GARCH模型与随机波动模型的对比：期权定价和风险管理

GARCH模型与随机波动模型的对比：期权定价和风险管理
译自Alfred Lehar，Martin Scheicher，Christian Schittenkopf ：GARCH vs. stochastic volatility:Option pricing and risk management
摘要：
在本文中，我们比较了B-S期权定价模型的两种通常延伸的样本绩效，即GARCH(广义自回归条件异方差)和SV（随即波动）。

我们为日内的FTSE 100（英国富时100指数）期权价格校正了三个模型并且采用了两套绩效标准，即样本估价误差和风险值调整措施。

当我们分析模型结果和观测价格的一致性时，GARCH明显优于SV和标准B-S模型。

然而，假定的金融衍生工具持仓量的市场风险预测显示出相当大的误差。

与实际盈亏的符合程度较低并且两个模型间没有明显的差别。

因此，总体来说，我们注意到如果只是基于定价的目的而不是VaR预测，则期权定价模型越复杂越能改进B-S方法。

1.引言
在任何金融市场中，金融衍生工具的恰当估价对从业者来说都至关重要。

金融衍生工具如今是投资者投资组合的主要组成部分。

金融衍生产品的流通量和成交量从20世纪70年代开始就显著增长，该事实充分反映了金融市场的这一发展。

对市场参与者而言，主要的问题是由标准B-S模型得到的价格与观测价格显著不同。

这些系统估价误差可以由一个被称作“微笑”效应的特征事实证明如下：当波动性避开期权价格与价值状况和到期日发生冲突时，理论模型预测的结果就严重偏离事实。

这些理论误差表明实际上波动率不是恒定的而是随时间变化的。

这一结果与几何中布朗运动的恒定变动框架形成了对比，而布朗运动是B-S方法的基础。

定价误差源于不切实际的假定，而且对市场参与者测定其投资组合的市场风险产生了严重的后果。

在最近的几年中，监管部门已经允许金融机构使用内部风险模型来测定市场误差并分配经济资本。

基于这些目的，VaR已成为最常见的方法（概念）。

它测算了在一到十天的持有期内给定可能性的情况下，由不利的价格变动引起的可能的投资组合损失。

在CAD（资本充足指引）的基础上，监管部门要求大型银行和证券公司每天计算其投资组合的VaR值。

期权定价模型是marking-to-model systems（标记-模型系统）的关键组成部分，银行运用此系统来计算其交易活动的管理资本和经济资本。

由于以下一系列的原因，计算金融衍生工具持仓量的潜在损失极具挑战性。

首先，因为期权收益分配是基本资产收益分配的复值函数，所以期权是非线性金融衍生工具。

风险因子的数目会增加，维珈风险也需要俘获（确定）。

其次关于基本资产的期权收益分配
的含义被曲解为正态分布是一个准确度有限的近似值。

由于这些原因，致力于风险管理的实践者已经恢复了对学术研究文献中提及的期权定价模型的兴趣。

本文的目的是在三种常用的波动参数化法的基础上比较期权定价模型，这三种波动参数化方法是:恒定波动率，GARCH和随即波动率。

我们运用两套标准来完成这一比较评估：统计和经济损耗函数，首先，我们测定涉及观测期权价格的误差。

然后测试三种模型的匹配性来预测假定持仓量的市场风险。

在这一过程中恒定波动率法自然是基准检测步骤。

通过再造微笑现象，一项更复杂的规范可能降低定价误差。

先前的比较研究表明，如果为基础工具的随机过程采用更好的技术参数，那么的确可以降低B-S模型的定价误差。

我们的比较研究的中心是风险管理的三种评估方法的效果。

因此我们通过分析假定期权持仓量的VaR值扩展了这一著作。

到目前为止，当定价模型用于计算金融衍生工具的VaR值时其表现如何还没有证据。

在这一观点下，我们的研究填补了一道实践者极其感兴趣的鸿沟。

我们分三步进行论述。

首先，我们通过非线性最小平方和过程来估计高频富时100期权价格中的三个随机过程。

从而，恒定波动率的单参数案例可以推广为更复杂的随机过程。

估计结果是中性风险者的参数。

这对于研究方法而言是一个明显的优势，这些研究方法中的参数首先由收益序列估计，然后经过调整用于风险中性评估。

因此，我们的信息集不限于历史的股票价格，而是包含关于远期价格过程的市场预期。

凭借这种统一标准的估计，直接阐明了两个最流行的变量模型——GARCH和SV 的优缺点。

其次，我们通过有关观测价格的中值误差测定样本外的定价效能并且达到降低价值状况和到期日偏差的程度。

我们发现较复杂的波动模型优于较简单的隐含波动法。

然而，模型选择至关重要：只有GRACH模型在定价效能方面提出有效改进。

相反，SV的中值定价误差接近于那些波动率恒定的基准模型。

第三步是风险管理应用，其中我们依靠蒙特卡罗模拟运用完全评价法来计算下一天的VaR值。

我们比较假定持仓量的的盈亏一致性。

我们的测试表明盈/亏分配的两端建模匹配性较差。

尤其是GARCH 和SV无法对基准B-S模型作出改进。

因此，我们决定依靠效能指标来为模型排名。

虽然我们在样本定价效能中找到了很大的改进余地，但这些都没有在投资组合总市值的变动分配预测中反映出来。

所以，尽管定价误差有所下降，我们却无法改进期权交易中实际的翌日损/益建模系统。

方法论中的这些差异值得注意，因为到目前为止文献大多关注定价效能。

本文的其余部分组成如下：第二部分描述数据集。

第三部分给出了三种期权定价模型的详细说明。

第四部分包含实证结果。

在第五部分我们记录了来自于VaR应用的估计结果和调查结果。

我们在第六部分总结了我们的研究成果并为未来的研究提供了意见。

2.样本和评估方法
我们的样本由伦敦国际金融期权期货交易所的富时100指数基础上的欧式期权交易数据构成。

期
权价格与富时100和精确到秒的时间标记同步记录。

我们的高频观察值始于1993年1月4日，止于1997年10月22日，覆盖了1210个交易日。

样本包含102211个成交的看涨期权和看跌期权。

第一步要仔细检查数据的交易误差以及价格是否存在套利机会。

然后所有合约的到期时间不超过两周，价格在五点以下，价值状况在[-0.1,0.1]范围之外，去掉年度隐含波动率低于5%或高于50%的数据。

最终的数据集包含65549个期权合约（33633个看涨期权和31916个看跌期权）。

表1
样本统计分析
最小值10%分位数25%分位数50%分位数75%分位数90%分位数最大值富时100指数2727.73015.43204.03740.34274.14836.55366.
敲定价2525297532253725422547755875
期权价格510224892153843
到期时间1417284278170368
利率 4.28 5.24 5.64 5.89 6.35 6.777.58
股息收益率 3.01 3.32 3.64 3.88 4.02 4.14 4.36
隐含波动率 5.029.1010.8014.0717.2819.9748.52
表1给出了期权合约的简要描述。

我们公布了样本特征值的最小值，百分之十分位数，百分之二十五分位数，百分之五十分位数，百分之七十五分位数，百分之九十分位数和最大值。

取样周期内，富时100指数从大约2700点攀升到5000点以上。

因此执行价从2525到5875不等。

所有期权合约的平均到期时间是42天。

最长的合约到期时间超过一年。

表1中我们也记录了富时100的无风险利率和事后股息收益率的统计数据，这些数据被应用到期权定价模型中。

最后记录了所有期权隐含波动率的百分位数。

平均隐含波动率约为14%，80%的合约的隐含波动率介于9%到20%之间。

由于样本包含1210个交易日内的65549个期权合约，因此平均每天交易的合约数目大约为54.但是，交易行为并不是平均分布的。

交易量最少的一天是1993年5月4日，只记录了7笔交易，而在交易量最多的1997年7月16日成交了351笔交易。

因此，每天重估期权定价模型毫无意义。

另一方面，我们需要在相对较短的时间间隔内重估模型以便调整参数。

在试验计划中我们运用了滑窗技术。

时间窗口规格是10个交易日，意味着期权合约是在10天内收集成的。

在这一数据集合中，参数是通过相对定价误差平方最小化来估计的。

其中N时间窗口中的合约数目，而和分别表示观测期权价格和理论期权价格。

我们选择相对定价误差因为在参数估计中绝对定价误差高市价的期权比重太大。

然后在另一个10天的时窗内测试样本外的模型。

最后，变动10天时窗并再估模型。

总共研究了120个期权数目从114到1357的时窗。

这一过程看来是在数据集规格（市场有效信息的数量）和估算值时间相关性之间的合理取舍。

3.理论框架
3.1.Black-Scholes模型
Black和Scholes（1973）在他们开创性的论文中导出这样的结果：风险中性测度下标的股票价格S的动态分析是一个物理测度情况下波动率恒定的几何布朗运动（在附加条件下：如恒定无风险利率，无交易成本等）。

然而，偏差用无风险利率减去股息收益率代替：
其中是一个维纳过程。

尤其要注意的是，波动率被假定为恒定的。

由于方程（2）的结果，带有敲定价K的欧式看涨期权的价格由下式给出：
其中T-t是期权到期时间且
欧式看跌期权价格可由下式得到：
给定一组观测期权价格，可以以最小的定价误差估计（隐含）波动率。

正如第二部分描述的一样，参数是在十交易日内估计的从而使SRPE最小化。

3.2.Hull-White期权定价模型
Hull和White（1987）提出了一个期权定价模型，其中股票价格S和即时方差V遵循以下随即过程：
其中参数a和b决定了长期均值和对于方差的均值回归速度，可以解释为波动率的波动率。

两个维纳过程和有相关系数。

在该模型中有两个不确定来源，即资产价格未来轨迹和波动率的未来轨迹。

在上述参数化过程中，波动性风险价格设定为0,。

这一假设意味着波动性风险不存在风险溢价。

与此相反，Heston（1993）已经引入了一个具有非零波动性风险价格的闭式模型。

Hull-White模型考虑到了期权价格波动率的相关系数和波动率（波动率的波动率）的影响。

波动率的波动率较高意味着收益的风险中性分布显示出较高的峰度。

对该模型来说，出现最大限度的盈利和亏损比资产价格遵循对数正态分布的Black-Scholes模型可能性更大。

当收益冲击和波动率冲击之间的相关系数为0时，风险中性分布是对称的、尾肥的。

相关系数的符号决定了分布的对称性。

考虑到相关系数为负的实证相关案例，收益风险中性分布的左尾比右尾包含更多的机率质量。

正如Abken和Nandi(1996)讨论的一样，负偏斜性对定价有影响： B-S定价模型对价外看涨期权定价过高。

为使参数估计的计算可行，像Hull和White（1988）模型中一样，我们运用泰勒级数展开。

假定时刻t的方差为其长期均值V=-a/b且未来轨迹由方程（6）说明。

在Hull和White（1988）模型中，欧式看涨期权的价格可用下式估计：
其中是相应的B-S模型价格。

Hull和White（1988）模型导出了因子且决定了B-S模型价格的误差。

对于该模型参数的估计，我们采用模拟退火法使SRPE(as outlined earlier)最小化.该过程表现出比标准算法更优的最佳收敛性。

3.3. GARCH期权定价模型
Duan（1995）在经济时间模型的基础上引入了GARCH期权定价模型。

该模型由标的资产单周期收益模型出发.通常是GARCH模型（Bollerslev，1986），有时候是更一般的非线性不对称GARCH模
型（Engle和Ng，1993）.在后一种情形中，连续复利收益可以用下述模型导出，其中St表示时刻t的标的资产价格
其中N（0,1）表示标准正态分布。

可以看作单位风险溢价。

该模型假定收益从一个正态分布中得到，该正态分布的波动率具有时间依赖性。

由于异方差性，非条件分布是尾肥的。

为了保证方差的平稳性，需要参数满足。

那么此过程的变异数可由
给出。

如果且，由方程（8）和（9）定义的GARCH 模型的步骤归纳为B-S模型的标准同方差对数正态过程。

换句话说，B-S模型可作为特殊情形得到。

为了导出GARCH期权定价模型，常规的风险中性估价关系已经推广到风险中性估价关系（Duan，1995）。

这一概念表明风险中性测度下资产收益过程可由下述模型给出：
因此该过程的形式在本质上依然相同。

表示新的非中心参数，风险中性的测量由四个参数决定（如果利率和股息收益率给定），即和.
根据方程（10），可以立即得到到期日T时的标的资产价格为：
给定现在的价格，的条件分布无法得到解析解，只能通过MC模拟近似得到。

更确切的说，产生了一组M随即路径且运用方程（11）和（12）计算相应价
格。

举个例子，设一份欧式看涨期权的价格是，该价格可以定义为：
其中表示风险中性条件期望算子，通过下式近似计算：
欧式看跌期权的价格可以用相似的方法估计。

的条件分布也依赖于创新和方差的现值。

资产收益系列模型的革新和方差作为近似值用于方程（8）和（9）中。

对照GARCH和SV模型，我们观察到它们都套入了B-S期权定价模型的几何布朗运动。

两个模型都以时变和不对称函数为特点。

因此，两个模型在收益的中性风险分布中既会产生峰度也会形成偏度。

这些源自B-S模型条件正态假设的差异被认为是“微笑”效应的一种解释（Hull，1999，p.439）GARCH 是一个方差确定的模型，或者说，同源的随机性确定收益和方差。

相反，SV除了在收益中具有随机源头外，还有第二个随机源头。

离散时间的GARCH期权定价模型和连续时间的SV期权定价模型的关系已经在Duan（1996）的文章中的得到广泛的研究。

实际上，当时间间隔的长度趋于0时，在GARCH模型与SV模型的交点处可以明确的表达同一理论（Duan，1996）。

越过理论视角，从实际的立场看，这一结果也是很重要的，因为它使GARCH和SV模型在估计和期权定价目的下的互换成为了可能。

我们的研究意图在此背景下提供实证结果。

4.实证结果
4.1.参数估计
正如第二部分中描述的一样，每个模型的参数在120个不想交的覆盖10个交易日的时窗内进行估计。

所得参数的平均值和标准差在表2中给出。

估计系数的时变性表明应用滑窗技术的有效性。

由B-S模型得到的平均隐含波动率是13.8%。

而SV模型和GARCH模型的平均波动率（根据120个时窗的参数计算得到）分别是14.1%和16.2%。

SV模型的波动率只比B-S模型的隐含波动率稍大一些，而GARCH 模型的波动率比B-S模型的波动率大了很多。

4.2.样本定价效能
在股价的第一部分，要用到两个统计误差测定来确定由市场观测价格得到的理论期权价格的误差。

RPE和ARPE定义如下：
我们集中讨论总体一致性以及样本子集的一致性。

根据价值状况和到期时间为误差分类。

RPE测定定价模型的偏差程度。

表2
风险中性过程参数估计的均值（Mean）和标准差（Std.Dev.）
因此一个非零RPE可能表示存在系统误差。

ARPE度量定价的效能和误差。

涉及根均方误差的ARPE 的优势在于它给出了定价误差的百分比值，而根均方误差是计量经济学中模型选择的关键标准。

因此，它可以更容易地被解读并且对效能差异的经济意义提供了更深刻的理解。

表3显示RPE的均值和中值不相同。

这表明误差分布是非对称的、偏斜的。

比较三个模型的RPE值，我们发现所有模型都有系统抑价现象。

换句话说，标的资产的波动率被系统性的低估。

根据RPE及其标准误差，GARCH模型效能最优。

所有模型的均值和中值都小于10%。

GARCH和SV模型期权估价的误差大约为4%。

这表明更复杂的效能规范可以更好的再现波动率笑脸效应和波动率的期限结构。

相对B-S 模型，Hull-White模型的RPE值较低但标准差较高。

表3
样本定价效能
至于ARPE，我们观测到的中值在11%到15%之间。

此外，在两种模型中GARCH有优势。

根据这一标准，Hull-White模型的效能令人失望。

特别是它无法实现对于B-S模型的有效改进而且需要相当大的计算工作量。

检测完所有的样本一致性，现在我们研究单个样本的子集结果。

观察表4中到期日和价值状况不同的栏，我们注意到B-S模型和Hull-White模型的短期价外期权价
格严重偏离真实值。

相对于其他模型，B-S模型在范围
内效能较好，Hull-White模型在四个范畴内优于其他模型。

在其余的30个范围内GARCH，模型明显优于Hull-White模型和B-S模型。

表4
价值状况和到期时间不同的群组的相对定价误差（用百分比表示）
当我们检测完全相对定价误差时，中值和均值间依旧存在差异。

在中值、均值和标准差方面，GARCH模型再次胜过B-S模型和Hull-White模型。

表5表明B-S模型和Hull-White模型无法解释短期价外期权价格。

Hull-White模型在单个范围内效能最好，而GARCH模型在其他范围内更有优势。

比较不同价值状况组的ARPE，我们发现一个明显的模式，即ARPE值下降而价值状况上升。

对三个模型来说，ARPE均随到期时间的增加而上升。

定价误差的经济意义与交易成本密切相关，特别是对买卖价差而言。

我们想要通过公布第一测试组的两份期权的价差来阐明这一点。

表5
价值状况和到期时间不同的群组的完全相对误差（用百分比表示）
1993年1月18日上午9点，一份短期价外看跌期权（2月到期）的价格是7点。

买入价五点，卖出价九点。

因此，四点的买卖价差代表期权实际价格的57%以上。

另一方面，长期价外看涨期权（12月到期）以148点的价格成交，其中买入价和卖出价分别为145点和150点。

在本例中五点的买卖差价大约站实际价格的3%。

比较RPE和ARPE，我们发现后者远远大于前者。

而RPE衡量理论价格的偏差而ARPE衡量除了衡量理论价格偏差还测度方差，我们注意到理论价格的方差在系统误差中占主要地位。

为了更细致的检测期权定价模型的定价误差，如果期权是看涨期权，将ARPE值按到期日（以年为单位）、期权的价格状况以及一个被定为整体的二元变量回归，如果是看跌期权则回归为0。

估计系数和在表6 中给出。

我们观察到三个模型的完全相对定价误差在到期时间较长和价值状况增加的情况下明显较低。

因此，具有有利价值的期权比价外期权定价更准确，到期时间较
长的期权比到期时间短的期权定价更准确。

值得关注的一点是，与Hull-White和B-S模型相比，GARCH 模型为看涨期权和看跌期权定价的准确度更高。

因此，这两个模型无法再现看涨期权和看跌期权不同特征。

最后，我们注意到GARCH模型的统计数据R2，即检测的度量最小。

这表明价值状况、到期时间和熊牛虚拟的解释值较低。

从而在定价误差方面，GARCH模型比Hull-White模型和B-S模型有更小的系统结构。

我们再次推断GARCH模型的理论价格比SV模型和B-S模型的理论价格更接近市场观察值。

在统计效能评估之后，我们现在研究风险管理的后果。

5.结论
本文比较评价了三个期权定价模型的效能。

我们对标准B-S模型和应用GARCH及SV期权定价方法做了比较。

这三个模型用于检验富时100合约的日内市场价格。

我们通过定价误差和应用VaR的相符性来检验模型的效能。

第一个结论是关于定价误差的。

我们证明GARCH模型的定价误差较SV模型和标准B-S 模型小。

它实现了定价效能的整体显著改善。

SV模型和标准B-S模型的定价差异较小。

因此我们观察到波动不同的模型的选择对定价效能至关重要。

然而，定价效能的这些差异在风险管理中表现的并不明显。

（下面几句是风险管理方面的不翻译）。

我们第二个主要结论是：我们发现三个模型的VaR预测值两两之间没有明确可测的差异。

尤其是我们证明了这三种方法的理论结果对于实际的历史盈亏符合程度较低。

因此，总的来说我们断定模型的效能与所采用的功能函数密切相关。

尽管GARCH模型的理论价格与实际价格的相符性较好，但是它对期权收益分布两端的预测精度较低。

我们讨论了这些结果的分歧并认为对VaR预测而言，基本的条件正态假定是有问题的。

对于今后的研究，运用厚尾分布（例如学生氏t分布）来指定基本定价方法前景广阔。

那是期权定价模型就从应用条件正态分布的GARCH模型延伸到了采用条件t分布的模型。