某个开区间(a,b)内具有直到 (n 1)阶的导数.
对x (a,b),有
f (x)
f (x0 )
f
'(x0 )(x x0 )
f
''( x0 2!
)
(x
x0
)2
L
f
(n) ( x0 n!
)
(
x
x0
)n
Rn
(
x).
其中，Rn (x)
f (n1) (n
1)!
(
x
x0
)n1.(
2 x2m1.(0 1)
(2m 1)!
作业： 第143页：5.
2! 3!
n! (n 1)!
ex 1 x 1 x2 1 x3 L 1 xn
2! 3!
n!
2.写出f (x) sin x带拉格朗日型余项的 n(n 2m)阶麦克劳林公式.
sin x
x
x3 3!
x5 -L 5!
(1)m1
x2m1 (2m 1)!
R2m
sin( x (2m 1) )
其中，R2m＝