圆周率的计算数学实验报告
合集下载
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
3.概率方法
编写程序：
m=0;
for i=1:100000
x=rand;
y=rand;
if x^2+y^2<=1;
m=m+1;
else end
end
4*m/100000
得π≈3.136000000000000
n=100000时，
π≈3.139920000000000
4.数值积分方法
利用公式
设分点x1,x2,…xn-1将积分区间[0,1]分成n等分。
编写程序：
n=10000;
x=linspace(0,1,n+1);
y=sqrt(1-x.^2);
h=1/n;
ans=vpa(4*h*trapz(y),11)
得π≈3.1415914776
n=100000时，
得π≈3.1415926164
四、实验结果分析：
1.古典方法：这种方法基于几何原理，计算量大，速度慢；
end
y=2*x
得k=10时，π≈3.067703806643498
增加k的值
K=20，π≈3.103516961539230
K=50，π≈3.126078900215409
K=100，π≈3.133787490628159
K=10000，π≈3.141514118681864
K=1000000，π≈3.141591868191880
2.分析方法：(1)逼近速度太慢，运算庞大，对速度造成了很大影响；
(2)逼近速度还是较慢；
相比(1)(2)来说，(3)(4)的优势就显得十分明显，逼近的速度大大增加，而且麦琴(Machin).准确求得了π的一百位小数；
3.概率方法：这样方法随机性很大，同一个实验次数，得出的π并不相同，有时差别还会很大，所以这种方法很难得到π较好的近似值；
得π≈3.141592653589793238462643383279502884197169399375133430982093161171386628479498818593945774941040426
(4).麦琴(Machin)给出
推出π=4( )
编写程序：
syms n;
f1=(-1)^(n-1)*(1/5)^(2*n-1)/(2*n-1);
所有的曲边梯形的宽度都是h=1/n。记yi=
f(xi).则第i个曲边梯形的面积A近似地等于梯形面积，即：
A=(y(i-1)+yi)h/2。
将所有这些梯形面积加起来就得到：
A≈2/n[2(y1+y2+…yn-1)+y0+yn]
编写程序：
n=10000;
x=linspace(0,1,n+1);
y=1./(1+x.^2);
h=1/n;
ans=vpa(4*h*trapz(y),11)
得π≈3.1415926519
n=100000时，
编写程序：
n=100000;
x=linspace(0,1,n+1);
y=1./(1+x.^2);
h=1/n;
ans=vpa(4*h*trapz(y),11)
得π≈
3.1415926536
也可利用积分公式
…
(3).利用公式
推出π=4( )
编写程序：
syms n;
f1=(-1)^(n-1)*(1/2)^(2*n-1)/(2*n-1);
f2=(-1)^(n-1)*(1/3)^(2*n-1)/(2*n-1);
ans1=symsum(f1,n,1,79);
ans2=symsum(f2,n,1,79);
ans=vpa(4*(ans1+ans2),100)
推出：96sin < <96tan
编写matlab程序
formatlong
x=sin(pi/96)
y=96*x
得：96sin =
3.141031950890509
formatlong
x=tan(pi/96)
y=96*x
得：96tan =
3.142714599645368
3.141031950890509< <3.142714599645368
依次，加大k的值
K=50，π≈3.161198612987050
K=100，π≈3.1514934010709பைடு நூலகம்0
K=200，π≈3.146567747182986e+159
…
(2).沃里斯(Wallis)方法
编写程序：
format long
x=1;
for k=1:10
x=x*(2*k/(2*k-1)*2*k/(2*k+1));
2.分析方法
(1).由公式
推出 =4
编写程序
symsk
x=symsum((-1)^k/(2*k+1),k,0,10)
y=4*x
得出当k=10时，π≈3.232315809405593
编写程序
symsk
x=symsum((-1)^k/(2*k+1),k,0,20)
y=4*x
得出当k=20时，π≈3.189184782277595
4.数值积分法：还是不如分析方法中的(3)(4)，计算量较大。
f2=(-1)^(n-1)*(1/239)^(2*n-1)/(2*n-1);
ans1=symsum(f1,n,1,28);
ans2=symsum(f2,n,1,28);
ans=vpa(4*(4*ans1-ans2),100)
得π≈
3.141592653589793238462643383279502884197130451046268578972203255663716036677133432949011735665451127
数学实验报告（二）
一、实验题目：圆周率的计算
二、实验目的：
1.用多种方法计算圆周率 的值；
2.通过实验来说明各种方法的优劣；
3.尝试提出新的计算方法。
三、实验内容和方法：
1.古典方法：
用圆内接正多边形和圆外切正多边形来逼近
以阿基米德的圆内接96边形和圆外切96边形逼近为例
已知：sin < <tan ，另 = /96
编写程序：
m=0;
for i=1:100000
x=rand;
y=rand;
if x^2+y^2<=1;
m=m+1;
else end
end
4*m/100000
得π≈3.136000000000000
n=100000时，
π≈3.139920000000000
4.数值积分方法
利用公式
设分点x1,x2,…xn-1将积分区间[0,1]分成n等分。
编写程序：
n=10000;
x=linspace(0,1,n+1);
y=sqrt(1-x.^2);
h=1/n;
ans=vpa(4*h*trapz(y),11)
得π≈3.1415914776
n=100000时，
得π≈3.1415926164
四、实验结果分析：
1.古典方法：这种方法基于几何原理，计算量大，速度慢；
end
y=2*x
得k=10时，π≈3.067703806643498
增加k的值
K=20，π≈3.103516961539230
K=50，π≈3.126078900215409
K=100，π≈3.133787490628159
K=10000，π≈3.141514118681864
K=1000000，π≈3.141591868191880
2.分析方法：(1)逼近速度太慢，运算庞大，对速度造成了很大影响；
(2)逼近速度还是较慢；
相比(1)(2)来说，(3)(4)的优势就显得十分明显，逼近的速度大大增加，而且麦琴(Machin).准确求得了π的一百位小数；
3.概率方法：这样方法随机性很大，同一个实验次数，得出的π并不相同，有时差别还会很大，所以这种方法很难得到π较好的近似值；
得π≈3.141592653589793238462643383279502884197169399375133430982093161171386628479498818593945774941040426
(4).麦琴(Machin)给出
推出π=4( )
编写程序：
syms n;
f1=(-1)^(n-1)*(1/5)^(2*n-1)/(2*n-1);
所有的曲边梯形的宽度都是h=1/n。记yi=
f(xi).则第i个曲边梯形的面积A近似地等于梯形面积，即：
A=(y(i-1)+yi)h/2。
将所有这些梯形面积加起来就得到：
A≈2/n[2(y1+y2+…yn-1)+y0+yn]
编写程序：
n=10000;
x=linspace(0,1,n+1);
y=1./(1+x.^2);
h=1/n;
ans=vpa(4*h*trapz(y),11)
得π≈3.1415926519
n=100000时，
编写程序：
n=100000;
x=linspace(0,1,n+1);
y=1./(1+x.^2);
h=1/n;
ans=vpa(4*h*trapz(y),11)
得π≈
3.1415926536
也可利用积分公式
…
(3).利用公式
推出π=4( )
编写程序：
syms n;
f1=(-1)^(n-1)*(1/2)^(2*n-1)/(2*n-1);
f2=(-1)^(n-1)*(1/3)^(2*n-1)/(2*n-1);
ans1=symsum(f1,n,1,79);
ans2=symsum(f2,n,1,79);
ans=vpa(4*(ans1+ans2),100)
推出：96sin < <96tan
编写matlab程序
formatlong
x=sin(pi/96)
y=96*x
得：96sin =
3.141031950890509
formatlong
x=tan(pi/96)
y=96*x
得：96tan =
3.142714599645368
3.141031950890509< <3.142714599645368
依次，加大k的值
K=50，π≈3.161198612987050
K=100，π≈3.1514934010709பைடு நூலகம்0
K=200，π≈3.146567747182986e+159
…
(2).沃里斯(Wallis)方法
编写程序：
format long
x=1;
for k=1:10
x=x*(2*k/(2*k-1)*2*k/(2*k+1));
2.分析方法
(1).由公式
推出 =4
编写程序
symsk
x=symsum((-1)^k/(2*k+1),k,0,10)
y=4*x
得出当k=10时，π≈3.232315809405593
编写程序
symsk
x=symsum((-1)^k/(2*k+1),k,0,20)
y=4*x
得出当k=20时，π≈3.189184782277595
4.数值积分法：还是不如分析方法中的(3)(4)，计算量较大。
f2=(-1)^(n-1)*(1/239)^(2*n-1)/(2*n-1);
ans1=symsum(f1,n,1,28);
ans2=symsum(f2,n,1,28);
ans=vpa(4*(4*ans1-ans2),100)
得π≈
3.141592653589793238462643383279502884197130451046268578972203255663716036677133432949011735665451127
数学实验报告（二）
一、实验题目：圆周率的计算
二、实验目的：
1.用多种方法计算圆周率 的值；
2.通过实验来说明各种方法的优劣；
3.尝试提出新的计算方法。
三、实验内容和方法：
1.古典方法：
用圆内接正多边形和圆外切正多边形来逼近
以阿基米德的圆内接96边形和圆外切96边形逼近为例
已知：sin < <tan ，另 = /96