高等数学第三章 导数与微分

3 f ( x0 ) x 2
（三）单侧导数
定义2 . 设函数 有定义, 若极限 在点 的某个右 (左) 邻域内
( x 0 )
( x 0 )
x0
在 处的右 (左) 导数, 记作
存在, 则称此极限值为
( x0 ) ( f f ( x0 ))
即
( x0 ) f
线密度 是质量增量与长度增量之比的极限
电流强度 是电量增量与时间增量之比的极限

§3.2导数概念
(一)、导数的定义
定义1 . 设函数
若 在点
第三章
的某邻域内有定义 ,
f ( x ) f ( x0 ) y lim lim x x0 x x0 x 0 x
y f ( x) f ( x0 ) x x x0
处的
( f ( x0 ) 0 )
若
切线与 x 轴平行,
y
称为驻点;
o
x0
x
1 1 例8 求等边双曲线 y 在点( ,2)处的切线的 x 2 斜率, 并写出在该点处的切线方程和法线方程.
解 由导数的几何意义, 得切线斜率为
k y
1 x 2
1 ( ) x
1 x 2
1 2 x
第三章 导数与微分
微积分学的创始人:
导数思想最早由法国 数学家 Ferma 在研究 极值问题中提出.
英国数学家 Newton
德国数学家 Leibniz 微分学
导数
微分
描述函数变化快慢
描述函数变化程度
都是描述物质运动的工具 (从微观上研究函数)
第三章 导数与微分
§3.1 引入导数概念的例子
§3.2导数概念 §3.3 导数的基本公式与运算法则
h0
h
h0
h
h0
h
h f (0 h) f (0) h 1. f (0) lim lim lim h0 h0 h h0 h h
即 f (0) f (0) 函数y f ( x )在x 0点不可导.
y
y x
o
x
(四)、 函数的可导性与连续性的关系
在 t 0 时刻的瞬时速度
o
f (t0 )
f (t )
t0
t
sLeabharlann Baidu
f (t0 )
曲线 C : y f ( x) 在 M 点处的切线斜率
y
y f ( x)
N
f ( x0 )
C
M
x0
T
o
x x
若极限
y f ( x) f ( x0 ) x x x0
不存在 , 就说函数 在点 x0不可导. 若函数在开区间 I 内每点都可导, 就称函数在 I 内可导.
f ( x )在x 0处不可导.
(二)、 导数的几何意义
f ( x0 )表示曲线 y f ( x) 在点M ( x0 , f ( x0 ))处的切线 的斜率,即 f ( x0 ) tan , ( 为倾角)
y
y f ( x)
C
M
x0
T
o
x
曲线在点 切线方程: 法线方程:
1 x 2
4.
1 所求切线方程为 y 2 4( x ), 即 4 x y 4 0. 2 1 1 法线方程为 y 2 ( x ), 即 2 x 8 y 15 0. 4 2
例9
求曲线 y x 的通过点 (0, 4) 的切线方程.
3 2 0
x0 x0 x0
lim f ( x) lim(2 x) 0,
x0
lim f ( x) lim f ( x),
x0 x0
f (x) 在x 0 处不连续 . 进而, f ( x) 在x 0 处不可导 .
(2) 在x 1点 ,
x1
x 0, x 1, 2 x, 0 x 1, 讨论函数 f ( x) 2 x 1, 1 x 2, 1 x 2 4, x2 2 在x 0, x 1及x 2处的连续性与可导性.
即 例3. 求函数 解:
f ( x) f (a) xn an lim lim x a x a x a xa
lim ( x n 1 a x n 2 a 2 x n 3 a n 1 )
x a
说明：
对一般幂函数 y x ( 为常数)
y 4 x 因此， x
lim (4 x)
x 0
由定义求导数
步骤: (1) 求增量 y f ( x0 x) f ( x0 );
y f ( x0 x) f ( x0 ) (2) 算比值 ; x x y ( 3) 求极限 y lim . x 0 x


由函数的极限,左右极限的关系, 知 定理1. 函数 是 简写为 若函数 都存在 , 则称 在点 且 可导的充分必要条件
f ( x 0 ) 存在
在开区间 在闭区间 内可导, 且 上可导.
f ( x0 )
与 f (b)
例10 讨论函数 f ( x ) x 在x 0处的可导性. 解 f (0) lim f (0 h) f (0) lim h lim h 1,
x 0, x 1, 2 x, 0 x 1, 例11 讨论函数 f ( x) 2 x 1, 1 x 2, 1 x 2 4, x2 2 在x 0, x 1及x 2处的连续性与可导性.
解 (1) 在x 0 点,
lim f ( x) lim( x 1) 1,
定理2.
证: 设

在点 x0 处可导,即
存在 , 因此必有
其中
故
所以函数
x 0
在点 x0 连续 .
y x
y
o
注意: 函数在点 x0 连续未必可导. 反例: 在 x = 0 处连续 , 但不可导.
x
定理3. 函数 在点 显然:
在点
处右 (左) 导数存在
必 右 (左) 连续.
在闭区间 [a , b] 上可导
x x0

f ( x) f ( x0 ) x x0
瞬时速度 切线斜率
两个问题的共性:
o
y
f (t0 )
f (t )
t0
t
s
y f ( x)
N
C
M
T
o x0
x x
所求量为函数增量与自变量增量之比的极限 . 类似问题还有: 加速度 是速度增量与时间增量之比的极限 角速度 是转角增量与时间增量之比的极限 变 化 率 问 题
3 2
分析: 切线斜率=? 切点? 解: 设切点为 ( x0 , x ) , 则切线的斜率为:
3 x0 2 x x0 3 x0 ( x 0) 于是所求切线方程为: y 4 2 3 3 3 2 2 x0 x0 , x0 4 因为, 切线过点 ( x0 , x0 ), 所以, x0 4 2 于是所求切线方程为: 3 x y 4 0
f (t )
t0
t
s
2. 曲线的切线斜率 曲线 在 M 点处的切线 割线 M N 的极限位置 M T (当 时) 切线 MT 的斜率
y
y f ( x) N
C M
T
o x0
x x
lim tan
f ( x) f ( x0 ) 割线 M N 的斜率 tan x x0
k lim
例6. 求函数 解:
的导数.
1 lim h 0 h
ln( x h) ln x f ( x h) f ( x ) lim lim h 0 h h 0 h
或
x 1
h
1 x
lim
1 h lim h 0 h x
h 0
h 0
lim
ln e
即
1 (ln x) x
( x ) x 1
( x ) 例如，
1 ( x 2 )
（以后将证明）

1 1x 2 1 2 2 x

(
1 1 1 1 1 ( x ) x 2 x x
1 x x
3 7 3 ) ( x 4 ) x 4
4
例4. 求函数 解:
或
f ( x0 h) f ( x0 ) f ( x0 ) lim ; h 0 h
f ( x0 ) lim
x x0
或
f ( x) f ( x0 ) ; x x0
例2. 求函数
(C 为常数) 的导数. f ( x x ) f ( x ) 解: y lim x 0 x
2 (1 x ) 1 2 f (1 x) f (1) f (1) lim lim 2, x0 x0 x x
f (1) f (1),
f ( x)在x 1处可导, 且 f (1) 2
x 0, x 1, 2 x, 0 x 1, 讨论函数 f ( x) 2 x 1, 1 x 2, 1 x 2 4, x2 2 (3) 在x 2点 , 在x 0, x 1及x 2处的连续性与可导性.
存在, 则称函数
在点
在点
处可导, 并称此极限为
y x x0
的导数. 记作: d y d f ( x ) ; f ( x0 ) ; ; d x x x0 d x x x0
即
y x x0
y f ( x0 ) lim x 0 x
运动质点的位置函数 s f (t )
类似可证得
例5 求函数 f ( x ) a x (a 0, a 1) 的导数.
解
xh x a a (a x ) lim h 0 h h a 1 x a lim h 0 h
a x ln a .
即
(a ) a x ln a .
x
( e x ) e x .
§3.4 高阶导数
§3.5 微分
§3.1 引入导数概念的例子
1. 变速直线运动的速度 设描述质点运动位置的函数为 则 到 的平均速度为
第三章
f (t ) f (t0 ) v t t0
而在 时刻的瞬时速度为
自由落体运动
s
o
f (t0 )
1 gt 2 2
f (t ) f (t0 ) v lim t t0 t t0
此时导数值构成的新函数称为导函数. d y d f ( x) . ; 记作: y ; f ( x ) ; dx dx
注意:
f ( x0 ) f ( x) x x0

d f ( x0 ) dx
例1. 求函数 解: 当 x 由 2 改变到 2 x 时，函数改变量为
y (2 x)2 22 4x (x) 2
1 例7 讨论函数 f ( x ) x sin x , x 0, x0 0, 在x 0处的连续性与可导性 .
y
1
x
－1/π
0
1/π
1 解 sin 是有界函数 , x 1 lim f ( x) lim x sin 0 f (0) f ( x )在x 0处连续. x 0 x 0 x 1 (0 x ) sin 0 1 y 0 x sin 但在x 0处有 x x x y 当x 0时, 在 1和1之间振荡而极限不存在. x
的导数.
f ( x h) f ( x ) sin( x h) sin x lim lim h 0 h 0 h h h lim 2 cos( x ) 2 h 0 h lim cos( x ) h 0 2
即
cos x
(sin x) cos x (cos x) sin x
x1
2 lim f ( x ) lim( x 1) 2, x 1 x 1
lim f ( x) lim(2 x) 2,
x1 x1
lim f ( x) lim f ( x), f ( x)在x 1处连续.
f (1 x) f (1) 2(1 x) 2 f (1) lim lim 2, x 0 x 0 x x