衡水金卷河北省衡水中学高考模拟押题卷数学理试题金卷一含答案

2016年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题

理科数学(一)

注意事项：

1．本试卷分第I 卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答第I 卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。写在本试卷上无效。

3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第I 卷

一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

(1)已知i 是虚数单位，复数11z i i =+-，则复数z 的虚部是 (A) 12- (B) 32 (C) 32

- (D)2 (2)若集合{}{}222,20x A y y B x x x ==+=-++≥，则

(A) A B ? (B) A B R ?= (C) {}2A B ?= (D A B ?=?

(3)已知定义域为[]2,21a a --的奇函数()3sin 1f x x x b =-++，则()()f a f b +的值

为

(A)0 (B)1

任意一点M 到准线l 的距离为d ，则d MA +的最小值为

(A)5 (B) 10 (C) 5 (D) 2

(5)执行如图所示的程序框图，其中输入的x i 值依次为14，8，

42，78，96，74，49，35，39，50，则输出的i x 值依次为

(A)78，96，74，49，50

(B)78，96，74，39，50

(D)78，96，74

(6)下列说法正确的是

(A)“a R ?∈，方程220ax x a -+=有正实根”的否定为“a R ?∈，方程220ax x a -+=有负实根”

(B)命题“a b R ∈、，若220a b +=，则0a b ==”的逆否命题是“a b R ∈、，若0a ≠，且b ≠0，则220a b +≠”

(C)命题p ：若回归方程为$1y x -=，则y 与x 负相关；命题q ：数据1，2，3，4的中位数是2或3．则命题p ∨q 为真命题

(D)若X ～N(1，4)，则()

()212P X t P X t <-=>成立的一个充分不必要条件是t =1

(7)等差数列{}n a 中的两项22016a a 、恰好是关于x 的函数()()228f x x x a a R =++∈的两个零点，且100910100a a +>，则使{}n a 的前n 项和n S 取得最小值的行为

(A)1009 (B)1010 (C)1009，1010 D.2016

(8)某省巡视组将4名男干部和2名女干部分成两小组，深入到A 、B 两城市进行巡视工作，若要求每组最多4人，且女干部不能单独成组，则不同的选派方案共有

(A)40种 (B)48种

(D)72种 (9)某几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是全等的等腰三角形，现从该几何体的实心外接球中挖去该几何体，则剩余几何体的体积是

(A) 9146π- (B) 91162π- (C) 91166π- (D) 9186

π-

(10)已知函数()()2sin 0y x ω?ω=+>的部分图象如图所示，点,06A B C π??- ???、、是该图象与x 轴的交点，过点B 作直线交该图象于D 、E 两点，点7012F π?? ???，是()f x 的图象的最高点在x 轴上的射影，则()()

AD EA AC ω-u u u r u u u r u u u r g 的值是 (A) 22π

(B) 2

π (C)2 (D)以上答案均不正确 (11)已知点12F F 、是双曲线()22

2210,0x y C a b a b

-=>>：的左、右焦点，O 为坐标原点，点P 在双曲线C 的右支上，且满足12122,3F F OP PF PF =≥，则双曲线C 的离心率的取值范围为

（A ）()1,+∞ （B ）10,2??+∞????? （C ）101,2?? ? ??

（D ）51,2?? ???

(12)已知定义在R 内的函数()f x 满足()()4f x f x +=，当[]1,3x ∈-时，

()f x =()[]()(]21,1,1,12,1,3,t x x x x ?-∈-??--∈??

则当8,27t ??∈ ???时，方程()720f x x -=的不等实数根的个数是

(A)3

(B)4 (C)5 (D)6

第Ⅱ卷

本卷包括必考题和选考题两部分。第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答。第22题～第24题为选考题。考生根据要求做答。

二．填空题：本大题共4小题，每小题5分。

(13)已知向量()()1,2,1,a b k =-=-，若//3a b a b +=，则____________．

(14)已知函数cos y x =的图象与直线3,22

x x π

π==以及x 轴所围成的图形的面积为a ，

则

x x

????

???

????

的展开式中的常数项为__________(用数字作答)．

(15)已知变量,x y满足约束条件

230,

330,

10,

x y

+-≤

+-≥

?-≤

则()()()

,log1log1

F x y y x

=+++的最小值为___________．

(16)若数列{}n a满足2132431n n

a a a a a a a a

->->->???>->???，则称数列{}n a为

“差递减”数列．若数列{}n a是“差递减”数列，且其通项n a与其前n项和()*

S n N

∈

满足()

2321

n n

S a n N

λ*

=+-∈，则实数λ的取值范围是__________．

三．解答题：解答应写出文字说明。证明过程或演算步骤。

(17)(本小题满分12分)

在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a b c

、、，且满足()3

cos20163cos

c A c A a b

π??

---=+

．

(I)求角C的大小；

(Ⅱ)若4,

c ABC

=?的面积为43，试求向量AB BC

u u u r u u u r

在方向上的投影．

(18)(本小题满分l 2分)

已知五边形ABCDE由直角梯形ABCD与直角△ADE构成，如图1所示，AE⊥DE，AB ∥CD，AB⊥AD，且AD=CD=2DE=3AB，将梯形ABCD沿着AD折起，形成如图2所示的几何体，且使平面ABCD⊥平面ADE．

(I)在线段CE上存在点M，且

，证明BM∥平面

ADE；

(Ⅱ)求二面角B—CE—D的平面角的余弦值．

(19)(本小题满分12分)

利用手机发放红包已成近几年过年的一大时尚．某市一调查机构针对“过年收取手机红包”的情况，抽取了600人进行了随机调查，调查结果如下：

将频率视为概率，试解决下列问题：

(I)从该市市民中任意选取1人，求其收到的手机红包金额超过100元的概率；

(Ⅱ)从该市市民中任意选取4人，求至多有1人收到的手机红包金额超过100元的概率； (III)若从所抽取的600人中按照分层抽样的方法随机抽取12人，再从这12人中随机抽取3人，记其中收到的手机红包金额超过100元的人数为X ．

(i)求所抽取的12人中，收到的手机红包金额超过100元的人数；

(ii)求X 的分布列及数学期望．

(20)(本小题满分12分) 已知椭圆()222210x y E a b a b

+=>>：的离心率22e =，其左、右顶点分别为点A 、B ，且点A 关于直线y=x 对称的点在直线y=3x-2上，点M 在椭圆E 上，且不与点A 、B 重合．

(I)求椭圆E 的标准方程；

(Ⅱ)已知点N 在圆222:O x y b +=上，MN ⊥y 轴，若直线MA 、MB 与y 轴的交点分别为C 、D ，求证：sin CND ∠为定值．

(21)(本小题满分12分)

已知函数()()1ln 1f x x ax a R x

=++-∈． (1)当a ≥0时，试讨论()f x 的极值点个数，并说明理由；

(Ⅱ)求证：()()111ln 1,231

n n N n *+>++???+∈+．

请考生从第22、23、24题中任选一题做答。并用2B 铅笔将答题卡上所选题目对应的题号右侧方框涂黑，按所涂题号进行评分；多涂、多答．按所涂的首题进行评分；不涂，按本选考题的首题进行评分。

(22)(本小题满分10分)选修4—1：几何证明选讲

如图，AC 是⊙O 的直径，ABCD 是圆内接四边形，DE 与⊙O 相切于点D ，AC 的延长线交DE 于点E ，BC 的延长线交DE 于点F ，且AB ／／DE ．

(I)求证：CD 平分∠ACF ；

(11)若AB=3EF ，⊙O 的半径为1，求线段DE 的长．

(23)(本小题满分10分)选修4—4：坐标系与参数方程

已知直线l

的参数方程是12

x y ?=+????=-??(t 是参数)．以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为

极轴，且取相同的长度单位建立极坐标系，圆C

的极坐标方程为4πρθ??=+ ???. (I)求直线l 的普通方程与圆C 的直角坐标方程；

(II)设圆C 与直线l 交于A 、B 两点，若P 点的直角坐标为(1，0)，求PA PB +的值．

(24)(本小题满分10分)选修4—5：不等式选讲

已知函数()2122f x x x =---，且()f x 的最大值记为k ．

(I)求不等式()f x x ≥的解集；

(II)是否存在正数a 、b ，同时满足2112,

4a b k a b ab

+=+=-?请说明理由．

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