(可用)11-1排列组合
高中数学排列组合公式大全_高中数学排列组合重点知识
高中数学排列组合公式大全_高中数学排列组合重点知识1.排列及计算公式从n个不同元素中，任取mm≤n个元素按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列;从n个不同元素中取出mm≤n个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号 pn,m表示.pn,m=nn-1n-2……n-m+1= n!/n-m!规定0!=1.2.组合及计算公式从n个不同元素中，任取mm≤n个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合;从n个不同元素中取出mm≤n个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数.用符号cn,m 表示.cn,m=pn,m/m!=n!/n-m!*m!;cn,m=cn,n-m;3.其他排列与组合公式从n个元素中取出r个元素的循环排列数=pn,r/r=n!/rn-r!.n个元素被分成k类，每类的个数分别是n1,n2,...nk这n个元素的全排列数为n!/n1!*n2!*...*nk!.k类元素,每类的个数无限,从中取出m个元素的组合数为cm+k-1,m.排列Pnmn为下标，m为上标Pnm=n×n-1....n-m+1;Pnm=n!/n-m!注：!是阶乘符号;Pnn两个n分别为上标和下标=n!;0!=1;Pn1n为下标1为上标=n组合Cnmn为下标，m为上标Cnm=Pnm/Pmm ;Cnm=n!/m!n-m!;Cnn两个n分别为上标和下标 =1 ;Cn1n为下标1为上标=n;Cnm=Cnn-m加法乘法两原理，贯穿始终的法则。
与序无关是组合，要求有序是排列。
两个公式两性质，两种思想和方法。
归纳出排列组合，应用问题须转化。
排列组合在一起，先选后排是常理。
特殊元素和位置，首先注意多考虑。
不重不漏多思考，捆绑插空是技巧。
排列组合恒等式，定义证明建模试。
关于二项式定理，中国杨辉三角形。
两条性质两公式，函数赋值变换式。
1.计数原理知识点①乘法原理：N=n1·n2·n3·…nM 分步②加法原理：N=n1+n2+n3+…+nM 分类2. 排列有序与组合无序Anm=nn-1n-2n-3…n-m+1=n!/n-m! Ann =n!Cnm = n!/n-m!m!Cnm= Cnn-m Cnm+Cnm+1= Cn+1m+1 k•k!=k+1!-k!3.排列组合混合题的解题原则：先选后排，先分再排排列组合题的主要解题方法：优先法：以元素为主，应先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素. 以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置.捆绑法集团元素法，把某些必须在一起的元素视为一个整体考虑插空法解决相间问题间接法和去杂法等等在求解排列与组合应用问题时，应注意：1把具体问题转化或归结为排列或组合问题;2通过分析确定运用分类计数原理还是分步计数原理;3分析题目条件，避免“选取”时重复和遗漏;4列出式子计算和作答.经常运用的数学思想是：①分类讨论思想;②转化思想;③对称思想.4.二项式定理知识点：①a+bn=Cn0ax+Cn1an-1b1+ Cn2an-2b2+ Cn3an-3b3+…+ Cnran-rbr+…+ Cn n-1abn-1+ Cnnbn特别地：1+xn=1+Cn1x+Cn2x2+…+Cnrxr+…+Cnnxn②主要性质和主要结论：对称性Cnm=Cnn-m最大二项式系数在中间。
111排列组合-中职高考数学一轮复习(练)
11.1 排列、组合一、选择题1．计算3746A C 的结果是（ ）A ．28B ．14C ．143 D ．73【答案】B【解析】33774266A A 7651465C C 2⨯⨯===⨯，故选：B. 2．从5本不同的书中选出3本分别送3位同学每人一本，不同的方法总数是（ ） A ．10 B ．60 C ．243 D ．15【答案】B【解析】不同的方法总数是35A 54360=⨯⨯=，故选：B ．3．某高中政治组准备组织学生进行一场辩论赛，需要从6位老师中选出3位组成评审委员会，则组成该评审委员会不同方式的种数为（ ） A ．15 B ．20 C ．30 D ．120【答案】B【解析】由题意，组成该评审委员会不同方式的种数为36C 20=种，故选：B. 4．甲､乙、丙三人排成一排去照相，甲不站在排头的所有排列种数为（ ） A ．6 B ．4 C ．8 D ．10【答案】B【解析】先排甲，有2种方法，然后乙和丙全排列即可，所以共有222A 4=种排法，故选：B.5．某展馆将5件相同的纪念品分别赠送给前来参观的3位游客，每人至少1件，则不同的赠送方案数共有（ ） A ．6B ．9C ．12D ．24【答案】A【解析】因为纪念品相同，而游客不同，所以以游客为对象分类：第一种情况，一位游客得一个纪念品，其余两位游客每人二个纪念品，共有13C 3=种；第二种情况，一位游客得三个纪念品，其余两位游客各一个纪念品，共有13C 3=种.共计6种赠送方案，故选：A.6．3名男生，2名女生站成一排照相，则2名女生相邻且都不站在最左端的不同的站法共有（ ） A ．72种 B ．64种 C ．48种 D ．36种【答案】D【解析】将2名女生捆绑在一起，故2名女生相邻有22A 种站法，又2名女生都不站在最左端，故有13A 种站法，剩下3个位置，站3名男生有33A 种站法，故不同的站法共有213233A A A 36=种，故选：D. 7．要将4个不同的礼物分给3位同学，每人至少1个，不同分法的种数是（ ） A ．36 B ．48 C ．64 D ．72【答案】A【解析】由题可知，有1位同学分得两个礼物，其他2为同学各得一个，可以先从4个礼物种挑出2个，将礼物分为3份，与3位同学进行全排列，故不同分法的种数是2343C A 36=，故选：A.8．北京冬季奥运会期间，从3名男志愿者和2名女志愿者中选4名去支援“冰壶”“花样滑冰”“短道速滑”三项比赛志愿者工作，其中冰壶项目需要一男一女两名，花样滑冰和短道速滑各需要一名，男女不限．则不同的支援方法的种数是（ ） A ．36 B ．24 C ．18 D ．42【答案】A【解析】第一步从3名男志愿者和2名女志愿者各选一名志愿者去支援冰壶项目，选法共有1132C C 6=种；第二步从剩余的3人中选一人去支援花样滑冰，选法共有13C 3=种；第三步从剩余的2人中选一人去支援短道速滑，选法共有12C 2=种；依据分步乘法计数原理可知，不同的支援方法的种数是632=36⨯⨯，故选：A .9．有互不相同的5盆菊花，其中2盆为白色，2盆为黄色，1盆为红色，现要摆成一排，要求红色菊花摆放在正中间，白色菊花不相邻，黄色菊花也不相邻，则共有摆放方法（ ）A ．120种B ．32种C ．24种D ．16种【答案】D【解析】红色左边放一盆白色，一盆黄色，右边放一盆白色，一盆黄色，先选左边，白色二选一，黄色二选一，再进行排列，故有112222C C A 种选法，再考虑后边，剩余的白色和黄色进行排列即可，有22A 种选法，综上：一共有摆放方法112222C C A 22A =16种，故选：D.10．某校为庆祝建党一百周年，要安排一场共11个节目的文艺晚会，除第1个节目和最后一个节目已经确定外，3个音乐节目要求排在2，6，9的位置，3个舞蹈节目必须相邻，3个曲艺节目没有要求，共有不同的演出顺序（ ）种 A ．144 B ．192 C ．216 D ．324【答案】C【解析】①先排3个音乐节目有33A 种排法，共6种排法；②再排3个舞蹈节目只能排3、4、5位置，共336A =种排法；③再排3个曲艺节目，共336A =种排法；∴由分步乘法记数原理有666216⨯⨯=种排法，故选：C ．二、填空题11．现有3位教师要带3个班级外出参加志愿者服务，要求每个班级配一位教师带队，则不同的带队方案的种数为 . 【答案】6【解析】将3位教师安排给3个班级可得不同的带队方案有：336A =种，故答案为：6．12．某学校拟邀请5位学生家长中的3位参加一个座谈会，其中甲同学家长必须参加，则不同的邀请方法有 种. 【答案】6【解析】甲同学家长必须参加，则还需从剩下的4位家长中选2位，方法数为24C 6=，故答案为：6．13．电视台在电视剧开播前连续播放6个不同的广告，其中4个商业广告，2个公益广告，现要求2个公益广告不能连续播放，则不同的播放方式共有 种．（用排列数回答） 【答案】4245A A【解析】先把4个商业广告排好顺序，共有44A 种方法，再把2个公益广告插入5个空（包括两头）中， 根据分步乘法计数原理，共有4245A A 种方法，故答案为：4245A A ．14．某班从3名男同学和5名女同学中，选取3人参加学校的“创文知识"竞赛，要求男女生都有，则不同的选法共有 种． 【答案】45【解析】在所有组合中排除全为男生和全为女生的情况，则共有333853C C C 45--=种，故答案为：45．15．有四个运动员，报名参加三个比赛项目，若每人限报一项，且每项至少一人报名，共有 不同的报名方法． 【答案】36【解析】1、将4人分成三组：任选其中两人为一组24C 种；2、每组选一个比赛项目：三组人员全排列有33A 种，∴共有234336C A =种，故答案为：36．16．由0，1，4，5，6五个数能形成无重复数字三位偶数的个数为 . 【答案】30【解析】当个位数字为0时，有2412A =个，当个位数字不为0时，有11123318A A A ⋅⋅=个，所以能形成无重复数字三位偶数的个数为121830+=，故答案为：30．17．某年级举办线上小型音乐会，由6个节目组成，演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前两位，节目丙必须排在节目乙的下一个，则该小型音乐会节目演出顺序的编排方案共有 种.(用数字作答) 【答案】42【解析】由题意知，甲的位置影响乙的排列，∴①甲排在第一位共有4424A =种，②甲排在第二位共有133318A A =种，∴故编排方案共有241842+=种，故答案为：42．18．将4张不同的博物馆的参观票分给5名同学，每名同学至多1张，并且票必须分完，那么不同的分法的种数为 个. 【答案】120【解析】由题意，从5名同学中选取4名同学，然后每一名同学分一张参观票，所以不同的分法种数为445454321120C A =⨯⨯⨯⨯=，故答案为：120.三、解答题19．5个人排成一排，在下列情况下，各有多少种不同排法？ （1）甲不在排头，也不在排尾； （2）甲、乙、丙三人必须在一起. 【答案】(1)72；(2)36【解析】解：(1)若甲不在排头，也不在排尾，先从3个位置选一个安排甲，再对剩下的4人全排列，即排列的方法有：1434A A =72种；(2)甲、乙、丙三人必须在一起，先对甲乙丙三人全排列，再与剩下两人全排列，即排列的方法有：3333A A =36种．20．平面内有A 、B 、C 、D 共4个点．（1）以其中2个点为端点的有向线段共有多少条？ （2）以其中2个点为端点的线段共有多少条？ 【答案】(1)12；(2)6【解析】解：（1）每2个点为端点的有向线段有2条，故满足条件的有向线段条数为24A 4312=⨯=.（2）每2个点为端点的线段只有1条，故满足条件线段条数为2443C 62⨯==．21．高二年级数学课外小组10人:（1）从中选一名正组长和一名副组长，共有多少种不同的选法? （2）从中选2名参加省数学竞赛，有多少种不同的选法? 【答案】（1）90；（2）45【解析】解：（1）选一名正组长和一名副组长，因为正组长与副组长属于不同的职位，所以应该用排列，21090A =.（2）选2名参加省数学竞赛，都是同样参加数学竞赛，所以应该用组合，21045C =．22．为加强精准扶贫工作，某地市委计划从8名处级干部（包括甲、乙、丙三位同志）中选派4名同志去4个贫困村工作，每村一人，问：（1）甲、乙必须去，但丙不去的不同选派方案有多少种？（2）甲必须去，但乙和丙都不去的不同选派方案有多少种？（3）甲、乙、丙都不去的不同选派方案有多少种？【答案】（1）240（2）240（3）120【解析】解:(1)甲，乙必须去，但丙不去的选派方案种数为：2454240C P⋅=；(2)甲必须去，但乙和丙都不去的选派方案种数为：3454240C P⋅=；(3)甲、乙、丙都不去的选派方案种数为4454120C P⋅=．23．有政治、历史、地理、物理、化学、生物这6门学科的学业水平考试成绩，现要从中选3门成绩.（1）共有多少种不同的选法？（2）如果物理和化学恰有1门被选，那么共有多少种不同的选法？（3）如果物理和化学至少有1门被选，那么共有多少种不同的选法.【答案】（1）20；（2）12；（3）16【解析】解：（1）从6门成绩中选3门成绩共有3620C=种不同的选法；（2）如果物理和化学恰有1门被选，则共有122412C C=种不同的选法；（3）如果物理和化学至少有1门被选，则共有1221242412416C C C C+=+=种不同的选法．24.有5名同学站成一排拍照．（1）若甲乙必须站一起，则共有多少种不同的排法？（2）若最左端只能排甲或乙，且最右端不能排甲，则共有多少种不同的排法？（3）求出现甲必须站正中间，并且乙、丙两位同学不能相邻的排法？【答案】（1）48；（2）42；（3）16【解析】解：（1）将甲乙捆绑在一起，故方法数有242448A A⨯=种.（2）如果甲排左端，则方法数有4424A=种；如果乙排左端，则方法数有133318A A⨯=种.故总的方法数有241842+=种.（3）按照甲、乙、丙、其他三个同学的顺序进行安排，所以方法数有1112142216A A A A⨯⨯⨯=种．。
(新)高中数学排列组合公式排列组合计算公式(供参考)
排列组合公式/排列组合计算公式排列P------和顺序有关组合C -------不牵涉到顺序的问题排列分顺序,组合不分例如把5本不同的书分给3个人,有几种分法. "排列"把5本书分给3个人,有几种分法"组合"1．排列及计算公式从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列；从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号 p(n,m)表示.p(n,m)=n(n-1)(n-2)……(n-m+1)= n!/(n-m)!(规定0!=1).2．组合及计算公式从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合；从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数.用符号c(n,m) 表示.c(n,m)=p(n,m)/m!=n!/((n-m)!*m!)；c(n,m)=c(n,n-m);3．其他排列与组合公式从n个元素中取出r个元素的循环排列数＝p(n,r)/r=n!/r(n-r)!.n个元素被分成k类，每类的个数分别是n1,n2,...nk这n个元素的全排列数为n!/(n1!*n2!*...*nk!).k类元素,每类的个数无限,从中取出m个元素的组合数为c(m+k-1,m).排列（Pnm(n为下标，m为上标)）Pnm=n×（n-1）....（n-m+1）；Pnm=n！/（n-m）！（注：！是阶乘符号）；Pnn （两个n分别为上标和下标） =n！；0！=1；Pn1（n为下标1为上标）=n组合（Cnm(n为下标，m为上标)）Cnm=Pnm/Pmm ；Cnm=n！/m！（n-m）！；Cnn（两个n分别为上标和下标） =1 ；Cn1（n为下标1为上标）=n；Cnm=Cnn-m2008-07-08 13:30公式P是指排列，从N个元素取R个进行排列。
2023版高考数学一轮总复习11-1随机事件古典概型与几何概型课件
Ω的几何度量
考法一 古典概型概率的求法 1.求解古典概型概率的步骤
2.基本事件个数的确定方法 1)列举法:此法适合于基本事件个数较少的古典概型. 2)列表法:此法适合于从多个元素中选定两个元素的试验,也可看成坐标 法.
3)画树状图法:画树状图法是进行列举的一种常用方法,适用于有顺序的 问题及较复杂问题中基本事件个数的探求. 4)运用排列组合知识计算.
A39 7
答案 D
创新 生活中的概率问题 1.概率问题常与生活实际或数学文化相结合,主要考查学生的逻辑推 理、数据分析、数学抽象等核心素养. 2.解决这类问题的关键:①认真审题,把握信息;②弄清提供的问题情境的 意义;③抽象转化成数学问题,应用熟悉的数学知识解决.
例1 (2021湖南湘潭一模,7)德国心理学家艾宾浩斯研究发现,遗忘在学习 之后立即开始,而且遗忘的进程并不是均匀的.最初遗忘速度很快,以后逐 渐减慢.他认为“保持和遗忘是时间的函数”.他用无意义音节(由若干音 节字母组成,能够读出,但无内容意义,即不是词的音节)作为记忆材料,用 节省法计算保持和遗忘的数量,并根据试验结果绘成描述遗忘进程的曲 线,即著名的艾宾浩斯遗忘曲线(如图所示).若一名学生背了100个英语单 词,一天后,该学生在这100个英语单词中随机听写2个英语单词,以频率代 替概率,不考虑其他因素,则该学生恰有1个单词不会的概率大约为 ( )
m=5+4+3+2+1=15,则取到的整数十位数字比个位数字大的概率P= m =15
n 25
=3.
5
答案 B
考法二 几何概型概率的求法
例2 (2021辽宁辽南协作体联考,9)1876年4月1日,加菲尔德在《新英格兰 教育日志》上发表了勾股定理的一种证明方法,即在如图的直角梯形 ABCD中,利用“两个全等的直角三角形和一个等腰直角三角形的面积之 和等于直角梯形的面积”,可以简洁明了地推证出勾股定理.1881年加菲 尔德就任美国第二十任总统.后来,人们为了纪念他对勾股定理直观、易 懂的证明,就把这一证明方法称为“总统证法”.如图,设∠ECB=60°,在梯 形ABCD中随机取一点,则此点取自等腰直角△CDE(阴影部分)中的概率 是() A.2(2- 3 ) B.2- 3 C. 3 -1 D.2( 3-1)
排列组合公式
在介绍排列组合方法之前我们先来了解一下基本的运算公式！C5取3＝（5×4×3）/（3×2×1） C6取2＝（6×5）/（2×1）通过这2个例子看出CM取N 公式是种子数M开始与自身连续的N个自然数的降序乘积做为分子。
以取值N的阶层作为分母P53＝5×4×3 P66＝6×5×4×3×2×1通过这2个例子PMN＝从M开始与自身连续N个自然数的降序乘积当N＝M 时即M的阶层排列、组合的本质是研究“从n个不同的元素中，任取m (m ≤n)个元素，有序和无序摆放的各种可能性”.区别排列与组合的标志是“有序”与“无序”.解答排列、组合问题的思维模式有二：其一是看问题是有序的还是无序的？有序用“排列”，无序用“组合”；其二是看问题需要分类还是需要分步？分类用“加法”，分步用“乘法”.分类：“做一件事，完成它可以有n类方法”，这是对完成这件事的所有办法的一个分类.分类时，首先要根据问题的特点确定一个适合于它的分类标准，然后在这个标准下进行分类；其次，分类时要注意满足两条基本原则：①完成这件事的任何一种方法必须属于某一类；②分别属于不同两类的两种方法是不同的方法.分步：“做一件事，完成它需要分成n个步骤”，这是说完成这件事的任何一种方法，都要分成n个步骤.分步时，首先要根据问题的特点，确定一个可行的分步标准；其次，步骤的设置要满足完成这件事必须并且只需连续完成这n个步骤后，这件事才算最终完成.两个原理的区别在于一个和分类有关，一个与分步有关.如果完成一件事有n类办法，这n类办法彼此之间是相互独立的，无论那一类办法中的那一种方法都能单独完成这件事，求完成这件事的方法种数，就用加法原理；如果完成一件事需要分成n个步骤，缺一不可，即需要依次完成所有的步骤，才能完成这件事，而完成每一个步骤各有若干种不同的方法，求完成这件事的方法种类就用乘法原理.在解决排列与组合的应用题时应注意以下几点：1．有限制条件的排列问题常见命题形式：“在”与“不在”“邻”与“不邻”在解决问题时要掌握基本的解题思想和方法：⑴“相邻”问题在解题时常用“合并元素法”，可把两个以上的元素当做一个元素来看，这是处理相邻最常用的方法.⑵“不邻”问题在解题时最常用的是“插空排列法”.⑶“在”与“不在”问题，常常涉及特殊元素或特殊位置，通常是先排列特殊元素或特殊位置.⑷元素有顺序限制的排列，可以先不考虑顺序限制，等排列完毕后，利用规定顺序的实情求出结果.2．有限制条件的组合问题，常见的命题形式：“含”与“不含”“至少”与“至多”在解题时常用的方法有“直接法”或“间接法”.3．在处理排列、组合综合题时，通过分析条件按元素的性质分类，做到不重、不漏，按事件的发生过程分步，正确地交替使用两个原理，这是解决排列、组合问题的最基本的，也是最重要的思想方法.*****************************************************************************提供10道习题供大家练习1、三边长均为整数，且最大边长为11的三角形的个数为（ C ）(A)25个 (B)26个 (C)36个 (D)37个------------------------------------------------------【解析】根据三角形边的原理两边之和大于第三边，两边之差小于第三边可见最大的边是11则另外两边之和不能超过22 因为当三边都为11时是两边之和最大的时候因此我们以一条边的长度开始分析如果为11，则另外一个边的长度是11，10，9，8，7，6，。
排列组合公式排列组合计算公式
和＝（首项＋末项）×项数÷2项数＝（末项-首项）÷公差＋1首项=2和÷项数-末项末项=2和÷项数-首项末项=首项+（项数-1）×公差性质：若 m、n、p、q∈N①若m＋n=p＋q，则am+an=ap+aq②若m+n=2q，则am+an=2aq注意：上述公式中an表示等差数列的第n项。
求和公式Sn=(a1+an)n/2Sn=a1n+n(n-1)d d=公差Sn=An2+Bn A=d/2,B=1-(d/2)排列组合公式/排列组合计算公式2008-07-08 13:30公式P是指排列，从N个元素取R个进行排列。
公式C是指组合，从N个元素取R个，不进行排列。
N-元素的总个数R参与选择的元素个数！-阶乘，如 9！＝9*8*7*6*5*4*3*2*1从N倒数r个，表达式应该为n*（n-1)*(n-2)..(n-r+1);因为从n到（n-r+1)个数为n－（n-r+1)＝r举例：Q1:有从1到9共计9个号码球，请问，可以组成多少个三位数？A1: 123和213是两个不同的排列数。
即对排列顺序有要求的，既属于“排列P”计算范畴。
上问题中，任何一个号码只能用一次，显然不会出现988,997之类的组合，我们可以这么看，百位数有9种可能，十位数则应该有9-1种可能，个位数则应该只有9-1-1种可能，最终共有9*8*7个三位数。
计算公式＝P（3，9)＝9*8*7,(从9倒数3个的乘积）Q2: 有从1到9共计9个号码球，请问，如果三个一组，代表“三国联盟”，可以组合成多少个“三国联盟”？A2: 213组合和312组合，代表同一个组合，只要有三个号码球在一起即可。
即不要求顺序的，属于“组合C”计算范畴。
上问题中，将所有的包括排列数的个数去除掉属于重复的个数即为最终组合数C(3,9)=9*8*7/3*2*1排列、组合的概念和公式典型例题分析例1设有3名学生和4个课外小组．（1）每名学生都只参加一个课外小组；（2）每名学生都只参加一个课外小组，而且每个小组至多有一名学生参加．各有多少种不同方法？解（1）由于每名学生都可以参加4个课外小组中的任何一个，而不限制每个课外小组的人数，因此共有种不同方法．（2）由于每名学生都只参加一个课外小组，而且每个小组至多有一名学生参加，因此共有种不同方法．点评由于要让3名学生逐个选择课外小组，故两问都用乘法原理进行计算．例2 排成一行，其中不排第一，不排第二，不排第三，不排第四的不同排法共有多少种？解依题意，符合要求的排法可分为第一个排、、中的某一个，共3类，每一类中不同排法可采用画“树图”的方式逐一排出：∴ 符合题意的不同排法共有9种．点评按照分“类”的思路，本题应用了加法原理．为把握不同排法的规律，“树图”是一种具有直观形象的有效做法，也是解决计数问题的一种数学模型．例３判断下列问题是排列问题还是组合问题？并计算出结果．（1）高三年级学生会有11人：①每两人互通一封信，共通了多少封信？②每两人互握了一次手，共握了多少次手？（2）高二年级数学课外小组共10人：①从中选一名正组长和一名副组长，共有多少种不同的选法？②从中选2名参加省数学竞赛，有多少种不同的选法？（3）有2，3，5，7，11，13，17，19八个质数：①从中任取两个数求它们的商可以有多少种不同的商？②从中任取两个求它的积，可以得到多少个不同的积？（4）有8盆花：①从中选出2盆分别给甲乙两人每人一盆，有多少种不同的选法？②从中选出2盆放在教室有多少种不同的选法？分析（1）①由于每人互通一封信，甲给乙的信与乙给甲的信是不同的两封信，所以与顺序有关是排列；②由于每两人互握一次手，甲与乙握手，乙与甲握手是同一次握手，与顺序无关，所以是组合问题．其他类似分析．（1）①是排列问题，共用了封信；②是组合问题，共需握手（次）．（2）①是排列问题，共有（种）不同的选法；②是组合问题，共有种不同的选法．（3）①是排列问题，共有种不同的商；②是组合问题，共有种不同的积．（4）①是排列问题，共有种不同的选法；②是组合问题，共有种不同的选法．例４证明．证明左式右式．∴ 等式成立．点评这是一个排列数等式的证明问题，选用阶乘之商的形式，并利用阶乘的性质，可使变形过程得以简化．例5 化简．解法一原式解法二原式点评解法一选用了组合数公式的阶乘形式，并利用阶乘的性质；解法二选用了组合数的两个性质，都使变形过程得以简化．例6 解方程：（1）；（2）．解（1）原方程解得．（2）原方程可变为∵ ，，∴ 原方程可化为．即，解得第六章排列组合、二项式定理一、考纲要求1.掌握加法原理及乘法原理，并能用这两个原理分析解决一些简单的问题.2.理解排列、组合的意义，掌握排列数、组合数的计算公式和组合数的性质，并能用它们解决一些简单的问题.3.掌握二项式定理和二项式系数的性质，并能用它们计算和论证一些简单问题.二、知识结构三、知识点、能力点提示(一)加法原理乘法原理说明加法原理、乘法原理是学习排列组合的基础，掌握此两原理为处理排列、组合中有关问题提供了理论根据.例1 5位高中毕业生，准备报考3所高等院校，每人报且只报一所，不同的报名方法共有多少种?解： 5个学生中每人都可以在3所高等院校中任选一所报名，因而每个学生都有3种不同的报名方法，根据乘法原理，得到不同报名方法总共有3×3×3×3×3=35(种)(二)排列、排列数公式说明排列、排列数公式及解排列的应用题，在中学代数中较为独特，它研究的对象以及研究问题的方法都和前面掌握的知识不同，内容抽象，解题方法比较灵活，历届高考主要考查排列的应用题，都是选择题或填空题考查.例2由数字1、2、3、4、5组成没有重复数字的五位数，其中小于50 000的偶数共有( )A.60个B.48个C.36个D.24个解 因为要求是偶数，个位数只能是2或4的排法有P 12；小于50 000的五位数，万位只能是1、3或2、4中剩下的一个的排法有P 13;在首末两位数排定后，中间3个位数的排法有P 33，得P 13P 33P 12＝36(个) 由此可知此题应选C.例3 将数字1、2、3、4填入标号为1、2、3、4的四个方格里，每格填一个数字，则每个方格的标号与所填的数字均不同的填法有多少种?解： 将数字1填入第2方格，则每个方格的标号与所填的数字均不相同的填法有3种，即214 3，3142，4123；同样将数字1填入第3方格，也对应着3种填法；将数字1填入第4方格，也对应3种填法，因此共有填法为3P 13=9(种).例四 例五可能有问题，等思考三)组合、组合数公式、组合数的两个性质说明 历届高考均有这方面的题目出现，主要考查排列组合的应用题，且基本上都是由选择题或填空题考查.例4 从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台，其中至少有甲型与乙型电视机各1台，则不同的取法共有( )A.140种B.84种C.70种D.35种解： 抽出的3台电视机中甲型1台乙型2台的取法有C 14·C 25种；甲型2台乙型1台的取法有C 24·C 15种 根据加法原理可得总的取法有 C 24·C 25+C 24·C 15=40+30=70(种 ) 可知此题应选C.例5 甲、乙、丙、丁四个公司承包8项工程，甲公司承包3项，乙公司承包1 项，丙、丁公司各承包2项，问共有多少种承包方式? 解： 甲公司从8项工程中选出3项工程的方式 C 38种；乙公司从甲公司挑选后余下的5项工程中选出1项工程的方式有C15种；丙公司从甲乙两公司挑选后余下的4项工程中选出2项工程的方式有C24种；丁公司从甲、乙、丙三个公司挑选后余下的2项工程中选出2项工程的方式有C22种.根据乘法原理可得承包方式的种数有C38×C15×C24×C22=×1=1680(种).(四)二项式定理、二项展开式的性质说明二项式定理揭示了二项式的正整数次幂的展开法则，在数学中它是常用的基础知识，从1985年至1998年历届高考均有这方面的题目出现，主要考查二项展开式中通项公式等，题型主要为选择题或填空题.例6在(x-)10的展开式中，x6的系数是( )A.-27C610 B.27C410C.-9C610D.9C410解设(x-)10的展开式中第γ+1项含x6，因Tγ+1=Cγ10x10-γ(-)γ，10-γ=6,γ=4于是展开式中第5项含x 6，第5项系数是C410(-)4=9C410故此题应选D.例7 (x-1)-(x-1)2＋(x-1)3-(x-1)+(x-1)５的展开式中的x２的系数等于解：此题可视为首项为x-1，公比为-(x-1)的等比数列的前5项的和，则其和为在(x-1)6中含x3的项是C36x3(-1)3=-20x3，因此展开式中x2的系数是-2 0. (五)综合例题赏析例8若(2x+)4=a0+a1x+a2x 2+a3x3+a4x4，则(a+a2+a4)2-(a1+a3)2的值为( )A.1B.-1C.0D.2解：A.例9 2名医生和4名护士被分配到2所学校为学生体检，每校分配1名医生和2 名护士，不同的分配方法共有( )A.6种B.12种C.18种D.24种解分医生的方法有P22＝2种，分护士方法有C24=6种，所以共有6×2＝12种不同的分配方法。
排列组合21种方法
排列组合21种方法(总11页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--高考数学轻松搞定排列组合难题二十一种方法排列组合问题联系实际生动有趣，但题型多样，思路灵活，因此解决排列组合问题，首先要认真审题，弄清楚是排列问题、组合问题还是排列与组合综合问题；其次要抓住问题的本质特征，采用合理恰当的方法来处理。
教学目标1.进一步理解和应用分步计数原理和分类计数原理。
2.掌握解决排列组合问题的常用策略;能运用解题策略解决简单的综合应用题。
提高学生解决问题分析问题的能力3.学会应用数学思想和方法解决排列组合问题.复习巩固1.分类计数原理(加法原理)完成一件事，有n类办法，在第1类办法中有m种不同的方法，在1第2类办法中有m种不同的方法，…，在第n类办法中有n m种不同2种不同的方法．2.分步计数原理（乘法原理）完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有m种不同的方法，做1第2步有m种不同的方法，…，做第n步有n m种不同的方法，那么2完成这件事共有：种不同的方法．3.分类计数原理分步计数原理区别分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事。
分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶段，不能完成整个事件．解决排列组合综合性问题的一般过程如下:1.认真审题弄清要做什么事2.怎样做才能完成所要做的事,即采取分步还是分类,或是分步与分类同时进行,确定分多少步及多少类。
3.确定每一步或每一类是排列问题(有序)还是组合(无序)问题,元素总数是多少及取出多少个元素.4.解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解题策略一.特殊元素和特殊位置优先策略例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数.解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排,占了这两个位置.先排末位共有13C然后排首位共有14C最后排其它位置共有34A由分步计数原理得113434288C C A =练习题:7种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同的种法二.相邻元素捆绑策略例2. 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法.解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素，再与其它元素进行排列，同时对相邻元素内部进行自排。
排列组合[1]
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7、错位排列
满足 i1 ≠ 1, i2 ≠ 2, ⋅⋅⋅in ≠ n 则称 ｛ i1 , i2 , ⋅⋅⋅in ｝为｛ 1，2，∙ ∙ ∙ n｝的一个错位排 列 其所有的错位排列数为：
若｛1，2，∙ ∙ ∙n ｝的一个排列为｛1
i , i2 , ⋅⋅⋅in
｝
1 1 1 (−1) n 1 − + − + ⋅⋅⋅ + Dn = n! ） n!（ 1! 2! 3!
竞赛中的排列组合问题
安庆一中Βιβλιοθήκη 程乐根一、出题情况
排列组合出题，主要在第一试中 出题，大多以客观题形式呈现，但这 一内容是抽象数学的基础，渗透性很 强，在其它分支里用得很多，特别是 在组合数学和数论中应用更为广泛。
二、常见定义公式：
1、排列 从n个不同元素中，任取m个不同元素的排列数是: n! m A = n( n − 1) ⋅ ⋅ ⋅ ( n − m += 1) n ( n − m)! 2、组合 从n个不同元素中，任取m个不同元素的 n! m 组合数是：
(a1 − 1) + (a2 − a1 − 3) + (a3 − a2 − 3) + (14 − a3 ) = 7
其中 a1 ≥ 1, a2 − a1 ≥ 3, a3 − a2 ≥ 3,14 − a3 ≥ 0, 将上 变形为
3 C 这个方程的正整数解的个数是 10=120种 点评：奇特方法，贵在发现
3 C 解：由题设知，在xy平面上有16个整点，共 16 = 560
个三点组，要从中减去那些三点共线的。平面上 有4条垂直线和4条水平线，每条上有4个点，这8 条线上含有 8C43 = 32 个三点共线的三点组。 类似地，在斜率为±1的线上共线的三点组 3 3 2 C + 4 C 有4 3 =8+4=12（个）。 此外，没有其他的三点共线的三点组，组 成的三角形的个数是560-32-12=516（个）
排列组合公式排列组合计算公式
排列组合公式排列组合计算公式文件编码（008-TTIG-UTITD-GKBTT-PUUTI-WYTUI-8256）排列组合公式/排列组合计算公式2008-07-08 13:30公式P是指排列，从N个元素取R个进行排列。
公式C是指组合，从N个元素取R个，不进行排列。
N-元素的总个数R参与选择的元素个数！-阶乘，如9！＝9*8*7*6*5*4*3*2*1从N倒数r个，表达式应该为n*（n-1)*(n-2)..(n-r+1);因为从n到（n-r+1)个数为n－（n-r+1)＝r举例：Q1:有从1到9共计9个号码球，请问，可以组成多少个三位数A1: 123和213是两个不同的排列数。
即对排列顺序有要求的，既属于“排列P”计算范畴。
上问题中，任何一个号码只能用一次，显然不会出现988,997之类的组合，我们可以这么看，百位数有9种可能，十位数则应该有9-1种可能，个位数则应该只有9-1-1种可能，最终共有9*8*7个三位数。
计算公式＝P（3，9)＝9*8*7,(从9倒数3个的乘积）Q2: 有从1到9共计9个号码球，请问，如果三个一组，代表“三国联盟”，可以组合成多少个“三国联盟”A2: 213组合和312组合，代表同一个组合，只要有三个号码球在一起即可。
即不要求顺序的，属于“组合C”计算范畴。
上问题中，将所有的包括排列数的个数去除掉属于重复的个数即为最终组合数C(3,9)=9*8*7/3*2*1排列、组合的概念和公式典型例题分析例1设有3名学生和4个课外小组．（1）每名学生都只参加一个课外小组；（2）每名学生都只参加一个课外小组，而且每个小组至多有一名学生参加．各有多少种不同方法解（1）由于每名学生都可以参加4个课外小组中的任何一个，而不限制每个课外小组的人数，因此共有种不同方法．（2）由于每名学生都只参加一个课外小组，而且每个小组至多有一名学生参加，因此共有种不同方法．点评由于要让3名学生逐个选择课外小组，故两问都用乘法原理进行计算．例2 排成一行，其中不排第一，不排第二，不排第三，不排第四的不同排法共有多少种解依题意，符合要求的排法可分为第一个排、、中的某一个，共3类，每一类中不同排法可采用画“树图”的方式逐一排出：∴ 符合题意的不同排法共有9种．点评按照分“类”的思路，本题应用了加法原理．为把握不同排法的规律，“树图”是一种具有直观形象的有效做法，也是解决计数问题的一种数学模型．例３判断下列问题是排列问题还是组合问题并计算出结果．（1）高三年级学生会有11人：①每两人互通一封信，共通了多少封信②每两人互握了一次手，共握了多少次手（2）高二年级数学课外小组共10人：①从中选一名正组长和一名副组长，共有多少种不同的选法②从中选2名参加省数学竞赛，有多少种不同的选法（3）有2，3，5，7，11，13，17，19八个质数：①从中任取两个数求它们的商可以有多少种不同的商②从中任取两个求它的积，可以得到多少个不同的积（4）有8盆花：①从中选出2盆分别给甲乙两人每人一盆，有多少种不同的选法②从中选出2盆放在教室有多少种不同的选法分析（1）①由于每人互通一封信，甲给乙的信与乙给甲的信是不同的两封信，所以与顺序有关是排列；②由于每两人互握一次手，甲与乙握手，乙与甲握手是同一次握手，与顺序无关，所以是组合问题．其他类似分析．（1）①是排列问题，共用了封信；②是组合问题，共需握手（次）．（2）①是排列问题，共有（种）不同的选法；②是组合问题，共有种不同的选法．（3）①是排列问题，共有种不同的商；②是组合问题，共有种不同的积．（4）①是排列问题，共有种不同的选法；②是组合问题，共有种不同的选法．例４证明．证明左式右式．∴ 等式成立．点评这是一个排列数等式的证明问题，选用阶乘之商的形式，并利用阶乘的性质，可使变形过程得以简化．例5 化简．解法一原式解法二原式点评解法一选用了组合数公式的阶乘形式，并利用阶乘的性质；解法二选用了组合数的两个性质，都使变形过程得以简化．例6 解方程：（1）；（2）．解（1）原方程解得．（2）原方程可变为∵ ，，∴ 原方程可化为．即，解得第六章排列组合、二项式定理一、考纲要求1.掌握加法原理及乘法原理，并能用这两个原理分析解决一些简单的问题.2.理解排列、组合的意义，掌握排列数、组合数的计算公式和组合数的性质，并能用它们解决一些简单的问题.3.掌握二项式定理和二项式系数的性质，并能用它们计算和论证一些简单问题.二、知识结构三、知识点、能力点提示(一)加法原理乘法原理说明加法原理、乘法原理是学习排列组合的基础，掌握此两原理为处理排列、组合中有关问题提供了理论根据.例15位高中毕业生，准备报考3所高等院校，每人报且只报一所，不同的报名方法共有多少种解：5个学生中每人都可以在3所高等院校中任选一所报名，因而每个学生都有3种不同的报名方法，根据乘法原理，得到不同报名方法总共有3×3×3×3×3=35(种)(二)排列、排列数公式说明排列、排列数公式及解排列的应用题，在中学代数中较为独特，它研究的对象以及研究问题的方法都和前面掌握的知识不同，内容抽象，解题方法比较灵活，历届高考主要考查排列的应用题，都是选择题或填空题考查.例2由数字1、2、3、4、5组成没有重复数字的五位数，其中小于50 000的偶数共有()个个个个解因为要求是偶数，个位数只能是2或4的排法有P1；小于50 000的五位数，2万位只能是1、3或2、4中剩下的一个的排法有P13;在首末两位数排定后，中间3个位数的排法有P33，得P13P33P12＝36(个)由此可知此题应选C.例3将数字1、2、3、4填入标号为1、2、3、4的四个方格里，每格填一个数字，则每个方格的标号与所填的数字均不同的填法有多少种解：将数字1填入第2方格，则每个方格的标号与所填的数字均不相同的填法有3种，即214 3，3142，4123；同样将数字1填入第3方格，也对应着3种填法；将数字1填入第4方格，也对应3种填法，因此共有填法为3P13=9(种).例四例五可能有问题，等思考三)组合、组合数公式、组合数的两个性质说明历届高考均有这方面的题目出现，主要考查排列组合的应用题，且基本上都是由选择题或填空题考查.例4从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台，其中至少有甲型与乙型电视机各1台，则不同的取法共有()种种种种解：抽出的3台电视机中甲型1台乙型2台的取法有C14·C25种；甲型2台乙型1台的取法有C24·C15种根据加法原理可得总的取法有C24·C25+C24·C15=40+30=70(种 )可知此题应选C.例5甲、乙、丙、丁四个公司承包8项工程，甲公司承包3项，乙公司承包1 项，丙、丁公司各承包2项，问共有多少种承包方式解：甲公司从8项工程中选出3项工程的方式 C38种；乙公司从甲公司挑选后余下的5项工程中选出1项工程的方式有C15种；丙公司从甲乙两公司挑选后余下的4项工程中选出2项工程的方式有C24种；丁公司从甲、乙、丙三个公司挑选后余下的2项工程中选出2项工程的方式有C 22种.根据乘法原理可得承包方式的种数有C 3 8×C 15×C 24×C 22= ×1=1680(种). (四)二项式定理、二项展开式的性质说明二项式定理揭示了二项式的正整数次幂的展开法则，在数学中它是常用的基础知识 ，从1985年至1998年历届高考均有这方面的题目出现，主要考查二项展开式中通项公式等，题型主要为选择题或填空题. 例6在(x- )10的展开式中，x 6的系数是() -27CB.27C 410-9CD.9C 410解设(x- )10的展开式中第γ+1项含x 6， 因T γ+1=C γ10x 10-γ(- )γ，10-γ=6,γ=4于是展开式中第5项含x 6，第5项系数是C 410(- )4=9C 410 故此题应选D.例7(x-1)-(x-1)2＋(x-1)3-(x-1)+(x-1)５的展开式中的x ２的系数等于解：此题可视为首项为x-1，公比为-(x-1)的等比数列的前5项的和，则其和为 在(x-1)6中含x 3的项是C 36x 3(-1)3=-20x 3，因此展开式中x 2的系数是-2 0. (五)综合例题赏析例8若(2x+ )4=a 0+a 1x+a 2x 2+a 3x 3+a 4x 4，则(a 0+a 2+a 4)2-(a 1+a 3)2的值为()解：A.例92名医生和4名护士被分配到2所学校为学生体检，每校分配1名医生和2 名护士，不同的分配方法共有() 种种种种解分医生的方法有P 22＝2种，分护士方法有C 24=6种，所以共有6×2＝12种不同的分配方法。
排列组合解法公式
排列组合解法公式排列组合在数学中可是个很有趣的部分呢！它能帮我们解决好多生活中的问题。
先来说说排列的公式吧。
排列呢，就是从 n 个不同元素中，取出 m 个元素按照一定的顺序排成一列。
这时候的排列数记作 A(n, m) ，它的计算公式就是 A(n, m) = n! / (n - m)! 。
比如说，从 5 个不同的水果里选3 个排成一排，那就是 A(5, 3) = 5! / (5 - 3)! = 60 种排法。
再讲讲组合的公式。
组合就是从 n 个不同元素中，取出 m 个元素组成一组，不考虑顺序。
组合数记作 C(n, m) ，计算公式是 C(n, m) = n! / [m!×(n - m)!] 。
还是拿水果举例，从 5 个不同的水果里选 3 个组成一组，不考虑顺序，那就是 C(5, 3) = 5! / [3!×(5 - 3)!] = 10 种组合。
我还记得之前给学生们讲这部分知识的时候，发生了一件有趣的事儿。
那是一个阳光明媚的上午，我在黑板上写下了一道排列组合的题目：在一个班级里有 10 个同学，要选出 4 个同学去参加比赛，有多少种选法？我让同学们先自己思考，然后讨论。
一开始，大家都有点懵，各种答案都有。
有的同学直接用 10 乘以 4 ，有的同学乱写一通。
我看着他们抓耳挠腮的样子，心里偷笑，但也知道这对于他们来说确实是个有点难的知识点。
我开始慢慢引导他们，“同学们，咱们先想想，如果要考虑选出的同学的顺序，那就是排列问题；如果不考虑顺序，那就是组合问题。
那这道题，我们需不需要考虑选出同学的顺序呢？”同学们开始七嘴八舌地讨论起来。
有的说要，有的说不要。
最后，我们一起分析得出，这里不需要考虑顺序，是组合问题。
于是，我们按照组合的公式 C(10, 4) = 10! / [4!×(10 - 4)!] 一起计算，算出结果是 210 种选法。
这时候，同学们恍然大悟，脸上露出了开心的笑容。
排列组合--插板法、插空法、捆绑法
排列组合问题——插板法(分组)、插空法（不相邻）、捆绑法（相邻）插板法（m为空的数量）【基本题型】有n个相同的元素，要求分到不同的m组中，且每组至少有一个元素，问有多少种分法？”表示相同的名额，“”表示名额间形成的空隙，设想在这几个空隙中插入六块“挡板”，则将这10 个名额分割成七个部分，将第一、二、三、……七个部分所包含的名额数分给第一、二、三……七所学校，则“挡板”的一种插法恰好对应了10 个名额的一种分配方法，反之，名额的一种分配方法也决定了档板的一种插法，即挡板的插法种数与名额的分配方法种数是相等的，【总结】需满足条件：n个相同元素，不同个m组，每组至少有一个元素，则只需在n个元素的n-1个间隙中放置m-1块隔板把它隔成m份即可,共有种不同方法。
注意：这样对于很多的问题，是不能直接利用插板法解题的。
但，可以通过一定的转变，将其变成符合上面3个条件的问题，这样就可以利用插板法解决，并且常常会产生意想不到的效果。
插板法就是在n个元素间的（n-1）个空中插入若干个（b）个板,可以把n个元素分成（b+1）组的方法. 应用插板法必须满足三个条件：（1）这n个元素必须互不相异（2）所分成的每一组至少分得一个元素(3) 分成的组别彼此相异举个很普通的例子来说明把10个相同的小球放入3个不同的箱子,每个箱子至少一个,问有几种情况?问题的题干满足条件（1）（2）,适用插板法,c9 2=36下面通过几道题目介绍下插板法的应用e 二次插板法例8 ：在一张节目单中原有6个节目,若保持这些节目相对次序不变,再添加3个节目,共有几种情况?-o - o - o - o - o - o - 三个节目abc可以用一个节目去插7个空位,再用第二个节目去插8个空位,用最后个节目去插9个空位所以一共是c7 1×c8 1×c9 1=504种【基本解题思路】将n个相同的元素排成一行，n个元素之间出现了（n-1）个空档，现在我们用（m-1）个“档板”插入（n-1）个空档中，就把n个元素隔成有序的m份，每个组依次按组序号分到对应位置的几个元素（可能是1个、2个、3个、4个、….），这样不同的插入办法就对应着n个相同的元素分到m组的一种分法，这种借助于这样的虚拟“档板”分配元素的方法称之为插板法。
排列组合问题基本类型及解题方法
排列组合问题的基本模型及解题方法导语：解决排列组合问题要讲究策略，首先要认真审题，弄清楚是排列(有序)还是组合(无序)，还是排列与组合混合问题。
其次，要抓住问题的本质特征，准确合理地利用两个基本原则进行“分类与分步”。
加法原理的特征是分类解决问题，分类必须满足两个条件：①类与类必须互斥(不相容)，②总类必须完备(不遗漏)；乘法原理的特征是分步解决问题，分步必须做到步与步互相独立，互不干扰并确保连续性。
分类与分步是解决排列组合问题的最基本的思想策略，在实际操作中往往是“步”与“类”交叉，有机结合，可以是类中有步，也可以是步中有类，以上解题思路分析，可以用顺口溜概括为：审明题意，排（组）分清；合理分类，用准加乘；周密思考，防漏防重；直接间接，思路可循；元素位置，特殊先行；一题多解，检验真伪。
注意以下几点：1、解排列组合应用题的一般步骤为：①什么事：明确要完成的是一件什么事（审题）；②怎么做：分步还是分类，有序还是无序。
2、解排列组合问题的思路（1） 两种思路：直接法，间接法。
（2） 两种途径：元素分析法，位置分析法。
3、基本模型及解题方法：(一)、元素相邻问题（1）、全相邻问题，捆邦法例1、6名同学排成一排，其中甲，乙两人必须排在一起的不同排法有（ C ）种。
A 、720B 、360C 、240D 、120说明：从上述解法可以看出，所谓“捆邦法”，就是在解决对于某几个元素要求相邻问题时，可以整体考虑将相邻元素视作一个“大”元素。
（2）、全不相邻问题插空法例2、要排一张有6个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目单，任何两个舞蹈节目不得相邻，问有多少不同的排法，解：先将6个歌唱节目排好，其中不同的排法有6！，这6个节目的空隙及两端共有七个位置中再排4个舞蹈节目有47A 种排法，由乘法原理可知，任何两个舞蹈节目不得相邻的排法为4676A A 种例3、高三（一）班学要安排毕业晚会的4各音乐节目，2个舞蹈节目和1个曲艺节目的演出顺序，要求两个舞蹈节目不连排，则不同排法的种数是A 、1800B 、3600C 、4320D 、5040解：不同排法的种数为5256A A ＝3600，故选B说明：从解题过程可以看出，不相邻问题是指要求某些元素不能相邻，由其它元素将它隔开，此类问题可以先将其它元素排好，再将特殊元素插入，故叫插空法。
排列组合的一些公式及推导（非常详细易懂）
排列组合的⼀些公式及推导（⾮常详细易懂）绪论：加法原理、乘法原理分类计数原理：做⼀件事，有n类办法，在第1类办法中有m1种不同的⽅法，在第2类办法中有m2种不同的⽅法，…，在第n类办法中有m n种不同的⽅法，那么完成这件事共有N=m1+m2+…+m n种不同的⽅法。
分步计数原理：完成⼀件事，需要分成n个步骤，做第1步有m1种不同的⽅法，做第2步有m2种不同的⽅法，…，做第n步有m n种不同的⽅法,那么完成这件事共有N=m1×m2×⋯×m n种不同的⽅法。
区别：分类计数原理是加法原理，不同的类加起来就是我要得到的总数；分步计数原理是乘法原理，是同⼀事件分成若⼲步骤，每个步骤的⽅法数相乘才是总数。
排列问题排列数从n个不同元素种取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数，叫做从n个不同元素种取出m个元素的排列数，⽤符号A m n表⽰。
排列数公式A m n=n(n−1)(n−2)⋯(n−m+1)=n!(n−m)!,n,m∈N∗,并且m≤n（规定0!=1）推导：把n个不同的元素任选m个排序，按计数原理分步进⾏：取第⼀个：有n种取法；取第⼆个：有(n−1)种取法；取第三个：有(n−2)种取法；……取第m个：有(n−m+1)种取法；根据分步乘法原理，得出上述公式。
排列数性质A m n=n A m−1n−1可理解为“某特定位置”先安排，再安排其余位置。
A m n=m A m−1n−1+A m n−1可理解为：含特定元素的排列有m A m−1n−1，不含特定元素的排列为Amn−1。
组合问题组合数从n个不同元素种取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素种取出m个元素的组合数，⽤符号C m n表⽰。
组合数公式C m n=A m nA m m=n(n−1)(n−2)⋯(n−m+1)m!=n!m!(n−m)!,n,m∈N∗,并且m≤nC0n=C n n=1证明：利⽤排列和组合之间的关系以及排列的公式来推导证明。
排列组合常用方法总结(全)
解决排列组合问题常见策略学习指导1、排列组合的本质区别在于对所取出的元素是作有序排列还是无序排列。
组合问题可理解为把元素取出后放到某一集合中去，集合中的元素是无序的。
较复杂的排列组合问题一般是先分组，再排列。
必须完成所有的分组再排列，不能边分组边排列。
排列组合问题的常见错误是重复和遗漏。
弄清问题的实质，适当的分类，合理的分步是解决这个错误的关键，采用不同的思路检验结果是否一致是解决这个错误的技巧。
集合是常用的工具之一。
为了将抽象问题具体化，可以从特殊情形着手，通过画格子，画树图等帮助理解。
“正难则反”是处理问题常用的策略。
常用方法：一. 合理选择主元例1. 公共汽车上有3个座位，现在上来5名乘客，每人坐1个座位，有几种不同的坐法？例2. 公共汽车上有5个座位，现在上来3名乘客，每人坐1个座位，有几种不同的坐法？分析：例1中将5名乘客看作5个元素，3个空位看作3个位置，则问题变为从5个不同的元素中任选3个元素放在3个位置上，共有种不同坐法。
例2中再把乘客看作元素问题就变得比较复杂，将5个空位看作元素，而将乘客看作位置，则例2变成了例1，所以在解决排列组合问题时，合理选择主元，就是选择合适解题方法的突破口。
二. “至少”型组合问题用隔板法对于“至少”型组合问题，先转化为“至少一个”型组合问题，再用n个隔板插在元素的空隙（不包括首尾）中，将元素分成n＋1份。
例5. 4名学生分6本相同的书，每人至少1本，有多少种不同分法？解：将6本书分成4份，先把书排成一排，插入3个隔板，6本书中间有5个空隙，则分法有：（种）三. 注意合理分类元素（或位置）的“地位”不相同时，不可直接用排列组合数公式，则要根据元素（或位置）的特殊性进行合理分类，求出各类排列组合数。
再用分类计数原理求出总数。
例6. 求用0，1，2，3，4，5六个数字组成的比2015大的无重复数字的四位数的个数。
解：比2015大的四位数可分成以下三类：第一类：3×××，4×××，5×××，共有：（个）；第二类：21××，23××，24××，25××，共有：（个）；第三类：203×，204×，205×，共有：（个）∴比2015大的四位数共有237个。
排列组合难题21种题型及方法
（ ） C153C84C44
/
A
2 2
2.10 名学生分成 3 组,其中一组 4 人, 另两组 3 人但正副班长不能分在同一
组,有多少种不同的
分组方法 （1540）
3.某校高二年级共有六个班级，现从外地转 入 4 名学生，要安排到该年级
的两个班级且每班安
排
2
名，则不同的安排方案种数为______（
解: 分三步取书得 C62C42C22 种方法,但这里出现重复计数的现象,不妨记 6
本书为 ABCDEF，若第一步取 AB,第二步取 CD,第三步取 EF 该分法记
为
(AB,CD,EF),
则
C62C42C22
中
还
有
(AB,EF,CD),(CD,AB,EF),(CD,EF,AB)(EF,CD,AB),(EF,AB,CD)
C42C22
A
2 6
/
A
2 2
90
）十Biblioteka . 合理分类与分步策略例 13.在一次演唱会上共 10 名演员,其中 8 人能能唱歌,5 人会跳舞,现要演
出一个 2 人唱歌 2 人伴舞的节目,有多少选派方法
解：10 演员中有 5 人只会唱歌，2 人只会跳舞 3 人为全能演员。选上唱
歌人员为标准进行研究
只会唱的 5 人中没有人选上唱歌人员共有 C32C32 种,只会唱的 5 人中只
空隙。在９个空档中选６个位置插个隔板，可把名额分成７份，对
应地分给７个班级，每一种插板方法对应一种分法共有 C96 种分法。
一
二
三
四
五
六
七
班
班
班
班
班
班
班
排列组合练习题及答案.
排列组合练习题及答案.第一篇：排列组合练习题及答案.《排列组合》一、排列与组合1.从9人中选派2人参加某一活动,有多少种不同选法?2.从9人中选派 2人参加文艺活动, 1人下乡演出, 1人在本地演出, 有多少种不同选派方法?3.现从男、女 8名学生干部中选出 2名男同学和 1名女同学分别参加全校“资源”、“生态” 和“环保”三个夏令营活动,已知共有 90种不同的方案,那么男、女同学的人数是A.男同学 2人,女同学 6人B.男同学 3人,女同学 5人C.男同学 5人,女同学 3人D.男同学 6人,女同学 2人4.一条铁路原有m 个车站,为了适应客运需要新增加n 个车站(n>1,则客运车票增加了58种(从甲站到乙站与乙站到甲站需要两种不同车票,那么原有的车站有A.12个B.13个C.14个D.15个 5.用 0, 1, 2, 3, 4, 5这六个数字,(1可以组成多少个数字不重复的三位数?(2可以组成多少个数字允许重复的三位数?(3可以组成多少个数字不允许重复的三位数的奇数?(4可以组成多少个数字不重复的小于1000的自然数?(5可以组成多少个大于3000,小于 5421的数字不重复的四位数?二、注意附加条件1.6人排成一列(1甲乙必须站两端,有多少种不同排法?(2甲乙必须站两端,丙站中间,有多少种不同排法?2.由1、2、3、4、5、6六个数字可组成多少个无重复数字且是6的倍数的五位数?3.由数字1, 2, 3, 4, 5, 6, 7所组成的没有重复数字的四位数,按从小到大的顺序排列起来, 第 379个数是A.3761B.4175C.5132D.6157 4.设有编号为1、2、3、4、5的五个茶杯和编号为1、2、3、4、5的五个杯盖,将五个杯盖盖在五个茶杯上,至少有两个杯盖和茶杯的编号相同的盖法有A.30种B.31种C.32种D.36种5.从编号为1, 2,…, 10,11的 11个球中取 5个,使这 5个球中既有编号为偶数的球又有编号为奇数的球,且它们的编号之和为奇数,其取法总数是A.230种B.236种C.455种D.2640种6.从 6双不同颜色的手套中任取 4只,其中恰好有 1双同色的取法有 A.240种 B.180种 C.120种 D.60种7.用 0, 1, 2, 3, 4, 5这六个数组成没有重复数字的四位偶数,将这些四位数从小到大排列起来,第 71个数是。
排列组合23种模型大全
排列组合23种模型大全1．相邻问题捆绑法：题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一种个大元素参与排列．例1．,,,,A B C D E 五人并排站成一排，如果,A B 必须相邻且B 在A 的右边，则不同的排法有（ ）A 、60种B 、48种C 、36种D 、24种2．相离问题插空法：元素相离（即不相邻）问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端．例2．七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是（ ） A 、1440种 B 、3600种 C 、4820种 D 、4800种例3．已知集合{1,2,3,,19,20}A =，集合1234{,,,}B a a a a =，且B A ⊂，若||1(,1,2,3,4)i j a a i j -≠=，则满足条件的集合B 有多少个？3．定序问题缩倍法：在排列问题中限制某几个元素保持一定的顺序，可用缩小倍数的方法． 例4．（1）A ，B ，C ，D ，E 五人并排站成一排，如果B 必须站在A 的右边（,A B 可以不相邻）那么不同的排法有（ ）A 、24种B 、60种C 、90种D 、120种（2）由数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的共有（ ）A 、210种B 、300种C 、464种D 、600种4．标号排位问题分步法：把元素排到指定位置上，可先把某个元素按规定排入，第二步再排另一个元素，如此继续下去，依次即可完成．例5．将数字1，2，3，4填入标号为1，2，3，4的四个方格里，每格填一个数，则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有（ ） A 、6种 B 、9种 C 、11种 D 、23种5．有序分配问题逐分法：有序分配问题指把元素分成若干组，可用逐步下量分组法． 例6．（1）有甲乙丙三项任务，甲需2人承担，乙丙各需一人承担，从10人中选出4人承担这三项任务，不同的选法种数是（ ）A 、1260种B 、2025种C 、2520种D 、5040种（2）12名同学分别到三个不同的路口进行流量的调查，若每个路口4人，则不同的分配方案有（ ） A 、4441284C C C种B 、44412843C C C 种 C 、4431283C C A 种D 、444128433C C C A 种6．全员分配问题分组法： 例7．（1）4名优秀学生全部保送到3所学校去，每所学校至少去一名，则不同的保送方案有多少种？（2）5本不同的书，全部分给4个学生，每个学生至少一本，不同的分法种数为（ ） A 、480种 B 、240种 C 、120种 D 、96种7．名额分配问题隔板法：例8．10个三好学生名额分到7个班级，每个班级至少一个名额，有多少种不同分配方案？例9．马路上有编号为1，2，3…，9九只路灯，现要关掉其中的三盏，但不能关掉相邻的二盏或三盏，也不能关掉两端的两盏，求满足条件的关灯方案有多少种？8．方程的正整数解的个数问题隔板法 例10．方程12n x x x k +++=（,*k n N ∈，k n ≥）的正整数解有多少个？有多少非负整数解个？例11．将20个完全相同的球放入编号为1，2，3，4，5的五个盒子中． （1）若要求每个盒子至少放一个球，则一共有多少种放法？ （2）若每个盒子可放任意个球，则一共有多少种放法？（3）若要求每个盒子放的球的个数不小于其编号数，则一共有多少种放法？9．限制条件的分配问题分类法：例12．现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加上海世博会志愿者服务活动，每人从事翻译、导游、礼仪、司机四项工作之一，每项工作至少有一人参加．甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙、丁、戊都能胜四项工作，则不同安排方案的种数是A．152 B．126 C．90 D．5410．多元问题分类法：元素多，取出的情况也多种，可按结果要求分成不相容的几类情况分别计数再相加．例13（1）从1，2，3…，100这100个数中，任取两个数，使它们的乘积能被7整除，这两个数的取法（不计顺序）共有多少种？（2）从1，2，3，…，100这100个数中任取两个数，使其和能被4整除的取法（不计顺序）有多少种？11．交叉问题集合法：某些排列组合问题几部分之间有交集，可用集合中求元素个数公式n A B n A n B n A B⋃=+-⋂()()()()例15．从6名运动员中选出4人参加4×100米接力赛，如果甲不跑第一棒，乙不跑第四棒，共有多少种不同的参赛方案？12．定位问题优先法：某个或几个元素要排在指定位置，可先排这个或几个元素；再排其它的元素．例16．现1名老师和4名获奖同学排成一排照相留念，若老师不站两端则有不同的排法有多少种？13．多排问题单排法：把元素排成几排的问题可归结为一排考虑，再分段处理．例17（1）6个不同的元素排成前后两排，每排3个元素，那么不同的排法种数是（）A、36种B、120种C、720种D、1440种（2）8个不同的元素排成前后两排，每排4个元素，其中某2个元素要排在前排，某1个元素排在后排，有多少种不同排法？14．“至少”“至多”问题用间接排除法或分类法：例18．从4台甲型和5台乙型电视机中任取3台，其中至少要甲型和乙型电视机各一台，则不同的取法共有（）A、140种B、80种C、70种D、35种15．选排问题先取后排：从几类元素中取出符合题意的几个元素，再安排到一定的位置上，可用先取后排法．例19（1）四个不同小球放入编号为1，2，3，4的四个盒中，则恰有一个空盒的放法有多少种？（2）9名乒乓球运动员，其中男5名，女4名，现在要从中选4人进行混合双打训练，有多少种不同的选法？16．可重复的排列求幂法：允许重复排列问题的特点是以元素为研究对象，元素不受位置约m种方法．束，可逐一安排元素位置，一般地，n个不同元素排在m个不同位置的排列数有n例20．把6名实习生分配到7个车间实习共有多少种不同方法？17．元素个数较少的排列组合问题可以考虑枚举法：例21．某电脑用户计划使用不超过500元的资金购买单价分别60元、70元的单片软件和盒装磁盘，根据需要，软件至少买3片，磁盘至少买2盒，则不同的选购方法有（）18．复杂的排列组合问题也可用分解与合成法：例23．30030能被多少个不同偶数整除？19．配对（配凑）问题：例24．5双相异的鞋共10只，现随机地取出6只，恰好能配成2双鞋的取法是多少？例25．50名选手参加乒乓球淘汰赛比赛，需要打多少场才能产生冠军? 淘汰赛比赛规则是：要淘汰1名选手必须进行1场比赛；反之，每进行1场比赛则淘汰1名选手．例26．有11名翻译人员，其中5名是英语翻译人员，4名是日语翻译人员，另2人英、日语均精通．现从中选出8人组成两个翻译小组，其中4人翻译英语，另4人翻译日语，则有多少种不同的选派方式？20．利用对应思想转化法：对应思想是教材中渗透的一种重要的解题方法，它可以将复杂的问题转化为简单问题处理．例27（1）圆周上有10点，以这些点为端点的弦相交于圆内的交点最多有多少个？（2）某城市的街区有12个全等的矩形组成，其中实线表示马路，从A到B的最短路径有多少种？21．全错位排列问题公式法：全错位排列问题（贺卡问题，信封问题）记住公式即可瑞士数学家欧拉按一般情况给出了一个递推公式：用A、B、C……表示写着n位友人名字的信封，a、b、c……表示n份相应的写好的信纸．把错装的总数为记作f(n)．假设把a错装进B里了，包含着这个错误的一切错装法分两类：（1）b装入A里，这时每种错装的其余部分都与A、B、a、b无关，应有f(n－2)种错装法．（2）b装入A、B之外的一个信封，这时的装信工作实际是把（除a之外的）n－1个信纸b、c……装入（除B以外的）n－1个信封A、C……，显然这时装错的方法有f(n－1)种．总之在a装入B的错误之下，共有错装法f(n－2)＋f(n－1)种．a装入C，装入D……的n－2种错误之下，同样都有f(n－2)＋f(n－1)种错装法，因此得到一个递推公式：f(n)＝(n－1) ⋅[f(n－1)＋f(n－2)]，分别带入n＝2、3、4等可推得结果．也可用迭代法推导出一般公式：1111 ()![1(1)]1!2!3!!nf n nn =⋅-+-+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+-例28．设有编号为1，2，3，4，5的五个球和编号为1，2，3，4，5的盒子现将这5个球投入5个盒子要求每个盒子放一个球，并且恰好有两个球的号码与盒子号码相同，问有多少种不同的方法？22．几何问题：例30（1）以正方体的顶点为顶点的四面体共有（）A、70种B、64种C、58种D、52种（2）四面体的顶点和各棱中点共10点，在其中取4个不共面的点，不同的取法共有（）A、150种B、147种C、144种D、141种23．染色问题：例32．在如图所示的六个空格里涂上红黄蓝三种颜色，每种颜色只能涂两次，要求相邻空格不同色，请问一共有多少种涂法？例33．某城市在中心广场建造一个花圃，花圃分为6个部分（如图），现要栽种4种不同颜色的花，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花，则不同的栽种方法有多少种？123456排列组合经典题型及方法的综合应用1．相邻问题捆绑法：题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元素参与排列． 例1．,,,,A B C D E 五人并排站成一排，如果,A B 必须相邻且B 在A 的右边，则不同的排法有（ ）A 、60种B 、48种C 、36种D 、24种解析：把,A B 视为一人，且B 固定在A 的右边，则本题相当于4人的全排列，4424A =种，答案：D ．2．相离问题插空法：元素相离（即不相邻）问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端．例2．七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是（ ） A 、1440种 B 、3600种 C 、4820种 D 、4800种解析：除甲乙外，其余5个排列数为55A 种，再用甲乙去插6个空位有26A 种，不同的排法种数是52563600A A =种，选B ．例3．已知集合{1,2,3,,19,20}A =，集合1234{,,,}B a a a a =，且B A ⊂，若||1(,1,2,3,4)i j a a i j -≠=，则满足条件的集合B 有多少个？解析：易知1234,,,a a a a 互不相等且不相邻，则有4172380C =．3．定序问题缩倍法：在排列问题中限制某几个元素保持一定的顺序，可用缩小倍数的方法． 例4．（1）A ，B ，C ，D ，E 五人并排站成一排，如果B 必须站在A 的右边（,A B 可以不相邻）那么不同的排法有（ ）A 、24种B 、60种C 、90种D 、120种（2）由数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的共有（ ）A 、210种B 、300种C 、464种D 、600种 解析：（1）B 在A 的右边与B 在A 的左边排法数相同，所以题设的排法只是5个元素全排列数的一半，即551602A =种，选B ． （2）由题意，个位数字只可能是0，1，2，3，4共5种情况，分别有55A 个，1131131131343333323333,,,A A A A A A A A A A A 个，合并总计300个，选B （65651()3002A A -=种） 4．标号排位问题分步法：把元素排到指定位置上，可先把某个元素按规定排入，第二步再排另一个元素，如此继续下去，依次即可完成．例5．将数字1，2，3，4填入标号为1，2，3，4的四个方格里，每格填一个数，则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有（ ） A 、6种 B 、9种 C 、11种 D 、23种解析：先把1填入方格中，符合条件的有3种方法，第二步把被填入方格的对应数字填入其它三个方格，又有三种方法；第三步填余下的两个数字，只有一种填法，共有3×3×1＝9种填法，选B ．5．有序分配问题逐分法：有序分配问题指把元素分成若干组，可用逐步下量分组法． 例6．（1）有甲乙丙三项任务，甲需2人承担，乙丙各需一人承担，从10人中选出4人承担这三项任务，不同的选法种数是（ ）A 、1260种B 、2025种C 、2520种D 、5040种（2）12名同学分别到三个不同的路口进行流量的调查，若每个路口4人，则不同的分配方案有（ ） A 、4441284C C C种B 、44412843C C C 种 C 、4431283C C A 种D 、444128433C C C A 种 解析：（1）先从10人中选出2人承担甲项任务，再从剩下的8人中选1人承担乙项任务，第三步从另外的7人中选1人承担丙项任务，不同的选法共有21110872520C C C =种，选C ．（2）答案：A ．6．全员分配问题分组法： 例7．（1）4名优秀学生全部保送到3所学校去，每所学校至少去一名，则不同的保送方案有多少种？（2）5本不同的书，全部分给4个学生，每个学生至少一本，不同的分法种数为（ ） A 、480种 B 、240种 C 、120种 D 、96种 解析：（1）234336C A =（2）2454240C A =，答案：B ．7．名额分配问题隔板法：例8．10个三好学生名额分到7个班级，每个班级至少一个名额，有多少种不同分配方案？ 解析：10个名额分到7个班级，就是把10个名额看成10个相同的小球分成7堆，每堆至少一个，可以在10个小球的9个空位中插入6块木板，每一种插法对应着一种分配方案，故共有不同的分配方案为6984C =种．例9．马路上有编号为1，2，3…，9九只路灯，现要关掉其中的三盏，但不能关掉相邻的二盏或三盏，也不能关掉两端的两盏，求满足条件的关灯方案有多少种？解析：把此问题当作一个排对模型，在6盏亮灯的5个空隙中插入3盏不亮的灯35C 种方法，所以满足条件的关灯方案有10种．说明：一些不易理解的排列组合题，如果能转化为熟悉的模型如填空模型，排队模型，装盒模型可使问题容易解决．8．方程的正整数解的个数问题隔板法 例10．方程12n x x x k +++=（,*k n N ∈，k n ≥）的正整数解有多少个？有多少非负整数解个？29．解析：11n k C --；11n k n C -+-例11．将20个完全相同的球放入编号为1，2，3，4，5的五个盒子中． （1）若要求每个盒子至少放一个球，则一共有多少种放法？ （2）若每个盒子可放任意个球，则一共有多少种放法？（3）若要求每个盒子放的球的个数不小于其编号数，则一共有多少种放法？解析：（1）4193876C =；（2）424C ；（3）先在编号为1，2，3，4，5的五个盒子中依次放入0，1，2，3，4个球，再只要保证余下的10个球每个盒子至少放一个，则49126C =．9．限制条件的分配问题分类法：例12．现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加上海世博会志愿者服务活动，每人从事翻译、导游、礼仪、司机四项工作之一，每项工作至少有一人参加．甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙、丁、戊都能胜四项工作，则不同安排方案的种数是A ． 152B ． 126C ． 90D ． 5410．多元问题分类法：元素多，取出的情况也多种，可按结果要求分成不相容的几类情况分别计数再相加．例13（1）从1，2，3…，100这100个数中，任取两个数，使它们的乘积能被7整除，这两个数的取法（不计顺序）共有多少种？ （2）从1，2，3，…，100这100个数中任取两个数，使其和能被4整除的取法（不计顺序）有多少种？解析：（1）解析：被取的两个数中至少有一个能被7整除时，他们的乘积就能被7整除，将这100个数组成的集合视为全集I ，能被7整除的数的集合记做{}7,14,21,98A =共有14个元素，不能被7整除的数组成的集合记做{}1,2,3,4,,100A =共有86个元素；由此可知，从A 中任取2个元素的取法有214C ，从A 中任取一个，又从A 中任取一个共有111486C C ，两种情形共符合要求的取法有2111414861295C C C +=种．（2）解析：将{}1,2,3,100I =分成四个不相交的子集，能被4整除的数集{}4,8,12,100A =；能被4除余1的数集{}1,5,9,97B =，能被4除余2的数集{}2,6,,98C =，能被4除余3的数集{}3,7,11,99D =，易见这四个集合中每一个有25个元素；从A 中任取两个数符合要；从,B D 中各取一个数也符合要求；从C 中任取两个数也符合要求；此外其它取法都不符合要求；所以符合要求的取法共有2112252525251225C C C C ++=种．11．交叉问题集合法：某些排列组合问题几部分之间有交集，可用集合中求元素个数公式()()()()n A B n A n B n A B ⋃=+-⋂例15．从6名运动员中选出4人参加4×100米接力赛，如果甲不跑第一棒，乙不跑第四棒，共有多少种不同的参赛方案？解析：设全集＝｛6人中任取4人参赛的排列｝，A ＝｛甲跑第一棒的排列｝，B ＝｛乙跑第四棒的排列｝，则参赛方法共有：()()()()n I n A n B n A B --+⋂43326554252A A A A =--+=种．12．定位问题优先法：某个或几个元素要排在指定位置，可先排这个或几个元素；再排其它的元素．例16．现1名老师和4名获奖同学排成一排照相留念，若老师不站两端则有不同的排法有多少种？解析：老师在中间三个位置上选一个有13A 种，4名同学在其余4个位置上有44A 种方法；所以共有143472A A =种．13．多排问题单排法：把元素排成几排的问题可归结为一排考虑，再分段处理．例17（1）6个不同的元素排成前后两排，每排3个元素，那么不同的排法种数是（ ） A 、36种 B 、120种 C 、720种 D 、1440种（2）8个不同的元素排成前后两排，每排4个元素，其中某2个元素要排在前排，某1个元素排在后排，有多少种不同排法？ 解析：（1）前后两排可看成一排的两段，因此本题可看成6个不同的元素排成一排，共66720A =种，选C ．（2）解析：看成一排，某2个元素在前半段四个位置中选排2个，有24A 种，某1个元素排在后半段的四个位置中选一个有14A 种，其余5个元素任排5个位置上有55A 种，故共有1254455760A A A =种排法．14．“至少”“至多”问题用间接排除法或分类法：例18．从4台甲型和5台乙型电视机中任取3台，其中至少要甲型和乙 型电视机各一台，则不同的取法共有（ ） A 、140种 B 、80种 C 、70种 D 、35种 解析1：逆向思考，至少各一台的反面就是分别只取一种型号，不取另一种型号的电视机，故不同的取法共有33394570C C C --=种，选．C解析2：至少要甲型和乙 型电视机各一台可分两种情况：甲型1台乙型2台；甲型2台乙型1台；故不同的取法有2112545470C C C C +=台，选C ．15．选排问题先取后排：从几类元素中取出符合题意的几个元素，再安排到一定的位置上，可用先取后排法．例19（1）四个不同小球放入编号为1，2，3，4的四个盒中，则恰有一个空盒的放法有多少种？（2）9名乒乓球运动员，其中男5名，女4名，现在要从中选4人进行混合双打训练，有多少种不同的选法？解析：（1）先取四个球中二个为一组，另二组各一个球的方法有24C 种，再排：在四个盒中每次排3个有34A 种，故共有2344144C A =种．（2）先取男女运动员各2名，有2254C C 种，这四名运动员混和双打练习有22A 中排法，故共有222542120C C A =种．16．可重复的排列求幂法：允许重复排列问题的特点是以元素为研究对象，元素不受位置约束，可逐一安排元素位置，一般地，n 个不同元素排在m 个不同位置的排列数有n m 种方法． 例20．把6名实习生分配到7个车间实习共有多少种不同方法？解析：完成此事共分6步，第一步；将第一名实习生分配到车间有7种不同方案，第二步：将第二名实习生分配到车间也有7种不同方案，依次类推，由分步计数原理知共有67种不同方案．17．元素个数较少的排列组合问题可以考虑枚举法：例21．某电脑用户计划使用不超过500元的资金购买单价分别60元、70元的单片软件和盒装磁盘，根据需要，软件至少买3片，磁盘至少买2盒，则不同的选购方法有（ ）A ．5种B ．6种C ．7种D ．8种解析：C ．设购买软件x 片、磁盘y 盒，则3,26070500,x y x y x y N ≥≥⎧⎪+≤⎨⎪∈⎩，所以3,2,3,4x y ==；4x =，2,3,4y =；5,2x y ==．故共7种．18．复杂的排列组合问题也可用分解与合成法：例23．30030能被多少个不同偶数整除？解析：先把30030分解成质因数的形式：30030＝2×3×5×7×11×13；依题意偶因数2必取，3，5，7，11，13这5个因数中任取若干个组成成积，所有的偶因数为01234555555532C C C C C C +++++=个（或51232⋅=）．19．配对（配凑）问题：例24．5双相异的鞋共10只，现随机地取出6只，恰好能配成2双鞋的取法是多少？解析：222532120C C ⋅⋅=例25．50名选手参加乒乓球淘汰赛比赛，需要打多少场才能产生冠军? 淘汰赛比赛规则是：要淘汰1名选手必须进行1场比赛；反之，每进行1场比赛则淘汰1名选手． 解析：49．例26．有11名翻译人员，其中5名是英语翻译人员，4名是日语翻译人员，另2人英、日语均精通．现从中选出8人组成两个翻译小组，其中4人翻译英语，另4人翻译日语，则有多少种不同的选派方式？解析：44314224474264253512030185C C C C C C C C ++=++=．20．利用对应思想转化法：对应思想是教材中渗透的一种重要的解题方法，它可以将复杂的问题转化为简单问题处理．例27（1）圆周上有10点，以这些点为端点的弦相交于圆内的交点最多有多少个？（2）某城市的街区有12个全等的矩形组成，其中实线表示马路，从A 到B 的最短路径有多少种？解析：（1）因为圆的一个内接四边形的两条对角线相交于圆内一点，一个圆的内接四边形就对应着两条弦相交于圆内的一个交点，于是问题就转化为圆周上的10个点可以确定多少个不同的四边形，显然有410C 个，所以圆周上有10点，以这些点为端点的弦相交于圆内的交点有410210C =个．（2）解析：可将图中矩形的一边叫一小段，从A 到B 最短路线必须走7小段，其中：向东4段，向北3段；而且前一段的尾接后一段的首，所以只要确定向东走过4段的走法，便能确定路径，因此不同走法有4735C =种．21．全错位排列问题公式法：全错位排列问题（贺卡问题，信封问题）记住公式即可 瑞士数学家欧拉按一般情况给出了一个递推公式：用A 、B 、C ……表示写着n 位友人名字的信封，a 、b 、c ……表示n 份相应的写好的信纸．把错装的总数为记作f (n )．假设把a 错装进B 里了，包含着这个错误的一切错装法分两类：（1）b 装入A 里，这时每种错装的其余部分都与A 、B 、a 、b 无关，应有f (n －2)种错装法．（2）b 装入A 、B 之外的一个信封，这时的装信工作实际是把（除a 之外的）n －1个信纸b 、c ……装入（除B 以外的）n －1个信封A 、C ……，显然这时装错的方法有f (n －1)种．总之在a 装入B 的错误之下，共有错装法f (n －2)＋f (n －1)种．a 装入C ，装入D ……的n －2种错误之下，同样都有f (n －2)＋f (n －1)种错装法，因此得到一个递推公式： f (n )＝(n －1) ⋅[f (n －1)＋f (n －2)]，分别带入n ＝2、3、4等可推得结果．也可用迭代法推导出一般公式：1111()![1(1)]1!2!3!!n f n n n =⋅-+-+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+- 例28．设有编号为1，2，3，4，5的五个球和编号为1，2，3，4，5的盒子现将这5个球投入5个盒子要求每个盒子放一个球，并且恰好有两个球的号码与盒子号码相同，问有多少种不同的方法？解析：从5个球中取出2个与盒子对号有25C 种，还剩下3个球与3个盒子序号不能对应，利用枚举法分析，如果剩下3，4，5号球与3，4，5号盒子时，3号球不能装入3号盒子，当3号球装入4号盒子时，4，5号球只有1种装法，3号球装入5号盒子时，4，5号球也只有1种装法，所以剩下三球只有2种装法，因此总共装法数为25220C =种．22．几何问题：例30（1）以正方体的顶点为顶点的四面体共有（ ）A 、70种B 、64种C 、58种D 、52种（2）四面体的顶点和各棱中点共10点，在其中取4个不共面的点，不同的取法共有（ ）A 、150种B 、147种C 、144种D 、141种解析：（1）正方体8个顶点从中每次取四点，理论上可构成48C 四面体，但6个表面和6个对角面的四个顶点共面都不能构成四面体，所以四面体实际共有481258C -=个．（2）解析：10个点中任取4个点共有410C 种，其中四点共面的有三种情况：①在四面体的四个面上，每面内四点共面的情况为46C ，四个面共有464C 个；①过空间四边形各边中点的平行四边形共3个；①过棱上三点与对棱中点的三角形共6个．所以四点不共面的情况的种数是44106436141C C ---=种．23．染色问题：例32．在如图所示的六个空格里涂上红黄蓝三种颜色，每种颜色只能涂两次，要求相邻空格不同色，请问一共有多少种涂法？解析：由题意，红黄蓝三种颜色，每种颜色恰好涂了两次，分为两类：第一类可按一下步骤进行：第1步：涂第一格，有3种方法；第2步：涂第二格，有2种方法；第3步：用与第一格不同的颜色涂第三格，有1种方法；第4步：第四格可以涂与第三格颜色不同的，有2种方法．第5步：用不同的两色涂剩下的两格，有2种方法；所以有3×2×1×2×2＝24种第二类可按一下步骤进行：第1步：涂第一格，有3种方法；第2步：涂第二格，有2种方法；第3步：用与第一格相同的颜色涂第三格，有1种方法；第4步：第四格只能用没有用过的颜色涂，有种方法．第5步：第五格只能用涂第二格的颜色，第六格只能用涂第四格的颜色，有1种方法；所以有3×2×1×1×1＝6种所以，共有24＋6＝30种涂法．例33．某城市在中心广场建造一个花圃，花圃分为6个部分（如图），现要栽种4种不同颜色的花，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花，则不同的栽种方法有多少种？解析：注意4种颜色的花都有种上．34(1112)120A+++=。
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1．教学大楼共有4层，每层都有东西两个楼梯，由一层到4层共有()种走法？A．8B．23C．42D．24 2．按ABO血型系统学说，每个人的血型为A、B、O、AB型四种之一，依血型遗传学，当父母的血型中没有AB型时，子女的血型有可能是O型，若某人的血型是O型，则其父母血型的所有可能情况有()A．6种B．9种C．10种D．12种3．从集合{1,2,3，…，10}中任意选出三个不同的数，使这三个数成等比数列，这样的等比数列的个数为()A．5 B．4 C．6 D．84．已知a，b∈{0,1,2，…，9}，若满足|a－b|≤1，则称a，b“心有灵犀”．则a，b“心有灵犀”的情形共有()A．9种B．16种C．20种D．28种5．某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了2个新节目．如要将这2个节目插入原节目单中，那么不同插法的种类为()A．42 B．30 C．20 D．12 6．若从集合P到集合Q＝{a，b，c}所有的不同映射共有81个，则从集合Q到集合P所有的不同映射共有()A．32个B．27个C．81个D．64个7．有A、B两种类型的车床各一台，现有甲、乙、丙三名工人，其中甲、乙都会操作两种车床，丙只会操作A种车床，先从三名工人中选2名分别去操作以上车床，则不同的选派方法有()A．6种B．5种C．4种D．3种8．某外商计划在4个侯选城市投资3个不同的项目，且在同一个城市投资的项目不超过2个，则该外商不同的投资方案有()A．16种B．36种C．42种D．60种9．已知如图的每个开关都有闭合、不闭合两种可能，因此5个开关共有25种可能，在这25种可能中，电路从P到Q接通的情况有()A．30种B．10种C．16种D．24种(提示：按有几个开关闭合分类)10．给如图所示的4个区域涂上颜色，可得一个漂亮的“太极图”，现有红、黑、黄、蓝4种颜料供选用，要求每个区域只能涂一种颜色，且相邻的区域颜色不同，则不同的涂色方法的种数为()A．24 B．72 C．84 D．60 11．某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友，每位朋友1本，则不同的赠送方法共有()A．4种B．10种C．18种D．20种12．从正方体的6个表面中取3个面，使其中两个面没有公共点，则共有________种不同的取法．13．在一宝宝“抓周”的仪式上，他面前摆着2件学习用品，2件生活用品，1件娱乐用品，若他可抓其中的二件物品，则他抓的结果有________种．14．由1到200的自然数中，各数位上都不含8的有______个．15．已知互不相同的集合A、B满足A∪B＝{a，b}，则符合条件的A，B的组数共有________种．16．集合P＝{x,1}，Q＝{y,1,2}，其中x，y∈{1,2,3，…，9}，且P⊆Q.把满足上述条件的一对有序整数对(x，y)作为一个点的坐标，则这样的点的个数是________．17．有1元、2元、5元、10元、50元、100元人民币各一张，则由这6张人民币可组成________种不同的币值．18．用数字2,3组成四位数，且数字2,3至少都出现一次，这样的四位数共有________个．(用数字作答)19.如图所示，有五种不同颜色分别给A、B、C、D四个区域涂色，相邻区域必须涂不同颜色，若允许同一种颜色多次使用，则不同的涂色方法共有________．20．标号为A、B、C的三个口袋，A袋中有1个红色小球，B袋中有2个不同的白色小球，C袋中有3个不同的黄色小球，现从中取出2个小球．(1)若取出的两个球颜色不同，有多少种取法？(2)若取出的两个球颜色相同，有多少种取法？21．某电脑用户计划使用不超过500元的资金购买单价分别为60元的单片软件和70元的盒装磁盘．根据需要，软件至少买3张，磁盘至少买2盒．则不同的选购方式共有多少种？1．教学大楼共有4层，每层都有东西两个楼梯，由一层到4层共有( )种走法？A ．8B ．23C ．42D ．24答案 B 解析 由一层到二层有2种选择二层到三层有2种选择，三层到四层有2种选择，∴23＝8.2．按ABO 血型系统学说，每个人的血型为A 、B 、O 、AB 型四种之一，依血型遗传学，当父母的血型中没有AB 型时，子女的血型有可能是O 型，若某人的血型是O 型，则其父母血型的所有可能情况有( )A ．6种B ．9种C ．10种D ．12种答案 B 解析 找出其父母血型的所有情况分二步完成，第一步找父亲的血型，依题意有3种；第二步找母亲的血型也有3种，由分步乘法计数原理得：其父母血型的所有可能情况有3×3＝9种．3．从集合{1,2,3，…，10}中任意选出三个不同的数，使这三个数成等比数列，这样的等比数列的个数为( )A ．5B ．4C ．6D ．8答案 D 解析 分类考虑，当公比为2时，等比数列可为：1,2,4；2,4,8，当公比为3时，可为：1,3,9，当公比为32时，可为4,6,9，将以上各数列颠倒顺序时，也是符合题意的，因此，共有4×2＝8个． 4．已知a ，b ∈{0,1,2，…，9}，若满足|a －b |≤1，则称a ，b “心有灵犀”．则a ，b “心有灵犀”的情形共有( )A ．9种B ．16种C ．20种D ．28种答案 D 解析 当a 为0时，b 只能取0,1两个数；当a 为9时，b 只能取8,9两个数，当a 为其他数时，b 都可以取3个数．故共有28种情形．5．某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了2个新节目．如要将这2个节目插入原节目单中，那么不同插法的种类为( )A ．42B ．30C ．20D ．12答案 A 解析 将新增的2个节目分别插入原定的5个节目中，插入第一个有6种插法，插入第2个时有7个空，共7种插法，所以共6×7＝42(种)．6．若从集合P 到集合Q ＝{a ，b ，c }所有的不同映射共有81个，则从集合Q 到集合P 所有的不同映射共有( )A ．32个B ．27个C ．81个D ．64个答案 D 解析 可设P 集合中元素的个数为x ，由映射的定义以及分步乘法计数原理，可得P →Q 的映射种数为3x ＝81，可得x ＝4.反过来，可得Q →P 的映射种数为43＝64.7．有A 、B 两种类型的车床各一台，现有甲、乙、丙三名工人，其中甲、乙都会操作两种车床，丙只会操作A 种车床，先从三名工人中选2名分别去操作以上车床，则不同的选派方法有( )A ．6种B ．5种C ．4种D ．3种答案 C 解析 若选甲、乙2人，则包括甲操作A 车床，乙操作B 车床或甲操作B 车床，乙操作A 车床，共有2种选派方法；若选甲、丙2人，则只有甲操作B 车床，丙操作A 车床这1种选派方法；若选乙、丙2人，则只有乙B 车床，丙操作A 车床这1种选派方法．∴共有2＋1＋1＝4(种)不同的选派方法．8．某外商计划在4个侯选城市投资3个不同的项目，且在同一个城市投资的项目不超过2个，则该外商不同的投资方案有( )A ．16种B ．36种C ．42种D ．60种答案 D 解析 第一类：每个城市不超过1个，则有A 34＝4×3×2＝24；第二类：有一个城市投资两个项目，则有：C 14·C 23·C 13＝4×3×3＝36，共有24＋36＝60，故选D.9．已知如图的每个开关都有闭合、不闭合两种可能，因此5个开关共有25种可能，在这25种可能中，电路从P到Q接通的情况有()A．30种B．10种C．16种D．24种(提示：按有几个开关闭合分类)答案C解析5个开关闭合有1种接通方式；4个开关闭合有5种接通方式；3个开关闭合有8种接通方式；2个开关闭合有2种接通方式，故共有1＋5＋8＋2＝16(种)．10．给如图所示的4个区域涂上颜色，可得一个漂亮的“太极图”，现有红、黑、黄、蓝4种颜料供选用，要求每个区域只能涂一种颜色，且相邻的区域颜色不同，则不同的涂色方法的种数为()A．24 B．72 C．84 D．60答案D解析若用4种颜料涂色，则有A44＝24种；若用3种颜料涂色，则有A34＝24种；若用2种颜料涂色，则有A24＝12种，故共有24＋24＋12＝60种．11．某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友，每位朋友1本，则不同的赠送方法共有()A．4种B．10种C．18种D．20种答案B解析依题意，就所剩余的一本画册进行分类计数：第一类，剩余的是一本画册，此时满足题意的赠送方法共有4种；第二类，剩余的是一本集邮册，此时满足题意的赠送方法共有C24＝6(种)．因此，满足题意的赠送方法共有4＋6＝10(种)，选B.12．从正方体的6个表面中取3个面，使其中两个面没有公共点，则共有________种不同的取法．答案12解析分两步完成这件事，第一步取两个平行平面，有3种取法；第二步再取另外一个平面，有4种取法，由分步计数原理共有3×4＝12种取法．13．在一宝宝“抓周”的仪式上，他面前摆着2件学习用品，2件生活用品，1件娱乐用品，若他可抓其中的二件物品，则他抓的结果有________种．答案10解析设学习用品为a1，a2；生活用品为b1，b2，娱乐用品为c，则结果有：(a1，a2)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a1，c)，(a2，b1)(a2，b2)，(a2，c)，(b1，b2)，(b1，c)(b2，c)，共10种．14．由1到200的自然数中，各数位上都不含8的有______个．答案162个解析一位数8个，两位数8×9＝72个．3位数有9×9＝81个，另外1个(即200)，共有8＋72＋81＋1＝162个．15．已知互不相同的集合A、B满足A∪B＝{a，b}，则符合条件的A，B的组数共有________种．答案8解析当A＝Ø时，集合B＝{a，b}；当A只1个元素时，B可以有2种情况，此时有2×2＝4种情况；当A＝{a，b}时，集合B＝Ø，{a，}，{b}，此时有3种情况，综上可知，符合条件的A、B 共有1＋4＋3＝8种．16．集合P＝{x,1}，Q＝{y,1,2}，其中x，y∈{1,2,3，…，9}，且P⊆Q.把满足上述条件的一对有序整数对(x，y)作为一个点的坐标，则这样的点的个数是________．答案14个解析当x＝2时，x≠y，点的个数为1×7＝7(个)；当x≠2时，x＝y，点的个数为7×1＝7(个)．则共有14个点．17．有1元、2元、5元、10元、50元、100元人民币各一张，则由这6张人民币可组成________种不同的币值．答案63解析对于每一张人民币来说，都有两种选择，用或不用，而都不用则形不成币值，由分步计数原理．可得N＝2×2×2×2×2×2－1＝26－1＝63(种)18．用数字2,3组成四位数，且数字2,3至少都出现一次，这样的四位数共有________个．(用数字作答) 答案14解析因为四位数的每个数位上都有两种可能性，其中四个数字全是2或3的情况不合题意，所以适合题意的四位数有24－2＝14个．19.如图所示，有五种不同颜色分别给A、B、C、D四个区域涂色，相邻区域必须涂不同颜色，若允许同一种颜色多次使用，则不同的涂色方法共有________．答案180种解析按区域分四步：第一步A区域有5种颜色可选；第二步B区域有4种颜色可选；第三步C区域有3种颜色可选；第四步由于重复使用区域A中已有过的颜色，故也有3种颜色可选用．由分步计数原理，共有5×4×3×3＝180(种)20．标号为A、B、C的三个口袋，A袋中有1个红色小球，B袋中有2个不同的白色小球，C袋中有3个不同的黄色小球，现从中取出2个小球．(1)若取出的两个球颜色不同，有多少种取法？(2)若取出的两个球颜色相同，有多少种取法？解析(1)若两个球颜色不同，则应在A、B袋中各取一个或A、C袋中各取一个，或B、C袋中各取一个．∴应有1×2＋1×3＋2×3＝11种．(2)若两个球颜色相同，则应在B或C袋中取出2个．∴应有1＋3＝4种．21．某电脑用户计划使用不超过500元的资金购买单价分别为60元的单片软件和70元的盒装磁盘．根据需要，软件至少买3张，磁盘至少买2盒．则不同的选购方式共有多少种？答案7 解析可设购买60元的单片软件和70元的盒装磁盘分别为x片、y盒，依照所用资金不超过500元，来建立数学模型，从而解决问题．设购买单片软件x片，盒装磁盘y盒，则依题意有60x＋70y≤500，(x，y∈N*，有x≥3，y≥2)按购买x片分类；x＝3，则y＝2,3,4，共3种方法；x＝4，则y＝2,3，共2种方法；x＝5，则y＝2，共1种方法；x＝6，则y＝2，共1种方法．依分类计数原理不同的选购方式有N＝3＋2＋1＋1＝7(种)．答：不同的选购方式有7种．探究本题主要考查分类计数原理的灵活运用，在解题中要特别注意知识的联想和应用．作业1．有这样一种数字游戏：在3×3的表格中，要求要每个格子中都填上1,2,3三个数字中的某一个数字，并且每一行和每一列都不能出现重复的数字．若游戏开始时表格的第一行第一列已经填上了数字1(如图①)，则此游戏有________种不同的填法；若游戏开始时表格是空白的(如图②)，则此游戏共有________种不同的填法．① 2．设直线方程为Ax ＋By ＝0，从1,2,3,4,5中每次取两个不同的数作为A 、B 的值，则所得不同直线的条数为( )A ．20B ．19C ．18D ．163．如图所示的阴影部分由方格纸上3个小方格组成，我们称这样的图案为L 型(每次旋转90°仍为L 形图案)，那么在由4×5个小方格组成的方格纸上可以画出不同位置的L 形图案的个数是( )A ．16B ．32C ．48D ．644．已知数列{a n }是公比为q 的等比数列，集合A ＝{a 1，a 2，…，a 10}，从A 中选出4个不同的数，使这4个数成等比数列，这样得到4个数的不同的等比数列的个数为________．5．给n 个自上而下相连的正方形着黑色或白色．当n ≤4时，在所有不同的着色方案中，黑色正方形互不相邻的着色方案如下图所示：由此推断，当n ＝6时，黑色正方形互不相邻的着色方案共有________种，至少有两个黑色正方形相邻的着色方案共有________种．(结果用数值表示)6．“渐升数”是指每个数字比它左边的数字大的正整数(如1458)，若把四位“渐升数”按从小到大的顺序排列，则第30个数为________．7．某单位职工义务献血，在体检合格的人中，O型血的共有28人，A型血的共有7个，B型血的共有9个，AB型血的有3个．(1)从中任选1人去献血，有多少种不同的选法？(2)从四种血型的人中各选1个去献血，有多少种不同的选法？8．从{－3，－2，－1,0,1,2,3}中任取3个不同的数作为抛物线方程y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的系数，如果抛物线过原点且顶点在第一象限，则这样的抛物线共有多少条？9．如图所示，将一个四棱锥的每一个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两端异色，如果只有5种颜色可供使用，求不同的染色方法总数．1．有这样一种数字游戏：在3×3的表格中，要求要每个格子中都填上1,2,3三个数字中的某一个数字，并且每一行和每一列都不能出现重复的数字．若游戏开始时表格的第一行第一列已经填上了数字1(如图①)，则此游戏有________种不同的填法；若游戏开始时表格是空白的(如图②)，则此游戏共有________种不同的填法．① ②答案 4 12解析 对于图①，第1行有2种填法，其余空格有2种填法，故共有4种填法．对于图②，第1行有6种填法，其余空格有2种填法，故共有6×2＝12(种)填法．2．设直线方程为Ax ＋By ＝0，从1,2,3,4,5中每次取两个不同的数作为A 、B 的值，则所得不同直线的条数为( ) A ．20 B ．19 C ．18 D ．16答案 C 解析 确定直线只需依次确定系数A ，B 即可．先确定A ，有5种取法，再确定B 有4种取法，由分步乘法计数原理得5×4＝20种，但是x ＋2y ＝0与2x ＋4y ＝0,2x ＋y ＝0与4x ＋2y ＝0表示相同的直线，所以不同的直线条数为20－2＝18(条)．3．如图所示的阴影部分由方格纸上3个小方格组成，我们称这样的图案为L 型(每次旋转90°仍为L 形图案)，那么在由4×5个小方格组成的方格纸上可以画出不同位置的L 形图案的个数是( )A ．16B ．32C ．48D ．64答案 C 解析 每四个小正方形图案，都可画出四个不同的L 形图案，该图中共有12个这样的正方形，故可画出不同位置L 形图案的个数为4×12＝48个．4．已知数列{a n }是公比为q 的等比数列，集合A ＝{a 1，a 2，…，a 10}，从A 中选出4个不同的数，使这4个数成等比数列，这样得到4个数的不同的等比数列的个数为________．答案 24解析 当公比为q 时，满足题意的等比数列有7种，当公比为1q时，满足题意的等比数列有7种，当公比为q 2时，满足题意的等比数列有4种，当公比为1q2时，满足题意的等比数列有4种，当公比为q 3时，满足题意的等比数列有1种，当公比为1q3时，满足题意的等比数列有1种，因此满足题意的等比数列共有7＋7＋4＋4＋1＋1＝24(种)．5．给n个自上而下相连的正方形着黑色或白色．当n≤4时，在所有不同的着色方案中，黑色正方形互不相邻的着色方案如下图所示：由此推断，当n＝6时，黑色正方形互不相邻的着色方案共有________种，至少有两个黑色正方形相邻的着色方案共有________种．(结果用数值表示)答案2143解析(1)当n＝6时，如果没有黑色正方形有1种方案，当有1个黑色正方形时，有6种方案，当有两个黑色正方形时，采用插空法，即两个黑色正方形插入四个白色正方形形成的5个空内，有C25＝10种方案，当有三个黑色正方形时，同上方法有C34＝4种方案，由图可知不可能有4个，5个，6个黑色正方形，综上可知共有21种方案．(2)将6个正方形空格涂有黑白两种颜色，每个空格都有两种方案，由分步计数原理一共有26种方案，本问所求事件为(1)的对立事件，故至少有两个黑色正方形相邻的方案有26－21＝43种．6．“渐升数”是指每个数字比它左边的数字大的正整数(如1458)，若把四位“渐升数”按从小到大的顺序排列，则第30个数为________．答案1359解析渐升数由小到大排列，形如的渐升数共有：6＋5＋4＋3＋2＋14,5,6,7,8,9六个数字选一个，有6种等；形如的渐升数共有5个；形如的渐升数共有4个，故此时共有30个必为1359，所以应填1359.7．某单位职工义务献血，在体检合格的人中，O型血的共有28人，A型血的共有7个，B型血的共有9个，AB型血的有3个．(1)从中任选1人去献血，有多少种不同的选法？(2)从四种血型的人中各选1个去献血，有多少种不同的选法？解析从O型血的人中选1个有28种不同的选法，从A型血的人中选1人有7种不同的选法，从B 型血的人中选1人有9种不同的选法，从AB型血的人中选1个人有3种不同的选法．(1)任选1人去献血，即无论选哪种血型的哪一个人，这件“任选1人去献血”的事情已完成，所以由分类计数原理，共有28＋7＋9＋3＝47种不同的选法．(2)要从四种血型的人中各选1人，即要在每种血型的人中依次选出1人后，这件“各选1人去献血”的事情才完成，所以用分步计数原理，共有28×7×9×3＝5292种不同的选法．8．从{－3，－2，－1,0,1,2,3}中任取3个不同的数作为抛物线方程y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的系数，如果抛物线过原点且顶点在第一象限，则这样的抛物线共有多少条？解析由抛物线过原点知c＝0，由(－b2a，4ac－b24a)在第一象限得⎩⎪⎨⎪⎧－b2a>0－b24a>0，⇒⎩⎨⎧ab<0，a<0，∴a<0，b>0，c＝0.由分步乘法计数原理．得N＝3×3×1＝9.即符合条件的抛物线有9条．9．如图所示，将一个四棱锥的每一个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两端异色，如果只有5种颜色可供使用，求不同的染色方法总数．解析方法一可分为两大步进行，先将四棱锥一侧面三顶点染色，然后再分类考虑另外两顶点的染色数，用分步乘法原理即可得出结论．由题设，四棱锥S－ABCD的顶点S、A、B所染的颜色互不相同，它们共有5×4×3＝60种染色方法．当S、A、B染好时，不妨设其颜色分别为1、2、3，若C染2，则D可染3或4或5，有3种染法；若C染4，则D可染3或5，有2种染色；若C染5，则D可染3或4，有2种染法．可见，当S、A、B 已染好时，C、D还有7种染法，故不同的染色方法有60×7＝420种．方法二以S、A、B、C、D顺序分步染色．第一步，S点染色，有5种方法；第二步，A点染色，与S在同一条棱上，有4种方法；第三步，B点染色，与S、A分别在同一条棱上，有3种方法；第四步，C点染色，也有3种方法，但考虑到D点与S、A、C相邻，需要针对A与C是否同色进行分类，当A与C同色时，D点有3种染色方法；当A与C不同色时，因为C与S、B也不同色，所以C点有2种染色方法，D点也有2种染色方法．由分步乘法、分类加法计数原理得不同的染色方法共有5×4×3(1×3＋2×2)＝420种．方法三按所用颜色种数分类．第一类，5种颜色全用，共有A55种不同的方法；第二类，只有4种颜色，则必有某两个顶点同色(A与C，或B与D)，共有2×A45种不同的方法；第三类，只有3种颜色，则A与C、B与D必定同色，共有A35种不同的方法．由分类加法计数原理，得不同的染色方法总数为A55＋2×A45＋A35＝420种．11。