高中数学希望杯竞赛高一(复试)(真题含详细答案)

高中数学希望杯竞赛高一（复试）（真题含详细答案）

详细答案

选择题

1. A 简单，仅3、4、5一种；

2. C 注意集合A的元素是y；

3. A 简单，等价于|2x-1|<1/3

4. B 特殊值法，取等边三角形即可；事实上，锐角三角形中，恒有sinA>cosB

这里A、B位置可交换；

5. B 因为a=1/(1-a)无实数解，故而不可能只有1个元素。设a是其元素，1/(1-a)

也是其元素且不等于a，于是1/[1-1/(1-a)]也是其元素，令它等于a，此时有解

于是A={2,1/2,-1}

6. 题目遗漏

7．D 注意旋转体的上下差异。可以取下面的一半来算：先将下面的一半分成两部分然后相加即可。

8．D 设直线交y轴于D。∠BOA=120°，于是r=4/√3,然后解△BOD，正弦求出面积，余弦

求BD ，解得距离

9．B 理解题意。先算得y=(x+2)(x+2)-7，作出两个函数的图像，简单看一下即可

10．D 特殊值法，算出a1，a2即可。

填空题

11．1/2012 令x=1,迭代前面几个，找出规律

12. 7 注意，360/(a-x)和-360/(a-x)都是A中元素，两者的x和为2a，而

360的正因子共有4*3*2=24个，故而2a*24=336,解得a=7

13. 简单，注意到a为负！令a= -1即可

14．−√3或√3将集合A化简，可得x=sina, y=1+cosa ,于是x2+(y−1)2=1,和直线相切15．两小时中行驶的路程为210或110，除以2即可

16．3 5

变形，y=2011x

x−2011

, 先考虑正整数情况

由于2011为素数，故而x-2011=1或x-2011=2011或x

x−2011

为正整数

而x

x−2011=x−2011+2011

x−2011

=1+2011

x−2011

,所以x-2011=1或x-2011=2011

注意到x，y位置可互换。

整数情形类似。此时要对称的考虑负数情况

17．作B关于直线L的对称点，连接AB并延长，交直线L于M，M点即为所求

18．简单。{a n}是首项为-2，公比为-3的等比数列

19．去绝对值，分别算出两种情形下的面积，相加。

20．注意到，等式左右两边分别是x，y，其实这种情形可以立即看出答案，

左边的最大值=右边的最小值。简单化简后cosx-sinx=√2,siny=1

解答题

21 此题简单至极。估计参加杯赛的都会，不附答案了。

22．此题也非常容易。注意到第二问，画出函数（分段）图像，简单看一下即可知道结果。23．唯一有点分量的题目。雨来哥哥个人觉得题目略有歧义，猜测出题者的意思，应该是只考虑队间胜负情况，而与具体选手无关。

由于比赛场次只可能是6,7,8三种情况，下面分类讨论。

为叙述简单，以下约定ABC表示各代表队选手出局。比如，前三场分别是B胜C，A胜B，A胜C，则可记为：CBC 这里的唯一规则是，不能连续出现BB（或CC），除非C（或B）已经全部出局。

由于BC先赛，不妨设B胜，故而只需将以下结果乘以2即可。

1）赛6场

此时A队全胜，没有字母A出现，故而只能是：

CBCBCB

共1种

2）赛7场

此时A队输一场，只能出现一次A，故而：

CACBCBB 或CABCBCB

CBABCBC 或CBACBCB

CBCACBC 或CBCABCB

CBCBABC 或CBCBACB

CBCBCAB

这里的排列规则是，A出现时，其后一位可以是B或C，但最后一种情况例外，此时C已经全部出局了

共9种

3）赛8场

此时A队输两场，出现两次A，故而：

A出现在2、4位，

CACACBBB 等4种，即是A出现时，其后一位可以是B或C

A出现在2、5位，

CACBACBB 等4种

A出现在2、6位，

CACBCABB , 此时倒数三位只能是ABB，因为C已全部出局

CABCBABC

CABCBACB 3种

A出现在2、7位

CABCBCAB

CACBCBAB 共2种

A出现在3、5位

CBABABCC 等4种

A出现在3、6位，

CBABCABC 等4种

A出现在3、7位

CBABCBAC

CBACBCAB 2种

A出现在4、6位

CBCABABC

CBCACABB

CBCABACB 3种

A出现在4、7位置

CBCBACAB

CBCBABAC 2种

A出现在5、7位置

CBCBABAC

CBCBACAB 2种

A出现在6、7位置(此种情况最容易遗漏，因为C已全部出局，故A可以连续)

CBCBCAAB

所以总共41*2=82种

上述算法如有遗漏，请各位同学按照上述分类方法，自己算一下。