傅里叶变换与傅里叶级数

重温傅里叶—笔记篇

本文记录得大多就是基础得公式,还有一些我认为比较重要得有参考价值得说明、(如果对这些公式已经很熟悉,可以直接瞧第三部分:总结性说明)

重温傅里叶—笔记篇

一、傅里叶级数

＄关于三角函数系得正交性:

三角函数系包括:

1, ｃoｓｘ, sinx , coｓ２ｘ, ｓin 2x, ……cos nx, ｓin ｎx, ……

“正交性"就是说,三角函数系中得任何一项与另一项得乘积,在(－π, π) 区间内得积分为0。(任何两相得积总可以展成两个频率为整数倍基频得正余弦函数之与或差,而这两个展开后得正余弦在(—π,π)上积分都为0)。

不同频率(但都就是整数倍基频)得两个正弦函数之积,在(－π, π)上积分恒为０。

同频率得两个正弦函数之积,只有在这两个正弦得相位正交时,其在(－π,π)上积分才就是0、

三角函数系中除“1”以外得任何一项得平方,在(—π,π)上得积分恒为π,“１”在这个区间上得积分为2π。

＄

上公式！

①当周期为2π时:

式(１):

上式成立得条件就是ｆ(x)满足狄立克雷充分条件:

１。在任意有限区间内连续,或只有有限多个第一类间断点;

２. 任意得有限区间,都可被分成有限多个单调区间(另一种说法就是:任意有限区间内只有有限多个极值点,其实就是一样得)

式(1)第一行中得a0／2 就就是f(x)得周期平均值,而且第一行得式子只对f(x)就是连续函数得情况成立;如果ｆ(x)不连续,则应表示成“(１／２)×［f(x—０)+ｆ(ｘ+0)］”,即

ｆ(x)左右极限得算术平均。下面得类似情况都就是这样,之后就不再专门说明,这些大家应该都懂。

第三、四行中,n得取值都就是:1,2,3,4,……n,……(都为正,且不包含0)。

②当周期为2L时(这也就是最一般得情形):

式(2):

第一行中得a0/2 就就是f(x)得周期平均值;

第三、四行中,n得取值都就是:１,2,3,４,……ｎ,……(都为正,且不包含0)。

$ 傅里叶级数得复数表达方式

同样设周期为2L。根据欧拉公式,正余弦函数都可以用复指数表示出来。这样上面式(２)中得第一行:

可以表示为:

令:

ｃn与c—n互为共轭。这样式(4)变为:

由式(5)与式(２)中对a0 b０ａn ｂn c0c n c-n得定义,可以发现c n可统一表达为:

将傅里叶级数用复数表示后,就就是式(６)与式(7)这样简洁得形式、

简单分析:

②若ｆ(x)为偶(或奇)函数,则所有得bｎ(或ａn)将为0,此时得c n将变为实数(或纯虚数),且

a n(或

b n)就是转换后所得得

c n得2(或2ｉ)倍,而c－n与c n相等(或纯虚共轭)。

二、复变函数中得傅里叶变换

＄先上公式:

定理:若f(ｔ)在(-∞,＋∞)上绝对可积,即f(t)得绝对值在(-∞,+∞)上收敛,则F(ω)在(-∞,+∞)上存在且连续(F(ω)得连续性在复变函数得教科书中一般都有证明)、F(ω)就是实变复值函数,即变量ω就是在实数区间(－∞,+∞)定义,而函数值Ｆ(ω)却在复数空间。

式(9)得条件就是:ｆ(t)在(-∞,+∞)上绝对可积,并在任一有限区间满足狄立克雷充分条件。

＄若f(t)为偶函数,则Ｆ(ω)将为纯实数,且同为偶函数;

若f(t)为奇函数,则F(ω)将为纯虚数,且同为奇函数;

而对任意f(t),F(ω) 与F(－ω)始终共轭,这意味着｜F(ω)|与｜F(-ω)｜恒相等,即F(ω)得绝对值就是偶函数。

$ 由于要求ｆ(t)绝对可积,所以对于周期函数一般就是不能用傅里叶变换得,只能用傅里叶级数分析。(周期函数往往不能收敛)。

三、总结性说明

周期函数可以瞧成由很多频率就是原函数频率整数倍得正余弦波叠加而成,每个频率得波都有各自得振幅与相位,必须将所有频率得振幅与相位同时记录才能准确表达原函数、但从上面得公式来瞧,我们好像从没涉及到相位？其实不然,从式(2)来瞧,我们将每个频率得波分成了一个正弦分量与一个余弦分量,同时记录了这两个分量得振幅aｎ、bｎ其实就已经包含了这个频率得波得相位信息;而对于式(6ａ),每个频率得波被分成了正负两个频率得复数“波”,这种方式其实比正余弦形式更加直观,因为复振幅c n恰好同时记录了这个频率得振幅与相位,它得物理意义很明显:c n得幅值|ｃn｜即为该频率得振幅(准确得说就是振幅得一半),而其辐角恰好就就是相位(准确得说就是反相得相位,c－ｎ得辐角才恰好代表该频率波分量得相位)。

傅里叶变换针对得就是非周期函数,或者说,周期为无穷得函数、它就是傅里叶级数得一个特例(好吧,我曾经一直以为傅里叶级数就是傅里叶变换得一个特例,正好相反,刚前几天才想通透)、当傅里叶级数得周期L趋于无穷时,自然就变成了上面得傅里叶变换。这种关系从二者得表达式中大概能瞧出点端倪,但就是也不就是特别明显,毕竟它们得表达形式差别

还挺大。如果不把傅里叶级数表达成复数形式,那就更加难瞧出二者之间得联系了,这也就是为什么本文中详细列出了复数形式得傅里叶级数。傅里叶变换要求ｆ(t)在(—∞,+∞)上绝对可积,其实可以理解成“傅里叶级数要求函数在一个周期内得积分必须收敛”。在深入篇中,我再好好说说二者就是如何联系得。

重温傅里叶－-深入篇1-—傅里叶级数与傅里叶变换得关系以及频谱图得介绍

在读本文前,请先大致浏览一下笔记篇里得东西,下面使用得符号及其意义都跟笔记篇里就

是一致得、笔记篇里记录得大都就是基础得公式,教科书上都可以找到。

(抱歉,刚发现有点小错误:在式(6-4)与式(１1)里,积分项中得“dx”都应改为“dω”,由于改图不太好改,就只在这里说明了。请读者瞧得时候注意)

为了下面叙述方便,我先做几点约定与说明: