函数章末小结与提升

章末小结与提升
函数{
变量与函数{
常量与变量函数与函数值函数图象的画法
{ (1)列表(2) 描点
(3) 连线 函数的表示方法{列表法解析式法
图象法一次函数{
正比例函数{图象性质一次函数{图象
性质一次函数与方程、不等式的关系函数的应用
类型1 变量与函数
典例1 已知W=x+1,
y=W
2
,那么y 是不是x 的函数?若不是,请说明理由;若是,请写
出y 与x 之间的函数关系式. 【解析】y 是x 的函数.
∵W=x+1,y=W
2,∴y=
x+1
2
. 【针对训练】
1.下列平面直角坐标系中的曲线不能表示y 是x 的函数的是 (C )
2.甲、乙两人以相同的路线前往离学校12千米的地方参加植树活动.图中l 甲,l 乙分别表
示甲、乙两人前往目的地所行驶的路程s (千米)随时间t (分钟)变化的函数图象,则每分钟乙比甲多行驶 3
5 千米.
3.已知直线m ,n 之间的距离是3,△ABC 的顶点A 在直线m 上,边BC 在直线n 上,求△ABC 的面积S 和BC 边的长x 之间的函数关系式,并指出其中的变量和常量.
解:由题意得S=3
2x ,变量是S ,x ;常量是3
2.
4.下表给出了菲菲家去年橘子的销售额(元)随橘子卖出质量(千克)的变化的有关数据:
(1)上表反映了哪两个变量之间的关系?哪个是自变量?哪个是因变量? (2)当橘子卖出5千克时,销售额是多少? (3)估计当橘子卖出50千克时,销售额是多少?
解:(1)表中反映了橘子的卖出质量与销售额之间的关系,橘子的卖出质量是自变量,销售
额是因变量.
(2)当橘子卖出5千克时,销售额为10元. (3)当橘子卖出50千克时,销售额估计为100元.
类型2 一次函数的图象和性质
典例2 已知一次函数y=(2m+4)x+(3-n ),求:
(1)当m 是什么数时,y 随x 的增大而增大?
(2)当n 为何值时,函数图象与y 轴的交点在x 轴下方? (3)m ,n 为何值时,函数图象过原点?
【解析】(1)当2m+4>0时,y 随x 的增大而增大,解不等式2m+4>0,得m>-2. (2)当3-n<0时,函数图象与y 轴的交点在x 轴下方,解不等式3-n<0,得n>3. (3)当2m+4≠0,3-n=0时,函数图象过原点,则m ≠-2,n=3.
【针对训练】
1.一次函数y=ax+b 的图象如图所示,则代数式|a-b|+|a+b|化简后的结果为
(D )
A .-2a
B .2a
C .-2b
D .2b
2.如图,直线y 1=kx+b 与y 2=-x-1交于点P ,它们分别与x 轴交于点A ,B ,且B ,P ,A 三点的横坐标分别为-1,-2,-3,则满足y 1>y 2的x 的取值范围是 x>-2 .
3.如图,在平面直角坐标系中,点A 的坐标为(2,0),点B 的坐标为(0,3).
(1)求直线AB 所对应的函数解析式.
(2)点C 在直线AB 上,且到y 轴的距离是1,求点C 的坐标. 解:(1)设直线AB 所对应的函数解析式为y=kx+b , 依题意有{2k +b =0,
b =3,解得{b =3,k =-32
.
则函数解析式为y=-3
2x+3. (2)①x=1时,y=-3
2x+3=3
2;
②x=-1时,y=-32x+3=9
2.
故点C 的坐标为(1,3
2
)或(-1,92
).
类型3 确定一次函数的解析式
典例3 已知一次函数y=kx+b ,当-1≤x ≤1时,相应的函数值是0≤y ≤3.试求这个
一次函数的解析式. 【解析】分两种情况:
①当k>0时,把x=-1,y=0;x=1,y=3分别代入一次函数的解析式y=kx+b (k ≠0),
得{-k +b =0,k +b =3,解得{k =3
2
,b =32
,
则这个函数的解析式是y=32x+3
2;
②当k<0时,把x=-1,y=3;x=1,y=0分别代入一次函数的解析式y=kx+b (k ≠0),
得{-k +b =3,k +b =0,解得{k =-3
2,
b =32
,
则这个函数的解析式是y=-3
2x+32
.
综上,这个函数的解析式是y=3
2x+3
2或y=-3
2x+3
2. 【针对训练】
1.已知平面直角坐标系上,一次函数y=3x+a 的图象经过点(0,-4),其中a 为常数,则a 的值为 (B ) A .-12
B .-4
C .4
D .12
2.如图,若点P (-2,4)关于y 轴的对称点在一次函数y=x+b 的图象上,则b 的值是
(B )
A.-2
B.2
C.-6
D.6
3.若一次函数y=kx+b 的图象与y 轴相交于点(0,-3),且方程kx+b=0的解为x=2,求这个一次函数的解析式.
解:∵方程kx+b=0的解为x=2,
∴一次函数y=kx+b 的图象经过点(2,0).
把(0,-3),(2,0)代入y=kx+b 中, 得{b =-3,
2k +b =0,解得{b =-3,k =32
,
∴这个一次函数的解析式是y=3
2x-3.
类型4 函数的应用
典例4 某蓝莓种植生产基地采摘的蓝莓部分加工销售,部分直接销售,且当天都
能销售完,直接销售是40元/斤,加工销售是130元/斤(不计损耗).已知基地雇佣20名工人,每名工人只能参与采摘和加工中的一项工作,每人每天可以采摘70斤或加工35斤,设安排x 名工人采摘蓝莓,剩下的工人加工蓝莓.
(1)若基地一天的总销售收入为y元,求y与x的函数关系式.
(2)试求如何分配工人,才能使一天的销售收入最大?并求出最大值.
【解析】(1)根据题意得y=[70x-(20-x)×35]×40+(20-x)×35×130=-350x+63000.
.
(2)∵70x≥35(20-x),∴x≥20
3
∵x为正整数,且x≤20,∴7≤x≤20.
∵k=-350<0,∴y的值随x的值增大而减小,
∴当x=7时,y取最大值,最大值为-350×7+63000=60550.
答:应安排7人采摘蓝莓,13人加工蓝莓,可获最大收入60550元.
【针对训练】
1.为增强居民的节水意识,某市自2018年实施“阶梯水价”.按照“阶梯水价”的收费标准,居民家庭每年应缴水费y(元)与用水量x(立方米)的函数关系的图象如图所示.如果某个家庭2018年全年上缴水费1180元,那么该家庭2018年用水的总量是(C)
A.240立方米
B.236立方米
C.220立方米
D.200立方米
2.“龟兔赛跑”是同学们熟悉的寓言故事.如图所示,表示了寓言中的龟、兔的路程s和时间t的关系(其中直线段表示乌龟,折线段表示兔子).下列叙述正确的是(D)
A.赛跑中,兔子共休息了50分钟
B.乌龟在这次比赛中的平均速度是0.1米/分钟
C.兔子比乌龟早到达终点10分钟
D.乌龟追上兔子用了20分钟
3.某航空公司规定,乘客所携带行李的重量x(kg)与运费y(元)满足如图所示的函数图象,那么每位乘客最多可免费携带20kg的行李.
4.小明到服装店参加社会实践活动,服装店经理让小明帮助解决以下问题:
服装店准备购进甲、乙两种服装,甲种每件进价80元,售价120元;乙种每件进价60元,售价90元.计划购进两种服装共100件,其中甲种服装不少于65件.
(1)若购进这100件服装的费用不得超过7500,则甲种服装最多购进多少件?
(2)在(1)的条件下,该服装店对甲种服装以每件优惠a(0<a<20)元的价格进行优惠促销活动,乙种服装价格不变,那么该服装店如何调整进货方案才能获得最大利润?
解:(1)设购进甲种服装x件,由题意可得80x+60(100-x)≤7500,解得x≤75.
答:甲种服装最多购进75件.
(2)设总利润为W元,
∵甲种服装不少于65件,∴65≤x≤75.
W=(120-80-a)x+(90-60)(100-x)=(10-a)x+3000.
①当0<a<10时,10-a>0,W随x的增大而增大,
∴当x=75时,W有最大值,则购进甲种服装75件,乙种服装25件;
②当a=10时,所有方案获利相同,
∴按哪种方案进货都可以;
③当10<a<20时,10-a<0,W随x的增大而减小,
∴当x=65时,W有最大值,则购进甲种服装65件,乙种服装35件.。