中考数学专题训练综合型问题提升与解析

中考数学专题训练【综合型问题】提升与解析

1在矩形ABCD 中，有一个菱形BFDE （点E 、F 分别在线段AB 、CD 上），记它们的面积分别为S ABCD 和S BFDE ，现给出下列命题：①若

2

32+=

BFDE ABCD S S ，则tan ∠EDF =33

；②若DE 2=BD ·EF ，则DF=2AD . 则（ ）

A 、①是真命题，②是真命题

B 、①是真命题，②是假命题

C 、①是假命题，②是真命题

D 、①是假命题，②是假命题

【解题思路】根据图像和面积的计算可设BE=2x ，AE =x 3，由菱形的性质可知DE =2x ，

在Rt △DAE 中，有勾股定理的DA = x ，所以tan ∠EDF =tan ∠DEA=

x x AE DA 3=3

3； 由菱形面积的计算方法可知：2

1

BD ·EF 就是菱形BFDE 的面积，而菱形BFDE 的面积还可以用DF ·AD 计算，所以2

1DE 2

=DF ·AD 化简整理的DF=2AD 【答案】A

【点评】本题主要考查有关面积的计算，其中涉及到勾股定理、菱形的性质、锐角三角函数值，是一道综合性很强的题。难度较大

2．如图，正比例函数和反比例函数的图象都经过点 A ( 3 , 3) ，把直线 OA 向下平移后，与反比例函数的图象交于点B(6,m)，与x 轴、y 轴分别交于C 、D 两点 ⑴求 m 的值；

⑵求过 A 、B 、D 三点的抛物线的解析式；

⑶ 若点E 是抛物线上的一个动点，是否存在点 E ，使四边形 OECD 的面积S 1 ，是四边形OACD 面积S 的

3

2

?若存在，求点 E 的坐标；若不存在，请说明理由

．

【解题思路】⑴设正比例函数和反比例函数的解析式分别为)0(),0(≠=≠=n x

n

y k kx y ∵正比例函数和反比例函数的图象都经过点 A ( 3 , 3)

∴13

3

==

k ，933=⨯=n ∴x y =，x

y 9

=

∵点B(6,m)在反比例函数x

y 9

=的图像上 ∴2

369==

m ⑵由⑴得点B(6，

2

3)， 设直线OA 向下平移后BD 的解析式为：t x y +=

把点B(6，

23)代入BD 的解析式：t x y +=得29-=t ∴D(0，2

9

-)

设过A ( 3 , 3)，B(6，23)，D(0，2

9

-)的

抛物线的解析式为)0(292

≠-+=a bx ax y 则⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧

=

-+=-+232963632939b a b a

解得：4,21

=-

=b a . ∴2

9

4212-+-=x x y

⑶ ∵BD ：29-=x y ，∴令029=-=x y 得29=x 则C(0,2

9

)

∴8

13529292132921=⨯⨯+⨯⨯=s

∴4

45

813532321=

⨯==

S S 假设存在点E ，则4

45

2929212921=⨯⨯+⨯⨯E y

∴21=E y ，令2

1

294212=-+-=x x y

解得641-=x ，642+=x （不合题意，舍去）

∴)2

1

64(，-E

【点评】这是一道典型的数形结合的试题，综合考查了二次函数、一次函数、反比例函数、点的坐标、方程、直角坐标系中平行线解析式的处理，知识的综合运用能力强，要求学生有直觉猜想、空间想象、合情推理、抽象概括、符号表示、运算求解、演绎说理等综合能力.难度较大.

3.如图所示,AC 为⊙O 的直径,且PA ⊥AC ,BC 是⊙O 的一条弦,直线PB 交直线AC 于点

D ,23

DC DB DP

DO

==.

(1)求证:直线PB 是⊙O 的切线； (2)求cos ∠BCA 的值.

【解题思路】第(1)小题要证切线,须连半径,证垂直.连接OB 、OP ,证明BOP ∆≌AOP ∆即可；

第(2)小题要利用平行线性质将所求问题转化为求POA ∠的余弦值,在Rt POA ∆中,设出PA a =,根据已知条件用含a 的代数式表示边OA 、OP 的长,再利用三角函数求之.

【答案】(1)证明:连接OB 、OP ………………………………………………………(1分)

∵23DC DB DP DO == 且∠D =∠D

∴△BDC ∽△PDO ∴∠DBC =∠DPO

A

B

C

O

D

P

·

A

B

D P

·

∴BC ∥OP ∴∠BCO =∠POA ∠CBO =∠BOP ∵OB =OC ∴∠OCB =∠CBO ∴∠BOP =∠POA 又∵OB =OA OP =OP ∴△BOP ≌△AOP ∴∠PBO =∠PAO 又∵PA ⊥AC ∴∠PBO =90°

∴直线PB 是⊙O 的切线 …………………………………(4分) (2)由(1)知∠BCO =∠POA 设PB a =,则2BD a = 又∵PA PB a == ∴22AD a = 又∵BC ∥OP ∴2DC CO

= ∴12222DC CA a a ==⨯=

∴2OA a =

∴6OP a =

∴cos ∠BCA =cos ∠POA =3 ……………………………………………(8分)

(注:其他解法依据情况酌情给分)

【点评】本题以基本图形:三角形与圆相结合为背景,综合考查了圆的切线的判定定理、平行

线的判定与性质、三角形的相似与全等、等腰三角形性质、锐角三角函数、勾股定理等知识,知识点丰富；考查了学生综合运用知识以及转化思想来解决问题的能力.2个小题设问方式较常规,为学生熟知,能让学生正常发挥自己的思维水平.对于在几何图形的证明与求解中,辅助线的添加成为部分学生的一大难题,本题中的2条