高中数学 第3章 空间向量与立体几何章末复习提升课件 新人教A版选修2-1
高中数学第三章空间向量与立体几何1空间向量及其运算5空间向量运算的坐标表示3课件新人教A版选修2
变式训练
已知 a＝(1,2，12)，b＝(12，－12，1)，c＝(－2,3， －12)，d＝(1，－32，14)．
求证：a⊥b，c∥d.
证明： ∵ a＝ (1,2，12)， b＝ (12，－12，1)， ∴a·b＝1×12＋2×(－12)＋12×1＝0. ∴ a⊥ b. ∵ c＝ (－ 2,3，－12)， d＝ (1，－32，14)， ∴ c＝－ 2(1，－32，14)＝－ 2d. ∴ c∥ d.
(1)求证：EF⊥CF； (2)求E→F与C→G所成角的余弦值； (3)求 CE 的长． [分析] 可建立空间直角坐标系，利用向量的坐 标形式解题．
[解] 建立如图 3 所示的空间直角坐标系 D－xyz， 则 D(0,0,0)，E(0,0，12)，C(0,1,0)， F(12，12，0)，G(1,1，12)．
[解] (1)如图 1，以 D 为原点，DA，DC，DD1 所在的直线为 x，y，z 轴建立空间直角坐标系，设 AA1＝a，
则 B(4,4,0)，N(2,2，a)， A(4,0,0)，M(2,4，a2)，
图1
∴B→N＝ (－ 2，－ 2， a)， A→M＝ (－ 2, 4，a)，
2 由B→N⊥A→M得B→N·A→M ＝ 0， ∴4－8＋a2＝0，a＝2 2，
b32.
2．空间中向量的坐标及两点间的距离公式 在空间直角坐标系中，设 A(a1，a2，a3)，B(b1， b2， b3)，则： (1)A→B＝ (b1－ a1， b2－ a2， b3－ a3)； (2)AB＝ |A→B|＝
b1－ a1 2＋ b2－ a2 2＋ b3－ a3 2.
如何理解空间向量的坐标运算与平面向量的坐 标运算间的关系？
|E→F|＝ |C→G|＝
(人教版)高中数学选修2-1课件：第3章空间向量与立体几何3.1.1
①(A→B＋B→C)＋C→C1＝A→C＋C→C1＝A→C1； ②(A→A1＋A→1D1)＋D→1C1＝A→D1＋D→1C1＝A→C1； ③(A→B＋B→B1)＋B→1C1＝A→B1＋B→1C1＝A→C1； ④(A→A1＋A→1B1)＋B→1C1＝A→B1＋B→1C1＝A→C1. 所以 4 个式子的运算结果都是A→C1. 答案： 4
• (3)注意零向量的书写，必须是0这种情势． • (4)两个向量不能比较大小．
空间向量的加减法与运算律
空间向 量的加 减法
类似平面向量，定义空间向量的加、减法运算 (如图)：
O→B ＝O→A ＋A→B ＝_a_＋__b___； C→A ＝O→A －O→C ＝_a_－__b___
加法运 (1)交换律：a＋b＝b＋a；
◎在长方体 ABCD－A1B1C1D1 中，化简D→A－D→B＋B→1C－
B→1B＋A→1B1－A→1B. 【错解】 D→A－D→B＋B→1C－B→1B＋A→1B1－A→1B
＝A→B＋C→B＋B→1B＝D→C＋D→A＋B→1B＝D→B＋D→1D＝D→1B.
【错因】 对向量减法的三角形法则理解、记忆错误，
中，老师从学校大门口回到住地方产生的总位 移就是三个位移的合成(如右图所示)，它们是
不在同一平面内的位移，如何刻画这样的位移 呢？
• [问题1] • [提示1] • [问题2] 吗？
• [提示2]
老师的位移是空间向量吗？ 是． 空间向量的加法与平面向量类似
类似．
空间向量
定义
长度 几何表 示法
在空间，把具有大___小__和_方__向__的量叫做空间向量 向量的_大__小__叫做向量的长度或_模__
6分
(3)在线段 CC1 上取中点 M，则有C→M＝12C→C1， 则有：A→B＋A→D＋12C→C1＝A→B＋B→C＋C→M＝A→M. 9 分 (4)由(2)知13(A→B＋A→D＋A→A1)＝13A→C1，在线段 AC1 上取点 G，使得 AG＝13AC1，即：13(A→B＋A→D＋A→A1)＝A→G. 12 分
高中数学优质课件精选人教版选修2-1课件第3章空间向量与立体几何3.1.4
理可知，存在有序ห้องสมุดไป่ตู้数组{x，y，z}，使得 p＝_x_e_1＋__y_e_2_＋__ze_3__.
把_x_，__y_，__z称作向量 p 在单位正交基底 e1，e2，e3 下的坐标，记 作_p_＝__(x_，__y_，__z_)
• 建立空间直角坐标系的方法
• (1)建立空间直角坐标系的关键是根据几何图 形的特征，尽量寻找三条互相垂直且交于一点 的直线，如若找不到，要想办法去构造．
又∵O→E＝12O→C，
∴O→E＝12(O→D－O→A＋O→B)
＝－12O→A＋12O→B＋12O→D.
③
又D→O＝－O→D，
④
将②③④代入①可得，
A→E＝(O→D－O→A)－O→D＋－12O→A＋12O→B＋12O→D ＝－32O→A＋12O→B＋12O→D，
∴A→E＝－32O→A＋12O→B＋12O→D.
7分 8分 11 分 12 分
•
用坐标表示空间向量的解题方法
与步骤为：
3．在直三棱柱 ABO－A1B1O1 中，∠AOB＝π2，AO＝4， BO＝2，AA1＝4，D 为 A1B1 的中点，在如图所示的空间直角 坐标系中，求D→O，A→1B的坐标．
解析： (1)∵D→O ＝－O→D ＝－(O→O1＋O→1D) ＝－[O→O1＋12(O→A ＋O→B)]＝－O→O1－12O→A－12O→B.
•
用基底表示向量时，
• (1)若基底确定，要充分利用向量加法、减法 的三角形法则和平行四边形法则，以及数乘向 量的运算律进行．
• (2)若没给定基底时，首先选择基底．选择时， 要尽量使所选的基向量能方便地表示其他向量， 再就是看基向量的模及其夹角是否已知或易 求．
2．设 O 为▱ABCD 所在平面外任意一点，E 为 OC 的中
高二数学人教版A版选修2-1课件：第三章 空间向量与立体几何 章末复习课
问题导学
题型探究
当堂训练
问题导学 知识点一 空间中点、线、面位置关系的向量表示
设直线l，m的方向向量分别为a，b，平面α，β的法向量分别为μ，v，则
线线平行 线面平行 面面平行
l∥m⇔a∥b⇔a＝kb ，k∈R
a⊥μ ⇔_______ a·μ＝0 l∥α⇔______ μ＝kv，k∈R α∥β⇔μ∥v⇔____________ a⊥ b a·b＝0 l⊥m⇔______ ⇔_______
线线垂直
线面垂直 面面垂直
l⊥α⇔a∥μ⇔a＝kμ，k∈R
μ·v＝0 α⊥β⇔μ⊥v⇔_______
|a· b| π |a||b| 线线夹角 l，m的夹角为θ(0≤θ≤ )，cos θ＝______ 2
|a· μ| π |a||μ| 线面夹角 l，α的夹角为θ(0≤θ≤ )，sin θ＝______ 2
解析答
1
2 3 4 5
2.若A(1，－2,1)，B(4,2,3)，C(6，－1,4)，则△ABC的形状是(
A.不等边锐角三角形 C.钝角三角形 B.直角三角形 D.等边三角形
)
A
→ → → → ― → 解析 ― AB ＝(3,4,2)，― AC ＝(5,1,3)，― BC ＝(2，－3,1)，― AB · AC ＞0 得 A 为锐角；
如图，已知在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC⊥BC，D为AB的中点，AC＝BC＝BB1.
求证：(1)BC1⊥AB1； (2)BC1∥平面CA1D.
反思与
解析答
跟踪训练 2
A1FD1.
正方体 ABCD － A1B1C1D1 中， E 、 F 分别是 BB1 、 CD 的中点，求证：平面 AED⊥平面
2019秋新版高中数学人教A版选修2-1课件：第三章空间向量与立体几何3.2.4
2 , 2
������-
2 2
2
1 + , 2
∴当 a=
2 时,|������������|min 2
即 M,N 分别为 AC,BF 的中点时,MN 的长最小,最小值为
∴������
2 2 ������,0,1- ������ 2 2
, ������
2 2 ������, ������,0 2 2
,
2 2 ∴ ������������ = 0, ������, ������-1 . 2 2
∴|������������| = ������2 - 2������ + 1,
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仅供学习交流！！！
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题型一
题型二
题型三
错解:取 CD 的中点 O,连接 OB,OM, 则 OB⊥CD,OM⊥CD. 又平面 MCD⊥平面 BCD,则 MO⊥平面 BCD. 以 O 为原点,建立空间直角坐标系如图, 由题意得 OB=OM= 3, ������������ = 2 3, 所以 C(1,0,0),M(0,0, 3), ������(0, − 3, 0), ������(0, − 3, 2 3). 设 n=(x,y,z)是平面 MBC 的法向量, 则������������ = (1, 3, 0), ������������ = (0, 3, 3), ������ + 3������ = 0, ������· ������������ = 0, 由 得 取n=( 3, −1,1). 3������ + 3������ = 0. ������· ������������ = 0, 又������������ = 0, − 3, 2 3 , 则点A 到平面 MBC 的距离 d=
2018-2019学年高中数学 第三章 空间向量与立体几何章末整合提升优质课件 新人教A版选修2-1
专题四 ⇨利用空间向量求空间角
(1)求两异面直线所成的角 设 a、b 分别是异面直线 l1，l2 上的方向向量，θ 为 l1，l2 所成 |cos〈a，b〉|＝||aa|·|bb||．
(2)求直线与平面所成的角 设 l 为平面 α 的斜线，a 为直线的方向向量，n 为平面 α 的法 所成的角，则 sinθ＝|cos〈a，n〉|＝||aa|·|nn||． (3)求二面角 设 n1、n2 分别是平面 α、β 的法向量，二面角为 θ，则 θ＝〈 －〈n1，n2〉(需要根据具体图形判断是相等还是互补)．
∴a＝(1， 2， 3)，b＝(1,0， 3) ∴cos〈a，b〉＝|aa|·|bb|＝ 16＋×32＝ 36．
专题三 ⇨利用空间向量解决平行与垂直问题
空间中的平行与垂直关系，是高考的重点题型， 的线面平行与垂直关系，使用向量将几何证明 为纯代数运算，使问题得以简化．
典例 4 如下图，长方体 ABCD－A1B1C1D1 中，E、F 分别是 A1B 上的点，且 D1E＝2EB1，BF＝2FA1．
(2)已知 a＋b＝(2， 2，2 3)，a－b＝(0， 2，0)，则 cos〈a
A．
6 3
B．
6 6
C．13
D．16
[解析] (1)∵b＝12x－2a ∴x＝2b＋4a ＝2(－4，－3，－2)＋4(2,3，－4) ＝(－8，－6，－4)＋(8,12，－16) ＝(0,6，－20) (2)a＋b＝(2， 2，2 3)，a－b＝(0， 2，0)
新课标导学
数学
选修2-1 ·人教A版
第三章 空间向量与立体几何
章末整合提升
1
知识网
2
知识整
3
专题突
知识网络
高中数学人教A版选修2-1第三章空间向量与立体几何阅读与思考向量概念的推广与应用教学课件共12张PPT含学案
从平面向量到空间向量难点解析
• 1.平面向量中成立的放在空间中是否成立？ • 2.在坐标表示的类比中，看看结构形式发生
什么样的变化？
• 3.空间向量与平面向量不同的内容是什么？
空间任意两个向量是否都可以平移到同一 平面内？
B
b
O
A
a
结论：空间任意两个向量都可以平移到同一个平面内，
z
存在实数z，使得OP = OQ + zk,
而在i,j所确定的平面上，
k
P
Oj
y
i
x
Q
由平面向量基本定理可知，存在
有序实数对 x,y，
使得OQ = xi + yj. 从而OP = OQ + zk = xi + yj + zk. 如果 i,j,k是空间三个两两垂直的向量， 那么，对空间任一个向量p，
A
b
B
c
C
A
b
C
Bc
(空间向量)
突破难点二：三个不共面向量和与这三个向量的 关系
平移这三个向量,使其具有同一起点.以这三个向量为棱 作一平行六面体,则这平行六面体中与这三个向量具有相同
起点的那条对角线所确定的一个向量即是这三个向量之和.
突破难点三：那么什么情况下三个向量共面呢？
e
2
ae1Biblioteka 由e是平2 平面面向内量的基两本个定不理共知线，的如向果量e，，1 那么对于这一平面内的任意向量 a，
存在一个有序实数组 x,y,z ,
使得p = xi + yj + zk. x i,y j,zk为向量p在 i,j,k上的分向量.
空间向量基本定理可知，存在有序实数组
高中数学优质课件精选人教版选修2-1课件第3章空间向量与立体几何3.2.2
1．在正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，E1，F1 分别在 A1B1， C1D1 上，且 E1B1＝14A1B1，D1F1＝14D1C1，求 BE1 与 DF1 所成 的夹角的余弦值．
解析： 方法一：(几何法)在 A1B1上取点 H 使 D1F1＝A1H， 连接 AH，易得：AH∥DF1，过 H 作 HG∥BE1 交 AB 于点 G， 那么∠AHG 即为两条异面直线所成的夹角，cos∠AHG＝1157；
则 B(4,4,0)，E1(4,3,4)，D(0,0,0)，F1(0,1,4)，
∴B→E1＝(0，－1,4)，D→F1＝(0,1,4)，B→E1·D→F1＝15，
cos〈B→E1，D→F1〉＝
→→ BE1·DF1 →→
＝1157，即为所求．
|BE1||DF1|
求直线与平面的夹角
•
如图所示，在正方体ABCD－
是 A→B 与C→D的夹角 cos θ＝
co〈s A→B ，C→D 〉＝
→→
A B ·C D
→→
|A B |·|C D |
角的 分类
向量求法
设二面角 α－l－β 的平面
二角 面
角为 θ，平面 α、β 的法向 量为 n1，n2，则 _|c_o_s_〈__n_1_，__n_2〉__|_＝||nn11|··|nn22||
• ②关注点：结合图形求角时，应注意平面几 何知识的应用，如等腰(边)三角形的性质、中 位线的性质及勾股定理、余弦定理及有关推
• (2)向量法
• ①方法：利用数量积或坐标方法将异面直线 所成的角θ转化为两直线的方向向量所成的角φ， 若求出的两向量的夹角为钝角，则异面直线的 夹角应为两向量夹角的补角，即cos θ＝|cos φ|.
高二数学(人教A版)选修2-1课件第三章 空间向量与立体几何
(5)面面平行 ①证明两个平面的法向量平行(即是共线向量)； ②转化为线面平行、线线平行问题． (6)面面垂直 ①证明两个平面的法向量互相垂直； ②转化为线面垂直、线线垂直问题．
6．运用空间向量求空间角 (1)求两异面直线所成角 a· b 利用公式 cos〈a，b〉＝ ， |a|· |b| 但务必注意两异面直线所成角 θ
(3)求二面角 用向量法求二面角也有两种方法： 一种方法是利用平面角 的定义， 在两个面内先求出与棱垂直的两条直线对应的方向向 量， 然后求出这两个方向向量的夹角， 由此可求出二面角的大 小；另一种方法是转化为求二面角的两个面的法向量的夹角， 它与二面角的大小相等或互补．
7．运用空间向量求空间距离 空间中的各种距离一般都可以转化为求点与点、点与线、 点与面的距离． (1)点与点的距离 点与点之间的距离就是这两点间线段的长度， 因此也就是 这两点对应向量的模．
二、利用空间向量求空间角 (1)求两异面直线所成的角 设 a，b 分别是异面直线 l1，l2 上的方向向量，θ 为 l1，l2 |a· b| 所成的角，则 cosθ＝|cos〈a，b〉|＝|a||b|. (2)求直线与平面所成的角 设 l 为平面 α 的斜线，a 为直线的方向向量，n 为平面 α 的法向量，θ 为 l 与 α 所成的角，则 sinθ＝|cos〈a，n〉|＝ |a· n| . |a||n|
成才之路· 数学
人教A版 ·选修2-1
路漫漫其修远兮 吾将上下而求索
第三章
空间向量与立体几何
第三章
章末归纳总结
知识梳理
1．空间向量的概念及其运算与平面向量类似，向量加、 减法的平行四边形法则， 三角形法则以及相关的运算律仍然成 立．空间向量的数量积运算、共线向量定理、共面向量定理都 是平面向量在空间中的推广， 空间向量基本定理则是向量由二 维到三维的推广．
(人教版)高中数学选修2-1课件：第3章 空间向量与立体几何3.2.1
第三章 空间向量与立体几何
自主学习 新知突破
合作探究 课堂互动
高效测评 知能提升
2 ． 在 正 方 体 ABCD － A1B1C1D1 中 ， O 是 B1D1 的 中 点 ， 求 证：B1证C∥明平：面O证D法C1一. ：∵B→1C＝A→1D，B1∉A1D，∴B1C∥A1D，
(2)求平面法向量的常见类型 ①已知平面内三个点的坐标，求这三个点确定的平面的法 向量； ②一个几何体中存在线面垂直关系，在建立空间直角坐标 系后，平面的垂线的方向向量即为平面的法向量； ③在几何体中找到平面内已知点的坐标或找到与平面平行 的向量，然后求平面的法向量．
数学 选修2-1
第三章 空间向量与立体几何
数学 选修2-1
第三章 空间向量与立体几何
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(1)设 AC 与 BD 交于点 G，则 G 为 AC 的中点， 于是 G 22， 22，0，从而E→G＝ 22， 22，－1， 又A→F＝－ 22，－ 22，1＝－E→G，所以A→F∥E→G.因为 AF 与 EG 不共线，所以 AF∥EG，又 EG⊂平面 BDE，AF⊄平面 BDE，所以 AF∥平面 BDE.
数学 选修2-1
第三章 空间向量与立体几何
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3．已知平面α上两个不共线向量a＝(2,3,1)，b＝(5,6,4)， 则平面α的一个法向量为________．
解析： 设平面 α 的法向量为 n＝(x，y，z)，
由ab··nn＝ ＝00 得25xx＋ ＋36yy＋ ＋z4＝z＝0， 0，
思路点拨： 建立空间直角坐标系 → 求出相应点的坐标 → P→Q，R→S的坐标 → P→Q∥R→S ⇒ 结论
高中数学 3.2 立体几何中的向量法 课时2课件 新人教A版选修2-1
2 22
2
A 1 A C A B A D 1 2 ( A A A B A D A 1 B A A A 1 D ) A
即a 23x 22 (3x 2co)s x 361cos a
∴ 这个四棱柱的对角线的长可以确定棱长。
（3）本题的晶体中相对的两个平面之间的距离是多少？（提示：
Hale Waihona Puke 求两个平行平面的距离，通常归结为求两点间的距离） D1
1 1 1 2 (c 6 o c 0 6 s o c 0 s 6 o )0 s
6
所以 | AC1 | 6 回到图形问题
这个晶体的对角线 AC 1 的长是棱长的 6 倍。
（1）本题中四棱柱的对角线BD1的长与棱长有什么关系？
分析: B1D BA BC B1B
D1
C1
其 A 中 B A 1 C 1 B ， 2 B B 1 B 0 6 C 0A1
第三章 空间向量与立 体几何
3.2 立体几何中的向量法 (2)
——空间向量与空间距离
本节课主要学习利用空间向量求空间距离.从复习一个向量 在另一个向量上的射影入手，进行新课导入.以学生自主探究为 主，探索用空间向量解决立体几何问题的三步曲. 接着探讨点 点距离、点线距离、点面距离、线线距离、线面距离及面面距 离的求法. 例1探索两点之间距离的求法.例2是求物体的受力大 小问题，而实质还是求两点间的距离问题.
3
如图所示，在120°的二面角α ABβ中，AC⊂α， BD⊂β且AC⊥AB，BD⊥AB，垂足分别为A、B，已知AC＝ AB＝BD＝6，试求线段CD的长．
解 ∵AC⊥AB，BD⊥AB，∴C→A·A→B＝0，B→D·A→B＝0，
又∵二面角 α -AB-β 的平面角为 120°，
【全程复习方略】2014-2015学年高中数学 第三章 空间向量与立体几何阶段复习课课件 新人教A版选修2-1
【自主解答】(1)选B.|a|=|b|，说明a与b模长相等，但方向不 确定；对于a的相反向量b=-a，故|a|=|b|，从而B正确；空间 向量只定义加法具有结合律，减法不具有结合律；一般的四边 形不具有 AB AD AC ，只有平行四边形才能成立.故A，C，D 均不正确.
AN〉， (2)由数量积公式得， AM AN | AM | AN cos〈AM，
主题二 空间向量的坐标运算
【典例2】(1)若向量a=(4，2，－4)，b=(6，－3，2)，则(2a－
3b)·(a+2b)=
.
(2)若A(x，5－x，2x－1)，B(1，x+2，2-x)，当|AB |取最小值
时，x的值等于
.
【自主解答】(1)因为2a－3b=(－10，13，－14)， a+2b=(16，－4，0)，所以(2a－3b)·(a+2b) =(－10，13，－14)·(16，－4，0)＝－212. 答案：－212
1 －x 6y， 2a－ 所以 a 1 －3x－y， 2 2x 4y，
解得x=－7，y=4，a=16.
主题三 空间向量与平行、垂直问题 【典例3】(1)已知A，B，C三点的坐标分别为A(4，1，3)， B(2，－5，1)，C(3，7，λ )，若 AB AC 则λ 等于( ， A．28 B．－28 C．14 D．－14 )
a 2
a ，1，-1)， 2
因为 AD1 B1E = a 〓0+1〓1+(-1)〓1=0，
2
a ，1，0). 2
所以B1E⊥AD1.
②假设在棱AA1上存在一点P(0，0，z0)(0≤z0≤1)，
使得DP∥平面B1AE.
此时 DP =(0，-1，z0).
高中数学 第三章 空间向量与立体几何章末复习课 新人教A版选修2-1
【金版学案】2016-2017学年高中数学 第三章 空间向量与立体几何章末复习课 新人教A 版选修2-1[整合·网络构建][警示·易错提醒]1．几种空间向量之间的区别与联系(1)a 与其相反向量－a 为共线向量(平行向量)．(2)相等向量为共线向量(平行向量)，但共线向量(平行向量)不一定为相等向量． (3)若两个非零向量共线，则这两个向量所在的直线可能平行，也可能重合，空间中任意两个向量都是共面的，这些概念一定要准确理解．2．向量的数量积运算与实数的乘法运算的不同点 (1)a ·b ＝0 a ＝0或b ＝0. (2)a ·c ＝a ·b c ＝b .(3)(a ·b )c a ·(b ·c ) (4)a ·b ＝ka ＝kb ⎝⎛⎭⎪⎫或b ＝k a.3．向量共线充要条件及注意点(1)对空间任意两个向量a ，b (b ≠0)，a ∥b 的充要条件是存在实数λ，使a ＝λb . (2)注意点：l 为经过已知点A 且平行于已知非零向量a 的直线，对空间任意一点O ，点P 在直线l 上的充要条件是存在实数t ，使OP →＝OA →＋ta .(3)坐标表示下的向量平行条件．设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)，则a ∥b ⇔a 1＝λb 1，a 2＝λb 2，a 3＝λb 3(λ∈R)，这一形式不能等价于a 1b 1＝a 2b 2＝a 3b 3，只有在向量b 与三个坐标轴都不平行时才可以这样写．4．向量共面充要条件及注意点(1)若两个向量a ，b 不共线，则向量p 与向量a ，b 共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x ，y )，使p ＝xa ＋yb .(2)注意点：①空间一点P 位于平面ABC 内的充要条件是存在有序实数对(x ，y )，使AP →＝xAB →＋yAC →； ②空间任意一点O 和不共线的三点A ，B ，C ，满足向量关系式OP →＝xOA →＋yOB →＋zOC →(其中x ＋y ＋z ＝1)，则点P 与点A ，B ，C 共面．5．利用向量法求空间角的注意事项(1)利用向量法求空间角时，要注意空间角的取值范围与向量夹角取值范围的区别．例如，若△ABC 的内角∠BAC ＝θ，则BA →与AC →夹角为π－θ，而非θ.(2)特别地，二面角的大小等于其法向量的夹角或其补角，到底等于哪一个，要根据题目的具体情况看二面角的大小．(3)对所用的公式要熟练，变形时运用公式要正确并注意符号等细节，避免出错．专题一 空间向量及其运算空间向量及其运算的知识与方法与平面向量及其运算类似，是平面向量的拓展，主要考查空间向量的共线与共面以及数量积运算，是用向量法求解立体几何问题的基础．[例1] 沿着正四面体O ABC 的三条棱OA →、OB →、OC →的方向有大小等于1、2和3的三个力f 1，f 2，f 3.试求此三个力的合力f 的大小以及此合力与三条棱所夹角的余弦值．解：如图所示，用a ，b ，c 分别代表棱OA →、OB →、OC →上的三个单位向量，则f 1＝a ，f 2＝2b ，f 3＝3c ， 则f ＝f 1＋f 2＋f 3＝a ＋2b ＋3c ，所以|f |2＝(a ＋2b ＋3c )(a ＋2b ＋3c )＝|a |2＋4|b |2＋9|c |2＋4a ·b ＋6a ·c ＋12b ·c ＝14＋4cos 60°＋6cos 60°＋12cos 60°＝14＋2＋3＋6＝25，所以|f |＝5，即所求合力的大小为5.且cos 〈f ，a 〉＝f ·a |f |·|a |＝|a |2＋2a ·b ＋3a ·c5＝1＋1＋325＝710，同理可得：cos 〈f ，b 〉＝45，cos 〈f ，c 〉＝910.归纳升华空间向量的运算有加、减、数乘和数量积的运算，有三角形法则、平行四边形法则、首尾相接的多边形法则，通过这些运算可以对向量多项式进行化简、整理、求值，可以用来解决共线、共面、平行、垂直等问题，向量运算是解决数学问题的重要工具，应该熟练掌握，灵活运用．在不利于建立空间直角坐标系的情况下，选择恰当的基底，通过基向量的运算解决数学问题是十分有效的数学方法，应当高度重视．[变式训练] 如图，在四棱锥S ABCD 中，底面ABCD 是边长为1的正方形，S 到A 、B 、C 、D 的距离都等于2.给出以下结论：①SA →＋SB →＋SC →＋SD →＝0；②SA →＋SB →－SC →－SD →＝0；③SA →－SB →＋SC →－SD →＝0；④SA →·SB →＝SC →·SD →；⑤SA →·SC →＝0.其中正确结论的序号是________．解析：容易推出：SA →－SB →＋SC →－SD →＝BA →＋DC →＝0，所以③正确；又因为底面ABCD 是边长为1的正方形，SA ＝SB ＝SC ＝SD ＝2，所以SA →·SB →＝2×2×cos ∠ASB ，SC →·SD →＝2×2×cos ∠CSD ，而∠ASB ＝∠CSD ，于是SA →·SB →＝SC →·SD →，因此④正确，其余三个都不正确，故正确结论的序号是③④.答案：③④专题二 利用空间向量证明空间中的位置关系用向量作为工具来研究几何，真正把几何的形与代数中的数有机结合，给立体几何的研究带来了极大的便利．利用空间向量可以方便地论证空间中的一些线面位置关系，如线面平行、线面垂直、面面平行、面面垂直等．[例2] 正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是BB 1、CD 的中点，求证：平面AED ⊥平面A 1FD 1.证明：如图，建立空间直角坐标系D xyz .设正方体棱长为1，则E ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，1，12、D 1(0，0，1)，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，0、A (1，0，0)． 所以DA →＝(1，0，0)＝D 1A 1→，DE →＝⎝⎛⎭⎪⎫1，1，12，D 1F →＝⎝⎛⎭⎪⎫0，12，－1.设m ＝(x 1，y 1，z 1)，n ＝(x 2，y 2，z 2)分别是平面AED 和A 1FD 1的一个法向量， 由⎩⎨⎧m ·DA →＝0，m ·DE →＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝0，x 1＋y 1＋12z 1＝0. 令y 1＝1，得m ＝(0，1，－2)．又由⎩⎨⎧n ·D 1A 1→＝0，n ·D 1F →＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝0，12y 2－z 2＝0.令z 2＝1，得n ＝(0，2，1)．因为m ·n ＝(0，1，－2)×(0，2，1)＝0， 所以m ⊥n ，故平面AED ⊥平面A 1FD 1. 归纳升华1．证明两条直线平行，只需证明这两条直线的方向向量是共线向量． 2．证明线面平行的方法：(1)证明直线的方向向量与平面的法向量垂直；(2)证明平面内存在一个向量与已知直线的方向向量共线． 3．证明面面平行的方法：(1)转化为线线平行或线面平行处理； (2)证明两个平面的法向量是共线向量．4．证明线线垂直的方法是证明这两条直线的方向向量互相垂直． 5．证明线面垂直的方法：(1)证明直线的方向向量与平面的法向量是共线向量；(2)证明直线的方向向量与平面内的两个不共线的向量互相垂直． 6．证明面面垂直的方法：(1)转化为线线垂直或线面垂直处理； (2)证明两个平面的法向量互相垂直．[变式训练] 如图所示，已知PA ⊥平面ABCD ，ABCD 为矩形，PA ＝AD ，M ，N 分别为AB ，PC 的中点．求证：(1)MN ∥平面PAD ； (2)平面PMC ⊥平面PDC .证明：(1)如图所示，以A 为坐标原点，AB ，AD ，AP 所在的直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系A xyz .设PA ＝AD ＝a ，AB ＝b ，则有P (0，0，a )，A (0，0，0)，D (0，a ，0)，C (b ，a ，0)，B (b ，0，0)．因为M ，N 分别为AB ，PC 中点，所以M ⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2，0，0，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2，a 2，a2. 所以MN →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a 2，a 2. 法一：AP →＝(0，0，a )，AD →＝(0，a ，0)， 所以MN →＝12AD →＋12AP →.又因为MN ⊄平面PAD ，所以MN ∥平面PAD . 法二：易知AB →为平面PAD 的一个法向量． AB →＝(b ，0，0)，所以AB →·MN →＝0，所以AB →⊥MN →， 又MN ⊄平面PAD ，所以MN ∥平面PAD .(2)由(1)可知：P (0，0，a )，C (b ，a ，0)，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫b2，0，0，D (0，a ，0)． 所以PC →＝(b ，a ，－a )，PM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2，0，－a ，PD →＝(0，a ，－a )．设平面PMC 的一个法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)，则⎩⎪⎨⎪⎧n 1·PC →＝0⇒bx 1＋ay 1－az 1＝0n 1·PM →＝0⇒b2x 1－az 1＝0， 所以⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝2a b z 1y 1＝－z 1，令z 1＝b，则n 1＝(2a ，－b ，b )． 设平面PDC 的一个法向量为n 2＝(x 2，y 2，z 2)， 则⎩⎨⎧n ·PC →＝0⇒bx 2＋ay 2－az 2＝0n 2·PD →＝0⇒ay 2－az 2＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝0，y 2＝z 2，令z 2＝1，则n 2＝(0，1，1)，因为n 1·n 2＝0－b ＋b ＝0，所以n 1⊥n 2. 所以平面PMC ⊥平面PDC . 专题三 利用空间向量求空间角空间角包括：异面直线所成的角(线线角)、直线与平面所成的角(线面角)、二面角(面面角)．用向量法求空间角，把复杂的作角、证明、求角问题代数化，降低了思维难度，是近年来高考的一个方向．[例3] 如图①，在△ABC 中，∠ABC ＝60°，∠BAC ＝90°，AD 是BC 边上的高．沿AD 把△ABD 折起，得如图②所示的三棱锥，其中∠BDC ＝90°.(1)证明：平面ABD ⊥平面BDC ；(2)设E 为BC 的中点，求AE →与DB →夹角的余弦值． (1)证明：因为折起前AD 是BC 边上的高， 所以当△ABD 折起后，AD ⊥DC ，AD ⊥DB .又因为DB ∩DC ＝D ，所以AD ⊥平面BDC . 因为AD ⊂平面ABD ，所以平面ABD ⊥平面BDC .(2)解：由∠BDC ＝90°及(1)，知DA ，DB ，DC 两两垂直．不妨设|DB |＝1，以D 为坐标原点，以DB ，DC ，DA 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，易得D (0，0，0)，B (1，0，0)，C (0，3，0)，A (0，0，3)．因为E 为BC 中点，所以E ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，0. 所以AE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，－3， DB →＝(1，0，0)．所以cos(AE →，DB →)＝AE →·DB→|AE →||DB →|＝12224×1＝2222. 故AE →与DB →夹角的余弦值是2222.归纳升华1．(1)设异面直线l 1，l 2的方向向量分别为m 1，m 2，则l 1与l 2所成的角θ满足cos θ＝|cos 〈m 1，m 2〉|.(2)设直线l 的方向向量和平面α的法向量分别为m ，n ，则直线l 与平面α所成的角θ满足sin θ＝|cos 〈m ，n 〉|.(3)求二面角的大小：①如图①，AB ，CD 是二面角αl β的两个面内与棱l 垂直的直线，则二面角的大小θ＝〈AB →，CD →〉．②如图②③，n 1，n 2分别是二面角αl β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小θ满足cos θ＝cos 〈n 1，n 2〉或π－cos 〈n 1，n 2〉．2．对于折叠问题，应注意确定图形在折起前后不变的量，如角的大小不变、线段长度不变、线线关系不变，然后根据折叠后所得几何体的特征建立空间直角坐标系，进一步用坐标法解决相关问题．[变式训练] 如图①，在等腰直角三角形ABC 中，∠A ＝90°，BC ＝6，D ，E 分别是AC ，AB 上的点，CD ＝BE ＝2，O 为BC 的中点．将△ADE 沿DE 折起，得到如图②所示的四棱锥A ′BCDE ，其中A ′O ＝ 3.图① 图②(1)证明：A ′O ⊥平面BCDE ；(2)求二面角A ′CD B 的平面角的余弦值． (1)证明：由题意，易得OC ＝3，AC ＝32，AD ＝2 2. 连接OD ，OE ，在△OCD 中，由余弦定理可得OD ＝OC 2＋CD 2－2OC ·CD cos 45°＝ 5.由翻折不变性可知A ′D ＝22， 所以A ′O 2＋OD 2＝A ′D 2， 所以A ′O ⊥OD .同理可证A ′O ⊥OE ，又OD ∩OE ＝O ， 所以A ′O ⊥平面BCDE .(2)解：法一：过O 作OH ⊥CD 交CD 的延长线于H ，连接A ′H ，如图③.图③因为A ′O ⊥平面BCDE . 所以A ′H ⊥CD ，所以∠A ′HO 为二面角A ′CD B 的平面角． 结合OC ＝3，∠BCD ＝45°，得OH ＝322，从而A ′H ＝OH 2＋OA ′2＝302. 所以cos ∠A ′HO ＝OH A ′H ＝155，所以二面角A ′CD B 的平面角的余弦值为155. 法二(向量法)．以O 点为原点，建立空间直角坐标系O xyz 如图④所示，图④则A ′(0，0，3)，C (0，－3，0)，D (1，－2，0)，所以CA ′→＝(0，3，3)，DA →′＝(－1，2，3)．设n ＝(x ，y ，z )为平面A ′CD 的法向量，则⎩⎨⎧n ·CA ′→＝0，n ·DA ′→＝0，即⎩⎨⎧3y ＋3z ＝0，－x ＋2y ＋3z ＝0，解得⎩⎨⎧y ＝－x ，z ＝3x ， 令x ＝1，得n ＝(1，－1，3)，即n ＝(1，－1，3)为平面A ′CD 的一个法向量． 由(1)知，OA ′→＝(0，0，3)为平面CDB 的一个法向量，所以cos 〈n ，OA ′→〉＝n ·OA ′→|n ||OA ′→|＝33×5＝155，即二面角A ′CD B 的平面角的余弦值为155. 专题四 探索性问题探索性问题即在一定条件下论证会不会出现某个结论．这类题型常以适合某种条件的结论“存在”“不存在”“是否存在”等语句表述．解答这类问题，一般要先对结论作出肯定的假设，然后由此肯定的假设出发，结合已知条件进行推理论证．若导出合理的结论，则存在性也随之解决；若导出矛盾，则否定了存在性．[例4] 如图，四棱锥S ABCD 的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的2倍，P 为侧棱SD 上的点．(1)求证：AC ⊥SD .(2)若SD ⊥平面PAC ，求二面角P AC D 的大小．(3)在(2)的条件下，侧棱SC 上是否存在一点E ，使得BE ∥平面PAC .若存在，求SE ∶EC 的值？若不存在，试说明理由．(1)证明：连接BD ，设AC 交BD 于点O ，由题意知SO ⊥平面ABCD .以O 为坐标原点，OB →，OC →，OS →分别为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系O xyz ，如图，设底面边长为a ，则高SO ＝62a .于是S ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，0，62a ， D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－22a ，0，0，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22a ，0，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫22a ，0，0， OC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22a ，0，SD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－22a ，0，－62a ，OC →·SD →＝0，故OC ⊥SD . 从而AC ⊥SD .(2)解：由题意知，平面PAC 的一个法向量DS →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22a ，0，62a ，平面DAC 的一个法向量OS →＝⎝⎛⎭⎪⎫0，0，62a .设所求二面角为θ，则cos θ＝OS →·DS →|OS →||DS →|＝32，故所求二面角P AC D 的大小为30°.(3)解：存在．假设在侧棱SC 上存在一点E ，使BE ∥平面PAC . 由(2)知DS →是平面PAC 的一个法向量．且DS →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22a ，0，62a ，CS →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－22a ，62a ，BC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－22a ，22a ，0，设CE →＝tCS →，则BE →＝BC →＋CE →＝BC →＋tCS →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－22a ，22a （1－t ），62at 由BE →·DS →＝0，得t ＝13. 即当SE ∶EC ＝2∶1时，BE →⊥DS →.而BE ⊄平面PAC ，故BE ∥平面PAC .归纳升华在立体几何中，经常会遇到点、线、面处在什么位置时结论成立，或某一结论成立时需要具备什么条件，或某一结论在某一条件下，某个元素在某个位置时是否成立等类似的问题．这些问题都属探索性问题，解决这些问题仅凭几何手段有时会十分困难，我们借助向量将“形”转化为“数”，把点、线、面的位置数量化，通过代数式的运算就可得出相应的结论．这样可以把许多几何问题进行类化，公式化，使问题的解决变得有“法”可依，有路可寻．[变式训练] 如图①所示，直角梯形ABCD 中，∠BCD ＝90°，AD ∥BC ，AD ＝6，DC ＝BC ＝3.过点B 作BE ⊥AD 于点E ，P 是线段DE 上的一个动点．将△ABE 沿BE 向上折起，使平面AEB ⊥平面BCDE ，连结PA ，PC ，AC (如图②)．图① 图②(1)取线段AC 的中点Q ，问：是否存在点P ，使得PQ ∥平面AEB ？若存在，求出PD 的长；若不存在，请说明理由．(2)当EP ＝23ED 时，求平面AEB 和平面APC 所成的锐二面角的余弦值． 解：(1)存在．当P 为DE 的中点时，满足PQ ∥平面AEB .如图，取AB 的中点M ，连接EM ，QM .由Q 为AC 的中点，得MQ ∥BC ，且MQ ＝12BC ， 又PE ∥BC ，且PE ＝12BC ， 所以PE ∥MQ ，PE ＝MQ ，所以四边形PEMQ 为平行四边形，故ME ∥PQ .又PQ ⊄平面AEB ，ME ⊂平面AEB ，所以PQ ∥平面AEB .从而存在点P ，使得PQ ∥平面AEB ，此时PD ＝32. (2)由平面AEB ⊥平面BCDE ，交线为BE ，且AE ⊥BE ，所以AE ⊥平面BCDE .又BE ⊥DE ，以E 为原点，分别以EB →，ED →，EA →为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系(如图)，则E (0，0，0)，B (3，0，0)，A (0，0，3)，P (0，2，0)，C (3，3，0)．所以PC →＝(3，1，0)，PA →＝(0，－2，3)．平面AEB 的一个法向量n 1＝(0，1，0)，设平面APC 的法向量为n 2＝(x ，y ，z )，由⎩⎨⎧n 2·PC →＝0，n 2·PA →＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y ＝0，－2y ＋3z ＝0. 取y ＝3，得n 2＝(－1，3，2)，所以cos 〈n 1，n 2〉＝31×14＝31414， 即平面AEB 和平面APC 所成的锐二面角的余弦值为31414. 专题五 转化与化归思想空间向量的坐标及运算为解决立体几何中的夹角、距离、垂直、平行等问题提供了工具，因此我们要善于把这些问题转化为向量的夹角、模、垂直、平行等问题，利用向量方法解决．将几何问题化归为向量问题，然后利用向量的性质进行运算和论证，再将结果转化为几何问题．这种“从几何到向量，再从向量到几何”的思想方法，在本章尤为重要．[例5] 如图所示，在矩形ABCD 中，AB ＝4，AD ＝3，沿对角线AC 折起，使D 在平面ABC 上的射影E 恰好在AB 上，求二面角B AC D 的余弦值．解：如图所示，作DG ⊥AC 于G ，BH ⊥AC 于H ，在Rt △ADC 中，AC ＝AD 2＋CD 2＝5，cos ∠DAC ＝AD AC ＝35. 在Rt △ADG 中，AG ＝AD cos ∠DAC ＝3×35＝95，DG ＝AD 2－AG 2＝125，同理cos ∠BCA ＝35，CH ＝95，BH ＝125， 因为AD →·BC →＝(AE →＋ED →)·BC →＝AE →·BC →＋ED →·BC →＝0，所以GD →·HB →＝(GA →＋AD →)·(HC →＋CB →)＝GA →·HC →＋GA →·CB →＋AD →·HC →＋AD →·CB →＝－95×95＋95×3×35＋3×95×35＋0＝8125， 又|GD →|·|HB →|＝14425，所以cos 〈GD →，HB →〉＝916， 即所求二面角B AC D 的余弦值为916. 归纳升华1．转化与化归思想在立体几何中的应用．在立体几何中，体现转化与化归思想的问题有：(1)把立体几何问题转化为向量问题，通过空间向量的运算求出立体几何的问题．(2)立体几何问题之间的转化，例如：①空间图形问题转化为平面几何问题；②线面角、二面角转化为平面角；③空间各种距离之间的相互转化等．这些都体现了转化与化归的思想．2．本例中，求二面角的大小，通过作出垂直于棱的两个向量，转化为求这两个向量的夹角，但应注意两向量的始点应在二面角的棱上．[变式训练] 已知ABCD 是边长为4的正方形，E ，F 分别是AD ，AB 的中点，GC 垂直于ABCD 所在的平面，且GC ＝2，求点B 到平面FEG 的距离．解：法一：如图，以C 为坐标原点，CD ，CB ，CG 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，则G (0，0，2)，B (0，4，0)，A (4，4，0)，D (4，0，0)，E (4，2，0)，F (2，4，0)，故GE →＝(4，2，－2)，GF →＝(2，4，－2)．设n 0＝(x ，y ，z )是平面EFG 的单位法向量，则有⎩⎪⎨⎪⎧|n 0|2＝1，n 0·GE →＝0，n 0·GF →＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＋z 2＝1，2x ＋y －z ＝0，x ＋2y －z ＝0.取z ＞0，得x ＝y ＝111，z ＝311.所以n 0＝111(1，1，3)．又因为GB →＝(0，4，－2)，所以d ＝|n 0·GB →|＝ ⎪⎪⎪⎪⎪⎪111（1，1，3）·（0，4，－2）＝21111， 即点B 到平面FEG 的距离为21111. 法二：设点B 到平面FEG 的距离为h .因为四边形ABCD 为正方形，E ，F 分别为DA ，AB 的中点，所以CE ＝CF ＝2 5. 所以GE ＝GF ＝26，EF ＝2 2.所以S △GEF ＝12×22×24－2＝211. 因为V B FEG ＝V G BEF (等体积转化)，所以13×211h ＝13×⎝ ⎛⎭⎪⎫12×2×2×2. 所以h ＝211＝21111.。
高二数学人教版A版选修2-1课件：第三章 空间向量与立体几何 3.1.3
解析答
― → ― → ― → (2)| OA ＋ OB ＋ OC |.
解 ＝ ＝
― → ― → ― → | OA ＋ OB ＋ OC | →＋― →＋― →2 ― OA OB OC →2 ― →2 ― →2 ― →― → ― →― → ― →― → OA ＋ OB ＋ OC ＋2 OA · OB ＋ OB · OC ＋ OA · OC
＝ 12＋12＋12＋21×1×cos 60° ×3＝ 6.
解析答
类型二
例2
利用数量积求夹角
BB1⊥平面ABC，且△ABC是∠B＝90°的等腰直角三角形，▱ABB1A1、▱BB1C1C的对角线都分
别相互垂直且相等，若AB＝a，求异面直线BA1与AC所成的角.
反思与
解析答
跟踪训练2
且l⊥OA.
其中正确的有(
A.①② C.③④
)
D B.②③ D.②④
解析 结合向量的数量积运算律，只有②④正确.
解析答
1
2 3 4 5
― → ― → ― → 2.已知正方体 ABCD-A′B′C′D′的棱长为 a，设 AB ＝a，AD ＝b， AA′ ― ― → ― ― ― → ＝c，则〈A′B， B′D ′〉等于( A.30° C.90° B.60°
当堂训练
问题导学 知识点一 空间向量数量积的概念
思考
如图所示，在空间四边形 OABC 中，OA＝8，
AB＝6，AC＝4，BC＝5，∠OAC＝45° ，∠OAB＝60° ， ― → ― → 类比平面向量有关运算，如何求向量 OA 与 BC 的数量 积？并总结求两个向量数量积的方法.
梳理
(1)定义：已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b.
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方法总结
思想构建
1.数形结合思想 数形结合思想就是把抽象的数学语言与直观图形结合来思索，抽象思 维和形象思维结合，通过“以形助数”和“以数解形”使复杂问题简 单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题过程的目的.空间向量是既 有大小又有方向的量，空间向量本身就具有数形兼备的特点，因此将 立体几何中的“形”与代数中的“数”有机地结合在一起，使解答过 程顺畅、简捷、有效，提高解题速度.
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第三章 空间向量与立体几何
章末复习提升
栏目 索引
知识网络 要点归纳 方法总结
整体构建 主干梳理 思想构建
知识网络
整体构建
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要点归纳
主干梳理
1.空间向量的运算及运算律 空间向量加法、减法、数乘、向量的意义及运算律与平面向量类似， 空间任意两个向量都可以通过平移转化为平面向量，两个向量相加的 三角形法则与平行四边形法则仍然成立. 2.两个向量的数量积的计算 向量的数量积运算要遵循数量积的性质和运算律，常用于有关向量相 等、两向量垂直、射影、夹角等问题中.
解析答案
课堂小结
空间向量的引入为立体几何问题的解决提供了新的思路，作为解决空 间几何问题的重要工具，对空间向量的考查往往渗透于立体几何问题 解决的过程之中，成为新课标高考必考的热点之一. (1)对本章的考查的重点是空间线面之间的位置关系的证明与探究；空 间中的线线角、线面角以及二面角的求解；空间中简单的点点距和点 面距的求解.给出位置关系、角度或距离探求点的存在性问题在近几年 考查中已有体现.题目主要以解答题的形式给出，兼顾传统的立体几何 的求解方法，主要考查空间向量在解决立体几何中的应用，渗透空间 向量的基本概念和运算.
得nn22··FC——C1—→B→11＝＝22yx22＋＝z02＝，0，
得xz22＝＝－0，2y2.
令z2＝2，得y2＝－1，所以n2＝(0，－1,2)， 因为n1＝n2，所以n1∥n2，所以平面ADE∥平面B1C1F.
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2.转化和化归思想 转化和化归思想是指在解决数学问题时采用某种手段将问题通过变换 使之转化，进而使问题得到解决的一种解题策略.其本质含义是：在解 决一个问题时人们的眼光并不落在结论上，而是去寻觅、追溯一些熟 知的结论，由此将问题化繁为简，化大为小，各个击破，达到最终解 决问题的目的.
(1)求直线AC与PB所成角的余弦值；
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(2)在侧面PAB内找一点N，使NE⊥平面PAC，并求出点N到AB的距离和 点N到AP的距离.
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跟踪训练3 如图，在直三棱柱ABC—A1B1C1中， AB＝4，AC＝BC＝3，D为AB的中点. (1)求点C到平面A1ABB1的距离；
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(2)若AB1⊥A1C，求二面角A1—CD—C1的平面角的D—A1B1C1D1的棱长为2，E、F分别是BB1、 DD1的中点，求证： (1)FC1∥平面ADE；
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(2)平面ADE∥平面B1C1F. 证明 因为C——1B→1＝(2,0,0)，设 n2＝(x2，y2，z2)是平面 B1C1F 的一个法向量.
由 n2⊥F—C→1，n2⊥C——1B→1，
(1)求多面体EABCDF的体积；
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(2)求直线EB与平面ECF所成角的正弦值；
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(3)记线段BC的中点为K，在平面ABCD内过点K作一条直线与平面ECF 平行，要求保留作图痕迹，但不要求证明. 解 如图所示，取线段CD的中点Q，连接KQ，直线KQ即为所求.
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3.方程思想 方程思想是从问题的数量关系入手，运用数学语言将问题中的条件转 化为数学模型(方程、不等式)，然后通过解方程(组)或不等式(组)来使 问题获解.用空间向量解决立体几何问题属于用代数方法求解，很多时 候需引入未知量.
即x3＝y＋0， 4z＝0， 令 y＝1，则 z＝－34，∴n＝(0,1，－34)，
又由(1)知，平面 AB1C1 的一个法向量为C—A→1＝(4,0,4)，
∴cos〈n·C—A→1〉＝
—→ n·C—A→1 ＝
－35＝－3102，
|n|·|CA1| 4 2·4
∴二面角 C1－AB1－C 的余弦值为3102.
例1 某几何体ABC－A1B1C1的三视图和直观图如图所示.
(1)求证：A1C⊥平面AB1C1；
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(2)求二面角C1－AB1－C的余弦值. 解 由(1)得，C→A＝(4,0,0)，C—B→1＝(0,3,4)，
设平面AB1C的法向量为n＝(x，y，z)， ∵C→A⊥n，C—B→1⊥n
C→A·n＝0， ∴C—B→1·n＝0，
3.空间向量的坐标运算，关键是建立恰当的空间直角坐标系，然后再 利用有关公式计算求解.常用向量的坐标运算来证明向量的垂直和平行 问题，利用向量的夹角公式和距离公式求解空间角与空间距离的问题. 4.空间向量的基本定理说明：用三个不共面的已知向量{a，b，c}可以 线性表示出空间任意一个向量，而且表示的结果是惟一的.
5.利用向量解决几何问题具有快捷、有效的特征.一般方法如下：先将 原问题转化为等价的向量问题，即将已知条件中的角转化为向量的夹 角，线段长度转化为向量的模，并用已知向量表示出未知向量，然后 利用向量的运算解决该向量问题，从而原问题得解. 6.利用向量坐标解决立体几何问题的关键在于找准位置，建立适当、 正确的空间直角坐标系，难点是在已建好的坐标系中表示出已知点的 坐标，只有正确表示出已知点的坐标，才能通过向量的坐标运算，实 现几何问题的代数化解法.
(2)空间向量的引入使空间几何体也具备了“数字化”的特征，从而把 空间线面关系的逻辑推理证明与空间角、距离的求解变成了纯粹的数 字运算问题，降低了思维的难度，成为新课标高考必考的热点.考查的 重点是结合空间几何体的结构特征求解空间角与距离，其中二面角是 历年新课标高考命题的热点，多为解答题.
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