高中物理论文电磁感应中的相对运动问题

电磁感应中的相对运动问题有关“电磁感应”问题，是物理的综合题，是高考的重点、热点和难点，往往为物理卷的压轴题。

而电磁感应中的相对运动问题，又是电磁感应中更难的问题，也是物理教学研究者咸为涉及的问题，兹举例如下。

例1.2007年高考上海物理卷第23题23．（13分）如图（a）所示，光滑的平行长直金属导轨置于水平面内，间距为L、导轨左端接有阻值为R的电阻，质量为m的导体棒垂直跨接在导轨上。

导轨和导体棒的电阻均不计，且接触良好。

在导轨平面上有一矩形区域内存在着竖直向下的匀强磁场，磁感应强度大小为B。

开始时，导体棒静止于磁场区域的右端，当磁场以速度v1匀速向右移动时，导体棒随之开始运动，同时受到水平向左、大小为f的恒定阻力，并很快达到恒定速度，此时导体棒仍处于磁场区域内。

（1）求导体棒所达到的恒定速度v2；（2）为使导体棒能随磁场运动，阻力最大不能超过多少？（3）导体棒以恒定速度运动时，单位时间内克服阻力所做的功和电路中消耗的电功率各为多大？（4）若t＝0时磁场由静止开始水平向右做匀加速直线运动，经过较短时间后，导体棒也做匀加速直线运动，其v-t关系如图（b）所示，已知在时刻t导体棒瞬时速度大小为v t，求导体棒做匀加速直线运动时的加速度大小。

(b)【解析】（1）磁场以速度v1匀速向右移动，相当于导体棒相对于磁场以速度v1匀速向左移动，根据右手定则，导体棒中感应电流方向向下，根据左手定则，导体棒受安培力方向向右，导体棒开始向右运动（相对导轨），当安培力与阻力大小相等时，导体棒达到恒定速度2v，此时，导体棒与磁场的相对运动速度为（v1－v2）。

所以，感应电动势为E＝BL（v1－v2），感应电流为I＝E/R，安培力为F＝BIL＝B2L2（v1－v2）R，速度恒定时有：B2L2（v1－v2）R＝f，可得：v2＝v1－fRB2L2。

（2）v2＝v1－fRB2L2>0, f<B2L2v1R。

（3）P导体棒＝Fv2＝f⎝⎛⎭⎪⎫v1－fRB2L2，P电路＝E2/R＝B2L2（v1－v2）2R＝f2RB2L2，（4）因为B2L2（v1－v2）R－f＝ma，导体棒要做匀加速运动，必有v1－v2v t为常数，设为∆v ，a ＝v t ＋∆v t ，则B 2L 2（at －v t ）R －f ＝ma ，可解得：a ＝B 2L 2 v t ＋fR B 2L 2t －mR。

解法2. 因为磁场与导体棒的速度差相等,所以加速度相等，为a ，设导体棒开始加速运动的时间为1t ，如图（c ）所示，则121at v v =-，从图（c ）又可以得到)(1t t a v t -=，根据B 2L 2（v 1－v 2）R －f ＝ma ，得2221L B fR maR v v +=-, 联立以上3式，解得a ＝B 2L 2 v t ＋fR B 2L 2t －mR。

【评说】本题考查了电磁感应、电路、安培力、力的平衡、牛顿运动定律、匀变速运动等知识点，是一道综合性很强的题目。

从本题我们得到，动生电动势公式BLv E =中的速度v ，在有磁场和导体棒相对运动的情况下，是二者的相对速度)(21v v -，而不是导体棒的运动速度2v 。

这一点，在以后的解题中要记住。

同样，安培力公式Rv L B F 22=,也变成了R v v L B F )(2122-=，也是相对速度，这一点也要记住。

同理，由克服安培力做功产生的电功率也是=p B 2L 2（v 1－v 2）2R，也是相对速度。

例2. 2006年高考北京物理卷第24题24.(20分)磁流体推进船的动力来源于电流与磁场间的相互作用，图1是在平静海面上某实验船的示意图，磁流体推进器由磁体、电极和矩形通道（简称通道）组成。

如图2所示，通道尺寸a =2.0m 、b =0.15m 、c =0.10m ，工作时，在通道内沿z 轴正方向加B =8.0T 的匀强磁场；沿x 轴负方向加匀强电场，使两极板间的电压U =99.6V ；海水沿y 轴方向流过通道。

已知海水的电阻率ρ=0.20Ω·m 。

（1） 船静止时，求电源接通瞬间推进器对海水推力的大小和方向；（2） 船以v s =5.0m/s 的速度匀速前进。

以船为参照物，海水以5.0m/s 的速率涌入进水口，由于通道的截面积小于进水口的截面积，在通道内海水的速率增加到v d =8.0m/s 。

求此时金属板间的感应电动势U 感。

（3） 船行驶时，通道中海水两侧的电压按U '=U -U 感计算，海水受到电磁力的80%可以转换为船的动力。

当船以v s =5.0m/s 的速度匀速前进时，求海水推力的功率。

【解析】(1)根据安培力公式,推力F 1=I 1Bb,其中I 1=R U ,R ＝ρac b 则F t =8.7960.820.010.00.26.99=⨯⨯⨯==N B Uac Bb R U ρ N 根据左手定则，安培力的方向即对海水推力的方向沿y 轴正方向(向右)(2)U 感=Bu 感b==⨯⨯V 15.0889.6 V(3)，根据欧姆定律，I 2=A A b ac b Bv U R U 60015.020.01.00.2)6.96.99()('4=⨯⨯⨯-=-=ρ 安培推力F 2=I 2Bb==⨯⨯N 15.08600720 N对船的推力F=80%F 2=576 N推力的功率P=Fv s =80%F 2v s ==⨯⨯W 57208.0 2 880 W【评说】本题考查安培力、电磁感应、电路、电阻定律、反电动势、欧姆定律、功率等知识点，综合性较强。

注意：1. 电阻定律公式SL R ρ=中，b L =,ac S =，因为电流的方向沿X 轴， 2. 电磁感应公式BLv U =中v 是在通道内海水相对船的相对速度，即v d =8.0m/s ，3. 根据右手定则，感应电动势方向为x 轴方正向，与所加电场的方向相反，所以有U '=U -U 感，即感应电动势是反电动势，4. 推力的功率P=Fv s 中，速度s v 是水相对船的相对速度。

可见，在有相对运动的情况下，不仅电磁感应求感应电动势公式，许多公式要用相对速度。

例3. 2008年高考天津理综卷第25题25、（22分）磁悬浮列车是一种高速低耗的新型交通工具．它的驱动系统简化为如下模型，固定在列车下端的动力绕组可视为一个矩形纯电阻金属框，电阻为R ，金属框置于xOy 平面内，长边MN 长为l 平行于y 轴，宽度为d 的NP 边平行于x 轴，如图1所示．列车轨道沿Ox 方向，轨道区域内存在垂直于金属框平面的磁场，磁感应强度B 沿Ox 方向按正弦规律分布，其空间周期为λ，最大值为B 0，如图2所示，金属框同一长边上各处的磁感应强度相同，整个磁场以速度v 0沿Ox 方向匀速平移．设在短暂时间内，MN 、PQ 边所在位置的磁感应强度随时间的变化可以忽略，并忽略一切阻力．列车在驱动系统作用下沿Ox 方向加速行驶，某时刻速度为v （v ＜v 0）．⑴简要叙述列车运行中获得驱动力的原理；⑵为使列车获得最大驱动力，写出MN 、PQ 边应处于磁场中的什么位置及λ与d 之间应满足的关系式；⑶计算在满足第⑵问的条件下列车速度为v 时驱动力的大小．【解析】⑴由于列车速度与磁场平移速度方向相同，导致穿过金属框的磁通量发生变化，由于电磁感应，金属框中会产生感应电流，该电流受到安培力即为驱动力． ⑵为使列车获得最大驱动力，MN 、PQ 应位于磁场中磁感应强度同为最大值且反向的地方，这会使得金属框所围面积的磁通量变化率最大，导致线框中电流最强，也会使得金属框长边中电流受到的安培力最大，因此，d 应为2λ的奇数倍，即2(21)()221d d k k N k λλ=+=∈+或① ⑶解法1. 由于满足⑵问条件，则MM 、PQ 边所在处的磁感应强度大小均为B 0且方向总相反，经短暂的时间Δt ，磁场沿Ox 方向平移的距离为v 0Δt ，同时，金属框沿Ox 方向移动的距离为v Δt ．因为v 0＞v ，所以在Δt 时间内MN 边扫过磁场的面积S ＝(v 0－v )l Δt在此Δt 时间内，MN 边左侧穿过S 的磁通量移进金属框而引起框内磁通量变化ΔΦMN ＝B 0l (v 0－v )Δt同理，该Δt 时间内，PQ 边左侧移出金属框的磁通引起框内磁通量变化ΔΦPQ ＝B 0l (v 0－v )Δt故在Δt 内金属框所围面积的磁通量变化ΔΦ＝ΔΦMN ＋ΔΦPQ根据法拉第电磁感应定律，金属框中的感应电动势大小E tφ∆=∆ 根据闭合电路欧姆定律有x 图1 B －B 图2E I R=根据安培力公式，MN 边所受的安培力F MN ＝ B 0IlPQ 边所受的安培力F PQ ＝ B 0Il根据左手定则，MM 、PQ 边所受的安培力方向相同，此时列车驱动力的大小F ＝F MN ＋F PQ ＝2B 0Il 联立解得：22004()B l F R-=v v 解法2. 用导体切割磁感线产生感应电动势的理念解。

因为MN 和PQ 所在位置的磁感应强度都是B 0, 而方向相反，设MN 处向上，PQ 处向下，根据右手定则判断MN 产生的感应电动势方向由M 指向N, PQ 产生的感应电动势方向由P 指向Q, 在回路中是同方向，所以回路总感应电动势是)(200v v l B E -=，所以感应电流为Rv v l B R E I )(200-==, 根据左手定则判断MN 边所受的安培力方向向右，MN 边所受的安培力方向也向右，在空间中是同方向，所以总安培力为F ＝2B 0I Rv v l B )(4020-=，即为列车驱动力的大小。

【评说】本题考查电磁感应、右手定则、安培力、左手定则、正弦曲线等知识点。

感应电动势公式BLv E =中的速度v ，仍然是导体与磁场的相对速度)(0v v -，同时注意感应电动势的方向和安培力的方向的判断。

例4. 磁悬浮车是种高速运载工具。

它具有两个重要系统：一是悬浮系统，利用磁力使车体在导轨上悬浮起来；另一是驱动系统，在沿轨道上安装的三相绕组中，通上三相交流电，产生随时间和空间做周期性变化的磁场，磁场与固连在车体下端的感应金属板相互作用，使车体获得牵引力。

设图中xOy 平面代表轨道平面，x 轴与轨道平行，现有一与轨道平面垂直的磁场正以速度υ向－x 方向匀速运动，设在t =0时，该磁场的磁感应强度B 的大小随空间位置x 的变化规律为0cos B B kx =（式中B 0、k 为已知常量），且在y 轴处，该磁场垂直xOy 平面指向纸里。

与轨道平面平行的一金属矩形框MNPQ 处在该磁场中，已知该金属框的MN 边与轨道垂直，长度为L ，固定在y 轴上，MQ边与轨道平行，长度为d =kπ，金属框的电阻为R ，忽略金属框的电感的影响。