第3讲五年级数学等差数列求和 学案

精锐教育学科教师辅导讲义 学员编号： 年 级： 课 时 数：

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授课类型

C-等差数列求和计算 C -等差数列求和应用 C-等差数列求和拓展

授课日期及时段 教学内容

1、请讲解示范循环小数化成分数的方法。

2、计算：1＋3

61＋512

1＋7201＋9301＋11421＋13561＋15721＋17901

课堂导入

德国著名数学家高斯幼年时代聪明过人，上学时，有一天老师出了一道题让同学们计算：

1＋2＋3＋4＋…＋99＋100＝？

老师出完题后，全班同学都在埋头计算，小高斯却很快算出答案等于5050。高斯为什么算得又快又准呢？原来小高斯通过细心观察发现：

1＋100＝2＋99＝3＋98＝…＝49＋52＝50＋51。

1～100正好可以分成这样的50对数，每对数的和都相等。于是，小高斯把这道题巧算为

（1+100）×100÷2＝5050。

小高斯使用的这种求和方法，真是聪明极了，简单快捷，并且广泛地适用于“等差数列”的求和问题。 我们也常把数列求和的计算称为“高斯求和”。

知识点梳理

知识点1：数列的基础知识

（1）数列：按一定次序排成的一列数叫做数列.

（2）项：数列中的每一个数都叫做这个数列的项，各项依次叫做这个数列的第1项（或首项），第2项，…，第n 项，….

（3）通项公式：一般地，如果数列｛a n ｝的第ｎ项与序号ｎ之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式.

（4） 有穷数列:项数有限的数列叫做有穷数列.

（5） 无穷数列:项数无限的数列叫做无穷数列

（6）数列的递推公式：如果已知数列的第一项（或前几项）及相邻两项（或几项）间关系可以用一个公式来表示，则这个公式就叫做这个数列的递推公式.递推公式是给出数列的一种重要方法，其关健是先求出a 1,a 2,然后用递推关系逐一写出数列中的项.

知识点2：等差数列

一般地，如果一个数列从第二项起，每一项减去它的前一项所得的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用ｄ表示．

知识点3：等差数列的简单性质

（1）首尾项性质

如果a 1、 a 2 、……a n ,是等差数列，则a 1+a n =a 2+a 1-n =……

（2）等差中项性质及中项定理

等差中项:如果ａ，Ａ，ｂ这三个数成等差数列，那么Ａ＝2b a +．我们把Ａ＝2

b a +叫做ａ和ｂ的等差中项． 中项定理：对于任意一个项数为奇数的等差数列，中间一项的值等于所有项的平均数，也等于首项与末项和的一半；或者换句话说，各项和等于中间项乘以项数．

知识点4：等差数列求和公式

等差数列的总和=（首项+末项）⨯项数÷2 等差数列（奇数个数）的总和=中间项⨯项数

()11232

n n n ++++= 2)12(531n n =-++++

一、专题精讲

题型1：简单数列求和

例1：1+3+5+7+9+11+13+15+17+19

例2：2＋4＋6＋…＋100

题型2：简单数列之间的运算

例1：40 - 39 + 38 - 37 + 36 - 35+....+ 4 - 3 + 2 - 1

例2：（100+96+92+......+4）-(98+94+90+ (2)

题型3：小数数列、分数数列求和

例1：求5.01, 6.02, 7.01, 5.02, 6.01, 7.02, …前20项的和是______.

例2: 计算：0.1+0.2+0.3+…+0.9+0.10+0.11+0.12+…+0.99

例3：1990

1+19902+19903+…+19901990

二、专题过关

检测题：

一、计算下面各式的结果。

1. (1+3+...+1991)-(2+4+ (1990)

2. 1-3+5-7+9-11+…-1999+2001

3. 100+99+98-97-96+95+94+93-92-91+…+10+9+8-7-6+5+4+3-2-1

4. 1992+

21-131+221-331+421-531+…+19902

1-199131

5、 (3+4+5+6+7+8+9+10+11+12+13+14+15)÷13

6、 (1+

337)+(1+337×2)+(1+337×3)+…+(1+337×10)+(1+337×11)

三、学法提炼

1、专题特点：

等差数列求和计算，在计算题中属于比较难的题型。常见的数列计算题型中会有单数列的求和、数列求和后的混算、分数数列求和、小数数列求和等等。在等差数列的求和过程中，常常需要先解决其他的问题，例如，找到首项，或找到末项，或先求出项数等；所以，要求掌握等差数列中的相关公式，这样才能较快地解决问题。

2、解题方法

等差数列求和的常见的两种求和公式。

（1）等差数列的总和=（首项+末项）⨯项数÷2

=中间项⨯项数

（2）相关公式：

1、等差数列的和=（首项＋末项）×项数÷2

2、项数=（末项－首项）÷公差＋1

3、第N 项的数=首项＋（项数－1）×公差

4、首项=末项－（项数－1）×公差

3、注意事项

（1）注意找准项数，别忘+1；

（2）在逆用公式时，别忘了用和×2

课堂导入

我们学了等差数列的求和，我们来看看等差数列的在应用题中的应用。

一、专题精讲

例1：小王看一本书第一天看了20页，以后每天都比前一天多看2页，第30天看了78页正好看完。这本书共有多少页？

例2：四（1）班45位同学举行一次同学联欢会，同学们在一起一一握手，且每两个人只能握一次手，同学们共握了多少次手？

例3：100与500之间能被9整除的所有自然数之和是多少？

二、专题过关

检测题：

1、学校进行书法大赛，每个选手都要和其他所有选手各赛一场。如果有16人参加比赛，一共要进行多少场比赛？