中考数学相似三角形动点问题专题复习

中考数学相似三角形动点问题专题复习一、几何动点问题

例题：如图，在△ABC 中，AB=8cm，BC=16cm，点P 从点A 出发沿AB 边向点B 以2cm/s 的速度移动，点Q 从点B 出发沿BC 边向点C 以4cm/s 的速度移动（有一点到达端点后即停止移动），如果P,Q 同时出发，经过几秒后△PBQ 和△ABC 相似？

1、如图，Rt△ABC 中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，BC=2cm，D 为BC 的中点，若动点E 以1cm/s的速度从A 点出发，沿着A→B→A 的方向运动，设E 点的运动时间为t 秒（0≤t＜6），连DE，当△BDE 是直角三角形时，t 的值为

2、如图，Rt△ABC 中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，点D 是BC 边的中点，动点P 从点C 出发，沿C→A→B 的方向在AC、AB 边上以每秒2 个单位的速度向点B 移动，运动至点B 即停止。连接PD，当点P 运动时间t 为何值时，线段PD 截

Rt△ABC 为两部分，所得的三角形与Rt△ABC 相似．

3、如图，在直角梯形ABCD 中， D 900 ，AB=10cm，BC=6cm，AB ∥CD , AC BC , F点以2cm / s 的速度在线段AB 上由A 向B 匀速运动，E 点同时以1cm / s 的速度在线段BC上由B 向C 匀速运动，设运动的时间为t （0＜t ＜5）. （1）求证：△ ACD ∽△BAC ；

（2）求DC 的长

（3）当t 为何值时，△ FEB 为直角三角形？

4、已知，在矩形ABCD 中，AB=a，BC=b，动点M 从点A 出发沿边AD 向点D 运动．

（1）如图1，当b=2a，点M 运动到边AD 的中点时，请证明∠BMC=90°；

（2）如图2，当b＞2a 时，点M 在运动的过程中，是否存在∠BMC=90°，若存在，请给与证明；若不存在，请说明理由；

（3）如图3，当b＜2a 时，（2）中的结论是否仍然成立？请说明理由．

5、如图，点B 在线段AC 上，点D，E 在AC 同侧，∠A =∠C=900，BD⊥BE ，AD = BC .

（1）求证：AC=AD+CE

（2）若AD=3，CE=5，点P 为线段AB 上的动点，连接DP，作PQ ⊥DP ，交直线BE 与点Q；

i）当点P 与A，B 两点不重合时，求DP

PQ

的值；

ii）当点P 从A 点运动到AC 的中点时，求线段DQ 的中点所经过的路径（线段）长.（直接写出结果，不必写出解答过程）

6、如图 1，点 C 将线段 AB 分成两部分，如果AC BC AB AC

=，那么称点 C 为线段 AB 的黄金分割点。某数学兴趣小组在进行课题研究时，由黄金分割点联想到“黄金分割线”，类似地给出“黄金分割线”的定义：直线将一个面积为 S 的图形分成两部分，这两部分的面积分别为 S1 、 S2 ，如果121

S S S S =，那么称直线为该图形的黄金分割线. （1）如图 2，在△ ABC 中，∠A =36 °， AB = AC ，∠C 的平分线交 AB 于点 D ，请问点 D 是否是 AB 边上的 黄金分割点，并证明你的结论；

（2）若△ ABC 在（1）的条件下，如图（3），请问直线 CD 是不是△ ABC 的黄金分割 线，并证明你的结论；

（3）如图 4，在直角梯形 ABCD 中，∠D = ∠C =900 ，对角线 AC 、 BD 交于点 F ， 延长 AB 、 DC 交于点 E ，连接 EF 交梯形上、下底于 G 、 H 两点，请问直线 GH 是

不是直角梯形 ABCD 的黄金分割线，并证明你的结论

.

7、在Rt△ ABC，∠C=90°，D 为AB 边上一点，点M、N 分别在BC、AC 边上，且DM⊥DN．作MF⊥AB 于点F，NE⊥AB 于点E．

（1）特殊验证：如图1，若AC=BC，且D 为AB 中点，求证：DM=DN，AE=DF；（2）拓展探究：若AC≠BC．

①如图2，若D 为AB 中点，（1）中的两个结论有一个仍成立，请指出并加以证明；

②如图3，若BD=kAD，条件中“点M 在BC 边上”改为“点M 在线段CB 的延长线上”，其它条件不变，请探究AE 与DF 的数量关系并加以证明．

二、函数动点问题

例题：如图，直线y1 = kx +2 的图象与x 轴、y 轴分别交于点A，B，点C 是直线与的一个交点，过点C 作CD⊥y 轴，垂足为D，且△BCD 的面积为1。双曲线y =m

x

（1）求双曲线的解析式与直线AB 的解析式；（2）若在y 轴上有一点E，使得以E、A、B 为顶点的三角形与△BCD相似，求点E 的坐标.

1、如图，抛物线经过A(4，0)，B(1，0)，C(0，-2) 三点．

（1）求出抛物线的解析式；

（2）P 是抛物线上一动点，过P 作PM ⊥x 轴，垂足为M，是否存在P 点，使得以A，P，M 为顶点的三角形与△OAC 相似？若存在，请求出符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由；

2、如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y=1

2

x2 + bx +c 经过点A(1, 3) ，B(0,1) ．

（1）求抛物线的表达式及其顶点坐标；

（2）过点A 作x 轴的平行线交抛物线于另一点C，

①求△ABC 的面积；

②在y 轴上取一点P，使△ABP 与△ABC 相似，求满足条件的所有P 点坐标．

3、如图，抛物线的顶点为A（2，1），且经过原点O，与x 轴的另一个交点为B．（1）求抛物线的解析式；

（2）在抛物线上求点M，使△MOB 的面积是△AOB 面积的3 倍；

（3）连结OA，AB，在x 轴下方的抛物线上是否存在点N，使△OBN 与△OAB 相似？若存在，求出N 点的坐标；若不存在，说明理由．