两条直线的交点

数学建构
两条直线的交点 A1x＋B1y＋C1＝0
y
． P(x0，y0) O x
P(x0，y0)
A2x＋B2y＋C2＝0 方程组的解就是两条直线的交点的坐标.
已知直线x＋y－2＝0与x－y＝0垂直，求垂足的坐标．
数学应用
例1．解下列方程组，并分别在同一坐标系中画出每一方程组中的两 条直线，观察它们的位置关系．
问题情境
(1)已知一条直线的方程如何判断一个点是否在直线上？ (2)已知l1 :2x＋3y－7＝0，l2 :5x－y－9＝0，在同一坐标系中画出两直线， y 并判断下列各点分别在哪条直线上？ A(1，－ 4)，B(2，1)，C(5，－1)
B ． (2，1) O
x
(3)由题(2)可以看出点B与直线l1，l2有什么关系？ (4)请试着总结求两条直线交点的一般方法.
数学应用
例2．直线l经过原点，且经过另两条直线2x＋3y＋8＝0，x－y－1＝0的交点， 求直线l的方程．
数学应用
(1)经过两直线3x＋y－5＝0与2x－3y＋4＝0的交点，且在两坐标轴上的截 距相等的直线方程为_____________
(2)已知两条直线l1：x＋my＋6＝0，l2：(m－2)x＋3y＋2m＝0，求m为何值 时，两条直线:(1)相交；(2)平行；(3)重合．
(1)
y
2x－y＝7 3x＋2y－7＝0 有且只有一个解 2x－y＝7 x
(2)
2x－6y＋4＝0 4x－12y＋8＝0 有无数多个解
(3)
4x＋2y＋4＝0 y＝－2x＋3 无解
y
y 1 －2－1 O x
O
． (3，－1)
3x＋2y－7＝0
O
x
重合！
相交！交点坐标为(3，－1) 想一想两直线的位置关系和方程组的解之间有什么联系？
两条直线的交点
复习回顾
1．利用两直线的斜率关系判断两直线的位置关系. ①斜率存在， l1∥l2 k1＝k2，且截距不等；l1⊥l2 k1·2 ＝－1， k ②斜率不存在． 注：若用斜率判断，须对斜率的存在性加以分类讨论．
2．利用两直线的一般式方程判断两直线的平行关系. l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0， l1∥l2 A1B2－B1A2＝0，且A1C2－C1A2≠0或B1C2－B2C1≠0． l1⊥l2 A1A2＋B1B2＝0．
求证：不论取什么实数，直线(2m－1)x＋(m＋3)y－(m－11)＝0都经 过一个定点，并求出这个定点的坐标．
数学应用
例4 某商品的市场需求量y1(万件)、市场供应量y2(万件)与市场价格x(元/件)分别 近似地满足下列关系: y1＝－x＋70, y2＝2x－20. 当y1＝y2时的市场价格称为市场平衡价格，此时的需求量称为平衡需求量. (1)求平衡价格和平衡需求量. (2)若要使平衡需求量增加4万件，政府对每件商品应给予多少元补贴? (3)若每件商品需纳税3元，求新的平衡价格. y 平衡需求量 O 平衡价格 y1 P x y2
小结：
知识与技能: （1）通过解方程组确定两直线交点坐标． （2）通过求交点坐标判断两直线的位置关 系． （3）过定点的直线系方程的理解与应用． 思想与方法： 方程思想、坐标法 、数形结合思想．
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数学应用
例3．已知三条直线l1：3x－y＋2＝0，l2：2x＋y＋3＝0，l3：mx＋y＝0不 能构成三角形，求实数m的取值范围．
数学应用
当实数取不同实数时，方程2x＋3y＋8＋(x－y－1)＝0表示什么图 形？它们有什么共同的特点？
过两直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝ 0交点的直线系 方程为：(A1x＋B1y＋C1)＋(A2x＋B2y＋C2)＝0(不含l2)．
y＝－2x＋3 4x＋2y＋4＝0 平行！
数学建构
两条直线的位置与相应方程组的解的个数之间的关系.
设两直线的方程为l1：A1x＋B1y＋C1＝0；
l2：A2x＋B2y＋C2＝0．
方程组
A1x＋B1y＋C1＝0， A2x＋B2y＋C2＝0
的解的组数 .
(无数组解、惟一组解、无解)与两直线的 ( 重合、 相交、 平行)对应．