解直角三角形(二)

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2021中考数学专题复习解直角三角形2

αCBA2021中考数学专题复习：锐角三角函数一、知识网络⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⇒⇒⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧=+=+⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧==+⇒⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫∠∠=∠∠=∠∠=∠⇒测量应用定义）边角关系：（三角函数边边关系：角角关系：依据的过程。

已知元素求出未知元素定义：由直角三角形的解直角三角形系互余两锐角三角函数关同角三角函数关系的三角函数值、、的邻边的对边正切：斜边的邻边余弦：斜边的对边正弦：定义22202200090tan 1604530tan c b a B A Con Sin Con Sin A A A A A Cos A A Sin ααααα 二、根本知识点与典型题型知识点1：锐角三角函数定义Rt △ABC 中，∠C=900,锐角A 的对边与斜边的比值叫∠A 的正弦，记作SinA=ca;锐角A 的邻边与斜边的比值叫∠A 的余弦，记作CosA=c b ; 锐角A 的对边与邻边的比值叫∠A 的正切，记作tanA=ba . 例1：〔1〕〔2021年贵州毕节〕在正方形网格中，ABC △的位置如下图，那么cos B ∠的值为〔〕A ．12B ．22C ．32D ．33〔2〕〔2021 湖北孝感〕如图，△ABC 的三个顶点分别在正方形网格的格点上，那么A ∠tan 的值是〔〕A ．56 B ．65C ．3102D ．10103 〔3〕〔2021湖南常德〕在Rt△ABC 中,∠C=90°,假设AC=2BC,那么sin A 的值是( )A ．12B ．2C ．55D ．52〔4〕〔2021浙江金华〕“赵爽弦图〞是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形．如果小正方形的面积为4，大正方形的面积为100，直角三角形中较小的锐角为α，那么tan α的值等于 ▲ .〔5〕如图，在Rt ABC △中，ACB ∠=Rt ∠，1BC =，2AB =，那么以下结论正确的选项是〔〕 A ．3sin 2A =B ．1tan 2A = C ．3cos 2B = D ．tan 3B =(6)在Rt △ABC 中，∠C=90°，a = 1 , c = 4 , 那么sinA 的值是 ( )锐角三角三角函数αA 、1515 B 、41 C 、31D 、415 知识点2：同角三角函数关系：〔1〕122=+ααCon Sin；〔2〕αααtan =Con Sin例2．〔1〕在A ABC 中，∠C=90°，sinB=53，那么cosA 的值是 ( ) A ．43 B ．34 C ．53 D ．54 〔2〕〔2021 黄冈〕在△ABC 中，∠C ＝90°，sinA ＝45，那么tanB ＝〔〕 A ．43 B ．34 C ．35 D ．45〔3〕〔2021湖南怀化〕在Rt△ABC 中，∠C=90°，sinA=54，那么cosB 的值等于〔〕 A ．53 B. 54 C. 43D. 55〔4〕〔2021黔东南州〕x 为锐角，且31cos =α，求αααsin 1cos tan ++的值。

解直角三角形的应坡比与坡度2

解：过C作CFAD于F
6 E
4
i 1: 3
AB CD, BC // AD, i 1 : 3, A CF BE 6, EF BC 4, AE FD 3CF 6 3. AD AE EF FD 4 12 3. CF 1 tg , FD 3 30 .
A
D
D
B
(图1)
C B
(图2)
C
A
C (图3)
E
例二：
已知： △ABC中，∠A=105°，∠C=45°，BC=8，求AC和AB的形、等腰三角形、梯形等一些图形的问题时，可以适当地添加辅助线构造直角三角形，然后利用解直角三角形，使问题得以解决。设未知数得到相关的方程，是解本题的一个关键步骤，应用了方程的思想，将几何图形的计算转化为解代数方程。
例3：在山脚C处测得山顶A的仰角为45°。问题如
下： 1.沿着水平地面向前300米到达D点，在D点测得山顶A的仰角为60 °，求山高AB。 2.沿着坡角为30 °的斜坡前进300米到达D点，在D 点测得山顶A的仰角为60 ° ，求山高AB。 A
D 30° C
x E x
F B
解直角三角形的应用仰角和俯角
3 10 3、坡比为 i=1∶3 ，坡角α的余弦值为 10
用数学去解释生活
如图,正切也经常用来描述山坡的坡度.例如，有一山坡在水平方向上每前进100m就升高60m,那么山坡的坡度i(即tanα)就是: 老师提示: 坡面与水平面的夹角(α)称为坡角,坡面的铅直高度与水平宽度的比称为坡度i(或坡比),即坡度等于坡角的正切.

α
D
答：坡角为30 ，坝底宽AD为4 12 3米.

2020浙江新中考数学一轮复习第25讲解直角三角形第2课时

类型一解直角三角形中一个常见的模型
例1 如图 1，某社会实践活动小组实地测量两岸互相平行的一段河的宽度，在河的南岸边点 A 处，测得河的北岸边点 B 在其北偏东 45°方向，
然后向西走 60m 到达 C 点，测得点 B 在点 C 的北偏东 60°方向，如图 2.
(1)求∠CBA 的度数；
(2)求出这段河的宽(结果精确到 1m，备用数据 2≈1.41， 3≈1.73)．
同一平面上． (1)转动连杆 BC，CD，使∠BCD 成平角，∠ABC＝150°，如图 2，求连杆端点 D 离桌面 l 的高度 DE； (2)将(1)中的连杆 CD 再绕点 C 逆时针旋转，使∠BCD＝165°，如图 3，问此时连杆端点 D 离桌面 l 的高度是增加还是减少？
增加或减少了多少？(精确到 0.1cm，参考数据： 2≈1.41，
问：校门打开了多少米？(结果精确到 1 米，参考数据：sin5°≈ 0.0872，cos5°≈0.9962，sin10°≈0.1736，cos10°≈0.9848)
【分析与解】先求出校门关闭时，20 个菱形的宽即大门的宽；再求出校门打开时，20 个菱形的宽即伸缩门的宽；然后将它们相减即可．如图，校门关闭时，取其中一个菱形 ABCD. 根据题意，得∠BAD＝60°，AB＝0.3 米． ∵在菱形 ABCD 中，AB＝AD， ∴△BAD 是等边三角形，∴BD＝AB＝0.3 米， ∴大门的宽是：0.3×20＝6(米)；校门打开时，取其中一个菱形 A1B1C1D1. 根据题意，得∠B1A1D1＝10°，A1B1＝0.3 米． ∵在菱形 A1B1C1D1 中，A1C1⊥B1D1，∠B1A1O1＝5°， ∴在 Rt△A1B1O1 中，B1O1＝sin∠B1A1O1·A1B1＝sin5°×0.3≈0.02616(米)， ∴B1D1＝2B1O1≈0.05232 米， ∴伸缩门的宽是：0.05232×20＝1.0464 米； ∴校门打开的宽度为：6－1.0464＝4.9536≈5(米)．故校门打开了 5 米．

青岛版九年级数学上册第二章解直角三角形2.2 30°,45°,60°角的三角比(共17张PPT)

c
c
sin B b , cosB a ,
c
c
tan A a , b
tan B. b , a
A
B
c a
┌ bC
锐角A的正弦、余弦和正切统称∠A的三角比.
探究新知：
下列每块三角尺的三边之间有怎样的特殊关系? （设最短的边为a）
2a
30°
3a
60°
aa
45°
a
45°
2a
探究新知：
（1）你能写出sin 30°等于多少吗? cos 30°等于多少? tan 30°呢?
，
＝2
3，
2
8
2
π0＝π，2-2＝-4，其中运算结果正确的个数为( D )
A．4
B．3
C．2
D．1
练习：
3.计算:
(1)sin 60°-tan 45°. (2)cos 60°+tan 60°.
3 2 sin 45 sin 60 2 cos 45.
2
4 2 sin2 30 cos2 60 2 cos2 45.
2
（1） 3 - 2；（2）1 2 3 ；（3）1 3 - 2 2 ；（4） 2 - 6 .
2
2
2
8
小结
1.今天学会了什么？ sin A
2.还有什么困惑？
cos A
tan A
30°
45°
60°
达标测试：
1.在△ABC中，若角A，B满足|cos A－ 3 | 2
＋(1－tan B)2＝0，则∠C的大小是( D )
A．45°
B．60°
C．75°
D．105°
2.在△ABC中，∠A，∠B都是锐角，且sin A＝ 1，

湘教版数学九年级上册4.4《解直角三角形的应用》(第2课时)教学设计

湘教版数学九年级上册4.4《解直角三角形的应用》（第2课时）教学设计一. 教材分析湘教版数学九年级上册4.4《解直角三角形的应用》（第2课时）的教学内容主要包括解直角三角形的应用、锐角三角函数的概念和应用。

本节课是在学生已经掌握了直角三角形的相关知识的基础上进行教学的，目的是让学生能够运用所学的知识解决实际问题，提高学生的数学应用能力。

二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的逻辑思维能力和空间想象能力，对于直角三角形的相关知识也有了一定的了解。

但是，学生在解决实际问题时，往往会因为对概念理解不深、思路不清晰而导致解题困难。

因此，在教学过程中，教师需要引导学生深入理解概念，培养学生的解题思路。

三. 教学目标1.知识与技能：使学生掌握解直角三角形的应用，理解锐角三角函数的概念和应用。

2.过程与方法：培养学生运用所学的知识解决实际问题的能力，提高学生的数学应用能力。

3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的团队合作意识和勇于探索的精神。

四. 教学重难点1.教学重点：解直角三角形的应用，锐角三角函数的概念和应用。

2.教学难点：如何引导学生运用所学的知识解决实际问题。

五. 教学方法采用问题驱动法、案例教学法和小组合作学习法。

通过设置问题，引导学生思考和探索，培养学生的解题思路；通过分析实际案例，使学生理解所学知识的应用价值；通过小组合作学习，提高学生的团队合作意识和交流能力。

六. 教学准备1.教师准备：熟悉教材内容，了解学生学情，设计好教学问题和案例。

2.学生准备：掌握直角三角形的相关知识，预习本节课的内容。

七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过提问方式引导学生回顾直角三角形的相关知识，为新课的学习做好铺垫。

2.呈现（15分钟）教师展示案例，让学生观察和分析案例中的直角三角形，引导学生发现实际问题中的数学规律。

3.操练（20分钟）教师设置问题，引导学生运用所学的知识解决实际问题。

学生在解决问题的过程中，教师给予指导和点拨，帮助学生理清解题思路。

25.4 解直角三角形的应用(2)

25.4 解直角三角形的应用（2）[方位角]第一组 25-151、某轮船沿正北方向航行，在A 点处测得灯塔C 在北偏西30º处，下图25-15-1正确的是（）2、海面上有A 、B 两个灯塔，已知灯塔A 位于B 的北偏东30º方向，那么灯塔B 位于灯塔A 的（）A 、南偏西60ºB 、南偏西30ºC 、北偏东30ºD 、北偏东60º3、某人在离水平面a m 的山上测得地面B 点的俯角为α，此时此人与地面B 点之间的水平距离是（）m 。

A 、a cot α B 、a sin αC 、a tan αD 、acos α4、如图25-15-2，已知小明外婆家在小明家的正东方，学校在外婆家的北偏西40º，外婆家到学校与小明家到学校的距离相等，则学校在小明家的（） A 、南偏东50º B 、南偏东40º C 、北偏东50º D 、北偏东40º5、如图25-15-3，当太阳光线与地面成30º时，测得旗杆AB 在地面上的影子BC 长为15m ，那么旗杆AB 的高度是 m 。

（保留根号）图 25 - 15 - 1(D)A CA C CA CA 图 25 - 15 - 2小明家学校北北图 25 - 15 - 3BA太阳光C6、某人从A 点出发，向北偏东45º方向走到B 点，再从B 点出发，向南偏西15º方向走到C 点，那么∠ABC= 。

7、如图25-15-4，点B 在点A 北偏西30º方向，且AB=5km ，点C 在点B 北偏东60º方向，且BC=12km ，则A 到C 的距离是。

8、如图25-15-5，一轮船以每小时20海里的速度沿正东方向航行，上午8时，该船在A 处测得某灯塔位于它的北偏东30º的B 处，上午9时行至C 处，测得灯塔恰好在它的正北方向，此时它与灯塔的距离是海里。

【小初高学习】九年级数学下册第一章直角三角形的边角关系专题训练(二)解直角三角形应用中的六种基本模型

专题训练(二) 解直角三角形应用中的六种基本模型►模型一“独立”型1．如图2－ZT－1，一渔船在海岛A南偏东20°方向的B处遇险，测得海岛A与B的距离为20海里，渔船将险情报告给位于A处的救援船后，沿北偏西80°方向向海岛C靠近，同时，从A处出发的救援船沿南偏西10°方向匀速航行.20分钟后，救援船在海岛C处恰好遇见渔船，那么救援船航行的速度为( )图2－ZT－1A．10 3海里/时B．30海里/时C．20 3海里/时D．30 3海里/时2．2017·台州如图2－ZT－2是一辆小汽车与墙平行停放的平面示意图，汽车靠墙一侧OB与墙MN平行且距离为0.8米，已知小汽车车门宽AO为1.2米，当车门打开角度∠AOB 为40°时，车门是否会碰到墙？请说明理由．(参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84)图2－ZT－2►模型二“背靠背”型3．如图2－ZT－3，热气球的探测器显示，从热气球A处看一栋楼顶部B处的仰角为30°，看这栋楼底部C处的俯角为60°，热气球A处与楼的水平距离为120 m，则这栋楼的高度为( )图2－ZT－3A．160 3 m B．120 3 mC．300 m D．160 2 m4．如图2－ZT－4，湖中的小岛上有一标志性建筑物，其底部有一点A，某人在岸边的点B处测得点A在点B的北偏东30°的方向上，然后沿岸边直行4千米到达点C处，再次测得点A在点C的北偏西45°的方向上(其中点A，B，C在同一平面上)．求这个标志性建筑物底部上的点A到岸边BC的最短距离．图2－ZT－4►模型三“母抱子”型5．如图2－ZT－5，某中学九年级数学兴趣小组想测量建筑物AB的高度．他们在点C 处仰望建筑物顶端A处，测得仰角为48°，再往建筑物的方向前进6米到达点D处，测得建筑物顶端A的仰角为64°，求建筑物的高度．(测角器的高度忽略不计，结果精确到0.1米，参考数据：sin48°≈710，tan48°≈1110，sin64°≈910，tan64°≈2)图2－ZT－56．2017·内江如图2－ZT－6，某人为了测量小山顶上的塔ED的高，他在山下的点A 处测得塔尖点D的仰角为45°，再沿AC方向前进60 m到达山脚点B，测得塔尖点D的仰角为60°，塔底点E的仰角为30°，求塔ED的高度．(结果保留根号)图2－ZT－6►模型四“拥抱”型7．如图2－ZT－7，梯子斜靠在与地面垂直(垂足为O)的墙上，当梯子位于AB位置时，它与地面所成的角∠ABO＝60°；当梯子底端向右滑动1 m(即BD＝1 m)到达CD位置时，它与地面所成的角∠CDO＝51°18′，求梯子的长．(参考数据：sin51°18′≈0.780，cos51°18′≈0.625，tan51°18′≈1.248)图2－ZT－7►模型五梯形类8．如图2－ZT－8，梯形ABCD是拦水坝的横断面示意图，图中i＝1∶3是指坡面的铅直高度DE与水平宽度CE的比，∠B＝60°，AB＝6，AD＝4，求拦水坝的横断面ABCD的面积．(结果精确到0.1.参考数据：3≈►模型六“斜截”型9．“蘑菇石”是贵州省著名自然保护区梵净山的标志，小明从山脚点B处先乘坐缆车到达与BC平行的观景平台DE处观景，然后再沿着坡角为29°的斜坡由点E步行到达“蘑菇石”点A处，“蘑菇石”点A到水平面BC的垂直距离为1790 m．如图2－ZT－9，DE∥BC，BD＝1700 m，∠DBC＝80°，求斜坡AE的长度．(结果精确到0.1 m，参考数据：sin80°≈0.9848，sin29°≈0.4848)详解详析1．[解析] D 由“B 在海岛A 的南偏东20°方向”和“海岛C 在海岛A 的南偏西10°方向”得∠BAC ＝30°，同理得∠ABC ＝60°，∴∠ACB ＝90°.∵AB ＝20海里，∴BC ＝10海里，AC ＝10 3海里，再由“救援船由海岛A 开往海岛C 用时20分钟”可求得救援船航行的速度为30 3海里/时．故选D.2．解：车门不会碰到墙．理由如下：如图，过点A 作AC ⊥OB ，垂足为C .在Rt △ACO 中，∵∠AOC ＝40°，AO ∴AC ＝AO ·sin∠AOC ≈1.2×0.64＝0.768(米)．∵汽车靠墙一侧OB 与墙MN 平行且距离为0.8米，0.8>0.768， ∴车门不会碰到墙．3．[解析] A 过点A 作AD ⊥BC 于点D ，则∠BAD ＝30°，∠CAD ＝60°，AD ＝120 m. 在Rt △ABD 中，BD ＝AD ·tan30°＝120×33＝40 3(m)．在Rt △ACD 中，CD ＝AD ·tan60°＝120×3＝120 3(m)， ∴BC ＝BD ＋CD ＝40 3＋120 3＝160 3(m)．4．解：过点A 作AD ⊥BC 于点D ，则AD 的长度就是点A 到岸边BC 的最短距离．在Rt △ACD 中，∠ACD ＝45°，设AD ＝x 千米，则CD ＝AD ＝x 千米．在Rt △ABD 中，∠ABD ＝60°，因为tan ∠ABD ＝AD BD ，即tan60°＝x BD，所以BD ＝x tan60°＝33x 千米．又因为BC ＝4千米，所以BD ＋CD ＝4千米，即33x ＋x ＝4，解得x ＝6－2 3，所以这个标志性建筑物底部上的点A 到岸边BC 的最短距离为(6－2 3)千米． 5．解：根据题意，得∠ADB ＝64°，∠ACB ＝48°. 在Rt △ADB 中，tan64°＝AB BD ，则BD ＝AB tan64°≈12AB ，在Rt △ACB 中，tan48°＝AB CB，则CB ＝ABtan48°≈1011AB ，∴CD ＝CB －BD ，即6＝1011AB －12AB ，解得AB ＝1329≈14.7(米)，∴建筑物的高度约为14.7米．6．[解析] 先求出∠DBE ＝30°，∠BDE ＝30°，得出BE ＝DE ，设EC ＝x ，则BE ＝2x ，DE ＝2x ，DC ＝3x ，BC ＝3x ，再根据∠DAC ＝45°，可得AC ＝DC ，列出方程求出x 的值，即可求出塔DE 的高度．解：由题意知，∠DBC ＝60°，∠EBC ＝30°， ∴∠DBE ＝∠DBC －∠EBC ＝60°－30°＝30°. 又∵∠BCD ＝90°，∴∠BDC ＝90°－∠DBC ＝90°－60°＝30°， ∴∠DBE ＝∠BDE ，∴BE ＝DE .设EC ＝x m ，则DE ＝BE ＝2EC ＝2x m ，DC ＝EC ＋DE ＝3x m ， BC ＝BE 2－EC 2＝3x m.由题意可知，∠DAC ＝45°，∠DCA ＝90°，AB ＝60 m ， ∴△ACD 为等腰直角三角形，∴AC ＝DC ， ∴3x ＋60＝3x . 解得x ＝30＋10 3.答：塔ED 的高度为(30＋10 3)m. 7．解：设梯子的长为x m.在Rt △ABO 中，cos ∠ABO ＝OBAB，∴OB ＝AB ·cos∠ABO ＝x ·cos60°＝12x m.在Rt △CDO 中，cos ∠CDO ＝OD CD， ∴OD ＝CD ·cos∠CDO ＝x ·cos51°18′≈0.625x m. ∵BD ＝OD －OB ，∴0.625x －12x ＝1，解得x ＝8.答：梯子的长约为8 m.8．解：过点A 作AF ⊥BC ，垂足为F . 在Rt △ABF 中，∠B ＝60°，AB ＝6， ∴AF ＝AB sin B ＝6sin60°＝3 3， BF ＝AB cos B ＝6cos60°＝3. ∵AD ∥BC ，AF ⊥BC ，DE ⊥BC ， ∴四边形AFED 是矩形，∴DE ＝AF ＝3 3，FE ＝AD ＝4.在Rt △CDE 中，i ＝DE CE ＝13，∴CE ＝3DE ＝3×3 3＝9，∴BC ＝BF ＋FE ＋CE ＝3＋4＋9＝16， ∴S 梯形ABCD ＝12(AD ＋BC )·DE＝12×(4＋16)×3 3 ≈52.0.答：拦水坝的横断面ABCD 的面积约为52.0.9．解：过点D 作DF ⊥BC 于点F ，延长DE 交AC 于点M ，由题意，得EM ⊥AC ， ∴四边形DMCF 为矩形， ∴DF ＝MC .在Rt △DFB 中，sin80°＝DF BD ，则DF ＝BD ·sin80°＝1700×sin80°(m)， ∴AM ＝AC －MC ＝AC －DF ＝(1790－1700×sin80°)m. 在Rt △AME 中，sin29°＝AM AE，则AE ＝AMsin29°＝1790－1700×sin80°sin29°≈238.9(m)．答：斜坡AE 的长度约为238.9 m.。

2022年青岛版九年级上《解直角三角形的应用2》精品课件

x
、
1
x
2
2a
2. 关于x的二次三项式x2 +4x+k是一个完全平方式。求k的值。
课时小结
用公式法解一元二次方程的一般步骤：
1、把方程化成一般形式。
2、写出 a、b、c 的值，值的范围为实数。
3、求出 b2 4ac 的值。
特别注意:若 b24ac0则方程无解
4、代入求根公式 : xb b2 4ac
5、写出方程的解：
解直角三角形的应用（2）
1.进一步掌握解直角三角形的方法。
2.能熟练地应用解直角三角形的知识解决有关方位角的实际问题。
精讲点拨
例3 住宅的采光是建楼和购房时人们所关心的问题之一。如图，住宅小区南、北两栋楼房的高度均为。已知当地冬至这天中午12时太阳光线与地面所成的角是35°。
（1）要使这时南楼的影子恰好落在北楼的墙脚，两楼间的距离元二次方程的一般步骤：
1、把方程化成一般形式。
2、写出 a、b、c 的值。
3、求出 b2 4ac 的值。
特别注意:若 b24ac0则方程无解
4、代入求根公式 : xb b2 4ac 2a
5、写出方程的解：
x
、
1
x
2
复习巩固公式法解方程：（1）x2-7x-18=0
（2） 9x2+6x+1=0
（2）如果两栋楼房之间的距离为20m，那么这时南楼的影子是否会影响北楼一楼的采光？
跟踪训练
如图，在海岸边有一港口O，已知小岛A在港口 O北偏东30°的方向，小岛B在小岛A正南方向， OA=60海里，OB=20 海里．计算： (1)小岛B在港口O的什么方向； (2)求两小岛A，B的距离．

解直角三角形的几种方法

解直角三角形的几种方法（二）引言：直角三角形是一种特殊的三角形，其中一个角度为90度。

解直角三角形是高中数学中的重要内容。

本文将介绍几种解直角三角形的方法，包括正弦定理、余弦定理、特殊三角函数值以及特殊角度的计算方法等。

概述：解直角三角形主要涉及到三边的关系、三角函数的计算以及角度的计算。

在本文中，我们将详细讨论这些方法，并给出具体的解题步骤和例题，以帮助读者更好地理解和掌握解直角三角形的技巧。

正文内容：一、正弦定理1.推导正弦定理的原理与公式2.利用正弦定理解直角三角形的方法3.根据已知条件求解角度和边长的具体步骤4.通过示例说明正弦定理在解题中的应用5.注意事项和常见错误分析二、余弦定理1.推导余弦定理的原理与公式2.利用余弦定理解直角三角形的方法3.根据已知条件求解角度和边长的具体步骤4.通过示例说明余弦定理在解题中的应用5.注意事项和常见错误分析三、特殊三角函数值1.讨论特殊角度下正弦、余弦、正切的值2.借助特殊角度的数值计算直角三角形的边长和角度3.解析特殊角度下的直角三角形示例题4.探讨特殊角度对解直角三角形的影响5.实践中注意事项和常见错误分析四、特殊角度的计算方法1.利用标准角度和标准角度的三角函数值2.利用和差角公式计算特殊角度的三角函数值3.根据特殊角度的计算方法确定直角三角形的属性4.通过示例说明特殊角度计算方法在解题中的应用5.注意事项和常见错误分析五、综合运用各个方法1.结合正弦定理、余弦定理和特殊角度的计算方法解直角三角形2.根据题目条件选择合适的解题方法3.通过综合运用不同方法解答综合题目4.分析不同解题方法的优缺点和适用范围5.总结解直角三角形的方法和技巧总结：解直角三角形是数学学科中的基础内容，本文介绍了几种解直角三角形的方法，包括正弦定理、余弦定理、特殊三角函数值以及特殊角度的计算方法等。

对于不同的题目和条件，可以选择合适的方法进行解答。

在解题过程中，需要注意运用正确的公式和计算方法，避免常见的错误和误解。

人教版九年级下册数学作业课件第28章解直角三角形 (2)

(2)∠A＝22°，AB＝10.(sin22°≈0.37，cos22°≈0.93， tan22°≈0.40，其中结果精确到 0.1) 解：在 Rt△ABC 中，∠B＝90°－∠A＝90°－22°＝68°. ∵∠A＝22°，AB＝10， ∴AC＝cosA·AB＝cos22°·10≈0.93×10＝9.3， BC＝AB·sinA＝10·sin22°≈0.37×10＝3.7.
又∵∠CDE＝90°，CD＝4，sinE＝CD，∠E＝30°， CE
∴CE＝sCinDE＝sin430°＝41＝8. 2
∴BC＝BE－CE＝6 3－8.
(2)若 sinA＝45，求 AD 的长．解：∵∠ABE＝90°，AB＝6，sinA＝45＝BAEE， ∴设 BE＝4x，AE＝5x，则 AB＝3x. ∴3x＝6，得 x＝2. ∴BE＝8，AE＝10.
10．如图，在四边形 ABCD 中，AB＝2，BC＝CD＝ 2 3 ， ∠B ＝ 90°， ∠C ＝ 120°，则线段 AD 的长为 7. 解析：如图，连接 AC. 在 Rt△ABC 中， ∵∠B＝90°，AB＝2，BC＝2 3， ∴tan∠ACB＝BACB＝223＝ 33.
∴∠ACB＝30°. ∴AC＝2AB＝4. ∵∠BCD＝120°. ∴∠ACD＝∠BCD－∠ACB＝120°－30°＝90°. 在 Rt△ADC 中， ∵∠ACD＝90°，AC＝4，CD＝2 3， ∴AD＝ AC2＋CD2＝ 42＋（2 3）2＝2 7.
解：在
Rt△ABC
中，∠C＝90°，tanA＝
3， 3
∴∠A＝30°，∠ABC＝60°.
∵BD 是∠ABC 的平分线，
∴∠CBD＝∠ABD＝30°.
又∵CD＝ 3， ∴BC＝taCn3D0°＝3. 在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，∠A＝30°， ∴AB＝siBn3C0°＝6.

第二节解直角三角形

第二节解直角三角形第二节解直角三角形知识要点已知三角形的某些元素求其它元素的问题称为解三角形，解一般的三角形至少需要已知三个元素（其中至少要有一条边）在直角三角形中,一个元素(直角)是已知的，只需要知道其他两个元素(其中至少要有一条边)，就可以求出该三角形的其他元素(边长和角)及面积，这类问题称为“解直角三角形”．一、直角三角形中的边角关系解直角三角形包括“已知一边一角”和“已知两边”两类情况，都可以利用三角比的边角关系或勾股定理来解.例题精讲例1△中，∠C＝°，AC=BC，点D在BC上，∠DAC＝°已知AD=6，求BD的长.举一反三1-1旗杆上的绳子从顶端垂到地面还多8米.当把绳子下端沿地面拉直后，绳子与地面成45°角，则与绳子长度最接近的整数值是（）A．27；B．28；C．29；D．301-2在△中，∠C＝°，点D在BC上，BD=4，AD=BC，cos∠ADC ＝（2）求sinB的值.点评在直角三角形中，已知某锐角的三角比但相关的两条线段都不知道，则必需引入比例系数k，再按题意根据等量关系列出方程求k．注意不可直接写DC=3，AD=5，因为比例系数k并不一定等于1(在本题中比例系数k=2)．1-3△中，AD是边BC上的高，E为边AC的中点，BC=14，AD=12，sinB=0.8（1）求线段DC的长；（2）求tan∠EDC的值.点评在斜三角形中，要求某锐角内角的三角比，可通过作垂线构造直角三角形，或通过相等角的代换将该角转移到直角三角形中，寻找新的关系．二、等腰三角形中的边角关系根据三线合一定理，作底边上的高线可以把等腰三角形分成两个全等的直角三角形，从而把解等腰三角形的问题化为解直角三角形的问题例2△ABC中，AB=AC，BC=6，（1）求边AB的长；（2）求边AC上的高.求三角形的面积也是解三角形的内容之一，下面看一道利用三角比计算三角形面积的问题．举一反三2-1在△中，AB=AC=10，∠B＝°，求△的面积.点评由本题中的方法二可归纳出新的面积公式：，其中为AB、AC的夹角2-2已知△中，AB=AC=10，△的面积为，求顶角A的大小.点评在已知三角形面积的问题中，经常要按照以上两种情况进行分类讨论．2-3在△中，AB=AC=10，BC=12.（1）求∠B的正切值；（2）求∠A的正弦值.三、一般三角形的边角关系例3在△ABC中，∠A＝°，∠C＝°，AB=12. （1）求边AC的长；（2）求sinC.点评(1)对于一般三角形，通过作一条高可以把它分成两个直角三角形，如果原三角形中含特殊角，那么尽量不要把特殊角分开，在本例中，如果一上来就作AE⊥BC，固然在Rt△ABE中由AB=12，∠B=60°可以求出AE和BE，接着在Rt△ACE中都是非特殊角，计算无法进行下去了．(2)本题的计算结果使我们又获得了一个“扩大的特殊角”的三角比：sin75°=．举一反三3-1已知在△中，∠B、∠C都是锐角，BC=20，,,求AC的长.3-2在△中，D在边BC上，BD=2CD,且AD⊥AB，若，求∠B的度数.点评本题中的两个条件“∠BAD=90°和“tan∠CAD=”不在同一个三角形中，添辅助线的目的就是要把这两个条件集中到同一个直角三角形中．3—3在上海旅游节期间举办了彩车巡回展览活动．上海锦江集团制作的彩车上有一副钢制的三脚架安置在一辆平板车上，如图2—2一15所示，平板车底板离地面为1．6米，三脚架为△ABC，其中BC长20米，∠B和∠C分别为45°和30°．彩车要穿过南北高架路驶往外滩，已知南京路成都路道口的高架路离地面高8米，延安路成都路道口的高架路离地面高10米．这辆彩车在这两处道口是否都能安全通过?(参考数据：≈1．732)点评抛开题目的实际背景，本题的数学含义是：“在△ABC中，已知BC=20，∠B=45°，∠C=30°，求高AD．”解题中以AD=x为中间量，根据BD+DC=BC建立方程求解．四、复合图形中的边角关系在这里，“复合图形”是指由有两个三角形拼合或叠合而成的图形°四边形被它的一条对角线分成两个三角形，因此解四边形的问题可以化归为解三角形的问题.例4已知四边形ABCD中，BC=CD=DB，∠ADB＝°，，求S△ABD：S△BCD.举一反三4-1将两块三角板如图放置，其中∠C=∠EDB＝°,∠A=45°，∠E=30°，AB=DE=6求重叠部分四边形DBCF的面积.点评用“割补法”求四边影DBCF的面积可以有两种方法：一是由点C作垂线CG上AB于G，把四边形DBCF分成Rt△BCG和梯形DGCF；二是如本题中的解法，看作是两个等腰直角三角形(△ABC和△ADF)的面积之羞．后者只需要求出AD和AC’的长，是同一种图形的面积相减，因此后一种解法比前者顺畅．将两块三角板换一种叠法得到下面的问题．4-2将一副三角板如图放置，其中∠A=∠BCD＝°，AB=AC，∠DBC＝°，已知BC=6，求它们重叠部分△EBC的面积.4-3已知△ABC是边长为a的等边三角形，△DBC是以BC为斜边的等腰直角三角形，求线段AD的长.点评不给图形的题目，往往藏有玄机．在自己画图的过程中要仔细考虑：这个图有没有不同的画法?要不要进行分类讨论?内容提炼1.解直角三角形时，除了“已知两边求第三边”用勾股定理、“已知一个锐角求另一个锐角”用“两锐角互余”之外，其它各种情况都可以用三角比的定义求解；2．解斜三角形时，我们把它化为直角三角形来解，经常遇到的题目有两类：①已知两边夹角解三角形．如图2—2—22，△ABC中，已知AC=b，AB=c，∠A=a，可作高CD⊥AB，则CD=b·sina，AD=b·cosb，BD=c—bcosa，再在Rt△BCD中用勾股定理求，利用三角比定义tanB=，最后求出∠C=180°一∠A一∠B·②已知两角一边解三角形．如图2—2—23，△ABC中，已知∠A=a，∠B=，AB=c，作高CD，设CD=x，列方程xcota+xcot=c，得x=求出CD后计算习题精炼1.△ABC中，∠C＝°，已知以下边或角的大小不能解该三角形的是（）A．∠A、a；B．∠B、c；C．∠A、∠B；D．a、c2.△ABC中，∠A=90°，若AB=c，∠B＝；B．；C．；D．3.若△ABC的两条边长分别为AB=20cm,AC=30cm,S△ABC=150cm2,则∠A的度数为（）A．30°；B．60°；C．30°或150°；D．60°或120°4.Rt△中，∠C＝°，若AC=6，，则AB=.5.△中，∠A＝°，若∠B=θ，AC=b，则AB=（用θ和b的三角比表示）6.△AB中，若AB=AC=10cm,BC=12cm，则tanB=.7.如图，△ABC中，若AB=AC,∠A=90°,BD是角平分线，则tanDBC=.8.△中，若AB=AC=，BC=6，则∠BAC=度9.在ABC中，＝0°，B＝AC，将ABC绕着点B旋转使点落在直线B上C＇，＇C＇＝________．中，∠C＝°，CD是边AB上的中线，，BC=6.（1）求CD的长；（2）求sin∠BCD.11.如图，在△中，已知∠A、∠B都是锐角，,BC=20，,AB=29，求△ABC的面积.12.如图，梯形ABCD中，AB∥CD，∠B＝°，点F在BC上，∠AFD ＝°，已知AB=8，DC=3，tan∠BAD=2.（1）求AD的长；（2）求tan∠FAD.互动探究如图，Rt△中，AB=AC，∠BAC＝°，D、E分别为AB、AC上的点，AE=BD，联结DE、BE.(1)当AD=2DB时，分别计算tan∠ADE和tan∠EBC的值．从这个计算结果你能得出什么结论?(2)以第(1)小题中的探究结论为条件，求的值．2014/11/29第8页共8页74-84。

北师版九年级下册第一章直角三角形的边角关系知识点及习题

九年级下册第一章直角三角形的边角关系【知识要点】一、锐角三角函数：正切：在Rt △ABC 中，锐角∠A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切．．，记作tanA ，即b A atan =; 正弦．．：．在Rt △ABC 中，锐角∠A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记作sinA ，即ca sin =A ; 余弦：在Rt △ABC 中，锐角∠A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦，记作cosA ，即cA bcos =; 余切：在Rt △ABC 中，锐角∠A 的邻边与对边的比叫做∠A 的余切，记作cotA ，即cA b cot =; 注：（1）sinA,cosA,tanA, 是在直角三角形中定义的,∠A 是锐角(注意数形结合,构造直角三角形). （2）sinA,cosA,tanA, 是一个完整的符号,表示∠A,习惯省去“∠”号；（3）sinA,cosA,tanA,是一个比值.注意比的顺序,且sinA,cosA,tanA,均﹥0,无单位. （4）sinA,cosA,tanA, 的大小只与∠A 的大小有关,而与直角三角形的边长无关. （5）角相等,则其三角函数值相等；两锐角的三角函数值相等,则这两个锐角相等. 1、三角函数和角的关系tanA 的值越大，梯子越陡，∠A 越大；∠A 越大，梯子越陡，tanA 的值越大。

sinA 的值越大，梯子越陡，∠A 越大；∠A 越大，梯子越陡，sinA 的值越大。

cosA 的值越小，梯子越陡，∠A 越大；∠A 越大，梯子越陡，cosA 的值越大。

2、三角函数之间的关系（1）互为余角的函数之间的关系0º 30 º 45 º 60 º 90 º若∠A 为锐角，则①)90cos(sin A A ∠-︒=；)90sin(cos A A ∠-︒=②)90cot(tan A A ∠-︒=；)90tan(cot A A ∠-︒=（2）同角的三角函数的关系 1)平方关系：sinA 2＋cosA 2＝1 2)倒数关系：tanA ·cotA ＝13)商的关系：tanA ＝A o A s c sin ，cotA ＝A Asin cos二、解直角三角形：※在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和二个锐角。

第2讲解直角三角形

A的邻边 b
A的对边 a
这三个关系式中，每个关系式都包含三个元素，知其中两个元素就可以求出第三个元素。(1)已知两边求第一边；(2)已知一锐角求另一角；(3)已知两边求锐角，已知一边一角求另一边。
这些关系式是解直角三角形的依据，已知其中两个元素(至少有一个是边)就可以求出其余的三个未知元素。
【例 5】如图所示，在△ABC 中,∠B=45°，AC=5，BC=3。求：sinA 和 AB。 A
D
B
C
【例 6】某校数学兴趣小组在测量一座池塘边上 A，B 两点间的距离时用了以下三种测量方法，如下图所示．图中 a，b，c 表示长度，β表示角度．请你求出 AB 的长度（用含有 a， b，c，β字母的式子表示）．
形。
【例 4】在△ABC 中，∠C＝90°，b＝35，c＝45，(cos39°＝0.7778)，解直角三角形。由以上所述，归纳总结出解直角三角形题目分为四种类型：
已知条件（两个）
解
法
（ 1） ∠ B 90o ∠ A
一条直角边和一个锐角（ a， ∠ A）
（ 2） sin A a c a
）
A. 3
B. 4
4
3
C. 3 5
D. 5 3
2. 在△ABC 中，∠A=105°，∠B=45°，tanC 的值是（
）
A. 1 2
B. 3 3
C. 1
D.
3.
）
2
A. 锐角三角形
B. 直角三角形 C. 钝角三角形
D. 等腰三角形
【例 7】已知：如图，在平行四边形 ABCD 中，E 是 AD 的中点，连接 BE、CE，∠BEC=90°．（1）求证：BE 平分∠ABC；

4.4解直角三角形的应用(2)-湘教版九年级数学上册教案

4.4解直角三角形的应用（2）- 湘教版九年级数学上册教案一、教学目标1.掌握解决直角三角形的应用问题的方法。

2.运用正弦、余弦、正切定理进行直角三角形应用问题的解题。

3.发扬团队协作精神，互相帮助、学互帮互学，树立学生互相协作、共同进步的意识。

二、教学重点1.掌握正弦、余弦、正切定理的适用条件。

2.能准确的运用正弦、余弦、正切定理解决直角三角形的应用问题。

三、教学难点1.如何确定三角形中的比例关系。

2.如何选用合适的定理解决问题。

四、教学方法通过教师讲解、例题演示、学生练习等多种教学方法进行教学。

五、教学过程及课时安排课前准备（5分钟）教师放一道与直角三角形相关的应用问题，并提出解题思路。

新课讲解（25分钟）1. 正弦、余弦、正切定理的适用条件教师介绍三种定理的适用条件，并结合范例讲解。

2. 解题方法根据主要分类，分别介绍解决“直角三角形证明”、“直角三角形计算”、“直角三角形与平面几何相互应用”三种类型题目的解题方法。

其中，计算类题目的解题过程涉及到的基本步骤包括：•按照题目要求，将角度、边长标记在图中；•按照所选用的定理算出相关的比例关系；•代入数值计算。

3. 例题演示教师挑选数个例题进行演示，并让学生依照解题思路尝试自己解答。

练习（30分钟）1. 合作练习让同桌两人配对，相互分别出题，对方根据解题思路独立解答，并互相修改错题。

2. 个人练习教师放置数个题目让学生依照解题思路自行解答，充分锻炼学生解决应用题目的能力。

课堂总结（5分钟）让学生回答“为何要学习直角三角形”，并问答解决本课中遇到的问题。

六、板书设计板书设计板书设计七、作业布置1.完成《湘教版九年级数学上册》p58-59的练习；2.自己编出数个直角三角形应用题并解答。

八、教学反思本节课，教师围绕“解直角三角形的应用”这个话题，从适用条件、解题方法、例题演示以及练习等多个方面出发，构建起一个综合性的授课体系，使学生们全面掌握了正弦、余弦、正切定理的运用技巧。

人教版九年级下册课件 28.2 解直角三角形应用举例第2课时 (共35张ppt)

PC sinB PB PC72 . 8 72 . 8 PB 130 sin B sin 340 . 559
B
当海轮到达位于灯塔P的南偏东34°方向时，它距离灯塔P大约130.23海里．
利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是:
1.将实际问题抽象为数学问题; (画出平面图形,转化为解直角三角形的问题) 2.根据条件的特点,适当选用锐角三角函数等去解直角三角形; 3.得到数学问题的答案; 4.得到实际问题的答案.
到的地球上的点，应是视线与地球相切时的切点．
如图，⊙O表示地球，点F是组合体的位置，FQ是⊙O的切线，切点Q P Q 最远是从组合体中观测地球时的点． P Q 的长就是地面上P、Q两点 P Q 的长需间的距离，为计算先求出∠POQ（即a）的度数.
分析：从组合体中能直接看
F P
Q
α O·
解：在图中，设∠POQ=a FQ是⊙O的切线，△FOQ是直角三角形．
10.4 > 8没有触礁危险
相信你能行
1.如图所示，轮船以32海里每小时的速度向正北方向航行，在A处看灯塔Q在轮船的北偏东30 °处，半小时航行到B处，发现此时灯塔Q与轮船的距离最短，求灯塔Q到B处的距离（画出图像后再计算）
B Q
30°
A
2．如图所示，一渔船上的渔民在A处看见灯塔M在北偏东60°方向，这艘渔船以28海里/ 时的速度向正东航行，半小时至B处，在B处看见灯塔M在北偏东15°方向，此时灯塔M 与渔船的距离是( A )
A
B 140°
C
E
D E cos B D E B D
50° D
D E c o s B D E B D

北师大版初三(下)数学第81讲：解直角三角形(2)(学生版)(著名机构讲义)

解直角三角形（2）____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________1、了解解直角三角形在测量及几何问题中的应用；2、掌握仰角、俯角、坡度等概念，并会解决简单的实际应用问题；3、认识到数学是解决现实问题的重要工具，强化利用三角函数解决问题的自信心．1．解直角三角形的应用（1）通过解直角三角形能解决实际问题中的很多有关测量问．如：测不易直接测量的物体的高度、测河宽等，关键在于构造出直角三角形，通过测量角的度数和测量边的长度，计算出所要求的物体的高度或长度．（2）解直角三角形的一般过程是：①将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，构造出直角三角形转化为解直角三角形问题）．②根据题目已知特点选用适当锐角三角函数或边角关系去解直角三角形，得到数学问题的答案，再转化得到实际问题的答案．2．解直角三角形的应用-坡度坡角问题（1）坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比，又叫做_____，它是一个比值，反映了斜坡的陡峭程度，一般用i表示，常写成i=1：m的形式．（2）把坡面与水平面的夹角α叫做坡角，坡度i与坡角α之间的关系为：i=h/l=tanα．（3）在解决坡度的有关问题中，一般通过作高构成直角三角形，坡角即是一锐角，坡度实际就是一锐角的正切值，水平宽度或铅直高度都是直角边，实质也是解直角三角形问题．应用领域：①测量领域；②航空领域③航海领域：④工程领域等．3．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（1）概念：仰角是_____的视线与水平线的夹角；俯角是_____向下看的视线与水平线的夹角．（2）解决此类问题要了解角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形，另当问题以一个实际问题的形式给出时，要善于读懂题意，把实际问题划归为直角三角形中边角关系问题加以解决．4．解直角三角形的应用-方向角问题（1）在辨别方向角问题中：一般是以第一个方向为始边向另一个方向旋转相应度数．（2）在解决有关方向角的问题中，一般要根据题意理清图形中各角的关系，有时所给的方向角并不一定在直角三角形中，需要用到两直线平行内错角相等或一个角的余角等知识转化为所需要的角．1.解直角三角形的应用-方向角问题．【例1】（2014•四川自贡中学期末）如图，小雅家（图中点O处）门前有一条东西走向的公路，经测得有一水塔（图中点A处）在她家北偏东60度500m处，那么水塔所在的位置到公路的距离AB是（）A．250m B．250m C．m D．250m练1.如图，为了测量河两岸A，B两点的距离，在与AB垂直的方向上取点C，测得AC=a，∠ACB=a，那么AB等于（）A．a•sinα B．a•cosα C．a•tanα D．a•cotα练2.如图，客轮在海上以30km/h的速度由B向C航行，在B处测得灯塔A的方位角为北偏东80°，测得C处的方位角为南偏东25°，航行1小时后到达C处，在C处测得A的方位角为北偏东20°，则C到A的距离是（）A．15km B．15km C．15（+）km D．5（+3）km2.解直角三角形的应用-坡度坡角问题．【例2】（2015•承德第一中学月考）如图小明想测量电线杆AB的高度，发现电线杆的影子恰好落在土坡的坡面CD和地面BC上，量得CD=4 m，BC=10 m，CD与地面成30°角，且此时测得1 m 杆的影子长为2 m，则电线杆的高度约为m．（结果保留两位有效数字，≈1.41，≈1.73）练3.某人沿着有一定坡度的坡面前进了10米，此时他与水平地面的垂直距离为2米，则这个坡面的坡度比为．3.解直角三角形的应用-求长度问题．【例3】（2014•辽宁旅顺八中期中）一棵树因雪灾于A处折断，测得树梢触地点B到树根C处的距（答离为4米，∠ABC约45°，树干AC垂直于地面，那么此树在未折断之前的高度约为米．案保留根号）练4.．如图，一架梯子斜靠在墙上，若梯子到墙的距离AC=3米，cos∠BAC=，则梯子AB的长度为米．4．解直角三角形的应用-仰角俯角问题．【例4】（2014•山东费县中学期末）如图，AB和CD是同一地面上的两座相距36米的楼房，在楼AB 的楼顶A点测得楼CD的楼顶C的仰角为45°，楼底D的俯角为30度．求楼CD的高（结果保留根号）．练5.如图，已知某小区的两幢10层住宅楼间的距离为AC=30 m，由地面向上依次为第1层、第2层、…、第10层，每层高度为3 m．假设某一时刻甲楼在乙楼侧面的影长EC=h，太阳光线与水平线的夹角为α．（1）用含α的式子表示h（不必指出α的取值范围）；（2）当α=30°时，甲楼楼顶B点的影子落在乙楼的第几层？若α每小时增加15°，从此时起几小时后甲楼的影子刚好不影响乙楼采光？5．解直角三角形的应用-方案问题．【例5】（2015•云南腾冲中学期末）为了测量校园内一棵不可攀的树的高度，学校数学应用实践小组做了如下的探索：实践一：根据《自然科学》中的反射定律，利用一面镜子和一根皮尺，设计如右示意图的测量方案：把镜子放在离树（AB）8.7米的点E处，然后沿着直线BE后退到点D，这是恰好在镜子里看到树梢顶点A，再用皮尺量得DE=2.7米，观察者目高CD=1.6米，请你计算树（AB）的高度．（精确到0.1米）实践二：提供选用的测量工具有：①皮尺一根；②教学用三角板一副；③长为2.5米的标杆一根；④高度为1.5米的测角仪（能测量仰角、俯角的仪器）一架．请根据你所设计的测量方案，回答下列问题：（1）在你设计的方案中，选用的测量工具是（用工具的序号填写）；（2）在图中画出你的测量方案示意图；（3）你需要测得示意图中的哪些数据，并分别用a、b、c、α等表示测得的数据：；（4）写出求树高的算式：AB= ．练6．为了测量一棵大树的高度，准备了如下测量工具：①镜子；②皮尺；③长为2m的标杆；④高为1.5m的测角仪（能测量仰角和俯角的仪器），请根据你所设计的测量方案，回答下列问题：（1）在你设计的方案上，选用的测量工具是；（2）在下图中画出你的测量方案示意图；（3）你需要测量示意图中的哪些数据，并用a，b，c，α等字母表示测得的数据；（4）写出求树高的算式：AB= m．1．王英同学从A地沿北偏西60°方向走100m到B地，再从B地向正南方向走200m到C地，此时王英同学离A地（）A．m B．100m C．150m D．m2．如图，沿AC方向开山修路，为了加快施工进度，要在小山的另一边同时施工，从AC上的一点B，取∠ABD=145°，BD=500米，∠D=55度．要使A，C，E成一直线．那么开挖点E离点D的距离是（）A．500sin55°米 B．500cos55°米C．500tan55°米 D．500cot55°米3．如图，为了测量一河岸相对两电线杆A，B间的距离，在距A点15米的C处（AC⊥AB）测得∠ACB=50°，则A，B间的距离应为（）A．15sin50°米 B．15tan50°米 C．15tan40°米 D．15cos40°米4．如图，已知一渔船上的渔民在A处看见灯塔M在北偏东60°方向，这艘渔船以28海里/时的速度向正东方向航行，半小时后到达B处，在B处看见灯塔M在北偏东15°方向，此时灯塔M与渔船的距离是（）A．7海里 B．14海里 C．7海里D．14海里5．如图，一束光线从y轴上点A（0，1）出发，经过x轴上点C反射后经过点B（3，3），则光线从A点到B点经过的路线长是．__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________1．某楼梯的侧面视图如图所示，其中AB=4米，∠BAC=30°，∠C=90°，因某种活动要求铺设红色地毯，则在AB段楼梯所铺地毯的长度应为米．2．长为4m的梯子搭在墙上与地面成45°角，作业时调整为60°角（如图所示），则梯子的顶端沿墙面升高了m．3．如图所示，某河堤的横断面是梯形ABCD，BC∥AD，迎水坡AB长13米，且tan∠BAE=，则河堤的高BE为米．4．如图，一游人由山脚A沿坡角为30°的山坡AB行走600m，到达一个景点B，再由B沿山破BC 行走200m到达山顶C，若在山顶C处观测到景点B的俯角为45°，则山高CD等于m．（结果用根号表示）5．如图是一山谷的横断面示意图，宽AA′为15m，用曲尺（两直尺相交成直角）从山谷两侧测量出OA=1m，OB=3m，O′A′=0.5m，O′B′=3m（点A，O，O′A′在同一条水平线上），则该山谷的深h为m．6．如图，我校为了筹备校园艺术节，要在通往舞台的台阶上铺上红色地毯．如果地毯的宽度恰好与台阶的宽度一致，台阶的侧面如图所示，台阶的坡角为30°，∠BCA=90°，台阶的高BC为2米，那么请你帮忙算一算需要米长的地毯恰好能铺好台阶．（结果精确到0.1m，取=1.414，=1.732）．7．小刘同学为了测量雷州市三元塔的高度，如图，她先在A处测得塔顶C的仰角为32°，再向塔（小的方向直行35米到达B处，又测得塔顶C的仰角为60°，请你帮助小刘计算出三元塔的高度．刘的身高忽略不计，结果精确到1米）8．如图，某建筑物BC的楼顶上有一避雷针AB，在距此建筑物12米的D处安置一高度为1.5米的测倾器DE，测得避雷针顶端的仰角为60°．又知建筑物共有六层，每层层高为3米．求避雷针AB的长度．（结果精确到0.1米）（参考数据：≈1.41，≈1.73）9．课外实践活动中，数学老师带领学生测量学校旗杆的高度．如图，在A处用测角仪（离地高度为1.5米）测得旗杆顶端的仰角为15°，朝旗杆方向前进23米到B处，再次测得旗杆顶端的仰角为30°，求旗杆EG的高度．10．为打击索马里海盗，保护各国商船的顺利通行，我海军某部奉命前往该海域执行护航任务．某天我护航舰正在某小岛A北偏西45°并距该岛20海里的B处待命．位于该岛正西方向C处的某外国商船遭到海盗袭击，船长发现在其北偏东60°的方向有我军护航舰（如图所示），便发出紧急求救信号．我护航舰接警后，立即沿BC航线以每小时60海里的速度前去救援．问我护航舰需多少分钟可以到达该商船所在的位置C处？（结果精确到个位．参考数据：≈1.4，≈1.7）11．如图所示，A、B两城市相距100km，现计划在这两座城市间修建一条高速公路（即线段AB），经测量，森林保护中心P在A城市的北偏东30°和B城市的北偏西45°的方向上，已知森林保护区的范围在以P点为圆心，50km为半径的圆形区域内，请问计划修建的这条高速公路会不会穿越保护区，为什么？（参考数据：≈1.732，≈1．414）课程顾问签字：教学主管签字：。

沪科版数学九年级上册23.2《解直角三角形及其应用》(第2课时)教学设计

沪科版数学九年级上册23.2《解直角三角形及其应用》（第2课时）教学设计一. 教材分析《解直角三角形及其应用》是沪科版数学九年级上册第23.2节的内容，主要介绍了解直角三角形的知识和方法。

本节内容是在学生已经掌握了锐角三角函数的基础上进行的，是初中的重点和难点内容。

本节课的主要内容包括解直角三角形的定义、解直角三角形的步骤和方法、解直角三角形的应用等。

二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的几何知识，对锐角三角函数有一定的了解。

但是，解直角三角形这一概念对于学生来说比较抽象，不易理解。

因此，在教学过程中，需要注重引导学生通过实际操作来理解解直角三角形的概念，并通过大量的练习来巩固解直角三角形的方法和应用。

三. 教学目标1.理解解直角三角形的定义和意义。

2.掌握解直角三角形的步骤和方法。

3.能够应用解直角三角形解决实际问题。

四. 教学重难点1.解直角三角形的概念和步骤。

2.解直角三角形的应用。

五. 教学方法1.采用问题驱动法，引导学生通过解决实际问题来理解解直角三角形的概念和方法。

2.使用多媒体辅助教学，通过动画和图片来形象地展示解直角三角形的步骤和应用。

3.学生进行小组讨论和合作学习，促进学生之间的交流和合作。

六. 教学准备1.多媒体教学设备。

2.教学PPT。

3.练习题。

七. 教学过程1.导入（5分钟）利用多媒体展示一些实际问题，如测量旗杆的高度、计算建筑物的斜面积等，引导学生思考如何利用几何知识解决这些问题。

2.呈现（10分钟）通过PPT呈现解直角三角形的定义、步骤和方法，并配以动画和图片，帮助学生形象地理解解直角三角形的概念。

3.操练（10分钟）学生进行小组讨论，让学生通过实际操作来巩固解直角三角形的方法。

可以让学生分组测量教室内的物品长度、高度等，并计算其斜边长度。

4.巩固（10分钟）让学生独立完成一些解直角三角形的练习题，检验学生对解直角三角形方法的掌握程度。

5.拓展（10分钟）引导学生思考如何将解直角三角形的方法应用到实际问题中，如测量山峰的高度、计算桥梁的跨度等。

解直角三角形实际应用2优秀教学案例人教版九年级数学下册

2.学生在解决实际问题的过程中，培养了自信心和克服困难的勇气。面对挑战性的问题，学生学会了不畏难，勇于尝试，克服困难，取得了成功。
3.学生能够养成良好的学习习惯，自主探究、积极参与。在教学过程中，学生养成了主动思考、积极参与的习惯，提高了学习效果。
4.学生在小组合作中，学会了尊重他人、倾听他人的意见。通过合作学习，学生培养了良好的团队精神，学会了与人相处。
（二）问题导向
1.教师提出具有引导性的问题，启发学生思考。通过提问，引导学生关注问题的关键点，激发学生的思维活力。
2.学生主动提出问题，培养问题意识。鼓励学生敢于质疑，勇于提出问题，培养学生的独立思考能力。
3.问题导向贯穿整个教学过程。教师引导学生从问题中发现问题，解决问题，从而达到对知识的理解和应用。
2.学生能够在小组合作中，互相交流、讨论，共同解决问题。通过小组合作，学生提高了沟通协作能力，学会了分享和倾听他人的意见。
3.学生能够运用多媒体技术，获取和处理信息。在解决实际问题的过程中，学生学会了使用多媒体工具，提高了信息处理能力。
（三）情感态度与价值观
1.学生能够认识到数学在实际生活中的重要作用，增强学习数学的兴趣。通过解决实际问题，学生体会到了数学的价值，激发了对数学学习的热情。
（三）小组合作
1.合理分组，优化组合。根据学生的学习特点和兴趣，将学生分成若干小组，保证小组成员之间的互补性。
2.明确小组合作的目标和任务。在解决实际问题的过程中，引导学生明确合作的目标，确保小组合作的有效性。
3.教师参与小组合作，发挥引导和辅导作用。教师在小组合作过程中，关注学生的学习情况，及时给予指导和帮助。
解直角三角形实际应用2优秀教学案例人教版九年级数学下册
一、案例背景