两条直线的交点坐标及两点间的距离公式
课件2：2.3.1 两条直线的交点坐标 ~2.3.2 两点间的距离公式
(2)轴对称： ①点 A(a，b)关于直线 Ax＋By＋C＝0(B≠0)的对称点 A′(m，n)， 则有mAn－·－a＋ba2×m＋－BAB·b＝＋2－n＋1，C＝0. ②直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决．
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[跟踪训练] 求直线 m：3x－2y－6＝0 关于直线 l：2x－3y＋1＝0 的对称直线 m′ 的方程． 解：在直线 m 上取一点，如 M(2,0)， 则 M(2,0)关于直线 l 的对称点 M′必在直线 m′上．
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法二：∵kAC＝1－7－－13＝32，kAB＝3－－3－ －13＝－23， 则 kAC·kAB＝－1，∴AC⊥AB. 又|AC|＝ 1＋32＋7－12＝2 13， |AB|＝ 3＋32＋－3－12＝2 13， ∴|AC|＝|AB|，∴△ABC 是等腰直角三角形．
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[母题探究] (变设问)本例条件不变，求 BC 边上的中线 AM 的长． 解：设点 M 的坐标为(x，y)，因为点 M 为 BC 的中点， 所以 x＝3＋2 1＝2，y＝－32＋7＝2，即点 M 的坐标为(2,2)． 由两点间的距离公式得|AM|＝ －3－22＋1－22＝ 26， 所以 BC 边上的中线 AM 的长为 26.
并求|PA|的值． 解：设点 P 的坐标为(x,0)，则有
|PA|＝ x＋32＋0－42＝ x2＋6x＋25，
|PB|＝ x－22＋0－ 32＝ x2－4x＋7.
由|PA|＝|PB|，得 x2＋6x＋25＝x2－4x＋7，解得 x＝－95.
故所求点 P 的坐标为－95，0.|PA|＝
－95＋32＋0－42＝2
则点(－1，－2)必在所求直线上，∴2×(－1)＋3×(－2)＋C＝0，C＝8.
∴所求直线方程为 2x＋3y＋8＝0. [答案] (1)B (2)D
两条直线的交点坐标与两点间的距离公式
两条直线的交点坐标与两点间的距离公式1、直线2x+y-7=0与直线x+y=1的交点坐标2、直线2x-3y+10=0与直线3x+4y-2=0的交点坐标为，过该交点垂直于直线3x-2y+4=0的直线方程为3、直线2x+y-8=0与直线x-2y+1=0的交点坐标为，过该交点平行于直线4x-3y-7=0的直线方程为4、三条直线ax+2y+8=0,4x+3y=10,2x-y=10相交于一点，a的值5、已知点A(1,2) 、B（2，0）、P（0，3）、Q（-1，1）、M（1，0）、N（-4，0）线段AB=, MN=，PQ=6、两条垂直直线2x+y+2=0与ax+4y-2=0的交点坐标为7、若三条直线y=2x , x+y=3, mx+ny+5=0 相交于同一点，则（m,n）可能是（）A、(1,-3)B、（3，-1）C、（-3，1）D、（-1，3）8、已知点A（0，-1），点B在直线x-y+1=0上，直线AB垂直于直线x+2y-3=0, 则点B点的坐标是（）A、（-2，-3）B、（2，3）C、（2，1）D、（-2，1）9、直线ax+4y-2=0与直线2x-5y+c=0垂直并且相交于点(1,m)，求a,c,m的值10、点A（-3，5）、B(2,15) 、C（4，3），试在直线l: 3x-4y+4=0上找一点P：+最小，并求其最小值（1）使得PA PC+最小，并求其最小值（2）使得PA PB11、已知三角形ABC的顶点A（5，1），AB边上的中线CM所在的直线方程为250--=，求：x y--=，AC边上的高BH所在直线方程为250x y（1）顶点C的坐标（2）直线BC的方程点到直线的距离公式与两条平行直线间的距离1、点P （-5，7）到直线12x+5y-3=0的距离（ ）A 、28B 、25C 、2513D 、28132、两条平行直线3x-2y-1=0与3x-2y+1=0间的距离是（ ）A 、2B 、213 C 、 13D 、253、直线x+3y-9=0与直线x+3y-c=0C 的值为（ ）A 、1-B 、 19C 、 1-或19D 、无法确定4、已知定点(,6)A A 到直线342x y -=的距离为d:(1) 如d=4 ,则a 的值为(2) 如4d ≥ ，则a 的取值范围是5、两条平行直线34120x y +-=与8110ax y ++=间的距离为6、平行于已知直线l: 20x y --= , 且与l 的距离为7、点P （m-n ,-m ）到直线1x y m n+=的距离8、经过点（ 1，3 ）且与原点的距离为1的直线方程为9、已知点A（-3，-4），B（6，3）到直线l: 10ax y++=的距离相等，求a 的值。
两直线的交点坐标和距离公式
两直线的交点坐标和距离公式首先，让我们来看直线交点坐标公式。
设直线1的方程为y=m1x+c1，直线2的方程为y=m2x+c2、这里，m1和m2分别是直线1和直线2的斜率，c1和c2是它们的截距。
要计算两条直线的交点坐标，我们可以将直线1和直线2的方程联立，解出x和y的值。
具体步骤如下：1.将直线1和直线2的方程联立：m1x+c1=m2x+c22.移项得：m1x-m2x=c2-c13.合并同类项：(m1-m2)x=c2-c14.求解x的值：x=(c2-c1)/(m1-m2)5.将x的值带入直线的方程，求解y的值：y=m1x+c1或y=m2x+c2这样，我们就可以得到两条直线的交点坐标(x,y)。
下面，让我们来看直线之间的距离公式。
设直线1的方程为Ax+By+C1=0，直线2的方程为Ax+By+C2=0。
这里，A、B和C1、C2分别是直线1和直线2的系数。
要计算两条直线之间的距离，我们可以使用以下公式：d=，C2-C1，/√(A^2+B^2)其中，C2-C1，表示C2和C1的绝对值。
√(A^2+B^2)表示A^2+B^2的平方根。
需要注意的是，当A^2+B^2=0时，即直线1和直线2平行，此时它们没有交点。
接下来，我将给出两个实际应用的例子，以帮助读者更好地理解直线的交点坐标和距离公式。
例子1：两条直线的交点设直线1的方程为y=2x+3，直线2的方程为y=-x+1、我们需要计算这两条直线的交点坐标。
将直线1和直线2的方程联立，可得：2x+3=-x+1移项得：3x=-2解出x的值得到：x=-2/3将x的值带入直线的方程，可得：y=2*(-2/3)+3=-1/3所以，这两条直线的交点坐标为(-2/3,-1/3)。
例子2：两条直线的距离设直线1的方程为2x+3y-4=0，直线2的方程为4x-6y+8=0。
我们需要计算这两条直线之间的距离。
根据直线之间的距离公式，可以计算得到：d=，(-6)-3(4)，/√(2^2+3^2)=6/√13所以，这两条直线之间的距离为6/√13通过以上例子，我们可以看到直线的交点坐标公式和距离公式的实际应用。
两直线交点的坐标与距离公式
两直线交点的坐标与距离公式 知识点：知识点：1. 两相交直线的交点的坐标两相交直线的交点的坐标2. 如果已知平面上两点P 1(x 1,y 1)、P 2(x 2,y 2), 3. 点P(x 0,y 0)到直线Ax+By+C=0(A 、B 不同时为0)的距离为距离为 4．已知两条平行线l 1:Ax+By+C 1=0, l 2:Ax+By+C 2=0 (C 1=C 2).则l 1与l 2之间的距离为：之间的距离为：对称问题：1． 点关于点的对称点点关于点的对称点2． 点关于直线的对称点点关于直线的对称点若两点P 1(x 1,y 1)与P 2(x 2,y 2)关于直线l:Ax+By+C=0对称,则线段P 1P 2的中点在对称轴l 上,而且连结P 1,P 2的直线垂直于对称轴l,由方程组: îïíì=++++=--0)2()2(21212121C y y B x x AAB x x y y 其中A ≠0,x 1≠x 2A(x,y) 关于x 轴的对称点A ’ . B(x,y) 关于y 轴的对称点B ’ . 练习:求点A(2,2)关于直线2x-4y+9=0的对称点的坐标. 3. 直线关于点对称的直线直线关于点对称的直线练习:求直线l:y=3x-4关于点M(1,1)对称的直线方程. 4. 关于直线对称的两条直线关于直线对称的两条直线若已知直线l 1与对称轴l 相交,则交点必在与l 1对称的直线l 2上,然后再求出l 1上任一个已知点P 1关于对称轴l 对称点P 2,那么经过交点及点P 2的直线就是l 2; 若已知直线l 1与对称轴l 平行,则与l 1对称的直线和l 1到直线l 的距离相等,由平行直线系和两条平行线间的距离,即可求出l 1的对称直线. 练习.求直线l 1:x-y-2=0关于直线l 2:3x-y+3=0的对称直线l ’的方程. 练习. 已知三条直线l 1:2x-y+a=0(a>0),l 2:-4x+2y+1=0, l 3:x+y-1=0,且l 1与l 2的距离是1057. (1) 求a 的值; (2) 求l 1与l 3的交点A 关于l 2的对称点的坐标; (3) 求l 2关于l 3的对称直线方程. 直线过定点问题及应用1由“y-y 0=k(x-x 0)”求定点”求定点把含有参数的直线方程改写成y-y 0=k(x-x 0)的形式，这样就证明了它所表示的所有直线必过定点（x 0,y 0）2由“l 1+λl 2=0”求定点”求定点在平面上如果已知两条相交直线l 1:A 1x+B 1y+C 1=0与l 2:A 2x+B 2y+C 2=0,则过l 1、l 2交点的直线系方程是：直线系方程是：A 1x+B 1y+C 1+λ(A 2x+B 2y+C 2)=0 其中λ为参数，并简写为l 1+λl 2=0. 根据这一道理，可知如果能把含有参数的直线方程改写成l 1+λl 2=0的形式，这就证明了它表示的直线必过定点，其定点的求法可由îíì=++=++0222111C y B x A C y B x A 解得。
两条直线的交点坐标及两点间的距离公式
两条直线的交点坐标及两点间的距离公式要求出两条直线的交点坐标，可以将两条直线的方程联立，得到如下方程组：a1x+b1=a2x+b2(1)y=a1x+b1通过对方程组进行求解，可以得到两条直线的交点坐标。
首先，我们可以将方程(1)两边关于x进行整理，得到：(a1-a2)x=b2-b1再将这个结果代入方程y=a1x+b1中，可以求解出y的值。
现在，我们来看一个具体的实例来说明如何通过方程组来计算两条直线的交点坐标。
假设有两条直线分别为y=2x+1和y=-3x+4我们可以将这两条直线的方程联立，得到方程组如下：2x+1=-3x+4(2)y=2x+1将方程(2)两边关于x进行整理，得到：5x=3解方程5x=3，可以得到x=3/5再将这个结果代入方程y=2x+1中，可以求解出y的值。
代入x=3/5，可以得到y=2*(3/5)+1=6/5+1=11/5因此，两条直线的交点坐标为(3/5,11/5)。
接下来，我们来介绍一下两点间的距离公式。
两点间的距离公式可以通过勾股定理推导得到。
假设有平面上的两个点A(x1,y1)和B(x2,y2)，则点A和点B之间的距离可以表示为：d=√((x2-x1)²+(y2-y1)²)这个公式可以通过勾股定理的推导得到。
假设有直角三角形ABC，其中角C为直角，AB为斜边，AC为边长为a，BC为边长为b，AB为边长为c。
根据勾股定理可以得到a²=b²+c²。
将直角三角形ABC的顶点A(x1,y1)和B(x2,y2)的坐标代入，可以得到：c²=(x2-x1)²+(y2-y1)²开方后可以得到两点间的距离d，即：d=√((x2-x1)²+(y2-y1)²)这就是两点间的距离公式。
通过这个公式，我们可以计算出平面上两个点之间的距离，进而可以用来计算两条直线的距离。
总结起来，要确定两条直线的交点坐标，可以通过解直线方程组来计算。
两条直线的交点坐标、两点间的距离公式 课件
两条直线的交点坐标 两点间的距离公式
要点 两条直线的交点 (1)已知两条直线的方程分别是 l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x ＋B2y＋C2＝0，当方程组 AA12xx＋ ＋BB12yy＋ ＋CC12＝ ＝00，有唯一解时，l1 与 l2 相交；有无穷多个解时，说明直线 l1 与 l2 重合；当方程组无解 时，l1 与 l2 平行．
②类似地，有 l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0.
(4)①设 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则 |P1P2|＝ （x2－x1）2＋（y2－y1）2. ②原点 O(0，0)与任一点 P(x，y)的距离|OP|＝ x2＋y2.
如何设直线系方程？
答：(1)与直线 Ax＋By＋C＝0 平行的直线系方程是 Ax＋By＋ m＝0(m≠C)；
(2)经过两直线交点的直线系方程：(A1x＋B1y＋C1)＋λ(A2x ＋B2y＋C2)＝0(其中不包括直线 A2x＋B2y＋C2＝0)．
(3)已知 l1：A1x＋B1y＋C1＝0 与 l2：A2x＋B2y＋C2＝0，则 ①A1B2－A2B1≠0⇔l1 与 l2 相交；A1B2－A2B1＝0 且 A1C2－A2C1 ≠0⇔l1∥l2；A1B2－A2B1＝0 且 A1C2－A2C1＝0⇔l1 与 l2 重合．
题型三 两点间的距离公式的应用
例 3 求函数 y＝ x2－8x＋20＋ x2＋1的最小值． 【思路分析】 常规方法显然行不通，只有进行转化！根据结 构联想距离．
【 解 析 】 原 式 可 化 为 y ＝ （x－4）2＋（0－2）2 ＋ （x－0）2＋（0－1）2 ，考虑 两点间 的距 离 公式形 式得三点 A(4，2)，B(0，1)，P(x，0)，则上述问题转化为：在 x 轴上求一 点 P(x，0)，使得|PA|＋|PB|最小．作点 A(4，2)关于 x 轴的对称点 A′(4，－2)，可知|PA|＋|PB|＝|PA′|＋|PB|≥|A′B|，故|PA|＋|PB| 的最小值为|A′B|的长度．由两点间的距离公式，得|A′B|＝ 42＋（－2－1）2＝5，所以，函数 y＝ x2－8x＋20＋ x2＋1的 最小值为 5.
直线的交点坐标与距离公式
直线的交点坐标与距离公式在平面几何中，直线是直角坐标系中的基本图形之一、直线的交点坐标和距离公式在解决直线的相关问题时非常有用。
接下来，我将详细介绍直线的交点坐标和距离公式。
1.直线的交点坐标公式：设直线L1的方程为y=k1x+b1，直线L2的方程为y=k2x+b2、若L1和L2有交点，则交点的坐标(x0,y0)满足以下等式：k1x0+b1=k2x0+b2解上述等式可以得到交点的横坐标x0。
将x0带入其中一个直线的方程，可以求得交点的纵坐标y0。
如果两条直线平行，则它们没有交点。
2.直线的距离公式：设点P到直线L的距离为d。
L的一般方程为Ax+By+C=0。
点P的坐标为(x0,y0)。
则点P到直线L的距离d可以由以下公式计算：d=，Ax0+By0+C，/√(A^2+B^2)以上就是直线的交点坐标和距离公式的基本内容。
下面我们将通过具体的例子来进一步理解和应用这些公式。
例1：求直线y=2x+3和y=-x+4的交点坐标。
解：将两个方程相等，得到：2x+3=-x+43x=1x=1/3将x=1/3带入其中一个方程，可以求得y的值：y=2*(1/3)+3=7/3因此，这两条直线的交点坐标为(1/3,7/3)。
例2：求点(1,-2)到直线3x-4y+5=0的距离。
解：由于A=3，B=-4，C=5，将这些值代入距离公式中，可以得到：d=，3*1-4*(-2)+5，/√(3^2+(-4)^2)=，3+8+5，/√(9+16)=16/√25=16/5因此，点(1,-2)到直线3x-4y+5=0的距离为16/5通过以上两个例子，我们可以看到直线的交点坐标和距离公式在解决直线相关问题时的重要性。
它们能够帮助我们简单、快速地求解直线的交点和距离，为我们的几何计算提供便利。
除了直线的交点坐标和距离公式，还有其他的直线相关的公式和定理，如直线的斜率公式、两直线垂直的判定等等。
通过深入学习和理解这些公式和定理，我们将能够更好地应用它们解决各种几何问题，提高我们的数学能力。
2.3.1 两条直线的交点坐标~2.3.2 两点间的距离公式(解析版)..
2.3直线的交点坐标与距离公式2．3.1两条直线的交点坐标2．3.2两点间的距离公式知识梳理知识点一两条直线的交点1．两直线的交点已知直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0；l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0.点A (a ，b )．(1)若点A 在直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0上，则有A 1a ＋B 1b ＋C 1＝0.(2)若点A 是直线l 1与l 2的交点，则有A 1a ＋B 1b ＋C 1＝0，A 2a ＋B 2b ＋C 2＝0.2．两直线的位置关系方程组A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的解一组无数组无解直线l 1与l 2的公共点的个数一个无数个零个直线l 1与l 2的位置关系相交重合平行知识点二两点间的距离公式：点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)间的距离公式|P 1P 2|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2.特别提醒：(1)此公式与两点的先后顺序无关．(2)原点O (0,0)与任一点P (x ，y )的距离|OP |＝x 2＋y 2.题型探究题型一、求相交直线的交点坐标1．过两条直线1:30l x y -+=与2:20l x y +=的交点，倾斜角为π3的直线方程为()A ．3320x y -++=B ．33360x y -++=C ．3340x y ---=D ．333120x y ---=【答案】A【详解】由3020x y x y -=⎧⎨=⎩＋＋解得12x y =-⎧⎨=⎩，故两直线交点为(－1，2)，故直线方程是：()231y x -=＋，即3230x y -=＋＋．故选：A ．2．经过两条直线2310x y ++=和2330x y -+=的交点，并且平行于直线y x =的直线的一般式方程为______．【答案】3340x y -+=【详解】由23102330x y x y ++=⎧⎨-+=⎩解得113x y =-⎧⎪⎨=⎪⎩，故交点坐标为11,3⎛⎫- ⎪⎝⎭，由平行于直线y x =可得斜率为1，故方程为113y x -=+，化为一般方程为3340x y -+=.故答案为：3340x y -+=.3．经过两条直线1:40l x y ++=和22:0x y l --=的交点，且与直线210x y --=垂直的直线方程为_______．【答案】270x y ++=【详解】由4020x y x y ++=⎧⎨--=⎩，解得13x y =-⎧⎨=-⎩，即直线1:40l x y ++=和22:0x y l --=的交点坐标为()1,3--，设与直线210x y --=垂直的直线方程为20x y n ++=，则()1230n -+⨯-+=，解得7n =，所以直线方程为270x y ++=；故答案为：270x y ++=4．设三直线1:3420l x y +-=；2:220l x y ++=；3:340l kx y +-=交于一点，则k 的值为______．【答案】1【详解】联立3420220x y x y +-=⎧⎨++=⎩，解得22x y =-⎧⎨=⎩，即1l 与2l 交于点(2,2)-，依题意可知，23240k -+⨯-=，解得1k =.故答案为：1.题型二、方程组解的个数与直线位置关系1．两条直线1110A x B y C ++=与2220A x B y C ++=的交点坐标就是方程组1112220,{0A xB yC A x B y C ++=++=的实数解，给出以下三种说法：①若方程组无解，则两直线平行；②若方程组只有一解，则两直线相交；③若方程组有无数多解，则两直线重合．其中说法正确的个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．0【答案】C【详解】①若方程组无解，则两条直线无交点，两直线平行；正确；②若方程组只有一解，说明两条直线只有一个交点，则两直线相交；正确；③若方程组有无数多解，说明两条直线有无数多个交点，则两直线重合．正确.故答案为C.【点睛】在同一平面内，两条直线有三种位置关系，即相交、平行、重合．相应地由直线的方程组成的二元一次方程组的解有三种情况，即有唯一解、无解、有无数解．当1112220,0A xB yC A x B y C ++=⎧⎨++=⎩的解只有一组时，这两条直线1l 和2l 有一个公共点，它们的位置关系为相交．当1112220,0A x B y C A x B y C ++=⎧⎨++=⎩的解有无数组时，这两条直线1l 和2l 有无数个公共点，它们的位置关系为重合．当1112220,0A x B y C A x B y C ++=⎧⎨++=⎩无解时，这两条直线1l 和2l 没有公共点，它们的位置关系为平行．2．若关于x 、y 的方程组46132x y ax y +=⎧⎨-=⎩无解，则实数=a ________【答案】2-【详解】由题意关于x 、y 的方程组46132x y ax y +=⎧⎨-=⎩无解，即直线461x y +=和直线32ax y -=平行，故4612603D a a ==--=-，所以2a =-，此时直线32ax y -=即464x y +=-，确实与461x y +=平行，故满足题意，所以实数2a =-.故答案为：-2.3．若关于x ，y 的方程组2436x y x ay +=⎧⎨+=⎩有唯一解，则实数a 满足的条件是________.【答案】6a ≠【详解】由2436x y x ay +=⎧⎨+=⎩，可得()660a y -+=，由关于x ，y 的方程组2436x y x ay +=⎧⎨+=⎩有唯一解，可得方程()660a y -+=有唯一解，则6a ≠故答案为：6a ≠4．若关于x 的二元一次方程组4200x my m mx y m +-+=⎧⎨++=⎩有无穷多组解，则m =______．【答案】2-【详解】依题意二元一次方程组4200x my m mx y m +-+=⎧⎨++=⎩有无穷多组解，即两个方程对应的直线重合，由41m m ⨯=⨯，解得2m =或2m =-.当2m =时，二元一次方程组为42020220220x y x y x y x y +=+=⎧⎧⇒⎨⎨++=++=⎩⎩，两直线不重合，不符合题意.当2m =-时，二元一次方程组为4240220220220x y x y x y x y -+=-+=⎧⎧⇒⎨⎨-+-=-+=⎩⎩，两直线重合，符合题意.综上所述，m 的值为2-.故答案为：2-题型三、由直线交点的个数求参数1．已知两定点()2,3M -，()3,2N --，直线l 过()1,2P 且与线段MN 相交，则l 的斜率k 的取值范围是（）A ．1k ³B ．5k ≤-C ．51k -≤≤D ．1k ³或5k ≤-【答案】D【详解】如图所示：()()()23225,11213PM PN k k ----==-==---，因为直线l 过()1,2P 且与线段MN 相交，所以l 的斜率k 的取值范围是1k ³或5k ≤-.故选：D2．设点()2,3A -,()3,2B ,若直线20ax y -++=与线段AB 没有交点,则a 的取值范围是()A ．45,32⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．54,,23⎛⎤⎡⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭C ．54,23⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．45,,32⎛⎤⎡⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭【答案】C 【详解】直线20ax y -++=与线段AB 没有交点即直线2y ax =-与线段AB 没有交点对于直线2y ax =-,令0x =,则2y =-,则直线恒过点()0,2C -根据题意,作出如下图像:(0,2)C -,()2,3A -∴根据两点求斜率公式可得:直线AC 的斜率为32522AC k +==--(0,2)C -,()3,2B ∴根据两点求斜率公式可得:直线BC 的斜率为224303BC k +==-直线20ax y -++=的斜率为a若直线20ax y -++=与线段AB 没有交点，则5423a -<<故选:C.题型四、两点间的距离1．已知点()2,4A ，()5,4B ，那么A ，B 两点之间的距离等于（）A ．8B ．6C ．3D ．0【答案】C【详解】因点()2,4A ，()5,4B ，则22||(25)(44)3AB =-+-=，所以A ，B 两点之间的距离等于3.故选：C2．已知点(1,2),(3,4),(5,0)A B C ，求证：ABC 是等腰三角形．【详解】∵22(31)(42)8AB =-+-=，22(53)(04)20BC =-+-=，22(51)(02)20AC =-+-=，∴AC BC =，∵421,31AB k -==-021512AC k -==--，∴AB AC k k ≠，∴,,A B C 三点不共线，∴ABC 是等腰三角形．3．已知点(1,3)A -，(2,6)B ，若在x 轴上存在一点P 满足PA PB =，则点P 的坐标为___________．【答案】()5,0【详解】设(),0P x ，则22(1)9(2)36x x ++=-+，解得5x =，∴点P 的坐标为()5,0，故答案为：()5,0．跟踪训练1．判断下列各对直线的位置关系.若相交，求出交点坐标：（1）l 1：2x ＋y ＋3＝0，l 2：x －2y －1＝0；（2）l 1：x ＋y ＋2＝0，l 2：2x ＋2y ＋3＝0.【答案】（1）相交，(－1，－1)；（2）平行.【详解】（1）解方程组230210x y x y ++=⎧⎨--=⎩得11x y =-⎧⎨=-⎩所以直线l 1与l 2相交，交点坐标为(－1，－1).（2）解方程组202230x y x y ++=⎧⎨++=⎩①×2－②，得1＝0，矛盾，方程组无解.所以直线l 1与l 2无公共点，即l 1//l 2.2．若直线2100x y --=经过直线43100x y +-=和280ax y ++=的交点，则=a ___________.【答案】1-【详解】由题意，直线2100x y --=，43100x y +-=，280ax y ++=交于一点，所以210043100x y x y --=⎧⎨+-=⎩，得42x y =⎧⎨=-⎩，所以直线280ax y ++=过点()4,2-，得()42280a +⨯-+=，求解得1a =-.故答案为：1-3．已知直线l ：120()kx y k k R -++=∈，若直线l 与直线10x y -+=，2380x y +-=三线共点，求k 的值.【答案】13【详解】由102380x y x y -+=⎧⎨+-=⎩，得12x y =⎧⎨=⎩，所以直线10x y -+=，2380x y +-=的交点为()1,2，将()1,2代入()120R kx y k k -++=∈，解得13k =.4．若关于x ，y 的二元一次方程组96mx y m x my m +=+⎧⎨+=⎩无解，则实数m =__________．【答案】3-【详解】因为关于x ，y 的二元一次方程组96mx y m x my m +=+⎧⎨+=⎩无解，所以直线96mx y m +=+与直线+=x my m 平行，所以290m -=，解得3m =±，当3m =时，两直线重合，故答案为：3-.5．已知关于,x y 的方程组()222(1)1,(1)1a x a y a a x a y a ⎧--+=+⎪⎨-+=-⎪⎩有唯一解，则实数a 的取值范围是__________.【答案】1()a a R ≠-∈【详解】由方程组()222(1)1(1)1a x a y a a x a y a ⎧--+=+⎪⎨-+=-⎪⎩中的两个方程对应两条直线，则方程组的解就是两直线的交点，要使得两直线只有一个交点，则满足22(2)(1)(1)0a a a a -+-+≠，即2(1)0a -+≠，解得1()a a R ≠-∈.故答案为：1()a a R ≠-∈.6．关于x ､y 的二元一次方程组7352x by ax y -=⎧⎨+=⎩有无穷多组解，则a 与b 的积是_____.【答案】-35【详解】因为x ､y 的二元一次方程组7352x by ax y -=⎧⎨+=⎩有无穷多组解，所以直线73x by -=与直线52ax y +=重合，所以7352b a -==，解得1415,32a b ==-，所以35ab =-，故答案为：-357．已知直线l 过定点()1,2P -，且与以()2,3A --，()4,5B -为端点的线段（包含端点）没．有．交点，则直线l 的斜率k 的取值范围是（）A ．()(),15,-∞-+∞B ．(][),15,-∞-⋃+∞C ．()1,5-D ．[]1,5-【答案】A【详解】如图，要使直线l 以()2,3A --，()4,5B -为端点的线段（包含端点）没有．．交点，则PA k k >或PB k k <,因为23255,11214PA PB k k +-====--+-+，所以直线l 的斜率k 的取值范围是()(),15,-∞-+∞；故选：A8．已知线段AB 两端点的坐标分别为()2,3A -和()4,2B ，若直线:10l x my m ++-=与线段AB 有交点，则实数m 的取值范围是（）A ．()3,1,4⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭B ．31,4⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．31,4⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．(]3,1,4⎡⎫-∞-+∞⎪⎢⎣⎭【答案】C【详解】直线:10l x my m ++-=恒过的定点()1,1P -，4,13AP BP k k =-=.当0m =时，直线l 方程为1x =，与线段AB 有交点，符合题意.当0m ≠时，直线l 的斜率为1m-，则[)14,1,3m ⎛⎤-∈-∞-⋃+∞ ⎥⎝⎦，解得10m -≤<或304m <≤，综上，31,4m ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦.故选：C9．已知三条直线1:440l x y +-=，2:0l mx y +=，3:2340l x my --=.（1）若直线1l ，2l ，3l 交于一点，求实数m 的值；（2）若直线1l ，2l ，3l 不能围成三角形，求实数m 的值.【答案】（1）1m =-或23；（2）1m =-或23或4或16-.【详解】（1）∵直线1l ，2l ，3l 交于一点，∴1l 与2l 不平行，∴4m ≠，由4400x y mx y +-=⎧⎨+=⎩，得4444x mm y m ⎧=⎪⎪-⎨-⎪=⎪-⎩，即1l 与2l 的交点为44,44m m m -⎛⎫ ⎪--⎝⎭，代入3l 的方程，得8434044m m m m--⋅-=--，解得1m =-或23.（2）若1l ，2l ，3l 交于一点，则1m =-或23；若12//l l ，则4m =；若13//l l ，则16m =-；若23//l l ，则不存在满足条件的实数m .综上，可得1m =-或23或4或16-.10．直线l 的倾斜角为135°，且过点(1,1)，则这条直线被坐标轴所截得的线段长是（）A ．2B ．2C ．22D ．4【答案】C【详解】由题设，直线:1(1)l y x -=--，整理得:20+-=l x y ，所以，直线l 与坐标轴交点为(2,0),(0,2)，故直线被坐标轴所截得的线段长是22(20)(02)22-+-=.故选：C11．已知(1,2),(,6)A B a ，且||5AB =，则a 的值为（）A ．4B ．4-或2C ．2-D ．2-或4【答案】D【详解】易知22(1)(62)5a -+-=，∴4a =或2a =-.故选：D.12．已知三角形ABC 的顶点坐标为A （－1，5）、B （－2，－1）、C （4，3），M 是BC 边上的中点。
两条直线的交点坐标、两点间的距离公式 课件
命题方向1 ⇨两直线的交点问题
判断下列各对直线的位置关系，若相交，求出交点坐标： (1)l1：2x＋y＋3＝0，l2：x－2y－1＝0； (2)l1：x＋y＋2＝0，l2：2x＋2y＋3＝0； (3)l1：x－y＋1＝0，l2：2x－2y＋2＝0.
[思路分析] 题中给出了两条直线的方程，要判断它们的位置关系，只需看它们组成的方程组的解 的个数．
(3)若l2∥l3，则由1×1－a×1＝0，解得a＝1， 当a＝1，l2与l3重合． (4)若l1∥l3，则a×1－1×1＝0得a＝1， 当a＝1时，l1与l3重合． 综上，当a＝1时，三条直线重合；当a＝－1时，l1∥l2； 当a＝－2时，三条直线交于一点， 所以要使三条直线共有三个交点，需a≠±1且a≠－2. [正解] D
两条直线的交点坐标 两点间的距离公式
1．两条直线的交点坐标 (1)求法：两直线方程联立组成方程组，此方程组的解就是这两条直线的交点 坐标，因此解方程组即可．
(2)应用：可以利用两直线的___交__点__个__数____判断两直线的位置关系． 一般地，将直线 l1：A1x＋B1y＋C1＝0 和直线 l2：A2x＋B2y＋C2＝0 的方程联
3．坐标法
(1)定义：通过建立平面直角坐标系，用代数方法解决几何问题的方法称为坐标法．
( 2 ) 步 骤 ： ① 建 立 _ _坐_ _ _标_ _系_ _ _ _ _ ， 用 坐 标 表 示 有 关 的 量 ： ② 进 行 有 关 代 数 运 算 ； ③ 把 代 数 运 算 结 果
“翻译”成几何关系．
解法一：∵|AB|＝ －1－12＋[3－－1]2＝ 20＝2 5， |AC|＝ 3－12＋[0－－1]2＝ 5， |BC|＝ [3－－1]2＋0－32＝ 25＝5， ∴|AB|2＋|AC|2＝|BC|2， 即△ABC 是以 A 为直角顶点的直角三角形．
3.3直线的交点坐标与距离公式
两条平行线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0的距离
设P（x0,y0)是Ax＋By＋C2＝0上
O
的一点
则 Ax0＋By0＋C2＝0 即 Ax0＋By0＝－ C2
d | Ax0 By0 C1 | | C1 C2 |
A2 B2
A2 B2
l1 l2 x
两条平行线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0
例 :已知ABC的三个顶点是A(1,0), B(1,0) C( 1 , 3 ), 试判断ABC的形状.
22
用代数方法证明几何问题.
例2:证明平行四边形四条边的平方和等于两条
对角线的平方和. y
D (b,c)
C (a+b,c)
A (0,0)
B (a,0) x
小结:用坐标的方法解决问题的方法叫坐标法 或者解析法.
练习:P110, 7
二、点到直线的距离公式
点P(x0,y0)到直线Ax+By+C＝0的距离公式
d | Ax0 By0 C | A2 B2
（1）分子是P点坐标代入直线方程左边. （2）分母是未知量x、y系数平方和的算术根 （类似于勾股定理求斜边的长）
例1 求点P(-1,2)到下列直线的距离：
3.3直线的交点坐标 与距离公式
复习回顾：
直线 L1 :A1x+B1y+C1=0 ,L2 :A2x+B2y+C2=0
的L1位∥置L2关系的A判1B断2 ： A2B1 0 (注意检验重合情况）
L1⊥L2 A1A2 B1B2 0
两条直线的交点坐标
设l1 : A1x+B1y+C1=0, l2 : A2x+B2y+C2=0，则
两直线的交点坐标和距离公式
两直线的交点坐标和距离公式首先，我们假设有两条直线分别为L1和L2，它们可以表示为以下形式的参数方程：L1:P1=P0+t1*d1L2:P2=P0+t2*d2其中，P1和P2分别是L1和L2上的两个点，P0是直线的起点，d1和d2是直线的方向向量。
t1和t2是参数，用来确定直线上的点的位置。
要求两条直线的交点坐标，我们需要找到使L1和L2重合的参数值t1和t2、我们可以通过两个参数方程组相等来解这个方程组：P1=P2=>P0+t1*d1=P0+t2*d2化简上述方程，我们可以得到：P0+t1*d1-P0=P0+t2*d2-P0即：t1*d1=t2*d2这个方程告诉我们，d1和d2这两个方向向量成比例，它们的比例系数即为两个参数t1和t2的比值。
所以，我们可以将其表示为：d1=k*d2其中，k为比例系数。
在上述方程中，我们可以用矩阵的形式来表示方程：[d1,-d2]*[t1;-t2]=0其中，[d1,-d2]和[t1;-t2]分别是一个2x1的矩阵和一个2x1的列向量。
我们可以将上述方程拓展为一个矩阵方程：[A]*[x]=0其中，[A]是一个2x2的矩阵，其元素为[d1,-d2]。
[x]是一个2x1的列向量，其元素为[t1;-t2]。
根据行列式的定义，只有当[A]的行列式为0时，方程[A]*[x]=0有非零解。
计算[A]的行列式可得：det([A]) = ad1 - bd2对于两条直线相交的情况，其中ad1 - bd2不等于0。
形式上，我们可以将[A]*[x]=0表示为：[U]*[S]*[V^T]*[x]=0其中，[U]和[V]是正交矩阵，[S]是一个对角矩阵，其对角线元素为奇异值。
通过奇异值分解，我们可以得到：[U]*[S]*[V^T]=[R]*[T]其中，[R]是一个旋转矩阵，[T]是一个平移矩阵。
我们可以将解表示为：[x]=[V]*[T[2,:]]其中，[T[2,:]]表示[T]矩阵的第二行。
两直线的交点坐标及距离公式
3x y 4 0
如何求数轴上两点之间的距离？
A B
x1
x2
| AB || x2 x1 |
探究1：已知A( x1 , y1 )，B( x2 , y2 ).如何求 | AB | ?
(1)、y1 y2
y
(2)、x1 x2
y
A( x1 , y1 )
B( x2 , y2 ).
y1
A( x1 , y1 )
x1 o
x2
x
o
x
B( x2 , y 2 ).
y2
| AB || x2 x1 |
| AB || y2 y1 |
探究1：已知A( x1 , y1 )，B( x2 , y2 ).如何求 | AB | ?
(3) x1 x2 , y1 y2
o y
B( x2 , y2 ).
| y2 x y1 |
两点间的距离公式 A( x1 , y1|)x 2 x1 | P( x2 , y1 ).
| AB |
x2 x1 y2 y1
2
2
探究2：已知A( x1 , y1 )，B( x2 , y2 ).如何求 A, B中点的坐标?
144 25
已知平面上两点P1(x1，y1)和P2(x2，y2)，直线P1P2 的斜率为k，则 y2-y1可怎样表示？从而点P1和P2的距 离公式可作怎样的变形？
y2 y1 k ( x2 x1 )
1 | P1 P2 | 1 k | x2 x1 | 1 2 | y2 y1 | k
y
B( x2 , y2 ).
x
M ( x0 , y0 ).
两条直线的交点坐标及两点间的距离公式
两条直线的一般式方程分别为：Ax + By = C 和 Dx + Ey = F
将两个方程相减或相加，得到一个一元一次方程，解得交点的x或y坐标
将得到的x或y坐标代入任意一个原方程，解得另一个坐标
得到交点坐标为 (x1, y1) 和 (x2, y2)
特殊情况的处理
两条直线平行的情况：此时它们的交点坐标为无穷远点，即坐标为(∞, ∞)。
公式推导过程中涉及到的数学知识点包括向量、三角函数和代数运算
距离公式的应用场景
计算线段的中点坐标
计算两点间的距离
判断点与线之间的距离
计算多边形的面积
距离公式的几何意义
公式适用于平面和三维空间中的两点距离计算
几何意义是将两点的距离量化为一个数值
公式中的平方和表示线段的平方长度
两点间的距离公式是连接两点的线段的长度
公式中$(x_1,y_1)$和$(x_2,y_2)$分别表示两点的坐标
公式表示点$(x_1,y_1)$和$(x_2,y_2)$之间的距离
公式可用于计算任意两点间的距离
两点间距离公式的推导
两点间距离公式推导的起始点是欧几里得几何的基本假设
通过勾股定理和三角函数推导出两点间距离公式
公式形式为：d = √[(x2-x1)^2 + (y2-y1)^2]
两条直线垂直的情况：此时它们的交点坐标为原点(0, 0)。
两条直线重合的情况：此时它们的交点坐标为无穷多个，即任意坐标点。
两条直线相切的情况：此时它们的交点坐标为切点，需要根据具体情况计算。
03
两点间的距离公式
点坐标的表示方法
两点间的距离公式为：$\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$
两条直线的交点坐标与距离公式
两条直线的交点坐标与距离公式一、平面直线的交点坐标计算方法在平面几何中，两条直线的交点即为它们的方程组的解。
假设有两条直线，直线1的方程为a1x+b1y+c1=0，直线2的方程为a2x+b2y+c2=0。
其中a1、b1、c1、a2、b2和c2都是已知的常数。
要求两条直线的交点坐标，可以使用消元法和代入法进行计算。
1.消元法消元法是通过将一个方程乘以适当的系数，使得方程的其中一项系数与另一个方程的对应系数相等，以消去一个未知数。
然后将消去后的方程代入到另一个方程中解得另一个未知数，从而求得交点坐标。
首先选择一个方程，例如直线1的方程a1x+b1y+c1=0作为基准，通过乘以a2和b1使得两个方程的x系数相等，即a1*a2*x+b1*a2*y+c1*a2=a2*a1*x+b2*a1*y+c2*a1，然后再乘以b2和b1使得两个方程的y系数相等，即a1*a2*x*b2+b1*a2*y*b2+c1*a2*b2=a2*a1*x*b2+b2*a1*y*b2+c2*a1*b2、通过将两个方程相减消去x的系数，即得到一个只含有y的方程，然后通过解这个方程来求得y的值。
将求得的y的值代入到任意一个方程中，即可求得x的值。
进而得到交点坐标。
2.代入法代入法是通过将一个方程的未知数表示为另一个方程的函数，再将其代入到另一个方程中，求得另一个方程的解。
从而求得未知数的值。
假设直线1的方程为a1x+b1y+c1=0，直线2的方程为a2x+b2y+c2=0，选择其中一个方程（例如直线1的方程）中未知数x表示为y的函数，即x=(c1-b1y)/a1、将这个式子代入到另一个方程（例如直线2的方程）中，得到一个只含有y的方程。
然后解这个方程可以得到y的值。
将求得的y的值代入到x=(c1-b1y)/a1中，即可求得x的值。
从而得到交点坐标。
以上就是求解两条直线交点坐标的两种方法。
二、两条直线之间的距离公式两条直线之间的距离可以使用点到直线的距离公式进行计算。
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已知两条直线 l1 : A1 x B1 y C1 0 l2 : A2 x B2 y C2 0 相交, 如何求这两条直线交点的坐标 ?
几何元素及关系
点A
直线l 点A在直线l上
代数表示
A(a,b) l:Ax+By+C=0 Aa+Bb+C=0 点A的坐标是方程组
3.3.2
两点间的距离
回顾：
的距离 | P1P2|＝|x2－x1|． 的距离 | P1P2|＝|y2－y1|．
x轴上两点P1（x1，0）， P2（x2，0）
y轴上两点P1（0，y1）， P2（0，y2）
思考: 已知平面上两点P1（x1,y1),P2（x2,y2), 如何求P1, P2 的距离 |P1P2| ？
x2 x1 y2 y1
2
2
练习P106
P1P2 x2 x1 y2 y1
2
2
1、求下列两点间的距离：
(1)、A(6，0),B(-2，0)
(2)、C(0，-4),D(0，-1) (3)、P(6，0),Q(0，-2)
(4)、M(2，1),N(5，-1)
l1 : x y 0 (1) l 2 : 3 x 3 y 10 0
l1 : 3x y 4 0 (2) l2 : 6 x 2 y 0
l1 : 3 x 4 y 5 0 (3) l2 : 6 x 8 y 10 0
3.3.2 两点间的距离 1.平面内两点P1(x1,y1), P2(x2,y2) 的距离公式是
P1P2 x 2 x1 y2 y1
2
2
OP
x y
2
2
作 业
课本:P104 2；P106. 2
y
B (0,b)
a b M( 2 , 2 )
o C (0,0)
x A(a,0)
解题参考
3.3.1 两条直线的交点坐标
1. 两直线交点的求法---联立方程组。
2.两直线位置关系的判断:解方程组,根据解的个数。
l1 , l2相交 唯一解 直线l1 , l2解方程组无穷多解 l1 , l2重合 无解 l , l 平行 1 2
=0时，方程为3x+4y-2=0 =1时，方程为5x+5y=0 =-1时，方程为x+3y-4=0
y l1 l3 l2
0
上式可化为：(3+2λ)x+(4+λ)y+2λ-2=0
x
结论：此方程表示经过直线3x+4y-2=0与直线2x+y+2=0交 点的直线束（直线集合）
例题分析
例2、判定下列各对直线的位置关系，若相交， 则求交点的坐标
举例
例1：求下列两条直线的交点：l1：3x+4y －2=0；l2：2x+y+2=0. 解：解方程组 3x+4y－2 =0 得 2x+y+2 = 0 x= －2 y=2
∴l1与l2的交点是M（- 2，2）
当变化时, 方程 3 x 4 y 2 (2 x y 2) 0 表示什么图形 ?图形有何特点 ?
2 2 2 2
化简得：6x-5y-1=0
例2、证明平行四边形四条边的平方和等于两 条对角线的平方和。
y D(b,c) C(a+b,c)
A(0,0)
B(a,0)
x
建立坐标系， 用坐标表示有 关的量。
进行有关的代 数运算。
把代数运算结 果“翻译”成 几何关系。
练习
3、证明直角三角形斜边的中点到三个 顶点的距离相等.
思考：已知平面上两点P1（x1,y1)， P2（x2,y2),如 何求P1,P2的距离 P1P2 ？
y
在直角△P1QP2中，
P2
2
N2
P1P2 P1Q QP2
2
2
P1Q M1M 2 x 2 x1 QP2 N1N 2 y 2 y1
M1 O Q N1
M2
P1
x
P1P2 ห้องสมุดไป่ตู้
特别地，原点O（0，0）与任意一点P(x,y)的距离为
OP x y
2
2
例1、已知点A（-1，2），B（2， 7 ），在x 轴上求一点P，使 PA PB ，并求 PA 的值。
练习
2、已知点A(7,-4) ，B(-5,6), 求线段AB的垂 直平分线的方程
解：设P点的坐标为( x, y ) 由题意可得：AP || BP | | 得：(x-7) ( y 4) ( x 5) ( y 6)
l1 : x y 0 (1) l 2 : 3 x 3 y 10 0 l1 : 3 x y 4 0 (2) l2 : 6 x 2 y 0 l1 : 3 x 4 y 5 0 (3) l2 : 6 x 8 y 10 0
直线l1与l2的交点是A
A1 x B2 y C1 0 A1 x B2 y C 2 0
的解
结论1：求两直线交点坐标方法-------联立方程组
问题1：方程组的解的情况与方程组所表示的两条 直线的位置关系有何对应关系？
l1 , l2相交 唯一解 直线l1 , l2解方程组无穷多解 l1 , l2重合 无解 l , l 平行 1 2