数学建模任意两点间最短距离

任意两点间最短距离-floyd算法matlab程序
%Floyd's Algorithm 通过一个图的权值矩阵求出它的任意两点间的最短路径矩阵。

%Floyd算法适用于APSP(All Pairs Shortest Paths)，是一种动态规划算法，
%稠密图效果最佳，边权可正可负。

%此算法简单有效，由于三重循环结构紧凑，对于稠密图，效率要高于执行|V|次Dijkstra算法。

%a为图的带权邻接矩阵
%从图的带权邻接矩阵A=[a(i,j)] n×n开始，递归地进行n次更新，
%即由矩阵D(0)=A，按一个公式，构造出矩阵D(1)；
%又用同样地公式由D(1)构造出D(2)；……；
%最后又用同样的公式由D(n-1)构造出矩阵D(n)。

%矩阵D(n)的i行j列元素便是i号顶点到j号顶点的最短路径长度，称D(n)为图的距离矩阵，
%同时还可引入一个后继节点矩阵path来记录两点间的最短路径。

%采用的是松弛技术，对在i和j之间的所有其他点进行一次松弛。

所以时间复杂度为O(n^3); matlab函数文件为：
function [D,path]=floyd1(a)
a(find(a==0))=inf;
n=size(a,1); %计算出a的规模的大小.
D=a;path=zeros(n,n);%设置D和path的初值.
for i=1:n
for j=1:n
if D(i,j)~=inf
path(i,j)=j;
end
end
end
%做n次迭代，每次迭代均更新D(i,j)和path(i,j)
for k=1:n
for i=1:n
for j=1:n
if D(i,k)+D(k,j)<D(i,j)
D(i,j)=D(i,k)+D(k,j);
path(i,j)=path(i,k);
end
end
end
end
for i=1:n
D(i,i)=0;
path(i,i)=i;
end
关于path的说明：path（i，j）表示从i到j的最短路径中紧接着i后面的一个结点举例如下：无向图
由该图的带权邻接矩阵（边权矩阵）a为：
>> a=[0 3 5 inf 8 inf
3 0 2 5 inf 7
5 2 0 4 inf 3
inf 5 4 0 6 1
8 inf inf 6 0 2
inf 7 3 1 2 0]
a =
0 3 5 Inf 8 Inf
3 0 2 5 Inf 7
5 2 0 4 Inf 3
Inf 5 4 0 6 1
8 Inf Inf 6 0 2
Inf 7 3 1 2 0
然后将上述代码写入一个floyd1.m文件，在命令窗口中输入：>> [D,path]=floyd1(a);
>> D
D =
0 3 5 8 8 8
3 0 2 5 7 5
5 2 0 4 5 3
8 5 4 0 3 1
8 7 5 3 0 2
8 5 3 1 2 0
>> path
path =
1 2 3 2 5 3
1 2 3 4 3 3
1 2 3 4 6 6
2 2
3
4 6 6
1 6 6 6 5 6
3 3 3
4
5 6
解释：比如我们看到D(1,5)=8表示v1到到v5的距离是8，再查看具体路径，path(1,5)=5，表示v1到v5最短路径中紧接着v1的下一个顶点就是v5，说明边（v1,v5)就是最短路；
再如，D(1,6)=8，path(1,6)=3，path(3,6)=6，说明v1到v6的最短距离是8，最短路为v1->v3->v6。

从D(1,6)=8=5+3=D(1,3)+D(3,6)可以得到验证。