高考文科数学专题复习导数训练题文

高考文科数学专题复习导
数训练题文
Newly compiled on November 23, 2020
考点一：求导公式。

例1. ()f x '是3
1()213f x x x =++的导函数，则(1)f '-的值是 。

解析：()2'2
+=x x f ，所以()3211'=+=-f 答案：3 考点二：导数的几何意义。

例2. 已知函数()y f x =的图象在点(1(1))M f ，处的切线方程是
1
22y x =
+，则
(1)(1)f f '+= 。

解析：因为
21=
k ，所以()21
1'=
f ，由切线过点(1(1))M f ，，可得点M 的纵坐标为25，所以()25
1=
f ，
所以()()31'1=+f f 答案：3
例3.曲线32
242y x x x =--+在点(13)-，
处的切线方程是 。

解析：
443'2
--=x x y ，∴点(13)-，处切线的斜率为5443-=--=k ，所以设切线方程为b x y +-=5，将点(13)-，
带入切线方程可得2=b ，所以，过曲线上点(13)-，处的切线方程为：025=-+y x
考点三：导数的几何意义的应用。

例4.已知曲线C ：
x x x y 232
3+-=，直线kx y l =:，且直线l 与曲线C 相切于点()00,y x 00≠x ，求直线l 的方程及切点坐标。

解析： 直线过原点，则
()000
≠=
x x y k 。

由点()00,y x 在曲线C 上，则
02
030023x x x y +-=，∴
2302
00
0+-=x x x y 。

又
263'2
+-=x x y ，∴ 在
()00,y x 处曲线C 的切线斜率为()263'0200+-==x x x f k ，∴
2632302
002
0+-=+-x x x x ，整理得：03200=-x x ，解得：
23
0=
x 或0
0=x （舍），此时，830-=y ，41-=k 。

所以，直线l 的方程为x
y 41-=，切点坐标是⎪⎭⎫ ⎝⎛-83,23。

考点四：函数的单调性。

例5.已知
()132
3+-+=x x ax x f 在R 上是减函数，求a 的取值范围。

解析：函数()x f 的导数为
()163'2
-+=x ax x f 。

对于R x ∈都有()0'<x f 时，()x f 为减函数。

由()R x x ax ∈<-+01632
可得⎩⎨⎧<+=∆<012360a a ，解得3-<a 。

所以，当
3-<a 时，函数()x f 对R x ∈为减函数。

当3-=a 时，
()983131333
2
3
+
⎪⎭⎫ ⎝⎛
--=+-+-=x x x x x f 。

由函数3
x y =在R 上的单调性，可知当3-=a 是，函数()x f 对R x ∈为减函数。

当3->a 时，函数()x f 在R 上存在增区间。

所以，当3->a 时，函数()x f 在R 上不
是单调递减函数。

综合（1）（2）（3）可知3-≤a 。

答案：3-≤a 考点五：函数的极值。

例6. 设函数
32
()2338f x x ax bx c =+++在1x =及2x =时取得极值。

（1）求a 、b 的值；（2）若对于任意的[03]x ∈，
，都有2()f x c <成立，求c 的取值范围。

解析：（1）
2
()663f x x ax b '=++，因为函数()f x 在1x =及2x =取得极值，则有(1)0f '=，(2)0f '=．即6630241230a b a b ++=⎧⎨
++=⎩，．，解得3a =-，4b =。

（2）由（Ⅰ）可知，
32
()29128f x x x x c =-++，2()618126(1)(2)f x x x x x '=-+=--。

当(01)x ∈，
时，()0f x '>；当(12)x ∈，时，()0f x '<；当(23)x ∈，时，()0f x '>。

所以，当1x =时，()f x 取得极大值(1)58f c =+，又(0)8f c =，(3)98f c =+。

则当[]03x ∈，时，()f x 的最大值为(3)98f c =+。

因为对于任意的[]03x ∈，，有2()f x c <恒成立，
所以 298c c +<，解得 1c <-或9c >，因此c 的取值范围为(1)(9)-∞-+∞，
，。

答案：（1）3a =-，4b =；（2）(1)(9)-∞-+∞，
，。

考点六：函数的最值。

例7. 已知a 为实数，
()()
()a x x x f --=42。

求导数()x f '；（2）若()01'=-f ，求()x f 在区间[]2,2-上的最大值和最小值。

解析：（1）()a x ax x x f 4423+--=，∴
()423'2
--=ax x x f 。

（2）()04231'=-+=-a f ，21=∴a 。

()()()14343'2
+-=--=∴x x x x x f 令()0'=x f ，即()()0143=+-x x ，解得1-=x 或
34=
x ， 则()x f 和()x f '在区间[]2,2-
x
()291=
-f ，273-=⎪⎭
⎫ ⎝⎛f 。

所以，()x f 在区间[]2,2-上的最大值为27503-=⎪⎭⎫ ⎝⎛f ，最小值为()29
1=
-f 。

答案：（1）
()423'2
--=ax x x f ；（2）最大值为275034-=⎪⎭⎫
⎝⎛f ，最小值为()29
1=
-f 。

考点七：导数的综合性问题。

例8. 设函数
3
()f x ax bx c =++(0)a ≠为奇函数，其图象在点(1,(1))f 处的切线与直线670x y --=垂直，导函数'()f x 的最小值为12-。

（1）求a ，b ，c 的值；
（2）求函数()f x 的单调递增区间，并求函数()f x 在[1,3]-上的最大值和最小值。

解析： （1）∵()f x 为奇函数，∴()()f x f x -=-，即33
ax
bx c ax bx
c --+=---
∴0c =，∵
2
'()3f x ax b =+的最小值为12-，∴12b =-，又直线670x y --=的斜率为1
6，因此，'(1)36f a b =+=-，∴2a =，12b =-，0c =．
（2
3
()212f x x x =-
2'()6126(f x x x x =-=
，
f =-(3)18f =，∴()f x 在[1,3]-上的最大值是(3)18f =，最小值是
f =-
答案：（1）2a =，12b =-，0c =；（2）最大值是(3)18f =，最小值是
f =-
4 强化训练 一、选择题
1. 已知曲线
24x y =
的一条切线的斜率为12，则切点的横坐标为（ A ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4
2. 曲线
132
3+-=x x y 在点（1，－1）处的切线方程为 （ B ）
A ．43-=x y
B ．23+-=x y
C ．34+-=x y
D ．54-=x y
3. 函数)1()1(2
-+=x x y 在1=x 处的导数等于 （ D ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4
4. 已知函数)(,31)(x f x x f 则处的导数为
在=的解析式可能为 （ A ） A ．)1(3)1()(2
-+-=x x x f B ．)1(2)(-=x x f
C ．2
)1(2)(-=x x f D ．1)(-=x x f
5. 函数
93)(2
3-++=x ax x x f ，已知)(x f 在3-=x 时取得极值，则a =（ D ） （A ）2 （B ）3
（C ）4
（D ）5
6. 函数
32
()31f x x x =-+是减函数的区间为( D ) （Ａ）(2,)+∞（Ｂ）(,2)-∞（Ｃ）(,0)-∞（Ｄ）(0,2)
7. 若函数
()c bx x x f ++=2
的图象的顶点在第四象限，则函数()x f '的图象是（ A ） 8. 函数
23
1()23f x x x =-在区间[0,6]上的最大值是（ A ） A ．323 B ．163
C ．12
D ．9 9. 函数
x x y 33
-=的极大值为m ，极小值为n ，则n m +为 （ A ） A ．0
B ．1
C ．2
D ．4
10. 三次函数
()x ax x f +=3
在()+∞∞-∈,x 内是增函数，则 （ A ） A ． 0>a
B ．0<a
C ．1=a
D ．
31
=
a
11. 在函数x x y 83
-=的图象上，其切线的倾斜角小于4π
的点中，坐标为整数的点的个数是 （ D ） A ．3 B ．2 C ．1 D ．0
12. 函数)(x f 的定义域为开区间),(b a ，导函数)(x f '在),(b a 内的图象如图所示，则函
数)(x f 在开区间),(b a 内有极小值点（ A ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ． 4个 二、填空题
13. 曲线3
x y =在点()1,1处的切线与x 轴、直线2=x 所围成的三角形的面积为__________。

14. 已知曲线
31433y x =+
，则过点(2,4)P “改为在点(2,4)P ”的切线方程是______________ 15. 已知()()n f x 是对函数()f x 连续进行n 次求导，若65
()f x x x =+，对于任意x R ∈，
都有
()
()n f x =0，则n 的最少值为 。

16. 某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x 吨，运费为4万元／次，一年的总存储费用为4x 万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x = 吨．
三、解答题
17. 已知函数
()c bx ax x x f +++=2
3，当1-=x 时，取得极大值7；当3=x 时，取得极小值．求这个极小值及c b a ,,的值．
解：
()b ax x x f ++=23'2。

据题意，－1，3是方程0232
=++b ax x 的两个根，由韦达定理得
⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧
=⨯--=+-3313231b
a ∴9,3-=-=
b a ∴
()c x x x x f +--=9323 ∵()71=-f ，∴2=c 极小值()2523933332
3-=+⨯-⨯-=f ∴极小值为－25，9,3-=-=b a ，2=c 。

18. 已知函数
.93)(2
3a x x x x f +++-= （1）求)(x f 的单调减区间；（2）若)(x f 在区间[－2，2].上的最大值为20，求它在
该区间上的最小值.
解：（1）.963)(2
++-='x x x f 令0)(<'x f ，解得,31>-<x x 或 所以函数)(x f 的单调递减区间为).,3(),1,(+∞--∞
（2）因为,218128)2(a a f +=+-+=- ,2218128)2(a a f +=+++-=
所以).2()2(->f f 因为在（－1，3）上0)(>'x f ，所以)(x f 在[－1，2]上单调递增，又由于)(x f 在[－2，－1]上单调递减，因此)2(f 和)1(-f 分别是)(x f 在区间
[]2,2-上的最大值和最小值.于是有2022=+a ，解得.2-=a
故
.293)(2
3-++-=x x x x f 因此,72931)1(-=--+=-f 即函数)(x f 在区间[]2,2-上的最小值为－7.
19. 设0≠t ，点P （t ，0）是函数
c bx x g ax x x f +=+=2
3)()(与的图象的一个公共点，两函数的图象在点P 处有相同的切线。

（1）用t 表示c b a ,,；（2）若函数)()(x g x f y -=在（－1，3）上单调递减，求t 的取值范围。

解：（1）因为函数)(x f ，)(x g 的图象都过点（t ，0），所以0)(=t f ，
即03=+at t .因为,0≠t 所以2t a -=. .,0,0)(2ab c c bt t g ==+=所以即 又因为)(x f ，)(x g 在点（t ，0）处有相同的切线，所以).()(t g t f '='
而
.23,2)(,3)(2
2bt a t bx x g a x x f =+='+='所以
将2t a -=代入上式得.t b = 因此.3t ab c -==故2t a -=，t b =，
.3t c -= （2）
))(3(23,)()(2
23223t x t x t tx x y t tx x t x x g x f y -+=--='+--=-=. 当0))(3(<-+='t x t x y 时，函数)()(x g x f y -=单调递减.
由0<'y ，若t x t t <<->3,0则；若.3,0t
x t t -<<<则
由题意，函数)()(x g x f y -=在（－1，3）上单调递减，则
).3,()3,1(),3()3,1(t t t t -⊂--⊂-或所以.
39.333≥-≤≥-≥t t t
t 或即或
又当39<<-t 时，函数)()(x g x f y -=在（－1，3）上单调递减. 所以t 的取值范围为).,3[]9,(+∞⋃--∞
20. 设函数()32()
f x x bx cx x R =++∈，已知()()()
g x f x f x '=-是奇函数。

（1）求b 、c 的值。

（2）求()g x 的单调区间与极值。

解：（1）∵()32f x x bx cx =++，∴()232f x x bx c
'=++。

从而
322()()()(32)g x f x f x x bx cx x bx c '=-=++-++＝32(3)(2)x b x c b x c +-+--是一个奇函数，
所以(0)0g =得0c =，由奇函数定义得3b =；
（2）由（Ⅰ）知3()6g x x x =-，从而
2
()36g x x '=-，由此可知，
(,-∞和)+∞是函数()g x 是单调递增区间；(是函数()g x 是单调递减
区间；
()g x
在x =()g x 在x =
小值为-。

21. 用长为18 cm 的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为2：1，问该长方体的长、宽、高各为多少时，其体积最大最大体积是多少 解：设长方体的宽为x （m ），则长为x 2 (m)，高为
⎪
⎭⎫ ⎝
⎛
-=-=
230(m)35.44
1218＜＜x x x
h . 故长方体的体积为
()()()
⎪⎭⎫ ⎝
⎛
<<-=-=2306935.423
322x m x x x x x V
从而
).1(18)35.4(1818)(2
x x x x x x V -=--=' 令()0'=x V ，解得0=x （舍去）或1=x ，因此1=x .
当10<<x 时，()0'>x V ；当
23
1<
<x 时，()0'<x V ， 故在1=x 处()x V 取得极大值，并且这个极大值就是()x V 的最大值。

从而最大体积()()
3
321619'm x V V ⨯-⨯==，此时长方体的长为2 m ，高为1.5 m. 答：当长方体的长为2 m 时，宽为1 m ，高为1.5 m 时，体积最大，最大体积为3
3m 。

22. 已知函数3211
()32f x x ax bx
=++在区间[11)
-，，(13]，内各有一个极值点．（1）求24a b -的最大值；
当2
48a b -=时，设函数()y f x =在点(1(1))A f ，处的切线为l ，若l 在点A 处穿过函数()y f x =的图象（即动点在点A 附近沿曲线()y f x =运动，经过点A 时，从l 的一侧
进入另一侧），求函数()f x 的表达式．
解：（1）因为函数3211
()32f x x ax bx
=++在区间[11)
-，，(13]，内分别有一个极值点，所以
2
()f x x ax b '=++0=在[11)-，，(13]，内分别有一个实根， 设两实根为
12
x x ，（12x x <
），则21x x -=2104x x <-≤．于是
04，20416a b <-≤，且当11x =-，23x =，即2a =-，3b =-时等号成
立．故2
4a b -的最大值是16．
（2）解法一：由(1)1f a b '=++知()f x 在点(1(1))f ，处的切线l 的方程是
(1)(1)(1)y f f x '-=-，即21
(1)32y a b x a
=++--， 因为切线l 在点(1())A f x ，处空过()y f x =的图象，
所以
21
()()[(1)]
32g x f x a b x a =-++--在1x =两边附近的函数值异号，则1x =不是()g x 的极值点．
而()g x 321121(1)3
232x ax bx a b x a
=++-++++，且 22()(1)1(1)(1)g x x ax b a b x ax a x x a '=++-++=+--=-++． 若11a ≠--，则1x =和1x a =--都是()g x 的极值点．
所以11a =--，即2a =-，又由2
48a b -=，得1b =-，故32
1()3f x x x x =--．
解法二：同解法一得
21()()[(1)]32g x f x a b x a =-++--2133
(1)[(1)(2)]
322a x x x a =-++-+．
因为切线l 在点(1(1))A f ，处穿过()y f x =的图象，所以()g x 在1x =两边附近的函数值异号，于是存在12m m ，（121m m <<）．
当11m
x <<时，()0g x <，当21x m <<时，()0g x >； 或当11m
x <<时，()0g x >，当21x m <<时，()0g x <． 设
233()1222a a h x x x ⎛⎫⎛
⎫=++-+ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭，则当11m x <<时，()0h x >，当21x m <<时，()0h x >；
或当11m
x <<时，()0h x <，当21x m <<时，()0h x <． 由(1)0h =知1x =是()h x 的一个极值点，则
3(1)21102a
h =⨯++
=，
所以2a =-，又由2
48a b -=，得1b =-，故32
1()3f x x x x =--．
（一）选择题
（二）填空题13. 38
14. 044=+-x y 15. 7 16. 20。