(完整)高考真题突破：二项分布及其应用、正态分布
【高考数学解答题专项突破练习】 考点12 二项分布及其应用(原卷版)(新高考专用)
考点12 二项分布及其应用概率与统计，是历年高考的必考点，尤其是新高考改革后，各卷都有考查，其主要考查内容有：数字特征与概率的计算问题、随机变量的均值与方差、回归分析与独立性检验、二项分布及其应用等。
例如：2020年北京高考[18]，2022年全国新高考卷Ⅱ[19]，2022年全国新高考卷Ⅰ[20]，等都对数字特征与概率的计算问题进行了考查。
〔1〕求独立重复试验的概率求独立重复试验概率的3个步骤(1)判断：依据n次独立重复试验的特征，判断所给试验是否为独立重复试验.(2)分析：分析所求事件的构成.(3)计算：对每个事件依据n次独立重复试验的概率公式进行求解，最后利用互斥事件的概率加法公式计算。
〔2〕二项分布及其实际应用1.二项分布的判断：判断一个随机变量是否服从二项分布的关键在于它是否满足以下两个条件：(1)在一次试验中事件A只有两种试验结果(发生和不发生)，而且事件A发生的概率为p，事件A发生的概率为1-p；(2)试验可以独立重复地进行，即每重复做一次试验，事件A发生的概率都是同一常数p，事件A发生的概率都是1—p.2.运用二项分布求概率的一般方法(1)根据题意设出随机变量；(2)分析出随机变量服从二项分布；(3)明确参数n，p，写出二项分布的分布列；(4)将k值代入表达式(公式)求出概率。
〔3〕二项分布与超几何分布辨析有放回抽样时，每次抽取时的总体没有改变，因而每次抽到某物的概率都是相同的，可以看成是独立重复试验，此种抽样是二项分布模型.而不放回抽样时，取出一个总体中就少一个，因此每次取到某物的概率是不同的，此种抽样为超几何分布模型.因此，二项分布模型和超几何分布模型最主要的区别在于是有放回抽样还是不放回抽样。
例1．（2022·全国·新高考卷Ⅱ·19）在某地区进行流行病学调查，随机调查了100位某种疾病患者的年龄，得到如下的样本数据的频率分布直方图：(1)估计该地区这种疾病患者的平均年龄（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；(2)估计该地区一位这种疾病患者的年龄位于区间[20,70)的概率；(3)已知该地区这种疾病的患病率为0.1%，该地区年龄位于区间[40,50)的人口占该地区总人口的16%.从该地区中任选一人，若此人的年龄位于区间[40,50)，求此人患这种疾病的概率．（以样本数据中患者的年龄位于各区间的频率作为患者的年龄位于该区间的概率，精确到0.0001）.例2．（2020·北京·高考·18）某校为举办甲、乙两项不同活动，分别设计了相应的活动方案：方案一、方案二．为了解该校学生对活动方案是否支持，对学生进行简单随机抽样，获得数据如下表：（Ⅰ）分别估计该校男生支持方案一的概率、该校女生支持方案一的概率；（Ⅰ）从该校全体男生中随机抽取2人，全体女生中随机抽取1人，估计这3人中恰有2人支持方案一的概率；（Ⅰ）将该校学生支持方案二的概率估计值记为0p ，假设该校一年级有500名男生和300名女生，除一年级外其他年级学生支持方案二的概率估计值记为1p ，试比较0p 与 1p 的大小．（结论不要求证明）1．（2022·四川·成都七中模拟预测（理））现有 A B 、两所学校的高三学年分别采用甲，乙两种方案进行线上教学，为观测其教学效果， 分别在两所学校的高三学年各随机抽取 60 名学生， 对每名学生进行综合测试评分， 记综合评分为 80 及以 上的学生为优秀学生， 经统计得到两所学校抽取的学生中共有 72 名优秀学生.(1)用样本估计总体， 以频率作为概率， 若在 A B 、两个学校的高三学年随机抽取 3 名学生， 求所抽取的 学生中的优秀学生数的分布列、数学期望和方差; (2)已知 A 学校抽出的优秀学生占该校抽取总人数的23， 填写下面的列联表， 并判断能否在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为学生综合测试评分优秀与教学方案有关.()()()()2n ad bc K a b c d a c b d -=++++， 其中n a b c d =+++.2．（2022·湖南永州·一模）我市为了解学生体育运动的时间长度是否与性别因素有关，从某几所学校中随机调查了男､女生各100名的平均每天体育运动时间，得到如下数据：根据学生课余体育运动要求，平均每天体育运动时间在（60，120]内认定为“合格”，否则被认定为“不合格”，其中，平均每天体育运动时间在（90，120]内认定为“良好”.(1)完成下列2⨯2列联表，并依据小概率值0.005α=的独立性检验，分析学生体育运动时间与性别因素有无关联；(2)从女生平均每天体育运动时间在的100人中用分层抽样的方法抽取20人，再从这20人中随机抽取2人，记X 为2人中平均每天体育运动时间为“良好”的人数，求X 的分布列及数学期望；(3)从全市学生中随机抽取100人，其中平均每天体育运动时间为“良好”的人数设为ξ，记“平均每天体育运动时间为'良好'的人数为k ”的概率为()P k ξ=，视频率为概率，用样本估计总体，求()P k ξ=的表达式，并求()P k ξ=取最大值时对应k 的值. 附：22()()()()()n ad bc a b c d a c b d χ-=++++，其中n a b c d =+++.3．（2022·江苏南通·局即获胜，比赛结束），比赛采用积分制，积分规则如下：每场比赛中，如果四局及四局以内结束比赛，取胜的一方积3分，负者积0分；五局结束比赛，取胜的一方积2分，负者积1分.已知甲､乙两人比赛，甲每局获胜的概率为12. (1)在一场比赛中，甲的积分为X ，求X 的概率分布列； (2)求甲在参加三场比赛后，积分之和为5分的概率.4．（2022·广西·模拟预测（理））我国出现了新冠疫情后，医护人员一直在探索治疗新冠的有效药，并对确诊患者进行积极救治.现有6位症状相同的确诊患者，分成,A B 两组，A 组3人，服用甲种中药，B 组3人，服用乙种中药.服药一个疗程后，A 组中每人康复的概率都为45，B 组3人康复的概率分别为933,,1044. (1)设事件M 表示A 组中恰好有1人康复，事件N 表示B 组中恰好有1人康复，求()P MN ； (2)求A 组康复人数比B 组康复人数多的概率.5．（2022·安徽·芜湖一中模拟预测）华容道是古老的中国民间益智游戏，以其变化多端、百玩不厌的特点与魔方、独立钻石一起被国外智力专家并称为“智力游戏界的三个不可思议”．据《资治通鉴》注释中说“从此道可至华容也”．通过移动各个棋子，帮助曹操从初始位置移到棋盘最下方中部，从出口逃走．不允许跨越棋子，还要设法用最少的步数把曹操移到出口．2021年12月23日，在厦门莲坂外图书城四楼佳希魔方，厦门市新翔小学六年级学生胡宇帆现场挑战“最快时间解44⨯数字华容道”世界纪录，并以4.877秒打破了“最快时间解44⨯数字华容道”世界纪录，成为了该项目新的世界纪录保持者．(1)小明一周训练成绩如表所示，现用ˆˆy bxa =+作为经验回归方程类型，求出该回归方程．(2)小明前一局胜利，则他赢下后一局的概率是0.7，若小明前一局失利，则他赢下后一局比赛的概率为0.5，比赛实行“五局三胜”，求小明最终赢下比赛的概率是多少． 参考公式：对于一组数据()()()1122,,,,,,n n u v u v u v ，其回归直线ˆˆv u αβ=+的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：()()()121ˆnii i nii uu v v uu β==--=-∑∑，ˆˆv u αβ=- 参考数据：721140i i x ==∑，71994i i i x y ==∑6．（2022·河南安阳·模拟预测（理））产品开发是企业改进老产品､开发新产品，使其具有新的特征或用途，以满足市场需求的流程.某企业开发的新产品已经进入到样品试制阶段，需要对5个样品进行性能测试，现有甲､乙两种不同的测试方案，每个样品随机选择其中的一种进行测试，已知选择甲方案测试合格的概率为23，选择乙方案测试合格的概率为12，且每次测试的结果互不影响.(1)若3个样品选择甲方案，2个样品选择乙方案. （i ）求5个样品全部测试合格的概率； （ii ）求4个样品测试合格的概率.(2)若测试合格的样品个数的期望不小于3，求选择甲方案进行测试的样品个数.7．（2022·四川省内江市第六中学模拟预测（理））国内某大学有男生6000人，女生4000人，该校想了解本校学生的运动状况，根据性别采取分层抽样的方法从全校学生中抽取100人，调查他们平均每天运动的时间（单位：小时），统计表明该校学生平均每天运动的时间范围是[]0,3，若规定平均每天运动的时间不少于2小时的学生为“运动达人”，低于2小时的学生为“非运动达人”.根据调查的数据按性别与“是否为‘运动达人’”进行统计，得到如下2×2列联表：(1)不超过0.025的前提下认为性别与“是否为‘运动达人’”有关；(2)将此样本的频率估计为总体的概率，随机调查该校的3名男生，设调查的3人中运动达人的人数为随机变量X ，求X 的分布列和数学期望()E X 及方差()D X . 附表及公式：2()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.8．（2022·黑龙江·大庆实验中学模拟预测（理））核酸检测是诊断新冠肺炎的重要依据，首先取病人的唾液或咽拭子的样本，再提取唾液或咽拭子样本里的遗传物质，如果有病毒，样本检测会呈现阳性，否则为阴性．某检测点根据统计发现，该处疑似病例核酸检测呈阳性的概率为14．现有4例疑似病例，分别对其取样检测，多个样本检测时，既可以逐个化验，也可以将若干个样本混合在一起化验．混合样本中只要有病毒，则混合样本化验结果就会呈阳性．若混合样本呈阳性，则再将该组中每一个备份的样本逐一进行化验；若混合样本呈阴性，则判定该组各个样本均为阴性，无需再检验．现有以下两种方案： 方案一：逐个化验；方案二：平均分成两组，每组两个样本混合在一起，再分组化验．在新冠肺炎爆发初期，由于检查能力不足，化验次数的期望值越小，则方案越“优”． (1)求4个疑似病例中至少有1例呈阳性的概率；(2)现将该4例疑似病例样本进行化验，请问：方案一、二中哪个较“优”？做出判断并说明理由．9．（2022·河南开封·模拟预测（理））大豆是我国重要的农作物，种植历史悠久．某种子实验基地培育出某大豆新品种，为检验其最佳播种日期，在A ，B 两块试验田上进行实验（两地块的土质等情况一致）.6月25日在A 试验田播种该品种大豆，7月10日在B 试验田播种该品种大豆．收获大豆时，从中各随机抽取20份（每份1千粒），并测量出每份的质量（单位：克），按照[)100,150，[)150,200，[]200,250进行分组，得到如下表格：(1)判断是否有97.5%的把握认为大豆籽粒饱满与播种日期有关？(2)从A ，B 两块实验田中各抽取一份大豆，求抽取的大豆中至少有一份籽粒饱满的概率； (3)用样本估计总体，从A 试验田随机抽取100份（每份千粒）大豆，记籽粒饱满的份数为X ，求X 的数学期望和方差．参考公式：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++．10．（2022·2022年2月4日星期五开幕，2月20日星期日闭幕，该奥运会激发了大家对冰雪运动的热情，某冰雪运动品商店对消费达一定金额的顾客开展了“冬奥”知识有奖竞答活动，试题由若干选择题和填空题两种题型构成，共需要回答三个问题，对于每一个问题，答错得0分；答对填空题得30分答对选择题得20分现设置了两种活动方案供选择，方案一：只回答填空题；方案二：第一题是填空题，后续选题按如下规则：若上一题回答正确，则下一次是填空题，若上题回答错误，则下一次是选择题．某顾客获得了答题资格，已知其答对填空题的概率均为12，答对选择题的概率均为P ，且能正确回答问题的概率与回答次序无关 (1)若该顾客采用方案一答题，求其得分不低于60分的概率；(2)以得分的数学期望作为判断依据，该顾客选择何种方案更加有利？并说明理由． 11．（2022·河南安阳·模拟预测（理））某省会城市为了积极倡导市民优先乘坐公共交通工具绿色出行，切实改善城市空气质量，缓解城市交通压力，公共交通系统推出“2元换乘畅享公交”“定制公交”“限行日免费乘公交”“绿色出行日免费乘公交”等便民服务措施．为了更好地了解人们对出行工具的选择，交管部门随机抽取了1000人，做出如下统计表：直方图如下图所示：(1)求m 的值和这1200名乘客年龄的中位数；(2)用样本估计总体，将频率视为概率，从该市所有市民中抽取4人，记X 为抽到选择公共交通出行方式的人数，求X 的分布列和数学期望()E X ．12．（2022·北京·北大附中三模）北京市某区针对高三年级的一次测试做调研分析，随机抽取同时选考物理､化学的学生330名，下表是物理､化学成绩等级和人数的数据分布情况：(1)A ，估计该生的化学成绩等级为A 的概率；(2)从该区高三年级同时选考物理､化学的学生中随机抽取2人，以X 表示这2人中物理､化学成绩等级均为A 的人数，求X 的分布列和数学期望（以上表中物理､化学成绩等级均为A 的频率作为每名学生物理､化学成绩等级均为A 的概率）；(3)记抽取的330名学生在这次考试中数学成绩（满分150分）的方差为2s ，排名前50%的成绩方差为21s ，排名后50%的成绩方差为22s ，则2s 不可能同时大于21s 和22s ，这种判断是否正确.（直接写出结论）.。
2021年高考数学14.6 二项分布与正态分布
计数原理、概率、随机变量及其分布高考第一轮复习 第 六节 二项分布与正态分布1高考引航2必备知识3关键能力高考引航条件概率答案知识清单必备知识P (B|A )0≤P (B|A )≤1P (B|A )+P (C|A )A,B是相互独立事件P(B)P(A)P(B)A与B相互独立答案答案相同X~B (n ,p )P (A 1)P (A 2)…P (A n )成功概率X~N(μ,σ2)上方x=μx=μ答案答案越小0.95450.68270.9973越大基础训练ADDC题型归纳题型一 条件概率关键能力DA题型二 相互独立事件的概率点拨：求相互独立事件同时发生的概率的主要方法:(1)利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解;(2)正面计算较烦琐(如求用“至少”表述的事件的概率)时,可从其对立事件入手计算.0.18题型三 独立重复试验与二项分布点拨：常见的二项分布的简单应用问题是求n次独立重复试验中事件A 恰好发生k次的概率.解题的一般思路是根据题意设出随机变量→分析出随机变量服从二项分布→找到参数n,p→写出二项分布的分布列→将k值代入求解概率.解析题型四 正态分布解析点拨：解决正态分布问题的三个关键点:(1)对称轴x=μ;(2)标准差σ;(3)分布区间.利用对称性可求指定范围内的概率值;由μ,σ,分布区间的特征进行转化,使分布区间转化为3σ特殊区间,从而求出所求概率.解析方法突破方法 利用正态分布的性质解正态分布问题答案解析BC谢谢观赏。
2021届高考数学(理)考点复习：二项分布与正态分布(含解析)
2021届高考数学（理）考点复习二项分布与正态分布1．条件概率及其性质(1)对于任何两个事件A和B，在已知事件A发生的条件下，事件B发生的概率叫做条件概率，用符号P(B|A)来表示，其公式为P(B|A)＝P(AB)P(A)(P(A)>0)．在古典概型中，若用n(A)表示事件A中基本事件的个数，则P(B|A)＝n(AB) n(A).(2)条件概率具有的性质①0≤P(B|A)≤1；②如果B和C是两个互斥事件，则P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)．2．相互独立事件(1)对于事件A，B，若事件A的发生与事件B的发生互不影响，则称事件A，B是相互独立事件．(2)若A与B相互独立，则P(B|A)＝P(B)．(3)若A与B相互独立，则A与B，A与B，A与B也都相互独立．(4)P(AB)＝P(A)P(B)⇔A与B相互独立．3．独立重复试验与二项分布(1)独立重复试验是指在相同条件下可重复进行的，各次之间相互独立的一种试验，在这种试验中每一次试验只有两种结果，即要么发生，要么不发生，且任何一次试验中发生的概率都是一样的．(2)在n次独立重复试验中，用X表示事件A发生的次数，设每次试验中事件A发生的概率为p，则P(X＝k)＝C k n p k(1－p)n－k(k＝0,1,2，…，n)，此时称随机变量X服从二项分布，记为X～B(n，p)，并称p为成功概率．4．两点分布与二项分布的均值、方差(1)若随机变量X服从两点分布，则E(X)＝p，D(X)＝p(1－p)．(2)若X～B(n，p)，则E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)．5．正态分布(1)正态曲线：函数φμ，σ(x)＝12πσ22()2exμσ--，x∈(－∞，＋∞)，其中实数μ和σ为参数(σ>0，μ∈R)．我们称函数φμ，σ(x )的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线． (2)正态曲线的特点①曲线位于x 轴上方，与x 轴不相交； ②曲线是单峰的，它关于直线x ＝μ对称； ③曲线在x ＝μ处达到峰值1σ2π； ④曲线与x 轴之间的面积为1；⑤当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x 轴平移，如图甲所示；⑥当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散，如图乙所示．(3)正态总体在三个特殊区间内取值的概率值 ①P (μ－σ<X ≤μ＋σ)≈0.682 7； ②P (μ－2σ<X ≤μ＋2σ)≈0.954 5； ③P (μ－3σ<X ≤μ＋3σ)≈0.997 3. 概念方法微思考1．条件概率中P (B |A )与P (A |B )是一回事吗？提示 不一样，P (B |A )是在A 发生的条件下B 发生的概率，P (A |B )是在B 发生的条件下A 发生的概率．2．“事件相互独立”与“事件互斥”有何不同？提示 两事件互斥是指两个事件不可能同时发生，两事件相互独立是指一个事件发生与否对另一事件发生的概率没有影响，两事件相互独立不一定互斥．1．（2017•新课标Ⅰ）为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸（单位：)cm ．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布2(,)N μσ．（1）假设生产状态正常，记X 表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在(3,3)μσμσ-+之外的零件数，求(1)P X 及X 的数学期望；（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在(3,3)μσμσ-+之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查． （ⅰ）试说明上述监控生产过程方法的合理性； （ⅱ）下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：9.95 10.12 9.96 9.96 10.01 9.92 9.98 10.04 10.269.9110.1310.029.2210.0410.059.95经计算得16119.9716i i x x ===∑，16162221111()(16)0.2121616i i i i s x x x x ===-=-∑∑，其中i x 为抽取的第i 个零件的尺寸，1i =，2，⋯，16．用样本平均数x 作为μ的估计值ˆμ，用样本标准差s 作为σ的估计值ˆσ，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除(3,3)μσμσ-+之外的数据，用剩下的数据估计μ和σ（精确到0.01)．附：若随机变量Z 服从正态分布2(,)N μσ，则(33)0.9974P Z μσμσ-<<+=，160.99740.9592≈，0.0080.09≈．【解析】（1）由题可知尺寸落在(3,3)μσμσ-+之内的概率为0.9974， 则落在(3,3)μσμσ-+之外的概率为10.99740.0026-=，因为001616(0)(10.9974)0.99740.9592P X C ==⨯-⨯≈， 所以(1)1(0)0.0408P X P X =-==， 又因为~(16,0.0026)X B ， 所以()160.00260.0416E X =⨯=；（2）（ⅰ）如果生产状态正常，一个零件尺寸在ˆˆˆˆ(3,3)μσμσ-+之外的概率只有0.0026，一天内抽取的16个零件中，出现尺寸在ˆˆˆˆ(3,3)μσμσ-+之外的零件的概率只有0.0408，发生的概率很小．因此一旦发生这种状况，就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查，可见上述监控生产过程的方法是合理的．（ⅱ）由9.97x =，0.212s ≈，得μ的估计值为ˆ9.97μ=，σ的估计值为ˆ0.212σ=，由样本数据可以看出一个零件的尺寸在ˆˆˆˆ(3,3)μσμσ-+之外，因此需对当天的生产过程进行检查． 剔除ˆˆˆˆ(3,3)μσμσ-+之外的数据9.22，剩下的数据的平均数为1(169.979.22)10.0215⨯-=， 因此μ的估计值为10.02．162221160.212169.971591.134ii x==⨯+⨯≈∑，剔除ˆˆˆˆ(3,3)μσμσ-+之外的数据9.22，剩下的数据的样本方差为 221(1591.1349.221510.02)0.00815--⨯≈， 因此σ0.0080.09．1．（2020•青羊区校级模拟）设随机变量X ，Y 满足：31Y X =-，~(2,)X B p ，若5(1)9P X =，则()(D Y = )A ．4B ．5C ．6D ．7【答案】A【解析】随机变量X ，Y 满足：31Y X =-，~(2,)X B p ，5(1)9P X =， 0224(0)1(1)(1)9P X P X C p ∴==-=-=， 解得13p =，1~(2,)3X B ∴，114()2(1)339D X ∴=⨯⨯-=，4()9()949D Y D X ∴==⨯=． 故选A ．2．（2020•奎文区校级模拟）设随机变量X 服从1(6,)2B ，则(3)P X =的值是( )A ．316B ．516 C ．38D ．58【答案】B【解析】随机变量X 服从1(6,)2，3336611205(3)()()22216P X C ∴====故选B ．3．（2019•道里区校级三模）已知随机变量X 服从二项分布(,)B n p ．若()2E X =，4()3D X =，则(p = ) A ．34B ．23 C ．13D ．14【答案】C【解析】由随机变量X 服从二项分布(,)B n p ． 又()2E X =，4()3D X =， 所以24(1)3np np p =⎧⎪⎨-=⎪⎩，解得：13p =，故选C ．4．（2019•道里区校级一模）设随机变量~(2,)B p ξ，~(4,)B p η，若5(1)9P ξ=，则(2)P η的值为( ) A ．3281B ．1127C ．6581D ．1681【答案】B【解析】随机变量~(2,)B p ξ，5(1)9P ξ=， 002251(1)9C p p ∴--=，13P ∴=，1~(4,)3B η∴，22233144044412121211(2)()()()()()()33333327P C C C η∴=⨯+⨯+=， 故选B ．5．（2020•江西模拟）已知随机变量ξ服从正态分布2(,)N μσ，若(2)(8)0.15P P ξξ<=>=，则(25)(P ξ<= )A ．0.3B ．0.35C ．0.5D ．0.7【答案】B【解析】根据题意，正态分布2(,)N μσ，若(2)(8)0.15P P ξξ<=>=，则5μ=，即这组数据对应的正态曲线的对称轴5x =，则(5)0.5P ξ<=， 又由(2)0.15P ξ<=，得(25)0.50.150.35P ξ<=-=． 故选B ．6．（2020•红岗区校级模拟）在如图所示的正方形中随机投掷40000个点，则落入阴影部分（曲线C 为正态分布(2,4)N -的密度曲线）的点的个数的估计值为( )（附2:~(,)x N μσ，则()0.6827P X μσμσ-<+=，(22)0.9545P X μσμσ-<+=．)A ．906B ．1359C ．2718D ．3413【答案】B 【解析】~(2,4)X N -∴ 阴影部分的面积(02)S P X =1[(62)(10)]2P x P x =--- 1(0.95450.6827)0.13592=-=， 则在正方形中随机投一点， 该点落在阴影内的概率为0.13594P =， ∴ 落入阴影部分的点的个数的估计值为0.13594000013594⨯≈． 故选B ．7．（2020•辽宁三模）已知随机变量X 服从正态分布2(2,)N σ，且(02)0.3P X =，则(4)(P X >=) A ．0.6 B ．0.2C ．0.4D ．0.35【答案】B【解析】由随机变量X 服从正态分布2(2,)N o ，所以正态曲线的对称轴是2x =， 又(02)0.3P X =，所以(4)(0)0.50.30.2P X P X >=<=-=． 故选B ．8．（2020•运城模拟）在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布(1N ，2)(0)σσ>，若ξ在(0,2)内取值的概率为0.6，则ξ在(2,)+∞内取值的概率为( ) A ．0.8 B ．0.4 C ．0.3 D ．0.2【答案】D【解析】2~(1,)N ξσ，(2)(0)P P ξξ∴>=<， 又(02)0.6P ξ<<=，∴10.6(2)0.22P ξ->==． 故选D ．9．（2020•益阳模拟）若随机变量ξ服从正态分布2(,)N μσ，则()0.6827P μσξμσ-<+=，(22)0.9545P μσξμσ-<+=，设2~(1,)N ξσ，且(3)0.15865P ξ=，在平面直角坐标系xOy 中，若圆222x y σ+=上恰有两个点到直线1250x y c -+=的距离为1，则实数c 的取值范围为( ) A ．(26-，13)(13-⋃，26) B ．(26,26)-C ．(39-，13)(13-⋃，39)D ．(39,39)-【答案】C【解析】由题意知：1(3)(1)[1(13)]2P P P ξξξ=-=--<<，(13)0.6827P ξ∴-<<=，11σ∴-=-，13σ+=．2σ∴=．故圆的方程为224x y +=，圆心为(0,0)，半径为2．如图，1L ，2L 表示与1250x y c -+=平行的直线，OA ，OB ，OC 共线且垂直于1L ，2L ． 当1BC AC ==时，圆上分别恰有1个，3个点到直线的距离等于1，此时圆心到直线的距离分别为3，1．当直线介于1L ，2L 之间时，符合题意． 故221312(5)<<+-，13||39c ∴<<，3913c ∴-<<-或1339c <<．故选C ．10．（2020•安阳二模）2020年2月，受新冠肺炎的影响，医卫市场上出现了“一罩难求”的现象．在政府部门的牵头下，部分工厂转业生产口罩，已知某工厂生产口罩的质量指标~(15,0.0025)N ξ，单位为g ，该厂每天生产的质量在(14.9,15.05)g g 的口罩数量为818600件，则可以估计该厂每天生产的质量在15.15g 以上的口罩数量为()参考数据：若2~(,)N ξμσ，则()0.6827P μσξμσ-<<+=，(22)0.9545P μσξμσ-<<+=，(33)0.9973P μσξμσ-<<+=．A ．158 700B ．22 750C ．2 700D ．1 350【答案】D【解析】由题意知，~(15,0.0025)N ξ，即15μ=，20.0025σ=，即0.05σ=； 所以0.68270.9545(14.915.05)(2)0.81862P P ξμσξμσ+<<=-<<+==，所以该厂每天生产的口罩总量为8186000.81861000000÷=（件)， 又10.9973(15.15)(3)2P P ξξμσ->=>+=， 所以估计该厂每天生产的质量在15.15g 以上的口罩数量为10.9973100000013502-⨯=（件)． 故选D ．11．（2020•重庆模拟）若随机变量X 服从正态分布(N μ，2)(0)σσ>，则(||)0.6826P X μσ-≈，(||2)0.9544P X μσ-≈，(||3)0.9974P X μσ-≈．已知某校1000名学生某次数学考试成绩服从正态分布(110,100)N ，据此估计该校本次数学考试成绩在130分以上的学生人数约为( ) A ．159 B ．46 C ．23 D ．13【答案】C【解析】由题意，110μ=，10σ=， 故10.9544(130)(2)0.02282P X P X μσ->=>+==． ∴估计该校本次数学考试成绩在130分以上的学生人数约为10000.022822.823⨯=≈．故选C ．12．（2020•福建模拟）已知随机变量(2,1)X N ∽，其正态分布密度曲线如图所示．若在边长为1的正方形OABC 内随机取一点，则该点恰好取自黑色区域的概率为( )附：若随机变量2~(,)N ξμσ，则()0.6826P μσξμσ-+=，(22)0.9544P μσξμσ-+=．A ．0.1359B ．0.6587C ．0.7282D ．0.8641【答案】D【解析】由题意1(01)(0.95440.6826)0.13592P X <=⨯-=．在正方形OABC 内随机取一点，则该点恰好落在阴影部分的概率为110.13590.864111P ⨯-==⨯．故选D ．13．（2020•重庆模拟）某公司生产了一批新产品，这种产品的综合质量指标值x 服从正态分布2(100,)N σ且(80)0.2P x <=．现从中随机抽取该产品1000件，估计其综合质量指标值在[100，120]内的产品件数为( )A ．200B ．300C ．400D ．600【答案】B【解析】因为综合质量指标值x 服从正态分布2(100,)N σ且(80)0.2P x <=． (80)(120)0.2P x P x ∴<=>=，(100)(100)0.5P x P x ==． (100120)(100)(120)0.3P x P x P x ∴=->=．故综合质量指标值在[100，120]内的产品件数为10000.3300⨯=． 故选B ．14．（2020•唐山一模）已知随机变量X 服从正态分布(0,1)N ，随机变量Y 服从正态分布(1,1)N ，且(1)0.1587P X >=，则(12)(P Y <<= )A ．0.1587B ．0.3413C ．0.8413D ．0.6587【答案】B【解析】由已知得(1)0.1587(2)P X P Y >==>， (2)1(2)0.8413P Y P Y ∴<=->=．又(1)(1)0.5P Y P Y ==，(12)(2)(1)0.3413P Y P Y P Y ∴<<=<-=．故选B ．15．（2020•广西模拟）已知随机变量X 服从正态分布(1,4)N ，(2)0.3P X >=，(0)(P X <= ) A ．0.2 B ．0.3 C ．0.7 D ．0.8【答案】B【解析】随机变量X 服从正态分布(1,4)N ，∴正态分布曲线的对称轴为1X =，2μ=，又(2)0.3P X >=，(0)(2)0.3P X P X <=>=， 故选B ．16．（2020•道里区校级一模）某地区有10000名高三学生参加了网上模拟考试，其中数学分数服从正态分布(120,9)N ，成绩在(117，126]之外的人数估计有( )（附：若X 服从2(,)N μσ，则()0.682P X μσμσ-<+=，(22)0.9545)P X μσμσ-<+= A ．1814人 B ．3173人 C ．5228人 D ．5907人【答案】A【解析】由数学分数服从正态分布(120,9)N ，得120μ=，3σ=． 则(117126)(117123)(123126)P x P X P X <=<+<1()[(22)()]2P X P X P X μσμσμσμσμσμσ=-<++-<+--<+10.682(0.95450.682)0.818252=+-=．则成绩在(117，126]之内的人数估计有8183，∴成绩在(117，126]之外的人数估计有1817，与1814最接近．故选A ．17．（2020•青岛模拟）已知某市居民在2019年用于手机支付的个人消费额ξ（单位：元）服从正态分布(2000N ，2100)，则该市某居民手机支付的消费额在(1900,2200)内的概率为( ) 附：随机变量ξ服从正态分布2(,)N μσ，则()0.6826P μσξμσ-<<+=，(22)0.9544P μσξμσ-<<+=，(33)0.9974P μσξμσ-<<+=．A ．0.9759B ．0.84C ．0.8185D ．0.4772【答案】C【解析】ξ服从正态分布(2000N ，2100)， 2000μ∴=，100σ=，则1(19002200)()[(22)()]2P P P P ξμσξμσμσξμσμσξμσ<<=-<<++-<<+--<<+10.6826(0.95440.6826)0.81852=+-=．故选C ．18．（2020•毕节市模拟）已知2~(1,)X N σ，若(11)P X a -<<=，则(3)(P X >= ) A ．12a - B ．1a - C ．aD ．12a +【答案】A【解析】作出该函数图象，易知关于直线1x =对称，所以(11)(13)P X P X a -<<=<<=， 则121(3)(1))22a P X P X a ->=<-==-即为所求． 故选A ．19．（2019•西宁模拟）设随机变量1~(6,)2X B ，则(3)P X ==__________．【答案】516【解析】随机变量X 服从二项分布1(6,)2B ，3336115(3)()(1)2216P X C ∴==⨯-=．故答案为：516． 20．（2020•呼和浩特模拟）为了更好地贯彻党的“五育并举”的教育方针，某市要对全市中小学生“体能达标”情况进行了解，决定通过随机抽样选择几个样本校对学生进行体能达标测试，并规定测试成绩低于60分为不合格，否则为合格，若样本校学生不合格人数不超过其总人数的5%，则该样本校体能达标为合格．已知某样本校共有1000名学生，现从中随机抽取40名学生参加体能达标测试，首先将这40名学生随机分为甲、乙两组，其中甲乙两组学生人数的比为3:2，测试后，两组各自的成绩统计如下：甲组的平均成绩为70，方差为16，乙组的平均成绩为80，方差为36．（Ⅰ）估计该样本校学生体能测试的平均成绩； （Ⅱ）求该样本校40名学生测试成绩的标准差s ；（Ⅲ）假设该样本校体能达标测试成绩服从正态分布2(,)N μσ，用样本平均数x 作为μ的估计值ˆμ，用样本标准差s 作为σ的估计值ˆσ，利用估计值估计该样本校学生体能达标测试是否合格？ （注：①本题所有数据的最后结果都精确到整数； ②若随机变量z服从正态分布，则()0.6826P Z μσμσ-<<+=，(22)0.9544P Z μσμσ-<<+=，(33)0.9974)P Z μσμσ-<<+=．【解析】（1）由题知，甲、乙两组学生数分别为24和16， 则这40名学生测试成绩的平均分702480167440x ⨯+⨯==．故可估计该样本校学生体能测试的平均成绩为74． （2）由2211()n i i s x x n ==-∑变形得22211()n i i s x nx n ==-∑，设第一组学生的测试成绩分别为1x ，2x ，3x ，⋯，24x ， 第二组学生的测试成绩分别为25x ，26x ，27x ，⋯，40x ， 则第一组的方差为222222112241[()2470]424s x x x =++⋯+-⨯=， 解得：222212224(1670)x x x ++⋯+=⨯+． 第二组的方差为22222225264021[()1680]616s x x x =++⋯+-⨯=， 解得：222225264016(3680)x x x ++⋯+=⨯+． 这40名学生的方差为2222222212242526401[()40]40s x x x x x x x =++⋯++++⋯- 2221[24(1670)16(3680)4074]4840=⨯++⨯+-⨯=， 所以48437s =． 综上，标准差7s =．（3）由74x =，7s ≈，得μ的估计值为ˆ74μ=，σ的估计值ˆ7σ=， 故(74277427)0.9544P X -⨯<<+⨯=，即(6088)0.9544P X <<=， 所以11(60)(88)[1(6088)](10.9544)0.022822P X P X P X <==-<<=-=．从而，在全校1000名学生中，“不合格”的有10000.022822.823⨯=≈（人)． 而235%1000<， 故可估计该样本校学生“体能达标”测试合格．21．（2020•潍坊模拟）为了严格监控某种零件的一条生产线的生产过程，某企业每天从该生产线上随机抽取10000个零件，并测量其内径（单位：)cm ．根据长期生产经验，认为这条生产线正常状态下生产的零件的内径X 服从正态分布2(,)N μσ．如果加工的零件内径小于3μσ-或大于3μσ+均为不合格品，其余为合格品．（1）假设生产状态正常，请估计一天内抽取的10000个零件中不合格品的个数约为多少；（2）若生产的某件产品为合格品则该件产品盈利；若生产的某件产品为不合格品则该件产品亏损．已知每件产品的利润L （单位：元）与零件的内径X 有如下关系：5,3,4,3,6,3,5,3.X X L X X μσμσμσμσμσμσ-<-⎧⎪--⎪=⎨-+⎪⎪->+⎩求该企业一天从生产线上随机抽取10000个零件的平均利润．附：若随机变量X 服从正态分布2(,)N μσ，有()0.6826P X μσμσ-<+=，(22)0.9544P X μσμσ-<+=，(33)0.9974P X μσμσ-<+=．【解析】（1）抽取的一个零件的尺寸在(3,3)μσμσ-+之内的概率为0.9974， 从而抽取一个零件为不合格品的概率为0.0026． 因此一天内抽取的10000个零件中不合格品的个数约为： 100000.002626⨯=；（2）由题意，(3)0.0013P X μσ<-=．1(3)(0.99740.6826)0.15742P X μσμσ-<+=-=；(3)0.99740.15740.8400P X μσμσ-+=-=； (3)0.0013P X μσ>+=．故随机抽取10000个零件的平均利润：为1000010000(50.001340.157460.840050.0013)56566L =-⨯+⨯+⨯-⨯=元．22．（2020•济南模拟）法国数学家庞加是个喜欢吃面包的人，他每天都会购买一个面包，面包师声称自己出售的每个面包的平均质量是1000g ，上下浮动不超过50g ．这句话用数学语言来表达就是：每个面包的质量服从期望为1000g ，标准差为50g 的正态分布．（1）假设面包师的说法是真实的，从面包师出售的面包中任取两个，记取出的两个面包中质量大于1000g 的个数为ξ，求ξ的分布列和数学期望；（2）作为一个善于思考的数学家，庞加莱每天都会将买来的面包称重并记录，25天后，得到数据如表，经计算25个面包总质量为24468g ． 庞加莱购买的25个面包质量的统计数据（单位：)g 981 972 966 992 1010 1008 954 952 969 978 989 1001 1006 957 952 969 981 984 952 959 98710061000977966尽管上述数据都落在(950,1050)上，但庞加菜还是认为面包师撒谎，根据所附信息，从概率角度说明理由 附：①若2~(,)X N μσ，从X 的取值中随机抽取25个数据，记这25个数据的平均值为Y ，则由统计学知识可知：随机变量2~(,)25Y N σμ；②若2~(,)N ημσ，则()0.6826P μσημσ-<<+=，(22)0.9544P μσημσ-<<+=，(33)0.9974P μσημσ-<<+=；③通常把发生概率在0.05以下的事件称为小概率事件． 【解析】（1）由题意知，ξ的所有可能取值为0，1，2， 0022111(0)()()224P C ξ===；12111(1)222P C ξ==⨯⨯=；2202111(2)()()224P C ξ===．ξ∴的分布列为：ξ0 1 2 P1412141110121424E ξ∴=⨯+⨯+⨯=；（2）记面包师制作的每个面包的质量为随机变量X ． 假设面包师没有撒谎，则~(1000X N ，250)，根据附①，从X 的取值中随机抽取25个数据，记这25个数据的平均值为Y ， 则~(1000Y N ，210)，庞加莱记录的25个面包质量，相当于从X 的取值中随机抽取了25个数据． 这25个数据的平均值为24468978.72100021098025Y ==<-⨯=． 由附②数据知，10.9544(980)0.02280.052P Y -<==<． 由附③知，事件“980Y <”为小概率事件．∴ “假设面包师没有撒谎”有误．故庞加莱认为面包师撒谎．。
(完整)高考真题突破：二项分布及其应用、正态分布
专题十一概率与统计第三十六讲二项散布及其应用、正态散布一、选择题1．（ 2015湖北）设 X : N ( 1 ,12)，Y : N ( 2 ,22)，这两个正态散布密度曲线如图所示．以下结论中正确的选项是A ． P (Y ≥2 ) ≥ P(Y ≥1 )B． P( X ≤2 ) ≤ P( X ≤1 )C．对随意正数 t ， P( X ≤ t) ≥ P(Y ≤ t)D．对随意正数 t ， P ( X ≥ t) ≥ P(Y ≥ t)2．（ 2015 山东）已知某批零件的长度偏差（单位：毫米）听从正态散布N (0,3 2 ) ，从中随机取一件，其长度偏差落在区间(3,6) 内的概率为（附：若随机变量听从正态散布 N ( ,2 ) ，则 P()68.26% ，P(2 2 ) 95.44% ）A ．4.56%B ． 13.59%C． 27.18%D． 31.74%3．（ 2014 新课标 2）某地域空气质量监测资料表示，一天的空气质量为优秀的概率是0.75，连续两天为优秀的概率是0.6，已知某天的空气质量为优秀，则随后一天的空气质量为优秀的概率是A ． 0． 8B． 0． 75C．0． 6D． 0． 454.（ 2011 湖北）已知随机变量听从正态散布N 2,2，且 P 4 0.8 ，则P 02A ．0.6B．0.4C．0.3D．0.2二、填空题5．（ 2017 新课标Ⅱ）一批产品的二等品率为0.02 ，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次，错误!未找到引用源。
表示抽到的二等品件数，则DX=．6．（ 2016四川）同时投掷两枚质地均匀的硬币，当起码有一枚硬币正面向上时，就说此次试验成功，则在 2 次试验中成功次数X的均值是．7．（ 2015 广东）已知随机变量听从二项散布n, p，若30，D20 ，则 p．8．（ 2012新课标）某一零件由三个电子元件按以下图方式连结而成，元件 1 或元件 2 正常工作，且元件 3 正常工作，则零件正常工作。
2010-2019高考数学真题分类汇编第36讲二项分布及其应用、正态分布
专题十一 概率与统计第三十六讲二项分布及其应用、正态分布一、选择题1．（2015湖北）设211(,)XN μσ，222(,)Y N μσ，这两个正态分布密度曲线如图所示．下列结论中正确的是A ．21()()P Y P Y μμ≥≥≥B ．21()()P X P X σσ≤≤≤C ．对任意正数t ，()()P X t P Y t ≤≥≤D ．对任意正数t ，()()P X t P Y t ≥≥≥2．（2015山东）已知某批零件的长度误差（单位：毫米）服从正态分布2(0,3)N ，从中随机取一件，其长度误差落在区间(3,6)内的概率为（附：若随机变量ξ服从正态分布2(,)N μσ，则()68.26%P μσξμσ-<<+=，(22)95.44%P μσξμσ-<<+=）A ．4.56%B ．13.59%C ．27.18%D ．31.74%3．（2014新课标2）某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是A ．0．8B ．0．75C ．0．6D ．0．45 4.（2011湖北）已知随机变量ξ服从正态分布()2,2σN ，且()8.04=<ξP ，则()=<<20ξPA ．6.0B ．4.0C ．3.0D ．2.0二、填空题5．（2017新课标Ⅱ）一批产品的二等品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次，表示抽到的二等品件数，则DX = ．6．（2016四川）同时抛掷两枚质地均匀的硬币，当至少有一枚硬币正面向上时，就说这次试验成功，则在2次试验中成功次数X 的均值是 ．7．（2015广东）已知随机变量X 服从二项分布(),n p B ，若()30E X =，()20D X =，则p = ．8．（2012新课标）某一部件由三个电子元件按下图方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则部件正常工作。
高考数学考点47 二项分布及其应用、正态分布
温馨提示：考点47 二项分布及其应用、正态分布一、填空题1.(2017·全国甲卷理科·T13)一批产品的二等品率为0.02,从这批产品中每次随机取一件,有放回地抽取100次,X 表示抽到的二等品件数,则DX= . 【命题意图】二项分布以及方差,意在考查对数据的处理能力和运算能力. 【解析】X~B(100,0.02),所以DX=np(1-p)=100×0.02×0.98=1.96. 答案:1.96关闭Word 文档返回原板块高中数学公式及常用结论大全1. 元素与集合的关系U x A x C A ∈⇔∉,U x C A x A ∈⇔∉.2.德摩根公式();()U U U U U U C A B C A C B C A B C A C B ==.3.包含关系A B A A B B =⇔=U U A B C B C A ⇔⊆⇔⊆U A C B ⇔=ΦU C A B R ⇔=4.容斥原理()()card A B cardA cardB card A B =+-()()card A B C cardA cardB cardC card A B =++-5．集合12{,,,}n a a a 的子集个数共有2n 个；真子集有2n –1个；非空子集有2n –1个；()()()()card A B card B C card C A card A B C---+非空的真子集有2n –2个. 6.二次函数的解析式的三种形式 (1)一般式2()(0)f x ax bx c a =++≠; (2)顶点式2()()(0)f x a x h k a =-+≠; (3)零点式12()()()(0)f x a x x x x a =--≠. 7.解连不等式()N f x M <<常有以下转化形式()N f x M <<⇔[()][()]0f x M f x N --<⇔|()|22M N M Nf x +--<⇔()0()f x N M f x ->-⇔11()f x N M N >--. 8.方程0)(=x f 在),(21k k 上有且只有一个实根,与0)()(21<k f k f 不等价,前者是后者的一个必要而不是充分条件.特别地, 方程)0(02≠=++a c bx ax 有且只有一个实根在),(21k k 内,等价0)()(21<k f k f ,或0)(1=k f 且22211k k a bk +<-<,或0)(2=k f 且22122k abk k <-<+.9.闭区间上的二次函数的最值二次函数)0()(2≠++=a c bx ax x f 在闭区间[]q p ,上的最值只能在abx 2-=处及区间的两端点处取得，具体如下：(1)当a>0时，若[]q p a bx ,2∈-=，则{}min max max ()(),()(),()2b f x f f x f p f q a=-=；[]q p abx ,2∉-=，{}max max ()(),()f x f p f q =，{}min min ()(),()f x f p f q =.(2)当a<0时，若[]q p a b x ,2∈-=，则{}min ()min (),()f x f p f q =，若[]q p abx ,2∉-=，则{}max ()max (),()f x f p f q =，{}min ()min (),()f x f p f q =. 10.一元二次方程的实根分布依据：若()()0f m f n <，则方程0)(=x f 在区间(,)m n 内至少有一个实根 . 设q px x x f ++=2)(，则（1）方程0)(=x f 在区间),(+∞m 内有根的充要条件为0)(=m f 或2402p q p m ⎧-≥⎪⎨->⎪⎩；（2）方程0)(=x f 在区间(,)m n 内有根的充要条件为()()0f m f n <或2()0()0402f m f n p q p m n >⎧⎪>⎪⎪⎨-≥⎪⎪<-<⎪⎩或()0()0f m af n =⎧⎨>⎩或()0()0f n af m =⎧⎨>⎩； （3）方程0)(=x f 在区间(,)n -∞内有根的充要条件为()0f m <或2402p q p m ⎧-≥⎪⎨-<⎪⎩ .11.定区间上含参数的二次不等式恒成立的条件依据(1)在给定区间),(+∞-∞的子区间L （形如[]βα,，(]β,∞-，[)+∞,α不同）上含参数的二次不等式(,)0f x t ≥(t 为参数)恒成立的充要条件是min (,)0()f x t x L ≥∉.(2)在给定区间),(+∞-∞的子区间上含参数的二次不等式(,)0f x t ≥(t 为参数)恒成立的充要条件是(,)0()man f x t x L ≤∉.(3)0)(24>++=c bx ax x f 恒成立的充要条件是000a b c ≥⎧⎪≥⎨⎪>⎩或2040a b ac <⎧⎨-<⎩.12.真值表13.14.四种命题的相互关系互 否15.充要条件（1）充分条件：若p q ⇒，则p 是q 充分条件. （2）必要条件：若q p ⇒，则p 是q 必要条件.（3）充要条件：若p q ⇒，且q p ⇒，则p 是q 充要条件. 注：如果甲是乙的充分条件，则乙是甲的必要条件；反之亦然. 16.函数的单调性(1)设[]2121,,x x b a x x ≠∈⋅那么[]1212()()()0x x f x f x -->⇔[]b a x f x x x f x f ,)(0)()(2121在⇔>--上是增函数；[]1212()()()0x x f x f x --<⇔[]b a x f x x x f x f ,)(0)()(2121在⇔<--上是减函数.(2)设函数)(x f y =在某个区间内可导，如果0)(>'x f ，则)(x f 为增函数；如果0)(<'x f ，则)(x f 为减函数.17.如果函数)(x f 和)(x g 都是减函数,则在公共定义域内,和函数)()(x g x f +也是减函数;如果函数)(u f y =和)(x g u =在其对应的定义域上都是减函数,则复合函数)]([x g f y =是增函数.18．奇偶函数的图象特征奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称;反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数；如果一个函数的图象关于y 轴对称，那么这个函数是偶函数．19.若函数)(x f y =是偶函数，则)()(a x f a x f --=+；若函数)(a x f y +=是偶函数，则)()(a x f a x f +-=+.20.对于函数)(x f y =(R x ∈),)()(x b f a x f -=+恒成立,则函数)(x f 的对称轴是函数2b a x +=;两个函数)(a x f y +=与)(x b f y -= 的图象关于直线2ba x +=对称. 21.若)()(a x f x f +--=,则函数)(x f y =的图象关于点)0,2(a对称; 若)()(a x f x f +-=,则函数)(x f y =为周期为a 2的周期函数. 22．多项式函数110()n n n n P x a x a x a --=+++的奇偶性多项式函数()P x 是奇函数⇔()P x 的偶次项(即奇数项)的系数全为零. 多项式函数()P x 是偶函数⇔()P x 的奇次项(即偶数项)的系数全为零. 23.函数()y f x =的图象的对称性(1)函数()y f x =的图象关于直线x a =对称()()f a x f a x ⇔+=-(2)()f a x f x ⇔-=. (2)函数()y f x =图象关于直线2a bx +=对称()()f a mx f b mx ⇔+=-()()f a b mx f mx ⇔+-=.24.两个函数图象的对称性(1)函数()y f x =与函数()y f x =-的图象关于直线0x =(即y 轴)对称. (2)函数()y f mx a =-与函数()y f b mx =-的图象关于直线2a bx m+=对称. (3)函数)(x f y =和)(1x fy -=的图象关于直线y=x 对称.25.若将函数)(x f y =的图象右移a 、上移b 个单位，得到函数b a x f y +-=)(的图象；若将曲线0),(=y x f 的图象右移a 、上移b 个单位，得到曲线0),(=--b y a x f 的图象. 26．互为反函数的两个函数的关系a b f b a f =⇔=-)()(1.27.若函数)(b kx f y +=存在反函数,则其反函数为])([11b x f ky -=-,并不是)([1b kx f y +=-,而函数)([1b kx f y +=-是])([1b x f ky -=的反函数.28.几个常见的函数方程(1)正比例函数()f x cx =,()()(),(1)f x y f x f y f c +=+=. (2)指数函数()x f x a =,()()(),(1)0f x y f x f y f a +==≠.(3)对数函数()log a f x x =,()()(),()1(0,1)f xy f x f y f a a a =+=>≠. (4)幂函数()f x x α=,'()()(),(1)f xy f x f y f α==. (5)余弦函数()cos f x x =,正弦函数()sin g x x =，()()()()()f x y f x f y g x g y -=+0()(0)1,lim1x g x f x→==.29.几个函数方程的周期(约定a>0) （1）)()(a x f x f +=，则)(x f 的周期T=a ； （2）0)()(=+=a x f x f ，或)0)(()(1)(≠=+x f x f a x f ，或1()()f x a f x +=-(()0)f x ≠,或[]1(),(()0,1)2f x a f x +=+∈,则)(x f 的周期T=2a ；(3))0)(()(11)(≠+-=x f a x f x f ，则)(x f 的周期T=3a ；(4))()(1)()()(212121x f x f x f x f x x f -+=+且1212()1(()()1,0||2)f a f x f x x x a =⋅≠<-<，则)(x f 的周期T=4a ；(5)()()(2)(3)(4)f x f x a f x a f x a f x a +++++++()()(2)(3)(4)f x f x a f x a f x a f x a =++++,则)(x f 的周期T=5a ；(6))()()(a x f x f a x f +-=+，则)(x f 的周期T=6a. 30.分数指数幂 (1)m na =0,,a m n N *>∈，且1n >）.(2)1m nm naa-=（0,,a m n N *>∈，且1n >）.31．根式的性质（1）n a =.（2）当n为奇数时，a =；当n为偶数时，,0||,0a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩.32．有理指数幂的运算性质 (1) (0,,)r s r s a a a a r s Q +⋅=>∈. (2) ()(0,,)r s rs a a a r s Q =>∈. (3)()(0,0,)r r r ab a b a b r Q =>>∈.注： 若a ＞0，p 是一个无理数，则a p 表示一个确定的实数．上述有理指数幂的运算性质，对于无理数指数幂都适用. 33.指数式与对数式的互化式log b a N b a N =⇔=(0,1,0)a a N >≠>.34.对数的换底公式log log log m a m NN a=(0a >,且1a ≠,0m >,且1m ≠, 0N >). 推论 log log m n a a nb b m=(0a >,且1a >,,0m n >,且1m ≠,1n ≠, 0N >). 35．对数的四则运算法则若a ＞0，a ≠1，M ＞0，N ＞0，则(1)log ()log log a a a MN M N =+; (2) log log log aa a MM N N=-; (3)log log ()n a a M n M n R =∈.36.设函数)0)((log )(2≠++=a c bx ax x f m ,记ac b 42-=∆.若)(x f 的定义域为R ,则0>a ，且0<∆;若)(x f 的值域为R ,则0>a ，且0≥∆.对于0=a 的情形,需要单独检验. 37. 对数换底不等式及其推广若0a >,0b >,0x >,1x a ≠,则函数log ()ax y bx =(1)当a b >时,在1(0,)a 和1(,)a +∞上log ()ax y bx =为增函数.(2)当a b <时,在1(0,)a 和1(,)a+∞上log ()ax y bx =为减函数.推论:设1n m >>，0p >，0a >，且1a ≠，则 （1）log ()log m p m n p n ++<.（2）2log log log 2a a a m nm n +<. 38. 平均增长率的问题如果原来产值的基础数为N ，平均增长率为p ，则对于时间x 的总产值y ，有(1)xy N p =+.39.数列的同项公式与前n 项的和的关系11,1,2n n n s n a s s n -=⎧=⎨-≥⎩( 数列{}n a 的前n 项的和为12n n s a a a =+++).40.等差数列的通项公式*11(1)()n a a n d dn a d n N =+-=+-∈；其前n 项和公式为1()2n n n a a s +=1(1)2n n na d -=+211()22d n a d n =+-.41.等比数列的通项公式1*11()n nn a a a q q n N q-==⋅∈； 其前n 项的和公式为11(1),11,1n n a q q s q na q ⎧-≠⎪=-⎨⎪=⎩或11,11,1n n a a qq q s na q -⎧≠⎪-=⎨⎪=⎩.42.等比差数列{}n a :11,(0)n n a qa d a b q +=+=≠的通项公式为1(1),1(),11n n n b n d q a bq d b q d q q -+-=⎧⎪=+--⎨≠⎪-⎩；其前n 项和公式为(1),(1)1(),(1)111n n nb n n d q s d q db n q q q q +-=⎧⎪=-⎨-+≠⎪---⎩. 43.分期付款(按揭贷款)每次还款(1)(1)1nn ab b x b +=+-元(贷款a 元,n 次还清,每期利率为b ).44．常见三角不等式(1)若(0,)2x π∈，则sin tan x x x <<.(2) 若(0,)2x π∈，则1sin cos x x <+≤(3) |sin ||cos |1x x +≥.45.同角三角函数的基本关系式22sin cos 1θθ+=，tan θ=θθcos sin ，tan 1cot θθ⋅=.46.正弦、余弦的诱导公式212(1)sin ,sin()2(1)s ,nn n co απαα-⎧-⎪+=⎨⎪-⎩47.和角与差角公式sin()sin cos cos sin αβαβαβ±=±; cos()cos cos sin sin αβαβαβ±=; tan tan tan()1tan tan αβαβαβ±±=.22sin()sin()sin sin αβαβαβ+-=-(平方正弦公式); 22cos()cos()cos sin αβαβαβ+-=-.sin cos a b αα+=)αϕ+(辅助角ϕ所在象限由点(,)a b 的象限决定,tan baϕ= ). 48.二倍角公式 sin 2sin cos ααα=.2222cos 2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-.22tan tan 21tan ααα=-.49. 三倍角公式 3sin 33sin 4sin 4sin sin()sin()33ππθθθθθθ=-=-+.3cos34cos 3cos 4cos cos()cos()33ππθθθθθθ=-=-+.323tan tan tan 3tan tan()tan()13tan 33θθππθθθθθ-==-+-. 50.三角函数的周期公式212(1)s ,s()2(1)sin ,nn co n co απαα+⎧-⎪+=⎨⎪-⎩函数sin()y x ωϕ=+，x ∈R 及函数cos()y x ωϕ=+，x ∈R(A,ω,ϕ为常数，且A ≠0，ω＞0)的周期2T πω=；函数tan()y x ωϕ=+，,2x k k Z ππ≠+∈(A,ω,ϕ为常数，且A ≠0，ω＞0)的周期T πω=.51.正弦定理 2sin sin sin a b cR A B C ===. 52.余弦定理2222cos a b c bc A =+-; 2222cos b c a ca B =+-; 2222cos c a b ab C =+-.53.面积定理(1)111222a b c S ah bh ch ===（a b c h h h 、、分别表示a 、b 、c 边上的高）.(2)111sin sin sin 222S ab C bc A ca B ===.(3)OAB S ∆=54.三角形内角和定理在△ABC 中，有()A B C C A B ππ++=⇔=-+222C A B π+⇔=-222()C A B π⇔=-+. 55. 简单的三角方程的通解 sin (1)arcsin (,||1)k x a x k a k Z a π=⇔=+-∈≤.s 2arccos (,||1)co x a x k a k Z a π=⇔=±∈≤. tan arctan (,)x a x k a k Z a R π=⇒=+∈∈.特别地,有sin sin (1)()k k k Z αβαπβ=⇔=+-∈.s cos 2()co k k Z αβαπβ=⇔=±∈. tan tan ()k k Z αβαπβ=⇒=+∈.56.最简单的三角不等式及其解集sin (||1)(2arcsin ,2arcsin ),x a a x k a k a k Z πππ>≤⇔∈++-∈. sin (||1)(2arcsin ,2arcsin ),x a a x k a k a k Z πππ<≤⇔∈--+∈. cos (||1)(2arccos ,2arccos ),x a a x k a k a k Z ππ>≤⇔∈-+∈.cos (||1)(2arccos ,22arccos ),x a a x k a k a k Z πππ<≤⇔∈++-∈.tan ()(arctan ,),2x a a R x k a k k Z πππ>∈⇒∈++∈.tan ()(,arctan ),2x a a R x k k a k Z πππ<∈⇒∈-+∈.57.实数与向量的积的运算律 设λ、μ为实数，那么(1) 结合律：λ(μa )=(λμ)a ;(2)第一分配律：(λ+μ)a =λa +μa; (3)第二分配律：λ(a +b )=λa +λb . 58.向量的数量积的运算律： (1) a ·b= b ·a （交换律）;(2)（λa ）·b= λ（a ·b ）=λa ·b = a ·（λb ）; (3)（a +b ）·c= a ·c +b ·c. 59.平面向量基本定理如果e 1、e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数λ1、λ2，使得a=λ1e 1+λ2e 2．不共线的向量e 1、e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底． 60．向量平行的坐标表示 设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，且b ≠0，则a b(b ≠0)12210x y x y ⇔-=.61.a 与b 的数量积(或内积) a ·b =|a ||b |cos θ．a ·b 的几何意义：数量积a ·b 等于a 的长度|a |与b 在a 的方向上的投影|b |cos θ的乘积．62.平面向量的坐标运算(1)设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，则a+b=1212(,)x x y y ++. (2)设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，则a-b=1212(,)x x y y --. (3)设A 11(,)x y ，B 22(,)x y ,则2121(,)AB OB OA x x y y =-=--. (4)设a =(,),x y R λ∈，则λa=(,)x y λλ.(5)设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，则a ·b=1212()x x y y +. 63.两向量的夹角公式cos θ=(a =11(,)x y ,b =22(,)x y ).64.平面两点间的距离公式,A B d =||AB AB AB =⋅=11(,)x y ，B 22(,)x y ). 65.向量的平行与垂直设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，且b ≠0，则A ||b ⇔b =λ a 12210x y x y ⇔-=. a ⊥b(a ≠0)⇔a ·b=012120x x y y ⇔+=. 66.线段的定比分公式设111(,)P x y ，222(,)P x y ，(,)P x y 是线段12P P 的分点,λ是实数，且12PP PP λ=，则121211x x x y y y λλλλ+⎧=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩⇔121OP OP OP λλ+=+⇔12(1)OP tOP t OP =+-（11t λ=+）. 67.三角形的重心坐标公式△ABC 三个顶点的坐标分别为11A(x ,y )、22B(x ,y )、33C(x ,y ),则△ABC 的重心的坐标是123123(,)33x x x y y y G ++++. 68.点的平移公式 ''''x x h x x h y y k y y k⎧⎧=+=-⎪⎪⇔⎨⎨=+=-⎪⎪⎩⎩''OP OP PP ⇔=+ . 注:图形F 上的任意一点P(x ，y)在平移后图形'F 上的对应点为'''(,)P x y ，且'PP 的坐标为(,)h k .69.“按向量平移”的几个结论(1)点(,)P x y 按向量a =(,)h k 平移后得到点'(,)P x h y k ++.(2) 函数()y f x =的图象C 按向量a =(,)h k 平移后得到图象'C ,则'C 的函数解析式为()y f x h k =-+.(3) 图象'C 按向量a =(,)h k 平移后得到图象C ,若C 的解析式()y f x =,则'C 的函数解析式为()y f x h k =+-.(4)曲线C :(,)0f x y =按向量a =(,)h k 平移后得到图象'C ,则'C 的方程为(,)0f x h y k --=.(5) 向量m =(,)x y 按向量a =(,)h k 平移后得到的向量仍然为m =(,)x y . 70. 三角形五“心”向量形式的充要条件设O 为ABC ∆所在平面上一点，角,,A B C 所对边长分别为,,a b c ，则（1）O 为ABC ∆的外心222OA OB OC ⇔==. （2）O 为ABC ∆的重心0OA OB OC ⇔++=.（3）O 为ABC ∆的垂心OA OB OB OC OC OA ⇔⋅=⋅=⋅. （4）O 为ABC ∆的内心0aOA bOB cOC ⇔++=. （5）O 为ABC ∆的A ∠的旁心aOA bOB cOC ⇔=+. 71.常用不等式：（1）,a b R ∈⇒222a b ab +≥(当且仅当a ＝b 时取“=”号)．（2）,a b R +∈⇒2a b+≥(当且仅当a ＝b 时取“=”号)． （3）3333(0,0,0).a b c abc a b c ++≥>>>（4）柯西不等式 22222()()(),,,,.a b c d ac bd a b c d R ++≥+∈ （5）b a b a b a +≤+≤-. 72.极值定理已知y x ,都是正数，则有（1）若积xy 是定值p ，则当y x =时和y x +有最小值p 2； （2）若和y x +是定值s ，则当y x =时积xy 有最大值241s . 推广 已知R y x ∈,，则有xy y x y x 2)()(22+-=+（1）若积xy 是定值,则当||y x -最大时,||y x +最大；当||y x -最小时,||y x +最小. （2）若和||y x +是定值,则当||y x -最大时, ||xy 最小；当||y x -最小时, ||xy 最大. 73.一元二次不等式20(0)ax bx c ++><或2(0,40)a b ac ≠∆=->，如果a 与2ax bx c ++同号，则其解集在两根之外；如果a 与2ax bx c ++异号，则其解集在两根之间.简言之：同号两根之外，异号两根之间.121212()()0()x x x x x x x x x <<⇔--<<； 121212,()()0()x x x x x x x x x x <>⇔--><或.74.含有绝对值的不等式 当a> 0时，有22x a x a a x a <⇔<⇔-<<.22x a x a x a >⇔>⇔>或x a <-. 75.无理不等式 （1）()0()0()()f x g x f x g x ≥⎧⎪>⇔≥⎨⎪>⎩. （2）2()0()0()()0()0()[()]f x f x g x g x g x f x g x ≥⎧≥⎧⎪>⇔≥⎨⎨<⎩⎪>⎩或. （3）2()0()()0()[()]f x g x g x f x g x ≥⎧⎪<⇔>⎨⎪<⎩. 76.指数不等式与对数不等式 (1)当1a >时,()()()()f x g x a a f x g x >⇔>;()0log ()log ()()0()()a a f x f x g x g x f x g x >⎧⎪>⇔>⎨⎪>⎩.(2)当01a <<时,()()()()f x g x a a f x g x >⇔<;()0log ()log ()()0()()a a f x f x g x g x f x g x >⎧⎪>⇔>⎨⎪<⎩77.斜率公式2121y y k x x -=-（111(,)P x y 、222(,)P x y ）.78.直线的五种方程(1)点斜式 11()y y k x x -=- (直线l 过点111(,)P x y ，且斜率为k )． (2)斜截式 y kx b =+(b 为直线l 在y 轴上的截距). (3)两点式112121y y x x y y x x --=--(12y y ≠)(111(,)P x y 、222(,)P x y (12x x ≠)). (4)截距式1x ya b+=(a b 、分别为直线的横、纵截距，0a b ≠、) (5)一般式 0Ax By C ++=(其中A 、B 不同时为0).79.两条直线的平行和垂直 (1)若111:l y k x b =+，222:l y k x b =+ ①121212||,l l k k b b ⇔=≠; ②12121l l k k ⊥⇔=-.(2)若1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=,且A 1、A 2、B 1、B 2都不为零, ①11112222||A B C l l A B C ⇔=≠； ②1212120l l A A B B ⊥⇔+=； 80.夹角公式 (1)2121tan ||1k k k k α-=+. (111:l y k x b =+，222:l y k x b =+,121k k ≠-)(2)12211212tan ||A B A B A A B B α-=+. (1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=,12120A A B B +≠).直线12l l ⊥时，直线l 1与l 2的夹角是2π. 81. 1l 到2l 的角公式 (1)2121tan 1k k k k α-=+. (111:l y k x b =+，222:l y k x b =+,121k k ≠-)(2)12211212tan A B A B A A B B α-=+. (1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=,12120A A B B +≠).直线12l l ⊥时，直线l 1到l 2的角是2π.82．四种常用直线系方程(1)定点直线系方程：经过定点000(,)P x y 的直线系方程为00()y y k x x -=-(除直线0x x =),其中k 是待定的系数; 经过定点000(,)P x y 的直线系方程为00()()0A x x B y y -+-=,其中,A B 是待定的系数． (2)共点直线系方程：经过两直线1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=的交点的直线系方程为111222()()0A x B y C A x B y C λ+++++=(除2l )，其中λ是待定的系数．(3)平行直线系方程：直线y kx b =+中当斜率k 一定而b 变动时，表示平行直线系方程．与直线0Ax By C ++=平行的直线系方程是0Ax By λ++=(0λ≠)，λ是参变量．(4)垂直直线系方程：与直线0Ax By C ++= (A ≠0，B ≠0)垂直直线系方程0Bx Ay λ-+=,λ是参变量．83.点到直线的距离d =(点00(,)P x y ,直线l ：0Ax By C ++=).84. 0Ax By C ++>或0<所表示的平面区域设直线:0l Ax By C ++=，则0Ax By C ++>或0<所表示的平面区域是：若0B ≠，当B 与Ax By C ++同号时，表示直线l 的上方的区域；当B 与Ax By C ++异号时，表示直线l 的下方的区域.简言之,同号在上,异号在下.若0B =，当A 与Ax By C ++同号时，表示直线l 的右方的区域；当A 与Ax By C ++异号时，表示直线l 的左方的区域. 简言之,同号在右,异号在左. 85. 111222()()0A x B y C A x B y C ++++>或0<所表示的平面区域 设曲线111222:()()0C A x B y C A x B y C ++++=（12120A A B B ≠），则111222()()0A x B y C A x B y C ++++>或0<所表示的平面区域是： 111222()()0A x B y C A x B y C ++++>所表示的平面区域上下两部分； 111222()()0A x B y C A x B y C ++++<所表示的平面区域上下两部分.86. 圆的四种方程（1）圆的标准方程 222()()x a y b r -+-=.（2）圆的一般方程 220x y Dx Ey F ++++=(224D E F +-＞0).（3）圆的参数方程 cos sin x a r y b r θθ=+⎧⎨=+⎩.（4）圆的直径式方程 1212()()()()0x x x x y y y y --+--=(圆的直径的端点是11(,)A x y 、22(,)B x y ).87. 圆系方程(1)过点11(,)A x y ,22(,)B x y 的圆系方程是1212112112()()()()[()()()()]0x x x x y y y y x x y y y y x x λ--+--+-----= 1212()()()()()0x x x x y y y y ax by c λ⇔--+--+++=,其中0ax by c ++=是直线AB 的方程,λ是待定的系数．(2)过直线l :0Ax By C ++=与圆C :220x y Dx Ey F ++++=的交点的圆系方程是22()0x y Dx Ey F Ax By C λ+++++++=,λ是待定的系数．(3) 过圆1C :221110x y D x E y F ++++=与圆2C :222220x y D x E y F ++++=的交点的圆系方程是2222111222()0x y D x E y F x y D x E y F λ+++++++++=,λ是待定的系数．88.点与圆的位置关系点00(,)P x y 与圆222)()(r b y a x =-+-的位置关系有三种若d =d r >⇔点P 在圆外;d r =⇔点P 在圆上;d r <⇔点P 在圆内. 89.直线与圆的位置关系直线0=++C By Ax 与圆222)()(r b y a x =-+-的位置关系有三种:0<∆⇔⇔>相离r d ; 0=∆⇔⇔=相切r d ; 0>∆⇔⇔<相交r d .其中22BA C Bb Aa d +++=.90.两圆位置关系的判定方法设两圆圆心分别为O 1，O 2，半径分别为r 1，r 2，d O O =21条公切线外离421⇔⇔+>r r d ; 条公切线外切321⇔⇔+=r r d ;条公切线相交22121⇔⇔+<<-r r d r r ; 条公切线内切121⇔⇔-=r r d ; 无公切线内含⇔⇔-<<210r r d .91.圆的切线方程(1)已知圆220x y Dx Ey F ++++=．①若已知切点00(,)x y 在圆上，则切线只有一条，其方程是0000()()022D x xE y y x x y yF ++++++=. 当00(,)x y 圆外时, 0000()()022D x xE y y x x y yF ++++++=表示过两个切点的切点弦方程．②过圆外一点的切线方程可设为00()y y k x x -=-，再利用相切条件求k ，这时必有两条切线，注意不要漏掉平行于y 轴的切线．③斜率为k 的切线方程可设为y kx b =+，再利用相切条件求b ，必有两条切线． (2)已知圆222x y r +=．①过圆上的000(,)P x y 点的切线方程为200x x y y r +=;②斜率为k 的圆的切线方程为y kx =±92.椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的参数方程是cos sin x a y b θθ=⎧⎨=⎩.93.椭圆22221(0)x y a b a b +=>>焦半径公式)(21c a x e PF +=，)(22x ca e PF -=.94．椭圆的的内外部(1)点00(,)P x y 在椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的内部2200221x y a b ⇔+<.(2)点00(,)P x y 在椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的外部2200221x y a b⇔+>.95. 椭圆的切线方程(1)椭圆22221(0)x y a b a b +=>>上一点00(,)P x y 处的切线方程是00221x x y y a b+=.(2)过椭圆22221(0)x y a b a b+=>>外一点00(,)P x y 所引两条切线的切点弦方程是00221x x y ya b+=. (3)椭圆22221(0)x y a b a b +=>>与直线0Ax By C ++=相切的条件是22222A a B b c +=.96.双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的焦半径公式21|()|a PF e x c =+，22|()|a PF e x c=-.97.双曲线的内外部(1)点00(,)P x y 在双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的内部2200221x y a b ⇔->.(2)点00(,)P x y 在双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的外部2200221x y a b⇔-<.98.双曲线的方程与渐近线方程的关系(1）若双曲线方程为12222=-b y a x ⇒渐近线方程：22220x y a b -=⇔x a by ±=.(2)若渐近线方程为x a by ±=⇔0=±b y a x ⇒双曲线可设为λ=-2222b y a x .(3)若双曲线与12222=-b y a x 有公共渐近线，可设为λ=-2222by a x（0>λ，焦点在x 轴上，0<λ，焦点在y 轴上）.99. 双曲线的切线方程(1)双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>上一点00(,)P x y 处的切线方程是00221x x y y a b-=.(2)过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>外一点00(,)P x y 所引两条切线的切点弦方程是00221x x y ya b-=. (3)双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>与直线0Ax By C ++=相切的条件是22222A a B b c -=.100. 抛物线px y 22=的焦半径公式 抛物线22(0)y px p =>焦半径02p CF x =+. 过焦点弦长p x x px p x CD ++=+++=212122. 101.抛物线px y 22=上的动点可设为P ),2(2y py或或)2,2(2pt pt P P (,)x y ，其中22y px =.102.二次函数2224()24b ac b y ax bx c a x a a-=++=++(0)a ≠的图象是抛物线：(1)顶点坐标为24(,)24b ac b a a --；(2)焦点的坐标为241(,)24b ac b a a -+-； (3)准线方程是2414ac b y a--=.103.抛物线的内外部(1)点00(,)P x y 在抛物线22(0)y px p =>的内部22(0)y px p ⇔<>. 点00(,)P x y 在抛物线22(0)y px p =>的外部22(0)y px p ⇔>>. (2)点00(,)P x y 在抛物线22(0)y px p =->的内部22(0)y px p ⇔<->. 点00(,)P x y 在抛物线22(0)y px p =->的外部22(0)y px p ⇔>->. (3)点00(,)P x y 在抛物线22(0)x py p =>的内部22(0)x py p ⇔<>. 点00(,)P x y 在抛物线22(0)x py p =>的外部22(0)x py p ⇔>>. (4) 点00(,)P x y 在抛物线22(0)x py p =>的内部22(0)x py p ⇔<>. 点00(,)P x y 在抛物线22(0)x py p =->的外部22(0)x py p ⇔>->. 104. 抛物线的切线方程(1)抛物线px y 22=上一点00(,)P x y 处的切线方程是00()y y p x x =+.(2)过抛物线px y 22=外一点00(,)P x y 所引两条切线的切点弦方程是00()y y p x x =+. (3)抛物线22(0)y px p =>与直线0Ax By C ++=相切的条件是22pB AC =. 105.两个常见的曲线系方程(1)过曲线1(,)0f x y =,2(,)0f x y =的交点的曲线系方程是12(,)(,)0f x y f x y λ+=(λ为参数).(2)共焦点的有心圆锥曲线系方程22221x y a k b k+=--,其中22max{,}k a b <. 当22min{,}k a b >时,表示椭圆; 当2222min{,}max{,}a b k a b <<时,表示双曲线.106.直线与圆锥曲线相交的弦长公式 AB =1212|||AB x x y y ==-=-A ),(),,(2211y x B y x ，由方程⎩⎨⎧=+=0)y ,x (F bkx y 消去y 得到02=++c bx ax ，0∆>,α为直线AB 的倾斜角，k 为直线的斜率）.107.圆锥曲线的两类对称问题（1）曲线(,)0F x y =关于点00(,)P x y 成中心对称的曲线是00(2-,2)0F x x y y -=. （2）曲线(,)0F x y =关于直线0Ax By C ++=成轴对称的曲线是22222()2()(,)0A Ax By C B Ax By C F x y A B A B ++++--=++.108.“四线”一方程对于一般的二次曲线220Ax Bxy Cy Dx Ey F +++++=，用0x x 代2x ，用0y y 代2y ，用002x y xy +代xy ，用02x x +代x ，用02y y+代y 即得方程 0000000222x y xy x x y yAx x B Cy y D E F ++++⋅++⋅+⋅+=，曲线的切线，切点弦，中点弦，弦中点方程均是此方程得到.109．证明直线与直线的平行的思考途径（1）转化为判定共面二直线无交点；（2）转化为二直线同与第三条直线平行； （3）转化为线面平行； （4）转化为线面垂直； （5）转化为面面平行.110．证明直线与平面的平行的思考途径 （1）转化为直线与平面无公共点； （2）转化为线线平行； （3）转化为面面平行.111．证明平面与平面平行的思考途径 （1）转化为判定二平面无公共点； （2）转化为线面平行； （3）转化为线面垂直.112．证明直线与直线的垂直的思考途径 （1）转化为相交垂直； （2）转化为线面垂直；（3）转化为线与另一线的射影垂直； （4）转化为线与形成射影的斜线垂直. 113．证明直线与平面垂直的思考途径（1）转化为该直线与平面内任一直线垂直； （2）转化为该直线与平面内相交二直线垂直； （3）转化为该直线与平面的一条垂线平行； （4）转化为该直线垂直于另一个平行平面； （5）转化为该直线与两个垂直平面的交线垂直. 114．证明平面与平面的垂直的思考途径 （1）转化为判断二面角是直二面角；（2）转化为线面垂直.115.空间向量的加法与数乘向量运算的运算律 (1)加法交换律：a ＋b =b ＋a ．(2)加法结合律：(a ＋b )＋c =a ＋(b ＋c )． (3)数乘分配律：λ(a ＋b )=λa ＋λb ．116.平面向量加法的平行四边形法则向空间的推广 始点相同且不在同一个平面内的三个向量之和，等于以这三个向量为棱的平行六面体的以公共始点为始点的对角线所表示的向量. 117.共线向量定理对空间任意两个向量a 、b (b ≠0 )，a ∥b ⇔存在实数λ使a =λb ．P A B 、、三点共线⇔||AP AB ⇔AP t AB =⇔(1)OP t OA tOB =-+.||AB CD ⇔AB 、CD 共线且AB CD 、不共线⇔AB tCD =且AB CD 、不共线.118.共面向量定理向量p 与两个不共线的向量a 、b 共面的⇔存在实数对,x y ,使p ax by =+． 推论 空间一点P 位于平面MAB 内的⇔存在有序实数对,x y ,使MP xMA yMB =+， 或对空间任一定点O ，有序实数对,x y ，使OP OM xMA y MB =++.119.对空间任一点O 和不共线的三点A 、B 、C ，满足OP xOA yOB zOC =++（x y z k ++=），则当1k =时，对于空间任一点O ，总有P 、A 、B 、C 四点共面；当1k ≠时，若O ∈平面ABC ，则P 、A 、B 、C 四点共面；若O ∉平面ABC ，则P 、A 、B 、C 四点不共面．C A B 、、、D 四点共面⇔AD 与AB 、AC 共面⇔AD x AB y AC =+⇔(1)OD x y OA xOB yOC =--++（O ∉平面ABC ）.120.空间向量基本定理如果三个向量a 、b 、c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在一个唯一的有序实数组x ，y ，z ，使p ＝x a ＋y b ＋z c ．推论 设O 、A 、B 、C 是不共面的四点，则对空间任一点P ，都存在唯一的三个有序实数x ，y ，z ，使OP xOA yOB zOC =++. 121.射影公式已知向量AB =a 和轴l ，e 是l 上与l 同方向的单位向量.作A 点在l 上的射影'A ，作B 点在l 上的射影'B ，则''||cos A B AB =〈a ，e 〉=a ·e 122.向量的直角坐标运算 设a ＝123(,,)a a a ，b ＝123(,,)b b b 则 (1)a ＋b ＝112233(,,)a b a b a b +++；(2)a －b ＝112233(,,)a b a b a b ---； (3)λa ＝123(,,)a a a λλλ (λ∈R)； (4)a ·b ＝112233a b a b a b ++；123.设A 111(,,)x y z ，B 222(,,)x y z ，则AB OB OA =-= 212121(,,)x x y y z z ---.124．空间的线线平行或垂直 设111(,,)a x y z =r ，222(,,)b x y z =r，则a b r r P ⇔(0)a b b λ=≠r r r r ⇔121212x x y y z zλλλ=⎧⎪=⎨⎪=⎩；a b ⊥r r ⇔0a b ⋅=r r⇔1212120x x y y z z ++=.125.夹角公式设a ＝123(,,)a a a ，b ＝123(,,)b b b ，则 cos 〈a ，b 〉=.推论 222222*********3123()()()a b a b a b a a a b b b ++≤++++，此即三维柯西不等式. 126. 四面体的对棱所成的角四面体ABCD 中, AC 与BD 所成的角为θ,则2222|()()|cos 2AB CD BC DA AC BDθ+-+=⋅.127．异面直线所成角cos |cos ,|a b θ=r r=||||||a b a b ⋅=⋅r rr r（其中θ（090θ<≤oo）为异面直线a b ,所成角，,a b r r分别表示异面直线a b ,的方向向量） 128.直线AB 与平面所成角sin||||AB marc AB m β⋅=(m 为平面α的法向量).129.若ABC ∆所在平面若β与过若AB 的平面α成的角θ,另两边AC ,BC 与平面α成的角分别是1θ、2θ,A B 、为ABC ∆的两个内角，则2222212sin sin (sin sin )sin A B θθθ+=+.特别地,当90ACB ∠=时,有22212sin sin sin θθθ+=.130.若ABC ∆所在平面若β与过若AB 的平面α成的角θ,另两边AC ,BC 与平面α成的角分别是1θ、2θ,''A B 、为ABO ∆的两个内角，则222'2'212tan tan (sin sin )tan A B θθθ+=+. 特别地,当90AOB ∠=时,有22212sin sin sin θθθ+=. 131.二面角l αβ--的平面角cos||||m n arc m n θ⋅=或cos ||||m narc m n π⋅-（m ，n 为平面α，β的法向量）. 132.三余弦定理设AC 是α内的任一条直线，且BC ⊥AC ，垂足为C ，又设AO 与AB 所成的角为1θ，AB 与AC 所成的角为2θ，AO 与AC 所成的角为θ．则12cos cos cos θθθ=. 133. 三射线定理若夹在平面角为ϕ的二面角间的线段与二面角的两个半平面所成的角是1θ,2θ,与二面角的棱所成的角是θ，则有22221212sin sin sin sin 2sin sin cos ϕθθθθθϕ=+- ;1212||180()θθϕθθ-≤≤-+(当且仅当90θ=时等号成立).134.空间两点间的距离公式 若A 111(,,)x y z ，B 222(,,)x y z ，则,A B d =||AB AB AB =⋅=135.点Q 到直线l 距离h =(点P 在直线l 上，直线l 的方向向量a =PA ，向量b =PQ ). 136.异面直线间的距离||||CD n d n ⋅=(12,l l 是两异面直线，其公垂向量为n ，C D 、分别是12,l l 上任一点，d 为12,l l 间的距离).137.点B 到平面α的距离||||AB n d n ⋅=（n 为平面α的法向量，AB 是经过面α的一条斜线，A α∈）. 138.异面直线上两点距离公式d =',d EA AF =.d ='E AA F ϕ=--）.(两条异面直线a 、b 所成的角为θ，其公垂线段'AA 的长度为h.在直线a 、b 上分别取两点E 、F ，'A E m =,AF n =,EF d =).139.三个向量和的平方公式2222()222a b c a b c a b b c c a ++=+++⋅+⋅+⋅2222||||cos ,2||||cos ,2||||cos ,a b c a b a b b c b c c a c a =+++⋅+⋅+⋅140. 长度为l 的线段在三条两两互相垂直的直线上的射影长分别为123l l l 、、，夹角分别为123θθθ、、,则有2222123l l l l =++222123cos cos cos 1θθθ⇔++=222123sin sin sin 2θθθ⇔++=.（立体几何中长方体对角线长的公式是其特例）. 141. 面积射影定理'cos S S θ=.(平面多边形及其射影的面积分别是S 、'S ，它们所在平面所成锐二面角的为θ).142. 斜棱柱的直截面已知斜棱柱的侧棱长是l ,侧面积和体积分别是S 斜棱柱侧和V 斜棱柱,它的直截面的周长和面积分别是1c 和1S ,则①1S c l =斜棱柱侧. ②1V S l =斜棱柱.143．作截面的依据三个平面两两相交，有三条交线，则这三条交线交于一点或互相平行. 144．棱锥的平行截面的性质如果棱锥被平行于底面的平面所截，那么所得的截面与底面相似，截面面积与底面面积的比等于顶点到截面距离与棱锥高的平方比（对应角相等，对应边对应成比例的多边形是相似多边形，相似多边形面积的比等于对应边的比的平方）；相应小棱锥与小棱锥的侧面积的比等于顶点到截面距离与棱锥高的平方比． 145.欧拉定理(欧拉公式)2V F E +-=(简单多面体的顶点数V 、棱数E 和面数F).(1)E =各面多边形边数和的一半.特别地,若每个面的边数为n 的多边形，则面数F 与棱数E 的关系12E nF =； (2)若每个顶点引出的棱数为m ，则顶点数V 与棱数E 的关系：12E mV =. 146.球的半径是R ，则其体积343V R π=,其表面积24S R π=．147.球的组合体(1)球与长方体的组合体:长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长. (2)球与正方体的组合体:正方体的内切球的直径是正方体的棱长, 正方体的棱切球的直径是正方体的面对角线长, 正方体的外接球的直径是正方体的体对角线长.(3) 球与正四面体的组合体: 棱长为a的正四面体的内切球的半径为,外接球的半径为. 148．柱体、锥体的体积13V Sh =柱体（S 是柱体的底面积、h 是柱体的高）.13V Sh =锥体（S 是锥体的底面积、h 是锥体的高）.149.分类计数原理（加法原理）12n N m m m =+++.150.分步计数原理（乘法原理）12n N m m m =⨯⨯⨯.151.排列数公式m n A =)1()1(+--m n n n =！！)(m n n -.(n ，m ∈N *，且m n ≤)． 注:规定1!0=.152.排列恒等式(1）1(1)m m n n A n m A -=-+;(2)1m mnn n A A n m-=-;(3)11m m n n A nA --=; (4)11n n n n n n nA A A ++=-;(5)11m m m n n nA A mA -+=+.(6)1!22!33!!(1)!1n n n +⋅+⋅++⋅=+-.153.组合数公式mnC =m n m mA A =m m n n n ⨯⨯⨯+-- 21)1()1(=！！！)(m n m n -⋅(n ∈N *，m N ∈，且m n ≤).154.组合数的两个性质(1)m n C =mn n C - ;(2) m n C +1-m n C =m n C 1+.注:规定10=nC . 155.组合恒等式 (1)11m m n n n m C C m --+=;(2)1m m n n n C C n m -=-;(3)11mm nn n C C m--=; (4)∑=nr r n C 0=n 2;(5)1121++++=++++r n r n r r r r r r C C C C C .(6)n nn r n n n nC C C C C 2210=++++++ . (7)14205312-+++=+++n n n n n n nC C C C C C . (8)1321232-=++++n n n n n nn nC C C C . (9)r n m r n r m n r m n r m C C C C C C C +-=+++0110 . (10)nn n n n n n C C C C C 22222120)()()()(=++++ .156.排列数与组合数的关系m m n n A m C =⋅！ .157．单条件排列以下各条的大前提是从n 个元素中取m 个元素的排列. (1)“在位”与“不在位”①某（特）元必在某位有11--m n A 种；②某（特）元不在某位有11---m n m n A A （补集思想）1111---=m n n A A （着眼位置）11111----+=m n m m n A A A （着眼元素）种.(2)紧贴与插空（即相邻与不相邻）①定位紧贴：)(n m k k ≤≤个元在固定位的排列有k m k n k k A A --种.②浮动紧贴：n 个元素的全排列把k 个元排在一起的排法有k k k n k n A A 11+-+-种.注：此类问题常用捆绑法；③插空：两组元素分别有k 、h 个（1+≤h k ），把它们合在一起来作全排列，k 个的一组互不能挨近的所有排列数有k h h h A A 1+种.(3)两组元素各相同的插空m 个大球n 个小球排成一列，小球必分开，问有多少种排法？当1+>m n 时，无解；当1+≤m n 时，有n m n nn m C A A 11++=种排法.(4)两组相同元素的排列：两组元素有m 个和n 个，各组元素分别相同的排列数为nn m C +.158．分配问题(1)(平均分组有归属问题)将相异的m 、n 个物件等分给m 个人，各得n 件，其分配方法数共有mnn n n n n mn n n mn n mn n mn C C C C C N )!()!(22=⋅⋅⋅⋅⋅=-- . (2)(平均分组无归属问题)将相异的m ·n 个物体等分为无记号或无顺序的m 堆，其分配方法数共有mn nn n n n mn n n mn n mn n m mn m C C C C C N )!(!)!(!...22=⋅⋅⋅⋅=--. (3)(非平均分组有归属问题)将相异的)12m P(P=n +n ++n 个物体分给m 个人，物件必须被分完，分别得到1n ，2n ，…，m n 件，且1n ，2n ，…，m n 这m 个数彼此不相等，则其分配方法数共有!!...!!!! (212)11m n n nn p n p n n n m p m C C C N mm=⋅⋅=-.(4)(非完全平均分组有归属问题)将相异的)12m P(P=n +n ++n 个物体分给m 个人，物件必须被分完，分别得到1n ，2n ，…，m n 件，且1n ，2n ，…，m n 这m 个数中分别有a 、b 、c 、…个相等，则其分配方法数有!...!!!...211c b a m C C C N m m n n n n p n p ⋅⋅=- 12!!!!...!(!!!...)m p m n n n a b c =.(5)(非平均分组无归属问题)将相异的)12m P(P=n +n ++n 个物体分为任意的1n ，2n ，…，mn 件无记号的m 堆，且1n ，2n ，…，m n 这m 个数彼此不相等，则其分配方法数有!!...!!21m n n n p N =.(6)(非完全平均分组无归属问题)将相异的)12m P(P=n +n ++n 个物体分为任意的1n ，2n ，…，m n 件无记号的m 堆，且1n ，2n ，…，m n 这m 个数中分别有a 、b 、c 、…个相等，则其分配方法数有!...)!!(!!...!!21c b a n n n p N m =.(7)(限定分组有归属问题)将相异的p （2m p n n n =1+++）个物体分给甲、乙、丙，……等m 个人，物体必须被分完，如果指定甲得1n 件，乙得2n 件，丙得3n 件，…时，则无论1n ，2n ，…，m n 等m 个数是否全相异或不全相异其分配方法数恒有。
高三总复习数学检测题 二项分布及其应用、正态分布
二项分布及其应用、正态分布一、点全面广强基训练1．设随机变量ξ服从正态分布N (μ，7)，若P (ξ<2)＝P (ξ>4)，则μ与D (ξ)的值分别为( )A ．μ＝3，D (ξ)＝7B ．μ＝3，D (ξ)＝7C ．μ＝3，D (ξ)＝7 D ．μ＝3，D (ξ)＝7解析：选C ∵随机变量ξ服从正态分布N (μ，7)，∴正态曲线关于x ＝μ对称．∵P (ξ<2)＝P (ξ>4)，∴μ＝2＋42＝3，D (ξ)＝σ2＝7. 2．设随机变量X ～B (2，p )，Y ～B (4，p )，若P (X ≥1)＝59，则P (Y ≥2)的值为( ) A.3281 B.1127 C.6581 D.1681解析：选B P (X ≥1)＝P (X ＝1)＋P (X ＝2)＝C 12p (1－p )＋C 22p 2＝59，解得p ＝13或p ＝53(舍去)．故P (Y ≥2)＝1－P (Y ＝0)－P (Y ＝1)＝1－C 04×⎝⎛⎭⎫234－C 14×13×⎝⎛⎭⎫233＝1127. 3．(多选)已知在某市的一次学情检测中，学生的数学成绩X 服从正态分布N (100,100)，其中90分为及格线，120分为优秀线，则下列说法正确的是( )附：随机变量ξ服从正态分布N (μ，σ2)，则P (μ－σ<ξ<μ＋σ)＝0.682 7，P (μ－2σ<ξ<μ＋2σ)＝0.954 5，P (μ－3σ<ξ<μ＋3σ)＝0.997 3.A ．该市学生数学成绩的期望为100B ．该市学生数学成绩的标准差为100C ．该市学生数学成绩及格率超过0.8D ．该市学生数学成绩不及格的人数和优秀的人数大致相等解析：选AC 数学成绩X 服从正态分布N (100,100)，则数学成绩的期望为100，数学成绩的标准差为10，故A 正确，B 错误；及格率p 1＝1－1－P (100－10<X <100＋10)2＝0.841 35，故C 正确；不及格率p 2＝0.158 65，优秀率p 3＝1－P (100－20<X <100＋20)2＝0.022 75，故D 错误．故选A 、C.4．(多选)体育课的排球发球项目考试的规则是：每位学生最多可发球3次，一旦发球成功，则停止发球；否则一直发到3次为止．设学生一次发球成功的概率为p (p ≠0)，发球次数为X ，若X 的数学期望E (X )＞1.75，则p 的取值可能是( )A.14B.712C.512D.34解析：选AC 由题可知P (X ＝1)＝p ，P (X ＝2)＝(1－p )p ，P (X ＝3)＝(1－p )2p ＋(1－p )3＝(1－p )2，则E (X )＝p ＋2(1－p )p ＋3(1－p )2＞1.75，解得p ＞52或p <12，由p ∈(0,1)，得p ∈0，12.故选A 、C. 5.如图，在网格状小地图中，一机器人从A (0,0)点出发，每秒向上或向右行走1格到相应顶点，已知向上的概率是23，向右的概率是13，则6秒后到达B (4,2)点的概率为( ) A.16729 B.80243 C.4729 D.20243解析：选D 根据题意可知，机器人每秒运动一次，则6秒共运动6次，若其从A (0,0)点出发，6秒后到达B (4,2)，则需要向右走4步，向上走2步，故其6秒后到达B 的概率为C 26·⎝⎛⎭⎫232⎝⎛⎭⎫134＝60729＝20243. 6．已知随机变量X 服从正态分布N (0，σ2)，若P (X >2)＝0.023，则P (－2≤X ≤2)＝________.解析：因为μ＝0，所以P (X >2)＝P (X <－2)＝0.023，所以P (－2≤X ≤2)＝1－2×0.023＝0.954.答案：0.9547．已知随机变量X 服从二项分布B (n ，p )，若E (X )＝3，D (X )＝2，则p ＝________，P (X ＝1)＝________.解析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ np ＝3，np (1－p )＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧ p ＝13，n ＝9，即随机变量X 服从二项分布B ⎝⎛⎭⎫9，13.P (X ＝1)＝C 19×13×⎝⎛⎭⎫238＝2562 187. 答案：13 2562 1878．一试验田某种作物一株生长的果实个数服从正态分布N (90，σ2)，且P (x <70)＝0.2，从试验田中随机抽取10株，果实个数在[90,110]的株数记作随机变量X ，且X 服从二项分布，则X 的方差为________．解析：因为x ～N (90，σ2)，且P (x ＜70)＝0.2，所以P (x ＞110)＝0.2，所以P (90≤x ≤110)＝0.5－0.2＝0.3，所以X ～B (10,0.3)，X 的方差为10×0.3×(1－0.3)＝2.1.答案：2.19．挑选空军飞行员可以说是“万里挑一”，要想通过需要五关：目测、初检、复检、文考(文化考试)、政审．若某校甲、乙、丙三位同学都顺利通过了前两关，根据分析甲、乙、丙三位同学通过复检关的概率分别是0.5，0.6,0.75，能通过文考关的概率分别是0.6，0.5，0.4，由于他们平时表现较好，都能通过政审关，若后三关之间通过与否没有影响．(1)求甲、乙、丙三位同学中恰好有一人通过复检的概率；(2)设只要通过后三关就可以被录取，求录取人数X 的分布列．解：(1)设A ，B ，C 分别表示事件“甲、乙、丙通过复检”，则所求概率P ＝P (A B C )＋P (A B C )＋P (A B C )＝0.5×(1－0.6)×(1－0.75)＋(1－0.5)×0.6×(1－0.75)＋(1－0.5)×(1－0.6)×0.75＝0.275.(2)甲被录取的概率为P 甲＝0.5×0.6＝0.3，同理P 乙＝0.6×0.5＝0.3，P 丙＝0.75×0.4＝0.3.∴甲、乙、丙每位同学被录取的概率均为0.3，故可以看成是3重伯努利试验，即X ～B (3,0.3)，X 的可能取值为0,1,2,3，其中P (X ＝k )＝C k 3(0.3)k ·(1－0.3)3－k .故P (X ＝0)＝C 03×0.30×(1－0.3)3＝0.343，P (X ＝1)＝C 13×0.3×(1－0.3)2＝0.441，P (X ＝2)＝C 23×0.32×(1－0.3)＝0.189，P (X ＝3)＝C 33×0.33＝0.027，故X 的分布列为10的2个红球、3个白球的袋中随机摸出2个球，若“摸出的两个球都是红球”出现3次获得200分，若“摸出的两个球都是红球”出现1次或2次获得20分，若“摸出的两个球都是红球”出现0次，则扣除10分(即获得－10分)．(1)设每轮游戏中出现“摸出的两个球都是红球”的次数为X ，求X 的分布列；(2)许多玩过这款游戏的人发现，若干轮游戏后，与最初的分数相比，分数没有增加，反而减少了，请运用概率统计的相关知识解释上述现象．解：(1)每次游戏中，出现“摸出的两个球都是红球”的概率为P ＝C 22C 25＝110.X 的所有可能取值为0,1,2,3，所以P (X ＝0)＝C 03⎝⎛⎭⎫1－1103＝7291 000，P (X ＝1)＝C 13⎝⎛⎭⎫110·⎝⎛⎭⎫1－1102＝2431 000，P (X ＝2)＝C 23⎝⎛⎭⎫1102·⎝⎛⎭⎫1－110＝271 000，P (X ＝3)＝C 33⎝⎛⎭⎫1103＝11 000，所以X 的分布列为(2)设每轮游戏得分为Y .由(1)知，Y 的分布列为 E (Y )＝－10×7291 000＋20×27100＋200×11 000＝－1.69，这表明每轮游戏的得分Y 的数学期望为负．因此，若干轮游戏后，与最初的分数相比，分数没有增加，反而减少了．二、重点难点培优训练1．(2021·新高考Ⅱ卷)某物理量的测量结果服从正态分布N (10，σ2)，下列结论中不正确的是( )A ．σ越小，该物理量在一次测量中在(9.9,10.1)的概率越大B ．σ越小，该物理量在一次测量中大于10的概率为0.5C ．σ越小，该物理量在一次测量中小于9.99与大于10.01的概率相等D ．σ越小，该物理量在一次测量中落在(9.9,10.2)与落在(10,10.3)的概率相等解析：选D 正态分布的曲线形状由参数σ确定，σ越小，曲线越“高瘦”，即在(9.9,10.1)的概率越大，落在(9.9,10.2)的概率大于落在(10,10.3)的概率，A 正确，D 不正确．曲线在x ＝10时处于最高点，并由此向左右两边延伸时，曲线逐渐降低，所以在一次测量中大于10的概率为0.5，小于9.99与大于10.01的概率相等，B 、C 正确．故选D.2．(多选)某计算机程序每运行一次都随机出现一个五位二进制数A ＝a 1a 2a 3a 4a 5(例如10100)，其中A 的各位数中a k (k ＝2,3,4,5)出现0的概率为13，出现1的概率为23，记X ＝a 2＋a 3＋a 4＋a 5，则当程序运行一次时( )A ．X 服从二项分布B ．P (X ＝1)＝881C ．X 的均值E (X )＝83D ．X 的方差D (X )＝83解析：选ABC 由二进制数A 的特点知每一个数位上的数字只能填0,1，且每个数位上的数字再填时互不影响，故以后的5位数中后4位的所有结果有5类：①后4个数都出现0，X ＝0，记其概率为P (X ＝0)＝⎝⎛⎭⎫134＝181；②后4个数只出现1个1，X ＝1，记其概率为P (X ＝1)＝C 14⎝⎛⎭⎫23⎝⎛⎭⎫133＝881；③后4个数出现2个1，X ＝2，记其概率为P (X ＝2)＝C 24⎝⎛⎭⎫232·⎝⎛⎭⎫132＝2481；④后4个数出现3个1，记其概率为P (X ＝3)＝C 34⎝⎛⎭⎫233⎝⎛⎭⎫13＝3281；⑤后4个数都出现1，X ＝4，记其概率为P (X ＝4)＝⎝⎛⎭⎫234＝1681，故X ～B ⎝⎛⎭⎫4，23，故A 正确；又P (X ＝1)＝C 14⎝⎛⎭⎫23·⎝⎛⎭⎫133＝881，故B 正确；∵X ～B ⎝⎛⎭⎫4，23，∴E (X )＝4×23＝83，故C 正确；∵X ～B 4，23，∴X 的方差D (X )＝4×23×13＝89，故D 错误．故选A 、B 、C. 3．为庆祝建军节的到来，某校举行“强国强军”知识竞赛．该校某班经过层层筛选，还有最后一个参赛名额要在A ，B 两名学生中产生，该班委设计了一个选拔方案：A ，B 两名学生各自从6个问题中随机抽取3个问题作答．已知这6个问题中，学生A 能正确回答其中的4个问题，而学生B 能正确回答每个问题的概率均为23.A ，B 两名学生对每个问题回答正确与否都是相互独立的．(1)分别求A ，B 两名学生恰好答对2个问题的概率；(2)设A 答对的题数为X ，B 答对的题数为Y ，若让你投票决定参赛选手，你会选择哪名学生？请说明理由．解：(1)由题意，得A 恰好答对2个问题的概率为P 1＝C 24C 12C 36＝35，B 恰好答对2个问题的概率为P 2＝C 23⎝⎛⎭⎫232⎝⎛⎭⎫131＝49.(2)X 的可能取值为1,2,3，则P (X ＝1)＝C 14C 22C 36＝15；P (X ＝2)＝C 24C 12C 36＝35；P (X ＝3)＝C 34C 02C 36＝15.所以E (X )＝1×15＋2×35＋3×15＝2，D (X )＝(1－2)2×15＋(2－2)2×35＋(3－2)2×15＝25.易知Y ～B ⎝⎛⎭⎫3，23，所以E (Y )＝3×23＝2，D (Y )＝3×23×13＝23.因为E (X )＝E (Y )，D (X )<D (Y )，所以A 与B 答题的平均水平相当，但A 比B 更稳定．所以选择学生A .。
高考数学试题汇编二项分布与正态分布
第四节 二项分布与正态分布高考试题考点一 条件概率1.(2011年辽宁卷,理5)从1,2,3,4,5中任取两个不同的数,事件A=“取到的2个数之和为偶数”,事件B=“取到的两个数均为偶数”,则P(B|A)等于( ) (A)18(B)14(C)25(D)12解析:法一 P(A)=223225C C C += 25, P(AB)= 2225C C =110, P(B|A)=()()P AB P A =14. 法二 事件A 包含基本事件数为23C +22C =4,在A 发生的条件下事件B 包含的基本事件数为22C =1,因此P(B|A)=14.答案:B 2. (2011年湖南卷,理15)如图所示,四边形EFGH 是以O 为圆心,半径为1的圆的内接正方形.将一颗豆子随机地扔到该圆内,用A 表示事件“豆子落在正方形EFGH 内”,B 表示事件“豆子落在扇形OHE(阴影部分)内”,则(1)P(A)= ;(2)P(B|A)= .解析:(1)由题意可得,事件A 发生的概率 P(A)=EFGHO S S Θ正方形·=222π1⨯⨯=2π(2)事件AB 表示“豆子落在△EOH 内”,则P(AB)=S EOH O S ∆Θ·=22112π1⨯⨯= 12π, 故P(B|A)= ()()P AB P A =12π2π=14.答案:(1)2π (2)14考点二 相互独立事件的概率1.(2011年湖北卷,理7)如图,用K 、A 1、A 2三类不同的元件连接成一个系统.当K 正常工作且A 1、A 2至少有一个正常工作时,系统正常工作,已知K 、A 1、A 2正常工作的概率依次为0.9、0.8、0.8.则系统正常工作的概率为( )(A)0.960 (B)0.864 (C)0.720 (D)0.576解析:法一 由已知P=P(K 1A A 2)+P(K 2A A 1)+P(KA 1A 2)=0.9×0.2×0.8+0.9×0.2×0.8+0.9×0.8×0.8=0.864.故选B. 法二 A 1、A 2正常工作概率为1-0.2×0.2=0.96,则系统正常工作概率为P=0.9×0.96=0.864.故选B. 答案:B2.(2010年辽宁卷,理3)两个实习生每人加工一个零件,加工为一等品的概率分别为23和34,两个零件是否被加工为一等品相互独立,则这两个零件中恰有一个一等品的概率为( ) (A)12(B)512 (C)14(D)16解析:设事件A:甲实习生加工的零件为一等品, 事件B:乙实习生加工的零件为一等品, 则P(A)=23,P(B)= 34, 所以这两个零件中恰有一个一等品的概率为 P(A B )+P(A B)=P(A)·P(B )+P(A )·P(B) =23×(1-34)+(1-23)×34=512. 答案:B3.(2012年新课标全国卷,理15)某一部件由三个电子元件按如图所示的方式连接而成.元件1或元件2正常工作,且元件3正常工作,则部件正常工作.设三个电子元件的使用寿命(单位:小时)均服从正态分布N(1000,502),且各个元件能否正常工作相互独立,那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为 .解析:设该部件的使用寿命超过1000小时的概率为P(A). 因为三个元件的使用寿命均服从正态分布N(1000,502),所以元件1,2,3的使用寿命超过1000小时的概率分别为 P 1=12,P 2=12,P 3=12. 故P(A)=P 1(1-P 2)P 3+(1-P 1)P 2P 3+P 1P 2P 3 =12×12×12+12×12×12+12×12×12=38. 答案:384.(2010年福建卷,理13)某次知识竞赛规则如下:在主办方预设的5个问题中,若选手能连续正确回答出两个问题,则停止答题,晋级下一轮.假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.8,且每个问题的回答结果相互独立,则该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率等于 .解析:设A i 表示第i 个问题回答正确,则他回答4个问题晋级的情形有A 12A A 3A 4与1A 2A A 3A 4,且这两个事件互斥, ∴P(A 12A A 3A 4+1A 2A A 3A 4)=P(A 12A A 3A 4)+P(1A 2A A 3A 4)=0.83×0.2+0.82×0.22=0.128.答案:0.1285.(2010年重庆卷,理13)某篮球队员在比赛中每次罚球的命中率相同,且在两次罚球中至多命中一次的概率为1625,则该队员每次罚球的命中率为 .解析:法一 设“每次罚球命中”为事件A, 由题意得P(A )P(A )+P(A )P(A)+P(A)P(A )=1625, 即[1-P(A)]2+2P(A)[1-P(A)]= 1625, 解得P(A)= 35.法二 设每次罚球命中率均为p,事件:“两次罚球中至多命中一次”的对立事件为“两次罚球中均命中”,因此1-p 2=1625,p=35. 答案:356.(2013年大纲全国卷,理20)甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛,其中两人比赛,另一人当裁判,每局比赛结束时,负的一方在下一局当裁判.设各局中双方获胜的概率均为12,各局比赛的结果都相互独立,第1局甲当裁判. (1)求第4局甲当裁判的概率;(2)X 表示前4局中乙当裁判的次数,求X 的数学期望.解:(1)记A 1表示事件“第2局结果为甲胜”,A 2表示事件“第3局甲参加比赛时,结果为甲负”,A 表示事件“第4局甲当裁判”, 则A=A 1·A 2.P(A)=P(A 1·A 2)=P(A 1)·P(A 2)=14. (2)X 的可能取值为0,1,2.记A 3表示事件“第3局乙和丙比赛时,结果为乙胜丙”, B 1表示事件“第1局结果为乙胜丙”,B 2表示事件“第2局乙和甲比赛时,结果为乙胜甲”, B 3表示事件“第3局乙参加比赛时,结果为乙负”. 则P(X=0)=P(B 1·B 2·A 3)=P(B 1)P(B 2)P(A 3)=18,P(X=2)=P(1B ·B 3)=P(1B )P(B 3)=14, P(X=1)=1-P(X=0)-P(X=2)=1-18-14=58.EX=0×18+2×14+1×58=98.7.(2013年陕西卷,理19)在一场娱乐晚会上,有5位民间歌手(1至5号)登台演唱,由现场数百名观众投票选出最受欢迎歌手.各位观众须彼此独立地在选票上选3名歌手,其中观众甲是1号歌手的歌迷,他必选1号,不选2号,另在3至5号中随机选2名.观众乙和丙对5位歌手的演唱没有偏爱,因此在1至5号中随机选3名歌手. (1)求观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率;(2)X 表示3号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和,求X 的分布列及数学期望. 解:(1)设A 表示事件“观众甲选中3号歌手”,B 表示事件“观众乙选中3号歌手”,则P(A)=1223CC=23,P(B)=2435CC=35.∵事件A与B相互独立,∴观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率为P(A B)=P(A)·P(B)=P(A)[1-P(B)]=23×25=415.(2)设C表示事件“观众丙选中3号歌手”,则P(C)=2435CC=35.∵X可能的取值为0,1,2,3,且取这些值的概率分别为P(X=0)=P(A B C)=13×25×25=475,P(X=1)=P(A B C)+P(A B C)+P(A B C)=23×25×25+13×35×25+13×25×35=2075=415,P(X=2)=P(AB C)+P(A B C)+P(A BC)=23×35×25+23×25×35+13×35×35=3375=1125,P(X=3)=P(ABC)=23×35×35=1875=625,∴X的分布列为∴X的数学期望EX=0×475+1×415+2×1125+3×625=14075=2815.考点三独立重复试验与二项分布1.(2010年新课标全国卷,理6)某种种子每粒发芽的概率都为0.9,现播种了1000粒,对于没有发芽的种子,每粒需再补种2粒,补种的种子数记为X,则X的数学期望为( )(A)100 (B)200 (C)300 (D)400解析:种子发芽的概率为0.9,不发芽的概率是0.1.设1000粒种子中不发芽的种子数为ξ,则ξ～B(1000,0.1),于是E(ξ)=1000×0.1=100,而X=2ξ,故E(X)=2E(ξ)=2×100=200.答案:B2.(2010年湖南卷,理17)如图,是某城市通过抽样得到的居民某年的月均用水量 (单位:吨)的频率分布直方图.(1)求直方图中x的值;(2)若将频率视为概率,从这个城市随机抽取3位居民(看做有放回的抽样),求月均用水量在3至4吨的居民数X的分布列和数学期望.解:(1)依题意及频率分布直方图知(0.02+0.1+x+0.37+0.39)×1=1,解得x=0.12.(2)由题意知,X～B(3,0.1).因此P(X=0)=03C×0.93=0.729,P(X=1)=13C×0.1×0.92=0.243,P(X=2)=23C×0.12×0.9=0.027,P(X=3)=33C×0.13=0.001.故随机变量X的分布列为X0123P0.7290.2430.0270.001X的数学期望为E(X)=3×0.1=0.3.考点四正态分布1.(2011年湖北卷,理5)已知随机变量ξ服从正态分布N(2,σ2),且P(ξ<4)=0.8,则P(0<ξ<2)等于( )(A)0.6 (B)0.4 (C)0.3 (D)0.2解析:由P(ξ<4)=0.8知P(ξ>4)=P(ξ<0)=0.2.故P(0<ξ<2)=0.3.故选C.答案:C2.(2010年山东卷,理5)已知随机变量ξ服从正态分布N(0,σ2),若P(ξ>2)=0.023,则P(-2≤ξ≤2)等于( )(A)0.477 (B)0.628 (C)0.954 (D)0.977解析:由于ξ服从正态分布N(0,σ2),其中μ=0,所以该正态曲线关于直线x=0对称,又P(ξ>2)=0.023,所以P(ξ<-2)=0.023,由正态分布的性质知P(-2≤ξ≤2)=1-2P(ξ>2)=1-2×0.023=0.954.答案:C3.(2009年安徽卷,理11)若随机变量X～N(μ,σ2),则P(X≤μ)= .解析:∵X～N(μ,σ2),∴由正态分布图象可知对称轴为直线x=μ,∴P(X≤μ)= 1 2 .答案:1 2模拟试题考点一 条件概率1.(2013潍坊一中检测)已知P(B|A)= 13,P(A)=25,则P(AB)等于( )(A)56(B)910(C)215(D)115解析:本题主要考查由条件概率公式变形得到的乘法公式,P(AB)=P(B|A)·P(A)=13×25=215.故选C.答案:C2.(2012连云港调研)100件产品中有5件次品,不放回地抽取两次,每次抽1件,已知第一次抽出的是次品,则第2次抽出正品的概率为 .解析:法一 设“第一次抽到次品”为事件A, “第二次抽到正品”为事件B, 则P(A)=5100,P(AB)=5100×9599, 所以P(B|A)=()()P AB P A =9599. 法二 第1次抽出次品后剩99件产品,其中95件正品,因此第2次抽出正品的概率为9599. 答案:9599考点二 相互独立事件的概率1.(2012年九江模拟)某人射击,每次击中目标的概率为35,经过3次射击,此人至少有两次击中目标的概率为( ) (A)81125 (B)54125(C)36125 (D)27125解析:该人3次射击中恰有两次击中的概率 P 1=23C ×(35)2×(1-35)=54125,三次全部击中的概率P 2=(35)3=27125,因此此人至少有两次击中目标的概率P=P 1+P 2=81125.故选A. 答案:A2.(2012朝阳质检)一个电路如图所示,A,B,C,D,E,F 为6个开关,其闭合的概率都是12,且是相互独立的,则灯亮的概率是( )(A)164 (B)5564 (C)18(D)116解析:设A 与B 中至少有一个不闭合的事件为T,E 与F 中至少有一个不闭合的事件为R, 则P(T)=P(R)=1-12×12=34, 所以灯亮的概率P=1-P(T)P(R)P(C )P(D )=5564.故选B. 答案:B考点三 独立重复试验与二项分布1.(2012九江模拟)已知随机变量X 服从二项分布,X ～B(6, 13),则P(X=2)等于( )(A)1316(B)4243 (C)13243 (D)80243解析:P(X=2)=26C ×(13)2×(1-13)4=80243.故选D.答案:D2.(2012潍坊质检)若X ～B(5,0.1),则P(X ≤2)等于( ) (A)0.0729 (B)0.00856 (C)0.91854 (D)0.99144解析:P(X ≤2)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)=05C ×0.10×0.95+15C ×0.1×0.94+25C ×0.12×0.93=0.99144.故选D. 答案:D考点四 正态分布1.(2013玉溪一中检测)设随机变量ξ服从正态分布N(3,4),若P(ξ<2a-3)=P(ξ>a+2),则a 的值为( ) (A)5 (B)3(C)53(D)73解析:因为ξ服从正态分布N(3,4), 所以随机变量ξ关于直线x=3对称, 因为P(ξ<2a-3)=P(ξ>a+2), 所以x=2a-3,x=a+2关于x=3对称, 所以2322a a -++=3, 即3a=7,解得a=73,选D. 答案:D2.(2013云南大附中检测)如果随机变量ξ～N(-1,σ2),且P(-3≤ξ≤-1)=0.4,则P(ξ≥1)= .解析:根据对称性可知P(-3≤ξ≤-1)=P(-1≤ξ≤1)=0.4, 所以P(ξ≥1)=P(ξ≤-3)=10.40.42--=0.1. 答案:0.1综合检测1.(2012银川一中模拟)已知随机变量X 服从二项分布,且E(X)=2.4,D(X)=1.44,则二项分布的参数n,p 的值为( ) (A)n=4,p=0.6 (B)n=6,p=0.4(C)n=8,p=0.3 (D)n=24,p=0.1解析:由题意得()2.41 1.44,np np p =⎧⎪⎨-=⎪⎩解得6,0.4.n p =⎧⎨=⎩答案:B2.(2012保定一模)位于坐标原点的一个质点P 按下述规则移动:质点每次移动一个单位;移动的方向为向上或向右,并且向上、向右移动的概率都是12,则质点P 移动五次后位于点(2,3)的概率是( ) (A) 12⎛⎫ ⎪⎝⎭5 (B)25C 12⎛⎫ ⎪⎝⎭5(C) 35C 12⎛⎫ ⎪⎝⎭3 (D)25C 35C 12⎛⎫ ⎪⎝⎭5解析:由于质点每次移动一个单位,移动的方向向上或向右,移动五次后位于点(2,3),所以质点P 必须向右移动二次,向上移动三次,故其概率为35C 12⎛⎫ ⎪⎝⎭312⎛⎫ ⎪⎝⎭2=35C 12⎛⎫ ⎪⎝⎭5=25C 12⎛⎫ ⎪⎝⎭5.故选B. 答案:B3.(2011杭州市高三第二次质检)体育课的排球发球项目考试的规则是:每位学生最多可发球3次,一旦发球成功,则停止发球,否则一直发到3次为止.设学生一次发球成功的概率为p(p ≠0),发球次数为X,若X 的数学期望E(X)>1.75,则p 的取值范围是( ) (A) (0,712) (B)(712,1) (C) (0,12) (D)(12,1) 解析:发球次数X 的分布列如下表:所以期望E(X)=p+2(1-p)p+3(1-p)>1.75,解得p>52(舍去)或p<12,又p>0,则0<p<12,故选C. 答案:C4.(2011广东江门模拟)已知X ～N(μ,σ2),P(μ-σ<X ≤μ+σ)=0.68,P(μ-2σ<X ≤μ+2σ)=0.95,某次全市20000人参加的考试,数学成绩大致服从正态分布N(100,100),则本次考试120分以上的学生约有 人.解析:依题意可知μ=100,σ=10, 由于P(μ-2σ<X ≤μ+2σ)=0.95, 所以P(80<X ≤120)=0.95, 因此本次考试120分以上的学生约有()2000010.952⨯-=500.答案:500。
高考数学总复习之二项分布与正态分布
由题意可知随机变量X的正态曲线关于x＝1对称， A
则P(X≤0)＝P(X≥2)，所以a－2＝2，a＝4.
抓住3个考点
突破3个考向
揭秘3年高考
5．(2012· 新课标全国)某一部件由三个
电子元件按如图所示方式连接而 成，元件1或元件2正常工作，且元 件3正常工作，则部件正常工作．设三个电子元件的使用 寿命(单位：小时)均服从正态分布N(1 000,502)，且各个元 件能否正常工作相互独立，那么该部件的使用寿命超过1 000小时的概率为________．
抓住3个考点 突破3个考向 揭秘3年高考
2．独立重复试验与二项分布 (1)独立重复试验 独立重复试验是指在相同条件下可重复进行的，各次之间 两种 相互独立的一种试验，在这种试验中每一次试验只有____ 结果，即要么发生，要么不发生，且任何一次试验中发生 一样 的． 的概率都是______ (2)二项分布 进行n次试验，如果满足以下条件： ①每次试验只有两个相互独立的结果，可以分别称为“成 功”和“失败”；
抓住3个考点
突破3个考向
揭秘3年高考
解析
设元件 1,2,3 的使用寿命超过 1 000 小时的事件
1 分别记为 A，B，C，显然 P(A)＝P(B)＝P(C)＝ ，∴该 2 － － 部件的使用寿命超过 1 000 小时的事件为(A B ＋ A B＋ AB)C，∴该部件的使用寿命超过 1 000 小时的概率
②每次试验“成功”的概率均为p，“失败”的概率均为1－
p；
抓住3个考点 突破3个考向 揭秘3年高考
③各次试验是相互对立的． k 用 X 表示这 n 次试验中成功的次数， 则 P(X＝k)＝Ck p n (1 － －p)n k(k＝0，1，2，„，n)．若一个随机变量 X 的分布 列如上所述，称 X 服从参数为 n，p 的二项分布，简记 为 X～B(n，p)．
高考数学复习考点知识讲解课件68 二项分布、正态分布及其应用
a φμ，σ x dx ，则称随机变量X服从正态分布，记作X～N(μ，σ2)．
(3)正态曲线的特点
①曲线位于x轴的上方，与x轴不相交；
②曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称；
1
③曲线在x＝μ处达到峰值
；
σ 2π
④曲线与x轴之间的面积为1；
⑤当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿着x轴平
5
6
1
36
36 6
1
P(甲丙)＝0≠P(甲)P(丙)，P(甲丁)＝ ＝P(甲)P(丁)，
36
1
P(乙丙)＝ ≠P(乙)P(丙)，P(丙丁)＝0≠P(丁)P(丙)．
36
解析：P(甲)＝ ，P(乙)＝ ，P(丙)＝ ，P(丁)＝ ＝ ，
关键能力—考点突破
考点一
条件概率
[基础性]
1．[2022·安徽阶段测试]将三颗骰子各掷一次，记事件A＝“三个点
y中有偶数，且x≠y”，则概率P(B|A)＝(
)
1
1
1
1
A．
B．
C．
D．
3
4
5
6
答案：A
2×3×3 1
3×2 1
＝ ，P(AB)＝ ＝ ，所以P(B|A)＝
36
2
36
6
解析：因为P(A)＝
1
6
1
2
1
3
＝ .
3．[选修2－3·P75 习题B组T2 改编]已知随机变量X服从正态分布N(3，
1)，且P(X＞2c－1)＝P(X＜c＋3)，则c等于(
生的条件下，事件B发生的概率．
(2)条件概率的性质
①条件概率具有一般概率的性质，即0≤P(B|A)≤1；
高中数学考点47二项分布及其应用、正态分布(含高考.doc
考点 47 二项分布及其应用、正态分布一、选择题1.(2016 ·全国卷Ⅰ高考理科·2则 A ∩ B=()T1) 设集合 A={x|x -4x+3<0},B={x|2x-3>0}, A.3, 3B.323,2C.3,3 D.3,322【解析】选 D.A={x|x 2-4x+3<0}={x|1<x<3}, B={x|2x-3>0}=x x 3 .2所以 A ∩ B= x |3x3 .22.(2016 ·全国卷Ⅰ高考文科· T1) 设集合 A={1,3,5,7},B={x|2 ≤ x ≤ 5}, 则 A ∩ B= ()A.{1,3}B.{3,5}C.{5,7}D.{1,7}【解析】选 B. 因为 B={x|2 ≤x ≤ 5},而 A={1,3,5,7},所以 A ∩ B={3,5}.3.(2016 ·全国卷Ⅱ理科· T2)已知集合 A={1,2,3},B={x|(x+1)(x-2)<0,x∈Z}, 则 A ∪B=( )A.{1}B.{1,2}C.{0,1,2,3}D.{-1,0,1,2,3}【解题指南】先求出集合 B, 再利用 Venn 图求出 A ∪ B.【解析】选 C.B={x|(x+1)(x-2)<0,x∈Z}={x|-1<x<2,x ∈Z}, 所以 B={0,1},所以 A ∪B={0,1,2,3}.【误区警示】平时练习 , 求交集较多 , 本题要求的是并集 , 审题时要注意 .4.(2016 ·全国卷Ⅱ文科· T1)已知集合 A={1,2,3},B={x|x 2<9}, 则 A ∩ B=()A.{-2,-1,0,1,2,3}B.{-2,-1,0,1,2}C.{1,2,3}D.{1,2}【解题指南】先化简集合 B, 再求 A ∩ B.【解析】选 D. 由 x 2<9, 得 -3<x<3,所以 B={x|-3<x<3}, 所以 A ∩B={1,2}.5.(2016 ·全国卷Ⅲ· 理科· T1) 设集合 S={x|(x-2)(x-3)≥ 0},T={x|x>0},则 S ∩ T=()A.[2,3]B.(- ∞ ,2] ∪ [3,+ ∞ )C.[3,+∞ )D.(0,2] ∪ [3,+ ∞ )【解题指南】根据集合的运算法则进行集合的交集运算 .【解析】选 D. 在集合 S 中 x 2 x3 ≥ 0, 解得 x ≥ 3 或 x ≤ 2, 所以 S ∩T= x | 0 x2或x 3 .6.(2016 ·全国卷Ⅲ·文科· T1) 设集合 A={0,2,4,6,8,10},B={4,8}, 则 A B= ()A.{4,8}B.{0,2,6}C.{0,2,6,10}D.{0,2,4,6,8,10}【解题指南】把握好这里的全集是集合A, 直接求集合 B 关于集合 A 的补集 .【解析】选 C.A B = 0,2,6,10 .7.(2016 ·浙江高考理科· T1)已知集合 P={x ∈ R|1≤ x ≤ 3},Q={x ∈R|x 2≥ 4}, 则 P ∪(C RQ)=( )A.[2,3]B.(-2,3]C.[1,2)D.(-∞ ,-2] ∪ [1,+ ∞ )【解题指南】先计算C RQ,再求 P ∪(C RQ).【解析】选 B.C RQ={x|x 2<4}=(-2,2),所以 P ∪ (C RQ)=(-2,2) ∪[1,3]=(-2,3].8.(2016 ·浙江高考文科· T1) 已知全集 U={1,2,3,4,5,6},集合 P={1,3,5},Q={1,2,4},则 (C UP)∪Q= ( )A.{1}B.{3,5}C.{1,2,4,6}D.{1,2,3,4,5}【解题指南】根据集合的补集与并集的定义计算 .【解析】选 C.(C UP) ∪Q={2,4,6} ∪ {1,2,4}={1,2,4,6}.9.(2016 ·山东高考理科· T2)设集合 A={y|y=2 x ,x ∈R},B={x|x 2-1<0}, 则 A ∪ B= ( )A.(-1,1)B.(0,1)C.(-1,+ ∞ )D.(0,+ ∞ )【解题指南】 把每个集合化为 “最简形式” , 弄清每个集合所表示的具体含义 , 就容易求解了 .【解析】 选 C. 因为 A={y|y=2 x ,x ∈ R},B={x|x 2-1<0}, 所以集合 A 表示大于 0 的实数 , 而集合 B表示在 -1 与 1 之间的实数 , 所以 A ∪ B=(-1,+ ∞ )10.(2016 ·山东高考文科· T1) 设集合 U={1,2,3,4,5,6},A={1,3,5},B={3,4,5}, 则 C U AUB =()A.{2,6}B.{3,6}C.{1,3,4,5}D.{1,2,4,6}【解题指南】先求出集合A,B 的并集 , 然后再求补集 .【解析】选 A.A ∪ B= 1,3,4,5 , 所以 C U AUB ={2,6}.11.(2016 ·四川高考理科· T1)设集合 A={x|-2 ≤x ≤ 2},Z 为整数集 , 则集合 A ∩ Z 中元素的个数是 ( )A.3B.4C.5D.6 【解题指南】先求集合A 与集合 Z 的交集 , 再写出交集中元素个数.【解析】选 C. 由题意 ,A ∩ Z={-2,-1,0,1,2}, 故其中的元素个数为5.12.(2016 ·四川高考文科· T2) 设集合 A={x|1 ≤ x ≤ 5},Z 为整数集 , 则集合 A ∩ Z 中元素的个 数是()A.6B.5C.4D.3【解题指南】先求集合 A 与集合 Z 的交集 , 再写出交集中元素个数 .【解析】选 B. 由题意 ,A ∩ Z={1,2,3,4,5}, 故其中的元素个数为 5.13.(2016 ·天津高考理科· T1) 已知集合 A={1,2,3,4},B={y|y=3x-2,x ∈ A}, 则 A∩ B= ( )A.{1}B.{4}C.{1,3}D.{1,4}【解题指南】列举法表示出集合B, 再利用交集的定义求解 .【解析】选 D. 因为 A= 1,2,3,4 ,B= 1,4,7,10 , 所以 A∩ B= 1,4 .14.(2016 ·天津高考文科· T1) 已知集合 A={1,2,3},B={y|y=2x-1,x ∈ A}, 则 A∩ B= ( )A.{1,3}B.{1,2}C.{2,3}D.{1,2,3}【解题指南】列举法表示出集合B, 再利用交集的定义求解 .【解析】选 A. B={1,3,5},A ∩B={1,3}.15.(2016 ·北京高考理科· T1) 已知集合 A={x||x|<2},B={-1,0,1,2,3}, 则 A∩ B= ( )A,{0,1} B.{0,1,2}C.{-1,0,1}D.{-1,0,1,2}【解题指南】解 A 中不等式后 , 再求交集 .【解析】选 C.A={x|-2<x<2}, 所以 A∩B={-1,0,1}.16.(2016 ·北京高考文科· T1) 同 (2016 ·北京高考文科· T1)已知集合 A={x|2<x<4},B={x|x<3或 x>5}, 则 A∩ B= ( )A.{x|2<x<5}B.{x|x<4 或 x>5}C.{x|2<x<3}D.{x|x<2 或 x>5}【解题指南】利用数轴求解.【解析】选 C. 作出数轴如下, 由图可知选 C.二、填空题17.(2016 ·江苏高考T1) 已知集合A={-1,2,3,6},B={x|-2<x<3},则A∩B=.【解题指南】根据交集的运算性质进行计算.【解析】由集合A,B 及交集的运算可知A∩ B={-1,2}.答案 :{-1,2}18.(2016 ·北京高考文科·T14) 某网店统计了连续三天售出商品的种类情况: 第一天售出19 种商品 , 第二天售出 13 种商品 , 第三天售出 18 种商品 ; 前两天都售出的商品有 3 种 , 后两天都售出的商品有 4 种 . 则该网店①第一天售出但第二天未售出的商品有种 ;②这三天售出的商品最少有种 .【解题指南】利用韦恩图解决问题.【解析】①如左图所示, 第一天售出但第二天未售出的商品有19-3=16;②如右图所示 , 这三天售出的商品最少有19+13-3=29.19.(2017 ·全国甲卷理科· T13) 一批产品的二等品率为0.02, 从这批产品中每次随机取一件, 有放回地抽取100 次,X 表示抽到的二等品件数, 则 DX=.【命题意图】二项分布以及方差, 意在考查对数据的处理能力和运算能力.【解析】 X~B(100,0.02),所以DX=np(1-p)=100×0.02×0.98=1.96.答案 :1.96。
【高考复习课件】9.11二项分布及其应用、正态分布
一、二项分布及其应用 1．条件概率及其性质 (1)条件概率的定义 事件B 事件 (2)条件概率的性质 ①0≤P(B|A)≤1.②如果B、C是两个互斥事件， ＋ 则P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)．
2．事件的相互独立性 设A、B为两个事件，如果P(AB)＝ P(A)P(B) ，则称事 件A与事件B相互独立． 3．独立重复试验与二项分布 (1)独立重复试验 在相同条件下重复做的n次试验称为n次独立重复试 验，即若用Ai(i＝1,2，…，n)表示第i次试验结果，则 P(A1A2A3…An)＝ P(A1)P(A2)P(A3)…P(An) …
【解】 记A1、A2分别表示甲击中9环、10环，B1、B2分别表示乙击中8 环、9环． A表示在一轮比赛中甲击中的环数多于乙击中的环数， B表示在三轮比赛中至少有两轮甲击中的环数多于乙击中的环数． C1、C2分别表示三轮中恰有两轮、三轮甲击中环数多于乙击中的环数． (1)A＝A1B1∪A2B1∪A2B2 P(A)＝P(A1B1∪A2B1∪A2B2) ＝P(A1B1)＋P(A2B1)＋P(A2B2) ＝P(A1)P(B1)＋P(A2)P(B1)＋P(A2)P(B2) ＝0.3×0.4＋0.1×0.4＋0.1×0.4＝0.2. (2)B＝C1∪C2， P(C1)＝C23[P(A)]2[1－P(A)]＝3×0.22×(1－0.2)＝0.096， P(C2)＝[P(A)]3＝0.23＝0.008. P(B)＝P(C1∪C2)＝P(C1)＋P(C2) ＝0.096＋0.008＝0.104.
【考点1】条件概率 红球，2号箱中有5 个白球和3个红球，现随机地从1号箱中取出一球放入 2号箱，然后从2号箱随机取出一球，问 (1)从1号箱中取出的是红球的条件下，从2号箱取出 红球的概率是多少？ (2)从2号箱取出红球的概率是多少？
高考数学考点突破——随机变量及其分布(理科专用)：二项分布与正态分布
二项分布与正态分布【考点梳理】1．条件概率2．事件的相互独立性(1)定义：设A ，B 为两个事件，如果P (AB )＝P (A )P (B )，则称事件A 与事件B 相互独立. (2)性质：若事件A 与B 相互独立，则A 与B ，A 与B ，A 与B 也都相互独立，P (B |A )＝P (B )，P (A |B )＝P (A ).3．独立重复试验与二项分布 (1)独立重复试验在相同条件下重复做的n 次试验称为n 次独立重复试验，其中A i (i ＝1，2，…，n )是第i 次试验结果，则P (A 1A 2A 3…A n )＝P (A 1)P (A 2)P (A 3)…P (A n ).(2)二项分布在n 次独立重复试验中，用X 表示事件A 发生的次数，设每次试验中事件A 发生的概率为p ，则P (X ＝k )＝C k n p k (1－p )n －k(k ＝0，1，2，…，n )，此时称随机变量X 服从二项分布，记作X ～B (n ，p )，并称p 为成功概率.4．正态分布 (1)正态分布的定义如果对于任何实数a ，b (a ＜b )，随机变量X 满足P (a ＜X ≤b )＝⎠⎛ab φμ，σ(x )d x ，则称随机变量X 服从正态分布，记为X ～N (μ，σ2).其中φμ，σ(x )()222x μσ-- (σ>0).(2)正态曲线的性质①曲线位于x 轴上方，与x 轴不相交，与x 轴之间的面积为1； ②曲线是单峰的，它关于直线x ＝μ对称；③曲线在x ＝μ处达到峰值1σ2π；④当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散.(3)正态总体在三个特殊区间内取值的概率值 ①P (μ－σ<X ≤μ＋σ)＝0.6826； ②P (μ－2σ<X ≤μ＋2σ)＝0.9544； ③P (μ－3σ<X ≤μ＋3σ)＝0.9974. 【考点突破】考点一、条件概率【例1】(1)如图，EFGH 是以O 为圆心，半径为1的圆的内接正方形．将一颗豆子随机地扔到该圆内，用A 表示事件“豆子落在正方形EFGH 内”，B 表示事件“豆子落在扇形OHE (阴影部分)内”，则P(B |A )＝________.(2)某个电路开关闭合后会出现红灯或绿灯闪烁，已知开关第一次闭合后出现红灯的概率为12，两次闭合后都出现红灯的概率为15，则在第一次闭合后出现红灯的条件下第二次闭合后出现红灯的概率为( )A ．110B ．15C ．25D ．12 [答案] (1) 14(2) C[解析] (1)由题意可得，事件A 发生的概率P (A )＝S 正方形EFGH S 圆O ＝2×2π×12＝2π.事件AB 表示“豆子落在△EOH 内”，则P (AB )＝S △EOH S 圆O ＝12×12π×12＝12π.故P (B |A )＝P ABP A ＝12π2π＝14.(2)设“开关第一次闭合后出现红灯”为事件A ，“第二次闭合后出现红灯”为事件B ，则由题意可得P (A )＝12，P (AB )＝15，则在第一次闭合后出现红灯的条件下第二次闭合出现红灯的概率是P (B |A )＝P （AB ）P （A ）＝1512＝25.故选C.【类题通法】1. 利用定义，分别求P (A )和P (AB )，得P (B |A )＝P （AB ）P （A ），这是求条件概率的通法.2. 借助古典概型概率公式，先求事件A 包含的基本事件数n (A )，再求事件A 与事件B 的交事件中包含的基本事件数n (AB )，得P (B |A )＝n （AB ）n （A ）.【对点训练】1．从1，2，3，4，5中任取2个不同的数，事件A ＝“取到的2个数之和为偶数”，事件B ＝“取到的2个数均为偶数”，则P (B |A )＝( )A ．18B ．14C ．25D ．12 [答案] B[解析] 法一 P (A )＝C 23＋C 22C 25＝410＝25，P (AB )＝C 22C 25＝110.由条件概率计算公式，得P (B |A )＝P （AB ）P （A ）＝11025＝14.法二 事件A 包括的基本事件：(1，3)，(1，5)，(3，5)，(2，4)共4个. 事件AB 发生的结果只有(2，4)一种情形，即n (AB )＝1. 故由古典概型概率P (B |A )＝n （AB ）n （A ）＝14.2．某盒中装有10只乒乓球，其中6只新球、4只旧球，不放回地依次摸出2个球使用，在第一次摸出新球的条件下，第二次也取到新球的概率为( )A ．35B ．59C ．110D ．25 [答案] B[解析] 第一次摸出新球记为事件A ，则P (A )＝35，第二次取到新球记为事件B ，则P (AB )＝C 26C 210＝13，∴P (B |A )＝P （AB ）P （A ）＝1335＝59. 考点二、相互独立事件同时发生的概率【例2】从甲地到乙地要经过3个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为12，13，14.(1)记X 表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变量X 的分布列； (2)若有2辆车独立地从甲地到乙地，求这2辆车共遇到1个红灯的概率． [解析] (1)随机变量X 的所有可能取值为0，1，2，3.P (X ＝0)＝⎝⎛⎭⎪⎫1－12×⎝⎛⎭⎪⎫1－13×⎝⎛⎭⎪⎫1－14＝14，P (X ＝1)＝12×⎝⎛⎭⎪⎫1－13×⎝⎛⎭⎪⎫1－14＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12×13×⎝⎛⎭⎪⎫1－14＋⎝⎛⎭⎪⎫1－12×⎝⎛⎭⎪⎫1－13×14＝1124，P (X ＝2)＝⎝⎛⎭⎪⎫1－12×13×14＋12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13×14＋12×13×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14＝14，P (X ＝3)＝12×13×14＝124.所以随机变量X 的分布列为：(2)设Y 率为P (Y ＋Z ＝1)＝P (Y ＝0，Z ＝1)＋P (Y ＝1，Z ＝0)＝P (Y ＝0)P (Z ＝1)＋P (Y ＝1)P (Z ＝0) ＝14×1124＋1124×14＝1148. 所以这2辆车共遇到1个红灯的概率为1148.【类题通法】求相互独立事件同时发生的概率的主要方法 ①利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解.②正面计算较繁(如求用“至少”表述的事件的概率)或难以入手时，可从其对立事件入手计算.【对点训练】某企业有甲、乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别为23和35.现安排甲组研发新产品A ，乙组研发新产品B .设甲、乙两组的研发相互独立.(1)求至少有一种新产品研发成功的概率；(2)若新产品A 研发成功，预计企业可获利润120万元；若新产品B 研发成功，预计企业可获利润100万元.求该企业可获利润的分布列.[解析] 记E ＝{甲组研发新产品成功}，F ＝{乙组研发新产品成功}，由题设知P (E )＝23，P (E )＝13，P (F )＝35，P (F )＝25，且事件E 与F ，E 与F ，E 与F ，E 与F 都相互独立.(1)记H ＝{至少有一种新产品研发成功}，则H ＝E F ， 于是P (H )＝P (E )P (F )＝13×25＝215，故所求的概率为P (H )＝1－P (H )＝1－215＝1315.(2)设企业可获利润为X (万元)，则X 的可能取值为0，100，120，220，因为P (X ＝0)＝P (E F )＝13 ×25＝215， P (X ＝100)＝P (E F )＝13×35＝315＝15， P (X ＝120)＝P (E F )＝23×25＝415， P (X ＝220)＝P (EF )＝23×35＝615＝25.故所求的分布列为【例3】空气质量指数(AirQuality Index ，简称AQI)是定量描述空气质量状况的指数，空气质量按照AQI 大小分为六级：0～50为优；51～100为良；101～150为轻度污染；151～200为中度污染；201～300为重度污染；300以上为严重污染.一环保人士记录去年某地六月10天的AQI 的茎叶图如图.(1)利用该样本估计该地六月空气质量为优良(AQI ≤100)的天数；(2)将频率视为概率，从六月中随机抽取3天，记三天中空气质量为优良的天数为ξ，求ξ的分布列.[解析] (1)从茎叶图中可以发现样本中空气质量为优的天数为2，空气质量为良的天数为4，∴该样本中空气质量为优良的频率为610＝35，从而估计该地六月空气质量为优良的天数为30×35＝18.(2)由(1)估计某天空气质量为优良的概率为35，ξ的所有可能取值为0，1，2，3，且ξ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，35. ∴P (ξ＝0)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫253＝8125，P (ξ＝1)＝C 13⎝ ⎛⎭⎪⎫35⎝ ⎛⎭⎪⎫252＝36125， P (ξ＝2)＝C 23⎝ ⎛⎭⎪⎫352⎝ ⎛⎭⎪⎫25＝54125，P (ξ＝3)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫353＝27125，ξ的分布列为【类题通法】利用独立重复试验概率公式可以简化求概率的过程，但需要注意检查该概率模型是否满足公式P(X＝k)＝C k n p k(1－p)n－k的三个条件：(1)在一次试验中某事件A发生的概率是一个常数p；(2)n次试验不仅是在完全相同的情况下进行的重复试验，而且各次试验的结果是相互独立的；(3)该公式表示n次试验中事件A恰好发生了k次的概率.【对点训练】从某企业生产的某种产品中抽取100件，测量这些产品的质量指标值.由测量结果得到如图所示的频率分布直方图，质量指标值落在区间[55，65)，[65，75)，[75，85]内的频率之比为4∶2∶1.(1)求这些产品质量指标值落在区间[75，85]内的频率；(2)若将频率视为概率，从该企业生产的这种产品中随机抽取3件，记这3件产品中质量指标值位于区间[45，75)内的产品件数为X，求X的分布列.[解析] (1)设这些产品质量指标值落在区间[75，85]内的频率为x，则落在区间[55，65)，[65，75)内的频率分别为4x，2x.依题意得(0.004＋0.012＋0.019＋0.030)×10＋4x＋2x＋x＝1，解得x＝0.05.所以这些产品质量指标值落在区间[75，85]内的频率为0.05.(2)由(1)得，这些产品质量指标值落在区间[45，75)内的频率为0.3＋0.2＋0.1＝0.6，将频率视为概率得p＝0.6.从该企业生产的这种产品中随机抽取3件，相当于进行了3次独立重复试验，所以X服从二项分布B(n，p)，其中n＝3，p＝0.6.因为X的所有可能取值为0，1，2，3，且P(X＝0)＝C03×0.60×0.43＝0.064，P(X＝1)＝C13×0.61×0.42＝0.288，P (X ＝2)＝C 23×0.62×0.41＝0.432， P (X ＝3)＝C 33×0.63×0.40＝0.216，所以X 的分布列为【例4】(1)已知随机变量ξ服从正态分布N(2，σ2)，且P (ξ<4)＝0.8，则P (0<ξ<2)＝( ) A ．0.6 B ．0.4 C ．0.3 D ．0.2(2)某班有50名学生，一次考试后数学成绩ξ(ξ∈N)近似服从正态分布N (100，102)，已知P (90≤ξ≤100)＝0.3，估计该班学生数学成绩在110分以上的人数约为________．[答案] (1) C (2) 10[解析] (1)画出正态曲线如图，结合图象知：P (ξ<0)＝P (ξ>4)＝1－P (ξ<4)＝1－0.8＝0.2，P (0<ξ<2)＝12P (0<ξ<4)＝12[1－P (ξ<0)－P (ξ>4)]＝12(1－0.2－0.2)＝0.3.(2)由题意，知P (ξ>110)＝1－2Pξ2＝0.2，所以该班学生数学成绩在110分以上的人数约为0.2×50＝10. 【类题通法】对于正态分布N (μ，σ2)，由x ＝μ是正态曲线的对称轴知：(1)对任意的a ，有P (X <μ－a )＝P (X >μ＋a )；(2)P (X <x 0)＝1－P (X ≥x 0)；(3)P (a <X <b )＝P (X <b )－P (X ≤a )．【对点训练】1．设随机变量ξ服从正态分布N(1，σ2)，若P (ξ<2)＝0.8，则P (0<ξ<1)的值为________． [答案] 0.3[解析] P (0<ξ<1)＝P (ξ<2)－P (ξ<1)＝0.8－0.5＝0.3.2．某地高三理科学生有15 000名，在一次调研测试中，数学成绩ξ服从正态分布N (100，σ2)，已知P (80<ξ≤100)＝0.35，若按成绩分层抽样的方式抽取100份试卷进行分析，则应从120分以上的试卷中抽取( )A ．5份B ．10份C ．15份D ．20份 [答案] C[解析] ∵数学成绩ξ服从正态分布N (100，σ2)，P (80<ξ≤100)＝0.35，∴P (80<ξ≤120)＝2×0.35＝0.70，∴P (ξ>120)＝12×(1－0.70)＝0.15，∴应抽取的份数为100×0.15＝15.。
2021年高考数学真题分类汇编 12.3 二项分布与正态分布 理
2021年高考数学真题分类汇编 12.3 二项分布与正态分布理考点一条件概率及二项分布1.(xx课标Ⅱ,5,5分)某地区空气质量监测资料表明,一天的空气质量为优良的概率是0.75,连续两天为优良的概率是0.6,已知某天的空气质量为优良,则随后一天的空气质量为优良的概率是( )A.0.8B.0.75C.0.6D.0.45答案 A2.(xx陕西,19,12分)在一块耕地上种植一种作物,每季种植成本为1 000元,此作物的市场价格和这块地上的产量均具有随机性,且互不影响,其具体情况如下表:作物产量(kg) 300 500概率0.5 0.5作物市场价格(元/kg) 6 10概率0.4 0.6(1)设X表示在这块地上种植1季此作物的利润,求X的分布列;(2)若在这块地上连续3季种植此作物,求这3季中至少有2季的利润不少于．．．2 000元的概率. 解析(1)设A表示事件“作物产量为300 kg”,B表示事件“作物市场价格为6元/kg”,由题设知P(A)=0.5,P(B)=0.4,∵利润=产量×市场价格-成本,∴X所有可能的取值为500×10-1 000=4 000,500×6-1 000=2 000,300×10-1 000=2 000,300×6-1 000=800.P(X=4 000)=P()P()=(1-0.5)×(1-0.4)=0.3,P(X=2 000)=P()P(B)+P(A)P()=(1-0.5)×0.4+0.5×(1-0.4)=0.5,P(X=800)=P(A)P(B)=0.5×0.4=0.2,所以X的分布列为X 4 000 2 000 800P 0.3 0.5 0.2(2)设C i表示事件“第i季利润不少于2 000元”(i=1,2,3),由题意知C1,C2,C3相互独立,由(1)知,P(C i)=P(X=4 000)+P(X=2 000)=0.3+0.5=0.8(i=1,2,3),3季的利润均不少于2 000元的概率为P(C1C2C3)=P(C1)P(C2)P(C3)=0.83=0.512;3季中有2季利润不少于2 000元的概率为P(C2C3)+P(C1C3)+P(C1C2)=3×0.82×0.2=0.384,所以,这3季中至少有2季的利润不少于2 000元的概率为0.512+0.384=0.896.考点二正态分布3.(xx课标Ⅰ,18,12分)从某企业生产的某种产品中抽取500件,测量这些产品的一项质量指标值,由测量结果得如下频率分布直方图:(1)求这500件产品质量指标值的样本平均数和样本方差s2(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表);(2)由直方图可以认为,这种产品的质量指标值Z服从正态分布N(μ,σ2),其中μ近似为样本平均数,σ2近似为样本方差s2.(i)利用该正态分布,求P(187.8<Z<212.2);(ii)某用户从该企业购买了100件这种产品,记X表示这100件产品中质量指标值位于区间(187.8,212.2)的产品件数.利用(i)的结果,求EX.附:≈12.2.若Z~N(μ,σ2),则P(μ-σ<Z< μ+σ)=0.682 6,P(μ-2σ<Z< μ+2σ)=0.954 4.解析(1)抽取产品的质量指标值的样本平均数和样本方差s2分别为=170×0.02+180×0.09+190×0.22+200×0.33+210×0.24+220×0.08+230×0.02=200,s2=(-30)2×0.02+(-20)2×0.09+(-10)2×0.22+0×0.33+102×0.24+202×0.08+302×0.02=15 0.(2)(i)由(1)知,Z~N(200,150),从而P(187.8<Z<212.2)=P(200-12.2<Z<200+12.2)=0.682 6.(ii)由(i)知,一件产品的质量指标值位于区间(187.8,212.2)的概率为0.682 6,依题意知X~B(100,0.682 6),所以EX=100×0.682 6=68.26.34642 8752 蝒227136 6A00 樀9 34195 8593 薓Xb38745 9759 静X36789 8FB5 辵u35896 8C38 谸30623 779F 瞟。
高考试题解析第十一章第8节二项分布及正态分布
4
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考点聚集突破
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4.正态分布 (1)X～N(μ，σ2)，表示X服从参数为__μ_和__σ_2__的正态分布. (2)正态分布密度函数的性质 ①函数图像关于__直__线__x_＝__μ___对称； ②___σ_(_σ_>_0_)_的__大__小___决定图像的“胖”“瘦”； ③P(μ－σ<X<μ＋σ)＝__6_8_.3_%___； P(μ－2σ<X<μ＋2σ)＝__9_5_.4_%___ ； P(μ－3σ<X<μ＋3σ)＝__9_9_.7_%___.
5
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[微点提醒] 1.相互独立事件与互斥事件的区别
相互独立事件是指两个事件发生的概率互不影响，计算式为P(AB)＝P(A)P(B)，互斥 事件是指在同一试验中，两个事件不会同时发生，计算公式为P(A+B)＝P(A)＋P(B). 2.若X服从正态分布，即X～N(μ，σ2)，要充分利用正态曲线的关于直线X＝μ对称和曲 线与x轴之间的面积为1.
D.12
解析 根据题意，恰有一人获得一等奖就是甲获得乙没有获得或甲没有获得乙获
得，则所求概率是23×1－34＋34×1－23＝152. 答案 D
12
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6.(2019·合肥联考)已知随机变量X～N(1，σ2)，若P(X>0)＝0.8，则P(X≥2)＝________. 解析 随机变量X服从正态分布N(1，σ2)，∴正态曲线关于x＝1对称，∴P(X≥2)＝ P(X≤0)＝1－P(X>0)＝0.2. 答案 0.2
第59讲 二项分布及其应用、正态分布(解析版)
可得 ， 1 − p
=
1.44 2.4
=
0.6
， ． ∴p = 0.4
n
=
2.4 0.4
=
6
故选B
简单 已测：4237次 正确率：82.3%
6. 某小区有1000戶,各戶每月的用电量近似服从正态分布N(300, 100),则用电量在320度以上的戶 数估计约为（） [参考数据:若随机变量ξ服从正态分布N(μ, σ2),则P(μ − σ<ξ<μ + σ) = ， 68.26% P (μ − 2σ<ξ<μ + 2σ) = ， 95.44% P (μ − 3σ<ξ<μ + 3σ) = 99.74%] A. 17
中等 已测：4890次 正确率：57.6%
7. 以下四个命题中：
①为了了解800名学生对学校某项教改试验的意⻅，打算从中抽取一个容量为40的样本，考虑用系
统抽样，则分段的间隔k为40．
②线性回归直线方程y = bx + a恒过样本中心(x, y)，且至少过一个样本点；
③在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布N (2, σ2) (σ>0)．若ξ在(−∞, 1)内取值的概率为
0.1，则ξ在(2, 3)内取值的概率为0.4；
其中真命题的个数为（）
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
考点：系统抽样方法、利用回归直线估计总体
知识点：系统抽样的概念、正态分布
答案：B
解析：①由题意知本题是一个系统抽样，总体中个体数是800，样本容量是40，根据系统抽样的步骤，得到分段的
间隔K
=
800 40
. E(η) = 8 − E(ξ) = 8 − 6 = 2, D(η) = D(ξ) = 2.4
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专题十一 概率与统计第三十六讲二项分布及其应用、正态分布一、选择题1．（2015湖北）设211(,)X N μσ:，222(,)Y N μσ:，这两个正态分布密度曲线如图所示．下列结论中正确的是A ．21()()P Y P Y μμ≥≥≥B ．21()()P X P X σσ≤≤≤C ．对任意正数t ，()()P X t P Y t ≤≥≤D ．对任意正数t ，()()P X t P Y t ≥≥≥2．（2015山东）已知某批零件的长度误差（单位：毫米）服从正态分布2(0,3)N ，从中随机取一件，其长度误差落在区间(3,6)内的概率为（附：若随机变量ξ服从正态分布2(,)N μσ，则()68.26%P μσξμσ-<<+=，(22)95.44%P μσξμσ-<<+=）A ．4.56%B ．13.59%C ．27.18%D ．31.74%3．（2014新课标2）某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是A ．0．8B ．0．75C ．0．6D ．0．45 4.（2011湖北）已知随机变量ξ服从正态分布()2,2σN ，且()8.04=<ξP ，则()=<<20ξPA ．6.0B ．4.0C ．3.0D ．2.0二、填空题5．（2017新课标Ⅱ）一批产品的二等品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次，错误!未找到引用源。
表示抽到的二等品件数，则DX = ． 6．（2016四川）同时抛掷两枚质地均匀的硬币，当至少有一枚硬币正面向上时，就说这次试验成功，则在2次试验中成功次数X 的均值是 ．7．（2015广东）已知随机变量X 服从二项分布(),n p B ，若()30E X =，()20D X =，则p = ．8．（2012新课标）某一部件由三个电子元件按下图方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则部件正常工作。
设三个电子元件的使用寿命（单位：小时）均服从正态分布)50,1000(2N ，且各个元件能否正常工作相互独立，那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为．三、解答题9．（2017新课标Ⅰ）为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸(单位：cm)．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布2(,)N μσ．(1)假设生产状态正常，记X 表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在(3,3)μσμσ-+之外的零件数，求(1)P X ≥及X 的数学期望；(2)一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在(3,3)μσμσ-+之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查． (ⅰ)试说明上述监控生产过程方法的合理性； (ⅱ)下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸： 经计算得16119.9716i i x x ===∑错误!未找到引用源。
，s ==0.212≈错误!未找到引用源。
，其中i x 为抽取的第i 个零件的尺寸，i =1，2，…，16． 用样本平均数x 作为μ的估计值错误!未找到引用源。
ˆμ，用样本标准差s 作为σ的估计值ˆσ，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除错误!未找到引用源。
之外的数据，用剩下的数据估计μ和σ (精确到0．01)．附：若随机变量Z 服从正态分布2(,)N μσ，则(33)P Z μσμσ-<<+=0．997 4，160.99740.9592≈0.09≈．10．（2016新课标Ⅱ）某险种的基本保费为a （单位：元），继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下： （Ⅰ）求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率；（Ⅱ）若一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出60%的概率； （Ⅲ）求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值．11．（2015湖南）某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额商品后即可抽奖，每次抽奖都从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中，各随机摸出1个球，在摸出的2个球中，若都是红球，则获一等奖；若只有1个红球，则获二等奖；若没有红球，则不获奖．（1）求顾客抽奖1次能获奖的概率；（2）若某顾客有3次抽奖机会，记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为X ，求X 的分布列和数学期望．12．（2015湖北）某厂用鲜牛奶在某台设备上生产,A B 两种奶制品．生产1吨A 产品需鲜牛奶2吨，使用设备1小时，获利1000元；生产1吨B 产品需鲜牛奶1.5吨，使用设备1.5小时，获利1200元．要求每天B 产品的产量不超过A 产品产量的2倍，设备每天生产,A B两种产品时间之和不超过12小时. 假定每天可获取的鲜牛奶数量W（单位：吨）是一个随机变量，其分布列为W12 15 18P0.3 0.5 0.2该厂每天根据获取的鲜牛奶数量安排生产，使其获利最大，因此每天的最大获利Z（单位：元）是一个随机变量．（Ⅰ）求Z的分布列和均值；（Ⅱ）若每天可获取的鲜牛奶数量相互独立，求3天中至少有1天的最大获利超过10000元的概率．13．（2015新课标Ⅱ）某公司为了解用户对其产品的满意度，从A，B两地区分别随机调查了20个用户，得到用户对产品的满意度评分如下：A地区：62 73 81 92 95 85 74 64 53 7678 86 95 66 97 78 88 82 76 89B地区：73 83 62 51 91 46 53 73 64 8293 48 65 81 74 56 54 76 65 79（Ⅰ）根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图，并通过茎叶图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度（不要求计算出具体值，得出结论即可）；（Ⅱ）根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个等级：满意度评分低于70分70分到89分不低于90分满意度等级不满意满意非常满意记事件C：“A地区用户的满意度等级高于B地区用户的满意度等级”，假设两地区用户的评价结果相互独立，根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求C的概率．14．（2014山东）甲、乙两支排球队进行比赛，约定先胜3局者获得比赛的胜利，比赛随即结束．除第五局甲队获胜的概率是12外，其余每局比赛甲队获胜的概率是23．假设各局比赛结果互相独立．（1）分别求甲队以3:0，3:1，3:2胜利的概率（2）若比赛结果为3:0或3:1，则胜利方得3分，对方得0分；若比赛结果为3:2，则胜利方得2分、对方得1分，求乙队得分X 的分布列及数学期望．15．（2014陕西）在一块耕地上种植一种作物，每季种植成本为1000元，此作物的市场价格和这块地上的产量具有随机性，且互不影响，其具体情况如下表：（Ⅰ）设X 表示在这块地上种植1季此作物的利润，求X 的分布列；（Ⅱ）若在这块地上连续3季种植此作物，求这3季中至少有2季的利润不少于2000元的概率．16．（2014广东）随机观测生产某种零件的某工厂25名工人的日加工零件数（单位：件），获得数据如下：30，42，41，36，44，40，37，37，25，45，29，43，31，36，49，34，33，43，38，42，32，34，46，39，36，根据上述数据得到样本的频率分布表如下：分组 频数 频率 [25,30 ] 3 0.12 (30,35 ] 5 0.20 (35,40 ] 80.32(40,45 ] 1n 1f(45,50 ]2n2f（1）确定样本频率分布表中121,,n n f 和2f 的值； （2）根据上述频率分布表，画出样本频率分布直方图；（3）根据样本频率分布直方图，求在该厂任取4人，至少有1人的日加工零件数落在区间（30,35］的概率．17．（2011大纲）根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0.3，设各车主购买保险相互独立.(Ⅰ)求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的l 种的概率；(Ⅱ)X 表示该地的l00位车主中，甲、乙两种保险都不购买的车主数．求X 的期望．专题十一 概率与统计第三十六讲二项分布及其应用、正态分布答案部分1．C 【解析】由正态分布密度曲线的性质可知，211(,)X N μσ:，222(,)Y N μσ:的密度曲线分别关于直线1x μ=，2x μ=对称，因此结合题中所给图象可得，12μμ<，所以21()()P Y P Y μμ<≥≥，故A 错误．又211(,)X N μσ:得密度曲线较222(,)Y N μσ:的密度曲线“瘦高”，所以12σσ<，所以21()()P X P X σσ>≤≤，B 错误．对任意正数t ，()()P X t P Y t ≤≥≤，()()P X t P Y t ≥≥≥，C 正确，D 错误． 2．B 【解析】1(36)(95.44%68.26%)13.59%2P ξ<<=-=． 3．A 【解析】根据条件概率公式()(|)()P AB P B A P A =，可得所求概率为0.60.80.75=． 4．C 【解析】如图，正态分布的密度函数示意图所示，函数关于直线2=x 对称，所以()5.02=<ξP()()4220<<=<<ξξP P则()()()2420<-<=<<ξξξP P P3.05.08.0=-=所以选C.5．1.96【解析】由题意可得，抽到二等品的件数符合二项分布，即()~100,0.02X B ，由二项分布的期望公式可得()11000.020.98 1.96DX np p =-=⨯⨯=6．32【解析】同时抛掷两枚质地均匀的硬币，可能的结果有（正正），（正反），（反正），（反反），所以在1次试验中成功次数ξ的取值为0,1,2，其中111(0),(1),(2),424P P P ξξξ====== 在1次试验中成功的概率为113(1)424P ξ=+=≥，所以在2次试验中成功次数X 的概率为12313(1)448P X C ==⨯=，239(2)()416P X ===，393128162EX =⨯+⨯=．解法2由题意知，实验成功的概率34p =，故3(2,)4X B :，所以33()242E X =⨯=．7．13【解析】由30(1)20np np p =⎧⎨-=⎩，得13p =．8．38【解析】 三个电子元件的使用寿命均服从正态分布2(1000,50)N 得：三个电子元件的使用寿命超过1000小时的概率为12p =，超过1000小时时元件1或元件2正常工作的概率2131(1)4P p =--=， 那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为2138p p p =⨯=．9．【解析】（1）抽取的一个零件的尺寸在(3,3)μσμσ-+之内的概率为0．9974，从而零件的尺寸在(3,3)μσμσ-+之外的概率为0．0026，故~(16,0.0026)X B ．因此(1)1(0)10.99740.0408P X P X ≥=-==-=．X 的数学期望为160.00260.0416EX =⨯=．（2）（i ）如果生产状态正常，一个零件尺寸在(3,3)μσμσ-+之外的概率只有0．0026，一天内抽取的16个零件中，出现尺寸在(3,3)μσμσ-+之外的零件的概率只有0．0408，发生的概率很小．因此一旦发生这种情况，就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查，可见上述监控生产过程的方法是合理的．（ii ）由9.97x =，0.212s ≈，得μ的估计值为ˆ9.97μ=，σ的估计值为 ˆ0.212σ=，由样本数据可以看出有一个零件的尺寸在ˆˆˆˆ(3,3)μσμσ-+之外，因此需对当天的生产过程进行检查．剔除ˆˆˆˆ(3,3)μσμσ-+之外的数据9．22，剩下数据的平均数为 1(169.979.22)10.0215⨯-=， 因此μ的估计值为10．02．162221160.212169.971591.134ii x==⨯+⨯≈∑，剔除ˆˆˆˆ(3,3)μσμσ-+之外的数据9．22，剩下数据的样本方差为 221(1591.1349.221510.02)0.00815--⨯≈，因此σ0.09≈．10．【解析】（Ⅰ）设续保人本年度的保费高于基本保费为事件A ，()1()1(0.300.15)0.55P A P A =-=-+=．（Ⅱ）设续保人保费比基本保费高出60%为事件B ， ()0.100.053()()0.5511P AB P B A P A +===． （Ⅲ）解：设本年度所交保费为随机变量X ．平均保费0.850.300.15 1.250.20 1.50.20 1.750.1020.05EX a a a a a =⨯++⨯+⨯+⨯+⨯0.2550.150.250.30.1750.1 1.23a a a a a a a =+++++=，∴平均保费与基本保费比值为1.23．11．【解析】（Ⅰ）记事件1A =｛从甲箱中摸出的1个球是红球｝，2A =｛从乙箱中摸出的1个球是红球｝，1B =｛顾客抽奖1次获一等奖｝，2B =｛顾客抽奖1次获二等奖｝，C =｛顾客抽奖1次能获奖｝．由题意，1A 与2A 相互独立，12A A 与12A A 互斥，1B 与2B 互斥， 且1B =12A A ，2B =12A A +12A A ，C=1B +2B ．因P (1A )=410=25，P (2A )=510=12， 所以P (1B )=P (12A A )=P (1A )P (2A )=25⨯12=15， P (2B )=P (12A A +12A A )=P (12A A )+P (12A A )=P (1A ) (1-P (2A ))+(1-P (1A ))P (2A )=25⨯(1-12)+(1-25)⨯12=12，故所求概率为P (C)= P (1B +2B )=P (1B )+P (2B )=15+12=710. （Ⅱ）顾客抽奖3次独立重复试验，由（I ）知，顾客抽奖1次获一等奖的概率为15， 所以1(3,)5X B :．于是 P (X =0)=003314()()55C =64125，P (X =1)=112314()()55C =48125， P (X =2)=221314()()55C =12125，P (X =3)=330314()()55C =1125 ． 故X 的分布列为X 的数学期望为 E (X )=3⨯5=5．12．【解析】（Ⅰ）设每天,A B 两种产品的生产数量分别为,x y ，相应的获利为z ，则有2 1.5,1.512, 20,0, 0.x y W x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎨-≥⎪⎪≥≥⎩（1）目标函数为10001200z x y =+．当12W =时，（1）表示的平面区域如图1，三个顶点分别为(0, 0), (2.4, 4.8), (6, 0)A B C ．将10001200z x y =+变形为561200zy x =-+，当 2.4, 4.8x y ==时，直线l ：561200zy x =-+在y 轴上的截距最大，最大获利max 2.41000 4.812008160Z z ==⨯+⨯=．当15W =时，（1）表示的平面区域如图2，三个顶点分别为(0, 0), (3, 6), (7.5, 0)A B C ．将10001200z x y =+变形为561200zy x =-+，第10题解答图1 第10题解答图2第10题解答图3当3, 6x y ==时，直线l ：561200zy x =-+在y 轴上的截距最大，最大获利max 310006120010200Z z ==⨯+⨯=． 当18W =时，（1）表示的平面区域如图3， 四个顶点分别为(0, 0), (3, 6), (6, 4), (9, 0)A B C D ．将10001200z x y =+变形为561200zy x =-+，当6,4x y ==时，直线l ：561200zy x =-+在y 轴上的截距最大，最大获利max 610004120010800Z z ==⨯+⨯=． 故最大获利Z 的分布列为Z 8160 10200 10800 P0.30.50.2因此，（Ⅱ）由（Ⅰ）知，一天最大获利超过10000元的概率1(10000)0.50.20.7p P Z =>=+=， 由二项分布，3天中至少有1天最大获利超过10000元的概率为3311(1)10.30.973p p =--=-=．13．【解析】（Ⅰ）两地区用户满意度评分的茎叶图如下通过茎叶图可以看出，A 地区用户满意度评分的平均值高于B 地区用户满意度评分的平均值；A 地区用户满意度评分比较集中，B 地区用户满意度评分比较分散． （Ⅱ）记1A C 表示事件：“A 地区用户满意度等级为满意或非常满意”；2A C 表示事件：“A 地区用户满意度等级为非常满意”； 1B C 表示事件：“B 地区用户满意度等级为不满意”； 2B C 表示事件：“B 地区用户满意度等级为满意”．则1A C 与1B C 独立，2A C 与2B C 独立，1B C 与2B C 互斥，1122B A B A C C C C C =U ． 1122()()B A B A P C P C C C C =U 1122()()B A B A P C C P C C =+1122()()()()B A B A P C P C P C P C =+．由所给数据得1A C ，2A C ，1B C ，2B C 发生的概率分别为1620，420，1020，820． 故1()A P C 16=20，2()=A P C 420，1()=B P C 1020，2()B P C 8=20， 故101684()=+0.4820202020P C ⨯⨯=． 14．【解析】：（1）记“甲队以3：0胜利”为事件1A ，“甲队以3：1胜利”为事件2A ，“甲队以3：2胜利”为事件3A ，由题意，各局比赛结果相互独立， 故3128()()327P A ==， 22232228()()(1)33327P A C =-⨯=， 122342214()()(1)33227P A C =-⨯= 所以，甲队以3：0,3:1,3:2胜利的概率分别是827，827，427； （2）设“乙队以3:2胜利”为事件4A ，由题意，各局比赛结果相互独立，所以122442214()(1)()(1)33227P A C =-⨯-= 由题意，随机变量X 的所有可能的取值为0,1,2,3，，根据事件的互斥性得1212(0)()()()P X P A A P A P A ==+=+1627=, 34(1)()27P X P A ===, 44(2)()27P X P A ===, (3)P X ==1-(0)P X =(1)P X -=(2)P X -=327=故X 的分布列为所以16012327272727EX =⨯+⨯+⨯+⨯9=．15．【解析】（Ⅰ）设A 表示事件“作物产量为300kg ”，B 表示事件“作物市场价格为6元／kg ”．由题设知()0.5P A =，()0.4P B =．因为利润=产量⨯市场价格-成本，所以X 所有可能的取值为5001010004000⨯-=，500610002000⨯-=3001010002000⨯-=，30061000800⨯-=(4000)()()(10.5)(10.4)0.3P X P A P B ===--=,(2000)()()()()(10.5)0.40.5(10.4)0.5P X P A P B P A P B ==+=-⨯+⨯-=, (800)()()0.50.40.2P X P A P B ===⨯=,所以X 的分布列为（Ⅱ）设i C 表示事件“第i 季利润不少于2000元”(1,2,3)i =，由题意知123,,C C C 相互独立，由（1）知，()(4000)(2000)0.30.50.8i P C P X P X ==+==+=(1,2,3)i =3季利润均不少于2000元的概率为3123123()()()()0.80.512P C C C P C P C P C ===3季中有2季利润不少于2000元的概率为2123123123()()()30.80.20.384P C C C P C C C P C C C ++=⨯⨯=所以，这3季中至少有2季的利润不少于2000元的概率为0.5120.3840.896+=16．【解析】：（1）127,2n n ==，120.28,0.08f f ==；（2）样本频率分布直方图为（3）根据样本频率分布直方图，每人的日加工零件数落在区间（30,35］的概率0．2，设所取的4人中，日加工零件数落在区间（30,35］的人数为ξ，则~(4,0.2)B ξ， 4(1)1(0)1(10.2)10.40960.5904P P ξξ≥=-==--=-=，所以4人中，至少有1人的日加工零件数落在区间（30,50］的概率约为0．5904．17．【解析】记A 表示事件: 该地的1位车主购买甲种保险；B 表示事件: 该地的1位车主购买乙种保险但不购买甲种保险；C 表示事件: 该地的1位车主至少购买甲、乙两种保险中的l 种；D 表示事件: 该地的1位车主甲、乙两种保险都不购买.（Ⅰ）()0.5P A =, ()0.3P B =, C A B =+()()()()0.8P C P A B P A P B =+=+= （Ⅱ）D C =,()1()10.80.2P D P C =-=-=(100,0.2)X B :,即X 服从二项分布,所以期望1000.220EX =⨯=．。