2.2.2-2.2.3 双曲线的参数方程 抛物线的参数方程 课件(人教A选修4-4)

(t 为参
数)，其中 p>0，焦点为 F，准线为 l.过抛物线上一点 M 作 l 的垂 线， 垂足为 E.若|EF|＝|MF|， M 的横坐标是 3， p＝________. 点 则
[命题立意]
本题考查抛物线的参数方程与普通方程的互化
及抛物线定义的应用．
[解析]
由题意知，抛物线的普通方程为 y2＝2px(p>0)，焦点
[研一题] [ 例 3]
x＝4secθ， y＝3tan θ
如果椭圆右焦点和右顶点分别是双曲线 (θ 为参数)的右顶点和右焦点，求该椭圆上的点到双
曲线渐近线的最大距离．
[精讲详析]
本题考查椭圆及双曲线的参数方程， 解答本题需
要先将双曲线化为普通方程并求得渐近线方程，然后根据已知条 件求出椭圆的参数方程求解即可． x2 y2 ∵16－ 9 ＝1，∴右焦点(5,0)，右顶点(4,0)．
2．如何由双曲线的参数方程判断焦点的位置？
提示：如果 x 对应的参数形式是 asecφ，则焦点在 x 轴上； 如果 y 对应的参数形式是 asecφ，则焦点在 y 轴上． 2p x＝tan 2α， 3． 若抛物线的参数方程表示为 则参数 α 的几何意 y＝ 2p . tan α
义是什么？
[研一题] [例 2] 连结原点 O 和抛物线 2y＝x2 上的动点 M，延长 OM
到 P 点，使|OM|＝|MP|，求 P 点的轨迹方程，并说明它是何曲线．
[精讲详析]
本题考查抛物线的参数方程的求法及其应用． 解
答本题需要先求出抛物线的参数方程并表示出 M、P 的坐标，然 后借助中点坐标公式求解．
[读教材· 填要点] 1．双曲线的参数方程 x2 y2 (1)中心在原点， 焦点在 x 轴上的双曲线a2－b2＝1 的参数方程是 x＝asecφ π 3π φ∈[0,2π)且 φ≠2，φ≠ 2 y＝btan φ 规定参数 φ 的取值范围为 y2 x2 (2)中心在原点， 焦点在 y 轴上的双曲线a2－b2＝1 的参数方程是 x＝btan φ y＝asecφ .
提示：参数 α 表示抛物线上除顶点外的任意一点 M，以射线 OM 为终边的角．
[研一题] [例 1] 距离为 2. 在双曲线 x2－y2＝1 上求一点 P， P 到直线 y＝x 的 使
[精讲详析]
本题考查双曲线的参数方程的应用，解答本题
需要先求出双曲线的参数方程， 设出 P 点的坐标， 建立方程求解． 设 P 的坐标为(secφ， φ)， P 到直线 x－y＝0 的距离为 2 tan 由 |secφ－tan φ| 得 ＝ 2 2 1 sin φ 得|cos φ－cos φ|＝2，|1－sin φ|＝2|cos φ|
[通一类] 2．已知抛物线
x＝2t2 C： y＝2t
(t 为参数)，设 O 为坐标原点，点 M
在抛物线 C 上，且点 M 的纵坐标为 2，求点 M 到抛物线焦点 的距离．
x＝2t2 解：由 y＝2t
，得 y2＝2x，Biblioteka Baidu抛物线的标准方程为 y2＝2x.
又∵M 点的纵坐标为 2，∴M 点的横坐标也为 2. 即 M(2,2)． 1 又∵抛物线的准线方程为 x＝－2. 1 1 5 ∴由抛物线的定义知|MF|＝2－(－2)＝2＋2＝2. 5 即点 M 到抛物线焦点的距离为2.
[悟一法] 对于同一个方程，确定的参数不同， 所表示的曲线就不同， 当题目条件中出现多个字母时，一定要注明什么是参数，什么是 常量，这一点尤其重要．
[通一类]
x＝ 5cos 3．(2011· 广东高考)已知两曲线参数方程分别为 y＝sin θ
θ
5 x＝ t2 4 (0≤θ≤π)和 (t∈R)， 它们的交点坐标为___________． y＝t
x2 y2 设椭圆a2＋b2＝1，∴a＝5，c＝4，b＝3. x2 y2 ∴方程为25＋ 9 ＝1. 设椭圆上一点 P(5cos θ，3sin θ)， 双曲线一渐近线为 3x－4y＝0， |3×5cos θ－12sin θ| ∴点 P 到直线的距离 d＝ 5 3| 41sin θ－φ| 5 ＝ (tan φ＝4)． 5 3 41 ∴dmax＝ 5 .
2
2 5 又 y≥0，所以其交点坐标为(1， 5 )．
2 5 答案：(1， 5 )
本课时的考点是双曲线或抛物线的参数方程与普通方程的互 化.2012 年天津高考以抛物线的参数方程为载体考查抛物线定义 的应用，属低档题． [考题印证]
x＝2pt2， (2012· 天津高考)已知抛物线的参数方程为 y＝2pt，
设 M(x、y)为抛物线上的动点，P(x0，y0)在抛物线的延长 线上， M 为线段 OP 且
x＝2t， 的中点， 抛物线的参数方程为 y＝2t2，
x0＝4t， 由中点坐标公式得 y0＝4t2，
1 2 变形为 y0＝4x0，即 x2＝4y. 表示的为抛物线．
[悟一法] 在求曲线的轨迹和研究曲线及方程的相关问题时，常根据需 要引入一个中间变量即参数(将 x，y 表示成关于参数的函数)，然 后消去参数得普通方程．这种方法是参数法，而涉及曲线上的点 的坐标时，可根据曲线的参数方程表示点的坐标．
平方得 1－2sin φ＋sin 2φ＝4(1－sin 2φ)， 即 5sin 2φ－2sin φ－3＝0. 3 解得 sin φ＝1 或 sin φ＝－5. sin φ＝1 时，cos φ＝0(舍去)． 3 4 sin φ＝－5时，cos φ＝± . 5 5 3 5 3 ∴P 的坐标为(4，－4)或(－4，4)．
2．抛物线的参数方程 (1)抛物线 y2＝2px 的参数方程为
x＝2pt2 y＝2pt
，t∈ R .
(2)参数 t 的几何意义是抛物线上除顶点外的任意一点与原点 连线的 斜率的倒数 ．
[小问题·大思维]
1．在双曲线的参数方程中，φ的几何意义是什么？ 提示：参数φ是点M所对应的圆的半径OA的旋转角(称为点 M的离心角)，而不是OM的旋转角．
x＝ 5cos 解析：由 y＝sin θ
θ
x2 2 (0≤θ≤π)得 5 ＋y ＝1(y≥0)，
52 x＝ t 5 2 4 由 (t∈R)得 x＝4y . y＝t
2 x ＋y2＝1， 5 联立方程可得 x＝5y2 4
则 5y4＋16y2－16＝0，
4 5 2 2 解得 y ＝5或 y ＝－4(舍去)，则 x＝4y ＝1.
p p F(2，0)，准线 x＝－2，设准线与 x 轴的交点为 A.由抛物线定义可 得|EM|＝|MF|，所以△MEF 是正三角形，在 Rt△EFA 中，|EF| p ＝2|FA|，即 3＋2＝2p，得 p＝2.
[答案] 2
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证明：设双曲线为 x2－y2＝a2，取顶点 A(a,0)， 弦 B′B∥Ox，B(asecα，atan α)，则 B′(－asecα，atan α)． atan α atan α ∵kB′A＝ ，kBA＝ ， －asecα－a asecα－a ∴kB′A·BA＝－1. k ∴以 BB′为直径的圆过双曲线的顶点.
[悟一法] 参数方程是用一个参数表示曲线上点的横纵坐标的，因而曲 线的参数方程具有消元的作用，利用它可以简化某些问题的求解 过程，特别是涉及到最值、定值等问题的计算时，用参数方程可 将代数问题转化为三角问题，然后利用三角知识处理．
[通一类] 1．求证：等轴双曲线平行于实轴的弦为直径的圆过双曲线的顶 点．