专题06 立体几何(解答题) (学生版)

专题06 立体几何（解答题）

1．【2019年高考全国Ⅰ卷理数】如图，直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的底面是菱形，AA1=4，AB=2，∠BAD=60°，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点．

（1）证明：MN∥平面C1DE；

（2）求二面角A−MA1−N的正弦值．

2．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】如图，长方体ABCD–A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，点E在棱AA1上，BE⊥EC1．

（1）证明：BE⊥平面EB1C1；

（2）若AE=A1E，求二面角B–EC–C1的正弦值．

3．【2019年高考全国Ⅲ卷理数】图1是由矩形ADEB，Rt△ABC和菱形BFGC组成的一个平面图形，其中AB=1，BE=BF=2，∠FBC=60°，将其沿AB，BC折起使得BE与BF重合，连结DG，如图2.

（1）证明：图2中的A，C，G，D四点共面，且平面ABC⊥平面BCGE；

（2）求图2中的二面角B−CG−A的大小.

4．【2019年高考北京卷理数】如图，在四棱锥P–ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD⊥CD，AD∥BC，PA=AD=CD=2，

BC=3．E为PD的中点，点F在PC上，且

1

3 PF

PC

=．

（1）求证：CD⊥平面PAD；（2）求二面角F–AE–P的余弦值；

（3）设点G在PB上，且

2

3

PG

PB

=．判断直线AG是否在平面AEF内，说明理由．

5．【2019年高考天津卷理数】如图，AE ⊥平面ABCD ，,

CF AE AD BC ∥∥，,

AD AB ⊥1,2AB AD AE BC ====．

（1）求证：BF ∥平面ADE ；

（2）求直线CE 与平面BDE 所成角的正弦值； （3）若二面角E BD F --的余弦值为

1

3

，求线段CF 的长．

6．【2019年高考江苏卷】如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D ，E 分别为BC ，AC 的中点，AB =BC ．

求证：（1）A 1B 1∥平面DEC 1； （2）BE ⊥C 1E ．

7．【2019年高考浙江卷】如图，已知三棱柱111ABC A B C -，平面11A ACC ⊥平面ABC ,90ABC ∠=︒，

11

30,,,BAC A A AC AC E F ∠=︒==分别是AC ，A 1B 1的中点. （1）证明：EF BC ⊥；

（2）求直线EF 与平面A 1BC 所成角的余弦值.

8．【2018年高考全国Ⅰ卷理数】如图，四边形ABCD 为正方形，,E F 分别为,AD BC 的中点，以DF 为折痕把DFC △折起，使点C 到达点P 的位置，且PF BF ⊥. （1）证明：平面PEF ⊥平面ABFD ； （2）求DP 与平面ABFD 所成角的正弦值.

9

．【2018年高考全国II 卷理数】如图，在三棱锥P ABC -中，AB BC ==4PA PB PC AC ====，

O 为AC 的中点．

（1）证明：PO ⊥平面ABC ；

（2）若点M 在棱BC 上，且二面角M PA C --为30︒，求PC 与平面PAM 所成角的正弦值．

10．【2018年高考全国Ⅲ卷理数】如图，边长为2的正方形ABCD 所在的平面与半圆弧»CD

所在平面垂直，M 是»CD

上异于C ，D 的点． （1）证明：平面AMD ⊥平面BMC ；

（2）当三棱锥M ABC -体积最大时，求面MAB 与面MCD 所成二面角的正弦值．

11．【2018年高考江苏卷】如图，在正三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，AB =AA 1=2，点P ，Q 分别为A 1B 1，BC 的中点．

C

（1）求异面直线BP 与AC 1所成角的余弦值； （2）求直线CC 1与平面AQC 1所成角的正弦值．

12．【2018年高考江苏卷】在平行六面体1111ABCD A B C D -中，1111,AA AB AB B C =⊥．

求证：（1）AB ∥平面11A B C ； （2）平面11ABB A ⊥平面1A BC ．

13．【2018年高考浙江卷】如图，已知多面体ABCA 1B 1C 1，A 1A ，B 1B ，C 1C 均垂直于平面ABC ，∠ABC =120°，

A 1A =4，C 1C =1，A

B =B

C =B 1B =2．

（1）证明：AB 1⊥平面A 1B 1C 1；

（2）求直线AC 1与平面ABB 1所成的角的正弦值．

14．【2018年高考北京卷理数】如图，在三棱柱ABC −111A B C 中，1CC ⊥平面ABC ，D ，E ，F ，G 分别为1AA ，AC ，

11A C ，1BB 的中点，AB=BC ，AC =1AA =2．

（1）求证：AC ⊥平面BEF ； （2）求二面角B−CD −C 1的余弦值； （3）证明：直线FG 与平面BCD 相交．

15．【2018年高考天津卷理数】如图，AD BC ∥且AD =2BC ，AD CD ⊥,EG AD ∥且EG =AD ，CD FG ∥且CD =2FG ，DG ABCD ⊥平面，DA =DC =DG =2.

（1）若M 为CF 的中点，N 为EG 的中点，求证：MN CDE ∥平面； （2）求二面角E BC F --的正弦值；

（3）若点P 在线段DG 上，且直线BP 与平面ADGE 所成的角为60°，求线段DP 的长.

16．【2017年高考全国Ⅰ卷理数】如图，在四棱锥P−ABCD 中，AB//CD ，且90BAP CDP ∠=∠=o .

（1）证明：平面P AB ⊥平面P AD ；

（2）若P A =PD =AB =DC ，90APD ∠=o ，求二面角A −PB −C 的余弦值.

17．【2017年高考江苏卷】如图，在三棱锥A BCD -中，AB ⊥AD ，BC ⊥BD ，平面ABD ⊥平面BCD ，点E ，F (E 与A ，D 不重合)分别在棱AD ，BD 上，且EF ⊥AD ． 求证：（1）EF ∥平面ABC ；