1.3 解直角三角形(2)
浙教版数学九年级下册同步课件：第3课时方位角与仰角、俯角问题
OB=PO= x米.
在Rt△POA中，∠PAB=37°，
x
PO
0.75 ， O
tan∠PAB
0.75 ，即
x 400
OA
解得x=1200.
故飞机的高度为1200米.
45°
B
37°
400米 A
例4 如图，两建筑物的水平距离BC为24米,从点A测得点D 的俯角a＝
则飞机到目标B的距离AB为 ( B )
A.1 200 m
B.2 400 m
C.400 m
D.1 200 m
3．在一次夏令营活动中，小明同学从营地A出发，要到A地的北
偏东60°方向的C处，他先沿正东方向走了200 m到达B地，再沿
北偏东30°方向走，恰能到达目的地C(如图)，由此可知，B，C两
200
北
A
D
∴AF=AC · cos30°=6 3 (海里)，
60°
6 3 ≈10.392＞8，
B
故渔船继续向正东方向行驶，没有触礁的危险．
E 30°
C
F
东
获取新知
解与仰角、俯角有关的问题
如图， 在进行测量时，从下向上看，视线与水平线的夹角
叫做仰角；从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角.
视线
铅
垂
线
仰角
C
OA＝500m, ∠AOC＝300,
B
A
∴AC＝OAsin∠AOC
核心：构
＝500sin300
500
30
＝500×0.5＝250(m)
造含特殊角
0
∴OC＝OAcos∠AOC
东
的Rt△
1.3 解直角三角形(1)
所以 AC＝ ＝
AB 2000 = ≈ 3111(米) cos 50° cos 50°
答：敌舰与A、B两炮台的距离分 敌舰与 、 两炮台的距离分 别约为3111米和 米和2384米. 别约为 米和 米
A
b C 3 a B
练习1 练习 :
在⊿ABC中，∠C=900，根据下列条件解直角三角 ⊿ABC中 形(长度保留到2个有效数字,角度精确到1度)
（1）c=10， ∠A=30° ） ， ° （2）b =4，∠ B =72° ） ， ° （3）a =5， c=7 ） ， （4）a =20， SinＡ=１／２ ） ， SinＡ １
练:
本题是已知 一边,一锐角. 一边,一锐角.
解: 在Rt△ABC中，因为 △ 中 ∠CAB＝90゜－∠DAC＝50゜， ＝ ゜ ＝ ゜ BC ＝tan∠CAB, ∠ AB BC＝AB•tan∠CAB 所以 ＝ ∠ =2000×tan50゜ × ゜ ≈2384(米). 米 又因为 AB = cos 50 ° ，
1.3解直角三角形 解直角三角形(1) 解直角三角形
解直角三角形
已知两条边； （1）已知两条边；
A
B c a ┌ b C
（2）已知一条边和一个锐角
C=90° 例1：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°， ：如图， △ 中 解直角三角形. ∠A=50 °，AB=3, 解直角三角形 =50 （边长保留2个有效数字） 边长保留 个有效数字
A c
Байду номын сангаас
B a ┌ b C
例2：已知平顶屋面的宽度 为10m，坡顶的设 ：已知平顶屋面的宽度L为 ， 计高度h为 计高度 为3.5m，你能求出斜面钢条的长度和 ， 倾角a 倾角 。(长度精确到0.1米,角度精确到1度)
2019-2020学年度最新浙教版九年级数学下册单元考点练习《解直角三角形》及答案解析三
1.3 解直角三角形同步练习一、单选题1、如图，菱形ABCD的周长为20cm，DE⊥AB，垂足为E，cosA=，则下列结论中正确的个数为（）①DE=3cm；②EB=1cm；③S菱形ABCD=15cm2A、3个B、2个C、1个D、0个2、如图，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，AC=4，则BD的长为（）A、2B、4C、8D、83、如图是某商场一楼与二楼之间的手扶电梯示意图．其中AB、CD分别表示一楼、二楼地面的水平线，∠ABC=150°，BC的长是8 m，则乘电梯从点B到点C上升的高度h是（）A、mB、4 mC、mD、8 m4、如图，在菱形ABCD中，DE⊥AB，cosA＝， BE=2，则tan∠DBE的值（）A、B、2C、D、5、如图，直线y=x+3交x轴于A点，将一块等腰直角三角形纸板的直角顶点置于原点O，另两个顶点M、N恰落在直线y=x+3上，若N点在第二象限内，则tan∠AON的值为（）A、B、C、D、6、在等腰△ABC中，AB=AC=4，BC=6，那么cosB的值是A、B、C、D、7、某水坝的坡度i＝1:，坡长AB＝20米，则坝的高度为( )A、10米B、20米C、40米D、20米8、一斜坡长为米，高度为1米，那么坡比为（）A、1：3B、1：C、1：D、1：9、如图，已知A点坐标为（5，0），直线与y轴交于点B，连接AB，若∠a=75°，则b的值为 ( )A、3B、C、D、10、如图，在平面直角坐标系中，Rt△OAB的顶点A在x轴的正半轴上，顶点B的坐标为（3，），点C的坐标为（，0），点P为斜边OB 上的一动点，则PA＋PC的最小值为A、B、C、D、211、在△ABC中，∠A，∠B均为锐角，且sinA=， cosB=， AC=40，则△ABC的面积是（）A、800B、800C、400D、40012、如图，⊙O的半径为4，△ABC是⊙O的内接三角形，连接OB、OC．若∠BAC与∠BOC互补，则弦BC的长为（）A、3B、4C、5D、613、小明利用测角仪和旗杆的拉绳测量学校旗杆的高度．如图，旗杆PA的高度与拉绳PB的长度相等．小明将PB拉到PB′的位置，测得∠PB′C=α（B′C为水平线），测角仪B′D的高度为1米，则旗杆PA的高度为（）A、B、C、D、14、一副三角板按图1所示的位置摆放．将△DEF绕点A（F）逆时针旋转60°后（图2），测得CG=10cm，则两个三角形重叠（阴影）部分的面积为（）A、75cm2B、（25+25）cm2C、（25+）cm2D、（25+）cm215、如图，将等腰直角三角形ABC绕点A逆时针旋转15°后得到△AB′C′，若AC=1，则图中阴影部分的面积为（）A、B、C、D、3二、填空题16、在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=2，若sinC=，则BC的长度为________17、已知∠AOB=60°，点P是∠AOB的平分线OC上的动点，点M在边OA上，且OM=4，则点P到点M与到边OA的距离之和的最小值是________．18、如图，在平行四边形ABCD中，AD＝5cm， AP＝8cm， AP平分∠DAB，交DC于点P，过点B作BE⊥AD于点E，BE交AP于点F，则tan∠BFP ＝________19、如图，在四边形ABCD中，∠B=∠D=90°，AB=3，BC=2，tanA=，则CD=________20、如图，在矩形ABCD中，AD=10，CD=6，E是CD边上一点，沿AE折叠△ADE，使点D恰好落在BC边上的F处，M是AF的中点，连接BM，则sin∠ABM=________．三、解答题21、如图，矩形ABCD的对角线AC.BD相交于点O ，过点O作OE⊥AC交AD于E ，若AB=6，AD=8，求sin∠OEA的值．22、如图的斜边AB=5，cosA=（1）用尺规作图作线段AC的垂直平分线（保留作图痕迹，不要求写作法、证明）；（2）若直线与AB，AC分别相交于D,E两点，求DE的长23、如图是一座人行天桥的示意图，天桥的高度是10米，CB⊥DB ，坡面AC的倾斜角为45°．为了方便行人推车过天桥，市政部门决定降低坡度，使新坡面DC的坡度为i= ：3 ．若新坡角下需留3米宽的人行道，问离原坡角（A点处）10米的建筑物是否需要拆除？（参考数据：≈1.414，≈1.732）24、如图，在△ABC中，∠ACB=90°，D为AC上一点，DE⊥AB于点E，AC=12，BC=5．（1）求cos∠ADE的值；（2）当DE=DC时，求AD的长．25、如图，已知抛物线与x轴交于A、B两点，点C是抛物线在第一象限内部分的一个动点，点D是OC的中点，连接BD并延长，交AC于点E.（1）说明：；（2）当点C、点A到y轴距离相等时，求点E坐标. （3）当的面积为时，求的值.答案部分一、单选题1、【答案】A2、【答案】B3、【答案】B4、【答案】B5、【答案】A6、【答案】C7、【答案】A8、【答案】A 9、【答案】C 10、【答案】B 11、【答案】D 12、【答案】B 13、【答案】A 14、【答案】C 15、【答案】B二、填空题16、【答案】10 17、【答案】18、【答案】19、【答案】20、【答案】三、解答题21、【答案】解：连接EC ，∵四边形ABCD为矩形，∴OA=OC ，∠ABC=90°，利用勾股定理得：AC= =10，即OA=5，∵OE⊥AC ，∴AE=CE ，在Rt△EDC中，设EC=AE=x ，则有ED=AD-AE=8-x ， DC=AB=6，根据勾股定理得：x2=（8-x）2+62，解得：x= ，∴AE= ，在Rt△AOE中，sin∠OEA= ．22、【答案】解：（1）作图（2）因为直线垂直平分线段AC，所以CE=AE，又因为BC AC，所以DE//BC，所以DE=BC．因为在中，AB=5，cosA=，所以AC=ABcosA=,BC=4得DE=2．23、【答案】解：需要拆除，理由为：∵CB⊥AB ，∠CAB=45°，∴△ABC为等腰直角三角形，∴AB=BC=10米，在Rt△BCD中，新坡面DC的坡度为i= ：3，即∠CDB=30°，∴DC=2BC=20米，BD= 米，∴AD=BD-AB=（10 -10）米≈7.32米，∵3+7.32=10.32＞10，∴需要拆除．24、【答案】解：（1）∵DE⊥AB，∴∠DEA=90°，∴∠A+∠ADE=90°，∵∠ACB=90°，∴∠A+∠B=90°，∴∠ADE=∠B，在Rt△ABC中，∵AC=12，BC=5，∴AB=13，∴，∴；（2）由（1）得，设AD为x，则，∵AC=AD+CD=12，∴，解得，∴．25、【答案】解：(1)令y=0,则有-x2+2x+8=0. 解得：x1=-2，x2=4∴OA=2，OB=4.过点O作OG∥AC交BE于G∴△CEG∽△OGD∴∵DC=DO∴CE=0G∵OG∥AC∴△BOG∽△BAE∴∵OB=4,OA=2∴;(2)由（1）知A（-2，0），且点C、点A到y轴的距离相等，∴C（2，8）设AC所在直线解析式为：y=kx+b把 A 、C两点坐标代入求得k=2，b=4所以y=2x+4分别过E、C作EF⊥x轴，CH⊥x轴，垂足分别为F、H由△AEF∽△ACH可求EF=，OF=, ∴E点坐标为（，）（3）连接OE∵D是OC的中点，∴S△OCE=2S△CED∵S△OCE:S△AOC=CE:CA=2:5∴S△CED：S△AOC=1：5．∴S△AOC=5S△CED=8∴∴CH=8。
浙教版数学九年级下册《1.3解直角三角形》说课稿2
浙教版数学九年级下册《1.3 解直角三角形》说课稿2一. 教材分析《1.3 解直角三角形》是浙教版数学九年级下册的第一章第三节内容。
这一节主要让学生掌握解直角三角形的方法，包括正弦、余弦、正切函数的定义及应用，以及直角三角形的边角关系。
这部分内容是初等数学的重要基础，也是中学数学的难点之一。
教材通过具体的例题和练习题，引导学生理解和掌握解直角三角形的方法，培养学生的运算能力和逻辑思维能力。
二. 学情分析九年级的学生已经掌握了初中阶段的基本数学知识，包括代数、几何等。
他们对直角三角形有一定的了解，知道直角三角形的三个内角和为180度，但可能对正弦、余弦、正切函数的定义及应用还不够清楚。
因此，在教学过程中，我需要以学生已有的知识为基础，通过引导学生自主探究和合作交流，帮助他们理解和掌握解直角三角形的方法。
三. 说教学目标1.知识与技能目标：使学生理解和掌握解直角三角形的方法，包括正弦、余弦、正切函数的定义及应用，以及直角三角形的边角关系。
2.过程与方法目标：通过观察、分析、归纳等方法，培养学生解决问题的能力和合作交流能力。
3.情感态度与价值观目标：激发学生学习数学的兴趣，培养他们勇于探究、积极思考的良好学习习惯。
四. 说教学重难点1.教学重点：解直角三角形的方法，正弦、余弦、正切函数的定义及应用。
2.教学难点：正弦、余弦、正切函数在解直角三角形中的应用，尤其是对复杂三角形的理解和计算。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动法、案例分析法、合作交流法等，引导学生主动探究和理解解直角三角形的方法。
2.教学手段：利用多媒体课件、黑板、粉笔等传统教学工具，结合数学软件和网络资源，为学生提供丰富的学习资源和方法。
六. 说教学过程1.导入新课：通过一个实际问题，引出解直角三角形的重要性，激发学生的学习兴趣。
2.自主探究：让学生独立思考，尝试解决实际问题，引导学生发现解直角三角形的规律。
3.合作交流：学生进行小组讨论，分享各自的解题方法和思路，培养学生的合作交流能力。
《1.3 解直角三角形》第二课时 课件 浙教版数学九年级下册
解: 在Rt△AOE中，
B
OA＝35cm，OE＝35-10＝25cm.
AE＝ 352－252 ≈24.5，
∴cos∠AOE＝
25 35
∴∠AOE≈44.4°，
∴∠AOC≈88.8°
S扇形OAC≈
88.8×352π 360
≈948.8(cm)，
S△AOC ≈21 ×2×24.5×25
≈612.5(cm2)
求AB的长 （精确到0.1cm）.
C
A
B
E
O
D
探究活动
如图，在圆内接正十边形中，AB是正十边形的一条边，M是∠ABO的平分线 与半径OA的交点. (1)设⊙O的半径为R，用关于R的代数式表示正十边形的边长AB. (2)你发现sin18°和黄金比有怎样的关系？
O
M AB
一展身手
1、如图是一污水管的横截面，已知污水管的内径为70cm．污水的高度为10cm．求污 水截面面积s．
小结
谈谈今天的收获
10 A
∴S＝S扇形OAC－S△AOC ≈948.8－612.5≈336(cm2)
答:污水截面面积约为336cm2.
O
E C
D 单位: 厘米
一展身手
2、已知在△ABC中，AB+AC=9cm，AB和AC的夹角为30°，设当AB为x（cm）时， △ABC的面积为S（cm2） （1）求S关于x的函数解析式； （2）问何时△ABC的面积最大？最大面积为多少？
设∠AOB=n°，
由弧长公式 l nR
180
作OC ⊥AB于点C
，可以得到 n 180l 180 45
R 36.3
∵OA=OB，
∴AC=BC， ∠AOC=1 ∠AOB=n
浙教版数学九年级下册《1.3 解直角三角形》教案3
浙教版数学九年级下册《1.3 解直角三角形》教案3一. 教材分析《1.3 解直角三角形》是浙教版数学九年级下册的教学内容。
本节内容是在学生已经掌握了三角形的性质、勾股定理等知识的基础上进行教学的。
通过本节课的学习，使学生掌握解直角三角形的方法，能够运用三角函数解决实际问题，培养学生的空间想象能力和解决问题的能力。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的几何知识，对三角形的性质、勾股定理等概念有一定的了解。
但是，解直角三角形的方法和应用可能对学生来说较为抽象，需要通过实例和操作来帮助学生理解和掌握。
三. 教学目标1.知识与技能：使学生掌握解直角三角形的方法，能够运用三角函数解决实际问题。
2.过程与方法：通过实例和操作，培养学生的空间想象能力和解决问题的能力。
3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的合作意识和探究精神。
四. 教学重难点1.重点：解直角三角形的方法。
2.难点：如何运用三角函数解决实际问题。
五. 教学方法采用问题驱动法、实例教学法、合作学习法等，引导学生通过自主学习、合作交流，掌握解直角三角形的方法，并能够运用到实际问题中。
六. 教学准备1.教具准备：直角三角形模型、三角板、多媒体课件等。
2.学具准备：学生每人准备一个直角三角形模型。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过展示直角三角形的模型，引导学生回顾三角形的性质和勾股定理。
然后提出问题：“如何判断一个三角形是否为直角三角形？如何求解直角三角形的边长和角度？”激发学生的学习兴趣。
2.呈现（10分钟）教师通过多媒体课件展示直角三角形的定义和性质，引导学生掌握直角三角形的特征。
然后讲解勾股定理的推导过程，使学生理解勾股定理的意义。
3.操练（10分钟）教师提出一些有关直角三角形的问题，让学生分组讨论和操作。
例如：“已知直角三角形的两个直角边长分别为3cm和4cm，求斜边长和两个锐角的大小。
”学生通过实际操作和合作交流，解决问题。
1.3 解直角三角形 第1课时 解直角三角形的概念及基本类型
＝90°－∠A＝30°
知识点二：解直角三角形的简单运用 6．如图，两条宽度为 1 的纸带，相交成角 α，那么重叠部分(阴影部分) 的面积是(
B
)
1 1 1 A．1 B. C. D. sinα sin2α cosα
7．如图，测量河宽AB(假设河的两岸平行)，在C点测得∠ACB＝30°，D点测得 ∠ADB＝60°，又CD＝60 m，则河宽AB为_______m 30 3 ．(结果保留根号)
12．如图，点 E 是矩形 ABCD 中 CD 边上一点，△BCE 沿 BE 折叠为 △BFE，点 F 落在 AD 上． (1)求证：△ABF∽△DFE； 1 (2)若 sin∠DFE＝3，求 tan∠EBC 的值．
解：(1)∵四边形 ABCD 是矩形，∴∠A＝∠D＝∠C＝90°，∵△BCE 沿 BE 折叠为△BFE，∴∠BFE＝∠C＝90°，∴∠AFB＋∠DFE＝180°－∠BFE ＝90°，又∠AFB＋∠ABF＝90°，∴∠ABF＝∠DFE，∴△ABF∽△DFE (2) DE 1 在 Rt△DEF 中，sin∠DFE＝ EF ＝3，∴设 DE＝a，EF＝3a，DF＝ EF2－DE2 ＝2 2a，∵△BCE 沿 BE 折叠为△BFE，∴CE＝EF＝3a，CD＝DE＋CE＝4a， FE DF 2 2a 2 AB＝4a，∠EBC＝∠EBF，又由(1)△ABF∽△DFE，∴BF＝ AB ＝ 4a ＝ 2 ， FE 2 2 ∴tan∠EBF＝BF＝ 2 ，∴tan∠EBC＝tan∠EBF＝ 2
4 3 ； ° ，a＝____ 4 ，b＝______ (1)若∠A＝30°，c＝8，则∠B＝60 ______
2 ． 45° ，∠B＝_______ 45° ，b＝_______ (2)若 a＝ 2，c＝2，则∠A＝______
解直角三角形
础上，根据锐角三角函数的定义，自主探求 30°、 45°
和60°角的三角函数值．
2．例3是用特殊角的三角函数值解决与直 角三角形有关的实际问题，这是首次在直角三 角形中利用三角函数值求边长，其中体现了方 程思想，教学时应加以归纳点拨．
1．2 有关三角函数的计算 本节有2课时． 第1课时为用计算器求锐角的三角函数值
1．3 解直角三角形 本节有3课时． 第1课时为解直角三角形的概念及其简单应用． 1．本节课以平屋顶改建成坡屋顶为问题情境引 入，说明现实生活中经常会遇到需要在直角三角形 中由已知一些边、角求另一些边、角的问题，为叙
述方便，给出了“解直角三角形”的名称．
2．例1是解直角三角形的解题过程示范． 教学时，要注意引导学生分析已知条件，选择合适的求 角和边的方法： （1）当已知一角时应采用两锐角互余的方法求另一角．
九年级下册
第1章 解直角三角形 第4章 投影与视图
第1章 解直角三角形 一、教学内容
1．1 锐角三角函数 1．2 有关三角函数的计算 1．3 解直角三角形 课题学习 2课时 2课时 3课时 1课时
复习、评价3课时，机动使用2课时，合计13课时．
现实生 活中与 边角有 关的实 际问题
锐角 三角 函数
重点、难点：
●重点：锐角三角函数和解直角三角形． 数形结合和方程思想的培养 ●难点：三角函数意义的理解． 解直角三角形中选择合理的方法．
三、各节内容分析及教学建议
1．1 锐角三角函数 本节有2课时． 第 1 课时为锐角三角函数的概念，经历锐角的正弦、
余弦和正切的探索过程．
1．本章第一节课，以两个物体在两个倾斜角不同的斜 面上向上运动为背景引入课题。 教学中教师可以根据学生的实际情况，重新设计学生 熟悉的问题情境．
1.3 解直角三角形 第1课时 解直角三角形练习题 2020——2021学年浙教版九年级数学下册
1.3解直角三角形第1课时解直角三角形【基础练习】知识点已知一边一角或两边解直角三角形,BC=6,则AB的长为()1.在Rt△ABC中,△C=90°,sin A=35A.4B.6C.8D.102.如图1,在Rt△ABC中,△C=90°,△B=30°,AB=8,则BC的长为()图1A.4√3B.4C.8√3D.4√333.在Rt△ABC中,已知△C=90°,△A=40°,BC=3,则AC等于()A.3sin40°B.3sin50°C.3tan40°D.3tan50°4.在Rt△ABC中,△C=90°,a,b,c分别为△A,△B,△C的对边,c=10,△A=45°,则a=,b=,△B=°.5.在Rt△ABC中,△C=90°,a,b,c分别为△A,△B,△C的对边,a=6,b=2√3,则△B的度数为.6.如图2,在Rt△ABC中,△C=90°,△B=37°,BC=32,则AC的长约为.(结果保留整数,参考数据:sin37°≈0.60,cos37°≈0.80,tan37°≈0.75)图27.如图3所示,AB是伸缩式的遮阳棚,CD是窗户,要想在夏至的正午时刻阳光刚好不能射入窗户,则AB的长度是米(假设夏至的正午时刻阳光与地平面的夹角为60°).图38.如图4,在Rt△ABC 中,△C=90°,a ,b ,c 分别为△A ,△B ,△C 的对边,由下列条件解直角三角形. (1)△A=60°,b=4; (2)a=13,c=√23;(3)c=2√2,△B=30°;(4)a=8,sin B=√22.图49.如图5,在△ABC 中,△ABC=90°,△A=30°,D 是边AB 上一点,△BDC=45°,AD=4,求BC 的长.(结果保留根号)图5【能力提升】10.某简易房的示意图如图6所示,它是一个轴对称图形,则AC的长为()图6A.511sinα米B.511cosα米C.115sinα米D.115cosα米11.等腰三角形的腰长为2√3,底边长为6,则底角等于()A.30°B.45°C.60°D.120°12.[2019·杭州]如图7,一块矩形木板ABCD斜靠在墙边(OC△OB,点A,B,C,D,O在同一平面内).已知AB=a,AD=b,△BCO=x,则点A到OC的距离等于()图7A.a sin x+b sin xB.a cos x+b cos xC.a sin x+b cos xD.a cos x+b sin x13.如图8,已知在Rt△ABC中,△ABC=90°,点D沿BC边从点B向点C运动(点D与点B,C不重合),作BE△AD于点E,CF△AD,交AD的延长线于点F,则在点D运动的过程中,BE+CF的值()图8A.不变B.逐渐增大C.逐渐减小D.先增大后减小14.如图9,小明将一张矩形纸片ABCD沿CE折叠,点B恰好落在AD边上,设此点为F.若AB∶BC=4∶5,则tan△ECB的值为.图915.在学习《解直角三角形》一章时,小明同学对一个角的倍角的三角函数值是否具有关系产生了浓厚的兴趣,进行了一些研究.(1)初步尝试:我们知道:tan60°=,tan30°=,发现结论:tan A2tan A2(填“=”或“≠”).(2)实践探究:如图10△,在Rt△ABC中,△C=90°,AC=2,BC=1,求tan A2的值.小明想构造包含12△A的直角三角形:延长CA至点D,使得DA=AB,连结BD,可得到△D=12△BAC,即转化为求△D的正切值.请按小明的思路进行余下的求解.(3)拓展延伸:如图△,在Rt△ABC中,△C=90°,AC=3,tan A=13.△tan2A=;△求tan3A的值.图10答案1.D2.D3.D4.5√2 5√2 455.30° [解析] ∵tan B=ba ,b=2√3,a=6, ∴tan B=2√36=√33,∴∠B=30°. 6.24 [解析] 因为在Rt △ABC 中,∠C=90°, 所以tan B=ACBC ,即tan37°=AC32, 所以AC=32·tan37°≈32×0.75=24. 7.√38.解:(1)∵∠A=60°,∠C=90°,∴∠B=30°. ∵b=4,cos A=bc,∴4c=12,解得c=8,∴a=√82-42=4√3.(2)∵a=13,c=√23,∴b=√c 2-a 2=13. ∵sin A=a c =13÷√23=√22, ∴∠A=45°,∴∠B=45°. (3)∵∠B=30°,c=2√2,sin B=bc , ∴12=2√2,∠A=60°,∴b=√2,∴a=√c 2-b 2=√(2√2)2-(√2)2=√6. (4)∵sin B=√22,∴∠B=45°, ∴∠A=45°,∴b=a=8, ∴c=√a 2+b 2=8√2.9.解:∵∠ABC=90°,∠BDC=45°, ∴BD=BC.∵∠ABC=90°,∠A=30°, ∴AB=√3BC ,∴AD+BD=√3BC ,即AD+BC=√3BC. 又∵AD=4,∴4+BC=√3BC , 解得BC=2√3+2.10.D [解析] 如图,过点A 作AH ⊥BC 于点H.由题意,得AB=AC ,BC=4+0.2+0.2=4.4(米). ∵AH ⊥BC , ∴BH=CH=2.2米. 在Rt △ABH 中,cos α=BH AB,∴AB=BHcosα=2.2cosα=115cosα(米),即AC=115cosα米. 故选D . 11.A [解析] 如图所示,在△ABC 中,AB=AC=2√3,BC=6,过点A 作AD ⊥BC 于点D , 则BD=12BC=12×6=3.在Rt △ABD 中,cos B=BDAB =2√3=√32,∴∠B=30°.故选A .12.D [解析] 如图,过点A 分别作AE ⊥OC 于点E ,AF ⊥OB 于点F .∵四边形ABCD 是矩形, ∴∠ABC=90°.∵∠ABC=∠AEC ,∠BCO=x ,∴∠EAB=x,∴∠FBA=x.∵AB=a,AD=b,∴AE=FO=FB+BO=a cos x+b sin x.故选D.13.C[解析] ∵BE⊥AD,CF⊥AD,∴CF∥BE,∴∠DCF=∠DBE.设∠DCF=∠DBE=α,则CF=CD·cosα,BE=DB·cosα,∴BE+CF=(DB+CD)cosα=BC·cosα.∵∠ABC=90°,∴0°<α<90°,当点D从点B向点C运动时,α是逐渐增大的,∴cosα的值是逐渐减小的,∴BE+CF=BC·cosα的值是逐渐减小的.故选C.14.12[解析] 设AB=4k,则BC=5k.在△DFC中,FC=BC=5k,CD=AB=4k,∴DF=3k,∴AF=2k.由折叠的性质可知∠CFE=∠B=90°,∴∠CFD+∠AFE=90°.又∵∠CFD+∠DCF=90°,∴∠AFE=∠DCF.又∵∠D=∠A=90°,∴△DFC∽△AEF,∴DFAE =FCEF,即3kAE=5k4k-AE,解得AE=1.5k,∴BE=2.5k,∴tan∠ECB=2.5k5k =1 2 .15.解:(1)√3√33≠(2)在Rt△ABC中,∵∠C=90°,AC=2,BC=1,∴AB=√AC 2+BC 2=√5. ∵DA=AB ,∴∠D=∠ABD ,CD=DA+AC=√5+2, ∴∠BAC=2∠D , ∴tan A2=tan D=BCCD =√5+2=√5-2.(3)①34 [解析] 如图ⓐ,作AB 的垂直平分线交AC 于点E ,连结BE ,则AE=BE ,∠A=∠ABE ,∴∠BEC=2∠A. ∵在Rt △ABC 中,∠C=90°,AC=3,tan A=13, ∴BC=1,则AB=√AC 2+BC 2=√10. 设AE=x ,则BE=x ,EC=3-x.在Rt △EBC 中,由勾股定理,得BE 2=EC 2+BC 2,即x 2=(3-x )2+1, 解得x=53,即AE=BE=53,∴EC=43,∴tan2A=tan ∠BEC=BC EC=34.故答案为34.②如图ⓑ,作AB 的垂直平分线交AC 于点E ,连结CE ,作BM 交AC 于点M , 使∠MBE=∠ABE ,则∠BMC=∠A+∠MBA=3∠A. 设EM=y ,则CM=EC -EM=43-y. ∵∠MBE=∠ABE ,∠A=∠ABE ,∴∠A=∠MBE ,∠ABM=2∠A=∠BEC , ∴△ABM ∽△BEM , ∴AB BE =BM EM,即√1053=BM y,∴BM=3√105y. 在Rt △MBC 中,BM 2=CM 2+BC 2, 即3√105y 2=43-y 2+1,整理得117y 2+120y -125=0, 解得y 1=2539,y 2=-53(不合题意,舍去), 即EM=2539,则CM=43-2539=913,∴tan3A=tan ∠BMC=BCCM=1913=139.。
1.3 解直角三角形
在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C的对边
分别是a,b,c.除了直角C外，你会用含有这些字母
的等式把5个元素之间的关系表示出来吗？
（1）角之间的关系：∠A+∠B=90°
（2）边之间的关系： a²+b²=c² （3）角与边之间的关系： a a b cosA= tanA= sinA= b c c 由直角三角形中已知的元素求出未知
元素的过程，叫做解直角三角形。
在Rt△ABC中,如果已知其中两边的长,你能求出 这个三角形的其他元素吗? 例1 在Rt△ABC中,∠C=90°，∠A，∠B，∠C 所对的边分别为a，b，c，且a= 15，b= 5 ，求 这个三角形的其他元素. 分析: 1.直角三角形中已知两边可以利用 定 理求出第三条边. 2.直角三角形中,已知两边可以求∠A(或 ∠B)的度数. 3.再 求∠B(或∠A)的度数.
已知直角三角形一条边和一个锐角求其他元素的方法: ①已知一个锐角的度数,→ 另外一个锐角的度数; 又知道一条边的长度 →另外两条边的长度; ②已知一个锐角的度数→ 其中一条边的长度 →第三条边的长度.
解直角三角形需要满足的条件: 在直角三角形的6个元素中,直角是 已知元素,如果再知道一条边和第三 个元素,那么这个三角形的所有元素 就都可以确定下来.
Rt△ABC的已知条件 一个锐角A + 斜边c
应选公式
一般解法 a=c· sinA
一 边 一 角
a sinA= c
b cosA= c
b=c· cosA
∠B=90°-∠A a=b· tanA
a b= tan A
一个锐角A + 一直角边b(或a)
a tanA= b
∠B=90°-∠A a= 两直角边 两 边 一斜边和一直角边 a² +b² =c² b= c=
专题1.3 解直角三角形的中考常考题专项训练(50道)(举一反三)(北师大版)(原卷版)
专题1.3 解直角三角形的中考常考题专项训练（50道）【北师大版】考卷信息：本套训练卷共50题，其中选择题15题，填空题15题，解答题20题. 题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，涵盖了解直角三角形的中考常考题的综合问题的所有类型！一、选择题（共15题）1．（2022·湖北武汉·中考真题）由4个形状相同，大小相等的菱形组成如图所示的网格，菱形的顶点称为格点，点A，B，C都在格点上，∠O=60°，则tan∠ABC=（）A．13B．12C．3D．22．（2022·江苏连云港·中考真题）如图，△ABC中，BD⊥AB，BD、AC相交于点D，AD=47AC，AB=2，∠ABC=150°，则△DBC的面积是（）A B C D3．（2022·浙江宁波·中考真题）如图，在△ABC中，∠B=45°,∠C=60°,AD⊥BC于点D，BDE，F分别为AB，BC的中点，则EF的长为（）A B C．1D4．（2022·黑龙江·中考真题）如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E在BC的延长线上，连接DE，点F是DE的中点，连接OF交CD于点G，连接CF，若CE=4，OF=6．则下列结论：①GF=2；②OD=；③tan∠CDE=12；④∠ODF=∠OCF=90°；⑤点D到CF（）A．①②③④B．①③④⑤C．①②③⑤D．①②④⑤5．（2022·四川宜宾·中考真题）如图，在△ABC中，点O是角平分线AD、BE的交点，若AB＝AC＝10，BC＝12，则tan∠OBD的值是（）A．12B．2C．3D．46．（2022·湖北荆州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点A，B分别在x轴负半轴和y轴正半轴上，点C在OB上，OC:BC=1:2，连接AC，过点O作OP∥AB交AC的延长线于P．若P(1,1)，则tan∠OAP的值是（）A B C ．13D ．37．（2022·四川乐山·中考真题）如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，BC =D 是AC 上一点，连接BD ．若tan ∠A =12，tan ∠ABD =13，则CD 的长为（ ）A ．B ．3CD ．28．（2022·广西贵港·中考真题）如图，在4×4网格正方形中，每个小正方形的边长为1，顶点为格点，若△ABC 的顶点均是格点，则cos ∠BAC 的值是（ ）A B C D ．459．（2022·黑龙江牡丹江·中考真题）如图，在△ABC 中，sinB=13， tanC=2，AB=3，则AC 的长为（ ）AB C D ．210．（2022·四川绵阳·中考真题）公元三世纪，我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”如图所示，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．如果大正方形的面积是125，小正方形面积是25，则(sin θ−cos θ)2=( )A ．15B ．5C ．5D ．9511．（2022·贵州遵义·中考真题）构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的重要性，在计算tan15°时，如图．在Rt △ACB 中，∠C ＝90°，∠ABC ＝30°，延长CB 使BD ＝AB ，连接AD ，得∠D ＝15°，所以tan15°=ACCD=1=tan22.5°的值为（ ）A+1B 1C D ．1212．（2022·浙江绍兴·中考真题）如图，Rt △ABC 中，∠BAC =90°，cos B =14，点D 是边BC 的中点，以AD 为底边在其右侧作等腰三角形ADE ，使∠ADE =∠B ，连结CE ，则CEAD 的值为（ ）A ．32B C D ．213．（2022·山东淄博·中考真题）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°,CE 是斜边AB 上的中线，过点E 作EF ⊥AB 交AC 于点F ．若BC =4,△AEF 的面积为5，则sin ∠CEF 的值为（ ）A ．35B ．5C ．45D ．514．（2022·四川巴中·中考真题）如图，点A 、B 、C 在边长为1的正方形网格格点上，下列结论错误的是（ ）A ．sinB =13B ．sin C =C ．tan B =12D ．sin 2B +sin 2C ＝115．（2022·浙江丽水·中考真题）如图，已知菱形ABCD 的边长为4，E 是BC 的中点，AF 平分∠EAD 交CD 于点F ， FG∥AD 交AE 于点G ，若cos B =14，则FG 的长是（ ）A ．3B ．83C D ．52二、填空题（共15题）16．（2022·内蒙古·中考真题）如图，在矩形ABCD 中，BD 是对角线，AE ⊥BD ，垂足为E ，连接CE ．若∠ADB =30°，则如tan ∠DEC 的值为_____．17．（2022·广东深圳·中考真题）如图，已知四边形ABCD ，AC 与BD 相交于点O ，∠ABC =∠DAC =90°，tan ∠ACB =12,BOOD =43，则S △ABDS △CBD=___．18．（2022·广东·中考真题）如图，在▱ABCD 中，AD =5,AB =12,sin A =45．过点D 作DE ⊥AB ，垂足为E ，则sin ∠BCE =______．19．（2022·广西贵港·中考真题）如图，在矩形ABCD 中，BD 是对角线，AE ⊥BD ，垂足为E ，连接CE ，若tan ∠ADB =12，则tan ∠DEC 的值是________．20．（2022·山东滨州·中考真题）如图，在△ABC 中，∠ACB =90°，∠BAC =30°，AB =2．若点P 是△ABC 内一点，则PA +PB +PC 的最小值为____________．21．（2022·山东德州·中考真题）如图．在4×4的正方形方格图形中，小正方形的顶点称为格点.ΔABC 的顶点都在格点上,则∠BAC的正弦值是__________．22．（2022·江苏镇江·中考真题）如图，△ABC中，∠BAC＞90°，BC=5，将△ABC绕点C按顺时针方向旋转90°，点B对应点B′落在BA的延长线上．若sin∠B′AC=9，则AC=_____．1023．（2022·上海·中考真题）如图，在△ABC中，AB=AC，BC=8，tanC=3，如果将△ABC沿直线l翻折后，2点B落在边AC的中点处，直线l与边BC交于点D，那么BD的长为________．24．（2022·江苏盐城·中考真题）如图，在△ABC中，BC=∠C=45°，AB=，则AC的长为________．25．（2022·四川·中考真题）如图，由10个完全相同的正三角形构成的网格图中，∠α、∠β如图所示，则cos(α+β)=______.26．（2022·江苏淮安·中考真题）如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=2，H是AB的中点，将ΔCBH沿CH 折叠，点B落在矩形内点P处，连接AP，则tan∠HAP=__．27．（2022·山东济南·中考真题）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BCE为CD边上一点，将△BCE沿BE折叠，使得C落到矩形内点F的位置，连接AF，若tan∠BAF＝1，则CE＝_____．228．（2022·山东潍坊·中考真题）如图，矩形ABCD中，点G，E分别在边BC,DC上，连接AG,EG,AE，将△ABG 和△ECG分别沿AG,EG折叠，使点B，C恰好落在AE上的同一点，记为点F．若CE=3,CG=4，则sin∠DAE= _______．29．（2022·江苏常州·中考真题）如图，点C在线段AB上，且AC=2BC，分别以AC、BC为边在线段AB的同侧作正方形ACDE、BCFG，连接EC、EG，则tan∠CEG=_________．30．（2022·江苏常州·中考真题）如图，在△ABC中，AC=3,BC=4，点D、E分别在CA、CB上，点F在△ABC 内．若四边形CDFE是边长为1的正方形，则sin∠FBA=________．三、解答题（共20题）31．（2022·黑龙江哈尔滨·中考真题）如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1，线段的两个端点均在小正方形的顶点上.(1)在图中画出以为底、面积为12的等腰，且点在小正方形的顶点上；(2)在图中画出平行四边形，且点和点均在小正方形的顶点上，，连接，请直接写出线段的长.32．（2022·贵州毕节·中考真题）如图，在▱ABCD中过点A作AE⊥DC，垂足为E，连接BE，F为BE上一点，且∠AFE=∠D．（1）求证：△ABF∽△BEC；，求AF的长．（2）若AD=5，AB=8，sinD=4533．（2022·江苏扬州·中考真题）如图，将△ABC沿着射线BC方向平移至△A′B′C′，使点A′落在∠ACB的外角平分线CD上，连接A A′．(1)判断四边形AC C′A′的形状，并说明理由；(2)在△ABC中，∠B=90°，AB=24，cos∠BAC=12，求C B′的长．1334．（2022·山东潍坊·中考真题）如图，点M是正方形ABCD边CD上一点，连接AM，作DE⊥AM于点E，BF⊥AM于点F，连接BE．（1）求证：AE=BF；（2）已知AF=2，四边形ABED的面积为24，求∠EBF的正弦值．35．（2022·上海·中考真题）如图，已知△ABC中，AB=BC=5，tan∠ABC=3．4（1）求边AC的长；（2）设边BC的垂直平分线与边AB的交点为D，求AD的值．DB36．（2022·广西贺州·中考真题）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，O、D分别是边AC、AB的中点，过点C 作CE∥AB交DO的延长线于点E，连接AE．(1)求证：四边形AECD是菱形；(2)若四边形AECD的面积为24，tan∠BAC=3，求BC的长．437．（2022·黑龙江绥化·中考真题）如图，在矩形ABCD中，AD=5，CD=4，点E是BC边上的点，BE=3，连接AE，DF⊥AE交于点F．(1)求证：△ABE≌△DFA；(2)连接CF，求sin∠DCF的值；(3)连接AC交DF于点G，求AG的值．GC38．（2022·湖南常德·中考真题）如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，AE是BC边上的中线，∠C=45°，sinB=1，AD=1．3（1）求BC的长；（2）求tan∠DAE的值．39．（2022·浙江绍兴·中考真题）在△ABC中，∠CAB=90°，AD⊥BC于点D，点E为AB的中点，EC与AD 交于点G，点F在BC上．（1）如图1，AC∶AB=1∶2，EF⊥CB，求证∶EF=CD．（2）如图2，AC∶AB=1EF⊥CE，求EF∶EG的值．40．（2022·广西梧州·中考真题）如图，在RtΔABC中，∠C=90°，D为BC上一点，AB=5,B D=1，tan B=3．4（1）求AD的长；（2）求sinα的值．41．（2022·湖北宜昌·中考真题）如图，点E是矩形ABCD中CD边上一点，△BCE沿BE折叠为△BFE，点F 落在AD上．（1）求证：△ABF∽△DFE；（2）若，求tan∠EBC的值．42．（2022·福建厦门·中考真题）已知ABCD，对角线AC与BD相交于点O，点P在边AD上，过点P分别作PE⊥AC、PF⊥BD，垂足分别为E、F，PE＝PF．（1）如图，若PE EO＝1，求∠EPF的度数；（2）若点P是AD的中点，点F是DO的中点，BF ＝BC＋4，求BC的长．43．（2022·山东滨州·中考真题）如图，菱形ABCD的边长为10，∠ABC=60°，对角线AC,BD相交于点O，点E在对角线BD上，连接AE，作∠AEF=120°且边EF与直线DC相交于点F．(1)求菱形ABCD的面积；(2)求证AE=EF．44．（2022·广东广州·中考真题）如图，在菱形ABCD中，∠BAD = 120°，AB = 6，连接BD．(1)求BD的长；(2)点E为线段BD上一动点（不与点B，D重合），点F在边AD上，且BE，①当CE丄AB时，求四边形ABEF的面积；②当四边形ABEF的面积取得最小值时，CE的值是否也最小？如果是，求CE的最小值；如果不是，请说明理由．45．（2022·湖南邵阳·中考真题）如图，在Rt△ABC中，点P为斜边BC上一动点，将△ABP沿直线AP折叠，使得点B的对应点为B′，连接A B′，C B′，B B′，P B′．（1）如图①，若P B′⊥AC，证明：P B′=A B′．（2）如图②，若AB=AC，BP=3PC，求cos∠B′AC的值．（3）如图③，若∠ACB=30°，是否存在点P，使得AB=C B′．若存在，求此时PC的值；若不存在，请说明BC理由．46．（2022·山东济南·中考真题）在等腰△ABC中，AC＝BC，△ADE是直角三角形，∠DAE＝90°，∠ADE＝1∠ACB，连接BD，BE，点F是BD的中点，连接CF．2（1）当∠CAB＝45°时．①如图1，当顶点D在边AC上时，请直接写出∠EAB与∠CBA的数量关系是 ．线段BE与线段CF 的数量关系是 ；②如图2，当顶点D在边AB上时，（1）中线段BE与线段CF的数量关系是否仍然成立？若成立，请给予证明，若不成立，请说明理由；学生经过讨论，探究出以下解决问题的思路，仅供大家参考：思路一：作等腰△ABC底边上的高CM，并取BE的中点N，再利用三角形全等或相似有关知识来解决问题；思路二：取DE的中点G，连接AG，CG，并把△CAG绕点C逆时针旋转90°，再利用旋转性质、三角形全等或相似有关知识来解快问题．（2）当∠CAB＝30°时，如图3，当顶点D在边AC上时，写出线段BE与线段CF的数量关系，并说明理由．47．（2022·四川南充·中考真题）如图，点E在正方形ABCD边AD上，点F是线段AB上的动点（不与点A．重合）．DF交AC于点G，GH⊥AD于点H，AB=1，DE=13（1）求tan ∠ACE ．（2）设AF =x ，GH =y ，试探究y 与x 的函数关系式（写出x 的取值范围）．（3）当∠ADF =∠ACE 时，判断EG 与AC 的位置关系并说明理由．48．（2022·山东烟台·中考真题）(1)【问题呈现】如图1，△ABC 和△ADE 都是等边三角形，连接BD ，CE ．求证：BD ＝CE ．(2)【类比探究】如图2，△ABC 和△ADE 都是等腰直角三角形，∠ABC ＝∠ADE ＝90°．连接BD ，CE ．请直接写出BD CE 的值．(3)【拓展提升】如图3，△ABC 和△ADE 都是直角三角形，∠ABC ＝∠ADE ＝90°，且AB BC ＝AD DE ＝34．连接BD ，CE ．①求BD CE 的值；②延长CE 交BD 于点F ，交AB 于点G ．求sin ∠BFC 的值．49．（2022·贵州安顺·中考真题）如图1，在矩形ABCD 中，AB =10，AD =8，E 是AD 边上的一点，连接CE ，将矩形ABCD 沿CE 折叠，顶点D 恰好落在AB 边上的点F 处，延长CE 交BA 的延长线于点G ．(1)求线段AE 的长；(2)求证四边形DGFC为菱形；(3)如图2，M，N分别是线段CG，DG上的动点（与端点不重合），且∠DMN=∠DCM，设DN=x，是否存在这样的点N，使△DMN是直角三角形？若存在，请求出x的值；若不存在，请说明理由．50．（2022·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）综合与实践数学是以数量关系和空间形式为主要研究对象的科学．数学实践活动有利于我们在图形运动变化的过程中去发现其中的位置关系和数量关系，让我们在学习与探索中发现数学的美，体会数学实践活动带给我们的乐趣．如图①，在矩形ABCD中，点E、F、G分别为边BC、AB、AD的中点，连接EF、DF，H为DF的中点，连接GH．将△BEF绕点B旋转，线段DF、GH和CE的位置和长度也随之变化．当△BEF绕点B顺时针旋转90°时，请解决下列问题：(1)图②中，AB=BC，此时点E落在AB的延长线上，点F落在线段BC上，连接AF，猜想GH与CE之间的数量关系，并证明你的猜想；(2)图③中，AB=2，BC=3，则GH=；CE(3)当AB=m , BC=n时．GH=．CE(4)在（2）的条件下，连接图③中矩形的对角线AC，并沿对角线AC剪开，得△ABC（如图④)．点M、N 分别在AC、BC上，连接MN，将△CMN沿MN翻折，使点C的对应点P落在AB的延长线上，若PM平分∠APN，则CM长为．。
新人教版九年级数学下册知识点总结
新人教版九年级数学下册知识点总结人教版九年级数学下册知识点总结11.解直角三角形1.1.锐角三角函数锐角a的正弦、余弦和正切统称∠a的三角函数。
如果∠a是Rt△ABC的一个锐角，则有1.2.锐角三角函数的计算1.3.解直角三角形在直角三角形中，由已知的一些边、角，求出另一些边、角的过程，叫做解直角三角形。
2.直线与圆的位置关系2.1.直线与圆的位置关系当直线与圆有两个公共点时，叫做直线与圆相交;当直线与圆有公共点时，叫做直线与圆相切，公共点叫做切点;当直线与圆没有公共点时，叫做直线与圆相离。
直线与圆的位置关系有以下定理：直线与圆相切的判定定理：经过半径的外端并且垂直这条半径的直线是圆的切线。
圆的切线性质：经过切点的半径垂直于圆的切线。
2.2.切线长定理从圆外一点作圆的切线，通常我们把圆外这一点到切点间的线段的长叫做切线长。
切线长定理：过圆外一点所作的圆的两条切线长相等。
2.3.三角形的内切圆与三角形三边都相切的圆叫做三角形的内切圆，圆心叫做三角形的内心，三角形叫做圆的外切三角形。
三角形的内心是三角形的三条角平分线的交点。
3.三视图与表面展开图3.1.投影物体在光线的照射下，在某个平面内形成的影子叫做投影。
光线叫做投影线，投影所在的平面叫做投影面。
由平行的投射线所形成的投射叫做平行投影。
可以把太阳光线、探照灯的光线看成平行光线，它们所形成的投影就是平行投影。
3.2.简单几何体的三视图物体在正投影面上的正投影叫做主视图，在水平投影面上的正投影叫做俯视图，在侧投影面上的正投影叫做左视图。
主视图、左视图和俯视图合称三视图。
产生主视图的投影线方向也叫做主视方向。
3.3.由三视图描述几何体三视图不仅反映了物体的形状，而且反映了各个方向的尺寸大小。
3.4.简单几何体的表面展开图将几何体沿着某些棱“剪开”，并使各个面连在一起，铺平所得到的平面图形称为几何体的表面展开图。
圆柱可以看做由一个矩形ABCD绕它的一条边BC旋转一周，其余各边所成的面围成的几何体。
浙教版九年级下册 1.3 解直角三角形 课件(共42张PPT)
3.5 5
＝0.7,
∴α≈350.
答:斜面钢条a的长度约为6.1米,坡角约为350.
特别强调：
在解直角三角形的过程中，常会遇到近似计
算，本书除特别说明外，边长保留四个有效数 字，角度精确到1′.
解直角三角形，只有下面两种情况： （1）已知两条边； （2）已知一条边和一个锐角 （必须有一个条件是边）
钢条的长度a和倾角a 吗？
L
变化：已知平顶屋面的宽度
L和坡顶的设计倾角α（如
述例题中，我们都是利用直角三角 形中的已知边、角来求出另外一些的边角. 像这样，
******************************** 在直角三角形中，由已知的一些
因此 AB＝AE＋EF＋BF
≈6.72＋12.51＋7.90 ≈27.13（米）．
图 19.4.6
答：路基下底的宽约为27.13米．
如图,沿水库拦水坝的背水坡将坝面加宽两 米,坡度由原来的1:2改成1:2.5,已知原背水坡 长BD=13.4米,
求: (1)原背水坡的坡角 和加宽后的背水
坡的坡角
（1）c=10，∠A=30°
B
（2）b=4，∠B=72°
（3）a=5， c=7
C
A
（4）a=20，sinＡ= 1
2
应用练习
如图东西两炮台A、B相距2000米，同时发现入侵敌 舰C，炮台A测得敌舰C在它的南偏东40゜的方向，炮台B 测得敌舰C在它的正南方，试求敌舰与两炮台的距离.
（精确到1米）
本题是已知
面的夹角叫做坡角，记作a，有i＝ h = tan a. l
显然，坡度越大，坡角a就越大，坡面就越陡.
试一试
1、如图
1）若h=2cm， l=5cm，则i= 2 ； 5
解直角三角形-P
重点、难点：
●重点：锐角三角函数和解直角三角形． 数形结合和方程思想的培养
●难点：三角函数意义的理解． 解直角三角形中选择合理的方法．
三、各节内容分析及教学建议
1．1 锐角三角函数 本节有2课时．
第1课时为锐角三角函数的概念，经历锐角的正弦、 余弦和正切的探索过程．
1．本章第一节课，以两个物体在两个倾斜角不同的斜 面上向上运动为背景引入课题。
教学中教师可以根据学生的实际情况，重新设计学生 熟悉的问题情境．
2．“合作学习”中设计了三个问题，采用由特殊到 一般的实验方法探索直角三角形中边角之间的关系。
问题1、2分别是将直角三角形的一个锐角固定（30°， 50°），研究当边长变化时，其三边长两两之间的比值分 别不变．
问题3是将1、2中的问题一般化。
解直角 三角形
解决与直 角三角形 有关的实 际问题
二、教学要求
课程标准要求： （列入“空间与图形”领域中“图形的相似”内容）
⑥通过实例认识锐角三角函数（sinA，cosA，tanA）， 知道30°、45°、60°角的三角函数值；会使用计算器 由已知锐角求它的三角函数值，由已知三角函数值求它 对应的锐角。
九年级下册
第1章 解直角三角形 第4章 投影与视图
第1章 解直角三角形
一、教学内容
1．1 锐角三角函数
2课时
1．2 有关三角函数的计算
2课时
1．3 解直角三角形
3课时
课题ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ习
1课时
复习、评价3课时，机动使用2课时，合计13课时．
现实生 活中与 边角有 关的实 际问题
锐角 三角 函数
锐角三 锐角三 角函数 角函数 的计算 的运用
浙教版数学九年级下册《1.3解直角三角形》说课稿1
浙教版数学九年级下册《1.3 解直角三角形》说课稿1一. 教材分析浙教版数学九年级下册《1.3 解直角三角形》这一节的内容是在学生已经掌握了锐角三角函数的概念和直角三角形的性质的基础上进行讲解的。
本节内容主要让学生了解解直角三角形的意义和作用，学会使用锐角三角函数来解直角三角形，并能灵活运用到实际问题中。
教材通过例题和练习题的形式，让学生在实践中掌握解直角三角形的方法。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的数学基础，对锐角三角函数和直角三角形的性质有一定的了解。
但是，对于解直角三角形的实际应用，学生可能还不够熟练。
因此，在教学过程中，我需要注重引导学生将理论知识与实际问题相结合，提高他们解决问题的能力。
三. 说教学目标1.让学生掌握解直角三角形的方法和步骤。
2.培养学生将数学知识应用到实际问题中的能力。
3.提高学生的逻辑思维能力和团队协作能力。
四. 说教学重难点1.教学重点：让学生掌握解直角三角形的方法和步骤。
2.教学难点：如何引导学生将理论知识与实际问题相结合，提高解决问题的能力。
五. 说教学方法与手段在教学过程中，我将采用讲授法、案例分析法、小组合作法等多种教学方法。
同时，利用多媒体课件和黑板等教学手段，为学生提供直观、生动的学习资源。
六. 说教学过程1.导入：通过一个实际问题，引导学生回顾锐角三角函数和直角三角形的性质。
2.讲解：讲解解直角三角形的方法和步骤，结合例题进行演示。
3.实践：让学生分组进行练习，运用解直角三角形的方法解决实际问题。
4.总结：对本节课的内容进行总结，强调解直角三角形的方法和应用。
5.布置作业：布置一些有关解直角三角形的练习题，让学生巩固所学知识。
七. 说板书设计板书设计如下：1.解直角三角形的意义和作用2.解直角三角形的方法和步骤a.确定已知条件和所求量b.选择合适的锐角三角函数c.列式计算d.检验答案3.实际应用八. 说教学评价教学评价将从学生的学习态度、课堂参与度、练习题的正确率等方面进行。
第2课时坡度与圆弧问题
第1章 解直角三角形1.3 解直角三角形第2课时 坡度与圆弧问题知识点1 坡度问题图1－3－121．2019·温州如图1－3－12，一辆小车沿倾斜角为α的斜坡向上行驶13米，已知cos α＝1213，则小车上升的高度是( ) A ．5米 B ．6米C ．6.5米D ．12米2．如图1－3－13是某水库大坝横断面示意图．其中CD ，AB 分别表示水库上、下底面的水平线，∠ABC ＝120°，BC 的长是50 m ，则水库大坝的高度h 是( )A ．25 3 mB ．25 mC ．25 2 m D.50 33m1－3－131－3－143．如图1－3－14是拦水坝的横断面，斜坡AB 的水平宽度为12米，斜面坡度为1∶2，则斜坡AB 的长为( )A ．4 3米B ．6 5米C ．12 5米D ．24米4．如图1－3－15，一山坡的坡度为i ＝1∶3，小辰从山脚A 出发，沿山坡向上走了200米到达点B ，则小辰上升了________米．1－3－151－3－165．如图1－3－16，小明爬一土坡，他从A 处到B 处所走的直线距离AB ＝4米，此时，他距离地面的高度h ＝2米，则这个土坡的坡角∠A ＝________°.6．2019·萧山区期中如图1－3－17，水库大坝截面的迎水坡坡比(DE 与AE 的长度之比)为1∶0.6，背水坡坡比为1∶2，大坝高DE ＝30米，坝顶宽CD ＝10米，求大坝截面的周长和面积．图1－3－17知识点2 解直角三角形在圆(弧)中的应用图1－3－187．如图1－3－18，秋千链子的长度OA ＝3 m ，静止时秋千踏板处于A 位置，此时踏板距离地面0.3 m ，秋千向两边摆动．当踏板处于A ′位置时，摆角最大，即∠AOA ′＝50°，则在A ′位置，踏板与地面的距离约为________．(sin50°≈0.766，cos50°≈0.6428，结果精确到0.01 m)8．如图1－3－19是一个半圆形桥洞截面示意图，圆心为O ，直径AB 是河底线，弦CD 是水位线，CD ∥AB ，且CD ＝24 m ，OE ⊥CD 于点E ，已测得sin ∠DOE ＝1213. (1)求半径OD ；(2)根据需要，水面要以每小时0.5 m 的速度下降，则经过多长时间才能将水排干？图1－3－19图1－3－209．如图1－3－20，长4 m 的楼梯AB 的倾斜角∠ABD 为60°，为了改善楼梯的安全性能，准备重新建造楼梯，使其倾斜角∠ACD 为45°，则调整后的楼梯AC 的长为( )A ．2 3 mB ．2 6 mC ．(2 3－2)mD ．(2 6－2)m10．2019·淮安A，B两地被大山阻隔，若要从A地到B地，只能沿着如图1－3－21所示的公路先从A地到C地，再由C地到B地．现计划开凿隧道A，B两地直线贯通，经测量得∠CAB＝30°，∠CBA＝45°，AC＝20 km，求隧道开通后与隧道开通前相比，从A地到B地的路程将缩短多少．(结果精确到0.1 km，参考数据：2≈1.414，3≈1.732)图1－3－2111．如图1－3－22，一楼房AB后有一假山，其坡度i＝1∶3，山坡坡面上E点处有一休息亭，测得假山坡脚C与楼房的水平距离BC＝25米，与亭子的距离CE＝20米．小丽从楼房顶(点A)测得点E的俯角为45°，求楼房AB的高．(注：坡度i是指坡面的铅直高度与水平宽度的比)图1－3－2212．如图1－3－23是一副创意卡通圆规的平面示意图，OA是支撑臂，OB是旋转臂，使用时，以点A为支撑点，铅笔芯端点B可以绕点A旋转作出圆．已知OA＝OB＝10 cm.(1)当∠AOB＝18°时，求所作圆的半径；(结果精确到0.01 cm)(2)保持∠AOB＝18°不变，在旋转臂OB末端的铅笔芯折断了一截的情况下，作出的圆与(1)中所作圆的大小相等，求铅笔芯折断部分的长度．(结果精确到0.01 cm)(参考数据：sin9°≈0.1564，cos9°≈0.9877，sin18°≈0.3090，cos18°≈0.9511，可使用科学计算器)图1－3－23。
浙教版九年级数学下册全书各章节同步测验(共75页,附答案)
浙教版九年级数学下册全书各章节同步测验（共75页，附答案）第1章解直角三角形1．1 锐角三角函数(第1课时)1．如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，则sinA的值是( )第1题图A.34B.43C.35D.452．如图，已知一商场自动扶梯的长l为10m，该自动扶梯到达的高度h为5m，自动扶梯与地面所成的角为θ，则tanθ的值等于( )A.33B.43C.12D.45第2题图3.如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，则∠ABC的正切值是( )第3题图A．2 B.255C.55D.124．在△ABC中，若三边BC，CA，AB满足BC∶CA∶AB＝5∶12∶13，则cosB＝( )A.512B.125C.513D.12135．如图，若点A的坐标为(1，3)，则sin∠1＝________．第5题图6.如图，在菱形ABCD 中，DE ⊥AB ，垂足是E ，DE ＝6，sinA ＝35，则菱形ABCD 的周长是________．第6题图7．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，cosA ＝1213，则tanB ＝________．8．等腰三角形底边长是10，周长是40，则其底角的正弦值是________． 9．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝13，BC ＝5. (1)求∠A ，∠B 的正弦、余弦值；(2)求∠A ，∠B 的正切的值，你发现了什么？10．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，sinA ＝23，求cosA ，tanA 的值．11．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD⊥AB 于点D ，AC ＝3，BC ＝4，求sin ∠DCB 和sin ∠ACD.第11题图12.如图，直径为10的⊙A 经过点C (0，5)和点O (0，0)，点B 是y 轴右侧⊙A 优弧上一点，则∠OBC 的余弦值为( )第12题图A.12B.34C.32D.45 13．如图，直线y ＝12x －2交x 轴于点A ，交y 轴于点B ，且与x 轴的夹角为α，求：第13题图(1)OA ，OB 的长； (2)tan α与sin α的值．14．如图，在△ABC 中，边AC ，BC 上的高BE ，AD 交于点H.若AH ＝3，AE ＝2，求tanC 的值．第14题图15．如图，定义：在直角三角形ABC 中，锐角α的邻边与对边的比叫做角α的余切，记作cot α，即cot α＝角α的邻边角α的对边＝ACBC，根据上述角的余切定义，解下列问题：(1)cot30°＝________；(2)如图，已知tanA ＝34，其中∠A 为锐角，试求cotA 的值．第15题图参考答案 1－4.CADC 5.32 6.40 7.125 8.2239.(1)∵∠C＝90°，∴AC ＝AB 2－BC 2＝12，∴sin A ＝513，cos A ＝1213，sin B ＝1213，cos B ＝513； (2)tan A ＝512，tan B ＝125.发现tan A ×tan B ＝1.10. cos A ＝53，tan A ＝255. 11. ∵∠ACB＝90°，CD ⊥AB ，∴∠DCB ＝∠A，∠ACD ＝∠B，AB ＝AC 2＋BC 2＝5，∴sin ∠DCB ＝sin ∠A ＝BC AB ＝45，sin ∠ACD ＝sin ∠B ＝AC AB ＝35.12.C13.(1)OA ＝4，OB ＝2； (2)tan α＝tan ∠BAO ＝OB OA ＝12，sin α＝sin ∠BAO ＝OB AB ＝225＝55.14.∵BE⊥AC，∴∠EAH ＋∠AHE＝90°.∵AD ⊥BC ，∴∠HAE ＋∠C＝90°.∴∠AHE ＝∠C.∵在Rt △AHE 中，AH ＝3，AE ＝2，∴HE ＝AH 2－AE 2＝32－22＝ 5.∴tan ∠AHE ＝AEHE＝25＝255.∴tan C ＝255.15. (1) 3 (2)∵tan A ＝BC AC ＝34，∴cot A ＝AC BC ＝43.第1章 解直角三角形1．1 锐角三角函数(第2课时)1．tan30°的值等于( )A.12B.32C.33 D ．－3 2．已知α为锐角，且tan (90°－α)＝3，则α的度数为( )A ．30°B ．60°C ．45°D ．75° 3．若∠A 为锐角，cosA<32，则∠A 的取值范围是( ) A ．30°<∠A<90° B ．0°<∠A<30° C ．0°<∠A<60° D ．60°<∠A<90° 4．在△ABC 中，若sinA ＝cosB ＝22，则下列最确切的结论是( ) A ．△ABC 是直角三角形 B ．△ABC 是等腰三角形 C ．△ABC 是等腰直角三角形 D ．△ABC 是锐角三角形5．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若∠A ＝60°，则sinA ＋sinB 的值等于________． 6．如图，沿倾斜角为30°的山坡植树，要求相邻两棵树的水平距离AC ＝2m ，那么相邻两棵树的斜坡距离AB 为________m.第6题图7.如图，将三角尺的直角顶点放置在直线AB 上的点O 处，使斜边CD∥AB ，那么∠α的余弦值为________．第7题图8.（sin45°－1）2＋|1－tan60°|＝__________． 9．求下列各式的值： (1)2－2sin30°×cos30°； (2)3sin60°－2cos45°＋38； (3)sin30°＋cos 230°×tan45°；(4)（4sin30°－tan60°）（tan60°＋4cos60°）.10．如图，在△ABC 中，∠B ＝45°，∠C ＝30°，AC ＝6，求BC 、AB 的长．第10题图11．若规定sin (α－β)＝sin α·cos β－cos α·sin β，则sin15°＝________． 12．小聪想在一个矩形材料中剪出如图中阴影所示的梯形，作为要制作的风筝的一个翅膀．请你根据图中的数据帮他计算出BE ，CD 的长度(结果保留根号)．第12题图13．通过书P9课内练习第3题知道：对于任意锐角α，都有tan α＝sin αcos α.运用此结论，解答下题：已知锐角α，且tan α＝3，求sin α＋cos αsin α－cos α的值．14．如图，根据图中数据完成填空，再按要求答题：第14题图sin 2A 1＋sin 2B 1＝________；sin 2A 2＋sin 2B 2＝________；sin 2A 3＋sin 2B 3＝________． (1)观察上述等式，猜想：在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，都有sin 2A ＋sin 2B ＝________； (2)如图4，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别是a 、b 、c ，利用三角函数的定义和勾股定理，证明你的猜想；(3)已知：∠A ＋∠B ＝90°，且sinA ＝513，求sinB.参考答案1－4.CADC 5.32 6.40 7.125 8.2231.2 锐角三角函数的计算(第1课时)1．如图，用含38°的三角函数值表示AC ，可得AC 为( )第1题图A ．10sin38°B ．10cos38°C ．10tan38°D ．无法确定 2．cos55°和sin36°的大小关系是( )A ．cos55°＞sin36°B ．cos55°＜sin36°C ．cos55°＝sin36°D ．不能确定3．下列各式：①sin20°－cos20°＜0；②2sin20°＝sin40°；③sin10°＋sin20°＝sin30°；④tan20°＝sin20°cos20°.其中正确的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个4.如图，梯子跟地面所成的锐角为α，关于α的三角函数值与梯子的倾斜程度之间的关系叙述正确的是( )第4题图A．sinα的值越小，梯子越陡B．cosα的值越小，梯子越陡C．tanα的值越小，梯子越陡D．陡缓程度与α的函数值无关5．如图，A，B两点在河的两岸，要测量这两点之间的距离，测量者在与A同侧的河岸边选定一点C，测出AC＝a米，∠A＝90°，∠C＝40°，则AB等于__________．(用含40°的三角函数表示)第5题图6．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝10，∠B＝α，则AB＝________，BC＝________．(结果用含α的三角函数表示)第6题图7.如图，在矩形ABCD中，点E在AB边上，沿CE折叠矩形ABCD，使点B落在AD边上的点F处．若AB＝4，BC＝5，则tan∠AFE＝________．第7题图8．不用计算器求下列各式的值．(1)sin225°＋cos225°＝________；(2)(sin32°48′23″＋tan47°18′)0＝________；(3)tan39°×tan51 °＝________；(4)tan1°·tan2°·tan3°·tan4°…tan89°＝________．9．如图，某地某时刻太阳光线与水平线的夹角为31°，此时在该地测得一幢楼房在水平地面上的影长为30m，求这幢楼房的高AB(结果精确到1m，参考数据：sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60)．第9题图10．如图，沿AC 方向开修一条公路，为了加快施工进度，要在小山的另一边寻找点E 同时施工，从AC 上的一点B 取∠ABD ＝127°，沿BD 的方向前进，取∠BDE ＝37°，测得BD ＝520m ，并且AC ，BD 和DE 在同一平面内．(1)施工点E 离D 点多远正好能使A ，C ，E 成一条直线？(结果保留整数)(2)在(1)的条件下，若BC ＝80m ，求公路CE 段的长．(结果保留整数，参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75)第10题图11．已知α为锐角，下列结论：①sin α＋cos α＝1；②如果α＞45°，那么sin α＞cos α；③如果cos α＞12，那么0°＜α＜60°；④（sin α－1）2＝1－sin α，其中正确的个数是( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个12．如图，已知AC⊥BC ，CD ⊥AB ，AB ＝c ，∠A ＝α，则AC ＝________，BC ＝________，CD ＝____________(用含c 和α的三角函数表示)．第12题图13．如图，在平行四边形ABCD 中，AE 平分∠BAD ，交BC 于点E ，BF 平分∠ABC ，交AD 于点F ，AE 与BF 交于点O ，连结EF ，OD.(1)求证：四边形ABEF 是菱形；(2)若AB ＝4，AD ＝5，∠BCD ＝120°，求tan ∠ADO 的值．第13题图14．如图，伞不论张开还是收紧，伞柄AM 始终平分同一平面内两条伞架所成的角∠BAC ，当伞收紧时，动点D 与点M 重合，且点A ，E ，D 在同一条直线上．已知部分伞架的长度如下(单位：cm )：(1)求AM 的长；(2)当∠BAC ＝104°时，求AD 的长(精确到1cm )．备用数据：sin52°≈0.7880，cos52°≈0.6157，tan52°≈1.2799.第14题图参考答案1－4.ABBB 5.a tan 40°米 6.10sin α 10tan α 7. 348.(1)1 (2)1 (3)1 (4)19.∵tan ∠ACB ＝ABBC，∴AB ＝BC·tan ∠ACB ＝30×tan 31°≈18m .10.(1)∵∠ABD＝127°，∠BDE ＝37°，∴∠DEB ＝127°－37°＝90°.在Rt △BDE 中，cos D ＝DEBD ，∴DE ＝BD·cos D ＝520×cos 37°≈520×0.80＝416(m )，即施工点E 离D 点416m 正好能使A ，C ，E 成一条直线； (2)在(1)的条件下可得BE ＝BD·sin D ＝520×sin 37°≈520×0.60＝312(m )，∴CE ＝BE －BC≈312－80＝232(m )． 11.C12.c cos α c sin α c sin αcos α13．(1)证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC.∴∠DAE ＝∠AEB.∵AE 是角平分线，∴∠DAE ＝∠BAE.∴∠BAE＝∠AEB.∴AB＝BE.同理AB ＝AF.∴AF＝BE.∴四边形ABEF 是平行四边形. ∵AB＝BE ，∴四边形ABEF 是菱形；第13题图(2) 作OH⊥AD 于H ，如图所示．∵四边形ABEF 是菱形，∠BCD ＝120°，AB ＝4，∴AB ＝AF ＝4，∠ABC ＝60°，AO ⊥BF ，∴∠ABF ＝∠AFB＝30°，∴AO ＝12AB ＝2，∴OH ＝3，AH ＝1，DH ＝AD －AH＝4，∴tan ∠ADO ＝OH DH ＝34.14.(1)当伞收紧时，动点D 与点M 重合，∴AM ＝AE ＋DE ＝36＋36＝72(cm )； (2)AD ＝2×36cos 52°≈2×36×0.6157≈44(cm )1.2 锐角三角函数的计算(第2课时)1．计算器显示结果为sin －10.9816＝78.9918的意思正确的是( ) A ．计算已知正弦值的对应角度 B ．计算已知余弦值的对应角度 C ．计算一个角的正弦值 D ．计算一个角的余弦值2．在△ABC 中，∠A ，∠B 都是锐角，且sinA ＝12，cosB ＝22，则△ABC 三个角的大小关系是( )A ．∠C ＞∠A ＞∠B B ．∠B ＜∠C ＜∠A C ．∠A ＞∠B ＞∠CD ．∠C ＞∠B ＞∠A 3．若∠A 是锐角，且cosA ＝tan30°，则( ) A ．0°＜∠A ＜30° B ．30°＜∠A ＜45° C ．45°＜∠A ＜60° D ．60°＜∠A ＜90°4.如图所示是一张简易活动餐桌，测得OA ＝OB ＝30cm ，OC ＝OD ＝50cm ，现要求桌面离地面的高度为40cm ，那么两条桌脚的张角∠COD 的度数大小应为( )第4题图A ．100°B ．120°C ．135°D ．150°5.如图，在矩形ABCD 中，若AD ＝1，AB ＝3，则该矩形的两条对角线所成的锐角是( )第5题图A ．30°B ．45°C ．60°D ．75°6．已知sin α·sin45°＝12，则锐角α为________． 7．若θ为三角形的一个锐角，且2sin θ－3＝0，则θ＝________．8．等腰三角形的底边长为20cm ，面积为10033cm 2，则顶角为________度． 9．若用三根长度分别为8，8，6的木条做成一个等腰三角形，则这个等腰三角形的各个角的大小分别为多少？(结果精确到1′，参考数据：cos67°59′≈0.375)10．已知：如图，在△ABC 中，AB ＝8，AC ＝62，∠A ＝45°.求：(1)AB 边上的高；(2)∠B 的正切值．第10题图11．关于x 的一元二次方程x 2－2x ＋sin α＝0有两个相等的实数根，则锐角α等于( )A ．15°B ．30°C ．45°D ．60°12．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，点D 是AB 的中点，tan ∠BCD ＝3，则sinA ＝______．第12题图13．某校为了解决学生停车难的问题，打算新建一个自行车棚．如图，图1是车棚的示意图(尺寸如图所示)，车棚顶部是圆柱侧面的一部分，其展开图是矩形．图2是车棚顶部的截面示意图，弧AB 所在圆的圆心为O ，半径OA 为3m.(1)求∠AOB 的度数(结果精确到1°)；(2)学校准备用某种材料制作车棚顶部，请你算一算：需该种材料多少平方米(不考虑接缝等因素，结果精确到1m 2)?(参考数据：sin53.1°≈0.80，cos53.1°≈0.60，π取3.14)第13题图14．数学老师布置了这样一个问题：如果α，β都为锐角，且tan α＝13，tan β＝12.求α＋β的度数． 甲、乙两位同学想利用正方形网格构图来解决问题．他们分别设计了图1和图2.(1)请你分别利用图1，图2求出α＋β的度数，并说明理由；(2)请参考以上思考问题的方法，选择一种方法解决下面问题：如果α，β都为锐角，当tan α＝5，tan β＝23时，在图3的正方形网格中，利用已作出的锐角α，画出∠MON ，使得∠MON ＝α－β.求出α－β的度数，并说明理由．第14题图参考答案1－5.ADCBC 6.45° 7.60° 8.120第9题图9.根据题意可画图如右(AB ＝AC ＝8，BC ＝6)．过点A 作AD⊥BC 于点D ，则BD ＝CD ＝3，∴cos B ＝BD BA ＝38，∴∠B ≈67°59′，∴∠C ≈67°59′，∠A ≈44°2′. 10.(1)作CD⊥AB 于点D ，CD ＝AC·sin A ＝62·sin 45°＝6； (2)∵AD＝AC·cos A ＝62·cos 45°＝6，∴BD ＝AB －AD ＝8－6＝2，∴tan B ＝CD BD ＝62＝3. 11.B 12.101013.(1)过点O 作OC⊥AB，垂足为C ，则AC ＝2.4.∵OA＝3，∴sin ∠AOC ＝2.43＝0.8，第13题图∴∠AOC ≈53.1°.∴∠AOB ＝106.2°≈106°； (2)lAB ︵＝106×π180×3≈5.5(m )，∴所需材料面积为5.5×15≈83(m 2)．即需该种材料约83m 2.14.(1)①如图1中，只要证明△AMC≌△CNB，即可证明△ACB 是等腰直角三角形，∠BAC ＝α＋β＝45°.②如图2中，只要证明△CEB∽△BEA，即可证明∠BED＝α＋β＝45°. (2)如图3中，∠MOE ＝α，∠NOH ＝β，∠MON ＝α－β，只要证明△MFN≌△NHO 即可解决问题．∠MON＝α－β＝45°.第14题图1.3 解直角三角形(第1课时)1．在直角三角形ABC 中，已知∠C ＝90°，∠A ＝40°，BC ＝3，则AC ＝( )A ．3sin40°B ．3sin50°C ．3tan40°D ．3tan50°2．已知：在△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝120°，AD 为BC 边上的高，则下列结论中，正确的是( )A ．AD ＝32AB B ．AD ＝12ABC ．AD ＝BD D ．AD ＝22BD 3．身高相同的甲、乙、丙三人放风筝，各人放出线长分别为300m ，250m 和200m ，线与地面所成的角度分别为30°，45°和60°，假设风筝线是拉直的，那么三人所放的风筝中( )A ．甲的最高B ．乙的最高C ．丙的最高D ．丙的最低4．一个等腰三角形的腰长为13cm ，底边长为10cm ，则它的底角的正切值为( )A.310B.512C.125D.12135．在△ABC 为，∠C ＝90°，tanA ＝12，AB ＝10，则△ABC 的面积为________． 6．在△ABC 中，∠C ＝90°，a ＝35，c ＝352，则∠A ＝________，b ＝________．7．在Rt △ABC 中，∠C 为直角，∠A ＝30°，b ＝4，则a ＝________，c ＝________．8．如图所示，AB 是伸缩式的遮阳棚，CD 是窗户，要想在夏至的正午时刻阳光刚好不能射入窗户，则AB 的长度是________米(假设夏至的正午时刻阳光与地平面的夹角为60°)．第8题图9．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，sinA ＝45，AB ＝15，求△ABC 的周长．第9题图10．如图，小明将一张矩形纸片ABCD 沿CE 折叠，B 恰好落在AD 边上，设此点为F.若AB∶BC ＝4∶5，求tan ∠ECB 的值．第10题图11.如图，已知△ABC 内接于⊙O ，sinB ＝35，AC ＝2cm ，则⊙O 的面积是( )第11题图A.259πcm 2B.1009πcm 2C.925πcm 2D.9100πcm 2 12．如图，矩形ABCD 是供一辆机动车停放的车位示意图，已知BC ＝2m ，CD ＝5.4m ，∠DCF ＝30°，则车位所占的宽度EF 约为多少米？(3≈1.73，结果精确到0.1m )第12题图13．如图，在△ABC 中，AD 是BC 边上的高，AE 是BC 边上的中线，∠C ＝45°，sinB ＝13，AD ＝1.(1)求BC 的长；(2)求tan ∠DAE 的值．第13题图14．如图1是一副创意卡通圆规，图2是其平面示意图，OA 是支撑臂，OB 是旋转臂，使用时，以点A 为支撑点，铅笔芯端点B 可绕点A 旋转作出圆．已知OA ＝OB ＝10cm.(1)当∠AOB ＝18°时，求所作圆的半径；(结果精确到0.01cm )(2)保持∠AOB ＝18°不变，在旋转臂OB 末端的铅笔芯折断了一截的情况下，作出的圆与(1)中所作圆的大小相等，求铅笔芯折断部分的长度．(结果精确到0.01cm )(参考数据：sin9°≈0.1564，cos9°≈0.9877，sin18°≈0.3090，cos18°≈0.9511)第14题图参考答案1－4.DBBC 5.2 6.45° 35 7.43 3 833 8. 3 9.∵sin A ＝BC AB ＝45，∴BC ＝AB×45＝12.∴AC＝AB 2－BC 2＝9.∴△ABC 周长为36.10.设AB ＝4，则BC ＝5，在△DFC 中，FC ＝BC ＝5，CD ＝AB ＝4，∴DF ＝3，∴AF ＝2，又可证△DFC∽△AEF，得EF ＝2.5＝BE ，∴tan ∠BCE ＝2.55＝12. 11.A12.∵∠DCF＝30°，CD ＝5.4m ，∴在Rt △CDF 中，DF ＝12CD ＝2.7m .又∵四边形ABCD 为矩形，∴AD ＝BC ＝2，∠ADC ＝90°，∴∠ADE ＋∠CDF＝90°.∵∠DCF＋∠CDF＝90°，∴∠ADE ＝∠DCF ＝30°，∴在Rt △AED 中，DE ＝AD×cos ∠ADE ＝2×32＝3(m )，∴EF ＝2.7＋3≈4.4(m )．答：车位所占的宽度EF 约为4.4m .13.(1)在△ABC 中，∵AD 是BC 边上的高，∴∠ADB ＝∠ADC＝90°，在△ADC 中，∵∠ADC ＝90°，∠C ＝45°，AD ＝1，∴DC ＝AD ＝1，在△ADB 中，∵∠ADB ＝90°，sin B ＝13，AD ＝1，∴AB ＝AD sin B＝3，∴BD ＝AB 2－AD 2＝22，∴BC ＝BD ＋DC ＝22＋1； (2)∵AE 是BC 边上的中线，∴CE ＝12BC ＝2＋12，∴DE ＝CE －CD ＝2－12，∴tan ∠DAE ＝DE AD ＝2－12. 14.(1)作OC⊥AB 于点C ，如图1所示，由题意可得，OA ＝OB ＝10cm ，∠OCB ＝90°，∠AOB ＝18°，∴∠BOC ＝9°，∴AB ＝2BC ＝2OB·sin 9°≈2×10×0.1564≈3.13cm ，即所作圆的半径约为3.13cm .第14题图(2)作AD⊥OB 于点D ，作AE ＝AB ，如图2所示，∵保持∠AOB＝18°不变，在旋转臂OB 末端的铅笔芯折断了一截的情况下，作出的圆与(1)中所作圆的大小相等，∴折断的部分为BE ，∵∠AOB ＝18°，OA ＝OB ，∠ODA ＝90°，∴∠OAB ＝81°，∠OAD ＝72°，∴∠BAD ＝9°，∴BE ＝2BD ＝2AB·sin 9°≈2×3.13×0.1564≈0.98cm ，即铅笔芯折断部分的长度是0.98cm .1.3 解直角三角形(第2课时)1．如图，斜坡AB 与水平面的夹角为α，下列命题中，不正确的是( )第1题图A ．斜坡AB 的坡角为α B ．斜坡AB 的坡度为BC ABC ．斜坡AB 的坡度为tan αD ．斜坡AB 的坡度为BC AC2．如图，C 、D 是以AB 为直径的半圆上两个点(不与A 、B 重合)．连DC 、AC 、DB ，AC 与BD 交于点P.若∠APD ＝α，则CD AB＝( ) A ．sin α B ．cos α C ．tan α D.1tan α第2题图3.如图，已知AB 是⊙O 的直径，CD 是弦，且CD⊥AB ，BC ＝6，AC ＝8，则sin ∠ABD 的值为( )第3题图 A.43 B.34 C.35 D.454．如图，铁路路基横断面为一个等腰梯形，若腰的坡度为i ＝2∶1，顶宽是3米，路基高是4米，则路基的下底宽是( )第4题图A ．7米B ．9米C ．12米D ．15米5．如图，B ，C 是河岸两点，A 是河岸岸边一点，测得∠ABC ＝45°，∠ACB ＝45°，BC ＝200米，则点A 到岸边BC 的距离是________米．第5题图6.如图，一名滑雪运动员沿着倾斜角为34°的斜坡，从A滑行至B，已知AB＝500米，则这名滑雪运动员的高度下降了________米．(参考数据：sin34°≈0.56，cos34°≈0.83，tan34°≈0.67)第6题图7．等腰三角形的周长为2＋3，腰长为1，则顶角为________．8．若三角形两边长为6和8，这两边的夹角为60°，则其面积为________．9．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E, AB＝20，CD＝16.(1)求sin∠OCE与sin∠CAD的值；(2)求弧CD的长．(结果精确到0.1cm，参考数据：sin53°≈0.8)第9题图10．如图，有一段斜坡BC长10米，坡角∠CBD＝12°，为方便残疾人的轮椅车通行，现准备把坡角降为5°.(1)求坡高CD；(2)求斜坡新起点A到原起点B的距离(精确到0.1米，参考数据：sin12°≈0.21，cos12°≈0.98，tan5°≈0.09)第10题图11．如图，四边形ABCD的对角线AC、BD的长分别为m、n，当AC与BD所夹的锐角为θ时，则四边形ABCD的面积S＝____________．(用含m，n，θ的式子表示)第11题图12．如图，一个长方体木箱沿斜面下滑，当木箱滑至如图位置时，AB＝3m.已知木箱高BE＝3m，斜面坡角为30°，求木箱端点E距地面AC的高度EF.第12题图13．如图，一棵树AB的顶端A的影子落在教学楼前的坪地C处，小明分别测得坪地、台阶和地面上的三段影长CE＝1m，DE＝2m，BD＝8m，DE与地面的夹角α＝30°.在同一时刻，已知一根1m 长的直立竹竿在地面上的影长恰好为2m，请你帮助小明根据以上数据求出树AB的高．(结果精确到0.1m，参考数据：2≈1.41，3≈1.73)第13题图14．为了缓解停车难的问题，某单位拟建地下停车库，建筑设计师提供的该地下停车库的设计示意图如图所示．按照规定，地下停车库坡道上方要张贴限高标志，以便告知停车人车辆能否安全驶入，为标明限高，请你根据该图计算CE的长度(精确到0.1m，参考数据：tan18°≈0.3249，cos18°≈0.9511)．第14题图参考答案1－4.BBDA 5.100 6.280 7.120°8.12 39.(1)sin ∠OCE ＝0.6，sin ∠CAD ＝sin ∠COE ＝0.8； (2)弧CD 的长＝106×3.14×10180≈18.5cm . 10.(1)在Rt △BCD 中，CD ＝BC sin 12°≈10×0.21＝2.1(米)．答：坡高2.1米； (2)在Rt△BCD 中，BD ＝BC cos 12°≈10×0.98＝9.8(米)．在Rt △ACD 中，AD ＝CD tan 5°≈2.10.09≈23.33(米)，∴AB ＝AD －BD≈23.33－9.8＝13.53≈13.5(米)．答：斜坡新起点与原起点的距离为13.5米．11.12mn sin θ第12题图12.设EF 与AB 交点为G ，在Rt △BEG 中，∵∠EGB ＝∠AGF＝60°，∴EG ＝BE sin 60°＝2，GB ＝12EG ＝1，在Rt △AGF 中，GF ＝AG·sin 30°＝2×12＝1，∴EF ＝EG ＋GF ＝2＋1＝3(m )． 13.如图，延长CE 交AB 于F ，∵α＝30°，DE ＝2m ，BD ＝8m ，∴EF ＝BD ＋DE cos 30°＝8＋2×32＝(8＋3)m ，点E 到底面的距离＝DE sin 30°＝2×12＝1m ，即BF ＝1m ，∴CF ＝EF ＋CE ＝8＋3＋1＝(9＋3)m ，根据同时同地物高与影长成正比得，AF CF ＝12，∴AF ＝12CF ＝12(9＋3)＝12×10.73≈5.4m ，∴树AB 的高为5.4＋1＝6.4m .第13题图14．∵∠BAD＝∠AFG＝18°，∴在Rt △ABD 中，BD AB＝tan 18°，∴BD ＝AB·tan 18°＝9×tan 18°≈2.9(m )．∵BC ＝0.5m ，∴CD ＝2.9－0.5＝2.4(m )．在Rt △CED 中，∠DCE ＝18°，∴CE CD ＝cos 18°.∴CE ＝CD·cos 18°＝2.4×cos 18°≈2.3(m )．答：CE 长约为2.3m .1.3 解直角三角形(第3课时)1．如图，某飞机在空中A 点处测得飞行高度h ＝1000m ，从飞机上看到地面指挥站B 的俯角α＝30°，则地面指挥站与飞机的水平距离BC 为( )A ．500mB ．2000mC ．1000mD ．10003m第1题图2.如图，王英同学从A 地沿北偏西60°方向走100m 到B 地，再从B 地向正南方向走200m 到C 地，此时王英同学离A 地( )第2题图 A ．503m B ．100m C ．150m D ．1003m3．如图，已知“人字梯”的5个踩档把梯子等分成6份，从上往下的第二个踩档与第三个踩档的正中间处有一条60cm 长的绑绳EF ，tan α＝52，则“人字梯”的顶端离地面的高度AD 是( ) A ．144cm B ．180cm C ．240cm D ．360cm4.如图，港口A 在观测站O 的正东方向，OA ＝4km ，某船从港口A 出发，沿北偏东15°方向航行一段距离后到达B 处，此时从观测站O 处测得该船位于北偏东60°的方向，则该船航行的距离(即AB 的长)为( )第4题图A ．4kmB ．23kmC ．22kmD ．(3＋1)km5.在一次夏令营活动中，小明同学从营地A 出发，要到A 地的北偏东60°方向的C 处，他先沿正东方向走了200m 到达B 地，再沿北偏东30°方向走，恰能到达目的地C (如图所示)，由此可知，B ，C 两地相距________m.第5题图6．如图，在高度是21米的小山A 处测得建筑物CD 顶部C 处的仰角为30°，底部D 处的俯角为45°，则这个建筑物的高度CD＝______米(结果可保留根号)．第6题图7．南沙群岛是我国固有领土，现在我南海渔民要在南沙某海岛附近进行捕鱼作业，当渔船航行至B处时，测得该岛位于正北方向20(1＋3)海里的C处，为了防止某国海巡警干扰，就请求我A 处的鱼监船前往C处护航，已知C位于A处的北偏东45°方向上，A位于B的北偏西30°的方向上，求A、C之间的距离．第7题图8．如图，学校的实验楼对面是一幢教学楼，小敏在实验楼的窗口C测得教学楼顶部D的仰角为18°，教学楼底部B的俯角为20°，量得实验楼与教学楼之间的距离AB＝30m.(1)求∠BCD的度数；(2)求教学楼的高BD.(结果精确到0.1m，参考数据：tan20°≈0.36，tan18°≈0.32)第8题图9.如图，电线杆CD的高度为h，两根拉线AC与BC相互垂直，∠CAB＝α，则拉线BC的长度为(A、D、B在同一条直线上)( )第9题图A.hsinαB.hcosαC.htanαD．h·cosα10．如图所示，两条宽度都为2cm的纸条交叉重叠放在一起，且它们的交角为α，则它们重叠部分(图中阴影部分)的面积为________．第10题图11．如图，在大楼AB的正前方有一斜坡CD，CD＝4米，坡角∠DCE＝30°，小红在斜坡下的点C处测得楼顶B的仰角为60°，在斜坡上的点D处测得楼顶B的仰角为45°，其中点A、C、E在同一直线上．(1)求斜坡CD的高度DE；(2)求大楼AB的高度(结果保留根号)．第11题图C组综合运用12．如图，公路AB为东西走向，在点A北偏东36.5°方向上，距离5km处是村庄M；在点A北偏东53.5°方向上，距离10km处是村庄N.(参考数据：sin36.5°≈0.6，cos36.5°≈0.8，tan36.5°≈0.75)(1)求M，N两村之间的距离；(2)要在公路AB旁修建一个土特产收购站P，使得M，N两村到P的距离之和最短，求这个最短距离．第12题图参考答案1－4.DDBC 5.200 6.(73＋21)7.如图，作AD⊥BC，垂足为D ，第7题图由题意得，∠ACD ＝45°，∠ABD ＝30°.设CD ＝x ，在Rt △ACD 中，可得AD ＝x ，在Rt △ABD 中，可得BD ＝3x ，又∵BC＝20(1＋3)，CD ＋BD ＝BC ，即x ＋3x ＝20(1＋3)，解得：x ＝20，∴AC ＝2x ＝202(海里)．答：A 、C 之间的距离为202海里．第8题图8.(1)过点C 作CE⊥BD，则有∠DCE＝18°，∠BCE ＝20°，∴∠BCD ＝∠DCE＋∠BCE＝18°＋20°＝38°； (2)由题意得：CE ＝AB ＝30m ，在Rt △CBE 中，BE ＝CE·tan 20°≈10.80m ，在Rt △CDE 中，DE ＝CE·tan 18°≈9.60m ，∴教学楼的高BD ＝BE ＋DE ＝10.80＋9.60≈20.4m ，则教学楼的高约为20.4m .9.B10.4sin αcm 211.(1)在Rt △DCE 中，DC ＝4米，∠DCE ＝30°，∠DEC ＝90°，∴DE ＝12DC ＝2米； (2)过D 作DF⊥AB，交AB 于点F ，∵∠BFD ＝90°，∠BDF ＝45°，∴∠DBF ＝45°，即△BFD 为等腰直角三角形，设BF ＝DF ＝x 米，∵四边形DEAF 为矩形，∴AF ＝DE ＝2米，即AB ＝(x ＋2)米，在Rt △ABC 中，∠ABC ＝30°，第11题图∴BC ＝AB cos 30°＝x ＋232＝2x ＋43＝3（2x ＋4）3米，BD ＝2BF ＝2x 米，DC ＝4米，∵∠DCE ＝30°，∠ACB ＝60°，∴∠DCB ＝90°，在Rt △BCD 中，根据勾股定理得：2x 2＝（2x ＋4）23＋16，解得：x ＝4＋43(负值舍去)，则AB ＝(6＋43)米．12．(1)过点M 作CD∥AB，过点N 作NE⊥AB 于点E ，如图．第12题图在Rt △ACM 中，∠CAM ＝36.5°，AM ＝5km ，∵sin 36.5°＝CM 5≈0.6，∴CM ＝3(km )，AC ＝AM 2－CM 2＝4(km )．在Rt △ANE 中，∠NAE ＝90°－53.5°＝36.5°，AN ＝10km ，∵sin 36.5°＝NE 10≈0.6，∴NE ＝6(km )，AE ＝AN 2－NE 2＝8(km )，∴MD ＝CD －CM ＝AE －CM ＝5(km )，ND ＝NE －DE ＝NE －AC ＝2(km )，在Rt △MND 中，MN ＝MD 2＋ND 2＝29(km )； (2)作点N 关于AB 的对称点G ，连结MG 交AB 于点P ，点P 即为站点，此时PM ＋PN ＝PM ＋PG ＝MG ，在Rt △MDG 中，MG ＝52＋102＝125＝55(km )．答：最短距离为55km .第2章 直线与圆的位置关系1．如果一个圆的半径是8cm ，圆心到一条直线的距离也是8cm ，那么这条直线和这个圆的位置关系是( )A ．相交B ．相切C ．相离D ．无法确定2．已知⊙O 的半径为3，直线l 上有一点P 满足PO ＝3，则直线l 与⊙O 的位置关系是( )A ．相切B ．相离C ．相离或相切D ．相切或相交3．已知点P (3，4)，以点P 为圆心，r 为半径的圆P 与坐标轴有四个交点，则r 的取值范围是( )A ．r ＞4B ．r ＞4且r≠5C ．r ＞3D ．r ＞3且r≠54．如图，以点O 为圆心的两个同心圆，半径分别为5和3，若大圆的弦AB 与小圆相交，则弦长AB的取值范围是( )第4题图A．8≤AB≤10 B．AB≥8 C．8＜AB≤10 D．8＜AB＜105．已知圆的直径为10cm，若圆心到三条直线的距离分别为：①4cm；②5cm；③10cm，则这三条直线和圆的位置关系分别是①________；②________；③________．6．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12cm，BC＝5cm，以点C为圆心、6cm长为半径作圆，则圆与直线AB的位置关系是________．7．如图，已知∠AOB＝30°，C是射线OB上的一点，且OC＝4.若以C为圆心，r为半径的圆与射线OA有两个不同的交点，则r的取值范围是____________．第7题图8．在△ABO中，若OA＝OB＝2，⊙O的半径为1，当∠AOB满足____________时，直线AB与⊙O相切；当∠AOB满足____________时，直线AB与⊙O相交；当∠AOB满足____________时，直线AB与⊙O相离．9．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，斜边AB＝8cm，AC＝4cm.(1)以点C为圆心作圆，半径为多少时，AB与⊙C相切？(2)以点C为圆心，分别作半径为2cm和4cm的圆，这两个圆与AB有怎样的位置关系？第9题图10．如图，在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB＝CD，且AB与小圆相切．求证：CD与小圆也相切．第10题图11．已知等边三角形ABC 的边长为23m.下列图形中，以A 为圆心，半径是3cm 的圆是( )11．如图，P 为正比例函数y ＝32x 图象上的一个动点，⊙P 的半径为3，设点P 的坐标为(x ，y )．第12题图(1)当⊙P 与直线x ＝2相切时，则点P 的坐标为______________________；(2)当⊙P 与直线x ＝2相交时x 的取值范围为____________．13．在平行四边形ABCD 中，AB ＝10，AD ＝m ，∠D ＝60°，以AB 为直径作⊙O.(1)求圆心O 到CD 的距离(用含m 的代数式表示)；(2)当m 取何值时，CD 与⊙O 相切？第13题图14．如图，MN 表示某引水工程的一段设计路线，从M 到N 的走向为南偏东30°，M 的南偏东60°方向上有一点A ，以A 为圆心，500m 为半径的圆形区域为居民区，取MN 上另一点B ，测得BA 方向为南偏东75°，已知MB ＝400m ，通过计算回答，如果不改变方向，输水路线是否会穿过居民区？第14题图参考答案1－4.BDBC 5. ①相交 ②相切 ③相离 6.相交 7.2＜r≤48.∠AOB＝120° 120°＜∠AOB＜180° 0°＜∠AOB＜120°9.(1)作CD⊥AB 于点D ，在Rt △ACD 中，CD ＝AC·sin 60°＝23cm ，所以当半径r 为23cm 时，AB 与⊙C 相切； (2)r ＝2＜CD 时，⊙C 与AB 相离，r ＝4＞CD 时，⊙C 与AB 相交．10.证明：过点O 分别作AB ，CD 的垂线段OE ，OF.设小圆的半径为r.∵AB 与小圆相切，∴OE ＝r ，∵AB ＝CD ，且AB ，CD 为大圆的弦，∴OE ＝OF ，∴OF ＝r ，∴CD 与小圆也相切． 11.B12．(1)⎝⎛⎭⎪⎫5，152或⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－32 (2)－1＜x ＜5 13．(1)作AH⊥CD 于点H.因为∠D ＝60°，则∠DAH＝30°，DH ＝AD 2＝m 2，所以AH ＝AD 2－DH 2＝m 2－（m 2）2＝32m ，即圆心O 到CD 的距离为32m ； (2)当32m ＝5，即m ＝1033时，CD 与⊙O 相切.第14题图14．作AC⊥MN 于点C ，∵∠AMC ＝60°－30°＝30°，∠ABC ＝75°－30°＝45°，∴设AC为x m ，则AC ＝BC ＝x ，在Rt △ACM 中，MC ＝400＋x ，∴tan ∠AMC ＝AC MC ，即13＝x 400＋x，解得x ＝200＋2003＞500，∴如果不改变方向，输水路线不会穿过居民区．第2章直线与圆的位置关系2．1 直线与圆的位置关系(第2课时)1．下列命题错误的是( )A．垂直于半径的直线是圆的切线B．如果圆心到一条直线的距离等于半径，那么这条直线是圆的切线C．如果一条直线与圆只有唯一一个公共点，那么这条直线是圆的切线D．经过半径的外端并且垂直这条半径的直线是圆的切线2．如图，点A在⊙O上，下列条件不能说明PA是⊙O的切线的是( )A．OA2＋PA2＝OP2 B．PA⊥OAC．∠P＝30°，∠O＝60° D．OP＝2OA第2题图3.如图，AB是⊙O的直径，根据下列条件，不能判定直线AT是⊙O的切线的是( )第3题图A．AB＝2，AT＝1.5，BT＝2.5 B．∠B＝45°，AB＝ATC．∠B＝36°，∠TAC＝36°D．∠ATC＝∠B4．如图，P为圆O外一点，OP交圆O于A点，且OA＝2AP.甲、乙两人想作一条通过P点且与圆O相切的直线，其作法如下：第4题图(甲)以P为圆心，OP长为半径画弧，交圆O于B点，则直线PB即为所求；(乙)作OP的中垂线，交圆O于B点，则直线PB即为所求．对于甲、乙两人的作法，下列判断何者正确？( )A．两人皆正确 B．两人皆错误C．甲正确，乙错误 D．甲错误，乙正确5．如图，点Q在⊙O上，若OQ＝3cm，OP＝5cm，PQ＝4cm，则直线PQ与⊙O________(填“相交”、“相切”或“相离”)．第5题图6．如图，△ABC的一边AB是⊙O的直径，请你添加一个条件，使BC是⊙O的切线，你所添加的条件为____________．第6题图7.如图，点A，B，D在⊙O上，∠A＝25°，OD的延长线交直线BC于点C，且∠OCB＝40°，则直线BC与⊙O的位置关系为________．第7题图8.如图，CD是⊙O的直径，BD是弦，延长DC到A，使∠ABD＝120°，若添加一个条件，使AB是⊙O的切线，则下列四个条件：①AC＝BC；②AC＝OC；③AB＝BD中，能使命题成立的有________(只要填序号即可)．第8题图9.如图，已知点A在⊙O上，根据下列条件，能否判定直线AB和⊙O相切？请说明理由．第9题图(1)OA ＝6，AB ＝8，OB ＝10； (2)tanB ＝34.10．如图，AB 为⊙O 的直径，弦CD⊥AB ，垂足为点P ，直线BF 与AD 的延长线交于点F ，且∠AFB ＝∠ABC.(1)求证：直线BF 是⊙O 的切线． (2)若CD ＝23，OP ＝1，求线段BF 的长．第10题图11．在平面直角坐标系中，以点(2，3)为圆心，2为半径的圆必定( )A ．与x 轴相离，与y 轴相切B ．与x 轴，y 轴都相离C ．与x 轴相切，与y 轴相离D ．与x 轴，y 轴都相切12．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠B ＝30°，以点A 为圆心，以3cm 为半径作⊙A ，当AB ＝________cm 时，BC 与⊙A 相切．第12题图13．如图，已知P 是⊙O 外一点，PO 交⊙O 于点C ，OC ＝CP ＝2，弦AB⊥OC ，劣弧AB 的度数为120°，连结PB.(1)求BC 的长；(2)求证：PB 是⊙O 的切线．第13题图14．如图，已知AB 是⊙O 的直径，BC ⊥AB ，连结OC ，弦AD∥OC ，直线CD 交BA 的延长线于点E.(1)求证：直线CD 是⊙O 的切线； (2)若DE ＝2BC ，求AD∶OC 的值．第14题图参考答案1－4.ADDB 5.相切 6.AB⊥BC(不唯一) 7.相切 8.①②③9.(1)能判定；∵OA 2＋AB 2＝BO 2，∴∠BAO ＝90°.即AB⊥AO，∴AB 是⊙O 的切线； (2)不能判定；△ABO 中，tan B ＝34，无法证明∠BAO＝90°，所以不能判定．10.(1)证明：∵∠AFB＝∠ABC，∠ABC ＝∠ADC，∴∠AFB ＝∠ADC，∴CD ∥BF ，∴∠APD ＝∠ABF，∵CD ⊥AB ，∴AB ⊥BF ，∴直线BF 是⊙O 的切线；第10题图(2)连结OD ，∵CD ⊥AB ，∴PD ＝CP ＝3，∵OP ＝1，∴OD ＝2，∵∠PAD ＝∠BAF，∠APD ＝∠ABF，∴△APD ∽△ABF ，∴AP AB ＝PD BF ，∴34＝3BF ，∴BF ＝433.11．A 12.613.(1)连结OB ，∵弦AB⊥OC，劣弧AB 的度数为120°，∴∠COB ＝60°，又∵OC＝OB.∴△OBC 是正三角形，∴BC ＝OC ＝2； (2)证明：∵BC＝OC ＝CP ，∴∠CBP ＝∠CPB，∵△OBC 是正三角形，∴∠OBC ＝∠OCB＝60°.∴∠CBP ＝30°，∴∠OBP ＝∠CBP＋∠OBC＝90°，∴OB ⊥BP ，∵点B 在⊙O 上，∴PB 是⊙O 的切线．14．(1)证明：连结DO.∵AD∥OC，∴∠DAO ＝∠COB，∠ADO＝∠COD，又∵OA＝OD ，∴∠DAO ＝∠ADO，∴∠COD ＝∠COB.在△COD 和△COB 中，⎩⎪⎨⎪⎧CO ＝CO ，∠COD ＝∠COB，OD ＝OB ，∴△COD ≌△COB(SAS)，∴∠CDO ＝∠CBO＝90°.又∵点D 在⊙O 上，∴CD 是⊙O 的切线； (2)∵△COD≌△COB，∴CD ＝CB.∵DE＝2BC ，∴ED ＝2CD.∵AD∥OC，∴△EDA ∽△ECO.∴AD OC ＝DE CE ＝23.2.1 直线与圆的位置关系(第3课时)1．下列说法中，正确的是( )A．圆的切线垂直于经过切点的半径B．垂直于切线的直线必经过切点C．垂直于切线的直线必经过圆心D．垂直于半径的直线是圆的切线2．如图，AB与⊙O相切于点B，AO＝6cm，AB＝4cm.则⊙O的半径为( )A．45cm B．25cm C．213cm D.13cm第2题图3.如图，AB是⊙O的弦，AC是⊙O的切线，A为切点，BC经过圆心．若∠B＝25°，则∠C的大小等于( )第3题图A．20° B．25° C．40° D．50°4．如图，在平面直角坐标系中，过格点A，B，C作一圆弧，点B与下列格点的连线中，能够与该圆弧相切的是( )第4题图A．点(0，3) B．点(2，3) C．点(5，1) D．点(6，1)5．如图，直线MN与⊙O相切于点M，ME＝EF且EF∥MN，则cos∠E＝________．第5题图6．如图，AB 是⊙O 的切线，半径OA ＝2，OB 交⊙O 于点C ，∠B ＝30°，则AC ︵的长是________(结果保留π)．第6题图7.如图，两个同心圆，大圆的弦AB 切小圆于点C ，且AB ＝10，则图中阴影部分面积为________．第7题图8.如图，已知⊙P 的半径是1，圆心P 在抛物线y ＝x 2－2x ＋1上运动，当⊙P 与x 轴相切时，圆心P 的坐标为______________．第8题图9．如图，AB 为⊙O 的直径，PD 切⊙O 于点C ，交AB 的延长线于点D ，且∠D ＝2∠CAD. (1)求∠D 的度数； (2)若CD ＝2，求BD 的长．第9题图10．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝54°，以AB 为直径的⊙O 分别交AC ，BC 于点D ，E ，过点B 作⊙O 的切线，交AC 的延长线于点F.。
1.3 三角函数的有关计算-解直角三角形
3 3
1
3
由锐角的三角函数值反求锐角
∠A
1 sin A = 2
∠A
3 sin A = 2
∠A
2 sin A = 2
30
60
0
60
45
0
45
0
1 cos A = 2
3 tan A = 3
0
2 cos A = 2
0
3 cos A = 2
30
45
0
30
0
tan A = 3
60
0
tan A = 1
0
1 . 如图，在Rt△ABC中，∠C＝ 90°， 如图， △ 中 ＝ ° 求 AC = 2 , BC = 6， ∠B. 解：在Rt△ABC中， △ 中
A
B
D
40
C
2010年长沙 年长沙 5.为了缓解长沙市区内一些主要路段交通拥挤的现 为了缓解长沙市区内一些主要路段交通拥挤的现 状，交警队在一些主要路口设立了交通路况显示牌 （如图）．已知立杆AB高度是3m，从侧面D点测 如图）．已知立杆 高度是 ）． 点的仰角分别是60° 得显示牌顶端C点和底端B点的仰角分别是 °和 45°．求路况显示牌BC的高度 ° 解：∵在Rt△ADB中， ∠BDA＝45°，AB＝3 ° ∴DA＝3 ° 在Rt△ADC中，∠CDA＝60°
9.如图，在小岛上有一观察 A.据测，灯塔B 9.如图，在小岛上有一观察站A.据测，灯塔B 如图 据测 在观察站A北偏西45 的方向，灯塔C 正东方向， 在观察站A北偏西450的方向，灯塔C在B正东方向， 且相距10海里，灯塔C与观察站A相距10 10海里 海里， 且相距10海里，灯塔C与观察站A相距10 海里， 2 请你测算灯塔C处在观察站A的什么方向？ 请你测算灯塔C处在观察站A的什么方向？
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S= ab sina
探究活动
如图, ABC中 ∠A为锐角 为锐角,sina= 如图, △在ABC中, ∠A为锐角,sina= 2 , AB+AC=6cm,设AC=xcm, △ABC的面积为ycm . AB+AC=6cm,设 ABC的面积为ycm 的面积为 (1)求 关于x的函数关系式和自变量x的取值范围; (1)求y关于x的函数关系式和自变量x的取值范围; C (2)何时 ABC的面积最大 最大面积为多少? 何时△ 的面积最大, (2)何时△ABC的面积最大,最大面积为多少?
i1＝1∶3 ∶ i2=1∶2.5 ∶
E F
如图所示，某水库大坝的横断面 如图所示， 是等腰梯形，坝顶宽6 m，坝高1 0m， 是等腰梯形，坝顶宽6 m，坝高1 0m， 斜坡AB的坡度为 的坡度为1 现要加高2m， 斜坡AB的坡度为1：2．现要加高2m， 在坝顶宽和斜坡坡度均不变的情况下， 在坝顶宽和斜坡坡度均不变的情况下， 加高一条长为50 m的大坝 的大坝， 加高一条长为50 m的大坝，需要多少 土方? 土方?
水平面的夹角叫做坡角， 坡面与 水平面的夹角叫做坡角，记 作a，有 ， h tan a＝ ＝ｉ.
l
铅垂 高水平长度
坡角
显然，坡度越大，坡角 就越大 坡面就越陡. 就越大， 显然，坡度越大，坡角a就越大，坡面就越陡
一水库大坝的横断面为梯形ABCD， ， 一水库大坝的横断面为梯形 坝顶宽6米 斜坡CD 坝顶宽 米，斜坡 长为60米，斜坡 的 米 斜坡AB的 坡度i 的坡度i ∶ 求 坡度 1＝1∶3，斜坡 的坡度 2=1∶2.5.求： ∶ ，斜坡CD的坡度 的坡角与坝底AD的宽度 （1）斜坡 的坡角与坝底 的宽度；(长 ）斜坡CD的坡角与坝底 的宽度； 长 度精确到0.1米 度精确到 米） 若堤坝长150米 。 问建造这个堤坝需用 （ 2)若堤坝长 若堤坝长 米 多少土石方(精确到 立方米)？ 精确到1立方米 多少土石方 精确到 立方米 ？
如图所示，某村庄计划在山坡上 如图所示， 处修建一个抽水泵站， 的A处修建一个抽水泵站，抽取山坡下水池 中的水用于灌溉．已知A到水池C 中的水用于灌溉．已知A到水池C处的距离 AC是50m，山坡的坡角∠ACB=1 5０，由于 AC是50m，山坡的坡角∠ 大气压的影响，此种水泵的实际吸水高度AB 大气压的影响，此种水泵的实际吸水高度AB 不能超过1 m，否则无法抽取水池中水． 不能超过1 0 m，否则无法抽取水池中水．试 问泵站能否建在A 问泵站能否建在A处? 若能，请说出理由；若不能，也说明原因． 若能，请说出理由；若不能，也说明原因．
你能通过构造直角三角 形的方法求出tan15° 形的方法求出 ° 的精确值吗？ 的精确值吗？
15° °
探究活动
思考：三角形的两邻边分别为a,b, a,b,这组邻边所夹的锐 思考：三角形的两邻边分别为a,b,这组邻边所夹的锐
角为α 角为α时，它的面积能否用这三个已知量来表示呢？ 它的面积能否用这三个已知量来表示呢？
•
一个公共房屋门前的台阶共高出 地面1.2 1.2米 台阶被拆除后， 地面1.2米.台阶被拆除后，换成供轮椅 行走的斜坡．根据这个城市的规定，轮 行走的斜坡．根据这个城市的规定， 椅行走斜坡的倾斜角不得超过9 椅行走斜坡的倾斜角不得超过9°．从 斜坡的起点至楼门的最短的水平距离该 是多少？（精确到0.1 ？（精确到0.1米 是多少？（精确到0.1米）
B 36.3 A O
36
修路、挖河、 修路、挖河、开渠 和筑坝时， 和筑坝时，设计图 纸上都要明斜坡的 倾斜程度. 倾斜程度
铅垂 高度
h
i
α
l
l水平长度
坡面的铅垂高度（h）和水平长度（l）的比叫 坡面的铅垂高度（ ）和水平长度（ ） h 做坡面坡度 坡度（ 坡比） 记作i 做坡面坡度（或坡比）. 记作 , 即 i = l . 坡度通常写成 ∶ 的形式 的形式， 坡度通常写成1∶m的形式，如 i=1∶6. 通常写成 ∶
1 S= ab sina 2
思考：当三角形变成平行四边形时, 思考：当三角形变成平行四边形时,平行四边形的
两邻边分别为a,b,这组邻边所夹的锐角为α 两邻边分别为a,b,这组邻边所夹的锐角为α时，则 a,b,这组邻边所夹的锐角为 它的面积能否用这三个已知量来表示呢？ 它的面积能否用这三个已知量来表示呢？
体育项目400M栏比赛中，规定相邻两栏架 栏比赛中， 体育项目 栏比赛中 的路程为45M。在弯道处，以跑道离内侧 ．3M处的 的路程为 。在弯道处，以跑道离内侧0． 处的 弧线（图中的虚线） 弧线（图中的虚线）的长度作为相邻两栏架之间的间 隔路程。已知跑道的内侧线半径为36M，问在设定 隔路程。已知跑道的内侧线半径为 ，问在设定A 栏架后， 栏架离栏架的距离是多少 栏架离栏架的距离是多少（ 栏架后，B栏架离栏架的距离是多少（ π 取3．14， ． ， 结果精确到0． ）。 结果精确到 ．1M）。
32
A
D
B
说能出你这节课的收获 和体验让大家与你分享 吗？
如图，我军某部在一次野外训练中， 如图，我军某部在一次野外训练中， 有一辆坦克准备通过一座小山， 有一辆坦克准备通过一座小山，已知山脚 和山顶的水平距离为1000米 山高为565 和山顶的水平距离为1000米，山高为565 如果这辆坦克能够爬30 的斜坡， 米．如果这辆坦克能够爬30０的斜坡，试 它能不能通过这座小山? 问：它能不能通过这座小山?