应用统计 概率 试卷解答1
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《概率论》试卷解答
一. 填空题
1. 设某系统有4个独立工作的元件k A ，它们的可靠性为k p ，.4,3,2,1=k 系统中元件的连接方式如图，则系统的可靠性为)1()(4321214p p p p p p p --++.
解：由系统中元件的连接方式知，系统可靠的概率为
]})[({3214A A A A P p =])([])[()(32143214A A A A P A A A P A P -+=
)()()()()(32143214A P A A P A P A P A A P p -+=
)()()](1[32144A P A A P A P p -+=3212144))(1(p p p p p p p -+-+=
2. 设A ,B 是随机事件，且知概率41)(=
A B P
，8
5)(=A B P
，41
)(=AB P ，则=)(A P
=)(B P )(B A A P
解：（1）41)(41
)()
()
()()()()()()(=-
=-=-==
A P A P A P A
B P A P A P AB A P A P B A P A B P ，解得3
1)(=A P .
（2）853
1141
)()(1)
()()(1)()
()()(=-
-
=--=--==B P A P AB P B P A P AB B P A P B A P A B P ，解得32
)(=B P . AB
A B A B A -=-= AB
B
A
AB
B A B B A -=-= 2
2,p A 11,p A
4
4,p A 3
3,p A
（3）)
()()()
()
()()()()
()]([)(B A P B P A P B A P B A P B P A P B A A A P B A P B A A P B A A P -+=
-+=
=
)()()()()
()(A B P A P B P A P A B P A P -+=
734
131)321(31)851)(311()()()](1[)()](1)][(1[=
⋅--+--=--+--=A B P A P B P A P A B P A P
3. 一只木箱中有a 只红球、b 只白球，每次有放回地从中任意抽取一球，记录球的颜色。第
5次取到的球恰是第3
解：由于是每次有放回地从中任意抽取一球，故每次取到白球的概率都是.b
a b + 在这样的前4次抽取中取到的白球数).,
4(~b
a b
b X + 于是 .)
(6)()()2(532222
4b a b a b a b b a a b a b C b a b X P +=+⋅++=+⋅= 4. 设随机变量
X ,Y ,Z 相互独立，且满足),3(~p b X ， )
(~λπY ，Z 服从指数分布，分
布密度为⎪
⎩⎪⎨⎧>=-其它,0 0,601
)(60z
e z
f z
，278)0(==X P ，
33)1(-==e Y P ，则p ＝λ
=+-)64(Y X E )6030(≤ 3003)32 (278)1() 1()0(==-=-==-p p p C X P ，解得3 1=p . （2）)(~λπY ，31 3! 1)1(---=== =e e e Y P λλλλ，解得3=λ. （3）=+-)64(Y X E 6)()(4+-Y E X E .7633 1 34=+-⨯ ⨯= （4）.][60 1)()6030(121 60306060 306060 30 -----=-=== ≤<⎰ ⎰ e e e dz e dz z f Z P z z 5．相互独立的随机变量k X 具有相同分布律 则=)(3X E },min{321X X X Z +=，则Z 的分布律为 Z 解：（1）7.07.013.00)(3=⨯+⨯=X E （2）解法1. 由已知得 由此得Z 的分布律. 解法2. 由已知先求得),(32X X 的联合分布律 再求得,m in(32X Y =的分布律 由于1X 与m 32Y =相互独立，得1的联合分布律 最后得},min{321X X X Z +=Y X +=1的分布律. 解法3. 由已知1,0=k X 得：1,0},min{32=X X ，从而.2,1,0},min{321=+=X X X Z 于是 )0},m in{()0(321=+==X X X P Z P )0},m in{,0(321===X X X P )0},m in{()0(321===X X P X P )]1},m in{(1[3.032=-⨯=X X P )]1,1(1[3.032==-⨯=X X P )]1()1(1[3.032==-⨯=X P X P 153.0)]7.07.01[3.0=⨯-⨯= )2},m in{()2(321=+==X X X P Z P )1},m in{,1(321===X X X P )1,1,1(321====X X X P )1()1()1(321====X P X P X P 343.07.03== 504.0343.0153.01)2(=--==Z P 由此得Z 的分布律表格. （3）由Z 的分布律表格易得Z 的分布函数为⎪⎪⎩ ⎪⎪ ⎨⎧≥<≤<≤<=2 ,1 21 ,657.01 0 ,153.00 ,0 )(z z z z z F Z . 二. （8分） 去年某学院一年级学生共250人参加一门基础课的考试，其中甲乙丙丁四个专业的学生数分别为60，75，55，60；且四个专业的通过率分别为0.75，0.90，0.95，0.65. （1）求该学院一年级学生去年这门考试的通过率； （2）若一个学生通过了这门考试，试求他是丙专业学生的概率. 解：设“一个学生本次考试通过”记为事件,A “一个学生属于甲、乙、丙、丁专业”分别记为事件.,,,4321B B B B 由已知得 24.025060 )(,22.025055)(,3.025075)(,24.025060)(4321≈=≈=≈=≈= B P B P B P B P ； 65.0)(,95.0)(,90.0)(,75.0)(4321====B A P B A P B A P B A P . （1）由全概率公式知 ) ()()()()()()()()(4321B A P A P B A P A P B A P A P B A P A P A P +++=. 815.075 2 65.024.095.022.090.03.075.024.0≈= ⨯+⨯+⨯+⨯= 故去年这门考试的通过率为81.5%.