二次根式培优
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《二次根式》复习
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一、 二次根式的有关概念
1.
二次根式: 形如 的式子叫做二次根式,二次根式有意义的条件是被
开放数a ≥0.
2. 最简二次根式: (1)被开方数中不含有 . (2)被开方数中不含有开得尽方的因数或因式.
例:二次根式
b a x x ++22,40,2,30,12,2
1
中,是最简二次根式的有____________________ ________.
下列各式中是最简二次根式的是 ( )
(A )a 18 (B )2
x (C )22n m + (D )y x 2
3 3.
同类二次根式: 几个二次根式化成最简二次根式后,如果 ,
那么这几个二次根式就叫做同类二次根式.
例:下面与2是同类二次根式的是 ( ) (A )
3 (B )12 (C )8 (D )12-
下列根式中与a 是同类二次根式的是 ( )
(A )
a 2 (B )23a (C )
a
1 (D )4a 二、 二次根式的性质
1. 非负性:二次根式a 中被开方数a ≥0,且a ≥0.
2.
()
=2
a (a ≥0).
3. ==a a 2 .
三、 二次根式的运算
1. 乘法公式: =⋅b a (a ≥0,b ≥0).
2. 积的算术平方根: =ab (a ≥0,b ≥0).
(a ≥0) (a ﹤0)
3. 除法公式: ==
÷b
a b a (a ≥0,b ﹥0).
4. 商的算术平方根:
=b
a
(a ≥0,b ﹥0). 5. 二次根式的加减:二次根式加减时,先将二次根式化成 ,再将 合并.
四、 典例研习
【例1】 x 取怎样的数时,下列二次根式有意义?
;
.
【变式探究】 1.
1-x 在实数范围内有意义,则x 的取值范围是 .
2.使式子x -4无意义的x 的取值是 .
3.使式子有意义的x 的取值范围是 .
4.能使式子
x
x -+
-412有意义的x 的取值范围是 .
5.若()0312
=++-+y y x ,则y x -的值为______________.
6.
()2
11y x x x +=---,则y x -的值为 ( )
(A )1- (B )1 (C )2 (D )3 【例2】若a <1,化简
()112
--a 等于 ( )
(A )2-a (B )a -2 (C )a (D )a - 【变式探究】 7.计算:
(
)
=+-32
32
=+3 .
8.已知a
()0222
=-+-a a ,则a 的取值范围为_____________________.
10.实数c b a ,,在数轴上的点如图所示, 化简()()=--
-++
2
2
2
c b c b a a _____________.
12)1(+x 1
1
)2(-x
11.若,03442=-++-b a a 则=b
a
2_____________.
【例3】计算(1)12183127--
; (2)⎪⎭
⎫ ⎝⎛--1223246132. 【变式探究】
12.下列计算中:①632=⨯,②
2
2
2
1=
,③12223=-,④27714=⨯, ⑤552332=+,⑥32560=÷,⑦a a a 8259=+
,⑧39±=,正确的
是_____________________________________.(填写序号即可) 13.计算=⋅a a 82 (a ≥0). 14.化简: (1)312- (2) (3)(
)
3515+÷
(4)
(5)29328+
- (6)28182122--⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛+⨯
15.计算: (1)12233
-+ (2)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-÷1213
115 (3)27124148÷⎪⎭⎫
⎝⎛+
2
8
18-m
m 1
-
【综合训练】
1. 实数c b a ,,在数轴上的点如图所示, 化简()=--
-
2
22
b a b a _____________.
2.如图所示,数轴上表示2、5的对应点分别是C 、B , 点C 是AB 的中点,则点A 表示的数是 ( ) (A )5-
(B )52- (C )54- (D )25-
3.已知6的整数部分为a ,小数部分为b ,则代数式的 值为____________.
4.如果12
3
+-=+a a a a 那么实数a 的取值范围是 ( ) (A )1-a (C )0≤a ≤1 (D )1-≤a ≤0
6.已知
,求
的值.
5.化简: (1)
(
)
2
2244x x x -+
+- (2)2510322+-+
++-x x x x
(其中2-≤x ≤2)
6.设c b a ,,是△ABC 三边的长,化简
()()2
2
c a b c b a --+
++的结果.
2
222b
ab ab
a ++3
21
+=a a
a a a a a a -+--
-+-22
2121
21