《导 数的概念》集体备课

课题导数的概念新授课教学目标知识与技能通过具体实例，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的逼近过程，明确瞬时变化率即导数，从而形成导数概念．过程与方法⑴借助高台跳水问题，明确瞬时速度的含义；⑵通过对瞬时速度的逼近过程，结合平均变化率，使学生认识到瞬时变化率的重大意义；⑶结合其他实例，抽象出导数概念，使学生认识到导数就是瞬时变化率，了解导数的内涵．情感、态度、价值观通过具体问题情境,用运动的观点展现导数的内涵，使学生认识到“瞬时与永恒”的辨证关系重点利用平均变化率的逼近瞬时变化率的过程及其理解难点导数概念的形成，导数内涵的理解教学过程学法指导课标要求（1）了解导数概念的实际背景，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵.（2）直观理解导数的几何意义.（3）能根据导数定义，求函数的导数.考纲分析2011年山东省高考数学考试大纲（理工类）考试范围是《普通高中数学课程标准(实验)》中的必修课程内容和选修系列2的内容以及选修系列4－5的部分内容，内容如下：数学1：集合、函数概念与基本初等函数Ⅰ(指数函数、对数函数、幂函数).数学2：立体几何初步、平面解析几何初步.数学3：算法初步、统计、概率.数学4：基本初等函数Ⅱ(三角函数)、平面上的向量、三角恒等变换.数学5：解三角形、数列、不等式.选修2－1：常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、空间向量与立体几何.选修2－2：导数及其应用、推理与证明、数系的扩充与复数的引入.选修2－3：计数原理、统计案例、概率.选修4－5：不等式的基本性质和证明的基本方法.附：山东省2010年高考真题知识点分布及分值分布特点：让学生了解导数在高考中的重要性.备注：红色标注的地方为历年高考真题中以大题形式考查的内容、题号及分值分布.教材分析微积分的创立是数学发展中的里程碑，它的发展和广泛应用开创了向近代数学过渡的新时学法指导掌握高考知识点分布令2()1,(0,)h x ax x a x=-+-∈+∞，①当12a=时，12,()0x x h x=≥恒成立，此时'()0f x≤，函数()f x在∞（0，+）上单调递减；②当1101102aa-＜＜时，＞＞，(0,1)x∈时，()0h x＞，此时'()0f x＜，函数()f x单调递减；1(1,1)xa∈-时()0h x＜，此时'()0f x＞，函数()f x单调递增；1(1,)xa∈-+∞时，()0h x＞，此时'()0f x＜，函数()f x单调递减；③当0a＜时，由于110a-＜，(0,1)x∈，()0h x＞,此时'()0f x＜，函数()f x单调递减；(1,)x∈+∞时，()0h x＜，此时'()0f x＞，函数()f x单调递增.综上所述：学法指导（Ⅱ）因为a=11(0,)42∈，由（Ⅰ）知，1x=1，2x=3(0,2)∉，当(0,1)x∈时，'()0f x，函数()f x单调递减；[]min117()(2)840(2,),28g x g b b b⎡⎫==-≥∈+∞≤≥+∞⎪⎢⎣⎭当(1,2)x∈时，'()0f x，函数()f x单调递增，所以()f x在（0，2）上的最小值为1(1)2f=-.由于“对任意1(0,2)x∈，存在[]21,2x∈，使12()()f xg x≥”等价于“()g x在[]1,2上的最小值不大于()f x在（0,2）上的最小值12-”（*）又()g x=22()4x b b-+-，[]11,2x∈，所以①当1b时，因为[]min()(1)520g x g b==-，此时与（*）矛盾②当[]1,2b∈时，因为[]2min()40g x b=-≥，同样与（*）矛盾③当(2,)b∈+∞时，因为[]min()(2)84g x g b==-，解不等式8-4b12≤，可得178b≥综上，b的取值范围是17,8⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.考情分析导数的思想方法和基本理论有着广泛的应用，除对中学数学有重要的指导作用外，也能在中学数学的许多问题上起到居高临下和以简化繁的作用.从近几年高考可以看出高考主要在以下几方面进行考查：有关运用导数解决问题，导数在解决中学数学中相关问题：如函数单调性、最值等函数问题；在掌握导数的相关概念的基础学法指导上应用导数作出特殊函数的图象；应用导数解题的一般方法证明某些不等式的成立和解决数列的有关问题，再根据导数所具有的几何意义对切线相关问题及平行问题等几何问题进.考点预测在我国现在中学数学新教材中，导数处于一种特殊的地位，是高中数学知识的一个重要交汇点，是联系多个章节内容以及解决相关问题的重要工具.近几年各省高考试题中，我们不难发现导数的应用在中学数学中是非常广泛的，涉及到了中学数学的各个方面.学情分析学生对平均变化率已有了很好的认识，同时在物理课程中已学习过瞬时速度，因此，学生已经具备了一定的认知基础，于是，为了让学生明确导数就是瞬时变化率，函数f(x)在x＝x0处的导数反映了函数f(x)在x＝x0处附近变化的快慢，从而更好地理解导数的概念，同时，也为给学生提供一个广阔的探索、思考空间，提高学生自学的能力，提高学生分析问题、解决问题的能力.教法设计本节课是概念的教学课,反映事物的本质属性和特征的思维形式叫做概念.数学概念教学的关键是运用好数学概念的形成与数学概念的同化两种获得方式,学生学习数学概念的过程可以说是一种再创造过程,学生从对数学知识的提炼和组织--通过对低层次活动本身的分析,把低层次的概念变为高层次的常识,再经过提炼和组织而形成更高层次的概念,如此循环往复,其过程可简述为:观察实例→归纳实例的共同属性→揭示概念的本质属性→找出新概念与原认知结数学概念是数学基础知识的基础.深入理解数学概念的过程会使抽象逻辑思维得到锻炼,对提高思维能力有很好的促进作用.为了便于学生对导数本质的理解,教师让学生从实际问题出发,以问题为主线,遵循特殊到一般,具体到抽象,用已知探究未知的思考方法,从变化率人手,用“逼近”方法定义导数.这样,避免了学生认知水平和知识学习间的矛盾,让学生更多精力用于导数本质的理解上,轻松获取知识,增强学生学习数学的兴趣,真正做到既关注学习的结果,又关注学习的过程.通过计算平均速度,对结果进行观察、分析、讨论、抽象归纳出导数的概念，学生提高了动手能力.在相互交流、互相讨论过程中，学生认识了自我,建立了信心,同时也构建了和谐的课堂气氛.学法指导复习相关知识，为学习导数作好准备预习课本内容进行填空在教学设计中，主要采用相互讨论、探究规律和引导发现的教学方法，通过不断出现的一个个问题，一步步创设出使学生有兴趣探索知识的“情境”，通过反映导数思想和本质的实例，引导学生经历由平均变化率到瞬时变化率的过程，从而更好地理解导数概念.学法指导让学生计算、观察、思考，通过自我探索、相互讨论直到最终发现规律，解决问题.复习巩固1．复习函数的相关概念.2．复习物理瞬时速度、平均速度的概念.基础梳理问题1 气球膨胀率我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程,可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加越来越慢.从数学角度,如何描述这种现象呢？气球的体积V(单位:L)与半径r(单位:dm)之间的函数关系是334)(rrVπ=如果将半径r表示为体积V的函数,那么343)(πVVr=在吹气球问题中，当空气容量V从0增加到1L时，气球的平均膨胀率为__________当空气容量V从1L增加到2L时，气球的平均膨胀率为__________________当空气容量从V1增加到V2时,气球的平均膨胀率为_____________问题2 高台跳水在高台跳水运动中，,运动员相对于水面的高度h(单位：m)与起跳后的时间t（单位：s）存在函数关系h(t)= -4.9t2+6.5t+10. 如何用运动员在某些时间段内的平均速度v粗略地描述其运动状态?在5.00≤≤t这段时间里，v=_________________在21≤≤t这段时间里，v=_________________问题3 平均变化率已知函数()x f，则变化率可用式子_____________,此式称之为函数()xf从1x到2x___________.习惯上用x∆表示12xx-，即x∆=___________,可把x∆看做是相对于1x的一个“增量”，可用+1x x∆代替2x，类似有=∆)(xf__________________,于学法指导把预习中遇到的问题整理出来练习由学生板演.hto是，平均变化率可以表示为_______________________问题4 我们把物体在某一时刻的速度称为________.一般地，若物体的运动规律为)(t f s =，则物体在时刻t 的瞬时速度v 就是物体在t 到t t ∆+这段时间内，当_________时平均速度的极限，即tsv x ∆∆=→∆0lim=___________________()105.69.42++-=t t t h0<∆t 时，在[]2,2t ∆+这段时间内0>∆t 时，在[]t ∆+2,2这段时间内[来源学科网Z.X.X.K][来源学&科&网]问题5导数的概念函数y =f (x )在x =x 0处的瞬时变化率是:0000()()lim limx x f x x f x fx x∆→∆→+∆-∆=∆∆ 我们称它为函数()y f x =在0x x =处的______，记作'0()f x 或________，即________________________ 提出疑惑同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中疑惑点疑惑内容典型例题例1 已知函数x x x f +-=2)(的图象上的一点)2,1(--A 及临近一点)2,1(y x B ∆+-∆+-则=∆∆xy. 解: )1()1(22x x y ∆+-+∆+--=∆+-学法指导教师规范板书该题掌握解题规律和方法技巧练习由学生板演.∴x xx x x y ∆-=∆-∆+-+∆+--=∆∆32)1()1(2 【规律总结】(1)求函数的增量y ∆；（2）求平均变化率xy ∆∆. 【跟踪练习】求2x y =在0x x =附近的平均变化率.解: 2020)(x x x y -∆+=∆所以x x x x x y ∆-∆+=∆∆220)(x x xx x x x x ∆+=∆-∆+∆+=020202022 所以2x y =在0x x =附近的平均变化率为x x ∆+02例2．求函数f (x )=x x +-2在1x =-附近的平均变化率，并求出在该点处的导数．解：x xx x x y ∆-=∆-∆+-+∆+--=∆∆32)1()1(2200(1)(1)2(1)limlim (3)3x x y x x f x x x∆→∆→∆--+∆+-+∆-'-===-∆=∆∆. 【规律总结】求函数y=f （x ）在点x 0处的导数的步骤：（1）求函数的增量y ∆=f （x 0+x ∆）－f （x 0）；（2）求平均变化率xy ∆∆=x x f x x f ∆-∆+)()(00；（3）取极限，得导数f’(x 0)=xyx ∆∆→∆0lim.【跟踪练习】求函数y =3x 2在x =1处的导数.解：先求Δf =Δy =f (１＋Δx )-f (１)=6Δx +(Δx )2再求6f x x ∆=+∆∆再求0lim 6x f x∆→∆=∆例3．将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热，如果第xh 时，原油的温度（单位：C ）为2()715(08)f x x x x =-+≤≤，计算第2h 时和第6h 时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义．解：在第2h 时和第6h 时，原油温度的瞬时变化率就是'(2)f 和'(6)f 根据导数定义，0(2)()f x f x f x x+∆-∆=∆∆ 22(2)7(2)15(27215)3x x x x+∆-+∆+--⨯+==∆-∆学法指导要在规定的时间内按时完成！ 都掌握好了吗？所以00(2)limlim(3)3x x ff x x ∆→∆→∆'==∆-=-∆同理可得:(6)5f '=在第2h 时和第6h 时，原油温度的瞬时变化率分别为3-和5，说明在2h 附近，原油温度大约以3/C h 的速率下降，在第6h 附近，原油温度大约以5/C h 的速率上升．【规律总结】一般地，'0()f x 反映了原油温度在时刻0x 附近的变化情况．【跟踪练习】计算第3h 时和第5h 时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义．当堂达标1、函数()2x x f =在区间[]3,1-上的平均变化率是（ ） A 、4 B 、2 C 、41D 、43 2. 2y x =在1x =处的导数为（ ） A ．2x B ．2 C ．2x +∆ D ．13.一直线运动的物体，从时间t 到t t +∆时，物体的位移为s ∆，那么0lim t st∆→∆∆为（ ）Ａ．从时间t 到t t +∆时，物体的平均速度 Ｂ．在t 时刻时该物体的瞬时速度 Ｃ．当时间为t ∆时物体的速度Ｄ．从时间t 到t t +∆时物体的平均速度 4．在0000()()()limx f x x f x f x x∆→+∆-'=∆中的x ∆不可能（ ）A ．大于 0B ．小于 0C ．等于 0D ．大于 0 或小于 0 5.设函数()f x 可导，则0(1)(1)lim3x f x f x∆→+∆-∆等于（ ）A. '(1)f B.3'(1)f C '1(1)3f D.. '(3)f6.经过函数22x y -=图象上两点A 、B 的直线的斜率（1,5.1==B A x x ）为_______;函数22x y =在区间[1，1.5]上的平均变化率为_________________7.如果质点M 按规律23t s +=运动，则在时间[2，2.1]中相应的平均速度等于______ 8.质点运动规律为32+=t s ，求质点在3t =的瞬时速度为 ．课堂小结学法指导 一定要认真独立完成！1．瞬时速度、瞬时变化率的概念.2．导数的概念. 3．导数的求法.板书设计基础梳理典型例题 例1 例2例3练习作业布置1、已知函数1)(2+-=x x f ，分别计算()x f 在下列区间上的平均变化率 （1）[1，1.01] (2)[0.9,1]2、已知一次函数)(x f y =在区间[-2，6]上的平均变化率为2，且函数图象过点（0，2），试求此一次函数的表达式.3、已知函数12)(2-==x x f y 的图象上一点（1，1）及邻近一点（1+x ∆，+1(f x ∆）），求xy ∆∆教学反思。