(人大版)线性代数PPT课件：线性代数期末复习
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初等行变换 化成行简化的阶梯形矩阵 第四步 写出方程组的解
例4 例5 例6
4. 基础解系
如果1 2 s是齐次线性方程组Ax0的解向量组的一个极 大无关组 则称1 2 s是方程组Ax0的一个基础解系
(基础解系中解向量的个数) 如果齐次线性方程组Ax0的系数矩阵A的秩r(A)rn 则
方程组的基础解系存在 且每个基础解系中 恰含有n r个解
0 0 0 a11a22 L ann M
0 0 0 L ann
2. 二阶、三阶行列式的计算；
主对角线 副对角线
a11 a21
a12 a22
a11a22
a12a21
对角线法则
a11 a12 a13 D a21 a22 a23
a31 a32 a33
实线上的三个元素的乘积冠正号， 虚线上的三个元素的乘积冠负号.
5 2)的一个极大无关组 并把其余向量用该极大无关组线性 表示
二、线性方程组
1. 写法
a11x1 a12x2 L a1n xn b1 aa2mL11xx11Laa2mL22xx22LLLLaaL2mnnxxLnnbb2m 矩阵形式为 Axb
A称为方程组的系数矩阵 b称为方程组的常数项矩阵 x称为n
并求它们的夹角。
例6 求与1(1, 2, 1)T与2 (0,22)T都正交的单位
向量。
例7 设线性无关的向量组1(1, 1, 1, 1)T 2(3, 3, 1, 1)T 3(2, 0, 6, 8)T 试将1 2 3正交化
三、相似对角化
1. 相似矩阵的定义
设A B为n阶矩阵 如果有n阶非奇异矩阵P存在 使得 P1APB
A 2 4 2 2 2 0
求矩阵P，使得 P1AP 为对角矩阵，并求 A5
3. 正交相似对角化的定义
如果存在正交矩阵Q，Q1AQ QT AQ 是对角矩阵。
则称A可以正交相似对角化。
定理 设A为实对称矩阵 则存在正交矩阵Q 使Q1AQ为对角矩阵
2 2 2
例10
设实对称矩阵A 2
2
5 4
an1 an2 an3 L
0 0 0 a11a22 L ann M ann
上三角形行列式
a11 a12 a13 L 0 a22 a23 L 0 0 a33 L MMM
0 0 0L
a1n a2n a3n a11a22 L ann M
ann
对角行列式
a11 0 0 L 0 a22 0 L 0 0 a33 L MMM
相似，
4 2 1
0 0 4
求x, y 的值。
2. 相似对角化的定义
如果矩阵A和一个对角阵相似，则称A可以相似对角
化。即存在可逆矩阵P，P1AP 是对角矩阵。
(矩阵可对角化的条件)
n阶矩阵A与n阶对角矩阵diag(1 2 n)相似的充分
必要条件为矩阵A有n个线性无关的特征向量
1 1 1
例9
1. 定义
设A为n阶矩阵 如果存在数和n维非零列向量使得 A
则称为A的一个特征值 称为A的对应于特征值的特征向
量
2. 求法
求特征值和特征向量的步骤
(1)解A的特征方程|IA|0 求出A的n个特征值1 2 n(其中可能有重根)
(2)对每一特征值i 求解齐次线性方程组(iIA)x0 得 此方程组的基础解系1 2 s 则A的对应于i的全部特征
a21x1 L
a22x2 LL
L L
a2nxn LL
0
an1x1 an2x2 L annxn 0
则方程组称为齐次线性方程组
如果齐次线性方程组的系数行列式D0 则它仅有零解
这个定理也可以说成 如果齐次线性方程组有非零解 则 它的系数行列式D0
【例6】
第二章 矩阵
一、矩阵的运算
1. 加法、数乘、乘法、转置、幂； 2. 矩阵行列式；
例7
设向量组1，L ,s为线性方程组Ax 0 的一个基础解系。 1 t11 t22，2 t12 t23，L ,s t1s t21，
其中t1, t2是实数。
试问：当t1,t2满足什么关系时，1, 2,L ,s 也是Ax 0 的一个基础解系
第四章 矩阵的特征值和特征向量
一、特征值与特征向量
成立 则称矩阵A与B相似 记为A~B
(相似矩阵的特征值) 如果n阶矩阵A B相似 则它们有相同的特征值
相似矩阵的性质 (1)相似矩阵有相同的秩 (2)相似矩阵的行列式相等 (3)相似矩阵或都可逆或都不可逆 当它们可逆时 它们的
逆矩阵也相似
1 2 4
5 0 0
例8
已知矩阵A
2
x
2
Leabharlann Baidu
与
0
y
0
矩阵形式为 Ax0
2. 解的判断
(解的情况判定) 线性方程组Axb有解的充分必要条件是r(A)r(A b)且
当r(A b)n时方程组有唯一解 当r(A b)n时方程组有无穷多 解
3. 解的求法
用消元法解线性方程组的一般步骤 第一步 对增广矩阵施以初等行变换 化成阶梯形矩阵 第二步 根据定理判断方程组是否有解 第三步 如果方程组有解 则对上述阶梯形矩阵继续进行
f(x)xTAx (ATA) 称为二次型的矩阵形式
a11 a12 L
A
a21 M
a22 M
L
an1 an2 L
a1n a2n M ann
例1 把二次型写为矩阵形式
f x12 2x1x2 2x1x32x22 4x2x3x32
2. 标准二次型和规范二次型
例2 二次型f x1, x2, x3 的标准型为2y12 4y22 5y32,则其规范型为
4 5
求正交矩阵Q 使Q 1AQ为对角矩阵
第五章 二次型
一、二次型
1. 定义
只含有二次项的n元多项式
f (x1, x2,L , xn) a11x12 2a12x1x2 L 2a1nx1xn a22x22 L 2a2n x2xn L L
称为x1 x2 xn的一个n元二次型
ann xn2
向量为
c11c22 css
其中c1 c1 cs为不全为零的任意常数
例1 例2
例3 3阶矩阵A 的3个特征值为1, 1, 2,，则A2 2A 的3个特征值为
二、正交
1. 定义
(正交矩阵) 设n阶实矩阵Q 满足QTQI 则称Q为正交矩阵
施密特正交化方法
对于Rn中的线性无关向量组1 2 s 令 11
1 1
1 2
0 1
2 0
2 1 10
4. n阶行列式的计算
【例5】 求行列式
x a aK a a x aL a D a a x K a K K KK K a a aK x
三、克莱姆法则
a11x1 a12x2 L a1nxn b1
a21x1 L
a22 L
x2 L
L L
a2n L
xn L
如果 n 维向量组 1 2 s 中的一个线性无关的部分组 j1 j2 jr (rs) r 已达到最大可能 即如果除这 r 个向量以外
向量组中还有其他向量 那么任意 r1 个向量构成的部分组均
线性相关 则 j1 j2 jr 称为向量组 1 2 s 的一个极大
线性无关部分组 简称极大无关组
(极大无关组的判断法) 如果 j1 j2 jr 是 1 2 s 的线性无关部分组 它是
1 2 s (A)
及
1 2 t (B)
如果向量组(A) (B)可以相互线性表示 则称向量组(A)与(B)
等价
2. 线性相关与线性无关
对于向量组1 2 s 如果存在一组不全为零的数k1 k2
ks 使关系式
k11k22 kss0 成立 则称向量组1 2 s线性相关 如果上式当且仅当 k1k2 ks0时成立 则称向量组1 2 s线性无关
二、逆矩阵
1. 求逆矩阵的两种方法
A1
|
1 A|
A*
(A I) 初等行变换(I A1)
例5 例6
2. 利用定义求逆矩阵
例7 设方阵A满足A2 A 4E 0，证明A E可逆并求其逆。
3. 分块矩阵的逆矩阵
例8 求逆矩阵
0 0 0 1
A
0
0
2
0
0 3 0 0
4
0
0
0
三、矩阵的初等变换
an1 an2 L
a1n
a2n M
0
ann
推论2 当向量组中所含向量的个数大于向量的维数时 此向量
组线性相关
例1 判断向量组
1(1 2 1 5) 2(2 1 1 1) 3(4 3 1 11)
是否线性相关
例2 证明 如果向量组 线性无关 则向量组 亦线性无关
3. 向量组的极大无关组与秩
(极大无关组)
2. 余子式和代数余子式；
【例1】 求排列 453162 的逆序数.
【例2】 求行列式的余子式和代数余子式.
3 1 1 2 5 1 3 4
2 0 1 1 1 5 3 3
求M41，A41 .
二、行列式的计算
1. 基本结论；
下三角形行列式
a11 0 0 L a21 a22 0 L a31 a32 a33 L MMM
a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a13a22a31a12a21a33 a11a23a32
注意：对角线法则只适用于二阶与三阶行列式.
12 3 例3 4 0 5
1 0 6
1 11 x 2 3 0,则x x2 4 9
3. 四阶行列式的计算
0 1 1 2
例4
计算行列式D
极大无关组的充分必要条件是 1 2 s 中每一个向量都可 由 j1 j2 jr 线性表示
(向量组的秩)
向量组1 2 s的极大无关组所含向量的个数 称为 向量组的秩 记为r(1 2 s)
规定 全由零向量组成的向量组的秩为零
例3 求向量组1(2 4 2) 2(1 1 0) 3(2 3 1) 4(3
(线性相关的判断法)
对于m维列向量组1 2 n 1 2 n线性相关的 充分必要条件是 以1 2 n为列向量的矩阵的秩小于向
量的个数n
推论1
设n个n维向量j(a1j a2j anj)( j1 2 n) 则向量组 1 2 n线性相关的充分必要条件是
a11 a12 L a21 a22 L MM
1. 利用初等行变换化为阶梯型矩阵 2. 利用初等行变换化为简化阶梯型矩阵
例9 化阶梯型矩阵与简化的阶梯型矩阵
四、矩阵的秩
求矩阵的秩的方法
例10
第三章 线性方程组
一、向量组
1. 线性组合与线性表示
对于给定向量 1 2 s 如果存在一组数k1 k2 ks 使
关系式
k11k22 kss 成立 则称向量是向量组1 2 s的线性组合 或称向量 可以由向量组1 2 s线性表示
元未知量矩阵
a11 a12 L a1n b1
(A
b)
a21 M
a22 M
L
a2n M
b2 M
am1 am2 L amn bm
线性方程组与增广矩阵是一一对应的
a11x1 a12x2 L a1nxn 0
a21x1 a22x2 L a2n xn 0 LLLLLLL
am1x1 am2x2 L amn xn 0
二、逆矩阵
1. 逆矩阵的定义 2. 求逆矩阵
三、矩阵的初等变换
四、矩阵的秩
一、矩阵的运算
例1
例2
1 7 1
2
A
1
0 3
1
2
,
B
4 2
2 0
3
,
求 ABT .
1
例3 设A为三阶矩阵 若已知|A|2 求||A|A2AT|
例4
设P
1 1
2 1
，
1 0
02，且AP P，则A2
线性代数复习
第一章 行列式
一、基本概念
1. 排列和逆序数； 2. 余子式和代数余子式；
二、行列式的计算
1. 基本结论：对角与三角；分块对角与三角；范德蒙； 2. 二阶、三阶：对角线法则； 3. 四阶：化三角形；化零展开； 4. n 阶：行和、列和相等形；
三、克莱姆法则
一、基本概念
1. 排列和逆序数；
线性表示的判断
向量可由向量组1 2 n线性表示的充分必要条件是以 1 2 n为列向量的矩阵与以1 2 n 为列向量的
矩阵有相同的秩
设有两个向量组
1 2 s (A)
及
1 2 t (B)
如果向量组(A)中每一向量都可由向量组(B)线性表示 则称向
量组(A)可由向量组(B)线性表示
设有两个向量组
2
2
T 2
1T
1 1
1
3
3
3T 1T
1 1
1
T 3
T 2
2 2
2
s
s
T s
1T
1 1
1
T s
T 2
2 2
2
T s
s1
T s1 s1
s1
可以验证 向量组1 2 s是正交向量组 并且可以与 向量组1 2 s相互线性表示
例4 求1(1, 1, 1, 1)T的长度
例5 求 2(3, 3, 1, 1)T与3(2, 0, 6, 8)T的内积，
b2
an1x1 an2x2 L annxn bn
当其系数行列式D0时 有且仅有唯一解
x
j
Dj D
( j1 2 n)
其中Dj (j1 2 n)是将系数行列式中第j列的元素a1j a2j
anj对应地换为方程组的常数项b1 b2 bn后得到的行列式
如果线性方程组的常数项均为零 即
a11x1 a12x2 L a1nxn 0
例4 例5 例6
4. 基础解系
如果1 2 s是齐次线性方程组Ax0的解向量组的一个极 大无关组 则称1 2 s是方程组Ax0的一个基础解系
(基础解系中解向量的个数) 如果齐次线性方程组Ax0的系数矩阵A的秩r(A)rn 则
方程组的基础解系存在 且每个基础解系中 恰含有n r个解
0 0 0 a11a22 L ann M
0 0 0 L ann
2. 二阶、三阶行列式的计算；
主对角线 副对角线
a11 a21
a12 a22
a11a22
a12a21
对角线法则
a11 a12 a13 D a21 a22 a23
a31 a32 a33
实线上的三个元素的乘积冠正号， 虚线上的三个元素的乘积冠负号.
5 2)的一个极大无关组 并把其余向量用该极大无关组线性 表示
二、线性方程组
1. 写法
a11x1 a12x2 L a1n xn b1 aa2mL11xx11Laa2mL22xx22LLLLaaL2mnnxxLnnbb2m 矩阵形式为 Axb
A称为方程组的系数矩阵 b称为方程组的常数项矩阵 x称为n
并求它们的夹角。
例6 求与1(1, 2, 1)T与2 (0,22)T都正交的单位
向量。
例7 设线性无关的向量组1(1, 1, 1, 1)T 2(3, 3, 1, 1)T 3(2, 0, 6, 8)T 试将1 2 3正交化
三、相似对角化
1. 相似矩阵的定义
设A B为n阶矩阵 如果有n阶非奇异矩阵P存在 使得 P1APB
A 2 4 2 2 2 0
求矩阵P，使得 P1AP 为对角矩阵，并求 A5
3. 正交相似对角化的定义
如果存在正交矩阵Q，Q1AQ QT AQ 是对角矩阵。
则称A可以正交相似对角化。
定理 设A为实对称矩阵 则存在正交矩阵Q 使Q1AQ为对角矩阵
2 2 2
例10
设实对称矩阵A 2
2
5 4
an1 an2 an3 L
0 0 0 a11a22 L ann M ann
上三角形行列式
a11 a12 a13 L 0 a22 a23 L 0 0 a33 L MMM
0 0 0L
a1n a2n a3n a11a22 L ann M
ann
对角行列式
a11 0 0 L 0 a22 0 L 0 0 a33 L MMM
相似，
4 2 1
0 0 4
求x, y 的值。
2. 相似对角化的定义
如果矩阵A和一个对角阵相似，则称A可以相似对角
化。即存在可逆矩阵P，P1AP 是对角矩阵。
(矩阵可对角化的条件)
n阶矩阵A与n阶对角矩阵diag(1 2 n)相似的充分
必要条件为矩阵A有n个线性无关的特征向量
1 1 1
例9
1. 定义
设A为n阶矩阵 如果存在数和n维非零列向量使得 A
则称为A的一个特征值 称为A的对应于特征值的特征向
量
2. 求法
求特征值和特征向量的步骤
(1)解A的特征方程|IA|0 求出A的n个特征值1 2 n(其中可能有重根)
(2)对每一特征值i 求解齐次线性方程组(iIA)x0 得 此方程组的基础解系1 2 s 则A的对应于i的全部特征
a21x1 L
a22x2 LL
L L
a2nxn LL
0
an1x1 an2x2 L annxn 0
则方程组称为齐次线性方程组
如果齐次线性方程组的系数行列式D0 则它仅有零解
这个定理也可以说成 如果齐次线性方程组有非零解 则 它的系数行列式D0
【例6】
第二章 矩阵
一、矩阵的运算
1. 加法、数乘、乘法、转置、幂； 2. 矩阵行列式；
例7
设向量组1，L ,s为线性方程组Ax 0 的一个基础解系。 1 t11 t22，2 t12 t23，L ,s t1s t21，
其中t1, t2是实数。
试问：当t1,t2满足什么关系时，1, 2,L ,s 也是Ax 0 的一个基础解系
第四章 矩阵的特征值和特征向量
一、特征值与特征向量
成立 则称矩阵A与B相似 记为A~B
(相似矩阵的特征值) 如果n阶矩阵A B相似 则它们有相同的特征值
相似矩阵的性质 (1)相似矩阵有相同的秩 (2)相似矩阵的行列式相等 (3)相似矩阵或都可逆或都不可逆 当它们可逆时 它们的
逆矩阵也相似
1 2 4
5 0 0
例8
已知矩阵A
2
x
2
Leabharlann Baidu
与
0
y
0
矩阵形式为 Ax0
2. 解的判断
(解的情况判定) 线性方程组Axb有解的充分必要条件是r(A)r(A b)且
当r(A b)n时方程组有唯一解 当r(A b)n时方程组有无穷多 解
3. 解的求法
用消元法解线性方程组的一般步骤 第一步 对增广矩阵施以初等行变换 化成阶梯形矩阵 第二步 根据定理判断方程组是否有解 第三步 如果方程组有解 则对上述阶梯形矩阵继续进行
f(x)xTAx (ATA) 称为二次型的矩阵形式
a11 a12 L
A
a21 M
a22 M
L
an1 an2 L
a1n a2n M ann
例1 把二次型写为矩阵形式
f x12 2x1x2 2x1x32x22 4x2x3x32
2. 标准二次型和规范二次型
例2 二次型f x1, x2, x3 的标准型为2y12 4y22 5y32,则其规范型为
4 5
求正交矩阵Q 使Q 1AQ为对角矩阵
第五章 二次型
一、二次型
1. 定义
只含有二次项的n元多项式
f (x1, x2,L , xn) a11x12 2a12x1x2 L 2a1nx1xn a22x22 L 2a2n x2xn L L
称为x1 x2 xn的一个n元二次型
ann xn2
向量为
c11c22 css
其中c1 c1 cs为不全为零的任意常数
例1 例2
例3 3阶矩阵A 的3个特征值为1, 1, 2,，则A2 2A 的3个特征值为
二、正交
1. 定义
(正交矩阵) 设n阶实矩阵Q 满足QTQI 则称Q为正交矩阵
施密特正交化方法
对于Rn中的线性无关向量组1 2 s 令 11
1 1
1 2
0 1
2 0
2 1 10
4. n阶行列式的计算
【例5】 求行列式
x a aK a a x aL a D a a x K a K K KK K a a aK x
三、克莱姆法则
a11x1 a12x2 L a1nxn b1
a21x1 L
a22 L
x2 L
L L
a2n L
xn L
如果 n 维向量组 1 2 s 中的一个线性无关的部分组 j1 j2 jr (rs) r 已达到最大可能 即如果除这 r 个向量以外
向量组中还有其他向量 那么任意 r1 个向量构成的部分组均
线性相关 则 j1 j2 jr 称为向量组 1 2 s 的一个极大
线性无关部分组 简称极大无关组
(极大无关组的判断法) 如果 j1 j2 jr 是 1 2 s 的线性无关部分组 它是
1 2 s (A)
及
1 2 t (B)
如果向量组(A) (B)可以相互线性表示 则称向量组(A)与(B)
等价
2. 线性相关与线性无关
对于向量组1 2 s 如果存在一组不全为零的数k1 k2
ks 使关系式
k11k22 kss0 成立 则称向量组1 2 s线性相关 如果上式当且仅当 k1k2 ks0时成立 则称向量组1 2 s线性无关
二、逆矩阵
1. 求逆矩阵的两种方法
A1
|
1 A|
A*
(A I) 初等行变换(I A1)
例5 例6
2. 利用定义求逆矩阵
例7 设方阵A满足A2 A 4E 0，证明A E可逆并求其逆。
3. 分块矩阵的逆矩阵
例8 求逆矩阵
0 0 0 1
A
0
0
2
0
0 3 0 0
4
0
0
0
三、矩阵的初等变换
an1 an2 L
a1n
a2n M
0
ann
推论2 当向量组中所含向量的个数大于向量的维数时 此向量
组线性相关
例1 判断向量组
1(1 2 1 5) 2(2 1 1 1) 3(4 3 1 11)
是否线性相关
例2 证明 如果向量组 线性无关 则向量组 亦线性无关
3. 向量组的极大无关组与秩
(极大无关组)
2. 余子式和代数余子式；
【例1】 求排列 453162 的逆序数.
【例2】 求行列式的余子式和代数余子式.
3 1 1 2 5 1 3 4
2 0 1 1 1 5 3 3
求M41，A41 .
二、行列式的计算
1. 基本结论；
下三角形行列式
a11 0 0 L a21 a22 0 L a31 a32 a33 L MMM
a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a13a22a31a12a21a33 a11a23a32
注意：对角线法则只适用于二阶与三阶行列式.
12 3 例3 4 0 5
1 0 6
1 11 x 2 3 0,则x x2 4 9
3. 四阶行列式的计算
0 1 1 2
例4
计算行列式D
极大无关组的充分必要条件是 1 2 s 中每一个向量都可 由 j1 j2 jr 线性表示
(向量组的秩)
向量组1 2 s的极大无关组所含向量的个数 称为 向量组的秩 记为r(1 2 s)
规定 全由零向量组成的向量组的秩为零
例3 求向量组1(2 4 2) 2(1 1 0) 3(2 3 1) 4(3
(线性相关的判断法)
对于m维列向量组1 2 n 1 2 n线性相关的 充分必要条件是 以1 2 n为列向量的矩阵的秩小于向
量的个数n
推论1
设n个n维向量j(a1j a2j anj)( j1 2 n) 则向量组 1 2 n线性相关的充分必要条件是
a11 a12 L a21 a22 L MM
1. 利用初等行变换化为阶梯型矩阵 2. 利用初等行变换化为简化阶梯型矩阵
例9 化阶梯型矩阵与简化的阶梯型矩阵
四、矩阵的秩
求矩阵的秩的方法
例10
第三章 线性方程组
一、向量组
1. 线性组合与线性表示
对于给定向量 1 2 s 如果存在一组数k1 k2 ks 使
关系式
k11k22 kss 成立 则称向量是向量组1 2 s的线性组合 或称向量 可以由向量组1 2 s线性表示
元未知量矩阵
a11 a12 L a1n b1
(A
b)
a21 M
a22 M
L
a2n M
b2 M
am1 am2 L amn bm
线性方程组与增广矩阵是一一对应的
a11x1 a12x2 L a1nxn 0
a21x1 a22x2 L a2n xn 0 LLLLLLL
am1x1 am2x2 L amn xn 0
二、逆矩阵
1. 逆矩阵的定义 2. 求逆矩阵
三、矩阵的初等变换
四、矩阵的秩
一、矩阵的运算
例1
例2
1 7 1
2
A
1
0 3
1
2
,
B
4 2
2 0
3
,
求 ABT .
1
例3 设A为三阶矩阵 若已知|A|2 求||A|A2AT|
例4
设P
1 1
2 1
，
1 0
02，且AP P，则A2
线性代数复习
第一章 行列式
一、基本概念
1. 排列和逆序数； 2. 余子式和代数余子式；
二、行列式的计算
1. 基本结论：对角与三角；分块对角与三角；范德蒙； 2. 二阶、三阶：对角线法则； 3. 四阶：化三角形；化零展开； 4. n 阶：行和、列和相等形；
三、克莱姆法则
一、基本概念
1. 排列和逆序数；
线性表示的判断
向量可由向量组1 2 n线性表示的充分必要条件是以 1 2 n为列向量的矩阵与以1 2 n 为列向量的
矩阵有相同的秩
设有两个向量组
1 2 s (A)
及
1 2 t (B)
如果向量组(A)中每一向量都可由向量组(B)线性表示 则称向
量组(A)可由向量组(B)线性表示
设有两个向量组
2
2
T 2
1T
1 1
1
3
3
3T 1T
1 1
1
T 3
T 2
2 2
2
s
s
T s
1T
1 1
1
T s
T 2
2 2
2
T s
s1
T s1 s1
s1
可以验证 向量组1 2 s是正交向量组 并且可以与 向量组1 2 s相互线性表示
例4 求1(1, 1, 1, 1)T的长度
例5 求 2(3, 3, 1, 1)T与3(2, 0, 6, 8)T的内积，
b2
an1x1 an2x2 L annxn bn
当其系数行列式D0时 有且仅有唯一解
x
j
Dj D
( j1 2 n)
其中Dj (j1 2 n)是将系数行列式中第j列的元素a1j a2j
anj对应地换为方程组的常数项b1 b2 bn后得到的行列式
如果线性方程组的常数项均为零 即
a11x1 a12x2 L a1nxn 0