高一数学必修5不等式题型总结

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人教版高中数学必修5第三章不等式-3

在可行域内打出网格线，
y
B(3,9)
x y0
M(18 , 39) 55
C(4,8)
x
O
2x+y=15 x+2y=18 x+3y=27
直线 x y=12 经过整点B(3,9)和C(4,8)，
它们是最优解.
z最小值 =12.
答：要截得所需三种规格的钢板，且使所截两种钢板张数最小的方法有两种，第一种截法是第一种钢板3 张，第二种钢板9张；第二种截法是截第一种钢板4 张，第二种钢板8张；这两种截法都至少要两种钢板 12张.
或最后经过的点为最优解；（4）求出最优解并代入目标函数，从而求出目标函数的
最值.
简单线性规划问题的图解方法
例1 设 z＝2x＋y，式中变量x、 y满足下列条件：
x 4 y 3,
3x 5 y 25, 求z的最大值和最小值.
x 1,
分析：作可行域，画平行线，解方程组，求最值.
y x1
第2课时简单线性规划的应用
1.体会线性规划的基本思想，并能借助几何直观解决一些简单的实际问题； 2.利用线性规划解决具有限制条件的不等式； 3.培养学生搜集、整理和分析信息的能力，提高数学建模和解决实际问题的能力.
在实际问题中常遇到两类问题：一是在人力、物力、资金等资源一定的条件下，
如何使用它们来完成最多的任务；
获利3万元，每生产一件乙产品获利2万元，
又当如何安排生产才能获得最大利润？
（2）由上述过程，你能得出最优解与可行域之间的关系吗？
设生产甲产品x件乙产品y件时，工厂获得的利润为
z,则z=3x+2y.
把z 3x 2 y变形为y 3 x z ,这是斜率为 3 ,

高一数学,必修五,基本不等式公式及典型例题总结

1.基本不等式:)0,0(2>>≥+b a ab b a ，当b a =时取等变形式：)0,0(2>>+≤b a b a ab ，当b a =时取等 2)2(b a ab +≤，当b a =时取等 2.重要不等式：ab b a 222≥+，当b a =时取等变形式：222b a ab +≤，当b a =时取等 3.重要做题方法：（1）已知p b a =+，求ab 的最大值4)2()2(222p p b a ab ==+≤，当2p b a ==时ab 取得最大值42p （2）已知s ab b a =>>,0,0，求b a +的最小值s ab b a 22=≥+，当s b a ==时b a +取得最小值s 25.典型例题(1).求)50()5(<<-=x x x y 的最大值. 解：425252)5()5(22=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+≤-=x x x x y 当x x -=5即25=x 时，y 取得最大值425. .1618141416121412)41(441)41(441)41(.)410()41()2(22取得最大值时，即当解：的最大值求y x x x x x x x x x y x x x y =-==⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+⨯≤-⋅=-=<<-= .12)(23941236294294)(.94)(0)3(取得最小值时，即当解：的最小值，求若x f x x x xx x x x f xx x f x ====⋅≥+=+=>.12)(23941294)(12362)9()4(2)9()4()94(09040.94)(0)4(--=-=--≤+=∴==-⋅-≥-+-=+-∴>->-∴<+=<取得最大值时，即当，，解：的最大值，求若x f x x x xx x f xx x x x x xx x xx x f x.12222221)2(2122121)2(22121)2(22152.21522)5(-+=-=--=--⋅-≥--+-=-+-=-+-=>取得最小值时，即当解：的最小值，求若y x x x x x x x x x y x x y x .301113111)1(2111)1(112133.)1(133)6(22取得最小值时，即当解：的最小值求y x x x x x x x x x x x x y x x x x y =+=+=++⋅+≥++++=+++=+++=->+++= .1)(14514513235415454124)(2541542451)45(2451455415404510450544535415454124)(.54124)(45)7(取得最大值时，即当，，，解：的最大值，求函数已知x f x xx x x x x x f x x x x x x x x xx x x x x x x x f x x x f x =-=-=+-≤+-+-=-+-=∴-≤-+-∴=-⋅-≥-+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+--∴>->-∴<-∴<+-+-=-+-=-+-=<.161241919169210910991)91()(.191,0,0)8(取得最小值时，即当解：的最小值，求且已知y x y x yx x y y x xy y x x y y x x y y x y x y x y x y x yx y x +⎩⎨⎧==⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+==⋅+≥++=+++=+⋅+=++=+>>。

高中数学必修五-不等关系与不等式

不等关系与不等式知识集结知识元不等关系与不等式知识讲解1．不等关系与不等式【不等关系与不等式】不等关系就是不相等的关系，如2和3不相等，是相对于相等关系来说的，比如与就是相等关系．而不等式就包含两层意思，第一层包含了不相等的关系，第二层也就意味着它是个式子，比方说a＞b，a﹣b＞0就是不等式．【不等式定理】①对任意的a，b，有a＞b⇔a﹣b＞0；a＝b⇒a﹣b＝0；a＜b⇔a﹣b＜0，这三条性质是做差比较法的依据．②如果a＞b，那么b＜a；如果a＜b，那么b＞a．③如果a＞b，且b＞c，那么a＞c；如果a＞b，那么a+c＞b+c．推论：如果a＞b，且c＞d，那么a+c＞b+d．④如果a＞b，且c＞0，那么ac＞bc；如果c＜0，那么ac＜bc．例题精讲不等关系与不等式例1.设a、b、c是互不相等的正数，则下列等式中不恒成立的是（）A．|a-b|≤|a-c|+|b-c|B．C．D．例2.已知a，b，c，d∈R，则下列命题中必然成立的是（）A．若a>b，c>b，则a>cB．若a>b，c>d，则C．若a2>b2，则a>bD．若a>-b，则c-a<c+b例3.若a，b∈R下列说法中正确的个数为（）①（a+b）2≥a2+b2；②若|a|>b，则a2>b2；③a+b≥2A．0B．1C．2D．3不等式比较大小知识讲解1．不等式比较大小【知识点的知识】不等式大小比较的常用方法（1）作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果；（2）作商（常用于分数指数幂的代数式）；（3）分析法；（4）平方法；（5）分子（或分母）有理化；（6）利用函数的单调性；（7）寻找中间量或放缩法；（8）图象法．其中比较法（作差、作商）是最基本的方法．【典型例题分析】方法一：作差法典例1：若a ＜0，b ＜0，则p ＝与q ＝a +b 的大小关系为（）A ．p ＜qB ．p ≤qC ．p ＞qD ．p ≥q解：p ﹣q ＝﹣a ﹣b ＝＝（b 2﹣a 2）＝，∵a ＜0，b ＜0，∴a +b ＜0，ab ＞0，若a ＝b ，则p ﹣q ＝0，此时p ＝q ，若a ≠b ，则p ﹣q ＜0，此时p ＜q ，综上p ≤q ，故选：B方法二：利用函数的单调性典例2：三个数，，的大小顺序是（）A ．＜＜B ．＜＜C ．＜＜D ．＜＜解：由指数函数的单调性可知，＞，由幂函数的单调性可知，＞，则＞＞，故＜＜，故选：B．例题精讲不等式比较大小例1.已知-1<a<0，b<0，则b，ab，a2b的大小关系是（）A．b<ab<a2b B．a2b<ab<bC．a2b<b<ab D．b<a2b<ab例2.a=80.7，b=0.78，c=log0.78，则下列正确的是（）A．b<c<a B．c<a<bC．c<b<a D．b<a<c例3.三个数a=，b=（）2020，c=log2020的大小顺序为（）A．b<c<a B．b<a<cC．c<as B．t≥sC．t<s D．t≤s练习2.已知a=，b=，c=，则（）A．a>b>c B．a>c>bC．b>a>c D．c>b>a练习3.设a=，b=2，c=log32，则（）A．b>a>c B．a>b>cC．c>a>b D．b>c>a练习4.设a=（），b=（），c=（），则a，b，c的大小关系为（）A．a<b<c B．b<c<aC．a<cb，则ac<bc；②若ac2>bc2，则a>b；③若a<b<0，则a2>ab>b2；④若c>a>b>0，则；⑤若a>b，，则a>0，b<0．其中正确的是______．练习3.已知a，b∈R，且>1，则下列关系中①②a3<b3③ln（a2+1）<ln（b2+1）④若c>d>0，则其中正确的序号为_____。

高中数学必修5精要——不等式知识点

不等式1、不等式的性质：（1）同向不等式可以相加；异向不等式可以相减：若，则（若，则），但异向不等式不可以相加；同向不等式不可以相减；（2）左右同正不等式：同向的不等式可以相乘，但不能相除；异向不等式可以相除，但不能相乘：若，则（若，则）；（3）左右同正不等式：两边可以同时乘方或开方：若，则或；（4）若，，则；若，，则。

特别提醒：如果对不等式两边同时乘以一个代数式，要注意它的正负号，如果正负号未定，要注意分类讨论。

如（1）对于实数中，给出下列命题：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧，则。

其中正确的命题是______（答：②③⑥⑦⑧）；（2）已知，，则的取值范围是______（答：）；（3）已知，且则的取值范围是______（答：）2.不等式大小比较的常用方法：（1）作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果；（2）作商（常用于分数指数幂的代数式）；（3）分析法；（4）平方法；（5）分子（或分母）有理化；（6）利用函数的单调性；（7）寻找中间量（一般先把要比较的代数式与“0”比，与“1”比，然后再比较它们的大小）或放缩法；(8)图象法：利用有关函数的图象（指数函数、对数函数、二次函数、三角函数的图象），直接比较大小。

其中比较法（作差、作商）是最基本的方法。

如（1）设，比较的大小（答：当时，（时取等号）；当时，（时取等号））；（2）设，，，试比较的大小（答：）；（3）比较1+与的大小（答：当或时，1+＞；当时，1+＜；当时，1+＝）特值法是判断不等式命题是否成立的一种方法，此法尤其适用于不成立的命题。

3. 利用重要不等式求函数最值时，你是否注意到：“一正二定三相等，和定积最大，积定和最小”这17字方针。

常用的方法为：拆、凑、平方。

如（1）下列命题中正确的是A、的最小值是2B、的最小值是2C、的最大值是D、的最小值是（答：C）；（2）若，则的最小值是______（答：）；（3）正数满足，则的最小值为______（答：）；4.常用不等式有：（1）(根据目标不等式左右的运算结构选用) ；（2）a、b、c R，（当且仅当时，取等号）；（3）若，则（糖水的浓度问题）。

人教版高一数学必修5 第三章《不等式》1

必修5 不等式不等关系与不等式知识点：1、0a b a b ->⇔>；0a b a b -=⇔=；0a b a b -<⇔<．2、不等式的性质： ①a b b a >⇔<； ②,a b b c a c >>⇒>； ③a b a c b c >⇒+>+；④,0a b c ac bc >>⇒>，,0a b c ac bc ><⇒<； ⑤,a b c d a c b d >>⇒+>+； ⑥0,0a b c d ac bd >>>>⇒>； ⑦()0,1nna b a bn n >>⇒>∈N ≥；⑧()0,2n n a b a b n n >>⇒>∈N ≥．【基础练习】1、已知a b >，c d >，且c 、d 不为0，那么下列不等式成立的是( )A ．ad bc >B ．ac bc >C ．a c b d ->-D ．a c b d +>+ 2、下列命题中正确的是( )A ．若a b >，则22ac bc > B ．若a b >，c d >，则a c b d ->-C ．若0ab >，a b >，则11a b < D ．若a b >，c d <，则a b c d> 3、下列命题中正确命题的个数是( )①若x y z >>，则xy yz >； ②a b >，c d >，0abcd ≠，则a bc d>； ③若110a b <<，则2ab b <； ④若a b >，则11b b a a ->-． A ．1 B ．2 C ．3 D ．44、如果0a <，0b >，则下列不等式中正确的是( ) A ．11a b5、下列各式中，对任何实数x 都成立的一个式子是( )A ．()2lg 1lg 2x x +≥ B ．212x x +> C ．2111x ≤+ D ．12x x+≥ 6、若a 、b 是任意实数，且a b >，则( )A ．22a b > B ．1b a < C ．()lg 0a b -> D ．1122a b⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭7、如果a R ∈，且20a a +<，那么a ，2a ，a -，2a -的大小关系是( ) A ．22a a a a >>->- B ．22a a a a ->>-> C ．22a a a a ->>>-D ．22a a a a >->>-8、若231x x M =-+，22x x N =+，则( )A ．M >NB ．M <NC ．M ≤ND ．M ≥N9、若2x ≠或1y ≠-，2242x y x y M =+-+，5N =-，则M 与N 的大小关系是( ) A ．M >NB ．M <NC ．M =ND ．M ≥N10、不等式①222a a +>，②()2221a b a b +≥--，③22a b ab +>恒成立的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．311、已知0a b +>，0b <，那么a ，b ，a -，b -的大小关系是( ) A ．a b b a >>->- B ．a b a b >->-> C ．a b b a >->>-D ．a b a b >>->-12、给出下列命题：①22a b ac bc >⇒>；②22a b a b >⇒>；③33a b a b >⇒>；④22a b a b >⇒>．其中正确的命题是( ) A ．①②B ．②③C ．③④D ．①④13、已知实数a 和b 均为非负数，下面表达正确的是( )A ．0a >且0b >B ．0a >或0b >C ．0a ≥或0b ≥D ．0a ≥且0b ≥14、已知a ，b ，c ，d 均为实数，且0ab >，c da b -<-，则下列不等式中成立的是( ) A ．bc ad C ．a b c d >D ．a bc d<15、若()231f x x x =-+，()221g x x x =+-，则()f x ，()g x 的大小关系是( )A ．()()f x g x D ．随x 值的变化而变化 16、某一天24小时内两艘船均须在某一码头停靠一次，为了卸货的方便，两艘船到达该码头的时间至少要相差两小时，设甲、乙两船到达码头的时间分别为x ，y 时，且两船互不影响，则x ，y 应满足的关系是( )A ．200y x x y -≥⎧⎪≥⎨⎪≥⎩B ．200x y x y -≥⎧⎪≥⎨⎪≥⎩C ．200y x x y ->⎧⎪≥⎨⎪≥⎩ D ．2024024y x x y ⎧-≥⎪≤≤⎨⎪≤≤⎩17. 四位好朋友在一次聚会上，他们按照各自的爱好选择了形状不同、内空高度相等、杯口半径相等的圆口酒杯，如图所示. 盛满酒后他们约定：先各自饮杯中酒的一半. 设剩余酒的高度从左到右依次为1234,,,h h h h ，则它们的大小关系正确的是( ).(A )2h >1h >4h (B ) 1h >2h >3h (C ) 3h >2h >4h (D ) 2h >4h >1h 18. 右图为某三岔路口交通环岛的简化模型，在某高峰时段，单位时间进出路口,,A B C 的机动车辆数如图所示(50，55；20，30；30，35)，图中123,,x x x 分别表示该时段单位时间通过路段 ,,AB BCCA 的机动车辆数(假设：单位时间内，在上述路段中，同一路段上驶入与驶出的车辆数相等)，则 ( )(A )123x x x >> (B )1x >3x >2x (C )231x x x >> (D )231x x x >>19、某商场对顾客实行优惠活动，规定一次购物付款总额：①200元以内(包括200元)不予优惠；②超过200元不超过500元，按标价9折优惠；③超过500元其中500元按②优惠，超过部分按7折优惠，某人两次购物分别付款168元和423元，若他一次购物，应付款_______________元．20、某高校录取新生对语、数、英三科的高考分数的要求是：语文不低于70分；数学应高于80分；语、数、英三科的成绩之和不少于230分．若张三被录取到该校，设该生的语、数、英的成绩分别为x ，y ，z ，则x ，y ，z 应满足的条件是____________________________． 21、用“>”“<”号填空：如果0a b c >>>，那么c a ________c b． 22、某品牌酸奶的质量规定，酸奶中脂肪的含量f 应不少于2.5％，蛋白质的含量p 应不少于2.3％，写成不等式组就是____________________．23、某中学对高一美术生划定录取控制分数线，专业成绩x 不低于95分，文化课总分y 不低于380分，体育成绩z 不低于45分，写成不等式组就是____________________． 24、若0a b <<，且12a b +=，则12，a ，2ab ，22a b +中最大的是_______________． 25、a 克糖水中有b 克糖(0a b >>)，若再添进m 克糖(0m >)，则糖水就变甜了，试根据事实提炼一个不等式______________________．26、已知a 、b R +∈，且a b ≠，比较55a b +与3223a b a b +的大小．27、比较下列各组中两个数或代数式的大小： ⑴ 117+与153+； ⑵ ()()4422a b a b ++与()233a b +．28、已知0a b >>，0c d <<，0e <，求证：e e a c b d>--．29、若0,0a b >>，求证:22b a a b a b+≥+.30、已知a 、b 为正实数，试比较a b b a+与a b +的大小.31、已知22ππαβ-<<<，求αβ-的范围.32、已知 1260,1536a b <<<<，求a b -及ab的取值范围.33、若二次函数()y f x =的图象过原点，且()()112,314,f f ≤-≤≤≤求()2f -的取值范围.一元二次不等式及其解法知识点：1、一元二次不等式：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式．2、二次函数的图象、一元二次方程的根、一元二次不等式的解集间的关系：判别式24b ac ∆=-0∆> 0∆= 0∆<二次函数2y ax bx c =++()0a >的图象一元二次方程20ax bx c ++=()0a >的根有两个相异实数根1,22b x a-±∆=()12x x <有两个相等实数根122bx x a==-没有实数根一元二次不等式的解集20ax bx c ++>()0a >{}12x x x x x <>或2b x x a ⎧⎫≠-⎨⎬⎩⎭R20ax bx c ++<()0a >{}12x xx x <<∅ ∅【基础练习】1、不等式2654x x +<的解集为( ) A ．41,,32⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ B ．41,32⎛⎫- ⎪⎝⎭ C ．14,,23⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ D ．14,23⎛⎫- ⎪⎝⎭2、设集合{}12x x A =≤≤，{}0x x a B =-<，若A B ≠∅ ，那么实数a 的取值范围是( ) A ．()1,+∞ B ．[)2,+∞ C ．(],2-∞ D ．[)1,+∞3、若不等式210x mx ++>的解集为R ，则m 的取值范围是( ) A ．R B ．()2,2- C ．()(),22,-∞-+∞ D ．[]2,2-4、设一元二次不等式210ax bx ++>的解集为113x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭，则ab 的值是( )A ．6-B ．5-C ．6D ．55、不等式()221200x ax a a --<<的解集是( )A ．()3,4a a -B ．()4,3a a -C ．()3,4-D ．()2,6a a7、不等式222693191122x x x x -+++⎛⎫⎛⎫≤⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的解集是( )A ．[]1,10-B ．()[),110,-∞-+∞C ．RD ．(][),110,-∞-+∞8、不等式()()120x x --≥的解集是( )A ．{}12x x ≤≤B ．{}12x x x ≥≤或C ．{}12x x <<D ．{}12x x x ><或9、不等式()200ax bx c a ++<≠的解集为∅，那么( )A ．0a <，0∆>B ．0a <，0∆≤C ．0a >，0∆≤D ．0a >，0∆≥10、设()21f x x bx =++，且()()13f f -=，则()0f x >的解集是( )A ．()(),13,-∞-+∞B ．RC ．{}1x x ≠ D ．{}1x x =11、若01a <<，则不等式()10a x x a ⎛⎫--> ⎪⎝⎭的解是( ) A ．1a x a <D ．1x a<或x a > 12、不等式()130x x ->的解集是( ) A ．1,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B ．()1,00,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C ．1,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D ．10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭13、二次函数()2y ax bx c x R =++∈的部分对应值如下表：x3- 2- 1- 0 1 2 3 4y60 4- 6-6- 4- 06则不等式20ax bx c ++>的解集是____________________________．14、若0a b >>，则()()0a bx ax b --≤的解集是_____________________________．15、不等式20a x b xc ++>的解集为{}23x x <<，则不等式20a x b x c -+>的解集是________________________．16、不等式2230x x -->的解集是___________________________．17、不等式2560x x -++≥的解集是______________________________．18、()21680k x x --+<的解集是425x x x ⎧⎫<->⎨⎬⎩⎭或，则k =_________．19、已知不等式20x px q ++<的解集是{}32x x -<<，则p q +=________．20、不等式30x x +≥的解集为____________________． 21、求下列不等式的解集：⑴ ()()410x x +--<； ⑵ 232x x -+>； ⑶ 24410x x -+>．22、已知不等式220ax bx ++>的解集为1123x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭，求a 、b 的值．23、已知集合{}290x x A =-≤，{}2430x x x B =-+>，求A B ，A B ．25、求函数()()124lg 2--+=x x x x f 的定义域.第 11 页共 11 页 26、用一根长为m 100的绳子能围成一个面积大于2600m 的矩形吗? 当长、宽分别为多少米时，所围成的矩形的面积最大?27、已知0122>++mx mx 恒成立，求m 的范围.。

高中数学必修5一元二次不等式及其解法精选题目(附答案)

高中数学必修5一元二次不等式及其解法精选题目（附答案）1．一元二次不等式我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式，即形如ax2＋bx＋c＞0(≥0)或ax2＋bx＋c＜0(≤0)(其中a≠0)的不等式叫做一元二次不等式．2．一元二次不等式的解与解集使一元二次不等式成立的x的值，叫做这个一元二次不等式的解，其解的集合，称为这个一元二次不等式的解集．3．一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系表题型一：一元二次不等式解法1.解下列不等式：(1)2x2＋5x－3<0；(2)－3x2＋6x≤2；(3)4x2＋4x＋1>0；(4)－x2＋6x－10>0.题型二：三个“二次”关系的应用2.若不等式ax 2＋bx ＋2>0的解集是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－12<x <13，则a ＋b 的值为( )A ．14B ．－10C ．10D ．－143.已知一元二次不等式x 2＋px ＋q ＜0的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－12＜x ＜13，求不等式qx 2＋px ＋1＞0的解集．题型三：解含参数的一元二次不等式4.解关于x 的不等式x 2＋(1－a )x －a ＜0.巩固练习：1．不等式6x 2＋x －2≤0的解集为( )A.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－23≤x ≤12B.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≤－23或x ≥12 C.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≥12D.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≤－23 2．设a <－1，则关于x 的不等式a (x －a )⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a <0的解集为( )A.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <a 或x >1a B ．{x |x >a } C.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x >a 或x <1aD.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <1a 3．在R 上定义运算⊙：a ⊙b ＝ab ＋2a ＋b ，则满足x ⊙(x －2)<0的实数x 的取值范围为( )A ．(0,2)B ．(－2,1)C ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)D ．(－1,2)4．不等式mx 2－ax －1>0(m >0)的解集可能是( )A.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <－1或x >14 B ．R C.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－13<x <32 D ．∅5．函数y ＝17－6x －x 2的定义域为( )A ．[－7,1]B ．(－7,1)C ．(－∞，－7]∪[1，＋∞)D ．(－∞，－7)∪(1，＋∞)6．已知全集U ＝R ，A ＝{x |x 2－1≥0}，则∁U A ＝________.7．若二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a <0)的图象与x 轴的两个交点为(－1,0)和(3,0)，则不等式ax 2＋bx ＋c <0的解集是________．8．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋2x ，x ≥0，－x 2＋2x ，x <0.若f (a )≤3，则a 的取值范围是________．9．解关于x 的不等式x 2－3ax －18a 2>0. 10．若函数f (x )＝2 018ax 2＋2ax ＋2的定义域是R ，求实数a 的取值范围．参考答案：1.[解] (1)Δ＝49>0，方程2x 2＋5x －3＝0的两根为x 1＝－3，x 2＝12，作出函数y ＝2x 2＋5x －3的图象，如图①所示．由图可得原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－3<x <12.(2)原不等式等价于3x 2－6x ＋2≥0.Δ＝12>0，解方程3x 2－6x ＋2＝0，得x 1＝3－33，x 2＝3＋33，作出函数y ＝3x 2－6x ＋2的图象，如图②所示，由图可得原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≤3－33或x ≥3＋33. (3)∵Δ＝0，∴方程4x 2＋4x ＋1＝0有两个相等的实根x 1＝x 2＝－12.作出函数y ＝4x 2＋4x ＋1的图象如图所示．由图可得原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠－12，x ∈R.(4)原不等式可化为x 2－6x ＋10<0，∵Δ＝－4<0， ∴方程x 2－6x ＋10＝0无实根，∴原不等式的解集为∅. 2.解：由已知得，ax 2＋bx ＋2＝0的解为－12，13，且a <0. ∴⎩⎪⎨⎪⎧－b a ＝－12＋13，2a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12×13，解得⎩⎨⎧a ＝－12，b ＝－2，∴a ＋b ＝－14.3.解：因为x 2＋px ＋q ＜0的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－12＜x ＜13，所以x 1＝－12与x 2＝13是方程x 2＋px ＋q ＝0的两个实数根，由根与系数的关系得⎩⎪⎨⎪⎧13－12＝－p ，13×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝q ，解得⎩⎪⎨⎪⎧p ＝16，q ＝－16 .所以不等式qx 2＋px ＋1＞0即为－16x 2＋16x ＋1＞0，整理得x 2－x －6＜0，解得－2＜x ＜3.即不等式qx 2＋px ＋1＞0的解集为{x |－2＜x ＜3}．4.[解] 方程x 2＋(1－a )x －a ＝0的解为x 1＝－1，x 2＝a ，函数y ＝x 2＋(1－a )x －a 的图象开口向上，则当a ＜－1时，原不等式解集为{x |a ＜x ＜－1}；当a ＝－1时，原不等式解集为∅；当a ＞－1时，原不等式解集为{x |－1＜x ＜a }． 5.设a ∈R ，解关于x 的不等式ax 2＋(1－2a )x －2>0.5.解：(1)当a ＝0时，不等式可化为x －2>0，解得x >2，即原不等式的解集为{x |x >2}．(2)当a ≠0时，方程ax 2＋(1－2a )x －2＝0的两根分别为2和－1a .①当a <－12时，解不等式得－1a <x <2，即原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－1a <x <2；②当a ＝－12时，不等式无解，即原不等式的解集为∅；③当－12<a <0时，解不等式得2<x <－1a ，即原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪2<x <－1a ； ④当a >0时，解不等式得x <－1a 或x >2，即原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <－1a 或x >2. 练习：1.解析：选A 因为6x 2＋x －2≤0⇔(2x －1)·(3x ＋2)≤0，所以原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－23≤x ≤12. 2.解析：选A ∵a <－1，∴a (x －a )·⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a <0⇔(x －a )·⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a >0.又a <－1，∴1a >a ，∴x >1a 或x <a .3.解析：选B 由a ⊙b ＝ab ＋2a ＋b ，得x ⊙(x －2)＝x (x －2)＋2x ＋x －2＝x 2＋x －2<0，所以－2<x <1.4.解析：选A 因为Δ＝a 2＋4m >0，所以函数y ＝mx 2－ax －1的图象与x 轴有两个交点，又m >0，所以原不等式的解集不可能是B 、C 、D ，故选A.5.解析：选B 由7－6x －x 2>0，得x 2＋6x －7<0，即(x ＋7)(x －1)<0，所以－7<x <1，故选B.6.解析：∁U A ＝{x |x 2－1<0}＝{x |－1<x <1}．答案：{x |－1<x <1}7.解析：根据二次函数的图象知所求不等式的解集为(－∞，－1)∪(3，＋∞)．答案：(－∞，－1)∪(3，＋∞)8.解析：当a ≥0时，a 2＋2a ≤3，∴0≤a ≤1；当a <0时，－a 2＋2a ≤3，∴a <0.综上所述，a 的取值范围是(－∞，1]．9.解：将x 2－3ax －18a 2>0变形得(x －6a )(x ＋3a )>0，方程(x －6a )(x ＋3a )＝0的两根为6a ，－3a .所以当a >0时，6a >－3a ，原不等式的解集为{x |x <－3a 或x >6a }；当a ＝0时，6a ＝－3a ＝0，原不等式的解集为{x |x ≠0}；当a <0时，6a <－3a ，原不等式的解集为{x |x <6a 或x >－3a }． 10.解：因为f (x )的定义域为R ，所以不等式ax 2＋2ax ＋2>0恒成立． (1)当a ＝0时，不等式为2>0，显然恒成立；(2)当a ≠0时，有⎩⎨⎧ a >0，Δ＝4a 2－8a <0，即⎩⎨⎧a >0，0<a <2，所以0<a <2.综上可知，实数a 的取值范围是[0,2)．。

数学北师大版高中必修5一元二次不等式

2
x
像在x轴下方，解在两交点之间 . 0 当x何值时， y<
?
典例精讲：
例2：已知不等式 ax bx 1 0 的解集是 x 3 x 4 ，求实数 a , b 的值.
2

例：已知求a的取值范围。
ax (1 a) x 1 0
2
恒成立，
y
解：不等式恒成立，即解集为R
标是相应方程ax2 + bx + c=0的实数解.
2. 函数 y = ax2 + bx + c的值可为正、可为
负、可为零的充要条件是： △> 0 3. 当a≠0时，不等式ax2 + bx + c > 0 (≥0)对
一切 x∈R都成立的充要条件是：
a 0 0(≤ 0)
课堂小结
a 0 一切实数x 都成立的充要条件是 0(≤ 0)
当a<0时图像 y 0
x
y
0
y 0
O
x1
x2
O
b 2a
x
O
x
一元二次不等式定义：
定义：含有一个未知数，并且未知数的最高次数
是二次的不等式叫做一元二次不等式.
形如: ax2+bx+c>0 或 ax2+bx+c<0(a≠0)
问题：如何解一元二次不等式呢？
交流•归纳•总结
当a > 0时，解不等式ax2 + bx + c > 0(≥0)
x2 +
5 a 1 1 1 1 6 解： a , b 1 3 2 3 2 b 6
1 1 ax + b < 0的解集为{x | x }, 3 2

高中数学必修5优质课件：基本不等式

第七页，编辑于星期日：二十三点三十九分。
解得 x＝1－ 22，y＝ 2－1，∴当 x＝1－ 22，y＝ 2 －1 时，1x＋1y有最小值 3＋2 2.
法二：1x＋1y＝1x＋1y·1＝1x＋1y(2x＋y)＝3＋2yx＋xy≥3 ＋2 xy·2yx＝3＋2 2，
以下同解法一．
第八页，编辑于星期日：二十三点三十九分。
A．最大值为 0
B．最小值为 0
Байду номын сангаасC．最大值为－4
D．最小值为－4
解析：∵x＜0，∴f(x)＝－－x＋－1x－2≤－2－2＝－4，当且仅当－x＝－1x，即 x＝－1 时取等号．答案：C
第二十二页，编辑于星期日：二十三点三十九分。
2．若 a＞b＞0，则下列不等式成立的是( ) A．a＞b＞a＋2 b＞ ab B．a＞a＋2 b＞ ab＞b C．a＞a＋2 b＞b＞ ab D．a＞ ab＞a＋2 b＞b
[解] (1)∵m，n＞0 且 m＋n＝16，所以由基本不等式可得 mn≤m＋2 n2＝1262＝64，当且仅当 m＝n＝8 时，mn 取到最大值 64.∴12mn 的最大值为 32.
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(2)∵x＞3，∴x－3＞0，x－4 3＞0，于是 f(x)＝x＋x－4 3＝x－3
基本不等式
【知识梳理】
1．重要不等式当 a，b 是任意实数时，有 a2＋b2≥ 2ab ，当且仅当 a＝b 时，等号成立． 2．基本不等式
a＋b （1）有关概念：当 a，b 均为正数时，把 2 叫做正数 a，b 的算术平均数，把 ab 叫做正数 a，b 的几何平均数.
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人教新课标版数学高二-数学必修5第三章《不等式》知识整合

数学·必修5(人教A版)一、本章概述不等关系是中学数学中最基本、最广泛、最普遍的关系．不等关系起源于实数的性质，产生了实数的大小关系、简单不等式、不等式的基本性质，如果赋予不等式中变量以特定的值、特定的关系，又产生了重要不等式、基本不等式等．不等式是永恒的吗？显然不是，由此又产生了解不等式与证明不等式两个极为重要的问题．解不等式即寻求不等式成立时变量应满足的范围或条件，不同类型的不等式又有不同的解法．不等式证明则是推理性问题或探索性问题．推理性即在特定条件下，阐述论证过程，揭示内在规律，基本方法有比较法、综合法、分析法；探索性问题大多是与自然数n有关的证明问题，常采用观察—归纳—猜想—证明的思路，以数学归纳法完成证明．另外，不等式的证明方法还有换元法、放缩法、反证法、构造法等．不等式中常见的基本思想方法有等价转化、分类讨论、数形结合、函数与方程．不等式的知识渗透在数学中的各个分支，相互之间有着千丝万缕的联系，因此不等式又可作为一个工具来解决数学中的其他问题，诸如集合问题，方程(组)的解的讨论，函数单调性的研究，函数定义域的确定，以及三角、数列、立体几何、解析几何中的最大值、最小值问题，这些问题无一不与不等式有着密切的联系．不等式还可以解决现实世界中反映出来的数学问题，许多问题最终归结为不等式的求解或证明．解决这类综合问题的一般思维方法是：引参，建立不等关系，解某一主元的不等式(实为分离变元)，适时活用基本不等式．其中建立不等关系的常用途径是：①根据题设条件；②判别式法；③基本不等式法；④依据某些变量(如sin x，cos x)的有界性等．不等式的应用体现了一定的综合性、灵活多样性．这类问题大致可以分为两类：一类是建立不等式、解不等式；另一类是建立函数式求最大值或最小值．利用不等式解应用题的基本步骤：①审题；②建立不等式模型；③解决数学问题；④作答．本章中，不等式的证明是难点，解不等式是重点，含参数的不等式综合题是高考命题的热点．掌握不等式的意义和实数的符号法则，是分散难点和解决难点的关键．如能熟悉不等式的性质，认清基本不等式的特点，灵活运用比较、分析、综合等基本方法，认真进行思考和探索，是不难找到解题途径的．要善于进行转化变形，即化无理为有理、化分式为整式、化高次为低次、化绝对值为非绝对值等等，以突破解证不等式这一难关．通过本章的学习达到以下基本目标：1．会用不等式(组)表示不等关系；2．熟悉不等式的性质，能应用不等式的性质求解“范围问题”，会用作差法比较大小；3．会解一元二次不等式，熟悉一元二次不等式、一元二次方程和二次函数的关系；4．会作二元一次不等式(组)表示的平面区域，会解简单的线性规划问题；5．明确基本不等式及其成立条件，会灵活应用基本不等式证明或求解最值．二、主干知识1．不等式与不等关系．不等式的性质刻画了在一定条件下两个量的不等关系．不等式的性质包括“单向性”和“双向性”．单向性主要用于证明不等式，双向性是解不等式的基础．因为解不等式要求的是同解变形．要正确理解不等式的性质，必须先弄清每一性质的条件和结论、注意条件和结论的放宽和加强，以及条件与结论之间的相互联系．双向性主要有：(1)不等式的基本性质：⎩⎪⎨⎪⎧ a ＞b ⇔a －b ＞0，a ＝b ⇔a －b ＝0，a ＜b ⇔a －b ＜0，这是比较两个实数的大小的依据；(2)a >b ⇔b <a ；(3)a >b ⇔a ＋c >b ＋c .单向性主要有：(1)a >b ，b >c ⇒a >c ；(2)a >b ，c >d ⇒a ＋c >b ＋d ；(3)a >b ，c >0(c < 0)⇒ac >bc (ac <bc )；(4)a >b >0，c >d >0⇒ac >bd ；(5)a >b >0,0<c <d ⇒a c ＞b d ；(6)a >b >0，m ∈N *⇒a m >b m ；(7)a >b >0，n ∈N *，n >1⇒n a >n b .特别提醒：(1)同向不等式可以相加，异向不等式可以相减．即：若a ＞b ，c ＞d ，则a ＋c ＞b ＋d ；若a ＞b ，c ＜d ，则a －c ＞b －d .但异向不等式不可以相加，同向不等式不可以相减．(2)左右同正不等式，同向的不等式可以相乘，但不能相除；异向不等式可以相除，但不能相乘．即：若a ＞b ＞0，c ＞d ＞0，则ac ＞bd ；若a ＞b ＞0,0＜c ＜d ，则a c ＞b d .(3)左右同正不等式，两边可以同时乘方或开方．即：若a ＞b ＞0，n ∈N *，n >1，则a n ＞b n 或n a ＞nb .(4)若ab ＞0，a ＞b ，则1a ＜1b ；若ab ＜0，a ＞b ，则1a ＞1b .如果对不等式两边同时乘以一个代数式，要注意它的正负号，如果正负号未定，要注意分类讨论．2．一元二次不等式及其解法解一元二次不等式常用数形结合法，基本步骤如下：①将一元二次不等式化成ax 2＋bx ＋c ＞0的形式，②计算判别式并求出相应的一元二次方程的实数解，③画出相应的二次函数的图象，④根据图象和不等式的方向写出一元二次不等式的解集．设相应二次函数的图象开口向上，并与x 轴相交，则有口诀：大于取两边，小于取中间．解含参数的不等式的通法是“定义域为前提，函数增减性为基础，分类讨论是关键”．要注意对字母参数的讨论，如果遇到下述情况则一般需要讨论：(1)在解含有字母的一元二次不等式时，需要考虑相应的二次函数的开口方向，对应的一元二次方程根的状况(有时要分析Δ)，比较两个根的大小，设根为x 1，x 2，要分x 1＞x 2、x 1＝x 2、x 1＜x 2讨论．(2)不等式两端乘或除一个含参数的式子时，则需讨论这个式子的正负．(3)求解过程中，需用指数函数、对数函数的单调性时，则需对它们的底数进行讨论．注意解完之后要写上：“综上，原不等式的解集是…”．若按参数讨论，最后应按参数取值分别说明其解集；若按未知数讨论，最后应求并集．一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0或ax2＋bx＋c＜0(a＞0)的解集：设相应的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a＞0)的两根为x1、x2且x1≤x2，Δ＝b2－4ac，则不等式的解的各种情况如下表所示：二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象一元二次方程ax2＋bx＋c＝(a>0)的根ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的解集ax2＋bx＋c＜0(a＞0)的解集Δ＞0有两相异实根x1，x2(x1<x2){x|x<x1，或x>x2}{x|x1＜x＜x2}Δ＝0有两相等实根x1＝x2＝－b2a{x|x≠－b2a}∅Δ＜0无实根R∅特别提醒：(1)解题中要充分利用一元二次不等式的解集是实数集R和空集∅的几何意义，准确把握一元二次不等式的解集与相应一元二次方程的根及二次函数图象之间的内在联系．(2)解不等式的关键在于保证变形转化的等价性．简单分式不等式可化为整式不等式求解：先通过移项、通分等变形手段将原不等式化为右边为0的形式，然后通过符号法则转化为整式不等式求解．转化为求不等式组的解时，应注意区别“且”、“或”，涉及最后几个不等式的解集是“交”，还是“并”．注意：不等式解集的端点值往往是不等式对应方程的根或不等式有意义范围的端点值．(3)在解决实际问题时，先要从实际问题中抽象出数学模型，并寻找出该数学模型中已知量与未知量，再建立数学关系式，然后用适当的方法解决问题．(4)解含参数的不等式是高中数学中的一类较为重要的题型，解决这类问题的难点在于对参数进行恰当分类．分类相当于增加了题设条件，便于将问题分而治之．在解题过程中，经常会出现分类难以入手或者分类不完全的现象．强化分类意识，选择恰当的解题切入点，掌握一些基本的分类方法，善于借助直观图形找出分类的界值是解决此类问题的关键．3．二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题．(1)确定二元一次不等式表示的区域的步骤：①在平面直角坐标系中作出直线Ax＋By＋C＝0；②在直线的一侧任取一点P(x0，y0)，当C≠0时，常把原点作为特殊点；③将P(x0，y0)代入Ax＋By＋C求值：若Ax0＋By0＋C＞0，则包含点P的半平面为不等式Ax＋By＋C＞0所表示的平面区域，不包含点P的半平面为不等式Ax＋By＋C ＜0所表示的平面区域．也可采用：把二元一次不等式改写成y＞kx ＋b或y＜kx＋b的形式，前者表示直线的上方区域，后者表示直线的下方区域．(2)线性规划的有关概念：①满足关于x，y的一次不等式或一次方程的条件叫线性约束条件；②关于变量x，y的解析式叫目标函数，关于变量x，y一次式的目标函数叫线性目标函数；③求目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，称为线性规划问题；④满足线性约束条件的解(x，y)叫可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域；⑤使目标函数取得最大值或最小值的可行解叫做最优解．(3)解简单线性规划问题的基本步骤：①根据实际问题的约束条件列出不等式；②作出可行域，写出目标函数；③确定目标函数的最优位置，从而获得最优解．具体来讲有以下5步：a．画图：画出线性约束条件所表示的平面区域即可行域；b．定线：令z＝0，得一过原点的直线；c．平移：在线性目标函数所表示的一组平行线中，利用平移的方法找出与可行域有公共点且纵截距最大或最小的直线；d．求最优解：通过解方程组求出最优解；e．求最值：求出线性目标函数的最大或最小值．特别提醒：(1)画不等式Ax＋By＋C≥0所表示的平面区域时，区域包括边界线，因此，将边界直线画成实线；无等号时区域不包括边界线，用虚线表示不包含直线l.(2)Ax＋By＋C＞0表示在直线Ax＋By＋C＝0(B>0)的上方，Ax ＋By＋C＜0表示在直线Ax＋By＋C＝0(B>0)的下方．(3)设点P(x1，y1)，Q(x2，y2)，直线l：Ax＋By＋C＝0，若Ax1＋By1＋C与Ax2＋By2＋C同号，则P，Q在直线l的同侧，异号则在直线l的异侧．(4)在求解线性规划问题时要注意：①将目标函数改成斜截式方程；②寻找最优解时注意作图规范．4．基本不等式ab≤a＋b 2.(1)基本不等式：设a，b是任意两个正数，那么ab≤a＋b2.当且仅当a＝b时，等号成立．①基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．②如果把a＋b2看做是正数a，b的等差中项，ab看做是正数a，b的等比中项，那么基本不等式也可以叙述为：两个正数的等差中项不小于它们的等比中项．③基本不等式ab≤a＋b2几何意义是“半径不小于半弦”．(2)对基本不等式的理解：①基本不等式的左式为和结构，右式为积的形式，该不等式表明两正数a ，b 的和与两正数a ，b 的积之间的大小关系，运用该不等式可作和与积之间的不等变换．②“当且仅当a ＝b 时，等号成立”的含义：a ．当a ＝b 时等号成立的含意是：a ＝b ⇒a ＋b 2＝ab ； b ．仅当a ＝b 时等号成立的含意是：a ＋b 2＝ab ⇒a ＝b ；综合起来，其含意是：a ＋b 2＝ab ⇔a ＝b . (3)设a ，b ∈R ，不等式a 2＋b 2≥2ab ⇔ab ≤a 2＋b 22⇔ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22. (4)基本不等式的几种变式：设a ＞0，b ＞0，则a ＋1a ≥2，b a ＋a b ≥2，a 2b ≥2a －b .(5)常用的几个不等式：① a 2＋b 22≥a ＋b 2≥ab ≥21a ＋1b(根据目标不等式左右的运算结构选用)；②设a ，b ，c ∈R ，则a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca (当且仅当a ＝b ＝c 时，取等号)；③真分数的性质：若a ＞b ＞0，m ＞0，则b a ＜b ＋m a ＋m(糖水的浓度问题)．特别提醒：(1)用基本不等式求函数的最值时，要特别注意“一正、二定、三相等，和定积最大，积定和最小”这17字方针．常用的方法为：拆、凑、平方．(2)用基本不等式证明不等式时，应重视对所证不等式的分析和化归，应观察不等式左右两边的结构，注意识别轮换对称式，此时可先证一部分，其他同理可证，然后再累加或累乘．题型1 恒成立问题(1)若不等式f (x )＞A 在区间D 上恒成立，则等价于在区间D 上f (x )min ＞A ；(2)若不等式f (x )＜B 在区间D 上恒成立，则等价于在区间D 上f (x )max ＜B .设函数f (x )＝x ，g (x ) ＝x ＋a (a >0)，若x ∈[1,4]时不等式⎪⎪⎪⎪⎪⎪f (x )－ag (x )f (x )≤1恒成立，求a 的取值范围．解析：由⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪f (x )－ag (x )f (x )≤1⇔－1≤f (x )－ag (x )f (x )≤1，得0≤ag (x )f (x )≤2，即ax ＋a 2x ≤2在x ∈[1,4]上恒成立，也就是ax ＋a 2≤2x 在x ∈[1,4]上恒成立．令t ＝x ，则t ≥0，且x ＝t 2，由此可得 at 2－2t ＋a 2≤0在t ∈[1,2]上恒成立，设g (t ) ＝ at 2－2t ＋a 2，则只需⎩⎪⎨⎪⎧g (1)≤0，g (2)≤0⇒⎩⎨⎧a －2＋a 2≤0，4a －4＋a 2≤0，解得 0<a ≤22－2，即满足题意的a 的取值范围是(0,22－2]．题型2 能成立问题(1)若在区间D 上存在实数x 使不等式f (x )＞A 成立，则等价于在区间D 上的f (x )max ＞A ；(2)若在区间D 上存在实数x 使不等式f (x )＜B 成立，则等价于在区间D 上的f (x )min ＜B .若存在x ∈R ，使不等式|x －4|＋|x －3|＜a 成立，求实数a的取值范围．解析：设f (x )＝|x －4|＋|x －3|，依题意f (x )的最小值＜a .又f (x )＝|x －4|＋|x －3|≥|(x －4)－(x －3)|＝1(等号成立的条件是3≤x ≤4)．故f (x )的最小值为1，∴a ＞1.即实数a 的取值范围是(1，＋∞)．题型3 恰成立问题(1)若不等式f (x )＞A 在区间D 上恰成立，则等价于不等式f (x )＞A 的解集为D ；(2)若不等式f (x )＜B 在区间D 上恰成立，则等价于不等式f (x )＜B 的解集为D .已知函数y ＝2x 2－ax ＋10x 2＋4x ＋6的最小值为1，求实数a 的取值集合．解析：由y ≥1即2x 2－ax ＋10x 2＋4x ＋6≥1⇒x 2－(a ＋4)x ＋4≥0恒成立，∴Δ＝(a ＋4)2－16≤0，解得－8≤a ≤0(必要条件)．再由y ＝1有解，即2x 2－ax ＋10x 2＋4x ＋6＝1有解，⇒x 2－(a ＋4)x ＋4＝0有解，得：Δ＝(a ＋4)2－16≥0，解得a ≤－8或a ≥0.综上即知a ＝－8或a ＝0时，y min ＝1，故所求实数a 的取值集合是{－8,0}．题型4 利用基本不等式求最值基本不等式通常用来求最值问题：一般用a ＋b ≥2ab (a ＞0，b＞0)解“定积求和，和最小”问题，用ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫a ＋b 22求“定和求积，积最大”问题，一定要注意适用的范围和条件：“一正、二定、三相等”，特别是利用拆项、添项、配凑、分离变量、减少变元等方法，构造定值条件的方法，和对等号能否成立的验证．若等号不能取到，则应用函数单调性来求最值，还要注意运用基本不等式解决实际问题．已知0＜x ＜2，求函数y ＝x (8－3x )的最大值．解析：∵0＜x ＜2，∴0＜3x ＜6,8－3x ＞0， ∴y ＝x (8－3x )＝13·3x ·(8－3x )≤132+-⎛⎫⎪⎝⎭3x 83x 2＝163，当且仅当3x ＝8－3x ，即x ＝43时，取等号，∴当x ＝43时，y ＝x (8－3x )有最大值为163.设函数f (x )＝x ＋2x ＋1，x ∈[0，＋∞)．求函数f (x )的最小值．解析：f (x )＝x ＋2x ＋1＝(x ＋1)＋2x ＋1－1，∵x ∈[0，＋∞)，∴x ＋1＞0，2x ＋1＞0，∴x ＋1＋2x ＋1≥2 2.当且仅当x ＋1＝2x ＋1，即x ＝2－1时，f (x )取最小值．此时f (x )min ＝22－1.题型5 简单线性规划问题求目标函数在约束条件下的最优解，一般步骤为：一是寻求约束条件和目标函数，二是作出可行域，三是在可行域内求目标函数的最优解，特别注意目标函数z ＝ax ＋by ＋c 在直线ax ＋by ＝0平移过程中变化的规律和图中直线斜率关系．简单的线性规划应用题在现实生活中的广泛应用也是高考的热点．若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋3y ≥4，3x ＋y ≤4所表示的平面区域被直线y ＝kx ＋43分为面积相等的两部分，则k 的值是( )A.73B.37C.43D.34解析：不等式组表示的平面区域如图所示：由于直线y ＝kx ＋43过定点⎝⎛⎭⎪⎫0，43，因此只有直线过AB 中点时，直线y ＝kx ＋43能平分平面区域，因为A (1,1)，B (0,4)，所以AB 中点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，52.当y ＝kx ＋43过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，52时，52＝k 2＋43，所以k ＝73.答案：A题型6 三个二次(二次函数、二次不等式、二次方程)问题一元二次方程、一元二次不等式与二次函数三者之间形成一个关系密切、互为关联、互为利用的知识体系．将二次函数看作主体，一元二次方程和一元二次不等式分别为二次函数的函数值为零(零点)和不为零的两种情况，一般讨论二次函数主要是将其通过一元二次方程和一元二次不等式来讨论，而讨论一元二次方程和一元二次不等式又要将其与相应的二次函数相联系，通过二次函数的图象揭示解(集)的几何特征．当m 为何值时，方程2x 2＋4mx ＋3m －1＝0有两个负根？解析：方程2x 2＋4mx ＋3m －1＝0有两个负根，则有⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝(4m )2－4×2×(3m －1)≥0，－b a ＝－4m 2＝－2m ＜0，c a ＝3m －12＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧m ≤12或m ≥1，m ＞0，m ＞13.∴当m ∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫m 13＜m ≤12或m ≥1时，原方程有两个负根．题型7 不等式与函数的综合问题定义在(－1,1)上的奇函数f (x )在整个定义域上是减函数，且f (1－a )＋f (1－a 2)＜0，求实数 a 的取值范围．解析：∵f (x )的定义域为(－1,1)，∴⎩⎨⎧－1＜1－a ＜1，－1＜1－a 2＜1，∴⎩⎨⎧0＜a ＜2，－2＜a ＜2且a ≠0，∴0＜a ＜2，①原不等式变形为f (1－a )＜－f (1－a 2)．由于f (x )为奇函数，有－f (1－a 2)＝f (a 2－1)， ∴f (1－a )＜f (a 2－1)．又f (x )在(－1,1)上是减函数，∴1－a ＞a 2－1，解得－2＜a ＜1.② 由①②可得0＜a ＜1， ∴a 的取值范围是(0,1)．题型8 求分式函数的最值求函数y ＝x 4＋3x 2＋3x 2＋1的最小值．解析：y ＝(x 4＋2x 2＋1)＋(x 2＋1)＋1x 2＋1＝(x 2＋1)＋1x 2＋1＋1≥2(x 2＋1)·1x 2＋1＋1＝3，当且仅当x 2＋1＝1x 2＋1，即x 2＋1＝1，即x ＝0时等号成立．。

高中数学必修5基本不等式精选题目(附答案)

高中数学必修5基本不等式精选题目(附答案）1．重要不等式当a ，b 是任意实数时，有a 2＋b 2≥2ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立． 2．基本不等式(1)有关概念：当a ，b 均为正数时，把a ＋b2叫做正数a ，b 的算术平均数，把ab 叫做正数a ，b 的几何平均数．(2)不等式：当a ，b 是任意正实数时，a ，b 的几何平均数不大于它们的算术平均数，即ab ≤a ＋b2，当且仅当a ＝b 时，等号成立．(3)变形：ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22≤a 2＋b 22，a ＋b ≥2ab (其中a ＞0，b ＞0，当且仅当a＝b 时等号成立)．题型一：利用基本不等式比较大小1.已知m ＝a ＋1a －2(a >2)，n ＝22－b 2(b ≠0)，则m ，n 之间的大小关系是( ) A ．m >n B ．m <n C ．m ＝nD ．不确定2.若a >b >1，P ＝lg a ·lg b ，Q ＝12(lg a ＋lg b )，R ＝lg a ＋b 2，则P ，Q ，R 的大小关系是________．题型二：利用基本不等式证明不等式3.已知a ，b ，c 均为正实数，求证：2b ＋3c －a a ＋a ＋3c －2b 2b ＋a ＋2b －3c3c ≥3.4.已知a ，b ，c 为正实数，且a ＋b ＋c ＝1，求证：⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1b －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1c －1≥8.题型三：利用基本不等式求最值5.已知lg a ＋lg b ＝2，求a ＋b 的最小值．6.已知x ＞0，y ＞0，且2x ＋3y ＝6，求xy 的最大值．7.已知x ＞0，y ＞0，1x ＋9y ＝1，求x ＋y 的最小值．8．已知a >0，b >0，2a ＋1b ＝16，若不等式2a ＋b ≥9m 恒成立，则m 的最大值为( )A ．8B ．7C ．6D ．5题型四：利用基本不等式解应用题9.某单位决定投资3 200元建一仓库(长方体状)，高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每米长造价40元，两侧墙砌砖，每米长造价45元，顶部每平方米造价20元，求：(1)仓库面积S 的最大允许值是多少？(2)为使S 达到最大，而实际投资又不超过预算，那么正面铁栅应设计为多长？巩固练习：1．下列结论正确的是( ) A ．当x >0且x ≠1时，lg x ＋1lg x ≥2 B ．当x >0时，x ＋1x≥2 C ．当x ≥2时，x ＋1x 的最小值为2 D ．当0<x ≤2时，x －1x 无最大值2．下列各式中，对任何实数x 都成立的一个式子是( ) A ．lg(x 2＋1)≥lg(2x ) B ．x 2＋1>2x C.1x 2＋1≤1 D ．x ＋1x ≥23．设a ，b 为正数，且a ＋b ≤4，则下列各式中正确的一个是( ) A.1a ＋1b <1 B.1a ＋1b ≥1 C.1a ＋1b <2D.1a ＋1b ≥24．四个不相等的正数a ，b ，c ，d 成等差数列，则( ) A.a ＋d2>bcB.a ＋d2<bcC.a＋d2＝bc D.a＋d2≤bc5．若x>0，y>0，且2x＋8y＝1，则xy有()A．最大值64B．最小值1 64C．最小值12D．最小值646．若a>0，b>0，且1a＋1b＝ab，则a3＋b3的最小值为________．7．(2017·江苏高考)某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x的值是________．8．若对任意x>0，xx2＋3x＋1≤a恒成立，则a的取值范围是________．9．(1)已知x<3，求f(x)＝4x－3＋x的最大值；参考答案：1.解：因为a>2，所以a－2>0，又因为m＝a＋1a－2＝(a－2)＋1a－2＋2，所以m≥2(a－2)·1a－2＋2＝4，由b≠0，得b2≠0，所以2－b2<2，n＝22－b2<4，综上可知m>n.2.解：因为a>b>1，所以lg a>lg b>0，所以Q＝12(lg a＋lg b)>lg a·lg b＝P；Q＝12(lg a＋lg b)＝lg a＋lg b＝lg ab<lga＋b2＝R.所以P<Q<R.3.[证明]∵a，b，c均为正实数，∴2ba＋a2b≥2(当且仅当a＝2b时等号成立)，3c a＋a3c≥2(当且仅当a＝3c时等号成立)，3c 2b ＋2b3c ≥2(当且仅当2b ＝3c 时等号成立)，将上述三式相加得⎝ ⎛⎭⎪⎫2b a ＋a 2b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3c a ＋a 3c ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3c 2b ＋2b 3c ≥6(当且仅当a ＝2b ＝3c时等号成立)，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫2b a ＋a 2b －1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3c a ＋a 3c －1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3c 2b ＋2b 3c －1≥3(当且仅当a ＝2b ＝3c 时等号成立)，即2b ＋3c －a a ＋a ＋3c －2b 2b ＋a ＋2b －3c 3c ≥3(当且仅当a ＝2b ＝3c 时等号成立)．4.证明：因为a ，b ，c 为正实数，且a ＋b ＋c ＝1，所以1a －1＝1－a a ＝b ＋c a ≥2bc a . 同理，1b －1≥2ac b ，1c －1≥2abc . 上述三个不等式两边均为正，相乘得⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1b －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1c －1≥2bc a ·2ac b ·2abc ＝8，当且仅当a ＝b ＝c ＝13时，取等号.5.解：由lg a ＋lg b ＝2可得lg ab ＝2，即ab ＝100，且a ＞0，b ＞0，因此由基本不等式可得a ＋b ≥2ab ＝2100 ＝20，当且仅当a ＝b ＝10时，a ＋b 取到最小值20. 6.解：∵x ＞0，y ＞0,2x ＋3y ＝6， ∴xy ＝16(2x ·3y )≤16·⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋3y 22＝16·⎝ ⎛⎭⎪⎫622＝32，当且仅当2x ＝3y ，即x ＝32，y ＝1时，xy 取到最大值32. 7.解：∵1x ＋9y ＝1， ∴x ＋y ＝(x ＋y )·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋9y＝1＋9x y ＋y x ＋9＝y x ＋9xy ＋10，又∵x ＞0，y ＞0， ∴y x ＋9xy ＋10≥2y x ·9xy ＋10＝16，当且仅当y x ＝9xy ，即y ＝3x 时，等号成立．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3x ，1x ＋9y＝1，得⎩⎨⎧x ＝4，y ＝12，即当x ＝4，y ＝12时，x ＋y 取得最小值16.8.解析：选C 由已知，可得6⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋1b ＝1，∴2a ＋b ＝6⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋1b ·(2a ＋b )＝6⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋2a b ＋2b a ≥6×(5＋4)＝54，当且仅当2a b ＝2b a 时等号成立，∴9m ≤54，即m ≤6，故选C.9.[解] (1)设铁栅长为x 米，一堵砖墙长为y 米，而顶部面积为S ＝xy ，依题意得，40x ＋2×45y ＋20xy ＝3 200，由基本不等式得3 200≥240x ×90y ＋20xy ＝120xy ＋20xy ，＝120S ＋20S .所以S ＋6S －160≤0，即(S －10)(S ＋16)≤0，故S ≤10，从而S ≤100，所以S 的最大允许值是100平方米，(2)取得最大值的条件是40x ＝90y 且xy ＝100，求得x ＝15，即铁栅的长是15米．练习：1.解析：选B A 中，当0<x <1时，lg x <0，lg x ＋1lg x ≥2不成立；由基本不等式知B 正确；C 中，由对勾函数的单调性，知x ＋1x 的最小值为52；D 中，由函数f (x )＝x －1x 在区间(0,2]上单调递增，知x －1x 的最大值为32，故选B.2.解析：选C 对于A ，当x ≤0时，无意义，故A 不恒成立；对于B ，当x ＝1时，x 2＋1＝2x ，故B 不成立；对于D ，当x <0时，不成立．对于C ，x 2＋1≥1，∴1x 2＋1≤1成立．故选C. 3.解析：选B 因为ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22≤⎝ ⎛⎭⎪⎫422＝4，所以1a ＋1b ≥21ab ≥214＝1.4.解析：选A 因为a ，b ，c ，d 成等差数列，则a ＋d ＝b ＋c ，又因为a ，b ，c ，d 均大于0且不相等，所以b ＋c >2bc ，故a ＋d2>bc .5.解析：选D 由题意xy ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋8y xy ＝2y ＋8x ≥22y ·8x ＝8xy ，∴xy ≥8，即xy 有最小值64，等号成立的条件是x ＝4，y ＝16.6.解析：∵a >0，b >0，∴ab ＝1a ＋1b ≥21ab ，即ab ≥2，当且仅当a ＝b ＝2时取等号，∴a 3＋b 3≥2(ab )3≥223＝42，当且仅当a ＝b ＝2时取等号，则a 3＋b 3的最小值为4 2.7.解析：由题意，一年购买600x 次，则总运费与总存储费用之和为600x ×6＋4x ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫900x ＋x ≥8900x ·x ＝240，当且仅当x ＝30时取等号，故总运费与总存储费用之和最小时x 的值是30.8.解析：因为x >0，所以x ＋1x ≥2.当且仅当x ＝1时取等号，所以有xx 2＋3x ＋1＝1x ＋1x ＋3≤12＋3＝15，即x x 2＋3x ＋1的最大值为15，故a ≥15. 答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫15，＋∞(2)已知x ，y 是正实数，且x ＋y ＝4，求1x ＋3y 的最小值． 9.解：(1)∵x <3， ∴x －3<0，∴f (x )＝4x －3＋x ＝4x －3＋(x －3)＋3 ＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤43－x ＋(3－x )＋3≤－243－x·(3－x )＋3＝－1，当且仅当43－x＝3－x ，即x ＝1时取等号， ∴f (x )的最大值为－1. (2)∵x ，y 是正实数，∴(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋3y ＝4＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y x ＋3x y ≥4＋2 3.当且仅当y x ＝3xy ，即x ＝2(3－1)，y ＝2(3－3)时取“＝”号．又x ＋y ＝4， ∴1x ＋3y ≥1＋32，故1x ＋3y 的最小值为1＋32.。

高中数学必修5常考题型：一元二次不等式及其解法

高中数学必修5常考题型：一元二次不等式及其解法(总4页)-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1-CAL-本页仅作为文档封面，使用请直接删除2一元二次不等式及其解法(复习课)【常考题型】题型一、简单的分式不等式【例1】解下列不等式(1)x ＋21－x <0；(2)x ＋1x －2≤2. [解] (1)由x ＋21－x <0，得x ＋2x －1>0，此不等式等价于(x ＋2)(x －1)>0，∴原不等式的解集为{x |x <－2或x >1}．(2)法一：移项得x ＋1x －2－2≤0，左边通分并化简有－x ＋5x －2≤0，即x －5x －2≥0，它的同解不等式为⎩⎪⎨⎪⎧ x －2x －5≥0，x －2≠0， ∴x <2或x ≥5.∴原不等式的解集为{x |x <2或x ≥5}．法二：原不等式可化为x －5x －2≥0，此不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧ x －5≥0，x －2>0① 或⎩⎪⎨⎪⎧ x －5≤0，x －2<0，②解①得x ≥5，解②得x <2，∴原不等式的解集为{x |x <2或x ≥5}．【类题通法】1．对于比较简单的分式不等式，可直接转化为一元二次不等式或一元一次不等式组求解，但要注意分母不为零．2．对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再通分(不要去分母)，使之转化为不等号右边为零，然后再用上述方法求解．【对点训练】3 1．解下列不等式：(1)x ＋23－x ≥0； (2)2x －13－4x>1. 解：(1)原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋23－x ≥0，3－x ≠0，即⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2x －3≤0，x ≠3－2≤x <3.∴原不等式的解集为{x |－2≤x <3}．(2)原不等式可化为2x －13－4x －1>0，即3x －24x －3<0. 等价于(3x －2)(4x －3)<0.∴23<x <34. ∴原不等式的解集为{x |23<x <34}. 题型二、不等式中的恒成立问题【例2】关于x 的不等式(1＋m )x 2＋mx ＋m ＜x 2＋1对x ∈R 恒成立，求实数m 的取值范围．[解] 原不等式等价于mx 2＋mx ＋m －1＜0，对x ∈R 恒成立，当m ＝0时，0·x 2＋0·x －1＜0对x ∈R 恒成立．当m ≠0时，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ m ＜0，Δ＝m 2－4mm －1＜0⎩⎪⎨⎪⎧ m ＜0，3m 2－4m ＞0⎩⎪⎨⎪⎧ m ＜0，m ＜0，或m ＞43m ＜0.综上，m 的取值范围为m ≤0.【类题通法】不等式对任意实数x 恒成立，就是不等式的解集为R ，对于一元二次不等式ax 2＋bx ＋c ＞0，它的解集为R 的条件为⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，Δ＝b 2－4ac ＜0；4一元二次不等式ax 2＋bx ＋c ≥0，它的解集为R 的条件为⎩⎪⎨⎪⎧ a ＞0，Δ＝b 2－4ac ≤0；一元二次不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解集为的条件为⎩⎪⎨⎪⎧ a ＜0，Δ≤0.【对点训练】2．若关于x 的不等式ax 2＋2x ＋2＞0在R 上恒成立，求实数a 的取值范围．解：当a ＝0时，原不等式可化为2x ＋2＞0，其解集不为R ，故a ＝0不满足题意，舍去；当a ≠0时，要使原不等式的解集为R ，只需解得a ＞12. 综上，所求实数a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞. 题型三、一元二次不等式的实际应用【例3】某农贸公司按每担200元收购某农产品，并按每100元纳税10元(又称征税率为10个百分点)，计划可收购a 万担，政府为了鼓励收购公司多收购这种农产品，决定将征税率降低x (x ≠0)个百分点，预测收购量可增加2x 个百分点．(1)写出税收y (万元)与x 的函数关系式；(2)要使此项税收在税率调节后，不少于原计划税收的83.2%，试确定x 的取值范围．[解] (1)降低税率后的税率为(10－x )%，农产品的收购量为a (1＋2x %)万担，收购总金额为200a (1＋2x %)．依题意得，y ＝200a (1＋2x %)(10－x )%＝150a (100＋2x )(10－x )(0＜x ＜10)． (2)原计划税收为200a ·10%＝20a (万元)．依题意得，150a (100＋2x )(10－x )≥20a ×83.2%，化简得x 2＋40x －84≤0，∴－42≤x ≤2.又∵0＜x ＜10，∴0＜x ≤2.∴x 的取值范围是{x |0＜x ≤2}．【类题通法】5用一元二次不等式解决实际问题的操作步骤是：(1)理解题意，搞清量与量之间的关系；(2)建立相应的不等关系，把实际问题抽象为数学中的一元二次不等式问题；(3)解这个一元二次不等式，得到实际问题的解．【对点训练】3．某校园内有一块长为800 m ，宽为600 m 的长方形地面，现要对该地面进行绿化，规划四周种花卉(花卉带的宽度相同)，中间种草坪，若要求草坪的面积不小于总面积的一半，求花卉带宽度的范围．解：设花卉带的宽度为x m ，则中间草坪的长为(800－2x ) m ，宽为(600－2x ) m ．根据题意可得(800－2x )(600－2x )≥12×800×600，整理得x 2－700x ＋600×100≥0，即(x －600)(x －100)≥0，所以0＜x ≤100或x ≥600，x ≥600不符合题意，舍去．故所求花卉带宽度的范围为(0,100] m.【练习反馈】1．若集合A ＝{x |－1≤2x ＋1≤3}，B ＝{x |x －2x ≤0}，则A ∩B ＝( ) A ．{x |－1≤x ＜0}B ．{x |0＜x ≤1}C ．{x |0≤x ≤2}D ．{x |0≤x ≤1}解析：选B ∵A ＝{x |－1≤x ≤1}，B ＝{x |0＜x ≤2}，∴A ∩B ＝{x |0＜x ≤1}．2．已知不等式x 2＋ax ＋4＜0的解集为空集，则a 的取值范围是( )A ．－4≤a ≤4B ．－4＜a ＜4C ．a ≤－4或a ≥4D ．a ＜－4或a ＞4 解析：选A 依题意应有Δ＝a 2－16≤0，解得－4≤a ≤4，故选A.3．不等式x ＋1x ≤3的解集为________．解析：x ＋1x ≤3x ＋1x －3≤02x －1x ≥0x (2x －1)≥0且x ≠0x <0或x ≥12. 答案：⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＜0或x ≥12 4．若函数f (x )＝log 2(x 2－2ax －a )的定义域为R ，则a 的取值范围为________．解析：已知函数定义域为R ，即x 2－2ax －a ＞0对任意x∈R恒成立．∴Δ＝(－2a)2＋4a＜0.解得－1＜a＜0.答案：(－1,0)5．你能用一根长为100 m的绳子围成一个面积大于600 m2的矩形吗解：设围成的矩形一边的长为x m，则另一边的长为(50－x) m，且0＜x＜50.由题意，得围成矩形的面积S＝x(50－x)＞600，即x2－50x＋600＜0，解得20＜x＜30.所以，当矩形一边的长在(20,30)的范围内取值时，能围成一个面积大于600 m2的矩形．6。

高中数学人教版必修5——第十三讲：均值不等式(解析版)

均值不等式教学重点：掌握均值不等式的证明及应用，会用均值不等式求函数的最大值或最小值；教学难点：利用均值不等式的证明。

1. 算术平均值与几何平均值（1）算术平均值：对任意两个正实数,a b ，数2a b+ 叫做,a b 的算术平均值（2）几何平均值：对任意两个正实数,a b,a b 的几何平均值 2. 均值定理如果,a b R +∈，那么2a b+≥a b =时，等号成立 3. 均值不等式的常见变形（1）),a b a b R ++≥∈（2）()2,2a b ab a b R +⎛⎫≤∈ ⎪⎝⎭（3）2b aa b+≥（,a b 同号且不为0）（4）)2,11a b R a b+≤∈+类型一：均值不等式的理解例1. 设0,0a b >>，则下列不等式不成立的是（）A.2b a a b +≥B.44222a b a b +≥ C. 22b a a b a b +≥+ D.1122a b a b+≥++ 解析：特值法，令1a b ==，则A,B,C 项都成立，而D 项中，1122,23a b a b+=+=+ 显然不成立，故D 项不成立。

答案：D练习1. 若a 、b ∈R ，且ab >0，则下列不等式中，恒成立的是( )A ．a 2＋b 2>2abB ．a ＋b ≥2abC ．1a ＋1b >2abD ．b a ＋ab ≥2答案：D练习2. 设0<a <b ，则下列不等式中正确的是( )A ．a <b <ab <a ＋b 2B ．a <ab <a ＋b 2<bC ．a <ab <b <a ＋b 2D ．ab <a <a ＋b2<b答案：B类型二：均值不等式与最值例2. 若正数x 、y 满足x ＋3y ＝5xy ，则3x ＋4y 的最小值是( ) A ．245 B ．285 C ．5 D ．6解析：由x ＋3y ＝5xy 得15y ＋35x ＝1，∴3x ＋4y ＝(3x ＋4y )·(15y ＋35x )＝3x 5y ＋12y 5x ＋95＋45≥23x 5y ·12y 5x ＋135＝125＋135＝5，当且仅当3x 5y ＝12y5x时，得到最小值5. 答案：C练习3. 设x 、y ∈R ，且x ＋y ＝5，则3x ＋3y 的最小值为( ) A ．10 B ．63 C ．46 D ．183答案：D练习4. 已知正项等差数列{a n }中，a 5＋a 16＝10则a 5a 16的最大值为( ) A ．100 B ．75 C ．50 D ．25 答案：D类型三：利用均值不等式证明不等式及应用例3. 已知a 、b 、c ∈R ，求证：a 2＋b 2＋b 2＋c 2＋c 2＋a 2≥2(a ＋b ＋c )．解析：∵a ＋b2≤a 2＋b 22，∴a 2＋b 2≥a ＋b2＝22(a ＋b )(a ，b ∈R 等号在a ＝b 时成立)．同理b 2＋c 2≥22(b ＋c )(等号在b ＝c 时成立)． a 2＋c 2≥22(a ＋c )(等号在a ＝c 时成立)．三式相加得a 2＋b 2＋b 2＋c 2＋a 2＋c 2 ≥22(a ＋b )＋22(b ＋c )＋22(a ＋c ) ＝2(a ＋b ＋c )(等号在a ＝b ＝c 时成立). 答案：见解析练习5. 已知a 、b 是正数，试比较21a ＋1b 与ab 的大小．答案：∵a >0，b >0，∴1a ＋1b ≥21ab >0. ∴21a ＋1b ≤221ab ＝ab .即21a ＋1b≤ab . 练习6.若x >0，y >0，x ＋y ＝1，求证：(1＋1x )·(1＋1y)≥9..答案：证法一：左边＝(1＋1x )(1＋1y)＝1＋1x ＋1y ＋1xy ＝1＋x ＋y xy ＋1xy＝1＋2xy ≥1＋2(x ＋y 2)2＝9＝右边．当且仅当x ＝y ＝12时，等号成立．证法二：∵x ＋y ＝1，∴左边＝(1＋1x )(1＋1y)＝(1＋x ＋y x )(1＋x ＋y y )＝(2＋y x )(2＋xy )＝5＋2(y x ＋xy )≥5＋4＝9＝右边．当且仅当x ＝y ＝12时，等号成立．例4. 在面积为S (S 为定值)的扇形中，当扇形中心角为θ，半径为r 时，扇形周长最小，这时θ、r 的值分别是( )A ．θ＝1，r ＝SB ．θ＝2，r ＝4SC ．θ＝2，r ＝3S D ．θ＝2，r ＝S解析：S ＝12θr 2⇒θ＝2Sr2，又扇形周长P ＝2r ＋θr ＝2⎝⎛⎭⎫r ＋Sr ≥4S ，当P 最小时，r ＝Sr ⇒r ＝S ，此时θ＝2.答案：D练习7. 设计用32m 2的材料制造某种长方体车厢(无盖)，按交通规定车厢宽为2m ，则车厢的最大容积是( )A ．(38－373)m 3B ．16m 3C ．42m 3D ．14m 3 答案：B练习8. 将进货单价为80元的商品按90元一个售出时，能卖出400个，每涨价1元，其销售量就减少20个，为获得最大利润，售价应定在( )A ．每个95元B ．每个100元C ．每个105元D ．每个110元答案：A1. 若x ＞0，y ＞0，且x ＋y ≤4，则下列不等式中恒成立的是( ) A ．1x ＋y ≤14 B ．1x ＋1y ≥1 C ．xy ≥2 D ．1xy ≥1答案：B2. 已知m 、n ∈R ，m 2＋n 2＝100，则mn 的最大值是( )A ．100B ．50C ．20D ．10 答案：B3. 若a >0，b >0且a ＋b ＝4，则下列不等式恒成立的是( )A ．1ab >12B ．1a ＋1b ≤1C ．ab ≥2D ．1a 2＋b 2≤18答案：D4. 实数x 、y 满足x ＋2y ＝4，则3x ＋9y 的最小值为( )A ．18B ．12C ．23D ．43 答案：A5．设x ＋3y －2＝0，则3x ＋27y ＋1的最小值为( )A ．7B ．339 C ．1＋22 D ．5 答案：A6. 设a ＞0，b ＞0，若3是3a 与3b 的等比中项，则1a ＋1b 的最小值为( )A ．8B ．4C ．1D ．14答案：B__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________基础巩固1. 若0<a <1,0<b <1，且a ≠b ，则a ＋b,2ab ，2ab ，a 2＋b 2中最大的一个是( ) A ．a 2＋b 2 B ．2ab C ．2ab D ．a ＋b 答案：D2. 若2x ＋2y ＝1，则x ＋y 的取值范围是( )A ．[0,2]B ．[－2,0]C ．[－2，＋∞)D ．(－∞，－2] 答案：D3. 已知x 、y ∈R ＋，且满足x 3＋y 4＝1，则xy 的最大值为________．答案：34. 已知a 、b 为实常数，函数y ＝(x －a )2＋(x －b )2的最小值为__________ 答案：12(a －b )25. a 、b 、c 是互不相等的正数，且a 2＋c 2＝2bc ，则下列关系中可能成立的是( ) A ．a >b >c B ．c >a > b C ．b >a >cD ．a >c >b答案：C6. 设{a n }是正数等差数列，{b n }是正数等比数列，且a 1＝b 1，a 21＝b 21，则( ) A ．a 11＝b 11 B ．a 11>b 11 C ．a 111，b >1，且lg a ＋lg b ＝6，则lg a ·lg b 的最大值为( ) A ．6 B ．9 C ．12 D ．18答案：B8. 某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元．若每批生产x 件，则平均仓储时间为x8天，且每件产品每天的仓储费用为1元．为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品( )A ．60件B ．80件C ．100件D ．120件答案：B9. 已知2x ＋3y＝2(x >0，y >0)，则xy 的最小值是________．答案：610. 若实数x 、y 满足x 2＋y 2＋xy ＝1，则x ＋y 的最大值是________．答案：23311. 做一个面积为1 m 2，形状为直角三角形的铁架框，在下面四种长度的铁管中，最合理(够用，又浪费最少)的是( )A ．4.6 mB ．4.8 mC ．5 mD ．5.2 m 答案：C12. 光线透过一块玻璃，其强度要减弱110.要使光线的强度减弱到原来的13以下，至少需这样的玻璃板________块．(参考数据：lg2＝0.3010，lg3＝0.4771) 答案：1113. 一个矩形的周长为l ，面积为S ，给出下列实数对：①(4,1)；②(8,6)；③(10,8)；④(3，12)．其中可作为(l ，S )的取值的实数对的序号是________．答案：①④14. 已知正常数a 、b 和正实数x 、y ，满足a ＋b ＝10，a x ＋by ＝1，x ＋y 的最小值为18，求a 、b 的值．答案：x ＋y ＝(x ＋y )·1＝(x ＋y )·(a x ＋by)＝a ＋b ＋ay x ＋bxy ≥a ＋b ＋2ab ＝(a ＋b )2，等号在ay x ＝bx y 即y x＝ba时成立． ∴x ＋y 的最小值为(a ＋b )2＝18，又a ＋b ＝10，∴ab ＝16.∴a 、b 是方程x 2－10x ＋16＝0的两根， ∴a ＝2，b ＝8或a ＝8，b ＝2.能力提升15. 已知x >0，y >0，lg2x ＋lg8y ＝lg2，则 1x ＋13y 的最小值是( )A ．2B ．22C ．4D ．23 答案：C16. 设函数f (x )＝2x ＋1x－1(x <0)，则f (x )( )A ．有最大值B ．有最小值C ．是增函数D ．是减函数答案：A17. 已知x >0，y >0，x 、a 、b 、y 成等差数列，x 、c 、d 、y 成等比数列，则(a ＋b )2cd的最小值是( )A ．0B ．1C ．2D ．4 答案：D18. 若a 、b 、c 、d 、x 、y 是正实数，且P ＝ab ＋cd ，Q ＝ax ＋cy ·b x ＋dy，则有( ) A ．P ＝Q B ．P ≥Q C ．P ≤Q D ．P >Q 答案：C19. 已知x ≥52，则f (x )＝x 2－4x ＋52x －4有( )A ．最大值54B ．最小值54 C ．最大值1 D ．最小值1答案： D20. 已知y >x >0，且x ＋y ＝1，那么( )A ．x <x ＋y 2<y <2xyB ．2xy <x <x ＋y 2<yC ．x <x ＋y 2<2xy <yD ．x <2xy <x ＋y2<y答案：D21. 设a 、b 是正实数，给出以下不等式：①ab >2ab a ＋b；②a >|a －b |－b ；③a 2＋b 2>4ab －3b 2；④ab ＋2ab >2，其中恒成立的序号为( )A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④ 答案：D22. 已知a >0，b >0，且a ＋b ＝1，则⎝⎛⎭⎫1a 2－1⎝⎛⎭⎫1b 2－1的最小值为( ) A ．6 B ．7 C ．8 D ．9 答案：D23.若直线2ax －by ＋2＝0(a >0，b >0)被圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0截得的弦长为4，则1a ＋1b 的最小值为( )A ．14B ．12 C ．2 D ．4答案：D24. 当x >1时，不等式x ＋1x －1≥a 恒成立，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，2] B ．[2，＋∞) C ．[3，＋∞) D ．(－∞，3] 答案：D25. 已知正数x 、y 满足1x ＋4y＝1，则xy 有( )A ．最小值116B ．最大值16C ．最小值16D ．最大值116答案：C26. 若正实数x 、y 满足2x ＋y ＋6＝xy ，则xy 的最小值是________ 答案：1827. 已知函数f (x )＝lg x (x ∈R ＋)，若x 1、x 2∈R ＋，判断12[f (x 1)＋f (x 2)]与f (x 1＋x 22)的大小并加以证明．答案：12[f (x 1)＋f (x 2)]≤f (x 1＋x 22)∵f (x 1)＋f (x 2)＝lg x 1＋lg x 2＝lg(x 1·x 2)， f (x 1＋x 22)＝lg x 1＋x 22，而x 1、x 2∈R ＋，x 1x 2≤(x 1＋x 22)2，而f (x )＝lg x 在区间(0，＋∞)上为增函数． ∴lg(x 1x 2)≤lg(x 1＋x 22)2，∴12lg(x 1x 2)≤lg x 1＋x 22. 即12(lg x 1＋lg x 2)≤lg x 1＋x 22. 因此，12[f (x 1)＋f (x 2)]≤f (x 1＋x 22)．28. 已知a 、b 、c ∈R ＋，求证：a 2b ＋b 2c ＋c 2a≥a ＋b ＋C答案：∵a 、b 、c ∈R ＋，a 2b ，b 2c ，c 2a均大于0，又a 2b ＋b ≥2a 2b ·b ＝2a ， b 2c ＋c ≥2b 2c·c ＝2b ， c 2a＋a ≥2c 2a·a ＝2c ，三式相加得a 2b ＋b ＋b 2c ＋c ＋c 2a ＋a ≥2a ＋2b ＋2c ，∴a 2b ＋b 2c ＋c 2a ≥a ＋b ＋C ． 29．求函数y ＝1－2x －3x的值域．答案：y ＝1－2x －3x ＝1－(2x ＋3x)．①当x >0时，2x ＋3x≥22x ·3x＝2 6. 当且仅当2x ＝3x ，即x ＝62时取等号．∴y ＝1－(2x ＋3x)≤1－2 6.②当x <0时，y ＝1＋(－2x )＋(－3x )．∵－2x ＋(－3x)≥2(－2x )·(－3x)＝2 6.当且仅当－2x ＝－3x 时，即x ＝－62时取等号．∴此时y ＝1－2x －3x≥1＋26综上知y ∈(－∞，1－26]∪[1＋26，＋∞)．∴函数y ＝1－2x －3x的值域为(－∞，1－26)∪[1＋26，＋∞)．30. 某单位决定投资3 200元建一仓库(长方体状)，高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每米长造价40元，两侧墙砌砖，每米长造价45元，顶部每平方米造价20元．试求：(1)仓库面积S 的取值范围是多少？(2)为使S 达到最大，而实际投资又不超过预算，那么正面铁栅应设计多长？答案：(1)设正面铁栅长x m ，侧面长为y m ，总造价为z 元，则z ＝40x ＋2×45y ＋20xy ＝40x ＋90y ＋20xy ，仓库面积S ＝xy .由条件知z ≤3 200，即4x ＋9y ＋2xy ≤320. ∵x >0，y >0，∴4x ＋9y ≥24x ·9y ＝12xy .∴6S ＋S ≤160，即(S )2＋6S －160≤0. ∴0<S ≤10，∴0<S ≤100. 故S 的取值范围是(0,100]．(2)当S ＝100 m 2时，4x ＝9y ，且xy ＝100. 解之得x ＝15(m)，y ＝203(m)．答：仓库面积S 的取值范围是(0,100]，当S 取到最大允许值100 m 2时，正面铁栅长15 m.31. 某渔业公司年初用98万元购买一艘捕鱼船，第一年各种费用为12万元，以后每年增加4万元，每年捕鱼收益50万元．(1)问第几年开始获利？(2)若干年后，有两种处理方案：①年平均获利最大时，以26万元出售该渔船；②总纯收入获利最大时，以8万元出售该渔船．问哪种方案最合算？答案：由题设知每年的费用是以12为首项，4为公差的等差数列．设纯收入与年数的关系为f (n )，则f (n )＝50n －[12＋16＋…＋(8＋4n )]－98＝40n －2n 2－98.(1)由f (n )>0得，n 2－20n ＋49<0，∴10－51<n <10＋51，又∵n ∈N ，∴n ＝3,4， (17)即从第3年开始获利．(2)①年平均收入＝f (n )n ＝40－2(n ＋49n)≤40－2×14＝12，当且仅当n ＝7时，渔船总收益为12×7＋26＝110(万元)．②f (n )＝－2(n －10)2＋102.因此当n ＝10时，f (n )max ＝102，总收益为102＋8＝110万元，但7<10，所以第一种方案更合算．。

高一数学必修5不等式易错题及错解分析

必修5不等式易错题及错解分析一、选择题：1．设()lg ,f x x =若0<a<b<c,且f(a)>f(b)>f(c),则下列结论中正确的是A (a-1)(c-1)>0B ac>1C ac=1D ac>1错解原因是没有数形结合意识,正解是作出函数()lg f x x =的图象,由图可得出选D. 2．设,,1x y R x y ∈+>则使成立的充分不必要条件是A 1x y +≥B 1122x y >>或 C 1x ≥ D x<-1 错解:选B,对充分不必要条件的概念理解不清,“或”与“且”概念不清，正确答案为D 。

3．不等式(0x -≥的解集是A {|1}x x >B {|1}x x ≥C {|21}x x x ≥-≠且D {|21}x x x =-≥或错解：选B ，不等式的等价转化出现错误，没考虑x=-2的情形。

正确答案为D 。

4．某工厂第一年的产量为A ，第二年的增长率为a,第三年的增长率为b ，这两年的平均增长率为x,则A 2a b x +=B 2a b x +≤C 2a b x +>D 2a bx +≥ 错解：对概念理解不清，不能灵活运用平均数的关系。

正确答案为B 。

5．已知1324a b a b -<+<<-<且，则2a+3b 的取值范围是A 1317(,)22-B 711(,)22-C 713(,)22-D 913(,)22- 错解：对条件“1324a b a b -<+<<-<且”不是等价转化，解出a,b 的范围，再求2a+3b的范围，扩大了范围。

正解：用待定系数法，解出2a+3b=52(a+b)12-(a-b),求出结果为D 。

6．若不等式ax 2+x+a ＜0的解集为 Φ，则实数a 的取值范围（）A a ≤-21或a ≥21B a ＜21C -21≤a ≤21D a ≥ 21正确答案：D 错因：学生对一元二次不等式与二次函数的图象之间的关系还不能掌握。

2019年人教版高中数学必修五考点练习：基本不等式的配凑技巧(含答案解析)

6a 2b 当且仅当 b ＝ a 且2a＋b－1＝0，即a＝2－ 3，b＝2 3－3时取等号．
32 故b＋a的最小值为7＋4 3. 答案：7＋4 3
10. 【解析】选D. log4 (3a 4b) log2 ab, 可得 3a 4b ab, 且 a 0,b 0
3a 4b 1, 即 3 4 1,
5
10
A.3
B. 3
3
C. 2
D．3
9. 已知x＞y＞0，求
的最小值及取最小值时的x、y的值.
2 10. 若b>a>1，且3logab＋6logba＝11，则a3＋b－1的最小值为________．
二、“1”的变换
14 1. 已知a＞0，b＞0，a＋b＝2，则y＝a＋b的最小值是
7
A. 2
B．4
9
C. 2
4. 已知 x , y , z 0 , 1 且 x y z 2 ，求 xy yz zx 的最大值．
5. 已知实数x，y满足x2＋y2－xy＝1 ，则x＋y的最大值为________． 6. 设x，y为实数，若4x2＋y2＋xy＝1，则2x＋y的最大值是________．
12 7. 若实数a，b满足a＋b＝ ab，则ab的最小值为( )
3y 4x
31
＋ x＋y
·
∴x＋y＝ x y 3 ＝2＋2＋ x ＋3y≥4＋2 x 3y＝8，当且仅当x＝4，y＝2时取等号，
32 故x＋y的最小值是8.
16 1 8. 解析：已知x>0，y>0，且x＋16y＝xy. 即 x ＋y＝1.
( ) 16 1
16y x
＋
则x＋y＝(x＋y) x y ＝16＋1 ＋ x ＋y≥17＋2

高中数学人教版必修5——第十一讲：一元二次不等式及其解法(解析版)

一元二次不等式及其解法教学重点：正确理解一元二次不等式的解法；掌握一元二次不等式的不等式的解法；理解二次函数、一元二次方程、一元二次不等式之间的关系；教学难点：理解二次函数、一元二次方程及一元二次不等式之间的关系。

1. 一元二次不等式（1）一元二次不等式的定义：一般地，含有1个未知数，且未知数的最高次数为2的整式不等式，叫做一元二次等式；（2）一元二次不等式的解集：使某个一元二次不等式成立的未知数的取值集合叫做这个一元二次不等式的解集；（3）同解不等式：如果两个不等式的解集相同，那么这两个不等式叫做同解不等式。

2. 一元二次不等式与相应的函数、方程之间的关系对于一元二次方程()200ax bx c a ++=>设24b ac ∆=-它的解按0,0,0∆>∆<∆=可分为三种情况，列表如下：0>∆0=∆0<∆c bx ax y ++=2c bx ax y ++=2c bx ax y ++=23.一元二次不等式的解法步骤（1）对不等式进行变形，使一端为0，且二次项系数大于0；（2）计算相应方程的根的判别式；（3）当0∆>时，求出相应的一元二次方程的两根；（4）根据一元二次不等式解集的结构，写出其解集。

注：若不等式左侧可因式分解，则可转化为一元一次不等式组求解。

（一看，二算，三写）4.含参数的一元二次不等式的解法（1）二次项系数含参数时，根据一元二次不等式的标准形式需要化二次项系数为正，所以要对参数讨论；（2）解∆得过程中，若∆表达式含有参数且参数的取值影响∆的符号，这时根据∆的符号确定的需要，对参数进行讨论；（3）方程的两根表达式中如果有参数，需要对参数讨论才能确定根的大小，这时要对参数进行讨论。

5.不等式的恒成立问题（1）结合二次函数的图像和性质用判别式法，当x的取值为全体实数时，一般用此法；（2）从函数的最值入手考虑，如大于零恒成立可转化为最小值大于零；（3）能分离变量的尽量把参数和变量分离出来；（4）数形结合，结合图形进行分析，从整体上把握图形。

高中数学必修5解不等式习题精选精讲----均值定理的拓广

均值定理的拓广在高中数学教材中，均值不等式几乎涉及高中数学的所有章节，且在每年的高考题中常考常新，其题型主要以大小判断、求最值、求参数的取值范围以及最值时刻等几个方面出现，在高考的考试说明中也明确地要求学生能熟练地掌握均值不等式的适用条件及适用情境。

高中教材中对均值定理的叙述是：（1）定理：如果a 、b 是正数，那么ab ba ≥+2（当且仅当a=b 时取“＝”号）（2）定理：如果a 、b 、c 是正数，那么33abc c b a ≥++（当且仅当a=b=c 时取“＝”号）我们称2b a +（3c b a ++）为a 、b （a 、b 、c ）的算术平均数，称ab （3abc ）为a 、b(a 、b 、c)的几何平均数，因而这一定理又可叙述为“两个（或三个）正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。

”事实上，由数学归纳法可把这一定理拓广为“n 个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数” 。

用均值不等式求函数的最大（小）值是高中数学的一个重点，在运用均值定理求函数的最大（小）值时，往往需要掌握“凑”（凑项、凑因子）的技巧，其目的（一）是创造一个应用不等式的情境；（二）是使等号成立的条件。

例1．边长为c b a ,,的三角形，其面积等于41，而外接圆半径为1，若c b a t c b a S 111,++=++=，则S 与t 的大小关系是（） A. t S >B. t S =C. t S <D.不确定（1986年全国高中数学联赛题）解：在三角形中，由正弦定理和面积公式可得C C R C sin 2sin 2==，又∵41sin 21==C ab S ，∴1=abc ∴ab ac bc cb a t ++=++=111∴)()()(2ac bc bc ab ac ab t +++++=S c b a bc a abc c ab 2)(2222222=++=++≥∵1====R c b a 不可能成立故上式取不到等号，∴S t >即t S <，故选C例2．若正数b a ,满足3++=b a ab ，则ab 的取值范围是（1999年全国高考题第15题）解：∵+∈R b a ,，∴ab b a 2=+，∴323+≥++=ab b a ab ∴032≥--ab ab ，∴0)1)(3(≥+-ab ab ∴1-≤ab （舍去）或3≥ab ∴3≥ab然而有些题由于解析式自然，从形态上看根本凑不出定值，或虽凑出定值而其等号又不能成立，对于这样的题目，学生往往为很难用甚至不能用均值定理而感到束手无策。

高中数学必修5(人教A版)第三章不等式3.2知识点总结含同步练习及答案

（2）因为
为整式不等式
解得 x <
3 或 x > 4，所以原不等式的解集为 2 3 ∣ {x ∣ x < 或x > 4} . ∣ 2
4.高次不等式的解法描述：高次不等式的解法解一元高次不等式一般利用数轴穿根法（或称根轴法）求解，其步骤是：（1）将 f (x) 最高次项系数化为正数；（2）将 f (x) 分解为若干个一次因式的乘积或二次不可分因式的乘积；（3）求出各因式的零点，并在数轴上依次标出；（4）从最右端上方起，自右至左依次通过各根画曲线，遇到奇次重根要一次穿过，遇到偶次重根要穿而不过；（5）记数轴上方为正，下方为负，根据曲线显现出的 f (x) 的值的符号变化规律，写出不等式的解集．例题：解不等式 (x + 2)(x + 1)2 (x − 1)3 (x − 2) < 0 ．解：不等式中各因式的实数根为 −2，−1，1 ，2 ．利用根轴法，如图所示．
2 )(x − a) ⩽ 0 ． a 2 2 ① 当 < a ，即 a > √2 时，原不等式的解集为 {x| ⩽ x ⩽ a}． a a 2 2 ② 当 > a ，即 0 < a < √2 时，原不等式的解集为 {x|a ⩽ x ⩽ }． a a 2 ③ 当 = a ，即 a = √2 时，原不等式的解集为 {x|x = √2 } ． a 2 （3）当 a < 0 时，原不等式化为 (x − )(x − a) ⩾ 0 ． a 2 2 ① 当 < a ，即 −√2 < a < 0 时，原不等式的解集为 {x|x ⩽ 或x ⩾ a} ． a a 2 2 ② 当 > a ，即 a < −√2 时，原不等式的解集为 {x|x ⩽ a或x ⩾ }． a a 2 ③ 当 = a ，即 a = −√2 时，原不等式的解集为 R． a