大学概率论期末试题

《概率论与数理统计A 》期末试卷（A ）卷

班级： 学号： 姓名：

一、填空题（共24分，每题4分）

1．一袋中有6个球，其中4个白球，2个红球，从中任取3个球，记A ={恰有一个红球}。若不放回取球，则=)(A P __ __；若放回取球，则=)(A P __ . 2、设,5/9)1(),,3(~),,2(~=≥X P p B Y p B X 若则 ()=≥1Y P . 3、设随机变量X 和Y 独立同分布，X 分布律如下

则随机变量),max(Y X Z =的分布律为

4．设二维随机变量(),X Y 的概率密度函数为⎩⎨

⎧≤≤-≤≤-=,,

0;

01,01,1),(其他y x y x f

则)2/1(->+Y X P =__ ____.

5．设),1,1(~),4,0(~N Y N X 相关系数5.0=XY ρ，则=-)2(Y X D _ __.

6. 总体~(,0.01)X N μ，n=4, 2.5x =,0.0250.051.96 1.64u u ==，,则μ的置信度为0.95的置信区间 _______________.

二、选择题（共20分，每题4分）

1．若随机事件A 和B 互不相容，则下列式子中正确的是（ ）

A. B A = B ．)()()(B P A P AB P = C. )()|(A P B A P = D ．)()(A P B A P = 2．设X 服从参数为1/10的指数分布，=≥≥)10|20(X X P （ ） A ．1

-e B ．2

-e C ．1

1--e D ．2

1--e

3．设12100,,,X X X 为来自总体2

~(,4)X N μ的一个样本，而12100,,,Y Y Y 为来自总体

2~(,3)Y N μ的一个样本，且两个样本独立，以,X Y 分别表示这两个样本的样本均

值,X Y

-（ ）

A ．)100/7,0(N

B ．)4/1,0(N

C ．)7,0(N D. )25,0(N

4.设随机变量X 的分布函数为⎪⎩

⎪

⎨⎧≥-<=.

10,10

1;10,

0)(x x x x F 用Y 表示对X 的72次独立重复观察中

事件)30(>X 出现的次数，则由中心极限定理得：Y 近似服从（ ） A ．)16,24(N B ．)4,24(N C ．)16,48(N

D ．)4,48(N

5.12,,,n X X X ⋅⋅⋅为总体X 的一个样本，2

(),()E X D X μσ==， 12211

()n i i

i C X X θ-+==-∑为 2σ的无偏估计，C ＝ ( )

A

．

B.

C

．

D.

三、综合题（共56分）

1.盒子I 中包含3个红的和2个蓝的弹子，盒子II 中包含2个红的和8个蓝的弹子，掷一均匀硬币二次，若连续出现二次正面则从I 号盒子中取一弹子；否则就从II 号盒子中取一弹子.（1）求所取弹子为红色的概率；（2）若已知取出的是红色的，求该弹子来自I 号盒的概率.（6分）

2.设()Y X ,的联合密度函数为⎪⎩

⎪

⎨⎧<<<=其他,0,10,),(x y x A y x f ，

求（1）常数A 的值；（２）X 与Y 的边缘概率密度函数；（3

）

.（16分）

3.设离散型随机变量()Y X ,的联合概率分布律为

已知0,0,5.0)(,0)(2

=====XY EY X E Y X P ρ.（1）求()Y X ,的联合概率分布律（2）求X 与Y 边缘概率分布律. (12分)

4.甲乙两电影院在竞争1000名观众，假设每位观众随机的选择影院，且彼此相互独立，问甲至少应设多少个座位，才能使观众因无座位而离去的概率小于1%.（8分）

备用数据：

()()()0.8389

Φ

=

=

Φ

，

，

，

=

=，

2.236

1

0.8413

0.99

0.9901

2.33

5=

10

3.162

Φ

5. 已知总体X 的密度函数为⎩⎨⎧≤>=--θθθx x e x f x ,

0,

,)()(，θ为未知常数，n X X X ,,,21 为从

总体X 抽取的一个简单随机样本，样本均值为∑==n

k k X n X 1

1.

(2) 求θ

ˆD . (8分)

6. 已知总体X 的密度函数为⎪⎩

⎪⎨⎧>=-其他,00

,21)(x e x f x

σ

σ，

0>σ为未知常数，n X X X ,,,21 为从总体X 抽取的一个样本，n x x x ,,,21 是它的样本观测值.

(1) 求未知参数σ的极大似然估计量σ

ˆ. (2) 判断σ

ˆ是否为σ的无偏估计. (6分)

一、填空题（共24分，每题4分）

1. 3/5 4/9

2. 19/27

3.

4. 1/8

5. 4

6. (2.402, 2.598)

二、选择题（共20分，每题4分）

1. D

2. A

3. B

4. A

5. C

三、综合题（共56分）

1．（6分）

（1）10/310/24/35/34/1=⨯+⨯=P ……… 3’ （2）1/23/103/54/1=÷⨯=P ……… 6’

2.（16分）

（１） Ａ＝１ ……… 4’ （２） ⎩⎨

⎧<<=其他

,01

0,2)(x x x f X

⎪⎩

⎪

⎨⎧<≤-<<-+=其他,010,101,1)(y y y y y f Y ……… 12’

（３）由3/2)(=X E 0)(=Y E

0)(=XY E 得0),(=Y X Cov ……… 16’

3.（12分） （1）

……… 6’