素理想环

正式定义[编辑]∙环R的理想P是素理想，当且仅当它是一个真理想（也就是说，P≠R），且对于R的任何两个理想A和B使得AB⊆P，都有A⊆P或B⊆P。

交换环的素理想[编辑]素理想对交换环有一个较简单的描述：如果R是一个交换环，那么R的理想P是素理想，如果它具有以下两个性质：∙只要a，b是R的两个元素，使得它们的乘积ab位于P内，那么要么a位于P内，要么b位于P内。

∙P不等于整个环R。

这推广了素数的以下性质：如果p是一个素数，且p能整除两个整数的乘积ab，那么p要么能整除a，要么能整除b。

因此，我们可以说：正整数n是素数，当且仅当理想n Z是Z的素理想。

例子[编辑]∙如果R表示复系数二元多项式环C[X, Y]，那么由多项式Y2−X3−X− 1生成的理想是素理想（参见椭圆曲线）。

∙在整系数多项式环Z[X]中，由2和X生成的理想是素理想。

它由所有系数项为偶数的多项式组成。

∙在任何环R中，极大理想是一个理想M，它是R的所有真理想的集合中的极大元，也就是说，M包含在R的正好两个理想内，即M本身和整个环R。

每一个极大理想实际上是素理想；在主理想整环中，每一个非零的素理想都是极大的，但这一般不成立。

∙如果M是光滑流形，R是M上的光滑函数环，而x是M中的一个点，那么所有满足f(x) = 0的光滑函数f形成了R内的一个素理想（甚至是极大理想）。

性质[编辑]∙交换环R中的理想I是素理想，当且仅当商环R/I是整环。

∙环R的理想I是素理想，当且仅当R \ I在乘法运算下封闭。

∙每一个非零的交换环都含有至少一个素理想（实际上它含有至少一个极大理想），这是克鲁尔定理的一个直接结果。

∙一个交换环是整环，当且仅当{0}是一个素理想。

∙一个交换环是域，当且仅当{0}是唯一的素理想，或等价地，当且仅当{0}是一个极大理想。

∙一个素理想在环同态下的原像是素理想。

∙两个素理想的和不一定是素理想。

例如，考虑环，它的素理想为P = (x2 + y2 - 1)和Q = (x)（分别由x2 + y2 - 1和x生成）。

然而，它们的和P + Q = (x2 + y2 - 1 , x) = (y2 - 1 , x)不是素理想。

注意商环具有零因子意味着不是整环，因此P + Q不能是素理想。

非交换环的素理想[编辑]如果R是非交换环，那么R的理想P是素理想，如果它具有以下两个性质：∙只要a，b是R的两个元素，使得对于R的所有元素r，它们的乘积arb都位于P 内，那么要么a位于P内，要么b位于P内。

∙P不等于整个环R。

对于交换环，这个定义等价于前面所述的定义。

对于非交换环，这两个定义是不同的。

使ab位于P内意味着a或b位于P内的理想称为完全素理想。

完全素理想是素理想，但反过来不成立。

例如，n×n矩阵环中的零理想是素理想，但不是完全素理想。

例子[编辑]∙任何极大理想都是素理想。

∙任何本原理想都是素理想。

∙任何素环的零理想都是素理想。

参考文献[编辑]∙David S. Dummit and Richard M. Foote. Abstract Algebra 第三版. John Wiley & Sons, Inc. 2004年: 第255–256页.环的定义类似于可交换群，只不过在原来“+”的基础上又增添另一种运算“·”（注意我们这里所说的+ 与·一般不是通常意义下我们所熟知的加法和乘法）。

在抽象代数中，研究环的分支为环论。

目录[隐藏]1 定义∙ 1.1 基本性质2 环的相关概念∙ 2.1 特殊的环∙ 3 例子4 环的理想∙ 4.1 示例∙ 4.2 基本性质∙ 4.3 相关概念∙ 5 有关环的其它概念定义[编辑]集合R和定义于其上的二元运算+ 和·，(R, +, ·)构成一个环，若它们满足：1(R, +)形成一个交换群，其单位元称为零元素，记作‘0’。

即：∙(R, +)是封闭的∙(a + b) = (b + a)∙(a + b) + c = a + (b + c)∙0 + a = a + 0 = a∙∀a ∃(−a) 满足a + −a = −a + a = 02(R, ·)形成一个半群，即：∙(a·b)·c = a·(b·c)∙(R, ·)是封闭的3乘法关于加法满足分配律：∙a·(b + c) = (a·b) + (a·c)∙(a + b)·c = (a·c) + (b·c)其中，乘法运算符·常被省略，所以a·b 可简写为ab。

此外，乘法是比加法优先的运算，所以a + bc 其实是a + (b·c)。

基本性质[编辑]考虑一个环R，根据环的定义，易知R有以下性质：∙∀a∈R，a·0 = 0·a = 0；（这也是为什么0作为加法群的单位元，却被称为“零元素”）∙∀a，b∈R，(-a)·b = a·(-b) = -(a·b)；环的相关概念[编辑]特殊的环[编辑]幺环若环R中，(R, ·)构成幺半群。

即：∃1∈R，使得∀a∈R，有1·a=a·1=a。

则R称为幺环。

此时幺半群(R, ·)的幺元1，亦称为环R的幺元。

交换环若环R中，(R, ·)还满足交换律，从而构成交换半群，即：∀a，b∈R，有ab=ba，则R称为交换环。

无零因子环若R中没有非0的零因子，则称R为为无零因子环。

∙此定义等价于以下任何一条：∙R\{0}对乘法形成半群；∙R\{0}对乘法封闭；∙R中非0元素的乘积非0；整环无零因子的交换幺环称为整环。

例：整数环，多项式环唯一分解环若整环R中每个非零非可逆元素都能唯一分解，称R是唯一分解环.除环若环R是幺环，且R\{0}对R上的乘法形成一个群，即：∀a∈R\{0}，∃a^{-1}∈R\{0}，使得a^{-1}·a=a·a^{-1}=1。

则R称为除环。

∙除环不一定是交换环。

反例：四元数环。

∙交换的除环是体。

主理想环每个理想都是主理想的整环称为主理想环。

单环若幺环R中的极大理想是零理想，则称R为单环。

商环质环例子[编辑]∙集环：非空集的集合R构成一个环，当且仅当它满足以下几个条件中任何一个：∙R对集合的并和差运算封闭，即：∀E，F∈R ⇒ E∪F∈R，E-F∈R；∙R对集合的交和对称差运算封闭，即：∀E，F∈R ⇒ E∩F∈R，E△F∈R；∙R对集合的交，差以及无交并运算封闭。

这样得到的集环以交为乘法，对称差为加法；以空集为零元，并且由于∀E∈R，E∩E=E·E=E，因此它还是布尔环。

∙整数环是一个典型的交换且含单位环。

∙有理数环，实数域，复数域都是交换的含单位元环。

∙所有项的系数构成一个环A的多项式全体A[X]是一个环。

称为A上的多项式环。

∙n为正整数，所有n×n的实数矩阵构成一个环。

环的理想[编辑]主条目：理想考虑环(R, +, )，依环的定义知(R, +)是阿贝尔群。

集合I ⊆ R，考虑以下条件：4(I, +) 构成(R, +) 的子群。

5∀i ∈ I，r ∈ R，有i·r ∈ I。

6∀i ∈ I，r ∈ R，有r·i ∈ I。

若I满足条件1，2则称I是R的右理想；若I满足条件1，3则称I是R的左理想；若I满足条件1，2，3，即I既是R的右理想，也是R的左理想，则称I为R的双边理想，简称理想。

示例[编辑]∙整数环的理想：整数环Z只有形如的nZ理想。

基本性质[编辑]∙在环中，(左，右，双边)理想的和与交仍然是(左，右，双边)理想。

∙在除环中，(左，右)理想只有平凡(左，右)理想。

∙对于环R的两个理想A，B，记。

则由定义易知：6若A是R的左理想，则AB是R的左理想；6若B是R的右理想，则AB是R的右理想；6若A是R的左理想，B是R的右理想，则AB是R的双边理想。

相关概念[编辑]真（左，右，双边）理想若R的（左，右，双边）理想I满足：I是R的真子集，I称为R的真（左，右，双边）理想。

极大（左，右，双边）理想环R及其真（左，右，双边）理想I，I被称为R的极大（左，右，双边）理想，若不存在R的真（左，右，双边）理想J,使得I是J的真子集。

∙若I 是极大（左，右）理想，又是双边理想，则I 是极大理想。

∙极大双边理想不一定是极大（左，右）理想。

生成理想环R，A ⊆ R，定义<A>=RA+AR+RAR+ZA，则易知：∙<A>是环R的理想，并且<A>是R中所有包含子集A的理想的交,即<A>是R中包含子集A的最小理想。

称<A>为由子集A生成的理想，A称为<A>的生成元集。

当A是有限集时，<A>称为R的有限生成理想。

∙下面是生成理想的几种特殊情况：6当R是交换环时，<A>=RA+ZA6当R是幺环时，<A>=RAR6当R是交换幺环时，<A>=RA∙同一个理想，其生成元集可能不唯一。

主理想由环R中单个元素生成的理想称为R的主理想。

即，设a ∈ R，则<{a}>称为R的主理想。

素理想真理想I被称为R的素理想，若∀理想A，B ⊆ R，AB ⊆ I ⇒ A ⊆ I 或B ⊆ I。

素环若环R的零理想是素理想，则称R是素环(或质环)。

无零因子环是素环。

在交换环R 中，真理想I 是素理想的充分且必要条件是：是素环.半素理想环R的真理想I，若∀理想A，A2⊆ I ⇒ A ⊆ I。

则称I 是环R的半素理想。

∙半素理想是一类比素理想相对较弱条件的理想，因为素理想是半素理想，但半素理想未必是素理想。

∙除环的零理想是极大理想。

在有单位元的环中，如果零理想是其极大理想,称这种环是单环。

除环是单环，域也是单环。

反之则不对，即存在不是除环的单环。

∙定理1 在整数环Z中，由p生成的主理想是极大理想的充分必要条件是：p是素数。

∙定理2 设R是有单位元1的交换环。

理想I 是R的极大理想的充分且必要条件是：商环是域。

∙定理3 设I 是环R的左理想，则I 是R的极大左理想的充分必要条件是对R的任意一个不含在I 中的左理想J都有。

有关环的其它概念[编辑]∙零因子(zero divisor)：主条目：零因子设b是环中的非零元素，称a为左零因子，如果ab=0；同样可以定义右零因子。

通称零因子；循环群[编辑]在群论里，循环群是指能由单个元素生成的群。

即存在一群内的元素g（此元素称为此群的生成元），使得群内的每个元素均为g的若干次方，当群的运算以乘法表示时(为g的倍数，若群的运算以加法表示)。