专题33四边形压轴综合问题-备战2023年中考数学必刷真题考点分类专练(全国通用)【原卷版】

备战2023年中考数学必刷真题考点分类专练（全国通用）

专题33四边形压轴综合问题

一、解答题

1．（2022·甘肃兰州·中考真题）综合与实践，【问题情境】：数学活动课上，老师出示了一个问题：如图1，在正方形ABCD中，E是BC的中点，AE⊥EP，EP与正方形的外角△DCG的平分线交于P点．试猜想AE 与EP的数量关系，并加以证明；

(1)【思考尝试】同学们发现，取AB的中点F，连接EF可以解决这个问题．请在图1中补全图形，解答老师提出的问题．

(2)【实践探究】希望小组受此问题启发，逆向思考这个题目，并提出新的问题：如图2，在正方形ABCD 中，E为BC边上一动点（点E，B不重合），△AEP是等腰直角三角形，∠AEP=90°，连接CP，可以求出∠DCP的大小，请你思考并解答这个问题．

(3)【拓展迁移】突击小组深入研究希望小组提出的这个问题，发现并提出新的探究点：如图3，在正方形ABCD中，E为BC边上一动点（点E，B不重合），△AEP是等腰直角三角形，∠AEP=90°，连接DP．知道正方形的边长时，可以求出△ADP周长的最小值．当AB=4时，请你求出△ADP周长的最小值．

2．（2022·广东广州·中考真题）如图，在菱形ABCD中，∠BAD = 120°，AB = 6，连接BD．

(1)求BD的长；

(2)点E为线段BD上一动点（不与点B，D重合），点F在边AD上，且BE=√3DF，

∠当CE丄AB时，求四边形ABEF的面积；

∠当四边形ABEF的面积取得最小值时，CE+√3CF的值是否也最小？如果是，求CE+√3CF的最小值；如果不是，请说明理由．

3．（2022·上海·中考真题）平行四边形ABCD，若P为BC中点，AP交BD于点E，连接CE．

(1)若AE=CE，

∠证明ABCD为菱形；

∠若AB=5，AE=3，求BD的长．

(2)以A为圆心，AE为半径，B为圆心，BE为半径作圆，两圆另一交点记为点F，且CE=√2AE．若F在直线CE上，求AB

的值．

BC

4．（2022·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）综合与实践

数学是以数量关系和空间形式为主要研究对象的科学．数学实践活动有利于我们在图形运动变化的过程中去发现其中的位置关系和数量关系，让我们在学习与探索中发现数学的美，体会数学实践活动带给我们的乐趣．

如图∠，在矩形ABCD中，点E、F、G分别为边BC、AB、AD的中点，连接EF、DF，H为DF的中点，

连接GH．将∠BEF绕点B旋转，线段DF、GH和CE的位置和长度也随之变化．当∠BEF绕点B顺时针旋转90°时，请解决下列问题：

(1)图∠中，AB=BC，此时点E落在AB的延长线上，点F落在线段BC上，连接AF，猜想GH与CE之间的数量关系，并证明你的猜想；

=；

(2)图∠中，AB=2，BC=3，则GH

CE

=．

(3)当AB=m , BC=n时．GH

CE

(4)在（2）的条件下，连接图∠中矩形的对角线AC，并沿对角线AC剪开，得∠ABC（如图∠)．点M、N分别在AC、BC上，连接MN，将∠CMN沿MN翻折，使点C的对应点P落在AB的延长线上，若PM平分∠APN，则CM长为．

5．（2022·吉林长春·中考真题）【探索发现】在一次折纸活动中，小亮同学选用了常见的A4纸，如图∠，矩形ABCD为它的示意图．他查找了A4纸的相关资料，根据资料显示得出图∠中AD=√2AB．他先将A4纸沿过点A的直线折叠，使点B落在AD上，点B的对应点为点E，折痕为AF；再沿过点F的直线折叠，使点C 落在EF上，点C的对应点为点H，折痕为FG；然后连结AG，沿AG所在的直线再次折叠，发现点D与点F 重合，进而猜想△ADG≌△AFG．

【问题解决】

(1)小亮对上面△ADG≌△AFG的猜想进行了证明，下面是部分证明过程：

证明：四边形ABCD是矩形，

∠∠BAD=∠B=∠C=∠D=90°．

∠BAD=45°，∠BFA=∠EFA．

由折叠可知，∠BAF=1

2

∠∠EFA=∠BFA=45°．

∠AF=√2AB=AD．

请你补全余下的证明过程．

【结论应用】

(2)∠DAG的度数为________度，FG

的值为_________；

AF

AB，点Q在线段AG上，连结FQ、PQ，如图∠，设AB=a，(3)在图∠的条件下，点P在线段AF上，且AP=1

2

则FQ+PQ的最小值为_________．（用含a的代数式表示）

6．（2022·吉林长春·中考真题）如图，在▱ABCD中，AB=4，AD=BD=√13，点M为边AB的中点，动点P从点A出发，沿折线AD−DB以每秒√13个单位长度的速度向终点B运动，连结PM．作点A关于直线PM 的对称点A′，连结A′P、A′M．设点P的运动时间为t秒．

(1)点D到边AB的距离为__________；

(2)用含t的代数式表示线段DP的长；

(3)连结A′D，当线段A′D最短时，求△DPA′的面积；

(4)当M、A′、C三点共线时，直接写出t的值．

7．（2022·山东临沂·中考真题）已知△ABC是等边三角形，点B，D关于直线AC对称，连接AD，CD．

(1)求证：四边形ABCD是菱形；

(2)在线段AC上任取一点Р（端点除外），连接PD．将线段PD绕点Р逆时针旋转，使点D落在BA延长线上的点Q处．请探究：当点Р在线段AC上的位置发生变化时，∠DPQ的大小是否发生变化？说明理由．(3)在满足（2）的条件下，探究线段AQ与CP之间的数量关系，并加以证明．

8．（2022·内蒙古通辽·中考真题）已知点E在正方形ABCD的对角线AC上，正方形AFEG与正方形ABCD有公共点A．

(1)如图1，当点G在AD上，F在AB上，求

的值为多少；

√2DG

(2)将正方形AFEG绕A点逆时针方向旋转α(0°<α<90°)，如图2，求：CE

的值为多少；

DG

(3)AB=8√2，AG=√2

AD，将正方形AFEG绕A逆时针方向旋转α(0°<α<360°)，当C，G，E三点共线时，

2

请直接写出DG的长度．

9．（2022·广西·中考真题）已知∠MON=α，点A，B分别在射线OM,ON上运动，AB=6．