2 数集
2数集和确界原理.
§2数集和确界原理授课章节：第一章实数集与函数——§2数集和确界原理教学目的：使学生掌握确界原理，建立起实数确界的清晰概念.教学要求：(1)掌握邻域的概念；(2)理解实数确界的定义及确界原理，并在有关命题的证明中正确地加以运用.教学重点：确界的概念及其有关性质（确界原理）.教学难点：确界的定义及其应用.教学方法：讲授为主.教学程序：先通过练习形式复习上节课的内容，以检验学习效果，此后导入新课.引 言上节课中我们对数学分析研究的关键问题作了简要讨论；此后又让大家自学了第一章§1实数的相关内容.下面，我们先来检验一下自学的效果如何！1、证明：对任何x R ∈有：(1)|1||2|1x x -+-≥；(2) |1||2||3|2x x x -+-+-≥. （111(2)12,121x x x x x -=+-≥--∴-+-≥（））（2121,231,23 2.x x x x x x -+-≥-+-≥-+-≥（）三式相加化简即可）2、证明：||||||x y x y -≤-.3、设,a b R ∈，证明：若对任何正数ε有a b ε+<，则a b ≤.4、设,,x y R x y ∈>，证明：存在有理数r 满足y r x <<.[引申]：①由题1可联想到什么样的结论呢？这样思考是做科研时的经常的思路之一.而不要做完就完了！而要多想想，能否具体问题引出一般的结论：一般的方法？②由上述几个小题可以体会出“大学数学”习题与中学的不同；理论性强，概念性强，推理有理有据，而非凭空想象；③课后未布置作业的习题要尽可能多做，以加深理解，语言应用.提请注意这种差别，尽快掌握本门课程的术语和工具.本节主要内容：1、先定义实数集R 中的两类主要的数集——区间与邻域；2、讨论有界集与无界集；3、由有界集的界引出确界定义及确界存在性定理（确界原理）.一 、区间与邻域1、区间（用来表示变量的变化范围）设,a b R ∈且a b <.⎧⎨⎩有限区间区间无限区间，其中{}{}{}{}|(,)|[,]|[,)|(,]x R a x b a b x R a x b a b x R a x b a b x R a x b a b ⎧∈<<=⎪⎪⎪∈≤≤=⎪⎨⎪⎪∈≤<=⎧⎪⎪⎨⎪∈<≤=⎪⎩⎩开区间: 闭区间: 有限区间闭开区间:半开半闭区间开闭区间:{}{}{}{}{}|[,).|(,].|(,).|(,).|.x R x a a x R x a a x R x a a x R x a a x R x R ⎧∈≥=+∞⎪∈≤=-∞⎪⎪∈>=+∞⎨⎪∈<=-∞⎪⎪∈-∞<<+∞=⎩无限区间2、邻域联想：“邻居”.字面意思：“邻近的区域”.与a 邻近的“区域”很多，到底哪一类是我们所要讲的“邻域”呢？就是“关于a 的对称区间”；如何用数学语言来表达呢？（1）a 的δ邻域：设,0a R δ∈>，满足不等式||x a δ-<的全体实数x 的集合称为点a 的δ邻域，记作(;)U a δ，或简记为()U a ，即{}(;)||(,)U a x x a a a δδδδ=-<=-+.其中a δ称为该邻域的中心，称为该邻域的半径.（2）点a 的空心δ邻域{}(;)0||(,)(,)()o o U a x x a a a a a U a δδδδ=<-<=-⋃+.（3）a 的δ右邻域和点a 的空心δ右邻域{}{}00(;)[,)();(;)(,)().U a a a U a x a x a U a a a U a x a x a δδδδδδ++++=+=≤<+=+=<<+（4）点a 的δ左邻域和点a 的空心δ左邻域{}{}00(;)(,]();(;)(,)().U a a a U a x a x a U a a a U a x a x a δδδδδδ+---=-=-<≤=-=-<<（5）∞邻域，+∞邻域，-∞邻域{}()||,U x x M ∞=>（其中M 为充分大的正数）；{}(),U x x M +∞=>{}()U x x M -∞=<-二 、有界集与无界集1、 定义1（上、下界）：设S 为R 中的一个数集.若存在数()M L ，使得一切x S ∈都有()x M x L ≤≥，则称S 为有上（下）界的数集.数()M L 称为S 的上界（下界）；若数集S 既有上界，又有下界，则称S 为有界集.闭区间[],a b 、开区间b a b a ,( ),(为有限数）、邻域等都是有界数集，集合 {}) , ( ,sin ∞+∞-∈==x x y y E 也是有界数集.若数集S 不是有界集，则称S 为无界集.) , 0 ( , ) 0 , ( , ) , (∞+∞-∞+∞-等都是无界数集,集合 ⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈==) 1 , 0 ( ,1 x x y y E 也是无界数集. 注：1）上（下）界若存在，不唯一；2）上（下）界与S 的关系如何？看下例：例1 讨论数集{}|N n n +=为正整数的有界性.解：任取0n N +∈，显然有01n ≥，所以N +有下界1；但N +无上界.因为假设N +有上界M,则M>0，按定义，对任意0n N +∈，都有0n M ≤，这是不可能的，如取[]0[]1n M M M =+（符号表示不超过的最大整数），则0n N +∈，且0n M >. 综上所述知：N +是有下界无上界的数集，因而是无界集.例2证明：（1）任何有限区间都是有界集；（2）无限区间都是无界集；（3）由有限个数组成的数集是有界集.[问题]：若数集S 有上界，上界是唯一的吗？对下界呢？(答：不唯一 ，有无穷多个).三 、确界与确界原理1、定义定义2（上确界） 设S 是R 中的一个数集，若数η满足：(1) 对一切,x S ∈有x η≤（即η是S 的上界）; (2) 对任何αη<，存在0x S ∈，使得0x α>（即η是S 的上界中最小的一个），则称数η为数集S 的上确界，记作sup .S η=从定义中可以得出：上确界就是上界中的最小者.命题1sup M E = 充要条件1）,x E x M ∀∈≤；2）00,,o x S x M εε∀>∃∈>-使得.证明：必要性，用反证法.设2）不成立，则00,,o x E x M εε∃>∀∈≤-使得均有，与M 是上界中最小的一个矛盾.充分性（用反证法），设M 不是E 的上确界，即0M ∃是上界，但0M M >.令00M M ε=->，由2），0x E ∃∈，使得00x M M ε>-=，与0M 是E 的上界矛盾.定义3（下确界）设S 是R 中的一个数集，若数ξ满足：（1）对一切,x S ∈有x ξ≥（即ξ是S 的下界）；（2）对任何βξ>，存在0x S ∈，使得0x β<（即ξ是S 的下界中最大的一个），则称数ξ为数集S 的下确界，记作inf S ξ=.从定义中可以得出：下确界就是下界中的最大者.命题2 inf S ξ=的充要条件：1）,x E x ξ∀∈≥；2）ε∀＞0，00,x S x ∈有＜.ξε+上确界与下确界统称为确界.例3（1）,) 1(1⎭⎬⎫⎩⎨⎧-+=n S n则sup S = 1 ；inf S = 0 .（2）{}.),0( ,sin π∈==x x y y E 则sup S = 1 ；inf S = 0 .注：非空有界数集的上（或下）确界是唯一的.命题3：设数集A 有上（下）确界，则这上（下）确界必是唯一的.证明：设sup A η=，sup A η'=且ηη'≠，则不妨设ηη'<A sup =η⇒A x ∈∀有η≤xsup A η'=⇒对ηη'<，0x A ∃∈使0x η<，矛盾.例：sup 0R -= ，sup 11n Z n n +∈⎛⎫= ⎪+⎝⎭ ，1inf 12n Z n n +∈⎛⎫= ⎪+⎝⎭{}5,0,3,9,11E =-则有inf 5E =-.开区间(),a b 与闭区间[],a b 有相同的上确界b 与下确界a例4设S 和A 是非空数集，且有.A S ⊃则有.inf inf ,sup sup A S A S ≤≥.例5设A 和B 是非空数集.若对A x ∈∀和,B y ∈∀都有,y x ≤则有.inf sup B A ≤证明：,B y ∈∀y 是A 的上界,.sup y A ≤⇒A sup ⇒是B 的下界,.inf sup B A ≤⇒例6A 和B 为非空数集,.B A S =试证明:{}. inf , inf min inf B A S =证明：,S x ∈∀有A x ∈或,B x ∈由A inf 和B inf 分别是A 和B 的下界,有A x inf ≥或{}. inf , inf min .infB A x B x ≥⇒≥即{} inf , inf min B A 是数集S 的下界,{}. inf , inf min inf B A S ≥⇒又S A S ,⇒⊃的下界就是A 的下界,S inf 是S 的下界,S inf ⇒是A 的下界,;inf inf A S ≤⇒同理有.inf inf B S ≤于是有{} inf , inf min inf B A S ≤.综上,有{} inf , inf min inf B A S =.1. 数集与确界的关系:确界不一定属于原集合.以例3⑵为例做解释.2. 确界与最值的关系:设 E 为数集.（1）E 的最值必属于E ,但确界未必,确界是一种临界点.（2）非空有界数集必有确界(见下面的确界原理),但未必有最值.（3）若E max 存在,必有.sup max E E =对下确界有类似的结论.4. 确界原理:Th1.1(确界原理).设S 非空的数集.若S 有上界，则S 必有上确界；若S 有下界，则S 必有下确界.这里我们给一个可以接受的说明 ,E R E ⊂非空，E x ∈∃，我们可以找到一个整数p ，使得p 不是E 上界，而1p +是E 的上界.然后我们遍查9.,,2.,1.p p p 和1+p ，我们可以找到一个0q ，900≤≤q ，使得0.q p 不是E 上界，)1.(0+q p 是E 上界，如果再找第二位小数1q ，, 如此下去，最后得到 210.q q q p ，它是一个实数，即为E 的上确界.证明：（书上对上确界的情况给出证明，下面讲对下确界的证明）不妨设S 中的元素都为非负数，则存在非负整数n ，使得1）S x ∈∀，有n x >；2）存在S x ∈1，有1+≤n x ；把区间]1,(+n n 10等分，分点为n.1，ｎ.2，．．．,ｎ.9, 存在1n ，使得 1）S ∈∀，有；1.n n x >；2）存在S x ∈2，使得10112.+≤n n x ． 再对开区间111(.,.]10n n n n +10等分，同理存在2n ，使得 1）对任何S x ∈，有21.n n n x >；2）存在2x ，使2101212.+≤n n n x 继续重复此步骤，知对任何 ,2,1=k ，存在k n 使得1）对任何S x ∈，k k n n n n x 10121.-> ； 2）存在S x k ∈，k k n n n n x 21.≤．因此得到 k n n n n 21.=η．以下证明S inf =η．（ⅰ）对任意S x ∈，η>x ； （ⅱ）对任何ηα>，存在S x ∈'使x '>α．［作业］：P9 1（1），（2）； 2； 4（2）、（4）；７。
课时2 集合的表示方法(26页)
解:(1)当集合A中含有1个元素时,由例5知,k=0或k=1;
(2)当集合A中没有元素时,方程kx2-8x+16=0无解,
≠ 0,
即
= (-8)2 -4 × × 16 < 0,
解得k>1.
综上,实数k的取值集合为{k|k=0或k≥1}.
当堂检测
1.已知集合A= {x∈N|x<6},则下列关系式不成立的是 (
延伸探究 若把【例 3】中的集合改为 A= (x,y) = 2 ,哪
位同学解答正确?
解:代表元素是点,所以这是点集,学生乙正确.
典型例题
探究三：集合表示方法的选择与转换
例4用适当的方法表示下列集合:
(1)方程组
2-3 = 14,
的解组成的集合;
3 + 2 = 8
(2)1 000以内被3除余2的正整数组成的集合;
(3)所有的正方形组成的集合;
(4)抛物线y=x2上的所有点组成的集合.
分析:依据集合中元素的个数,选择适当的方法表示集合.
典型例题
= 4,
2-3 = 14,
解:(1)解方程组
得
= -2,
3 + 2 = 8,
故该集合用列举法可表示为{(4,-2)}.
2-3 = 14,
该集合也可用描述法表示为 (,)
提示:它们是互不相同的集合.
①集合{x|y=x2+1}表示满足y=x2+1的所有x值的集合,所以{x|y=x2+1}=R;
②集合{y|y=x2+1}表示满足y=x2+1的所有y值的集合,因为y≥1,所以
{y|y=x2+1}={y|y≥1};
1-2集合的概念
什么叫元素？
集合里的每一个个体，称为集合的元素。 例如：（1）{铅笔，小刀，橡皮，尺子，水笔}中的元素就
是铅笔，小刀，橡皮，尺子，水笔。 （2）{张三，李四，王五，…}中的元素就是张三，李四，王 五，…。 （3）{1号台，2号台，3号台，…，30号台}中的元素是每一 张台。 （4）{0，1，2，3，…，100}中的元素是100以内每一个自 然数0，1，2，3， … 。 （5）{x|x<0}中的元素是每一个负数。
练习1.1.1
ห้องสมุดไป่ตู้
1.用符号∈或 填空 （1）-3___N; 0.5___N; 3____N (2)1.5____Z; -5___Z; 3____Z (3)-0.2___Q; ____Q; 7.21___Q (4)1.5____R; -1.2___R; ____R 2.指出下列集合中，哪个是空集？ （1）方程x2+1=0的解集 （2）方程x+2=2的解
第二节集合的表示方法
集合有两种表示方法：列举法和描述法 一.什么叫列举法？ 将集合的元素一一列出，用逗号分隔，写在{ } 内。 例（1）5以内的整数{1，2，3，4，5} （2）{张三，李四，王五} （3）方程x2=1的解：{-1,1}或者{1，-1} （4）100以内的自然数集：
{0，1，2，…，100}
第一节 集合的概念
1.1.1什么叫集合？ 将同一类事物放在一起，并用花括号{ }括起来， 就叫做集合。 例如（1）{铅笔，小刀，橡皮，尺子，水笔}是 学生常用文具集合。 （2）{张三，李四，王五，…}是信息班同学的 集合。 （3）{1号台，2号台，3号台，…，30号台}是 某班学生的台的集合。 （4）{0，1，2，3，…100}是100以内自然数 集合。 （5）{x|x<0}是负数集合。
第二章集合与不等式§2.1数集和集合
第二章集合与不等式数学是以数量的形式，来反映和表示客观现实世界的规律的，因此在第一章我们首先学习数的运算．现实世界中的平衡关系，在数学上表现为相等；不平衡关系，则表现为不等．客观现实世界是不断发展的，原来的平衡关系，在发展中会变为不平衡，因此可以说，平衡是相对的，而不平衡是绝对的．这就给数学提出了一个任务：除了研究相等关系外，还必须十分重视不等关系的研究．不等关系在数学上用不等式表示．本章学习的就是不等式的解法及其解集，这是数学和其它学科的基础．§2.1数集和集合预备知识∙基本数集∙一元一次不等式的解重点∙集合的基本概念∙集合的运算关系难点∙子集和真子集学习要求∙理解集合是一个一般的概念∙理解集合与元素、集合与集合之间的关系，掌握集合交、并、补运算在解不等式中，数集的概念是必不可少的，所谓解各类不等式，其实就是在求它们的解集，而解集就是一个数集．在本节中，先介绍一下集合的一般概念，然后把数集及其有关概念，作一个小结，并在此基础上，补充一些相关知识．1. 集合的基本知识(1)集合集合是一个一般的概念．一个集合，是有限或无限个具有某种属性的事物的总体；构成集合的每一个事物，称为元素．例如你所在的班级就是一个集合，班上每一位同学就是班级这个集合的元素；本校的所有班级也是一个集合，校内每个班级就是本校班级这个集合的元素．通常用一个大写的西文字母标识一个集合，例如你所在的班级的集合表示为A，本校班级的集合表示为B等等．集合内的元素通常用小写的西文字母表示，例如集合A的元素的通用标识是x，x既可以表示你，也可以表示你班的任何一位同学．一个事物若是集合内的元素，则说事物属于集合，“属于”用符号“∈”表示，例如学生王明是你班级的同学，则王明∈A；一个事物若不是集合内的元素，则说事物不属于集合，“不属于”用符号“∉”，例如学生赵伟不是你班级的同学，则赵伟∉A．(2)集合的表示说到一个集合，总是包含两方面的内容：第一，构成集合的事物，也就是元素x是什么(例如学生，班级)，第二，构成集合的事物具有怎样性质(例如你所在班级的学生，本校的班级)，也就是具有怎样属性的事物才属于集合．①集合构成的两个基本原则从描述集合元素属性来讲，可以用各种不同的方式来描述属于集合的元素的属性，但不论怎样，你的描述必须符合确定性原则，即根据属性能判定某事物是否是集合内的元素．象上面提到的集合A,B的属性表达是正确的：任何一个人x，只要是学生，且在你所在的班级，则x是A内的元素，否则就不是；任何一个团体x，只要是一个班级，且这个班级是本校的，则x是B内的元素，否则就不是．象下面这种说法，就不是构成集合的事物的属性描述：本校身高170cm左右的男学生；本校男生数与女生数大致相等的班级．从集合元素方面来讲，还有一个互异性原则，即相同的元素只能算做一个元素．例如A={本校三好生或优秀学生干部}，如果有一位学生既是三好生，又是优秀学生干部，在集合A内只能算是一个元素．②集合的表示法表示集合的最直接方法，是干脆把所有元素列出来，并且用一对“{}”引住，例如A={张三，李四，王五，.....}；B ={99届机械１班，99届机械2班，2000届计算机1班， 2000届秘书1班，....}．这种方法称为列举法．当然列举法仅适用于元素个数较少的集合．如果元素个数很多甚至无限个(集合元素个数仅有有限个，称为有限集，否则称为无限集)，通常采用描述法来表示一个集合，它的一般形式是 集合标识符={元素及其特征描述}， 或 集合标识符={元素含义｜元素特征描述}， 或 集合标识符={元素标识符｜元素特征描述}． 例如 A ={机械1班的全部学生}， A ={学生|学生∈机械1班}， A ={x |x 是机械1班学生}． 课内练习11. 用标识符A 表示元素是苹果、香蕉、梨、柑橘、西瓜的集合．2. 用标识符B 表示所有你校年龄不小于15周岁的男学生组成的集合．3. 下列特性描述能否构成集合：(1)C ={x |x 是本校健康状况良好的学生}； (2)D ={经常出差的业务员}； (3)D ={职工｜在本校工作}； (4)E ={x |x ∈本校书法兴趣小组}； (5)F ={王强}．2. 数集如果集合的元素是数，则称为数集． (1)基本数集数集的概念你不应该感到陌生，在第一章中不就总结了你在初中阶段所接触到的一些数集了吗？如N 是自然数集，Z 是整数集，Q 是有理数集，最后R 是实数集等等．这些数集称为基本数集．用特征法表示这些数集，就是： N ={0, 1, 2, 3, 4, .... }； N ={0和所有正整数}；N ={x |x =0或x 是1的正整数倍}； Z ={... , -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ... }； Z ={自然数和它的相反数}； Z ={x |x =0或正整数或负整数}； Z ={x |x ∈N 或-x ∈N }； Q ={整数或循环小数}；Q ={x |x =q p , p , q ∈Z ; q ≠0; p , q 既约 }；还有一些是与基本数集相近的常用数集，如N ＋＝{1, 2, 3, 4, ... }={x |x 是1的正整数倍}； R +={x |x ∈R, x ≠0｝． (2)一般数集首先回忆一下求解一元一次不等式问题．求解不等式3x <15，得x <5，即小于5的一切实数都能满足不等式，这是由属性“x 是实数，且小于5”所限定的实数的一部分，它是一个数集，不妨记作A ，在实数轴上表示这个数集，是图2-1(1)的形式；求解不等式2x +3≥-9，得x ≥-6，即不小于-6的一切实数 都能满足不等式，这是由属性“x 是实数， 且不小于-6”所限定的实数的一部分，它也 是一个数集，不妨记作B ，在实数轴上表示 这个数集，是图2-1(2)的形式(注意两张图上 空心圆点和实心圆点含义的区别，实心表示 集合中含有该点，空心则表示集合中不含该点)．称集合A ,B 、即由满足不等式的全部值构成的集合，为不等式的解集．不等式的解集常常是某个基本数集的一部分，对这种非基本数集的元素的属性说明，应该由两部分构成：第一部分说明元素取自哪个基本数集，第二部分说明元素在基本数集中的的属性．例如C 是不大于1000、不小于-20的整数集合，则C ={x |x ∈Z ; -20≤x ≤1000}；D 是绝对值大于20的实数集合，则D ={x | x ∈R ; |x |>20}； A 是不等式3x <15的解集，则A ={x | x ∈R , x <5}； B 是不等式2x +3≥-9的解集，则B ={ x | x ∈R , x ≥-6}．在具体问题中，若基本数集是实数集，元素的基本数集属性可以不写，例如可以把D 写成D ={x | |x |>20}，A 写成A ={x | x <5}，B 写成B ={x |R , x ≥-6}．但如果实际问题不是在实数范围内求解，那元素的基本数集属性是不能随便缺省的．例如，若干人分100元，每人不少于3元，问可以分给多少人？用x 表示人数，这是一个简单的不等式问题 3x ≤100，解得x ≤3331，你不能答解集是(-∞,3331)吧？解集应该是{x |x ∈N,0<x ≤33}，这时，x 的基本数集属性x ∈N 怎么也不能缺省了． 课内练习21. 把下列描述的数集，用特征法表示 (1)数集B 是平方等于1的全体； (2)数集A 是大于0、不大于5的奇数；(3)方程2x 2-4x +3=0在自然数集内的解集A 、在整数集内的解集B 、在有 理数集内的解集C ，在实数集内的解集D ；(4)不等式0<3x +6≤12在自然数集内的解集A 、在整数集内的解集B 、在图2-1(1)图2-1(2)有理数集内的解集C ，在实数集内的解集D ． 2. 求下列不等式的解集，并在数轴上表示出来： (1)2x +3≤7；(2)-3x -2>6；(3)x +6≥3x +8；(4)5x +3<-2x -4．3. 集合的运算 (1)交集在初中，你也学习过解一元一次不等式组，例如解不等式组x +1≥6 (1) 2x -3≤15 (2) 解(1)得到解集A ={x |x ≥5}，解(2)得解集B ={x |x ≤9}．不等式组的解，应使(1),(2)同时满足，也即x 既要属于(1)的解集A ，也要属于(2)的解集B ，因此不等式组的解是A ,B 的公共部分，不难写出公共部分是C ={x |5≤x ≤9}，我们称由A ,B 的公共部分组成的C 为A , B 的交集．所谓“交”如果在数轴上表示数集A ,B ，那么“相交” 的意义再直观不过了(见图2-2)． 一般地，设A ,B 是两个集合，A ,B 的公共部分组成的集合C 称为A ,B 的交集，记作C =A ∩B ．根据交集的构成，A ∩B ={x |x ∈A 且x ∈B } (2-1-1) 集合的交是一种运算，运算的对象是集合，“∩”是运算符，运算结果得到交集．集合的交运算可以形象地以图2-3表示． 例1 求下列集合的交集： (1)A ={2, 4, 7}，B ={-2, 1, 2, 4}； (2)A ={等腰三角形}，B ={直角三角形}, (3)A ={x |x ≤-1}，B ={x |x >-4}． 解 (1) A ∩B ={2, 4} ▌ (2)A ∩B ={等腰直角三角形} (3)A ∩B ={x |-4<x ≤-1}(见图 2-4) ▌再来看一个例子．A ={x |x ≤-1}，B ={x |x >2}，求交集A ∩B ．你能发 现，A ,B 根本没有公共元素(见图2-5)， 因此它们的交集没有元素，是空的．我们称没有元素的集合为空集；空集用一个特定的记号…∅‟表示，所以 A ∩B =∅． (2)并集对例1(1)，若把集合A 和集合B 的元素合并，得到一个新的集合D={-2, 1, 2, 4, 7}．集合D 的元素与交集C 不同，它不是由既属于A 、又属于B 的图2-3图2-2图2-4图2-5元素构成，而是属于A 或属于B 的元素构成．称这样构成的集合D 为集合A ,B 的并集，“并”的意思也就是“合并”．一般地，设A ,B 是两个集合，称由A ,B 的全部元素构成的集合D 为A ,B 的并集，记作D =A ∪B ．根据并集的构成，即A ∪B ={x |x ∈A 或x ∈B } (2-1-2) 集合的并也是一种运算，运算的对象是集合， “∪”是运算符，运算结果得到并集．集合的并 运算可以形象地以图2-6表示． 例2 求下列集合的并集： (1)A ={x |x ≥3}，B ={x |x ≤-3}；(2)A ={班内全体男生}，B ={班内全体女生}； (3)A ={x |x ≥3}，B ={x |0<x <5}．解 (1)A ∪B ={x | x ≤-3或x ≥3},(见图2-7(1)) ▌ (2)A ∪B ={全班学生} ▌ (3)A ∪B ={x |x >0},(见图2-7(2)) ▌课内练习31. 求下列不等式组的解集, 并在数轴上表示出来：(1) 2x +5>7 (2)1<2x +4≤10； (3) x +6<1 x +1≤10； -2x +3>0．2. A ={x |x 是今年天下雨的日子}，B ={x |x 是今年天阴的日子}．求A ∪B ， A ∩B ．3. C ={某商场内单价不高于2500元的洗衣机}，D ={同一商场内单价在1000 元到2000元之间的洗衣机}．求A ∪B ，A ∩B ．4. 求下列两个数集的交集和并集，并在数轴上表示出来： (1) A ={x | x ≥1}, B ={x | x >21}； (2) C ={t | -1≤t <3}, D ={ t | t ≤5}； (3) E ={y | 4≥y ≥-1.5}, F ={y | y ≤1.5}；(4) A ={x | 2<x ≤5}, B ={x | 5≤x ≤6}； (5) A ={y | 2<y ≤4}, B ={y | 4.1≤y ≤6}．4. 集合的关系(1)数集的包含关系与子集根据数的含义，我们知道有这样关系：x 是自然数⇒x 是整数⇒ x 是有理数⇒ x 是实数，但所有的箭头反过来是不对的，例如，肯定有整数(负整数)不是自然数．从数集的角度来看，表示图2-6–3 –2 –1 0 1 2 3 4图2-7(1) –1 0 1 2 3 4 5图2-7(2)x ∈N ⇒ x ∈Z ，存在x ∈Z 但x ∉N (1) 这样的关系可以说成：自然数集是整数集的真子集，也可以说成：整数集真包含了自然数集．我们用符号表示为N Z，或Z N ， 符号“ ”或“ ”所表达的意思，就是(1)；采用这两个符号中的哪一个，全看你把真子集写在符号的哪一边．同理，因为x ∈Z ⇒ x ∈Q ，存在x ∈Q 但 x ∉Z所以 Z Q ，或Q Z ； 因为 x ∈Q ⇒ x ∈R ，存在x ∈R 但 x ∉Q所以 QR ，或R Q ． 连在一起，可以写成N Z Q R 或R Q Z N ．用我们曾经使用过的圆圈形象表示，就是第一章出现过的、如图2-8(1)的包含图．如果再算上N +,R +，那么还可以有N +N , R + R 或N N +, R R +． 对一般的两个数集或集合A ,B ，如果具有(1)那样的关系，即 x ∈A ⇒x ∈B ，且存在x ∈B 但x ∉A (2-1-3) 那么，称数集A 为数集B 的真子集，记作A B 或 B A ，用圆圈形象表示的图象是图2-8(2)． 空集是一切非空数集的真子集． 例3 讨论下列集合的包含关系：(1)A ={本年天阴的日子}，B ={本年天下雨的日子}；(2)A ={x |x ∈本班且所有各门课成绩都不低于90分}，B ={x |x ∈本班且仅有数学成绩不低于90分}；(3)A 是不等式2x +5≤ 2的解集，B 是不等式x +5<3的解集．解 (1)因为雨天必定是阴天，但阴天未必下雨，所以BA ▌ (2)因为x ∈A ⇒ x 的各门课成绩都不低于90分 ⇒ x 的数学成绩都不低于90分 ⇒ x ∈B ；但存在x ∈B ⇒ x 仅数学成绩不低于90分⇒x ∉A ．所以A B ▌(3)解不等式2x +5≤2，得A ={x |x ≤-1.5}； 解不等式x +5<3，得B ={x |x <-2}．当x ∈B ⇒ x <-2 ⇒ x ≤-1.5 ⇒ x ∈A ；当x =-1.6 ⇒ x ∈A 但x ∉B ．所以A B (见图2-9) ▌现在把例3(2)的集合B 改为B ={x |x ∈本班且数学成绩不低于90分}，就有两种可能：第一种，有数学成绩不低于90分而其它课程低于90分的学生，此时仍然有A B ；第二种，所有数学成绩不低于90分的学生，其它课程图2-8(1)图2-8(2)⊂ ≠ ⊃ ≠⊂ ≠ ⊃ ≠ ⊂ ≠ ⊂ ≠⊃ ≠ ⊃ ≠⊂ ≠ ⊂ ≠ ⊂ ≠ ⊃ ≠ ⊃ ≠⊃ ≠ ⊂ ≠ ⊃ ≠⊂ ≠ ⊂ ≠ ⊃ ≠ ⊃ ≠⊂ ≠⊂ ≠⊃ ≠–3 –2 –1 0图2-9⊂ ≠成绩也都不低于90分，此时就不存在属于B 而不属于A 的学生了．对于这种吃不准的情况，我们只能有把握说，若x ∈A 则x ∈B ，但不能有把握说，存在x ∈B 但x ∉A ．这是两个集合之间的另一种关系，称为包含． 两个集合(包括数集)A ,B ，若x ∈A ⇒ x ∈B (2-1-4) 则称A 为B 的子集，称B 包含A 或A 被B 包含，记作A ⊆B 或B ⊇A ． (2)集合的相等关系若构成两个集合A ,B 的元素完全相同，则称集合A ,B 相等，记作A =B ． 从包含关系来看，若A =B ，则A 包含B ，B 也包含A ，因此也可以说，若A ⊆B 且B ⊆A ，则称A ,B 相等． 课内练习41. 用 “⊇”,“⊆”,“ ”,“ ”,“=”连接下列数集对： (1)A ={1, 2, 3, 4}，B ={0, 1, 2, 3, 4, 5}；(2)A ={a , b , c | a , b , c ∈R }, B ={c , b , a | a , b , c ∈R }； (3)A ={x |1<x ≤2}, B ={x |1<x <2}；(4)C ={x |x 为无限循环小数}, D ={x |x =p ,q ∈N +, p ∈Z }；(5)A ={x |x ∈本校田径队}，B ={x |x ∈本校长跑队}；(6)C ={x |x ∈十一月份公休日}，D ={x |x ∈十一月份的星期六或星期天}； (7)A 1是不等式-5≤3x -2≤5在自然数集中的解集，B 1是不等式-6≤3x -2≤6中 的解集．(3)数集的互补关系在实数范围内，给出两个集合A ={x |x 是有理数}，B ={x |x 是无理数}，则容易验证A ⋃B =R , A ⋂B =∅．因为我们考虑的范围是实数，也就是说R 是全部，这样的两个A ,B 就有一个特殊性质：它们没有公共元素，而并正好就是全部，因此称A ,B 是互补的． 在一般情况下，若我们考虑的集合范 围是U ，则把U 也看作一个集合，称其为 全集；若集合A ,B 具有性质：A ⋃B =U , A ⋂B =∅，则称A 是B 关于U 的补集，B 是 A 关于U 的补集，即A ,B 关于U 是互补的，记作A =C U B , B =C U A ，用图象表示，可以表 示为图2-10那样．例如上面提到的有理数集A 和无理数集B ，就是关于实数集R 是互补的，即A =C R B , B =C R A ．怎样的集合才有资格称作全集，并无明确的规定，要看实际问题的含义．例如我们考虑的范围是本校，则本校全体学生就是全集，即全集是T ={x |x ∈本校}；若E ={x |x 是本校女生}，F ={x |x 是本校男生}，则E =C T F , F =C T E ．图2-10⊂ ≠ ⊃ ≠课内练习51. 填空：(1)A={x|x>0,x∈R}, C R A= ；(2)D={x|x≠0,x∈R}，C R D= ；(3)C N N+= ；(4)B={x|x∈Z,-100<x<100}，C Z B= ；(5)U={x|x=kπ,k∈Z}，A={x|x=2kπ,k∈Z}，C U A= ；(6)U={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}，A={1,4,7}，C U A= ；2. A={晚餐菜肴}，B={晚餐主食}，求一个集合U，使A,B关于U是互补的．课外习题A类1. 用标识符A表示元素是铅笔、纸张、钢笔、直尺、橡皮、圆珠笔的集合．2. 用标识符B表示所有你校年龄大于16周岁的女学生组成的集合．3. 下列特性描述能否构成集合：(1)C={x|x是本班视力良好的学生}；(2)D={校内喜欢体育的学生}；(3)D={职工｜在本校工作}；(4)E={x|x∈本校美术兴趣小组或x∈本校篮球队}；(5)F={班内不叫王强的学生}．4. 把下列描述的数集，用特征描述法表示：(1)数集B是平方不等于81的全部自然数；(2)数集A是小于0或大于10的奇数；(3)方程x2-5x+6=0在自然数集内的解集A、在整数集内的解集B、在有理数集内的解集C，在实数集内的解集D；(4)不等式2x+7≤1在自然数集内的解集A、在整数集内的解集B、在有理数集内的解集C，在实数集内的解集D，并把D表示在数轴上．6. 求下列不等式组的解集, 并在数轴上表示非空解集：(1)3x+5>-1 (2)6<2x+4≤12；(3) x-6≥1x+1≤0；-2x+3<0．6. A={x|x是今年的法定假日}，B={x|x是今年星期天}．求A∪B，A∩B．7. C={一班身高不低于1.60m的女同学}，D={一班身高在1.55m到1.70m之间的女同学}．求C∪D，C∩D．8. A={x|x是出厂期不超过20天且单价在0.50元~0.70元的牛奶}，B={x|x 是出厂期在10天以内且单价在0.60元~0.80元的牛奶}．求A∪B，A∩B．⊃≠⊂≠9. 用“⊇”,“⊆”,“”,“”,“=”连接下列数集对：(1)A={-1, 0, 1, 2, 3, 4}，B={0, 1, 2, 3, 4}；(2)A ={10, 20, 30}, B ={30, 10, 20}；(3)A ={x |x >2或x <-2}, B ={ x |x ≥2或x <-2}；(4)C ={x |x 是1的正整数倍}，D =N +；(5)A 1是不等式2x -1≤ 5的解集，B 1是不等式3x -2<5的解集；10. 填空：(1)A ={x |x ≤0, x ∈R }, C R A = ；(2)D ={x |x =0}，C R D = ；(3)V ={x |x ∈Z ,x >0}，C Z V = ；(4)B ={x |x ∈Z ,-100<x <100}，C Z B = ；(5)U ={0, 1, 4, 5, 6, 7, 9},A ={0, 1, 4, 5, 7},C U A = ；11. 把下面集合对用“⊇”,“⊆”,“ ”,“ ”,“=”连接： (1)A ={x |x ∈本校运动队}，B ={x |x ∈本校体操队}；(2)C ={x |x ∈本班三好生}，D ={x |x ∈本班所有课程都及格的学生}；12. A ={含酒精的饮料}，B ={不含酒精的饮料}，求一个集合U ，使A ,B 关 于U 是互补的．B 类1. 把下列描述的数集，用特征描述法表示(1) B 是以341的整数倍为元素构成的数集； (2)数集A 是奇数，但不是3的整数倍； (3)方程2x 2-5x -875=0在自然数集内的解集A 、在整数集内的解集B 、在 有理数集内的解集C ，在实数集内的解集D ；(4)不等式-5≤x ≤5在自然数集内的解集A 、在整数集内的解集B 、在有理 数集内的解集C ，在实数集内的解集D ．2. 用 “⊇”,“⊆”,“ ”,“ ”,“=”连接下列数集对： (1)A 是不等式2x +1>3的解集，B 是不等式x +1≥ 2的解集；(2) x +1≥9 x +1≤9(3)C 是不等式1≤1+2x ≤5在自然数集内的解集，D 是不等式1≤1+2x ≤6在 自然数集内的解集．3. 写出数集A ={0,1,2,3}的所有的真子集．4. 设A ={x |x =2k -1,k ∈Z }，B ={x |x =5k ,k ∈Z }，求B ∩C N A .5. 设A ={x |x ≤3}，求A ∩R , A ∩∅, C R A , A ∩C R A , A ∪C R A ．6. 把下面集合对用“⊇”,“⊆”,“ ”,“ ”,“=”连接： (1)A ={x |x ∈乐器}，B ={x |x ∈钢琴}；(2)C ={x |x ∈笔盒内的笔}，D ={x |x ∈笔盒内的铅笔或钢笔或圆珠笔}； A 是不等式x +1>9的解集，B 是不等式 的解集； ⊂ ≠⊃ ≠ ⊃ ≠ ⊂ ≠⊂ ≠⊃ ≠7. A =C U D ，B =C U E ．若D E ，那么A 与B 有怎样的包含关系？C 组1. 如图，矩形表示的U 是全集，圆圈表示的 A ,B 是U 的两个子集，试用阴影表示出集合(1)C U A ∩C U B ，(2)C U A ∪C U B ．2. 若C U A ⊆ A ，求A ．3. 设A ,B 是非空集，证明C U A ∪C U B =C U (A ∩B )C U A ∩C UB =C U (A ∪B )．4. 设A ={本班级数学成绩和语文成绩都不低于90分的男同学}，求A 的关于{本班级全体学生}的补集. 5. 设A ={本班级数学成绩或语文成绩都不低于90分的男同学}，求A 的关 于{本班级全体学生}的补集.6. 设U ={本班级全体学生}，B =C U A ={本班级身高超过1.80m 且各门课程 成绩都不低于75分的男学生}，求A .第1题图 ⊂ ≠。
数集区间表示法
数集区间表示法【实用版】目录1.数集区间表示法的概念2.数集区间表示法的分类3.数集区间表示法的应用4.数集区间表示法的优点与局限性正文一、数集区间表示法的概念数集区间表示法是一种用来描述数学集合（简称数集）的方法，它通过区间的形式来表示数集中的元素。
数集区间表示法可以帮助我们更加直观地理解和描述数集的性质，从而在数学分析、计算机科学等领域中发挥重要作用。
二、数集区间表示法的分类数集区间表示法主要分为以下几种：1.开区间表示法：用开区间 (a, b) 表示数集，其中 a 和 b 分别表示数集的最小和最大元素。
例如，开区间 (1, 3) 表示的数集包含了 1、2、3 等元素。
2.闭区间表示法：用闭区间 [a, b] 表示数集，其中 a 和 b 分别表示数集的最小和最大元素。
例如，闭区间 [1, 3] 表示的数集包含了 1、2、3 等元素。
3.半开区间表示法：用半开区间 (a, b] 表示数集，其中 a 表示数集的最小元素，b 表示数集的最大元素。
例如，半开区间 (1, 3] 表示的数集包含了 1、2、3 等元素。
4.半闭区间表示法：用半闭区间 [a, b) 表示数集，其中 a 表示数集的最小元素，b 表示数集的最大元素。
例如，半闭区间 [1, 3) 表示的数集包含了 1、2、3 等元素。
三、数集区间表示法的应用数集区间表示法在数学分析、计算机科学等领域中有广泛应用，例如：1.在数轴上表示有理数集、实数集等；2.在函数论中，表示函数的定义域、值域等；3.在集合论中，表示集合的元素关系等。
四、数集区间表示法的优点与局限性数集区间表示法的优点在于它能够直观地表示数集中的元素，便于理解和分析。
然而，它也存在一定的局限性，例如在表示无限集合时，区间表示法可能不够精确。
在这种情况下，需要采用其他表示方法，如数轴表示法等。
集合中N Z Q R A
集合中N Z Q R A1、n代表：全体非负整数的集合，通常简称非负整数集（或自然数集）；2、z代表：全体整数的集合通常称作整数集；3、q代表：全体有理数的集合通常简称有理数集；4、r 代表：全体实数的集合通常简称实数集；5、c代表：复数集合计。
1、全体非负整数的集合通常称非负整数集（或自然数集）。
非负整数集包含0、1、2、3等自然数。
数学上用黑体大写字母"n"表示非负整数集。
非负整数包括正整数和零。
非负整数集是一个可列集。
2、整数集（the integer set）所指的就是由全体整数共同组成的子集。
它包含全体正整数、全体正数整数和零。
数学中整数集通常用z去则表示。
3、有理数集，即由所有有理数所构成的集合，用黑体字母q表示。
有理数集是实数集的子集。
有理数集是一个无穷集，不存在最大值或最小值。
4、实数集，涵盖所有有理数和无理数的子集，通常用大写字母r则表示。
18世纪，微积分学在实数的基础上发展出来。
但当时的实数陈建力没准确的定义。
直至年，德国数学家康托尔第一次明确提出了实数的严苛定义。
任何一个非空有上界的子集（涵盖于r）必存有上上确界。
5、复数：形如 z=a+bi（a、b均为实数）的数称为复数。
其中，a 称为实部，b 称为虚部，i 称为虚数单位。
当 z 的虚部 b＝0 时，则 z 为实数；当 z 的虚部b≠0 时，实部 a＝0 时，常称 z 为纯虚数。
复数域是实数域的代数闭包，即任何复系数多项式在复数域中总有根。
复数是由意大利米兰学者卡当在16世纪首次引入，经过达朗贝尔、棣莫弗、欧拉、高斯等人的工作，此概念逐渐为数学家所接受。
第一章2数集 确界原理
1 2
正无穷大 负无穷大
王利梅 数学分析
设 a ∈ R, δ > 0, 满足绝对值不等式 |x − a| < δ 的全体 x 的集合 称为点 a 的 δ 领域, 记为 U (a, δ ), 或简记为 U (a), 即有 U (a, δ ) = {x | |x − a| < δ } = (a − δ, a + δ ). 点 a 的空心 δ 领域定义为 U 0 (a, δ ) = {x | 0 < |x − a| < δ } = (a − δ, a + δ ) \ {a} = U 0 (a). 点 a 的 δ 右领域为 U+ (a, δ ) = [a, a + δ ) = U+ (a). 点 a 的 δ 左领域定义为 U− (a, δ ) = (a − δ, a] = U− (a). 点 a = {x | x 为区间(0, 1)内的有理数}，试按上, 下确界的定义验 证 sup S = 1, inf S = 0. . 证明. 先证明 sup S = 1. (i) 对 ∀ x ∈ S , 显然有 x ≤ 1. 即 1 是 S 的上界. (ii) 对 ∀ α < 1, 若 α ≤ 0, 则任取 x0 ∈ S , 有 x0 > α; 若 α > 0, 则 由有理数在实数中的稠密性知, 在 (α, 1) 内必有有理数 x0 , 即 ∃ x0 ∈ S 使得 x0 > α. 即 η 是 S 的最小上界. 类似地可验证 inf S = 0. 例：闭区间 [0, 1] 的上, 下确界分别为 1 和 0. 开区间 (0, 1) 的上, 下确界分别为 1 和 0. 正整数集有下确界 1, 而没有上确界.
王利梅
数学分析
王利梅
2.集合的概念及元素与集合间关系(学生版)
集合的概念及元素、集合与集合间关系（讲案）【教学目标】一、集合的概念、表示【知识点】1.定义：一般地，把确定的，不同的对象看成一个整体，这个整体叫做集合，这些对象称为元素。
集合通常用大写英文字母来表示，例如集合A，集合B、集合C，元素常用小写英文字母来表示，例如a b c。
,,2.常用数集：①非负整数集（自然数集），记作N②正整数集，记作*N或N+③整数集，记作Z④有理数集，记作Q⑤全体实数集，记作R3.集合的分类：①有限集：含有有限个元素的集合②无限集：含有无限个元素的集合③空集：不含任何元素的集合，记作∅4.集合的表示方法：① 列举法：将集合中的元素一一列举出来，写在“{}”内表示集合的方法。
使用列举法时元素间用分隔号“,”隔开，不重复，无顺序，对于含较多元素的集合，如果元素间有明显规律，可用列举法，但是必须把元素间的规律表达清楚后才能用省略号。
② 描述法：把集合中的元素的公共属性描述出来，写成“(){}|x p x ”，x 为该集合的代表元素，()p x 是元素具有的性质③ venn 图示法：为了形象的描述集合，我们常常画一条封闭的曲线，用他的内部来表示集合。
【例题讲解】★☆☆例题1．下列语句是否能确定一个集合 ．（1）所有质数全体；（2）某校高一性格开朗的学生全体；（3）与1接近的实数的全体；（4）平面直角坐标系内以原点为圆心，以1为半径的圆内所有的点（不包括圆上的点）；★☆☆练习1．A.接近于0的数的全体； B.比较小的正整数全体；C.平面上到点O 的距离等于1的点的全体；D.正三角形的全体；.其中能构成集合的是（ ）★☆☆例题2：用列举法表示下列集合：（1）小于10的所有自然数组成的集合；（2）方程2x x =的所有实数根组成的集合；（3）由1~20以内所有的质数组成的集合★☆☆练习1．用列举法表示下列集合：（1）我国古代四大发明组成的集合；（2）大于2且小于15的所有素数组成的集合；（3）方程22x =的所有实数根组成的集合.★☆☆练习2.用列举法表示下列给定的集合：（1）大于1- 且小于5的整数组成的集合A ；（2）方程290x -＝ 的实数根组成的集合B ；（3）小于8 的质数组成的集合.C★☆☆例题3.用合适的方法表示下列集合，并说明是有限集还是无限集.（1）到A 、B 两点距离相等的点的集合（2）满足不等式21x >的x 的集合（3）全体偶数（4）被5除余1的数（5）20以内的质数（6）{(,)|6,,}x y x y x N y N **+=∈∈ （7）方程()0,x x a a R -=∈的解集★☆☆练习1.用描述法表示下列集合.（1）方程22x =的所有实数根组成的集合；（2）由大于10小于20的所有整数组成的集合。
1..1..1-2集合的含义及其表示
1. 1.1 集合的含义及其表示方法<2）教案【教学目标】1、集合和元素的表示法；2、掌握一些常用的数集及其记法3、掌握集合两种表示法：列举法、描述法。
【教学重难点】集合的两种表示法：列举法和描述法。
【教学过程】一、导入新课复习提问：集合元素的特征有哪些？怎样理解，试举例说明，集合与元素关系是什么？如何用数不符号表示？那么给定一个具体的集合，我们如何表示它呢？这就是今天我们学习的内容—集合的表示 (板书课题>我们可以用自然语言来描述一个集合，但这将给我们带来很多不便，除此之外还常用列举法和描述法来表示集合二、新课讲授<1）、列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合的方法。
例:“中国的直辖市”构成的集合，写成{北京,天津,上海,重庆}由“maths中的字母” 构成的集合，写成{m,a,t,h,s}由“book中的字母” 构成的集合，写成{b,o,k}注：<1）有些集合亦可如下表示：从51到100的所有整数组成的集合：{51，52，53，…，100}所有正奇数组成的集合：{1，3，5，7，…}<2） a与{a}不同：a表示一个元素，{a}表示一个集合，该集合只有一个元素。
<3）集合中的元素具有无序性，所以用列举法表示集合时不必考虑元素的顺序。
学生自主完成P4 例题1<2）、描述法：用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合，并把这个条件写在大括号内表示集合的方法。
格式：{x∈A| P<x）}含义：在集合A中满足条件P<x）的x的集合。
例:不等式的解集可以表示为：或“中国的直辖市”构成的集合，写成{为中国的直辖市}；“方程x2+5x-6=0的实数解” {x∈R| x2+5x-6=0}={-6，1}学生自主完成P5例题2三、例题讲解例题1.用列举法表示下列集合:(1>小于5的正奇数组成的集合;(2>能被3整除且大于4小于15的自然数组成的集合;(3>方程x2-9=0的解组成的集合;(4>{15以内的质数};(5>{x|∈Z,x∈Z}.分析:教师指导学生思考列举法的书写格式,并讨论各个集合中的元素,明确各个集合中的元素,写在大括号内即可9JKPT7zyjQ 提示学生注意:(2>中满足条件的数按从小到大排列时,从第二个数起,每个数比前一个数大3;(4>中除去1和本身外没有其他的约数的正整数是质数;(5>中3-x是6的约数,6的约数有±1, ±2, ±3, ±6.解: (1>满足题设条件小于5的正奇数有1,3,故用列举法表示为{1,3};(2>能被3整除且大于4小于15的自然数有6,9,12,故用列举法表示为{6,9,12};(3>方程x2-9=0的解为-3,3,故用列举法表示为{-3,3};(4>15以内的质数有2,3,5,7,11,13,故该集合用列举法表示为{2,3,5,7,11,13}9JKPT7zyjQ(5>满足的x有3-x=±1, ±2, ±3, ±6.解之,得x=2,4,1,5,0,6,-3,9,故用列举法表示为{2,4,1,5,0,6,-3,9}9JKPT7zyjQ变式训练1用列举法表示下列集合:(1>x2-4的一次因式组成的集合;(2>{y|y=-x2-2x+3,x∈R,y∈N};(3>方程x2+6x+9=0的解集;(4>{20以内的质数};(5>{(x,y>|x2+y2=1,x∈Z,y∈Z};(6>{大于0小于3的整数};(7>{x∈R|x2+5x-14=0};(8>{(x,y>|x∈N且1≤x<4,y-2x=0};(9>{(x,y>|x+y=6,x∈N,y∈N}.分析：让学生思考用描述法的形式如何表示平面直角坐标系中的点？如何表示数轴上的点？如何表示不等式的解？学生板书,教师在其他学生中间巡视,及时帮助思维遇到障碍的同学.必要时,教师可提示学生:9JKPT7zyjQ(1>集合中的元素是点,它是坐标平面内的点,集合元素代表符号用有序实数对(x,y>来表示,其特征是满足y=x2;9JKPT7zyjQ(2>集合中元素是点,而数轴上的点可以用其坐标表示,其坐标是一个实数,集合元素代表符号用x来表示,其特征是对应的实数绝对值大于6;9JKPT7zyjQ(3>集合中的元素是实数,集合元素代表符号用x来表示,把不等式化为x<a的形式,则这些实数的特征是满足x<a.9JKPT7zyjQ 解：(1>二次函数y=x2上的点(x,y>的坐标满足y=x2,则二次函数y=x2图象上的点组成的集合表示为{(x,y>|y=x2};(2>数轴上离原点的距离大于6的点组成的集合等于绝对值大于6的实数组成的集合,则数轴上离原点的距离大于6的点组成的集合表示为{x∈R||x|>6};(3>不等式x-7<3的解是x<10,则不等式x-7<3的解集表示为{x|x<10}.点评：本题主要考查集合的描述法表示.描述法适用于元素个数是有限个并且较多或无限个的集合.用描述法表示集合时,集合元素的代表符号不能随便设,点集的元素代表符号是(x,y>,数集的元素代表符号常用x.集合中元素的公共特征属性可以用文字直接表述,最好用数学符号表示,必须抓住其实质.9JKPT7zyjQ变式训练2用描述法表示下列集合:(1>方程2x+y=5的解集;(2>小于10的所有非负整数的集合;(3>方程ax+by=0(ab≠0>的解;(4>数轴上离开原点的距离大于3的点的集合;(5>平面直角坐标系中第Ⅱ、Ⅳ象限点的集合;(6>方程组的解的集合;(7>{1,3,5,7,…};(8>x轴上所有点的集合;(9>非负偶数;(10>能被3整除的整数.答案：(1>、{(x,y>|2x+y=5};(2>、{x|0≤x<10,x∈Z};(3>、{(x,y>|ax+by=0(ab≠0>};(4>、{x||x|>3};(5>、{(x,y>|xy<0};(6>、{(x,y>|};(7>、{x|x=2k-1,k∈N*};(8>、{(x,y>|x∈R,y=0};(9>、{x|x=2k,k∈N};(10>、{x|x=3k,k∈Z}.四、课堂小结1．描述法表示集合应注意集合的代表元素{(x,y>|y= x2+3x+2}与 {y|y= x2+3x+2}不同，只要不引起误解，集合的代表元素也可省略，例如：{整数}，即代表整数集Z。
自然数集符号
自然数集符号自然数集的符号是自然数集用什么符号表示自然数集的符号是N。
非负整数全体构成的集合，叫做自然数集。
数学上用字母"N"表示自然数集，注意0属于N。
自然数集的符号是自然数是指用以计量事物的件数或表示事物次序的数。
即用数码0，1，2，3，4……所表示的数。
自然数由0开始，一个接一个，组成一个无穷的集体。
自然数有有序性，无限性。
分为偶数和奇数，合数和质数等。
而集就是集合，是数学中一个基本概念。
自然数集顾名思义就是非负整数全体构成的集合常用的数集，用N表示。
除了自然数集外，全体正整数组成的集合称为正整数集，记作N*，Z+或N+;3、全体整数组成的集合称为整数集，记作Z;4、全体有理数组成的集合称为有理数集，记作Q;5、全体实数组成的集合称为实数集，记作R。
自然数集合符号是什么？数学集合符号如下：1、N：非负整数集合或自然数集合{0,1,2,3,…}。
2、N*或N+：正整数集合{1,2,3,…}。
3、Z：整数集合{…,-1,0,1,…}。
4、Q：有理数集合。
5、Q+：正有理数集合。
6、Q-：负有理数集合。
7、R：实数集合(包括有理数和无理数）。
整数整数，是序列{...，-3，-2，-1，0，1，2，3，...}中所有的数的统称，包括负整数、零（0）与正整数。
和自然数一样，整数也是一个可数的无限集合。
这个集合在数学上通常表示为粗体Z或，源于德语单词Zahlen（意为“数”）的首字母。
在代数数论中，这些属于有理数的一般整数会被称为有理整数，用以和高斯整数等的概念加以区分。
自然数集、整数集、有理数集、实数集有哪些表示符号？常用的数集符号：自然数集，正整数集，整数集，有理数集，实数集的表示符号分别为：1、自然数集即是非负整数集。
组成的集合称为自然数集，记作N；2、全体正整数组成的集合称为正整数集，记作N*，Z+或N+；3、全体整数组成的集合称为整数集，记作Z；4、全体有理数组成的集合称为有理数集，记作Q；5、全体实数组成的集合称为实数集，记作R。
常见数集符号、含义及记忆法
这个词来源于古希腊，其英文词 根为ratio，就是比率的意思。用
整数的扩张，整数+分数
商的英文 Quotient表示。
常见的无理数有非完全平方数 π=3.141
的平方根、π和e
e=2.718
6 实数
R
有理数+无理数
Real number
实数和数轴上的点一一对应。
7 质数
8 奇数 9 偶数 10 复数
序号 名称 1 自然数 2 正整数数和顺序的数； 2、0 + 正整数
N*或N＋ 除去“0”的自然数
正整数 + 零 + 负整数 Z
自然数 + 负整数
4 有理数
1、一个整数a和一个正整数b的比；
Q
2、小数部分有限或为无限循环的数
（十进制循环小数）
5 无理数
1、无限不循环小数。不能写作两整数之比； 2、不是有理数的实数。
一个大于1的自然数，除了1和它自身外，
P
不能整除其他自然数叫作质数，又称素数
否则称为合数。
O
又称单数， 整数中，不能被2整除的数是奇数，
E
又称双数，整数中，能被2整除的数是偶数，
C
形如z=a+bi（a，b均为实数）的数称为复数， 其中a称为实部，b称为虚部，i称为虚数单位
Prime number
Odd number Even number Complex number
来历
记忆法
Natural number
苹果挺甜，来个空篮子，1、2、3 ……。
仍掉零蛋的自然数
德国女数学家诺特对环理论的贡献，1921年写出的《整环的理想理论 》是交换代数发展的里程碑。德语中的整数叫做Zahlen，于是当时她 将整数环记作Z，从那时候起整数集就用 Z 表示了。
1-2数集
n n n n 0
2. 整数概念及其绝对值 正整数、负整数和零，统称整数．整数集记为Z
（二）、整数运算与整数环 整数集构成一个交换环． ∵ 整数加法满足结合律和交换律，且中每一元 素都有负元；整数乘法满足结合律，且乘法对 加法满足分配律． ∴ 对加法和乘法构成一个环． 又∵ 整数乘法还满足交换律，∴整数环是一个 交换环．
r OZ Z a
2
b
2
模：辐角主值：0 ≤ arg z＜
2
3.共轭复数和 模的性质 z 的性质：
（1） z z 2 2 2 2 （2）z z z z R e z I m z z z （3） z 2 R e ( z ) ； z 2 i I m ( z ) z （4） z z z ；z z z z （5） z z z ； z z z z
证: 设M是由满足命题的自然数组成的集合，M N． (1)因为 P 1成立，所以1∈M．又由 (2) k M k 1 M ，根据归理， N ． M 即 P n 对任意自然数都是成立． 2. 自然数的加法与乘法的归纳定义 定义7 自然数加法运算的归纳定义： ⑴ 设 a N，则 a 1 a ⑵ 设 a, b N，则 a b a b ． 其中 加项，而 a b 叫做它们的和 .
定义6中的一组公理，叫做皮亚诺公理． 归纳公理是数学归纳法的理论根据．由它可以 直接推出第一数学归纳法的原理． 定理5 设 P n 是一个与自然数有关的命题，如 果： ⑴ P 1 成立； ⑵ 假设 P k 成立，则 P k 1 成立； 那么对任何自然数，P n 都成立．
3. 自然数的加法和乘法运算 定义4 设A和B是有限集，A B ， A a， B b，如果 A B C ，则称 C c 为 a与b的和，记作a+b=c．其中a，b 叫做加数，求和的运算叫做加法
数学分析课本(华师大三版)-习题及答案01
第一章 实数集与函数习题§1实数1、 设a 为有理数，x 为无理数。
证明：（1）a+ x 是无理数；（2）当a ≠0时，ax 是无理数。
2、 试在数轴上表示出下列不等式的解：（1）x （2x -1）>0；（2）|x-1|<|x-3|；（3）1-x -12-x ≥23-x 。
3、 设a 、b ∈R 。
证明：若对任何正数ε有|a-b|<ε，则a = b 。
4、 设x ≠0，证明|x+x1|≥2，并说明其中等号何时成立。
5、 证明：对任何x ∈R 有（1）|x-1|+|x-2|≥1；（2）|x-1|+|x-2|+|x-3|≥2。
6、 设a 、b 、c ∈+R （+R 表示全体正实数的集合）。
证明 |22b a +-22c a +|≤|b-c|。
你能说明此不等式的几何意义吗7、 设x>0，b>0，a ≠b 。
证明x b x a ++介于1与ba 之间。
8、 设p 为正整数。
证明：若p 不是完全平方数，则p 是无理数。
9、 设a 、b 为给定实数。
试用不等式符号（不用绝对值符号）表示下列不等式的解：（1）|x-a|<|x-b|；（2）|x-a|< x-b ；（3）|2x -a|<b 。
§2数集、确界原理1、 用区间表示下列不等式的解：（1）|1-x|-x ≥0；（2）| x+x1|≤6； （3）（x-a ）（x-b ）（x-c ）>0（a ，b ，c 为常数，且a<b<c ）；（4）sinx ≥22。
2、 设S 为非空数集。
试对下列概念给出定义：（1）S 无上界；（2）S 无界。
3、 试证明由（3）式所确定的数集S 有上界而无下界。
4、 求下列数集的上、下确界，并依定义加以验证：（1）S={x|2x <2}；（2）S={x|x=n ！，n ∈+N }；（3）S={x|x 为（0，1）内的无理数}；（4）S={x|x=1-n 21，n ∈+N }。
§2--数集-·-确界原理--数学分析(华师大-四版)课件-高教社ppt-华东师大教材配套课件
一、有界集二、确界三、确界的存在性定理四、非正常确界*点击以上标题可直接前往对应内容记号与术语(;){|||}:U a x x a a δδδ=-<点的邻域；(;){|0||}:U a x x a a δδδ=<-<点的空心邻域； (;){|0}:U a x x a a δδδ+=≤-<点的右邻域； (;){|0}:U a x a x a δδδ-=≤-<点的左邻域； (;){|||}:U M x x M M ∞=>∞的邻域；(;){|}:U M x x M M +∞=>+∞的邻域； (;){|}:U M x x M M -∞=<-∞的邻域；. ； max :S S 数集的最大值min:S S 数集的最小值后退 前进 目录 退出定义1 有界集R,.S S 设⊂≠∅(1)R,,,M x S x M M 若使得则称为∃∈∀∈≤,.S S 的一个上界称为有上界的数集(2)R,,,L x S x L L 若使得则称为∃∈∀∈≥,.S S 的一个下界称为有下界的数集.S 则称为有界集(3),S 若既有上界又有下界:0,,||.M x S x M ∃>∀∈≤其充要条件为使有(1),,S S '若不是有上界的数集则称无上界00R,,.M x S x M ∀∈∃∈>使得(2),,S S '若不是有下界的数集则称无下界00R,,.L x S x L ∀∈∃∈<使得(3),,S S '若不是有界的数集则称无界集000,,||.M x S x M ∀>∃∈>使得即 即 即[]102[]1,M x M M +=>+>取证 取 L = 1, {2|N },.nS n +=∈证明数集无上界有下界例1 例2 2+31N .2n S n n ⎧⎫-=∈⎨⎬⎩⎭证明数集有界证 2+31N ,2n n n -∀∈.S 因此有界,,2L x S x n ≥∈=∀则故 S 有下界. 因此 S 无上界.,1,<∈∀M R M 若;210M x >=取，若1≥M 233122n n n ≤+111,22≤+=定义2确界:R . R,满足若设∈≠⊂η∅S S .sup ,S S =ηη记为的上确界是则称;,)i (η≤∈∀x S x ,,(ii)0S x ∈∃<∀ηα0,x α>使得若数集 S 有上界, 则必有无穷多个上界, 而其中 最小的一个具有重要的作用. 确界. 确界.最小的上界称为上 同样，若S 有下界，则最大的下界称为下定义3R,.R :S S ξ设若满足⊂≠∅∈(i),;x S x ξ∀∈≥00(ii),,;x S x βξβ∀>∃∈<.inf ,S S =ξξ记为的下确界是则称00,.x S x εξε∀>∃∈<+0,(ii)下确界定义中的亦可换成注2 注1 由定义,下确界是最大的下界.注4 (ii)显然,条件亦可换成:00,.x S x εηε∀>∃∈>-0,注3 条件(i) 说明 是 的一个上界, S η比 小的数都不是 的上界,从而是最小的上界 S ηη界, 条件(ii )说明即上确界是最小的上界.证 先证 sup S =1.;111,i)(≤-=∈∀n x S x .,211000αα>∈-=≤x S x ，则取若(ii) 1.α<设例3 11,1,2,,S x x n n ⎧⎫==-=⎨⎬⎩⎭设证明.0inf 1sup ==S S ，.1sup =S 因此，00,10,,,n αεα若令由阿基米德性>=->∃01.n ε使得<00011,1.x S x n εα取则=-∈>-=.0inf =S 因此.0inf =S 再证00(ii)0,0,.x S x αα∀>∃=∈<;011,)i (≥-=∈∀nx S x 以下确界原理作为公理,不予证明.虽然我们定义了上确界, 但并没有证明上确界的 存在性, 不一定有最小值, 例如 (0, ∞) 无最小值.这是由于上界集是无限集, 而无限数集确界存在性定理定理1.1（确界原理）设若有上界则必有上确界⊂≠∅S S S SR,.,;若有下界则必有下确界,.S S.,,y x B y A x ≤∈∀∈∀有:.,满足为非空数集设B A 例4 .inf sup B A ≤且证明：数集 A 有上确界，数集 B 有下确界，由定义, 上确界 sup A 是最小的上界, 因此, 任意 证 由假设, B 中任一数 y 都是 A 的上界, A 中的任界, B 有下确界.y ∈B ; sup A ≤ y . 而 inf B 是最大的下界, 因此 sup A ≤inf B.一数 x 都是 B 的下界.因此由确界原理, A 有上确 这样, sup A 又是 B 的一个下界,例5 ,R 中非空有上界的数集是设S (i)R,{|},a S a x a x S ∈+=+∈若定义则sup {}sup ;S a S a +=+=∈(ii)>0,{|},b bS bx x S 若定义则sup {}sup .bS b S =⋅证 ,)i (a S a x +∈+∀,S x ∈其中必有 ,sup S x ≤于是 .sup a S a x +≤+,,00S x ∈∃>∀ε对于使 ,sup 0ε->S x 从而,0a S a x +∈+且 ,)(sup 0ε-+>+a S a x 因此.sup )sup(a S a S +=+,)ii (bS bx ∈∀其中 ,S x ∈必有 ,sup S x ≤于是.sup S b bx ≤0,0,b εεε'∀>=>令则存在 ,0S x ∈使 0sup ,x S ε'>-因此 0sup sup .bx b S b b S εε'>-=-这就证明了.sup }sup{S b bS =非正常确界;R,)i (.1+∞<<∞-∈∀a a 规定supN ,inf{2|N }.nn +=+∞-∈=-∞2. 推广的确界原理: 非空数集必有上、下确界. .sup ,)ii (+∞=S S 记无上界若.inf ,-∞=S S 记无下界若例2 设数集 1R ,.A B x A x +⎧⎫⊂=∈⎨⎬⎩⎭求证:sup inf 0.A B 的充要条件是=+∞=例1,M ε1令=001,,.x B x M εε=∃∈<令于是0001,.y A y M x 且=∈>证 设 sup .A 若=+∞,0.x B x ∀∈>显然0,ε∀>于是 0001,.y B y x ε=∈<且因此 inf 0.B =sup .A 因此=+∞反之,若 inf 0,B =则0,M ∀>求证:sup inf 0.A B 的充要条件是=+∞=sup ,A =+∞则由于00,.x A x M ∃∈>复习思考题2. 1212,,S S S S ⊂和都是数集且21sup sup S S 和比较.inf inf 21的大小和及S S .sup S a =其中形式一定为,),[∞+a 1. 数集 S 有上界，则 S 的所有上界组成的集合是否 3. 在上确界的定义中， 00(ii),,x S x αηα使∀<∃∈>能否改为 00(ii ),,?x S x αηα'∀<∃∈≥使或改为 00(ii ),,?x S x αηα使''∀≤∃∈≥。
数集符号大全及意义及关系rn
数集集合符号是数学中常见的符号之一，在数学中有着非常重要的作用。
下面将详细介绍数集符号的大全、意义及其关系。
一、数集符号大全1. 包含关系符号：$\in$，表示"属于"的关系，例如$a\in A$表示元素$a$属于集合$A$。
2. 不包含关系符号：$\notin$，表示"不属于"的关系，例如$b\notin B$表示元素$b$不属于集合$B$。
3. 子集关系符号：$\subset$，表示"是集合"的关系，例如$A\subset B$表示集合$A$是集合$B$的子集。
4. 真子集关系符号：$\subsetneq$，表示"真是集合"的关系，例如$A\subsetneq B$表示集合$A$是集合$B$的真子集。
5. 并集符号：$\cup$，表示"并集"，例如$A\cup B$表示集合$A$和集合$B$的并集。
6. 交集符号：$\cap$，表示"交集"，例如$A\cap B$表示集合$A$和集合$B$的交集。
7. 补集符号：$A^c$，表示集合$A$的补集。
8. 空集符号：$\emptyset$，表示空集。
9. 全集符号：$U$，表示全集。
二、数集符号的意义1. 数集符号可以用来表示元素和集合之间的关系，如属于、包含等关系。
2. 数集符号可以用来表示集合之间的运算关系，如并集、交集等。
三、数集符号的关系1. 包含关系符号$\in$和不包含关系符号$\notin$是互补关系，一个元素要么属于一个集合，要么不属于。
2. 子集关系符号$\subset$和真子集关系符号$\subsetneq$是包含关系的关系，一个集合要么是另一个集合的子集，要么是其真子集。
3. 并集符号$\cup$和交集符号$\cap$是集合之间的运算关系，用来表示两个集合的并集和交集。
4. 补集符号$A^c$表示了集合$A$的补集，即除去集合$A$中所有元素后的集合。
北师大版必修1 第1章 2 集合的基本关系
§2 集合的基本关系学习目标 1.理解子集、集合相等、真子集的概念.2.能用符号和Venn图表达集合间的关系.3.掌握列举有限集的所有子集的方法．知识点一子集思考如果把“马”和“白马”视为两个集合，则这两个集合中的元素有什么关系？答案所有的白马都是马，马不一定是白马．梳理一般地，对于两个集合A与B，如果集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素，即若a∈A，则a∈B，我们就说集合A包含于集合B，或集合B包含集合A，称集合A为集合B的子集，记作A⊆B(或B⊇A)，读作“A包含于B”(或“B包含A”)．子集的有关性质：(1)∅是任何集合A的子集，即∅⊆A.(2)任何一个集合是它本身的子集，即A⊆A.(3)对于集合A，B，C，如果A⊆B，且B⊆C，那么A⊆C.(4)若A⊆B，B⊆A，则称集合A与集合B相等，记作A＝B.知识点二真子集思考在知识点一里，我们知道集合A是它本身的子集，那么如何刻画至少比A少一个元素的A的子集？答案用真子集．梳理如果集合A⊆B，但A≠B，称集合A是集合B的真子集，记作：A?B(或B?A)，读作：A真包含于B(或B真包含A)．知识点三Venn图思考图中集合A，B，C的关系用符号可表示为__________．答案A⊆B⊆C梳理一般地，用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn图．Venn图可以直观地表达集合间的关系．1．若用“≤”类比“⊆”，则“?”相当于“<”．( √)2．空集可以用{}∅表示．( ×)3．若a∈A，则{}a⊆A.( √)4．若a∈A，则{}a?A.( ×)类型一求集合的子集例1 (1)写出集合{a，b，c，d}的所有子集；(2)若一个集合有n(n∈N)个元素，则它有多少个子集？多少个真子集？验证你的结论．考点子集及其运算题点求集合的子集解(1)∅，{a}，{b}，{c}，{d}，{a，b}，{a，c}，{a，d}，{b，c}，{b，d}，{c，d}，{a，b，c}，{a，b，d}，{a，c，d}，{b，c，d}，{a，b，c，d}．(2)若一个集合有n(n∈N)个元素，则它有2n个子集，2n－1个真子集．如∅，有1个子集，0个真子集．反思与感悟为了罗列时不重不漏，要讲究列举顺序，这个顺序有点类似于从1到100数数：先是一位数，然后是两位数，在两位数中，先数首位是1的等等．跟踪训练1 适合条件{1}⊆A?{1,2,3,4,5}的集合A的个数是( )A．15B．16C．31D．32考点与两个已知集合有包含关系的集合个数题点与两个已知集合有包含关系的集合个数答案 A解析这样的集合A有{1}，{1,2}，{1,3}，{1,4}，{1,5}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,5}，{1,3,4}，{1,3,5}，{1,4,5}，{1,2,3,4}，{1,2,3,5}，{1,2,4,5}，{1,3,4,5}共15个．类型二判断集合间的关系命题角度1 概念间的包含关系例2 设集合M＝{菱形}，N＝{平行四边形}，P＝{四边形}，Q＝{正方形}，则这些集合之间的关系为( ) A．P⊆N⊆M⊆QB．Q⊆M⊆N⊆PC．P⊆M⊆N⊆QD．Q⊆N⊆M⊆P考点集合的包含关系题点集合包含关系的判定答案 B解析正方形都是菱形，菱形都是平行四边形，平行四边形都是四边形，故选B.反思与感悟一个概念通常就是一个集合，要判断概念间的关系首先要准确理解概念的定义．跟踪训练2 我们已经知道自然数集、整数集、有理数集、实数集可以分别用N，Z，Q，R表示，用符号表示N，Z，Q，R的关系为______________．考点集合的包含关系题点集合包含关系的判定答案N?Z?Q?R命题角度2 数集间的包含关系例3 设集合A＝{0,1}，集合B＝{x|x<2或x>3}，则A与B的关系为( )A．A∈B B．B∈AC．A⊆B D．B⊆A考点集合的包含关系题点集合包含关系的判定答案 C解析∵0<2，∴0∈B.又∵1<2，∴1∈B.∴A⊆B.反思与感悟判断集合关系的方法(1)观察法：一一列举观察．(2)元素特征法：首先确定集合的元素是什么，弄清集合元素的特征，再利用集合元素的特征判断关系．(3)数形结合法：利用数轴或Venn图．跟踪训练3 已知集合A＝{x|－1<x<4}，B＝{x|x<5}，则( )A．A∈B B．A?BC．B?A D．B⊆A考点集合的包含关系题点集合包含关系的判定答案 B解析由数轴易知A中元素都属于B，B中至少有一个元素如－2∉A，故有A?B.类型三 由集合间的关系求参数(或参数范围)例4 已知集合A ＝{x|x 2－x ＝0}，B ＝{x|ax ＝1}，且A ⊇B ，求实数a 的值． 考点 子集及其运算题点 根据子集关系求参数的值 解 A ＝{x|x 2－x ＝0}＝{0,1}． (1)当a ＝0时，B ＝∅⊆A ，符合题意．(2)当a ≠0时，B ＝{x|ax ＝1}＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a ，∵1a ≠0，要使A ⊇B ，只有1a ＝1，即a ＝1. 综上，a ＝0或a ＝1.反思与感悟 集合A 的子集可分三类：∅，A 本身，A 的非空真子集，解题中易忽略∅.跟踪训练4 已知集合A ＝{x|1<x<2}，B ＝{x|2a －3<x<a －2}，且A ⊇B ，求实数a 的取值范围． 考点 子集及其运算题点 根据子集关系求参数的取值范围解 (1)当2a －3≥a －2，即a ≥1时，B ＝∅⊆A ，符合题意． (2)当a<1时，要使A ⊇B ，需满足⎩⎪⎨⎪⎧a<1，2a －3≥1，a －2≤2，这样的实数a 不存在．综上，实数a 的取值范围是{a|a ≥1}.1．下列说法：①空集没有子集；②任何集合至少有两个子集；③空集是任何集合的真子集；④若∅?A，则A≠∅.其中正确的个数是( )A．0B．1C．2D．3考点空集的定义、性质及运算题点空集的定义答案 B解析只有④正确．2．集合P＝{x|x2－1＝0}，T＝{－1,0,1}，则P与T的关系为( ) A．P?T B．P∈TC．P＝T D．P⊈T考点集合的包含关系题点集合包含关系的判定答案 A3．若A＝{1}，则下列关系错误的是( )A．∅⊆∅B．A⊆AC．∅⊆A D．∅∈A考点空集的定义、性质及运算题点空集的性质答案 D4．下列正确表示集合M ＝{－1,0,1}和N ＝{x|x 2＋x ＝0}关系的Venn 图是( )考点 集合的包含关系 题点 集合包含关系的判定 答案 B5．已知集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＝19(2k ＋1)，k ∈Z，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＝49k ±19，k ∈Z，则集合A ，B 之间的关系为________． 考点 集合的关系 题点 集合关系的判定 答案 A ＝B解析 A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＝2k ＋19，k ∈Z＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫…，－59，－39，－19，19，39，59，…，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＝4k±19，k ∈Z ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫…，－59，－39，－19，19，39，59，…，故A ＝B.1．对子集、真子集有关概念的理解(1)集合A 中的任何一个元素都是集合B 中的元素，即由x ∈A ，能推出x ∈B ，这是判断A ⊆B 的常用方法． (2)不能简单地把“A ⊆B ”理解成“A 是B 中部分元素组成的集合”，因为若A ＝∅时，则A 中不含任何元素；若A ＝B ，则A 中含有B 中的所有元素．(3)在真子集的定义中，A ?B 首先要满足A ⊆B ，其次至少有一个x ∈B ，但x ∉A. 2．集合子集的个数求集合的子集问题时，一般可以按照子集元素个数分类，再依次写出符合要求的子集．集合的子集、真子集个数的规律为：含n 个元素的集合有2n个子集，有2n－1个真子集，有2n－2个非空真子集．写集合的子集时，空集和集合本身易漏掉． 3．由集合间的关系求参数问题的注意点及常用方法 (1)注意点：①不能忽视集合为∅的情形； ②当集合中含有字母参数时，一般需要分类讨论．(2)常用方法：对于用不等式给出的集合，已知集合的包含关系求相关参数的范围(值)时，常采用数形结合的思想，借助数轴解答.一、选择题1．在下列关系中错误的个数是( ) ①1∈{0,1,2}； ②{1}∈{0,1,2}； ③{0,1,2}⊆{0,1,2}； ④{0,1,2}＝{2,0,1}； ⑤{0,1}⊆{(0,1)}． A ．1B ．2C ．3D ．4 考点 集合的包含关系 题点 集合包含关系的判定 答案 B解析 ①正确；因为集合{1}是集合{0,1,2}的真子集，而不能用符号∈来表示，所以②错误；③正确，因为任何集合都是它本身的子集；④正确，因为集合元素具有无序性；因为集合{0,1}表示数集，它有两个元素，而集合{(0,1)}表示点集，它只有一个元素，所以⑤错误，所以错误的个数是2.故选B. 2．已知集合M ＝{(x ，y)|x ＋y<0，xy>0}和P ＝{(x ，y)|x<0，y<0}，那么( ) A ．P ?M B ．M ?P C ．M ＝PD ．M ⊈P考点 集合的包含关系 题点 集合包含关系的判定 答案 C解析 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y<0，xy>0得⎩⎪⎨⎪⎧x<0，y<0，故M ＝P.3．已知集合U ，S ，T ，F 的关系如图所示，则下列关系正确的是( )①S∈U；②F⊆T；③S⊆T；④S⊆F；⑤S∈F；⑥F⊆U.A．①③B．②③C．③④D．③⑥考点集合的包含关系题点集合包含关系的判定答案 D解析元素与集合之间的关系才用∈，故①⑤错；子集的区域要被全部涵盖，故②④错．4．已知集合A＝{x|x是三角形}，B＝{x|x是等腰三角形}，C＝{x|x是等腰直角三角形}，D＝{x|x是等边三角形}，则( )A．A⊆B B．C⊆BC．D⊆C D．A⊆D考点集合的包含关系题点集合包含关系的判定答案 B解析∵等腰三角形包括等腰直角三角形，∴C⊆B.5．若M⊆P，M⊆Q，P＝{0,1,2}，Q＝{0,2,4}，则满足上述条件的集合M的个数是( )A．1B．2C．4D．8考点子集个数题点求集合的子集个数答案 C解析P，Q中的公共元素组成集合C＝{0,2}，M⊆C，这样的集合M共有22＝4个．6．设集合A＝{－1,1}，集合B＝{x|x2－2ax＋b＝0}，若B≠∅，B⊆A，则(a，b)不能是( )A．(－1,1) B．(－1,0)C ．(0，－1)D ．(1,1)考点 子集及其运算题点 根据子集关系求参数的值答案 B 解析 当a ＝－1，b ＝1时，B ＝{x|x 2＋2x ＋1＝0}＝{－1}，符合；当a ＝b ＝1时，B ＝{x|x 2－2x ＋1＝0}＝{1}，符合；当a ＝0，b ＝－1时，B ＝{x|x 2－1＝0}＝{－1,1}，符合；当a ＝－1，b ＝0时，B ＝{x|x 2＋2x ＝0}＝{0，－2}，不符合．7．已知集合A ⊆{}0，1，2，且集合A 中至少含有一个偶数，则这样的集合A 的个数为( )A ．6B ．5C ．4D ．3考点 子集及其运算题点 求集合的子集答案 A解析 方法一 集合{}0，1，2的子集为∅，{}0，{}1，{}2，{}0，1，{}0，2，{}1，2，{}0，1，2，其中含有偶数的集合有6个．方法二 {}0，1，2共有23＝8(个)子集，其中不含偶数的有∅，{}1.故符合题意的A 共有8－2＝6(个)．二、填空题8．已知{0,1}?A ⊆{－1,0,1}，则集合A 的个数为________．考点 与两个已知集合有包含关系的集合个数题点 与两个已知集合有包含关系的集合个数答案 1解析 由题意知集合A 中一定含有元素0,1，并且A 中至少含三个元素，又因为A ⊆{－1,0,1}，所以A ＝{－1,0,1}，满足题意的集合A 有1个．9．已知集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x ＝k 2＋14，k ∈Z ，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x ＝k 4＋12，k ∈Z ，则集合A ，B 满足的关系是________．(用⊆，?，＝连接A ，B)考点 集合的包含关系题点 集合包含关系的判定答案 A ?B解析 若x 0∈A ，即x 0＝k 02＋14＝2k 04＋12－14＝2k 0－14＋12，k 0∈Z. ∵2k 0－1∈Z ，∴x 0∈B ，即A ⊆B ，又12∈B ，但12∉A ，即A ≠B ， ∴A ?B.10．已知集合{b}＝{x|x ∈R|ax 2－4x ＋1＝0}(a ，b ∈R)，则a ＋b ＝________.考点 子集及其运算题点 根据子集关系求参数的值答案 14或92解析 由题意知方程ax 2－4x ＋1＝0有唯一解，当a ＝0时，x ＝14，此时b ＝14，则a ＋b ＝14；当a ≠0时，由Δ＝(－4)2－4a ＝0，得a ＝4，方程ax 2－4x ＋1＝0的解为x ＝12，此时b ＝12，则a ＋b ＝92. 三、解答题11．已知集合A ＝{x|x 2－3x ＋2＝0，x ∈R}，B ＝{x|0<x<5，x ∈N}，则满足条件A ⊆C ⊆B 的集合C 有多少个？考点 与两个已知集合有包含关系的集合个数题点 与两个已知集合有包含关系的集合个数解 先用列举法表示集合A ，B.由x 2－3x ＋2＝0得x ＝1或x ＝2，∴A ＝{1,2}．由题意知B ＝{1,2,3,4}，∴满足条件的C 可为{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,3,4}．综上，满足题意的集合C 共有4个．12．设A ＝{x|x 2＋4x ＝0}，B ＝{x|x 2＋2(a ＋1)x ＋a 2－1＝0}，其中x ∈R ，如果B ⊆A ，求实数a 的取值范围．考点 子集及其运算题点 根据子集关系求参数的取值范围解 由于A ＝{0，－4}，又B ⊆A ，则①当B ＝A 时，即0，－4是方程x 2＋2(a ＋1)x ＋a 2－1＝0的两根，代入方程解得a ＝1.②当B ≠A 时，(ⅰ)当B ＝∅时，则Δ＝4(a ＋1)2－4(a 2－1)<0，解得a<－1；(ⅱ)当B ＝{0}或B ＝{－4}时，方程x 2＋2(a ＋1)x ＋a 2－1＝0应有两相等实数根0或－4，则Δ＝4(a ＋1)2－4(a 2－1)＝0，解得a ＝－1，此时B ＝{0}，满足条件．综上，可知a ＝1或a ≤－1.13．已知集合A ＝{1,3，－x 3}，B ＝{x ＋2,1}，是否存在实数x ，使得B 是A 的子集？若存在，求出集合A ，B ；若不存在，请说明理由．考点 子集及其运算题点 求集合的子集解 因为B 是A 的子集，所以B 中元素必是A 中的元素，若x ＋2＝3，则x ＝1，符合题意．若x ＋2＝－x 3，则x 3＋x ＋2＝0，所以(x ＋1)(x 2－x ＋2)＝0.因为x 2－x ＋2≠0，所以x ＋1＝0，所以x ＝－1，此时x ＋2＝1，集合B 中的元素不满足互异性．综上所述，存在实数x ＝1，使得B 是A 的子集，此时A ＝{1,3，－1}，B ＝{1,3}．四、探究与拓展14．给定集合U ，若非空集合A ，B 满足A ⊆U ，B ⊆U ，且集合A 中的最大元素小于B 中的最小元素，则称(A ，B)为U 的一个有序子集对，若U ＝{1,2,3,4}，则U 的有序子集对的个数为( )A ．16B ．17C ．18D ．19考点 子集及其运算题点 求集合的子集答案 B解析 当A ＝{1}时，集合B 为集合{2,3,4}的非空子集，有7个；当A ＝{2}时，集合B 为集合{3,4}的非空子集，有3个；当A ＝{3}时，集合B ＝{4}，有1个；当A ＝{1,2}时，集合B 为集合{3,4}的非空子集，有3个；当A ＝{1,3}时，集合B ＝{4}，有1个；当A ＝{2,3}时，集合B ＝{4}，有1个；当A ＝{1,2,3}时，集合B ＝{4}，有1个．所以符合条件的有序子集对有17个．15．已知集合A ＝{x|x 2－4mx ＋2m ＋6＝0}，B ＝{x|x<0}，若A ⊆B ，求实数m 的取值集合．考点 子集及其运算题点 根据子集关系求参数的取值范围解 ∵A ⊆B ，∴当A ＝∅时，即方程x 2－4mx ＋2m ＋6＝0无实根，故Δ＝16m 2－8(m ＋3)<0，解得－1<m<32. 当A ≠∅时，方程x 2－4mx ＋2m ＋6＝0的根为负，则⎩⎪⎨⎪⎧ Δ≥0，x 1＋x 2<0，x 1x 2>0⇒⎩⎪⎨⎪⎧ m ≥32或m ≤－1，4m<0，2m ＋6>0⇒⎩⎪⎨⎪⎧ m ≥32或m ≤－1，m<0，m>－3⇒－3<m ≤－1. 综上，实数m 的取值集合是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫m⎪⎪⎪－3<m<32.。
集合的概念2
（二） 有限集与无限集
•
• •
有限集：含有有限个元素的集合。 如：{x| x 2 -1=0} 无限集：含有无限个元素的集合。 如：{x|x-1>0} 空集：不含任何元素的集合记作Φ 。 如：{x| x 2+1=0}
三、练习题
1、用描述法表示下列集合
• ①{1，4，7，10，13}
• ②{-2，-4，-6，-8，-10}
整数集
有理数集 实数集
2、常用数集及记法
自然数集 正整数集
全体整数的集合 记作Z
整数集
有理数集 实数集
2、常用数集及记法
自然数集 正整数集
全体整数的集合 记作Z
Z 0， 1 2， ，
整数集
有理数集 实数集
2、常用数集及记法
自然数集 正整数集
整数集
有理数集 实数集
全体有理数的集合
四、小结：
本节课学习了以下内容：
• • • • • • • • 1．集合的有关概念： 有限集、 无限集、 空集。 2．集合的表示方法： 列举法、 描述法、 文氏图。
本节课到此结束
Hale Waihona Puke 2、常用数集及记法自然数集 正整数集
整数集
有理数集 实数集
记作Q 全体有理数的集合
2、常用数集及记法
自然数集 正整数集
Q 所有整数与分数
记作Q 全体有理数的集合
整数集
有理数集 实数集
2、常用数集及记法
自然数集 正整数集
整数集
有理数集 实数集
全体实数的集合
2、常用数集及记法
自然数集 正整数集
; 5 n,n∈N且n≦4}
1 2 3 4 (2) { 0,± , ± , ± , ± , ……}= 2 5 10 17
数学分析1.2数集与确界原理
第一章实数集与函数2 数集·确界原理一、区间与邻域设a、b∈R，且a<b，我们称数集{x|a<x<b}为开区间，记作(a,b)；数集{x|a≤x≤b}称为闭区间，记作[a,b]；数集{x|a≤x<b}和{x|a<x≤b}称为半开半闭区间，记作[a,b)和(a,b]，它们统称为有限区间。
(−∞,a]={x|x≤a}，[a,+∞)={x|x≥a}，(−∞,a)={x|x<a}，(a,+∞)={x|x>a}，(−∞, +∞) ={x|−∞<x<+∞}=R；它们统称为无限区间。
设a∈R，δ>0。
满足绝对值不等式|x-a|<δ的全体实数x的集合称为点a的δ邻域，记作U(a;δ)，或简单地写作U(a)，即有U(a;δ)={ x||x-a|<δ}=(a-δ,a+δ)点a的空心δ邻域定义为U⁰(a;δ)={ x|0<|x-a|<δ}也简单地记作U⁰ (a).点a的δ右邻域U+(a;δ)=[a, a+δ)，简记为U+(a)；点a的δ左邻域U-(a;δ)= (a-δ, a]，简记为U-(a)；去除点a后的点a的空心δ左、右邻域分别简记为U⁰+(a)和U⁰-(a).∞邻域U(∞)= { x||x|>M}，其中M为充分大的正数(下同)；+∞邻域U(+∞)= { x|x>M}，-∞邻域U(-∞)= { x|x<-M}.二、有界集·确界原理定义1：设S为R中的一个数集。
若存在数M(L)，使得对一切x∈S，都有x≤M(x≥L)，则称S为有上界(下界)的数集，数M(L)称为S的一个上界(下界)。
若数集S既有上界又有下界，则称S为有界集。
若S不是有界集，则称S为无界集。
例1：证明数集N+={n|n为正整数}有下界而无上界。
证：显然，任何一个不大于1的实数都是的N+下界，故N+为有下界的数集；∀M>0，取n0=[M]+1，则n0∈N+，且n0> M，故N+为无上界的数集。
高中数集字母
高中数集字母高中数学中的数集是指一组具有共同性质的数的集合。
在数学中，字母常常被用来表示数集，它们可以代表特定的数集类型或具体的数集元素。
本文将介绍一些常见的高中数集字母及其含义。
1. N：自然数集字母N表示自然数集，即正整数的集合。
自然数是我们常用来计数的数，从1开始一直到无穷大。
例如，1、2、3等都属于自然数集。
2. Z：整数集字母Z表示整数集，它包括了正整数、负整数和0。
整数集用来表示正数、负数和零的集合。
例如，-3、-2、-1、0、1、2、3等都属于整数集。
3. Q：有理数集字母Q表示有理数集，有理数是可以表示为两个整数的比值的数。
有理数集包括了所有可以表达为分数形式的数，例如1/2、-3/4、0等。
4. R：实数集字母R表示实数集，它包含了所有的有理数和无理数。
实数是一种包括了所有数的集合，例如整数、分数和无法表示为分数形式的数，如π和根号2等都属于实数集。
5. C：复数集字母C表示复数集，复数是由实数和虚数构成的数。
复数集包括所有形如a+bi的数，其中a和b都是实数，i表示虚数单位。
例如，3+2i、-4-7i都属于复数集。
除了这些常见的数集字母，还有一些其他字母在特定的数学领域也有特殊的含义。
例如，E表示集合中的元素，x、y、z等字母常用来表示未知数或变量，在代数方程中起到重要的作用。
总结起来，高中数集字母的使用是为了代表不同类型的数集或特定的数集元素。
了解这些字母及其含义对于理解数学概念、方程和问题具有重要意义。
通过正确使用数集字母，我们能够更加清晰地描述数学问题，推导出更精确的解答。
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§2 数集。
确界
§2 二数集. 确界原理:一区间与邻域:
区间：
邻域
二有界数集. 确界原理:
1.有界数集: 定义(上、下有界, 有界)
闭区间、为有限数）、邻域等都是有界数集，集合
也是有界数集.
无界数集:对任意，存在，则称S为无界集。
等都是无界数集,
例证明集合是无界数集.
证明：对任意, 存在
由无界集定义，E为无界集。
确界
先给出确界的直观定义：若数集S有上界，则显然它有无穷多个上界，其中最小的一个上界我们称
它为数集S的上确界；同样，有下界数集的最大下界，称为该数集的下确界。
精确定义
定义2 设S是R中的一个数集，若数满足一下两条：
（1）对一切有，即是数集S 的上界；
（2）对任何存在使得（即是S的最小上界）
则称数为数集S的上确界。
记作
定义3设S是R中的一个数集，若数满足一下两条：
（3）对一切有，即是数集S 的下界；
（4）对任何存在使得（即是S的最大下界）
则称数为数集S的下确界。
记作
例1 ⑴则
⑵则
定理1.1(确界原理). 设S 为非空数集，若S有上界，则S必有上确界；若S有下界，则S必有下确界。
证明（见教材）
例2非空有界数集的上（或下）确界是唯一的.
例3设和是非空数集，且有则有
.
例4 设和是非空数集. 若对和都有则有
证是的上界, 是的下界,
例5 和为非空数集, 试证明:
证有或由和分别是和的下界,有
或
即是数集的下界,
又的下界就是的下界, 是的下界, 是的下界,
同理有于是有
.
综上, 有.
2.数集与确界的关系: 确界不一定属于原集合. 以例1⑵为例做解释.
3.确界与最值的关系: 设为数集.
⑴的最值必属于, 但确界未必, 确界是一种临界点.
⑵非空有界数集必有确界(见下面的确界原理), 但未必有最值.
⑶若存在, 必有
对下确界有类似的结论.。