两条直线的交点
两条直线的交点
目录
• 直线交点的基本概念 • 两条直线交点的求解 • 直线交点的应用 • 直线交点的扩展知识 • 直线交点的注意事项
01
直线交点的基本概念
定义
交点
两条直线在某一点相交，这个点 就是这两条直线的交点。
定义补充
如果两条直线在无限远处相交， 则称这两条直线为平行的。
性质
唯一性
对于任意两条给定的直线，它们只有 一个交点，除非这两条直线是平行的 。
直线与曲线的交点
总结词
直线与曲线的交点是确定曲线与直线关系的 关键。
详细描述
当一条直线与一个曲线相交，它们会在某一 点相遇。这个交点是曲线上的一个点，也是 直线与曲线关系的重要标识。在解析几何中 ，求直线与曲线的交点是常见的问题，也是
解决许多实际问题的基础。
直线与直线的其他关系
总结词
除了相交之外，直线之间还存在平行、重合等多种关 系。
02
两条直线交点的求解
代数法
总结词
通过解方程组来求解交点
详细描述
根据直线方程 $y = mx + c$ 和 $y = nx + d$，联立方程组求解 $x$ 和 $y$ 的值，得到交点坐标 $(x, y)$。
几何法
总结词
通过画图观察交点
详细描述
在坐标系中画出两条直线的图形，通过观察直线在坐标轴上的交点，直接得出 交点坐标。
要点二
舍入误差
在计算过程中，可能会产生舍入误差，这会影响交点的精 度。为了减小舍入误差的影响，可以使用适当的舍入策略 ，如四舍五入或截断。
特殊情况的处理
平行线
如果两条直线平行，它们没有交点。在计算交点时，需 要特别处理这种情况，避免产生错误的结果。
原题：求两条直线的交点坐标。
原题：求两条直线的交点坐标。
原题：求两条直线的交点坐标背景在解析几何中，求取两条直线的交点坐标是一个常见的问题。
本文将介绍两种常见的方法：代数方法和几何方法。
代数方法1. 设定两条直线的方程为：y = k1*x + b1 和 y = k2*x + b2。
2. 将两个方程联立，得到交点的坐标。
- 将y的表达式相等：k1*x + b1 = k2*x + b2；- 化简得到：(k1 - k2)*x = b2 - b1；- 求得x的值：x = (b2 - b1) / (k1 - k2)；- 代入其中一个方程，求得y的值：y = k1*x + b1。
3. 最后的结果是交点的坐标为 (x, y)。
几何方法1. 对于两条直线，分别记为 L1 和 L2。
2. 找到两条直线的斜率：k1 和 k2。
3. 若斜率相同，则两条直线平行，无交点。
4. 若斜率不同，则两条直线相交。
- 求两个直线的交点的x坐标：x = (b2 - b1) / (k1 - k2)；- 代入其中一个方程，求得交点的y值：y = k1*x + b1。
5. 最后的结果是交点的坐标为 (x, y)。
总结通过代数方法和几何方法，我们可以求得两条直线的交点坐标。
根据具体情况和需要，我们可以选择使用其中一种方法。
如果已知直线的方程，可以采用代数方法进行求解；如果已知直线的斜率，可以采用几何方法进行求解。
这些方法的应用可以帮助我们解决各类与直线交点有关的问题。
以上就是求两条直线的交点坐标的方法。
希望本文对读者能有所帮助。
参考资料：。
两条直线的交点坐标与距离公式
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【评析】 这类题一般有三种情况：被两已知平行直 线截得的线段的定长为a的直线，当a小于两平行线间距 离时无解.当a=d时有唯一解 ； 当a＞d时有且只有两解. 本题解法一采用通法通解.解法二采用设而不求，先设交 点坐标，利用整体思想求解.
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＊对应演练＊
求过点P（-1，2）且与点A（2，3）和B（-4，5）距离 相等的直线l的方程. 解法一:设直线l的方程为y-2=k(x+1),
平面上两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)间的距离
|P1P2|=
(x 2 - x1 )2 + (y 2 - y 1 )2 .
2.点到直线的距离 平面上一点P(x1,y1)到一条直线l:Ax+By+C=0的距离 | Ax + By + C |
0 0
d=
A2 + B2
. 返回目录
3.两平行线的距离 若l1,l2是平行线，求l1,l2距离的方法：
若直线l的斜率存在，则设直线l的方程为y=k（x-3）+1，
分别与直线l1，l2的方程联立, 由 由
{ {
y=k(x-3)+1 x+y+1=0, y=k(x-3)+1
解得
3k - 2 1 - 4k , A( ). k +1 k +1 3k - 7 1 - 9k , B( ) k +1 k +1
解得
【分析】转化为点关于直线的对称,利用方程组求解.
返回目录
【解析】解法一:由
{
y=2x+3 y=x+1
得直线l1与l2的交点坐标为
(-2,-1),在l1上任取一点A(0,3),则A关于直线l的对称点 B(x1,y1)一定在l2上,由 即B(2,1).
两直线交点坐标的公式
两直线交点坐标的公式
直线，这是我们学数学和物理时最熟悉的图形了，在图形中，直
线有着广泛的使用。
这也是有关直线交点坐标的计算公式，一般用来
求出两条直线交点的坐标位置。
直线的表示方式有两种：一种是直角坐标系的标准形式：
ax+by+c=0，一种是斜率形式的y=k*x+b (k为斜率，b为直线的截距)。
两一条直线相交，需要满足其系数相同，即其系数取值都一样，就可
以计算出交点的坐标位置。
两条直线的交点坐标计算公式可以表示为：X=(c2-b2)/(a2-b2)，Y=(a1*X+c1)/(-b1)。
这个公式也被广泛运用到科学研究和工程设计中，比如天球坐标
中绘制地图和路线，有助于研究地理空间；比如建筑设计和三维建模，有助于建筑师把控建筑物视觉效果等等，毕竟两条直线之间的角度和
位置是非常重要的，直线形式和交点计算公式都能够很好的帮助我们
进行研究和设计。
以上就是两直线交点坐标的计算公式，它对我们的研究科研和视
觉设计都有着重要的作用，不管是地球表面刻划地图还是建筑师描绘
三维空间，这都需要深入理解并正确运用这一公式，以及直线表示形式，以精准的把握角度和位置的关系，从而取得科研和实际设计的更
好结果。
两直线的交点坐标和距离公式
两直线的交点坐标和距离公式直线是平面几何中最基本的图形之一，计算两条直线的交点坐标和距离是解决许多几何问题的基础。
在本文中，我们将详细介绍如何计算两条直线的交点坐标和距离的公式和方法。
首先，我们需要了解什么是直线。
在平面几何中，直线是由一组点组成的，这些点在同一条直线上，且直线上的任意两点可以确定直线的一条直线是由两个不同的点定义。
那么，如何计算两条直线的交点坐标呢？要计算两条直线的交点，我们需要利用直线的方程。
在平面几何中，直线可以由一般方程、点斜式方程和两点式方程表示。
1.一般方程：Ax+By+C=0。
其中A、B、C是常数。
2.点斜式方程：y-y1=m(x-x1)。
其中m是斜率，(x1,y1)是直线上的一个点。
3.两点式方程：(y-y1)/(x-x1)=(y2-y1)/(x2-x1)。
其中(x1,y1)和(x2,y2)是直线上的两个点。
像这样，当我们有两条直线的方程时，我们可以通过求解方程组，找到两条直线的交点坐标。
解方程组的方法有多种，比如代入法、消元法和克莱姆法则等。
让我们通过一个具体的例子来说明如何计算两条直线的交点坐标。
例1：已知直线L1的方程为y=2x-1，直线L2的方程为y=-x+3，求两条直线的交点坐标。
解：将L1和L2的方程联立起来，得到方程组：y=2x-1y=-x+3通过消元法，我们可以先将方程组中的y消去。
将L1中的y代入L2的方程中，得到：2x-1=-x+3整理方程，得到：3x=4解方程，得到：x=4/3将x的值代入L1的方程中，得到：y=2*(4/3)-1y=8/3-1y=5/3所以，两条直线的交点坐标为(4/3,5/3)。
接下来，我们将介绍如何计算两条直线的距离。
两条直线的距离是两条直线之间最短的直线距离，也就是垂直于两条直线的连线段的长度。
计算两条直线的距离，我们可以利用点到直线的距离公式来求解。
点到直线的距离公式:d=，Ax+By+C，/√(A^2+B^2)其中，A、B、C是直线的方程中的常数。
两条直线的交点坐标
l1 : x − y = 0 (1) l 2 : 3x + 3 y − 10 = 0 l1 : 3 x − y + 4 = 0 (2) l2 : 6 x − 2 y − 1 = 0 l1 : 3x + 4 y − 5 = 0 (3) l2 : 6 x + 8 y − 10 = 0
1. 两直线交点的求法---联立方程组。 两直线交点的求法---联立方程组。 ---联立方程组 两直线位置关系的判断:解方程组,根据解的个数。 2. 两直线位置关系的判断:解方程组,根据解的个数。 3. 共点直线系方程及其应用
例4 : 求经过两直线2 x − 3 y − 3 = 0和x + y + 2 = 0 的交点且与直线3 x + y − 1 = 0平行的直线l的方程.
3 2x −3y −3 = 0 x = − 5 解: ,∴交 为 点 ⇒ 7 x + y +2 =0 y = − 5 3 7 直 3 行 − ,− .Ql与 线 x + y −1= 0平 , 5 5 7 3 ∴所 方 为 + = −3 x + , 求 程 y 5 5 即 x + 5y +1= 0. 15
λ =-1时，方程为x+3y-4=0
λ =0时，方程为3x+4y-2=0 λ =1时，方程为5x+5y=0
y l1 l3 l2
0
上式可化为：(3+2λ)x+(4+λ)y+2λ-2=0
x
发现：此方程表示经过直线3x+4y-2=0与直线2x+y+2=0交 点的直线束（直线集合）
三、共点直线系方程: 共点直线系方程
两条直线的交点
注意上面得到的等式 ( A1B2 － A2B1 ) x + B2C1 － B1C2 = 0 (2) 当 A1B2 －A2B1 = 0， B1C2 －B2C1 ≠ 0时，
方程组无解，直线 l1 和 l2 没有交点，也就是说，直线 l1∥l2 .
(3) 当 A1B2－A2B1= 0 , B1C2－B2C1= 0 时，方 程有无数组解，这两条直线重合.
( 2) 当 A1 B2 A2 B1 0 且 B1C 2 B2C1 0 ， A1 B1 C1 即 时， 也就是k1 k2 且 b1 b2 时， A2 B2 C 2 两条直线平行.
( 3) 当 A1 B2 A2 B1 0 且 B1C 2 B2C1 0 ， 即 A 1 B1 C1 时，也就是 k1 k2 且 b1 b2 时 ， A 2 B2 C 2 两条直线重合 .
；
衣侍,打开房门,望着夜轻语,嘿嘿一笑,伸手拉着他の不咋大的手关心の问道："轻语,那么早就起来了?你呀脸色有些差啊,是不是昨夜没休息好啊?" "嗯?那么迟还睡,会给人笑の."夜轻语脸上闪过一丝红霞,低垂着头,有些羞涩暗道,昨夜你呀们这这么大の动静,别人能睡好才怪,随即又想起什么, 连忙说道："哥,你呀还不下去,下面の有几位世家の不咋大的城家主,他们等你呀很久了?俺先…俺回房了." "管他の,让他们等着,你呀吃点东西在睡吧,俺让人给你呀送点吃の！"白重炙一听见,不是世家长老什么の,也懒得理会.他知道他现在地位不同了,身为白家の少族长,肯定会有人前来巴结 贿赂什么の.没有急着下去,而是直接传音给站在楼梯下の翠花,吩咐她送些糕点上来,这才慢吞吞の走了下去. "参见少族长！" 走进大厅,里面正坐着五六个人,这些人一件白重炙进来,连忙站了起来,很是热情の拱手行礼. "都坐下,都坐下,别那么多规矩！"白重炙呵呵一笑,直接走到主位,坐了下 来,朝几人望去.这几人只有一人他倒是有点印象,正是蛮城那个大胖子夜棍,其他の几人倒是一些也不认识. "夜棍,几年没见,越发有福相了啊,这几位是?"白重炙端起茶水喝了一口,望着夜棍,这个大胖子可是越来越胖了,估计在蛮城这么多年,收刮の很厉害啊.对于夜棍他还是有些好感の,毕竟以 前要不是夜棍派了辆超快の马车送他回雾霭城,估计他肯定没这么及时赶回来,夜轻语则很有可能香消玉殒了. "少族长,谬赞了,托你呀老人家の福气…,蛮城一别,眨眼六年过去了,没想到少族长还记得夜棍,你呀可是不知道啊,听说当年你呀坠入了落神山,俺可是担心几天几夜没睡觉…现在你呀终 于平安归来,算是老天有眼,这不,俺和几位家主利马,带了点土特产过来看望一下您！" 当年在蛮城只是匆匆见了一面,夜棍没想到白重炙居然还记得他,并且对他很是客气,夜棍心情那个激动啊,浑身肥肉都在抖动.神情也变得无比骄傲起来,似乎在向其他の几位家主示威一样,一阵马屁之后,他才 一脸媚笑介绍起旁边の几人来："恩,少族长,这位是春城の家主夜春春,这位是羊城家主夜羊羊,这位是星城家主夜星星…" "少族长能平安归来,真乃白家の大幸,雾霭城の大幸,破仙府之大幸啊…少族长如此年纪,就拥有如此境界,可谓是炽火大陆历史上第一绝世天才,白家因为少族长而…少族长, 你呀是天上の星辰,必将照亮世人,你呀是炽火大陆最璀璨の明珠…" 几人在夜棍为他们介绍之后,连忙笑容可掬の献媚起来,一时候马屁声滔滔不尽,绵绵不绝…最后很统一の和夜棍一样,每人奉上一些玉盒："这是不咋大的城の一点土特产,当然不会入少族长の法眼,只是俺们一点心意,如果少族 长有时候去不咋大的城の话…" 白重炙一开始还很是享受这些拍须溜马,阿谀奉承.只是听到后面却是越来越觉得没意思,不咋大的爷还没死,就成了星辰了,这马屁拍の,太夸张了吧……看着几人口水四溢,神情越说越激动,似乎越说越来劲了.他终于不耐烦了,轻咳一声直接打断了几人の继续演讲. "得,东西留下,你呀们の心意俺懂了,回去好好干,但是也别太出格,你呀们懂の,夜棍留下,其他人散了吧！" "恩,好.少族长日理万机,俺等当然不敢耽误你呀宝贵の时候,如果少族长有空去不咋大的城游玩の话,俺等一定好好招待,俺们那の不咋大的姑娘可是吹拉弹唱样样精通…"几人一听见见白 重炙居然收了东西,并且语气还算很不错,连忙又是一阵感恩、寒暄、马屁.只是最后见白重炙の脸色微微有些黑了下来,这来连忙行礼告退而去. "嘿嘿,少族长,别听他们乱吹.不是俺乱说,他们城の不咋大的姑娘算个屁.蛮城の不咋大的姑娘,那个才叫那个开放,十八般武艺,一百零八招式样样精通, 你呀上次可是说了有时候一定要去玩の,要不约个时候,俺好准备准备…"夜棍见白重炙单独留下他,神情更是激动了,连忙推销起蛮城の美女来. 原本,他们夜枪の人,只是夜枪自从白重炙大闹醉心园之后,就摆明一心向着武道,不在窥窃族长の宝座,也不再结党营私了.也就将夜棍等一班人冷落了下 来.夜棍实力不高,这些年更是忙于享乐,修为没见增长.所以这几年他时刻都在担心,自己の位置突然之间就被人取代了. 而白重炙前几日却是在荣耀亭,被直接被任命为少族长,还是永不更改の那种.夜棍当时就开始琢磨了,想凭借当年和白重炙の一点不咋大的关系,试试看能不能和白重炙套套近 乎,抱一抱大腿,继续稳固他の位置. "得了,别再搞这些虚の,俺不喜欢,在继续搞这一套,俺可是要下逐客令了."白重炙一听见,无奈の叹了口气,面色一冷,直接摆了摆手,封住了夜棍の嘴巴. 白重炙一冷面倒是夜棍吓了一跳,还以为自己说错了什么话,连忙站了起来,神情很是慌张,很委屈,想说些 什么,只是却不知说什么好,只有有些尴尬の搓了搓手,望着白重炙. "夜棍,当年…俺欠你呀一些人情,所以你呀不必如此.只要俺白重炙一天没死,俺保你呀一生荣华,当然！还是那个句话,你呀也别太过了,出了大事,俺也不会容你呀！"白重炙摆了摆手,示意他坐下,不必太紧张拘束. "噗通！" 不 料白重炙の一句话,却直接把夜棍感动の差点哭了,他自己都不怎么清楚,白重炙为什么就欠他一些人情了?还突然许下如此有力の承诺.连忙一把跪下地上,不断朝白重炙拱手,神情激动说道："少族长,您,您如此厚待俺,你呀就是俺の再生父母…俺,俺都不知道该说什么好,俺给你呀老磕头了,回头 给就你呀摆长生位…" 本书来自 品&书#网 当前 第叁0壹章 等俺 文章阅读 "摆你呀妹,老子还没死哪…俺说了,俺不喜欢这套,再这样,俺可要收回俺刚才の话了！"白重炙好笑又好气の骂道,接着他突然想起什么,面色一紧,郑重の问道："夜棍,问你呀个事,正事！" "正事?"夜棍见白重炙一下冷 一下热,摸不透他の脾气,当下也不敢多废话,连忙神情郑重起来,回道.看书 "你呀可知道,你呀们蛮城有个暗月旅馆?她们の老板娘叫暗月の,很妩媚,很迷人！"白重炙嘿嘿一笑,凑了过去,低声说道. "暗月?" 夜棍还以为白重炙说什么正经事,却见白重炙问起了一些女子,心里一琢磨暗道机会来了, 连忙欣喜起来,原来白重炙喜欢这一口啊? 只是他一琢磨却有些为难起来,抓了抓脑袋,有些迟疑道："少族长,这暗月の确是个发saの绝世尤物,她是蛮城之花…只是少族长想玩玩她,恐怕有些困难,她背后可是有一些强大の靠山,蛮城无数人想上她の床,都没成功.嗯…当然少族长若是有这个意思, 俺一定想办法促成此事！" "促你呀大爷！"白重炙笑骂道,当年自己还是白家老七の时候就是已经上了她の床了,还用夜棍促什么促.同时一听见他也暗自傲娇起来,没想到自己还是有两把刷子嘛,居然将蛮城之花给上了,随即他很是敢兴趣の问道："她背后有靠山?你呀在蛮城那么多年调查出什么 没?" "嘿嘿,属下虽然没用,蛮城の一点事情都是一清二楚！"夜棍见白重炙心情似乎很不错,连忙说道："据俺估计,暗月是龙城の人,龙城在破仙府,各城设立の暗使,而蛮城の暗使应该就是暗月！" "额…原来是龙城の人,俺还以为是什么炽火大陆地下势力,大陆第一杀手组织什么！龙城の人…恩, 这就好办了！"白重炙一听见,有些惊异了.原本他就知道暗月背后有人,否则她一些女子在蛮城这个龙蛇混杂の地方,怎么能混の风生水起? 只是没想到她竟然是龙城の人,他还一直幻想着,她背后那个势力是什么地下组织啊,杀手堂什么の,到时候如果和暗月接触,会有什么麻烦什么の.现在居然是 龙城の人,这就简单了,他可以直接和龙水流,龙赛男直接要人就是了. "地下势力?杀手组织?少族长,您开玩笑了,破仙府北方,俺们白家就是最大の地下势力,怎么会允许别の势力存在?好办?额…少族长,这事你
两条直线的交点-PPT课件
2．1.4 两条直线的交点
1
课标点击
栏 目 链
接
2
1．了解直线上的点的坐标和直线方程方向的关 系． 2．掌握用代数方法求两条直线的交点坐标．
3
典例剖析 栏 目 链 接 4
两条直线的交点问题
求经过两条直线2x－3y－3＝0和x＋y＋2＝0的
栏
交点且与直线3x＋y－1＝0平行的直线l的方
方程组
1＋2x0－2×4＋2y0＝0， x0＝159，
xy00－－41×12＝－1，得 y0来自－85.栏 目 链 接
同理可求得点 A 关于直线 x＋y－1＝0 的对称点 A″的坐标为(－3，
0)．
13
由于点 A′159，－58，点 A″(－3，0)均在 BC 所在的直线上，
∴直线 BC 的方程为－y－85－00＝15x9＋＋33，
6
方法二 ∵直线 l 过两直线 2x－3y－3＝0 和 x＋y＋2＝0 的交点，
∴可设直线 l 的方程为 2x－3y－3＋λ(x＋y＋2)＝0.
∵直线 l 与直线 3x＋y－1＝0 平行，
栏 目
链
∴λ＋3 2＝λ－1 3≠2λ－－1 3，得 λ＝121.
接
从而所求直线方程为 15x＋5y＋16＝0.
栏 目 链 接
即 4x＋17y＋12＝0.
∴BC 所在直线的方程为 4x＋17y＋12＝0.
14
规律总结：点关于点对称问题是最基本的对称
栏
问题，用中点坐标公式及垂直的条件求解，它
目 链
接
是解答其他对称问题的基础．
15
►变式训练 2．一条光线从点A(3，2)出发，经x轴反射，通过点B( －1，6)，求入射光线和反射光线所在的直线方程．
两条直线的交点
设 l1: A1 x + B1 y + C1 = 0 l2: A2 x + B2 y + C2 = 0
A1 x + B1 y + C1 = 0 A2 x + B2 y + C2 = 0
有唯一解 x = x0 y = y0
方程组无解
直线 l1 和 l2 的位 置关系的关系
直线l1和l2相交, 交点坐标为 (x 0 ，y 0 )
(4)
• (3)－(4) 得 ( A1B2 － A2B1 ) x + B2C1 － B1C2 = 0．
(1) 当 A1B2 A2 B1 0时 ，可 得
方
程
组
的
唯
一
解
x
y
B1C 2 A1 B2 A1C 2 A1 B2
B2C1 A2 B1 A2C1 A2 B1
3. 两条直线的交点
• （一）两条直线的交点与方程组的解的关系
•
设两条直线的方程为
l1: A1 x + B1 y + C1 = 0 ,
l2: A2 x + B2 y + C2 = 0 . 如果这两条直线相交，交点的坐标一定是这 两个方程的唯一的公共解；反过来，如果这两个 二元一次方程只有一个公共解，那么以这个解为 坐标的点一定是这两条直线的交点.
这时 l1 与 l2 相交，上面 x 和 y 的值就是交点的横坐标 和纵坐标．
；BT电影吧 BT电影 BT电影吧 BT电影
；
不相信代谢今年夏天还能立秋，我已经决心和这个代谢日头熬到底了。那一天，家家户户的月份牌和挂历上都印着﹣﹣1990年8月8日，立秋。可是我没有半点预感。我没有任何对于它的期待，没有想
直线交点公式怎么求
直线交点公式怎么求介绍在几何学中，直线交点是指两条直线相交的点。
求直线的交点是解直线方程组的问题，可以使用不同的方法来求解。
本文将介绍几种常用的方法来求解直线的交点，以帮助读者更好地理解直线交点的求解过程。
方法一：代数法直线可以用一般形式的方程表示：Ax + By + C = 0，其中A、B、C为常数。
假设有两条直线的方程分别为L1和L2，要求解这两条直线的交点。
1.将L1和L2两个方程联立，得到一个包含两个未知数x和y的方程组。
2.使用消元法或其他代数求解方法，将方程组化简为只有一个未知数的方程。
3.求解得到未知数的值。
4.将求得的未知数的值代入其中任意一个方程中，求解得到的就是交点的坐标。
方法二：斜率-截距法直线也可以用斜率-截距的形式表示：y = mx + b，其中m是斜率，b是截距。
假设有两条直线的斜率-截距形式分别为L1和L2，要求解这两条直线的交点。
1.比较L1和L2两个方程中的斜率和截距。
2.如果两条直线的斜率不相等，则它们会在某个点相交，进入步骤3；如果斜率相等但截距不相等，则两条直线平行，无交点，结束。
3.使用方程求解方法，将L1和L2化简为只有一个未知数的方程。
4.求解得到未知数的值。
5.将求得的未知数的值代入其中任意一个方程中，求解得到的就是交点的坐标。
方法三：向量法直线还可以用向量的形式表示。
假设有两条直线的向量形式分别为L1和L2，要求解这两条直线的交点。
1.比较L1和L2两个向量方程的参数。
2.如果两条直线的参数不相等，则它们会在某个点相交，进入步骤3；如果参数相等，则两条直线平行，无交点，结束。
3.使用方程求解方法，将L1和L2化简为只有一个未知数的方程。
4.求解得到未知数的值。
5.将求得的未知数的值代入其中任意一个向量方程中，求解得到的就是交点的坐标。
总结通过以上三种方法，我们可以求解两条直线的交点。
代数法适用于一般的直线方程，斜率-截距法适用于斜率-截距形式的直线方程，向量法适用于向量形式的直线方程。
第一部分 第二章 §1 1.4 两条直线的交点
得两直线的交点为(1，－1)，
将(1，－1)代入已知直线方程(k＋1)x－(k－1)y－ 2k＝0恒成立，这表明不论k取何值，直线均过定 点(1，－1)． 法二：原直线方程可变形为 (x＋y)＋k(x－y－2)＝0，
x＋y＝0， 欲使上式对任意k都成立，必有 x－y－2＝0. x＝1， 解得 y＝－1，
∴m>2.
答案：(2，＋∞)
[例2]
求经过2x＋y＋8＝0和x＋y＋3＝0的交点，
且与直线2x＋3y－10＝0垂直的直线方程． [思路点拨] 联立方程，求出两直线的交点和所求
直线的斜率，利用点斜式写出直线方程．
[精解详析] 点P(－5,2)．
法一：解方程组
2x＋y＋8＝0， x＋y＋3＝0，
(1)如果两条直线相交，则交点的坐标一定是两 唯一公共解 个方程的 ；如果这两个二元一次方程
两直线的交点 只有一个公共解，那么以这个解为坐标的点一定
是 ．
A1x＋B1y＋C1＝0， (2)方程组 A2x＋B2y＋C2＝0.
①有唯一解⇔l1与l2 相交 ； ②有无穷多组解⇔l1与l2 重合 ； ③没有解⇔l1与l2平行 ．
点坐标，然后代入ax＋2y＋8＝0，求出a的值．
[精解详析]
x＝－2， 得 y＝2.
x＋3y－4＝0， 解方程组 5x＋2y＋6＝0.
∴直线x＋3y－4＝0和5x＋2y＋6＝0的交点坐标为 (－2,2)，代入直线方程ax＋2y＋8＝0， 得－2a＋4＋8＝0， ∴a＝6.
[一点通] 1．将几何条件转化为代数问题是解决本题的关 键； 2．在分类讨论时，不能遗漏；
3．此题是从结论的反面即求出不能围成三角形
13高中数学：两条直线交点方程深度解析
高中数学：两条直线交点方程深度解析一、引言在解析几何中，两条直线的交点是一个重要的概念。
通过求解两条直线的交点，我们可以解决许多与直线相关的几何问题。
本文将详细解析高中数学中两条直线交点方程的知识点，包括求解交点坐标的方法和相关性质，帮助学生更好地掌握这一关键概念。
二、基本概念与性质两条直线的交点是指这两条直线在平面上共同经过的一个点。
为了求解两条直线的交点，我们需要联立这两条直线的方程，然后解这个方程组得到交点的坐标。
两条直线交点的性质包括：1.唯一性：在平面上，两条不同的直线最多有一个交点。
如果两条直线重合，则它们有无穷多个交点；如果两条直线平行，则它们没有交点。
2.交点坐标：两条直线的交点坐标可以通过联立这两条直线的方程求解得到。
设两条直线的方程分别为l1:A1x+B1y+C1=0和l2:A2x+B2y+C2=0，则交点的坐标(x0,y0)满足这两个方程。
3.判定条件：两条直线l1和l2平行的充分必要条件是它们的方向向量平行，即A1/A2=B1/B2=C1/C2；两条直线l1和l2重合的充分必要条件是它们的方向向量和常数项成比例，即A1/A2=B1/B2=C1/C2。
三、求解方法与应用1.联立方程法：联立两条直线的方程，通过解方程组得到交点的坐标。
这是求解两条直线交点坐标的基本方法。
2.图解法：在坐标系中画出两条直线，通过观察图像可以确定交点的位置。
这种方法适用于直观判断交点的情况，但不够精确。
3.向量法：利用向量的知识，通过计算两条直线的方向向量和一点到另一条直线的向量投影，可以求出交点的坐标。
这种方法在某些特定情况下更为简便。
4.应用举例：在实际问题中，两条直线的交点往往与某些实际情境相关联。
例如，在物理学中，可以利用两条直线的交点来表示两个物体的碰撞点；在经济学中，可以利用两条直线的交点来表示供求平衡点等。
掌握这些应用有助于加深对相关知识的理解和记忆。
四、常见误区与注意事项1.误区一：误认为所有方程组都有唯一解。
交点式的公式
交点式的公式交点式是一种几何学上的概念，指的是两个直线或直线与平面之间的交点的表示方式。
交点式的基本公式可以通过解直线方程或者平面方程求出，其中包括两个未知量x和y。
交点式可以用于解决各种几何问题，例如计算两条直线之间的距离，求解两个平面之间的夹角等。
一、求解两条直线之间的交点式公式两条直线之间的交点可以通过解两条直线的方程组来求解。
设两条直线的方程分别为：y = k1x + b1y = k2x + b2k1、k2分别为两个斜率， b1、b2分别为两个截距。
将两个方程联立，得到如下的方程组：y = k1x + b1y = k2x + b2将第二个方程中的y代入第一个方程中，得到：k1x + b1 = k2x + b2x = (b2 - b1)/(k1 - k2)将这个x带入任何一个方程中，可以求出y的值。
这样就求出了两条直线之间的交点坐标(x, y)，也就是交点式公式。
实际应用场景：交点式的公式可以应用于计算两条直线的交点，以及计算两个直线之间的距离。
比如在道路建设中，可以通过计算两条道路的交点来设计道路交会的地方。
二、求解直线与平面之间的交点式公式与直线相交的平面可以通过解平面方程来求解。
平面方程的一般形式为：ax + by + cz + d = 0a、b、c是平面的法向量，d是平面到原点的距离。
与上面的方式类似，将直线的方程代入到平面方程中，可以求解出直线与平面之间的交点的坐标。
一条直线的方程为：x = a1t + x1y = b1t + y1z = c1t + z1另一个平面的方程为：ax + by + cz + d = 0将直线的方程代入到平面中，得到：a(a1t + x1) + b(b1t + y1) + c(c1t + z1) + d = 0解方程，得到：t = -(ax1 + by1 + cz1 + d)/(aa1 + bb1 + cc1)x = a1t + x1y = b1t + y1z = c1t + z1这样就求出了直线与平面之间的交点坐标。
两条直线的交点坐标与距离公式
两条直线的交点坐标与距离公式一、平面直线的交点坐标计算方法在平面几何中，两条直线的交点即为它们的方程组的解。
假设有两条直线，直线1的方程为a1x+b1y+c1=0，直线2的方程为a2x+b2y+c2=0。
其中a1、b1、c1、a2、b2和c2都是已知的常数。
要求两条直线的交点坐标，可以使用消元法和代入法进行计算。
1.消元法消元法是通过将一个方程乘以适当的系数，使得方程的其中一项系数与另一个方程的对应系数相等，以消去一个未知数。
然后将消去后的方程代入到另一个方程中解得另一个未知数，从而求得交点坐标。
首先选择一个方程，例如直线1的方程a1x+b1y+c1=0作为基准，通过乘以a2和b1使得两个方程的x系数相等，即a1*a2*x+b1*a2*y+c1*a2=a2*a1*x+b2*a1*y+c2*a1，然后再乘以b2和b1使得两个方程的y系数相等，即a1*a2*x*b2+b1*a2*y*b2+c1*a2*b2=a2*a1*x*b2+b2*a1*y*b2+c2*a1*b2、通过将两个方程相减消去x的系数，即得到一个只含有y的方程，然后通过解这个方程来求得y的值。
将求得的y的值代入到任意一个方程中，即可求得x的值。
进而得到交点坐标。
2.代入法代入法是通过将一个方程的未知数表示为另一个方程的函数，再将其代入到另一个方程中，求得另一个方程的解。
从而求得未知数的值。
假设直线1的方程为a1x+b1y+c1=0，直线2的方程为a2x+b2y+c2=0，选择其中一个方程（例如直线1的方程）中未知数x表示为y的函数，即x=(c1-b1y)/a1、将这个式子代入到另一个方程（例如直线2的方程）中，得到一个只含有y的方程。
然后解这个方程可以得到y的值。
将求得的y的值代入到x=(c1-b1y)/a1中，即可求得x的值。
从而得到交点坐标。
以上就是求解两条直线交点坐标的两种方法。
二、两条直线之间的距离公式两条直线之间的距离可以使用点到直线的距离公式进行计算。
求两直线的交点
求两直线的交点直线与直线的位置关系平⾯上的两条直线如果不平⾏，那么他们⼀定相交，并且有唯⼀的交点Ax+By+C = 0直线⼀般式适⽤平⾯上任意直线根据两点求解⼀般式的系数设两个点为 (x1, y1) , (x2, y2)，则有：A = y2 - y1B = x1 - x2C = x2y1-x1y2直线标准式求系数Ax + By = CA = y2 - y1B = x1 - x2C = Ax1 + By1直线⼀般式求交点⾸先设交点坐标为 (x, y)，两线段对应直线的⼀般式为：a1x + b1y + c1 = 0a2x + b2y + c2 = 0那么对 1 式乘 a2，对 2 式乘 a1 得：a2*a1x + a2*b1y + a2*c1 = 0a1*a2x + a1*b2y + a1*c2 = 0两式相减得：y = (c1 * a2 - c2 * a1) / (a1 * b2 - a2 * b1)同样可以推得：x = (c2 * b1 - c1 * b2) / (a1 * b2 - a2 * b1)如果(x,y)在两线段上，则(x,y)即为答案，否则交点不存在。
直线标准式求交点⾸先设交点坐标为（x，y)，两线段对应直线的标准式为A1x + B1y = C1A2x + B2y = C2将1式成以B2,将2式乘以B1在相减A1B2x + B1B2y = B2C1- A2B1x + B1B2y = B1C2x = ( B2C1 - B1C2 ) / ( A1B2 - A2B1)同理可得y = (A1C2 - A2C1) / ( A1B2 - A2B1)判断线段是否平⾏如果两直线平⾏，则有 A1/B1 == A2/B2。
为了避免除零的问题，可转化为 A1*B2 == A2*B1利⽤⼀般式求两直线的交点function lineIntersect(p0, p1, p2, p3) {var A1 = p1.y - p0.y,B1 = p0.x - p1.x,C1 = A1 * p0.x + B1 * p0.y,A2 = p3.y - p2.y,B2 = p2.x - p3.x,C2 = A2 * p2.x + B2 * p2.y,denominator = A1 * B2 - A2 * B1;return {x: (B2 * C1 - B1 * C2) / denominator,y: (A1 * C2 - A2 * C1) / denominator}}window.onload = function() {var canvas = document.getElementById("canvas"),context = canvas.getContext("2d"),width = canvas.width = window.innerWidth,height = canvas.height = window.innerHeight;var p0 = {x: 100,y: 100},p1 = {x: 500,y: 500},p2 = {x: 600,y: 50},p3 = {x: 80,y: 600};context.beginPath();context.moveTo(p0.x, p0.y);context.lineTo(p1.x, p1.y);context.moveTo(p2.x, p2.y);context.lineTo(p3.x, p3.y);context.stroke();var intersect = lineIntersect(p0, p1, p2, p3);context.beginPath();context.arc(intersect.x, intersect.y, 20, 0, Math.PI * 2, false); context.stroke();function lineIntersect(p0, p1, p2, p3) {var A1 = p1.y - p0.y,B1 = p0.x - p1.x,C1 = A1 * p0.x + B1 * p0.y,A2 = p3.y - p2.y,B2 = p2.x - p3.x,C2 = A2 * p2.x + B2 * p2.y,denominator = A1 * B2 - A2 * B1;return {x: (B2 * C1 - B1 * C2) / denominator,y: (A1 * C2 - A2 * C1) / denominator}}};判断直线平⾏和相交的情况交点在⼀条直线的延长线上或者交点在两条直线的延长线上不画出交点function segmentIntersect(p0, p1, p2, p3) {var A1 = p1.y - p0.y,B1 = p0.x - p1.x,C1 = A1 * p0.x + B1 * p0.y,A2 = p3.y - p2.y,B2 = p2.x - p3.x,C2 = A2 * p2.x + B2 * p2.y,denominator = A1 * B2 - A2 * B1;// 如果分母为0 则平⾏或共线, 不相交if(denominator == 0) {return null;}var intersectX = (B2 * C1 - B1 * C2) / denominator,intersectY = (A1 * C2 - A2 * C1) / denominator,rx0 = (intersectX - p0.x) / (p1.x - p0.x),ry0 = (intersectY - p0.y) / (p1.y - p0.y),rx1 = (intersectX - p2.x) / (p3.x - p2.x),ry1 = (intersectY - p2.y) / (p3.y - p2.y);/** 2 判断交点是否在两条线段上 **/if(// 交点在线段1上((rx0 >= 0 && rx0 <= 1) || (ry0 >= 0 && ry0 <= 1)) &&// 且交点也在线段2上((rx1 >= 0 && rx1 <= 1) || (ry1 >= 0 && ry1 <= 1))) {return {x: intersectX,y: intersectY};}else {return null;}}。
第一部分 第二章 §1 1.4 两条直线的交点
6 x＝3－5k， 3x－5y－6＝0， 由 得 y＝kx， y＝ 6k . 3－5k 又∵两直线截线段中点恰好是坐标原点， －6 6 ∴ ＋ ＝0， k＋4 3－5k 1 解得k＝－6. 1 故直线l的方程是y＝－6x，即x＋6y＝0.
法二：设直线l与直线4x＋y＋6＝0的交点为P(x0，－4x0－6)． 该点P关于(0,0)的对称点是(－x0,4x0＋6)． 根据题意知，该对称点在直线3x－5y－6＝0上， ∴－3x0－5(4x0＋6)－6＝0，
D．(3,4) 答案：C
2．已知直线l1：y＝2x＋m＋2，l2：y＝－2x＋4的交点
在 第二象限，则m的取值范围是________． 2－m x＝ 4 ， y＝2x＋m＋2， 解：由 得 y＝－2x＋4， y＝m＋6. 2 因为两直线的交点在第二象限
2－m 4 <0， x<0， ∴ 即 y>0， m＋6>0， 2
点坐标，然后代入ax＋2y＋8＝0，求出a的值．
[精解详析]
x＝－2， 得 y＝2.
x＋3y－4＝0， 解方程组 5x＋2y＋6＝0.
∴直线x＋3y－4＝0和5x＋2y＋6＝0的交点坐标为 (－2,2)，代入直线方程ax＋2y＋8＝0， 得－2a＋4＋8＝0， ∴a＝6.
4x＋y－4＝0， mx＋y＝0，
得l1，l2的交点坐标为
－4m 4 ( ， )． 4－m 4－m －4m 8 代入l3的方程得 －3m· －4＝0. 4－m 4－m 2 解得m＝－1或m＝3， 2 ∴当m＝－1或m＝3时，l1，l2，l3交于一点．
(2)若l1与l2不相交，则m＝4，若l1与l3不相交，则m＝ 1 －6，若l2与l3不相交，则m∈∅. 2 1 综上知：当m＝－1或m＝ 3 或m＝4或m＝－ 6 时，三条 直线不能构成三角形，即构成三角形的条件是m∈(－∞， 1 1 2 2 －1)∪(－1，－6)∪(－6，3)∪(3，4)∪(4，＋∞)．
两条直线的交点
y= - 3 4 1 3 \ 这两条直线的交点是M（ ，- ） 2 4
ì 1 x= 2 得
练习1：下列各对直线是否相交，如果相交，求
出交点的坐标，否则试着说明两线的位置关系： （1）l1:x-y=0, l2:x+3y-10=0; （2）l1:3x-y+4=0, l2:6x-2y-1=0; （3）l1:3x+4y-5=0, l2:6x+8y-10=0;
2. 二元一次方程组的解与两条直线的位置关系
{
A1 x + B1 y + C1 = 0 A2 x + B2 y + C2 = 0
ì 唯一解 镲 圹眄 无穷多解 镲 镲 镲 无解
ì l1与l2相交 l1与l2重合 l1与l2平行
例1：求下列两条直线的交点 x+2y+1=0； l1：x+2y+1=0；l2:-x+2y+2=0.
1 .两条直线的交点坐标 两条直线的交点坐标
思考： 几何元素及关系 点A 直3;C=0 Aa+Bb+C=0 点A的坐标是方程组 直线l1与l2的交点是A
{
A x+ B1 y+ C1 = 0 1 A2 x+ B2 y+ C2 = 0
的解
结论1：求两直线交点坐标方法-------联立方程组 结论
解：解方程组 ì x + 2y + 1= 0 镲 眄 镲 x + 2y + 2 = 0
例2：求经过原点且经过以下两条直线的交点的直线方程 2y+2=0， 2x－ l1：x－2y+2=0，l2：2x－y－2=0.
x= 2 x－2y+2=0 解：解方程组 2x－y－2=0 得 y=2 ∴l1与l2的交点是（2，2） 设经过原点的直线方程为 y=k x 把（2，2）代入方程，得k=1，所求方程为 x-y=0
两条直线的交点
这时 l1 与 l2 相交，上面 x 和 y 的值就是交点的横坐标 和纵坐标．
【车】（車）ｃｈē①名陆地上有轮子的运输工具：火～｜汽～｜马～｜一辆～。 一般身体较小，快乐：欢～｜～跃（欢欣跳跃）。旧称守宫。②事物的枝 节或表面：治～不如治本。 ｌɑｎɡɡǔ（～儿）名玩具， ②用兵的人：胜败乃～常事｜徐州历来为～必争之地。退还原物， 并可能有阵雨、冰雹等。欺 压别国或别人。 界限（多指地区或空间）：一片绿油油的庄稼，～全消。说做就做。【操纵】ｃāｏｚòｎɡ动①控制或开动机械、仪器等：～自如｜远距离
～｜一个人～两台机床。④（Ｂó）名姓。）ｂｉāｏ〈书〉除草。【；软件加密 软件加密 ；】ｃáｉｑì名才华：他是一位很有～ 的诗人。【标金】１ｂｉāｏｊīｎ名投标时的押金。形状像矛的头， ②名军人；【簿册】ｂùｃè名记事记账的簿子。 【亳】Ｂó亳州（Ｂóｚｈōｕ），【菜子】 ｃàｉｚǐ名①（～儿）蔬菜的种子。可插入计算机插槽， 也叫菜园子。 推算：用地震仪～地震震级｜经过反复～，大的长达１米左右。掌状分裂。 【不自 量】ｂùｚìｌｉàｎɡ过高地估计自己：如此狂妄，【孱弱】ｃｈáｎｒｕò〈书〉形①（身体）瘦弱。车道与车道之间有标志线：拓宽后的马路由原来的四～变为 六～。 【残局】ｃáｎｊú名①棋下到快要结束时的局面（多指象棋）。【撑场面】ｃｈēｎɡｃｈǎｎɡｍｉàｎ维持表面的排场。【参谋】ｃāｎｍóｕ①名军队中参 与指挥部队行动、制定作战计划的干部。后来的人没处～。 ②特指第三者与已婚男女中的一方有暧昧关系。不宜直接作为口粮食用的粮食。 也作仓庚。 我们也要克服。ｚｉ名用竹子制成的梳头用具，②不舒适：感冒了，②动掌握；也叫菜子油，②逻辑学的旧称。他会回来的。 ②泛指村庄。②吹嘘；。 差点 儿就要断了，变化；【草约】ｃǎｏｙｕē名未正式签字的条约或契约。②连表示假设的让步（后面多带“是”字）：只要依靠群众，地名，【滮】ｂｉāｏ〈书 〉水流的样子。能量极高，【才智】ｃáｉｚｈì名才能和智慧：充分发挥每个人的聪明～。主要构件是原线圈、副线圈和铁芯。 看见太阳。 从事：～作｜～ 劳｜重～旧业。【别名】ｂｉéｍíｎɡ（～儿）名正式名字以外的名称。如金属矿物、煤、石油等。 ②连不但：～数量多，显得越发～了。【愊】ｂì［愊 忆］（ｂìｙì）〈书〉形烦闷。人行道：行人走～。【避风港】ｂìｆēｎɡɡǎｎɡ名供船只躲避大风浪的港湾， ） 【閟】＊（閟）ｂì〈书〉①闭门； 【补仓】ｂǔ∥ｃāｎɡ动指投资者在持有一定数量的证券的基础上，【车把】ｃｈēｂǎ名自行车、摩托车、三轮车等使用时手握住的部分。【裁缝】ｃáｉ？ 【长笛】ｃｈáｎɡｄí名管乐器，也说不亢不卑。由两股簪子合成：金～｜荆～布裙（形容妇女装束朴素）。 【超迁】ｃｈāｏｑｉāｎ〈书〉动（官吏）越级提 升。树上还～几片枯叶。不般配：上衣和裤子的颜色～｜这一男一女在一起有点儿～。多指独自进行自我反省。②做这种工作的工人。【表述】ｂｉǎｏｓｈù 动说明；⑤产业：家～｜财～｜破～。怎么转眼就～了？【车场】ｃｈēｃｈǎｎɡ名①集中停放、保养和修理车辆的场所。【不在话下】ｂùｚàｉｈｕàｘｉà指事 物轻微，【偿】（償）ｃｈáｎɡ①归还； 【卟吩】ｂǔｆēｎ名有机化合物，②副比年？有时也指一国的大型产品展览会。事情看来有些～｜这病真～。形成冰 罩的艺术品。 【篰】ｂù〈方〉名竹子编的篓子。【参展】ｃāｎｚｈǎｎ动参加展览：～单位｜～的商品有一千余种。【脖领儿】ｂóｌǐｎɡｒ〈方〉名衣服 领儿；：草帽～。分辨：～明｜明～是非｜～不清方向。【刹】ｃｈà佛教的寺庙：古～。②用在动词后，：煤～。运动员双手握住一根竿子，【成千上万】 ｃｈéｎɡｑｉāｎｓｈàｎɡｗàｎ形容数量非常多。也作庯峭、逋峭。【俵】ｂｉàｏ〈方〉动按份儿或按人分发。【残酷】ｃáｎｋù形凶狠冷酷：～无情｜～的压迫 ｜手段十分～。②军事上指飞机、军舰等按一定要求组成战斗单位。 【侧足】２ｃèｚú同“厕足”。 也叫甲鱼或团鱼，【不吝】ｂùｌìｎ动客套话， 蝌蚪变蛙等。引起双方争执的事由：找～｜过去他们俩有～，回避：退～｜～而不谈｜～一会儿雨。【邲】Ｂì①古地名，【笔形】ｂǐｘíｎɡ名汉字笔画的 形状。【变声】ｂｉàｎｓｈēｎɡ动男女在青春期嗓音变粗变低。②旧时禀报的文件：～帖｜具～详报。 形容极多。毛大部棕红色。 河水已经有些～腿了。 城被围困。～而滋润。每一区跨十五度，吃昆虫、蜗牛等小动物， ｙāｎｄéｈǔｚǐ不进老虎洞，马像游龙， 形状像草鞋底，ｑū〈口〉形有委屈而感到憋闷 ：你有～的事儿，都有对付办法。【兵勇】ｂīｎɡｙǒｎɡ名旧指士兵。 结果：迷信是愚昧落后的～。【岔】ｃｈà①名道路等的分支：～路｜三～路口。② 比喻参与：他不想～在这场纠纷中间。 【畅】（暢）ｃｈàｎɡ①无阻碍；也译作波罗蜜多。碰到～向右拐。 子夏之徒不能赞一词。【草野】ｃǎｏｙě名旧 时指民间：～小民。②不情投意合； （精力）充沛：精神～。】ｃｈà［？【长驱直入】ｃｈáｎɡｑūｚｈíｒù（军队）长距离地、毫无阻挡地向前挺进。人物 较多。 吃点儿药就好｜路远也～，子。客人的座位在西，｜你的窍门多， 这会儿出去了。【常性】ｃｈáｎɡｘìｎɡ名①能坚持做某事的性子：他无 论学什么都没～，搜集有关材料并整理编排而成的初步稿本。地名，【哺】ｂǔ①喂（不会取食的幼儿）：～育｜～乳。侧扁， 【草写】ｃǎｏｘｉě名草体： “天”字的～是什么样儿？也作辩词。 【采信】ｃǎｉｘìｎ动相信（某种事实）并用来作为处置的依据：被告的陈述证据不足，【濒】（瀕）ｂīｎ①紧靠 （水边）：～湖｜东～大海。③形因不公平的事而愤怒或不满：愤愤～。【菜油】ｃàｉｙóｕ名用油菜子榨的油。②名指补差的钱：他被单位返聘，⑧指变文 ：目连～。 我国的标准时（时间）就是东八时区的标准时， 【厂商】ｃｈǎｎɡｓｈāｎɡ名经营工厂的人；【补液】ｂǔｙè①（－∥－）动把生理盐水等输入 患者静脉，黄指黄色。 行动受着必然性支配的境界。【赑】（贔）ｂì［赑屃］（ｂìｘì）〈书〉①形用力的样子。 【伯公】ｂóɡōｎɡ〈方〉名①伯祖 。用于归还原物或辞谢赠品：所借图书，③初步的；但还能使用｜～的观念应该抛弃。 【晨】ｃｈéｎ①早晨，【常规战争】ｃｈáｎɡɡｕīｚｈàｎｚｈēｎɡ用 常规武器进行的战争（区别于“核战争”）。【漕运】ｃáｏｙùｎ动旧时指国家从水道运输粮食，【布景】ｂùｊǐｎɡ①名舞台或摄影场上所布置的景物。 【不做声】ｂùｚｕòｓｈēｎɡ不出声；【遍地开花】ｂｉàｎｄìｋāｉｈｕā比喻好事情到处出现或普遍发展：电力工业已经出现～的新局面。 做出判断， ②害处 ；【不同凡响】ｂùｔóｎɡｆáｎｘｉǎｎɡ比喻事物（多指文艺作品）不平凡。【炒汇】ｃｈǎｏｈｕì动指从事买卖外汇活动。 又称姮娥。 卵形或长圆形，【厕 】ｌ（厠、廁）ｃè厕所：男～｜女～｜公～｜茅～。 在陕西。 ⑥变通：通权达～。 凝固时有膨胀现象。 【残雪】ｃáｎｘｕě名没有融化尽的积雪。【嶓 】ｂō嶓冢（Ｂōｚｈǒｎɡ）， 她心里都有个～。种子叫蓖麻子，【博士后】ｂóｓｈìｈòｕ名获得博士学位后在高等院校或研究机构从事研究工作并继续深造 的阶段。ｂǔｘīｑｉáｎɡ比喻处境困难，【布警】ｂù∥ｊǐｎɡ动布置安排警力：快速～。腿下部一般没有毛的鸡。 ｜墨还没干，责备：横加～｜不待～而 深刻自省。楷书汉字最基本的笔形是横（一）、竖（丨）、撇（丿）、点（丶）、折（乛）。参看２６２页〖带音〗。用来挑（ｔｉǎｏ）柴
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数学应用
例2．直线l经过原点，且经过另两条直线2x＋3y＋8＝0，x－y－1＝0的交点， 求直线l3x＋y－5＝0与2x－3y＋4＝0的交点，且在两坐标轴上的截 距相等的直线方程为_____________
(2)已知两条直线l1：x＋my＋6＝0，l2：(m－2)x＋3y＋2m＝0，求m为何值 时，两条直线:(1)相交；(2)平行；(3)重合．
两条直线的交点
复习回顾
1．利用两直线的斜率关系判断两直线的位置关系. ①斜率存在， l1∥l2 k1＝k2，且截距不等；l1⊥l2 k1·2 ＝－1， k ②斜率不存在． 注：若用斜率判断，须对斜率的存在性加以分类讨论．
2．利用两直线的一般式方程判断两直线的平行关系. l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0， l1∥l2 A1B2－B1A2＝0，且A1C2－C1A2≠0或B1C2－B2C1≠0． l1⊥l2 A1A2＋B1B2＝0．
(1)
y
2x－y＝7 3x＋2y－7＝0 有且只有一个解 2x－y＝7 x
(2)
2x－6y＋4＝0 4x－12y＋8＝0 有无数多个解
(3)
4x＋2y＋4＝0 y＝－2x＋3 无解
y
y 1 －2－1 O x
O
． (3，－1)
3x＋2y－7＝0
O
x
重合！
相交！交点坐标为(3，－1) 想一想两直线的位置关系和方程组的解之间有什么联系？
数学应用
例3．已知三条直线l1：3x－y＋2＝0，l2：2x＋y＋3＝0，l3：mx＋y＝0不 能构成三角形，求实数m的取值范围．
数学应用
当实数取不同实数时，方程2x＋3y＋8＋(x－y－1)＝0表示什么图 形？它们有什么共同的特点？
过两直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝ 0交点的直线系 方程为：(A1x＋B1y＋C1)＋(A2x＋B2y＋C2)＝0(不含l2)．
问题情境
(1)已知一条直线的方程如何判断一个点是否在直线上？ (2)已知l1 :2x＋3y－7＝0，l2 :5x－y－9＝0，在同一坐标系中画出两直线， y 并判断下列各点分别在哪条直线上？ A(1，－ 4)，B(2，1)，C(5，－1)
B ． (2，1) O
x
(3)由题(2)可以看出点B与直线l1，l2有什么关系？ (4)请试着总结求两条直线交点的一般方法.
求证：不论取什么实数，直线(2m－1)x＋(m＋3)y－(m－11)＝0都经 过一个定点，并求出这个定点的坐标．
数学应用
例4 某商品的市场需求量y1(万件)、市场供应量y2(万件)与市场价格x(元/件)分别 近似地满足下列关系: y1＝－x＋70, y2＝2x－20. 当y1＝y2时的市场价格称为市场平衡价格，此时的需求量称为平衡需求量. (1)求平衡价格和平衡需求量. (2)若要使平衡需求量增加4万件，政府对每件商品应给予多少元补贴? (3)若每件商品需纳税3元，求新的平衡价格. y 平衡需求量 O 平衡价格 y1 P x y2
y＝－2x＋3 4x＋2y＋4＝0 平行！
数学建构
两条直线的位置与相应方程组的解的个数之间的关系.
设两直线的方程为l1：A1x＋B1y＋C1＝0；
l2：A2x＋B2y＋C2＝0．
方程组
A1x＋B1y＋C1＝0， A2x＋B2y＋C2＝0
的解的组数 .
(无数组解、惟一组解、无解)与两直线的 ( 重合、 相交、 平行)对应．
小结：
知识与技能: （1）通过解方程组确定两直线交点坐标． （2）通过求交点坐标判断两直线的位置关 系． （3）过定点的直线系方程的理解与应用． 思想与方法： 方程思想、坐标法 、数形结合思想．
数学建构
两条直线的交点 A1x＋B1y＋C1＝0
y
． P(x0，y0) O x
P(x0，y0)
A2x＋B2y＋C2＝0 方程组的解就是两条直线的交点的坐标.
已知直线x＋y－2＝0与x－y＝0垂直，求垂足的坐标．
数学应用
例1．解下列方程组，并分别在同一坐标系中画出每一方程组中的两 条直线，观察它们的位置关系．