专题22 平面向量的概念及其线性运算(教学案)(解析版)

1.了解向量的实际背景．2.理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义．3.理解向量的几何表示．4.掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义．5.掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义．6.了解向量线性运算的性质及其几何意义．1．向量的有关概念名称定义备注向量零向量单位向量平行向量既有大小又有方向的量；向量的大小叫做向量的长度(或称模)长度为零的向量；其方向是任意的长度等于1个单位的向量方向相同或相反的非零向量平面向量是自由向量记作0a非零向量a的单位向量为±|a|方向相同或相反的非零向量又叫做共0与任一向量平行或共线共线向量相等向量相反向量线向量长度相等且方向相同的向量长度相等且方向相反的向量两向量只有相等或不等，不能比较大小0的相反向量为02.向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律(1)交换律：a＋b＝b＋a.求两个向量和加法(2)结合律：的运算(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)求a与b的相反向量减法－b的和的运算叫做a与b的差求实数λ与向数乘量a的积的运算(1)|λa|＝|λ||a|；(2)当λ＞0时，λa的方向与a的方向相同；当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0a－b＝a＋(－b)λ(μa)＝λμa；(λ＋μ)a＝λa＋μa；λ(a＋b)＝λa＋λb3.共线向量定理向量a(a≠0)与b共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使得b＝λa．高频考点一平面向量的概念例1、给出下列命题：①若两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同；②若a与b共线，b与c共线，则a与c也共线；→→③若A，B，C，D是不共线的四点，则AB＝DC，则ABCD为平行四边形；④a＝b的充要条件是|a|＝|b|且a∥b；⑤已知λ，μ为实数，若λa＝μb，则a与b共线．其中真命题的序号是________．答案③解析①错误，两个向量起点相同，终点相同，则两个向量相等；但两个向量相等，不一定有相同的起点和终点．②错误，若b＝0，则a与c不一定共线．→→→→→→③正确，因为AB＝DC，所以|AB|＝|DC|且AB∥DC；又A，B，C，D是不共线的四点，所以四边形ABCD 为平行四边形．④错误，当a∥b且方向相反时，即使|a|＝|b|，也不能得到a＝b，所以|a|＝|b|且a∥b不是a＝b的充要条件，而是必要不充分条件．⑤错误，当λ＝μ＝0时，a与b可以为任意向量，满足λa＝μb，但a与b不一定共线．故填③.【方法技巧】对于向量的概念应注意的问题(1)向量的两个特征：有大小，有方向，向量既可以用有向线段表示，字母表示，也可以用坐标表示．(2)相等向量不仅模相等，而且方向要相同，所以相等向量一定是平行向量，而平行向量则未必是相等向量．(3)向量与数量不同，数量可以比较大小，向量则不能，但向量的模是非负实数，故可以比较大小．(4)向量是自由向量，所以平行向量就是共线向量，二者是等价的．【变式探究】设a0为单位向量，下列命题中：①若a为平面内的某个向量，则a＝|a|·a0；②若a与a0平行，则a＝|a|a0；③若a与a0平行且|a|＝1，则a＝a0.假命题的个数是()A．0B．1C．2D．3答案D解析向量是既有大小又有方向的量，a与|a|a的模相同，但方向不一定相同，故①是假命题；若a与a0平行，则a与a0的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时a＝－|a|a0，故②③也是假命题．综上所述，假命题的个数是3.高频考点二平面向量的线性运算例2、[2017·全国卷Ⅱ]设非零向量a，b满足|a＋b|＝|a－b|，则()A．a⊥b C．a∥b B．|a|＝|b| D．|a|＞|b|答案A解析解法一：∵|a＋b|＝|a－b|，∴|a＋b|2＝|a－b|2.∴a2＋b2＋2a·b＝a2＋b2－2a·b.∴a·b＝0.∴a⊥b.故选A.1 4 1 4 4 1 4 1 1 1 4 1 1 4 2μ →解法二：利用向量加法的平行四边形法则．→→在 ABCD 中，设AB ＝a ，AD ＝b ，→ →由|a ＋b |＝|a －b |知|AC|＝|DB|，从而四边形 ABCD 为矩形，即 AB ⊥AD ，故 a ⊥b .故选 A.→→【举一反三】设 D △为 ABC 所在平面内一点，BC ＝3CD ，则()→ → → → → →A.AD ＝－3AB ＋3ACB.AD ＝3AB －3AC→ → → → → →C.AD ＝3AB ＋3ACD.AD ＝3AB －3AC答案 A→ → → →→ → →解析 AD ＝AC ＋CD ＝AC ＋3BC ＝AC ＋3(AC － → → → → →AB )＝3AC －3AB ＝－3AB ＋3AC.故选 A.【变式探究】在直角梯形 ABCD 中，∠A ＝90°，∠B ＝30°，AB ＝2 3，BC ＝2，点 E 在线段 CD 上，若→→ →AE ＝AD ＋μAB ，则 μ 的取值范围是________．1答案 0≤μ≤2→ →解析 由题意可求得 AD ＝1，CD ＝ 3，所以AB ＝2DC.∵点 E 在线段 CD 上，→→∴DE ＝λDC (0≤λ≤1)．→ → →∵AE ＝AD ＋DE ，→ → → → → →又AE ＝AD ＋μAB ＝AD ＋2μDC ＝AD ＋ λ DE ，2μ λ 1 ∴ λ ＝1，即 μ＝2.∵0≤λ≤1，∴0≤μ≤2.【方法规律】平面向量线性运算的一般规律(1)用已知向量来表示另外一些向量是用向量解题的基本功，除利用向量的加法、减法、数乘运算外，还应充分利用平面几何的一些定理．(2)在求向量时，要尽可能转化到平行四边形或三角形中，运用平行四边形法则、三角形法则，利用三⎪⎩)角形中位线、相似三角形对应边成比例等平面几何的性质，把未知向量转化为与已知向量有直接关系的向量来求解．高频考点三 共线向量定理的应用→ → →例 3、设 e 1，e 2 是两个不共线的向量，已知AB ＝2e 1－8e 2，CB ＝e 1＋3e 2，CD ＝2e 1－e 2.(1)求证：A ，B ，D 三点共线；→(2)若BF ＝3e 1－k e 2，且 B ，D ，F 三点共线，求 k 的值．→ → →解 (1)证明：由已知得BD ＝CD －CB ＝(2e 1－e 2)－(e 1＋3e 2)＝e 1－4e 2， → → → ∵AB ＝2e 1－8e 2，∴AB ＝2BD.→→又∵AB 与BD 有公共点 B ，∴A ，B ，D 三点共线．→(2)由(1)可知BD ＝e 1－4e 2，→∵BF ＝3e 1－k e 2，且 B ，D ，F 三点共线，→→∴BF ＝λBD(λ∈R)，⎧⎪λ＝3，即 3e 1－k e 2＝λe 1－4λe 2，得⎨－k ＝－4λ. 解得 k ＝12.【方法技巧】怎样用向量证明三点共线问题两向量共线且有公共点(起点相同或终点相同，或一个向量的起点是另一个向量的终点 ，则可以得到三 点共线；反之由三点共线也可得到向量共线．→→ →【变式探究】 已知 O ，A ，B 是不共线的三点，且OP ＝mOA ＋nOB(m ，n ∈R)． (1)若 m ＋n ＝1，求证：A ，P ，B 三点共线； (2)若 A ，P ，B 三点共线，求证：m ＋n ＝1.证明 (1)若 m ＋n ＝1，→→ → → → →则OP ＝mOA ＋(1－m )OB ＝OB ＋m (OA －OB)，→ → → →∴OP －OB ＝m (OA －OB)， → → → →即BP ＝mBA ，∴BP 与BA 共线．⎪⎩→→又∵BP与BA有公共点B，∴A，P，B三点共线．→→(2)若A，P，B三点共线，存在实数λ，使BP＝λBA，→→→→∴OP－OB＝λ(OA－OB)．→→→又OP＝mOA＋nOB.→→→→故有mOA＋(n－1)OB＝λOA－λOB，→→即(m－λ)OA＋(n＋λ－1)OB＝0.→→∵O，A，B不共线，∴OA，OB不共线，⎧⎪m－λ＝0，∴⎨n＋λ－1＝0，∴m＋n＝1.1.（2018年全国卷Ⅱ）已知向量，满足A.4B.3C.2D.0【答案】B【解析】因为2.（2018年天津卷）已知函数f(x)=e x lnx，【答案】e【解析】由函数的解析式可得：值为e.，，则，所以选B.为f(x)的导函数，则的值为__________．，则：.即的3.（2018年北京卷）设向量a=（1,0），b=（−1,m）,若【答案】【解析】，，，则m=_________.由得：，，即.n1、[2017· 全国卷Ⅱ]设非零向量 a ，b 满足|a ＋b |＝|a －b |，则()A ．a ⊥bC ．a ∥bB ．|a|＝|b |D ．|a|＞|b |答案 A解析 解法一：∵|a ＋b |＝|a －b |，∴|a ＋b |2＝|a －b |2.∴a 2＋b 2＋2a · b ＝a 2＋b 2－2a · b .∴a · b ＝0.∴a ⊥b .故选 A.解法二：利用向量加法的平行四边形法则．→→在 ABCD 中，设AB ＝a ，AD ＝b ，→ →由|a ＋b |＝|a －b |知|AC|＝|DB|，从而四边形 ABCD 为矩形，即 AB ⊥AD ，故 a ⊥b .故选 A.1.【2017 北京，文 7】设 m , n 为非零向量，则“存在负数 λ ，使得 m =λ”是“m · n <0”的（A ）充分而不必要条件（C ）充分必要条件（B ）必要而不充分条件（D ）既不充分也不必要条件【答案】A【解析】若 ∃λ < 0 ，使 m = λ n ，则两向量 m , n 反向，夹角是180︒ ，那么m ⋅ n = m n cos180︒ = - m n < 0 ；若 m ⋅ n < 0 ，那么两向量的夹角为 ( 90︒,180︒] ，并不一定反向，即不一定存在负数 λ ，使得 m = λ n ，所以是充分而不必要条件，故选 A.【2016 高考新课标 2 文数】已知向量 a=(m ，4)，b =(3，-2)，且 a ∥b ，则 m =___________.【答案】－6【解析】因为 a ∥b ，所以 -2m - 4 ⨯ 3 = 0 ，解得 m = -6 ．【2016 高考新课标 1 文数】设向量 a=(x ，x+1)，b =(1，2)，且 a ⊥ b ，则 x = .【答案】 -232【解析】由题意， a ⋅ b = 0, x + 2( x + 1) = 0,∴ x = - .3ρ，1.【2015 高考安徽，文 15】 ∆ABC 是边长为 2 的等边三角形，已知向量 a 、b 满足 AB = 2a① a 为单位向量；② b 为单位向量；③ a ⊥ b ；④ b // BC ；⑤ (4a + b ) ⊥ BC 。