湖南湘潭市凤凰中学年高中数学2.4.1向量的数量积学案新人教a版4

湖南省湘潭市凤凰中学2014年高中数学 2.4.1向量的数量积学案 新人教A 版

必修4

【学习目标】

1.从物理中的物体受力做功，理解向量数量积的概念，并了解向量数量积得几何概念。

2. 能够运用向量数量积的概念求两个向量的数量积，探究并掌握向量数量积的重要性质，并能根据条件逆用等式求向量的夹角。 【重点、难点】

重点： 向量数量积的概念及几何意义 难点： 向量数量积的运算律的证明

自主学习案

【知识梳理】（或问题导学、课前预习等） 1. 向量数量积得概念及其几何意义

（1）向量数量积的概念：已知两个非零向量a 与b 共线，它们的夹角为θ，把 叫做a 与b 的数量

积（或内积），记作： ，即： 。

规定→

0与任一向量的数量积为 ，即： 。

（2）“投影”的概念：把 或（ ）叫做向量a 在b 方向上（b 在a

方向上）的投影。

如图，,,→

→→==b OB a OA 过点B 作1BB 垂直于直线OA ，垂足为1B ，则θcos ||1→=b OB 。

投影是一个 ，不是向量；当θ为锐角时，它是 ；当θ为钝角时，它是 ；当θo 90=时，它是 ；当θo 0=时，它是 ；当θo 180=时，它是 。

（3）几何意义：数量积a ⋅b 等于b 的长度与a 在b 方向上的投影θcos ||→a 的 。

（4）物理意义：力做的功是力与位移的 。

2．数量积随θ变化而变化的规律（a ，b

为非零向量）

（1）当o 0=θ则a ⋅b （2）当)90,0(o

o ∈θ则a ⋅b

（3）当o 90=θ则a ⋅b （4）当)180,90(o

o ∈θ则a ⋅b

（5）当o

180=θ则a ⋅b

3．已知两个非零向量a 与b 共线，它们的夹角为θ，=θcos

4．2

a = ，a = 交换律

结合律

分配律

除法运算 R

b a ∈、

ab=ba

a （bc ）=（a

b ）c

a （b+c ）=ab+ac

ab=k 且b ≠0，

b

k

a =

向量a 、 b

1．已知｜｜=6，｜｜=2,且a 与b 的夹角为o

60则a ⋅b

= 。

2. 已知两个非零向量a 与，｜｜=6，且a 与b 的夹角为o 60，则a 在方向上的投影为 。

3．在ABC ∆中，a=5，b=8，C=o

60，求→

→⋅CA BC = 【我的疑问】

合作探究案

例1．已知｜a ｜=5，｜b ｜=4, a 与b 的夹角为o

03，求（1）→a ⋅→a （2）)b a )(b 32a ( →

→→→-+

例2. 已知｜a ｜=2，｜b ｜=1，且a 与b 的夹角为o

012，那么向量|b 4a | →

→-。

例3. 若｜a ｜=1，｜b ｜=2，且a 与b 的夹角为o

60，且)b a (m )b 5a (3 →

→→→-⊥+，求m 的值。

例4. 已知｜a ｜=4，｜b ｜=3 ，61)b a )(2b 3a (2 =+-→

→→→， ①求a 与b 的夹角θ； ②求|b 3a 2| →

→+

【当堂检测】

1. 已知｜a ｜=1，｜b ｜=3,< a ,b >=o

45，则(a +b )2

= ;2

2→→-b a =

2．已知｜a ｜=.8，｜b ｜=10, ｜a +b ｜ =212，则a 与b 的夹角为

3．已知｜a ｜=2，｜b ｜=4,且a ⋅b

=-4，则向量a 与b 的夹角为 。

课后练习案

1．（1）若a 、b 、c 为实数，且ab=ac ，则 （2）若→

→→c b a ,,为向量且，→

→→

→⋅=⋅c a b a ，则

2．已知｜a ｜=6，｜b ｜=4,< a ,b >=o

60，则)3()2(→

→→→-⋅+b a b a =

3.已知｜a ｜=5，｜b ｜=6, a 与b 的夹角为o

30，① a ⋅b

=

②→a ⋅→a = ③=-+→

→→→)b 2a )(b 3a ( ④｜—b ｜= 4. 已知｜｜=1，｜｜=2，且)b a ( →

→

+与a 垂直，求 a 与b 的夹角。

5. 已知｜｜=2，｜｜=5 ，3-=⋅→

→b a ，求（1）|b a | →→+（2）|b a | →

→+-

6．若21e ,e 是夹角为O 60的单位向量，则2121e 2e -3,e e 2+=+=，求与的夹角。

导学案19参考答案

例4（2） 73

当堂检测（1） 10+3 2 －8 （2） 120° （3）120° 课后练习 1 a(b －c)=0 →a (→b －→

c )=0 (2) －72

(3) 15 3 25 －191+15 3 61－30 3 (4) 120°

（5）23 35

（6）→a →b =－7/5，|→a |=7,|→b |=7，cosθ=－1

2，所以夹角120°