中考数学专题训练综合型问题提升与解析

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备战中考数学(浙教版)综合能力提升练习(含解析)

2021备战中考数学〔浙教版〕综合才能提升练习〔含解析〕一、单项选择题1.单项式4x5y与2x2〔-y〕3z的积是〔〕A.8x10y3zB.8x7〔-y〕4zC. -8x7y4zD. -8x10y3z2.以下图形不是立体图形的是〔〕A.球B.圆柱C.圆锥D.圆3.以下画图语言表述正确的选项是〔〕A.延长线段AB至点C ，使AB=ACB.以点O为圆心作弧C.以点O为圆心，以AC长为半径画弧D.在射线OA上截取OB=a ，BC=b ，那么有OC=a+b4.某扇形的面积为12πcm2，圆心角为120°，那么该扇形的半径是〔〕A.3cmB.4cmC.5cmD.6cm5.假设有意义，那么a的取值范围是〔〕A.a≥0B.a≥3C.a＞-3D.a≥-36.抛物线y=x2+3x+c经过三点，那么的大小关系为〔〕A. B. C. D.7.在平面直角坐标系xOy中，A点坐标为(3,4)，将OA绕原点O顺时针旋转180°得到OA'，那么点A'的坐标是()A.(-4,3)B.(-3,-4)C.(-4,-3)D.(-3,4)8.在同一平面内，三条直线的交点个数不能是〔〕A.1个B.2个C.3个D.4个9.钟表在5点30分时，它的时针和分针所成的锐角是〔〕．A.15°B.70°C.30°D.90°10.一个几何体的主视图和左视图都是正方形，俯视图是一个圆，那么这个几何体是〔〕A.长方体B.正方体C.圆锥D.圆柱11.假设a2=〔﹣5〕2，b3=〔﹣5〕3，那么a+b的值为〔〕A.0B.±10C.0或10D.0或﹣10二、填空题12.如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=5，在CD上任取一点E，连接BE，将△BCE沿BE折叠，使点C恰好落在AD边上的点F处，那么CE的长为________．13.如图，点E在正方形ABCD的边CD上，假设△ABE的面积为18，CE=4，那么线段BE的长为________．14.如图，在Rt△ABC中，△ACB=90°，AC=8，BC=6，CD△AB ，垂足为D ，那么tan△BCD 的值是________.15.如图，△ABC中，AB=AC，AD是BC边中线，分别以点A、C为圆心，以大于AC长为半径画弧，两弧交点分别为点E、F，直线EF与AD相交于点O，假设OA=2，那么△ABC外接圆的面积为________．16.假设规定“*〞的运算法那么为：a*b=ab﹣1，那么2*3=________．17.某人在1〜6月份的收入如下：800元、880元、750元、1200元、340元、800元．那么此人在这6个月中的收入极差为________．18.如图，在平面直角坐标系中，△ABC和△A′B′C′是以坐标原点O为位似中心的位似图形，且点B〔3，1〕，B′〔6，2〕．请你根据位似的特征并结合点B的坐标变化答复以下问题：①假设点A〔，3〕，那么A′的坐标为________②△ABC与△A′B′C′的相似比为________19.一元二次方程x2﹣2x+m=0总有实数根，那么m应满足的条件是________ .20.如图，在△ABC中，AB＝AC，BD平分△ABC，交AC于点D。

备战中考数学一元一次方程专题综合能力提升练习(含解析)

2019备战中考数学一元一次方程专题-综合能力提升练习（含解析）一、单选题1.小明准备为希望工程捐款，他现在有20元，以后每月打算存10元．若设x月后他能捐出100元，则下列方程中能正确计算出x的是：（）A. 10x+20=100B. 10x-20=100C. 20-10x=100D. 20x+10=1002.如图所示，将一刻度尺放在数轴上(数轴的单位长度是1 cm)，刻度尺上的“0 cm”和“15 cm”分别对应数轴上的-3.6和x，则( )A. 9＜x＜10B. 10＜x＜11 C. 11＜x＜12 D. 12＜x＜133.某商品进价是200元，标价是300元，要使该商品利润为20％，则该商品销售应按（）A. 7折B. 8折C. 9折D. 6折4.把方程x＝1变形为x=2，其依据是（）A. 等式的性质1B. 等式的性质2 C. 分式的基本性质 D. 不等式的性质15.如果x=y，a为有理数，那么下列等式不一定成立的是（）A. 4﹣y=4﹣x B. x2=y2C.D. ﹣2ax=﹣2ay6.若a:2=b:3=c:7，且a﹣b+c=12，则2a﹣3b+c等于（）A. 2B. 4C.D. 127.某工程甲独做12天完成，乙独做8天完成，现在由甲先做3天，乙再参加合做．设完成此工程一共用了x天，则下列方程正确的是（）A. +=1B. +=1 C. +=1 D. +=18.某商店一套服装进价为300元，如果按标价的八折销售可获利80元，那么该服装的标价是（）A. 375元B. 380元C. 450元D. 475元9.下列等式中，方程的个数为（）①5+3=8；②a=0；③y2﹣2y；④x﹣3=8．A. 1B. 2C. 3D. 410.已知a+ =b﹣= =2019，且a+b+c=2019k，那么k的值为（）A.B. 4C. ﹣D. ﹣411.甲比乙大15岁，5年前甲的年龄是乙的年龄的两倍，乙现在的年龄是（）A. 10岁B. 15岁C. 20岁D. 30岁12.已知3是关于x的方程2x－a＝1的解，则a的值是（）A. -5B. 5C. 7D. 2二、填空题13.方程﹣=1可变形为﹣=________．14.用长12cm的铁丝围成一个长是宽2倍的长方形，则长方形的面积是________15.方程8x=16两边同时________ 得到另一个方程4x=8，8x=16与4x=8的解________ ．像这样，两个方程的解相同，我们称这两个方程为________ ．16.根据图中提供的信息，可知一个杯子的价格是________元．17.已知x=﹣1是关于x的方程2x﹣3a=﹣4的解，则a为________．18.校用56m长的篱笆围成一个长方形的生物园，要使长为16 m，则宽为________m．19.方程2x﹣3=6的解是________．三、计算题20.解方程：x﹣=1﹣．21.计算题（1）计算：；（2）解方程：．22.定义新运算符号“*”的运算过程为a*b= a﹣b，试解方程2*（2*x）=1*x．23.解方程：﹣3（2+x）=2（5﹣x）．四、解答题24.指出下列方程中的未知数是什么，方程的左边是什么．方程的右边是什么？并且判断它否是一元一次方程？（1）3=2x﹣1；（2）x+2y=7；（3）x2+5x﹣1=5；（4）x2=y2+2y；（5）x﹣π=3；（6）3m+5=﹣4；（7）﹣=1．25.已知关于x的方程（k+1）+（k﹣3）x﹣1=0（1）当k取何值时，它是一元一次方程？（2）当k取何值时，它是一元二次方程？五、综合题26.已知关于a的方程2（a+2）=a+4的解也是关于x的方程2（x-3）-b=7的解．（1）求a、b的值；（2）若线段AB=a，在直线AB上取一点P，恰好使=b，点Q为PB的中点，请画出图形并求出线段AQ的长．27.我国某部边防军小分队成一列在野外行军，通讯员在队伍中，数了一下他前后的人数，发现前面人数是后面的两倍，他往前超了6位战士，发现前面的人数和后面的人数一样.（1）这列队伍一共有多少名战士？（2）这列队伍要过一座320米的大桥，为安全起见，相邻两个战士保持相同的一定间距，行军速度为5米/秒，从第一位战士刚上桥到全体通过大桥用了100秒时间，请问相邻两个战士间距离为多少米（不考虑战士身材的大小）？28.某校为了更好地开展球类运动，体育组决定用1600元购进足球8个和篮球14个，并且篮球的单价比足球的单价多20元，请解答下列问题：（1）求出足球和篮球的单价；（2）若学校欲用不超过3240元，且不少于3200元再次购进两种球50个，求出有哪几种购买方案？（3）在（2）的条件下，若已知足球的进价为50元，篮球的进价为65元，则在第二次购买方案中，哪种方案商家获利最多？答案解析部分一、单选题1.【答案】A【考点】一元一次方程的实际应用-和差倍分问题【解析】【解答】根据题意得，月存钱为，则可列方程为故A符合题意.故答案为：A．【分析】根据x个月存的钱+原有的20元=100元列方程.2.【答案】C【考点】一元一次不等式组的应用【解析】【解答】解：根据题意得：x+3.6=15,解得：x=11.4 ;故答案为： C【分析】根据数轴上两点间的距离得出原点右边的线段长度+原点左边的线段长度=15,列出方程，求解得出x的值，从而得出答案。

中考数学压轴题提升训练一次函数与反比例函数综合题含解析

一次函数与反比例函数综合题【例1】。

如图，直线l：y=ax+b交x轴于点A（3，0）,交y于第一象限的点P，点P的轴于点B(0,-3），交反比例函数y kx横坐标为4.的解析式；（1）求反比例函数y kx（2)过点P作直线l的垂线l1,交反比例函数y k的图象于x点C,求△OPC的面积.【答案】见解析。

【解析】解：（1）∵y=ax+b交x轴于点A(3，0)，交y轴于点B（0，-3)，∴3a+b=0，b=－3,解得：a=1,即l1的解析式为:y=x－3，当x=4时，y=1，即P（4，1），将P点坐标代入y k得：k=4，x；即反比函数的解析式为：y4x（2）设直线l1与x轴、y轴分别交于点E,D，∵OA=OB=3,∴∠OAB=∠OBA=45°，∵l⊥l1，∴∠DPB=90°，∴∠ODP=45°，设直线l1的解析式为：y=－x+b,将点P(4,1）代入得：b=5，联立:y=－x+5，y4x，解得：x=1，y=4或x=4，y=1，即C(1，4），∴S△OPC=S△ODE－S△OCD－S△OPE=12×5×5－12×5×1－12×5×1=152.【变式1—1】.如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点O与坐标原点重合，A，C分别在坐标轴上，点B的坐标为(4，2）,直线y=–12x+3交AB,BC于点M，N，反比例函数kyx的图象经过点M，N．（1）求反比例函数的解析式；（2)若点P在x轴上，且△OPM的面积与四边形BMON的面积相等，求点P的坐标．【答案】见解析.【解析】解：（1）∵B(4,2)，四边形OABC为矩形，∴OA=BC=2，在y=–12x+3中，y=2时，x=2，即M(2,2),将M（2，2）代入kyx=得：k=4，∴反比例函数的解析式为：4yx=.（2）在4yx=中，当x=4时，y=1，即CN=1，∵S四边形BMON=S矩形OABC－S△AOM－S△CON=4×2－12×2×2－12×4×1=4,∴S△OPM=4,即12·OP·OA=4，∵OA=2，∴OP=4,∴点P 的坐标为（4,0）或(－4，0)。

2023年中考数学复习《二次函数综合压轴题》培优提升专题训练(含解析)

2023年春九年级数学中考复习《二次函数综合压轴题》培优提升专题训练（附答案）1．已知：抛物线y＝x2+x+m交x轴于A，B两点，交y轴于点C，其中点B在点A的右侧，且AB＝7．（1）如图1，求抛物线的解析式；（2）如图2，点D在第一象限内抛物线上，连接CD，AD，AD交y轴于点E．设点D 的横坐标为d，△CDE的面积为S，求S与d之间的函数关系式（不要求写出自变量d的取值范围）；（3）如图3，在（2）的条件下，过点D作DH⊥CE于点H，点P在DH上，连接CP，若∠OCP＝2∠DAB，且HE：CP＝3：5，求点D的坐标及相应S的值．2．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点B，C，D的坐标分别（1，0），（3，0），（3，4），以A为顶点的抛物线y＝ax2+bx+c过点C．动点P从点A出发，以每秒个单位的速度沿线段AD向点D匀速运动，过点P作PE⊥x轴，交对角线AC于点N．设点P运动的时间为t（秒）．（1）求抛物线的解析式；（2）若PN分△ACD的面积为1：2的两部分，求t的值；（3）若动点P从A出发的同时，点Q从C出发，以每秒1个单位的速度沿线段CD向点D匀速运动，点H为线段PE上一点．若以C，Q，N，H为顶点的四边形为菱形，求t的值．3．如图1，过原点的抛物线与x轴交于另一点A，抛物线顶点C的坐标为，其对称轴交x轴于点B．（1）求抛物线的解析式；（2）如图2，点D为抛物线上位于第一象限内且在对称轴右侧的一个动点，求使△ACD 面积最大时点D的坐标；（3）在对称轴上是否存在点P，使得点A关于直线OP的对称点A'满足以点O、A、C、A'为顶点的四边形为菱形．若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．4．综合与探究如图，已知抛物线y＝ax2﹣2x+c与x轴交于A（﹣3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C，对称轴为直线l，顶点为D．（1）求抛物线的解析式及点D坐标；（2）在直线l上是否存在一点M，使点M到点B的距离与到点C的距离之和最小？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．（3）在x轴上取一动点P（m，0），﹣3＜m＜﹣1，过点P作x轴的垂线，分别交抛物线，AD，AC于点E，F，G．①判断线段FP与FG的数量关系，并说明理由②连接EA，ED，CD，当m为何值时，四边形AEDC的面积最大？最大值为多少？5．如图，抛物线y＝ax2+bx（a＞0）与双曲线y＝相交于点A、B，已知点A坐标（1，4），点B在第三象限内，且△AOB的面积为3（O为坐标原点）．（1）求实数a、b、k的值；（2）在该抛物线的对称轴上是否存在点P使得△POB为等腰三角形？若存在请求出所有的P点的坐标，若不存在请说明理由．（3）在坐标系内有一个点M，恰使得MA＝MB＝MO，现要求在y轴上找出点Q使得△BQM的周长最小，请求出M的坐标和△BQM周长的最小值．6．如图，已知，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（4，0）两点，过点A的直线y＝kx+k与该抛物线交于点C，点P是该抛物线上不与A，B重合的动点，过点P作PD⊥x轴于D，交直线AC于点E．（1）求抛物线的解析式；（2）若k＝﹣1，当PE＝2DE时，求点P坐标；（3）当（2）中直线PD为x＝1时，是否存在实数k，使△ADE与△PCE相似？若存在请求出k的值；若不存在，请说明你的理由．7．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2+bx﹣2（a≠0）与x轴交于A（1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C，其顶点为点D，点E的坐标为（0，﹣1），该抛物线与BE交于另一点F，连接BC．（1）求该抛物线的解析式，并用配方法把解析式化为y＝a（x﹣h）2+k的形式；（2）若点H（1，y）在BC上，连接FH，求△FHB的面积；（3）一动点M从点D出发，以每秒1个单位的速度沿平行于y轴方向向上运动，连接OM，BM，设运动时间为t秒（t＞0），在点M的运动过程中，当t为何值时，∠OMB＝90°？8．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于点A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）点P是第一象限抛物线上一动点，过点P作x轴的垂线l，交BC于点H．当点P 运动到何处时满足PC＝CH？求出此时点P的坐标；（3）若m≤x≤m+1时，二次函数y＝ax2+bx+3的最大值为m，求m的值．9．综合与探究如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（﹣4，0），（2，0），点C在y轴上，其坐标为（0，﹣3），抛物线经过点A，B，C．P为第三象限内抛物线上一动点．（1）求该抛物线的解析式．（2）连接AC，过点P作PD⊥AC，PE∥y轴交AC于点E，当△PDE的周长最大时，求P点的坐标和△PDE周长的最大值．（3）若点M为x轴上一动点，点F为平面直角坐标系内一点．当点M，B，C，F构成菱形时，请直接写出点F的坐标．10．已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，CA＝4，将∠ABC对折，使点C 的对应点H恰好落在直线AB上，折痕交AC于点O，以点O为坐标原点，AC所在直线为x轴建立平面直角坐标系．（1）求过A，B，O三点的抛物线解析式；（2）若在线段AB上有一动点P，过点P作x轴的垂线，交抛物线于M，连接MB，MA，求△MAB的面积的最大值；（3）若点E在抛物线上，点F在对称轴上，且以O，A，E，F为顶点的四边形为平行四边形，求点E的坐标．11．如图，矩形AOBC放置在平面直角坐标系xOy中，边OA在y轴的正半轴上，边OB在x轴的正半轴上，抛物线的顶点为F，对称轴交AC于点E，且抛物线经过点A（0，2），点C，点D（3，0）．∠AOB的平分线是OE，交抛物线对称轴左侧于点H，连接HF．（1）求该抛物线的解析式；（2）在x轴上有动点M，线段BC上有动点N，求四边形EAMN的周长的最小值；（3）该抛物线上是否存在点P，使得四边形EHFP为平行四边形？如果存在，求出点P 的坐标；如果不存在，请说明理由．12．如图抛物线y＝ax2+bx+c的图象过点A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3）．（1）求抛物线的解析式，并指出抛物线的顶点坐标．（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得△P AC的周长最小，若存在，请求出点P的坐标及△P AC的周长；若不存在，请说明理由．（3）在（2）的条件下，在抛物线上是否存在点M（不与C点重合），使得S△P AM＝S△P AC，若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．13．已知：抛物线y＝ax2﹣3（a﹣1）x+2a﹣6（a＞0）．（1）求证：抛物线与x轴有两个交点．（2）设抛物线与x轴的两个交点的横坐标分别为x1，x2（其中x1＞x2）．若t是关于a的函数、且t＝ax2﹣x1，求这个函数的表达式；（3）若a＝1，将抛物线向上平移一个单位后与x轴交于点A、B．平移后如图所示，过A作直线AC，分别交y的正半轴于点P和抛物线于点C，且OP＝1．M是线段AC上一动点，求2MB+MC的最小值．14．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝x﹣2的图象分别交x、y轴于点A、B，抛物线y＝x2+bx+c经过点A、B，点P为第四象限内抛物线上的一个动点．（1）求此抛物线对应的函数表达式；（2）如图1所示，过点P作PM∥y轴，分别交直线AB、x轴于点C、D，若以点P、B、C为顶点的三角形与以点A、C、D为顶点的三角形相似，求点P的坐标；（3）如图2所示，过点P作PQ⊥AB于点Q，连接PB，当△PBQ中有某个角的度数等于∠OAB度数的2倍时，请直接写出点P的横坐标．15．如图，已知直线y＝﹣x+3与x轴交于点B，与y轴交于点C，抛物线y＝ax2+bx+3经过B、C两点并与x轴的另一个交点为A，且OC＝3OA．（1）求抛物线的解析式；（2）点R为直线BC上方对称轴右侧抛物线上一点，当△RBC的面积为时，求R点的坐标；（3）在（2）的条件下，连接CR，作RH⊥x轴于H，连接CH、AC，点P为线段CR上一点，点Q为线段CH上一点，满足QH＝CP，过点P作PE∥AC交x轴于点E，连接EQ，当∠PEQ＝45°时，求CP的长．16．综合与探究如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x﹣4分别与x轴，y轴交于点A和点C，抛物线y ＝ax2﹣3x+c经过A，C两点，并且与x轴交于另一点B．点D为第四象限抛物线上一动点（不与点A，C重合），过点D作DF⊥x轴，垂足为F，交直线AC于点E，连接BE．设点D的横坐标为m．（1）求抛物线的解析式；（2）当∠ECD＝∠EDC时，求出此时m的值；（3）点D在运动的过程中，△EBF的周长是否存在最小值？若存在，求出此时m的值；若不存在，请说明理由．17．如图，抛物线y＝ax2+bx+3经过点A（1，0），B（4，0）．（1）求抛物线的表达式；（2）如图①，在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得四边形P AOC的周长最小？若存在，求出四边形P AOC的周长最小值；若不存在，请说明理由；（3）如图②，点Q是OB上的一动点，连接BC，在线段BC上是否存在这样的点M，使△CQM为等腰三角形且△BQM是直角三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．18．在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点A（﹣3，0），与y轴交于点B（0，4），在第一象限内有一点P（m，n），且满足4m+3n＝12．（1）求二次函数解析式．（2）若以点P为圆心的圆与直线AB、x轴相切，求点P的坐标．（3）若点A关于y轴的对称点为点A′，点C在对称轴上，且2∠CBA+∠P A′O＝90◦．求点C的坐标．19．如图，在直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣2与x轴交于点A（﹣3，0）、B（1，0），与y轴交于点C．（1）求抛物线的函数表达式．（2）在抛物线上是否存在点D，使得△ABD的面积等于△ABC的面积的倍？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．（3）若点E是以点C为圆心且1为半径的圆上的动点，点F是AE的中点，请直接写出线段OF的最大值和最小值．20．如图，抛物线y＝ax2+6x﹣5交x轴于A，B两点，交y轴于C点，点B的坐标为（5，0），直线y＝x﹣5经过点B，C．（1）求抛物线的函数表达式；（2）点P是直线BC上方抛物线上的一动点，求△BCP面积S的最大值并求出此时点P 的坐标；（3）过点A的直线交直线BC于点M，连接AC当直线AM与直线BC的一个夹角等于∠ACB的3倍时，请直接写出点M的坐标．21．在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+2的图象与x轴交于A（﹣3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C．（1）求这个二次函数的解析式，并直接写出当x满足什么值时y＜0？（2）点P是直线AC上方的抛物线上一动点，是否存在点P，使△ACP面积最大？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）点M为抛物线上一动点，在x轴上是否存在点Q，使以A、C、M、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．22．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，对称轴为直线x＝2，点A的坐标为（1，0）．（1）求该抛物线的表达式及顶点坐标；（2）点P为抛物线上一点（不与点A重合），连接PC．当∠PCB＝∠ACB时，求点P的坐标；（3）在（2）的条件下，将抛物线沿平行于y轴的方向向下平移，平移后的抛物线的顶点为点D，点P的对应点为点Q，当OD⊥DQ时，求抛物线平移的距离．23．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2+bx+c经过点A（2，﹣3）和点B（5，0），顶点为C．（1）求这条抛物线的表达式和顶点C的坐标；（2）点A关于抛物线对称轴的对应点为点D，联结OD、BD，求∠ODB的正切值；（3）将抛物线y＝x2+bx+c向上平移t（t＞0）个单位，使顶点C落在点E处，点B落在点F处，如果BE＝BF，求t的值．24．如图，直线y＝﹣x+1与x轴，y轴分别交于A，B两点，抛物线y＝ax2+bx+c过点B，并且顶点D的坐标为（﹣2，﹣1）．（1）求该抛物线的解析式；（2）若抛物线与直线AB的另一个交点为F，点C是线段BF的中点，过点C作BF的垂线交抛物线于点P，Q，求线段PQ的长度；（3）在（2）的条件下，点M是直线AB上一点，点N是线段PQ的中点，若PQ＝2MN，直接写出点M的坐标．25．如图，直线y＝﹣x+m与抛物线y＝ax2+bx都经过点A（6，0），点B，过B作BH垂直x轴于H，OA＝3OH．直线OC与抛物线AB段交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）当点C的纵坐标是时，求直线OC与直线AB的交点D的坐标；（3）在（2）的条件下将△OBH沿BA方向平移到△MPN，顶点P始终在线段AB上，求△MPN与△OAC公共部分面积的最大值．26．在平面直角坐标系xOy中（如图），已知抛物线y＝ax2+（a+）x+c（a≠0）经过点A （﹣3，﹣2），与y轴交于点B（0，﹣2），抛物线的顶点为点C，对称轴与x轴交于点D．（1）求抛物线的表达式及点C的坐标；（2）点E是x轴正半轴上的一点，如果∠AED＝∠BCD，求点E的坐标；（3）在（2）的条件下，点P是位于y轴左侧抛物线上的一点，如果△P AE是以AE为直角边的直角三角形，求点P的坐标．27．如图1，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0）、C（3，0），点B为抛物线顶点，直线BD为抛物线的对称轴，点D在x轴上，连接AB、BC，∠ABC＝90°，AB与y轴交于点E，连接CE．（1）求顶点B的坐标并求出这条抛物线的解析式；（2）点P为第一象限抛物线上一个动点，设△PEC的面积为S，点P的横坐标为m，求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值；（3）如图2，连接OB，抛物线上是否存在点Q，使直线QC与直线BC所夹锐角等于∠OBD，若存在请直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由．28．如图，直线y＝﹣x+3与x轴、y轴分别相交于点B、C，经过B、C两点的抛物线y＝ax2+bx+c与x轴的另一个交点为A，顶点为P，且对称轴为直线x＝2．点G是抛物线y ＝ax2+bx+c位于直线y＝﹣x+3下方的任意一点，连接PB、GB、GC、AC．（1）求该抛物线的解析式；（2）求△GBC面积的最大值；（3）连接AC，在x轴上是否存在一点Q，使得以点P，B，Q为顶点的三角形与△ABC 相似？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案1．（1）由y＝x2+x+m，令y＝0，则（x+2）（x﹣m）＝0，∴AO＝2，BO＝m，∴A（﹣2，0），B（m，0），∵AB＝7，∴m﹣（﹣2）＝7，m＝5，∴y＝；（2）过点D作DK⊥x轴于点K，设∠DAB＝α，则D（d，﹣），∴＝．∴EO＝AO•tanα＝5﹣d，CE＝5﹣（5﹣d）＝d，∴；（3）过点E作CE的垂线，过C作∠OCP的平分线交DE于点J，交CE的垂线于点F，过点F作ED的平行线交HD于点N．∴∠ECF＝∠HDE＝α，HE＝3k，CP＝5k，CE＝HD＝d，∵CE＝HD，∠CEF＝∠CHD＝90°，∴△CEF≌△DHE（ASA），∵EF∥DN，NF∥DE，∴四边形EDNF为平行四边形，∴EF＝HE＝DN＝3k，CF＝DE＝FN，∴△CFN为等腰直角三角形，∴∠PCN＝∠FNC＝45°，∴∠PCN＝∠PNC＝45°﹣α，∴PC＝PN＝5k，∴PD＝2k，∴CH＝d﹣3k，PH＝d﹣2k，∴（d﹣3k）2+（d﹣2k）2＝（5k）2，∴（d﹣6k）（d+k）＝0，∴d＝6k，∴在Rt△DHE中，tan，由（2）知，∴．∴d＝4，∴D（4，3），∴＝＝8．2．解：（1）∵四边形ABCD为矩形，且B（1，0），C（3，0），D（3，4），∴A（1，4），设抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）2+4，将C（3，0）代入y＝a（x﹣1）2+4，得0＝4a+4，解得a＝﹣1，∴抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣1）2+4＝﹣x2+2x+3；（2）∵PE⊥x轴，DC⊥x轴，∴PE∥DC，∴△APN∽△ADC，∵PN分△ACD的面积为1：2的两部分，∴＝或，当＝时，＝＝，∵AD＝2，∴AP＝，∴t的值为×2＝；当＝时，＝＝，∵AD＝2，∴AP＝，∴t的值为×2＝，综上所述，t的值为或；（3）如图2﹣1，当CN为菱形的对角线时，点P，N的横坐标均为，设直线AC的解析式为y＝kx+b，将A（1，4），C（3，0）代入y＝kx+b，得，解得，∴直线AC的表达式为y＝﹣2x+6，将点N的横坐标代入y＝﹣2x+6，得，即EN＝4﹣t，由菱形CQNH可得，CQ＝NH＝t＝CH，可得EH＝（4﹣t）﹣t＝4﹣2t，∵，∴，在Rt△CHE中，∵CE2+EH2＝CH2，∴，解得，t1＝，t2＝4（舍）；如图2﹣2，当CN为菱形的边时，由菱形CQHN可得，CQ＝CN＝t，在Rt△CNE中，∵NE2+CE2＝CN2，∴（4﹣t）2+（2﹣t）2＝t2，解得，t1＝20﹣8，t2＝20+8（舍）；综上所述，t的值为或．3．解：（1）设抛物线解析式为y＝a（x﹣h）2+k，（a≠0）∵顶点，∴，又∵图象过原点，∴，解出：，∴，即；（2）令y＝0，即，解得：x1＝0，x2＝4，∴A（4，0），设直线AC的解析式为y＝kx+b，将点A（4，0），代入，得，解得，∴直线AC的解析式为y＝﹣x+4，过点D作DF∥y轴交AC于点F，设，则，∴，∴＝，∴当m＝3时，S△ACD有最大值，当m＝3时，，∴；（3）∵∠CBO＝∠CBA＝90°，OB＝AB＝2，，∴，∴OA＝OC＝AC＝4，∴△AOC为等边三角形，①如图3﹣1，当点P在C时，OA＝AC＝CA'＝OA'，∴四边形ACA'O是菱形，∴；②作点C关于x轴的对称点C'，当点A'与点C'重合时，OC＝AC＝AA'＝OA'，∴四边形OCAA'是菱形，∴点P是∠AOA'的角平分线与对称轴的交点，记为P2，∴，∵∠OBP2＝90°，OB＝2，∴OP2＝2BP2，设BP2＝x，∴OP2＝2x，又∵，∴（2x）2＝22+x2，解得或，∴；综上所述，点P的坐标为或．4．解：（1）由抛物线y＝ax2﹣2x+c与x轴交于A（﹣3，0），B（1，0）两点，得，解得，∴抛物线解析式为y＝﹣x2﹣2x+3；由y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，得，点D坐标为（﹣1，4）；（2）在直线l上存在一点M，到点B的距离与到点C的距离之和最小，根据抛物线对称性MA＝MB，∴MB+MC＝MA+MC，∴使MB+MC的值最小的点M应为直线AC与对称轴l：x＝﹣1的交点，当x＝0时，y＝3，∴C（0，3），设直线AC解析式为直线y＝kx+b，把A（﹣3，0）、C（0，3）分别代入y＝kx+b，得，，解得，，∴直线AC解析式为y＝x+3，把x＝﹣1代入y＝x+3得，y＝2，∴M（﹣1，2），即当点M到点A的距离与到点C的距离之和最小时M的坐标为（﹣1，2）；（3）①PF＝2FG，理由如下，设直线AD解析式为y＝k'x+b'，把A（﹣3，0）、D（﹣1，4）分别代入直线y＝k'x+b'，得，，解得，∴直线AD解析式为y＝2x+6，则点F的坐标为（m，2m+6），同理G的坐标为（m，m+3），则FG＝（2m+6）﹣（m+3）＝m+3，FP＝2m+6＝2（m+3），∴FP＝2FG；②根据题意得点E的坐标为（m，﹣m2﹣2m+3），设直线l与x轴交于点N，EF＝（﹣m2﹣2m+3）﹣（2m+6）＝﹣m2﹣4m﹣3＝﹣（m+2）2+1∴S△AED＝S△AEF+S△EFD＝＝，∴当m为﹣2时，S△AED的最大值为1，如图，过点D作DH∥x轴，交y轴于点H，在△DHC中，∠DHC＝180°﹣∠AOB＝90°，，在Rt△AOC中，，在Rt△ADN中，，∵，∴DC2+AC2＝AD2，∴∠ACD＝90°，∴，∴，∴当m为﹣2时，四边形AEDC的面积最大，最大值为4．5．解：（1）将A（1，4）代入y＝，得，k＝4，∴双曲线解析式为y＝，设B（m，）（m＜0），连接AB，交x轴于点C，设直线AB的解析式为y＝kx+b，将点A（1，4），B（m，）代入，得，解得，，∴直线AB的解析式为y＝﹣x+，当y＝0时，x＝m+1，∴C（m+1，0），OC＝﹣m﹣1，∴S△AOB＝OC•（y A﹣y B）＝（﹣m﹣1）（4﹣），∵△AOB的面积为3，∴（﹣m﹣1）（4﹣）＝3，整理，得2m2+3m﹣2＝0，解得，m1＝（舍去），m2＝﹣2，∴B（﹣2，﹣2），将A（1，4），B（﹣2，﹣2）代入y＝ax2+bx，得，，解得，，∴抛物线的解析式为y＝x2+3x，∴a＝1，b＝3，k＝4；（2）在抛物线y＝x2+3x中，对称轴为x＝﹣，设P（﹣，y），∵O（0，0），B（﹣2，﹣2），∴PO2＝+y2，OB2＝8，PB2＝+（y+2）2，∵△POB为等腰三角形，∴①PO2＝OB2时，+y2＝8，解得，y＝±，∴P1（﹣，﹣），P2（﹣，）；②PB2＝OB2时，+（y+2）2＝8，解得，y＝﹣2±，∴P3（﹣，﹣2﹣），P4（﹣，﹣2+）；③PB2＝OP2时，+（y+2）2＝+y2，解得，y＝﹣，∴P5（﹣，﹣）；综上所述，点P的坐标为P1（﹣，﹣），P2（﹣，），P3（﹣，﹣2﹣），P4（﹣，﹣2+），P5（﹣，﹣）；（3）设M（x，y），∵A（1，4），B（﹣2，﹣2），O（0，0），∴MO2＝x2+y2，MA2＝（x﹣1）2+（y﹣4）2，MB2＝（x+2）2+（y+2）2，又∵MO＝MA＝MB，∴，解得，，∴M（﹣，），作B关于y轴的对称点B'（2，﹣2），连接B'M交y轴于Q，则此时MQ+BQ的值最小，理由是两点之间，线段最短，又∵MB的长度为定值，∴此时△BQM的周长最小，C△BQM＝MB+MQ+BQ＝MB+MB'＝＝，∴M的坐标为（﹣，），△BQM周长的最小值为．6．解：（1）将点A（﹣1，0），B（4，0）代入y＝x2+bx+c，得，，解得，，∴抛物线的解析式为y＝x2﹣3x﹣4；（2）当k＝﹣1时，直线AC的解析式为y＝﹣x﹣1，设P（x，x2﹣3x﹣4），则E（x，﹣x﹣1），D（x，0），则PE＝|x2﹣3x﹣4﹣（﹣x﹣1）|＝|x2﹣2x﹣3|，DE＝|x+1|，∵PE＝2ED，∴|x2﹣2x﹣3|＝2|x+1|，当x2﹣2x﹣3＝2（x+1）时，解得，x1＝﹣1（舍去），x2＝5，∴P（5，6）；当x2﹣2x﹣3＝﹣2（x+1）时，解得，x1＝﹣1（舍去），x2＝1，∴P（1，﹣6）；综上所述，点P的坐标为（5，6）或（1，﹣6）；（3）存在，理由如下；∵∠AED＝∠PEC，∴要使△ADE与△PCE相似，必有∠EPC＝∠ADE＝90°或∠ECP＝∠ADE＝90°，①当∠EPC＝∠ADE＝90°时，如图1，CP∥x轴，∵P（1，﹣6），根据对称性可得C（2，﹣6），将C（2，﹣6），代入直线AC解析式中，得2k+k＝﹣6，解得，k＝﹣2；②当∠ECP＝∠ADE＝90°时，如图2，过C点作CF⊥PD于点F，则有∠FCP＝∠PEC＝∠AED，则△PCF∽△AED，∴＝，在直线y＝kx+k上，当x＝1时，y＝2k，∴E（1，2k），∴DE＝﹣2k，由，得或，∴C（k+4，k2+5k），∴F（1，k2+5k），∴CF＝k+3，FP＝k2+5k+6，∴＝，解得，k1＝k2＝﹣1，k3＝﹣3（此时C与P重合，舍去），综上，当k＝﹣2或﹣1时，△ADE与△PCE相似．7．（1）∵抛物线y＝ax2+bx﹣2（a≠0）与x轴交于A（1，0），B（3，0）两点，∴，∴，∴抛物线解析式为；（2）如图1，过点A作AH∥y轴交BC于H，交BE于G，由（1），C（0，﹣2），将B（3，0），C（0，﹣2）代入y＝kx+b，得，，解得，，∴直线BC的解析式为，∵H（1，y）在直线BC上，∴，∴，将点B（3，0），E（0，﹣1）代入y＝kx+b，得，，解得，，∴直线BE的解析式为y＝x﹣1，∴G（1，﹣），∴GH＝，∵直线BE：y＝x﹣1与抛物线y＝﹣x2+x﹣2相交于F，B，∴F（，﹣），∴S△FHB＝GH×（x B﹣x F）＝××（3﹣）＝；（3）如图2，由（1）y＝﹣x2+x﹣2＝﹣（x﹣2）2+，∴顶点D（2，），∵动点M从点D出发，以每秒1个单位的速度沿平行于y轴方向向上运动，∴设M（2，m），m＞，∴OM2＝m2+4，BM2＝m2+1，OB2＝9，∵∠OMB＝90°，∴OM2+BM2＝OB2，∴m2+4+m2+1＝9，∴m1＝，m2＝﹣（舍），∴M（2，），∴MD＝﹣，∴，∴当时，∠OMB＝90°．8．解：（1）将点A（﹣1，0），B（3，0）代入y＝ax2+bx+3，得，解得，，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3；（2）设直线BC的解析式为y＝kx+3，将点B（3，0）代入y＝kx+3，得，k＝﹣1，∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3，设点P（x，﹣x2+2x+3），则点H（x，﹣x+3），过点C作CM⊥PH于点M，则CM＝x，PH＝﹣x2+3x，当CP＝CH时，PM＝MH，∠MCH＝∠MCP，∵OB＝OC，∴∠OBC＝45°，∵CM∥OB，∴∠MCH＝∠OBC＝45°，∴∠PCH＝90°，∴MC＝PH＝（﹣x2+3x），即x＝（﹣x2+3x），解得，x1＝0（舍去），x2＝1，∴P（1，4）；（3）在y＝﹣x2+2x+3中，对称轴为x＝1，若m+1≤1，即m≤0时，当x＝m+1时，函数有最大值m，∴﹣（m+1）2+2（m+1）+3＝m，解得，m1＝（舍去），m2＝；若m＜1＜m+1，即0＜m＜1时，当x＝1时，函数有最大值为m＝4（舍）；若m＞1，当x＝m时，函数有最大值为m，∴﹣m2+2m+3＝m，解得，m1＝（舍去），m2＝，综上所述，m的值为或．9．解：（1）∵抛物线经过点A，B，它们的坐标分别为（﹣4，0）、（2，0），∴设其解析式为y＝a（x+4）（x﹣2），将点C（0，﹣3）代入y＝a（x+4）（x﹣2），解得，，∴抛物线的解析式为；（2）∵OA＝4，OC＝3，∠AOC＝90°，∴AC＝＝5，∵PD⊥AC，∠PDE＝∠AOC＝90°，又∵PE∥y轴，∴∠PED＝∠ACO，∴△PDE∽△AOC，∴PD：AO＝DE：OC＝PE：AC，即PD：4＝DE：3＝PE：5，∴，∴△PDE的周长＝，则要使△PDE周长最大，PE取最大值即可，设直线AC的解析式为y＝kx﹣3，将点A（﹣4，0）代入y＝kx﹣3，得，k＝﹣，∴直线AC的解析式为，设点，则，∴当a＝﹣2时，取得最PE大值，最大值为，则，∴P（﹣2，﹣3），△PDE周长的最大值为；（3）如右图，①当BM为对角线时，显然，点F在y轴上，根据对称性得到点F的坐标为（0，3）；②当BM为边时，∵，则有以下几种情况：（I）BC为边时，BM＝BC＝，点M在x轴负半轴上时，点M是点B向左平移个单位长度得到的，∴M（2﹣，0），∴点C（0，﹣3）向左平移个单位长度得到点F；点M在x轴正半轴上时，点M是点B向平右移个单位长度得到的，∴M（2+，0），∴点C（0，﹣3）向右平移个单位长度得到点F；（II）BC为对角线时，设OM＝x，在直角三角形OMC中，由勾股定理可得OM2+OC2＝MC2，即x2+32＝（x+2）2，解得，x＝，∴菱形的边长为2+＝，∴CF＝，∴F（，﹣3），综上所述，点F的坐标为（0，3）或或或．10．解：（1）在Rt△ABC中，AB＝＝＝5，由翻折知，△BCO≌△BHO，∴BH＝BC＝3，∴AH＝AB﹣BH＝2，∵∠HAO＝∠CAB，∠OHA＝∠BCA＝90°，∴△AHO∽△ACB，∴＝，即＝，∴AO＝，∴A（，0），B（﹣，3），∵抛物线经过原点O，∴可设抛物线的解析式为y＝ax2+bx，将点A（，0），B（﹣，3）代入，得，解得，，∴过A，B，O三点的抛物线解析式为y＝x2﹣x；（2）设直线AB的解析式为y＝kx+b，将点A（，0），B（﹣，3）代入，得，解得∴直线AB的解析式为y＝﹣x+，∴可设P（x，﹣x+），则M（x，x2﹣x），∴PM＝﹣x+﹣（x2﹣x）＝﹣x2+x+，∴S△MAB＝PM（x A﹣x B）＝（﹣x2+x+）×4＝﹣x2+x+＝﹣（x﹣）2+4，∴当x＝时，△MAB的面积取最大值4；（3）在y＝x2﹣x中，对称轴为x＝，①如图3﹣1，当OA为平行四边形的一边时，OA平行且等于EF，∵OA＝，∴EF＝，∵x F＝，∴x E＝±＝或﹣，当x E＝或﹣，时y E＝，∴点E的坐标为（，）或（﹣，）；②如图3﹣2，当OA为平行四边形的对角线时，OA与EF互相平分，则点E在抛物线顶点处，∵当x＝时，y＝﹣，∴点E的坐标为（，﹣），综上所述，点E的坐标为（，）或（﹣，）或（，﹣）．11．解：（1）∵AE∥x轴，OE平分∠AOB，∴∠AEO＝∠EOB＝∠AOE，∴AO＝AE，∵A（0，2），∴E（2，2），∴点C（4，2），设二次函数解析式为y＝ax2+bx+2，∵C（4，2）和D（3，0）在该函数图象上，∴，得，∴该抛物线的解析式为y＝x2﹣x+2；（2）作点A关于x轴的对称点A1，作点E关于直线BC的对称点E1，连接A1E1，交x 轴于点M，交线段BC于点N．根据对称与最短路径原理，此时，四边形AMNE周长最小．易知A1（0，﹣2），E1（6，2）．设直线A1E1的解析式为y＝kx+b，，得，∴直线A1E1的解析式为．当y＝0时，x＝3，∴点M的坐标为（3，0）．∴由勾股定理得AM＝，ME1＝，∴四边形EAMN周长的最小值为AM+MN+NE+AE＝AM+ME1+AE＝；（3）不存在．理由：过点F作EH的平行线，交抛物线于点P．易得直线OE的解析式为y＝x，∵抛物线的解析式为y＝x2﹣x+2＝，∴抛物线的顶点F的坐标为（2，﹣），设直线FP的解析式为y＝x+b，将点F代入，得，∴直线FP的解析式为．，解得或，∴点P的坐标为（，），FP＝×（﹣2）＝，，解得，或，∵点H是直线y＝x与抛物线左侧的交点，∴点H的坐标为（，），∴OH＝×＝，易得，OE＝2，EH＝OE﹣OH＝2﹣＝，∵EH≠FP，∴点P不符合要求，∴不存在点P，使得四边形EHFP为平行四边形．12．解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c的图象过点A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3），∴，得，∴y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，∴该抛物线的顶点坐标为（1，4），即该抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3，顶点坐标为（1，4）；（2）点A关于对称轴的对称点是点B，连接CB与对称轴的交点为P，此时点P即为所求，设过点B（3，0），点C（0，3）的直线解析式为y＝kx+m，，得，∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3，当x＝1时，y＝﹣1+3＝2，∴点P的坐标为（1，2），∵点A（﹣1，0），点C（0，3），点B（3，0），∴AC＝，BC＝3，∴△P AC的周长是：AC+CP+P A＝AC+CB＝，即点P的坐标为（1，2），△P AC的周长是；（3）存在点M（不与C点重合），使得S△P AM＝S△P AC，∵S△P AM＝S△P AC，∴当以P A为底边时，只要两个三角形等高即可，即点M和点C到P A的距离相等，当点M在点C的上方时，则CM∥P A时，点M和点C到P A的距离相等，设过点A（﹣1，0），点P（1，2）的直线l1解析式为：y＝kx+m，，得，∴直线AP的解析式为y＝x+1，∴直线CM的解析式为y＝x+3，由得，，，∴点M的坐标为（1，4）；当点M在点C的下方时，则点M所在的直线l2与AP平行，且直线l2与直线AP之间的距离与直线l1与直线AP 之间的距离相等，∴直线l2的的解析式为y＝x﹣1，由得，，，∴M的坐标为（，）或（，）；由上可得，点M的坐标为（1，4），（，）或（，）．13．（1）证明：△＝b2﹣4ac＝[﹣3（a﹣1）]2﹣4a（2a﹣6）＝a2+6a+9＝（a+3）2，∵a＞0，∴（a+3）2＞0，∴抛物线与x轴有两个交点；（2）解：令y＝0，则ax2﹣3（a﹣1）x+2a﹣6＝0，∴或，∵a＞0，∴且x1＞x2，∴x1＝2，，∴，∴t＝a﹣5；（3）解：当a＝1时，则y＝x2﹣4，向上平移一个单位得y＝x2﹣3，令y＝0，则x2﹣3＝0，得，∴，，∵OP＝1，∴直线，联立：，解得，，，即，，∴AO＝，在Rt△AOP中，AP＝＝2，过C作CN⊥y轴，过M作MG⊥CN于G，过C作CH⊥x轴于H，∵CN∥x轴，∴∠GCM＝∠P AO，又∵∠AOP＝∠CGM＝90°，∴△AOP∽△CGM，∴＝＝，∴，∵B到CN最小距离为CH，∴MB+GM的最小值为CH的长度，∴2MB+MC的最小值为．14．解：（1）令x＝0，得y＝x﹣2＝﹣2，则B（0，﹣2），令y＝0，得0＝x﹣2，解得x＝4，则A（4，0），把A（4，0），B（0，﹣2）代入y＝x2+bx+c（a≠0）中，得：，解得：，∴抛物线的解析式为：y＝x2﹣x﹣2；（2）∵PM∥y轴，∴∠ADC＝90°，∵∠ACD＝∠BCP，∴以点P、B、C为顶点的三角形与以点A、C、D为顶点的三角形相似，存在两种情况：①当∠CBP＝90°时，如图1，过P作PN⊥y轴于N，设P（x，x2﹣x﹣2），则C（x，x﹣2），∵∠ABO+∠PBN＝∠ABO+∠OAB＝90°，∴∠PBN＝∠OAB，∵∠AOB＝∠BNP＝90°，∴△AOB∽△BNP，∴，即＝，解得：x1＝0（舍），x2＝，∴P（，﹣5）；②当∠CPB＝90°时，如图2，则B和P是对称点，当y＝﹣2时，x2﹣x﹣2＝﹣2，∴x1＝0（舍），x2＝，∴P（，﹣2）；综上，点P的坐标是（，﹣5）或（，﹣2）；（3）∵OA＝4，OB＝2，∠AOB＝90°，∴∠BOA≠45°，∴∠BQP≠2∠BOA，∴分两种情况：①当∠PBQ＝2∠OAB时，如图3，取AB的中点E，连接OE，过P作PG⊥x轴于G，交直线AB于H，∴OE＝AE，∴∠OAB＝∠AOE，∴∠OEB＝2∠OAB＝∠PBQ，∵OB∥PG，∴∠OBE＝∠PHB，∴△BOE∽△HPB，∴，由勾股定理得：AB＝＝2，∴BE＝，∵GH∥OB，∴，即，∴BH＝x，设P（x，x2﹣x﹣2），则H（x，x﹣2），∴PH＝x﹣2﹣（x2﹣x﹣2）＝﹣x2+4x，∴，解得：x1＝0，x2＝3，∴点P的横坐标是3；②当∠BPQ＝2∠OAB时，如图4，取AB的中点E，连接OE，过P作PG⊥x轴于G，交直线AB于H，过O作OF⊥AB于F，连接AP，则∠BPQ＝∠OEF，设点P（t，t2﹣t﹣2），则H（t，t﹣2），∴PH＝t﹣2﹣（t2﹣t﹣2）＝﹣t2+4t，∵OB＝2，OA＝4，∴AB＝2，∴OE＝BE＝AE＝，OF＝＝＝，∴EF＝＝＝，S△ABP＝＝，∴2PQ＝4（﹣t2+4t），PQ＝，∵∠OFE＝∠PQB＝90°，∴△PBQ∽△EOF，∴，即，∴BQ＝，∵BQ2+PQ2＝PB2，∴＝，化简得，44t2﹣388t+803＝0，即：（2t﹣11）（22t﹣73）＝0，解得：t1＝5.5（舍），t2＝；综上，存在点P，使得△PBQ中有某个角的度数等于∠OAB度数的2倍时，其P点的横坐标为3或．15．解：（1）在直线y＝﹣x+3中，当x＝0时，y＝3；当y＝0时，x＝4，∴C（0，3），B（4，0），∴OC＝3，∵OC＝3OA，∴OA＝1，∴A（﹣1，0），把A（﹣1，0），B（4，0）代入y＝ax2+bx+3，得，，解得，a＝﹣，b＝，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+3；（2）如图1，连接RO，RC，RB，设R（t，﹣t2+t+3），则S△RBC＝S△OCR+S△OBR﹣S△OBC＝×3t+×4（﹣t2+t+3）﹣×3×4＝﹣t2+6t，∵S△RBC＝，∴﹣t2+6t＝，解得，t1＝1，t2＝3，∵点R为直线BC上方对称轴右侧，∴R（3，3）；（3）如图2﹣1，在RH上截取RM＝OA，连接CM、AM，AM交PE于G，作QF⊥OB 于H，∵CR＝CO，∠CRM＝∠COA，∴△CRM≌△COA（SAS），∴CM＝CA，∠RCM＝∠OCA，∴∠ACM＝∠OCR＝90°，∴∠CAM＝∠CMA＝45°，∵AC∥PE，∴∠CAM＝∠AGE＝45°，∴∠PEQ＝45°，∴∠AGE＝∠PEQ，∴AM∥QE，∴∠MAH＝∠QEF，∵∠QFE＝MHA＝90°，∴△QEF∽△MAH，∴＝，∴EF＝2QF，设CP＝m，∴QH＝CP＝m，∵OC＝OH，∴∠OHC＝45°，∴QF＝FH＝m，∴EF＝2m，∴EH＝3m，∵四边形ACPE为平行四边形，∴AE＝CP＝m，∵EH＝AH﹣AE＝4﹣m，∴3m＝4﹣m，∴m＝1，∴CP＝1；如图2﹣2，在RH上截取RM＝OA，连接CM、AM，AM交PE于G，交QE于N，作QF ⊥OB于H，∵CR＝CO，∠CRM＝∠COA，∴△CRM≌△COA（SAS），∴CM＝CA，∠RCM＝∠OCA，∴∠ACM＝∠OCR＝90°，∴∠CAM＝∠CMA＝45°，∵AC∥PE，∴∠CAM＝∠AGE＝45°，∴∠PEQ＝45°，∴∠AGE＝∠PEQ＝45°，∴∠ENG＝∠ENA＝90°，∵∠EQF+∠QEF＝90°，∠EAN+∠QEF＝90°，∴∠EQF＝∠MAB，∵∠QFE＝∠AHM＝90°，∴△QEF∽△AMH，∴＝，∴QF＝2EF，设CP＝m，∴QH＝CP＝m，∵OC＝OH，∴∠OHC＝45°，∴QF＝FH＝m，∴EF＝m，∴EH＝m，∵四边形ACPE为平行四边形，∴AE＝CP＝m，∵EH＝AH﹣AE＝4﹣m，∴4﹣m＝m，∴m＝，∴CP＝，综上所述，CP的长度为1或．16．解：（1）在y＝x﹣4中，当x＝0时，y＝﹣4；当y＝0时，x＝4．∴A（4，0），C（0，﹣4）把A（4，0），C（0，﹣4）代入y＝ax2﹣3x+c中，得，解得，∴抛物线的解析式是y＝x2﹣3x﹣4．（2）如图1，过点E作EH⊥y轴，垂足为H．∵OA＝OC＝4，∴∠OAC＝∠ACO＝45°，∴∠HEC＝∠HCE＝45°．∵点D（m，m2﹣3m﹣4），E（m，m﹣4），∴EH＝HC＝m，ED＝（m﹣4）﹣（m2﹣3m﹣4）＝﹣m2+4m．∴，∴当∠ECD＝∠EDC时，EC＝ED．∴，解得m＝0（舍去）或；（3）存在．∴点D为第四象限抛物线上一动点（不与点A，C重合），∴0＜m＜4，在抛物线y＝x2﹣3x﹣4中，当y＝0时，x2﹣3x﹣4＝0，解得x1＝﹣1，x2＝4，∴点B坐标为（﹣1，0）．∵∠F AE＝∠FEA＝45°，∴EF＝AF．设△BFE的周长为n，则n＝BF+FE+BE＝BF+AF+BE＝AB+BE，∵AB的值不变，∴当BE最小，即BE⊥AC时，△BFE的周长最小．∵当BE⊥AC时，∠EBA＝∠BAE＝45°，∴BE＝AE，∴BF＝AF＝2.5．∴m＝4﹣2.5＝1.5时，△BEF的周长最小．17．解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+3经过点A（1，0）、B（4，0），∴，解得，∴该抛物线的解析式：y＝x+3；（2）∵抛物线y＝ax2+bx+3经过点A（1，0），B（4，0），∴A、B关于对称轴对称，。

中考数学总复习《行程问题(一次函数实际综合应用)》专项提升训练(带答案)

中考数学总复习《行程问题（一次函数实际综合应用）》专项提升训练（带答案)学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________1．李师傅将容量为60升的货车油箱加满后，从工厂出发运送一批物资到某地．行驶过程中，货车离目的地的路程s（千米）与行驶时间t（小时）的关系如图所示（中途休息、加油的时间不计）．当油箱中剩余油量为10升时，货车会自动显示加油提醒．设货车平均耗油量为0.1升/千米，请根据图象解答下列问题：(1)直接写出工厂离目的地的路程；(2)求s关于t的函数表达式；(3)当货车显示加油提醒后，问行驶时间t在怎样的范围内货车应进站加油？2．一辆快车从甲地出发驶向乙地，在到达乙地后，立即按原路原速返回到甲地，快车出发一段时间后一辆慢车从甲地驶向乙地，中途因故停车1h后，继续按原速驶向乙地，两车距甲地4的路程kmy与慢车行驶时间()h x之间的函数图象如图所示，请结合图象解答下列问题：(1)甲乙两地相距______km，快车行驶的速度是______ km/h，图中括号内的数值是______ ；(2)求快车从乙地返回甲地的过程中，y与x的函数解析式；(3)慢车出发多长时间，两车相距120km3．甲、乙两地之间是一条直路，王明跑步从甲地往乙地，陈星骑自行车从乙地往甲地，两人同时出发，陈星先到达目的地，设两人的在行进过程中保持匀速，两人之间的距离()km y 与运动时间()h x 的函数关系大致如图所示，请你根据图形进行探究：(1)王明和陈星的速度分别是多少？(2)请写出线段BC 所表示的y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围． 4．某次无人机展演活动中，Ⅰ号无人机从海拔10m 处出发，以12m/min 的速度匀速上升，Ⅱ号无人机从海拔30m 处同时出发，以()m/min a 的速度匀速上升，经过5min 两架无人机位于同一海拔高度()m b ．无人机海拔高度()m y 与时间()min x 的关系如图．两架无人机都上升了15min ．(1)求b 的值及Ⅱ号无人机海拔高度()m y 与时间()min x 的关系式； (2)问无人机上升了多少时间，两无人机高度相差32m ．5．现有A 、B 两种品牌的共享电动车，收费y (元)与骑行时间(min)x 之间的函数关系如图所示，其中A 品牌收费方式对应1y ，B 品牌的收费方式对应2y ．(1)直接写出A 品牌收费方式对应的函数关系式为．(2)如果小致每天早上需要骑共享电动车去上班，已知两种品牌共享电动车的平均行驶速度均为30km /h ，小致家到学校的距离为6km ，那么小致选择 (填“A 品牌”或“B 品牌”)的共享电动车更省钱．(3)求出两种收费相差0.5元时x 的值．6．如图，小李和小赵相约去农庄游玩．小李从甲小区骑电动车出发，同时小赵从乙小区开车出发，途中去超市购物，购物后仍按原速继续驶向农庄，甲乙小区、超市和农庄之间的路程如图①所示，图②中线段OD 、BC 分别表示小李、小赵行驶中离甲小区的路程()km s 与出发时间t （分）之间的函数图象（或部分图象）．根据图象回答问题：(1)分别求出线段OD 、BC 的函数表达式；(2)请补全小赵离甲小区的路程为()km s 与出发时间t （分）的函数图象，并写出小赵在超市购物，用时______分钟．7．甲、乙两人同时开车从A 地出发，沿同一条道路去B 地，途中都以两种不同的速度1V 与212()V V V >行驶．甲前一半路程以速度1V 匀速行驶，后一半路程以速度2V 匀速行驶；乙前一半时间以速度匀速2V 行驶，后一半时间用以速度1V 匀速行驶．(1)设甲乙两人从A 地到B 地的平均速度分别为V 甲和V 乙，则V =甲___________；___________(V =乙用含1V 、2V 的式子表示)．2(1)当04t<≤时，求2v关于t的函数关系式；(2)求图中a的值；(3)小明每次踢球都能使球的速度瞬间增加6m/s，球运动方向不变，当小明带球跑完200m，写出小明踢球次数共有____次，并简要说明理由．10．已知甲、乙、丙三地依次在同一直线上，乙地离甲地260km，丙地离乙地160km．一艘游轮从甲地出发，途经乙地前往丙地．当游轮到达乙地时，一艘货轮沿着同样的线路从甲地出发前往丙地．已知游轮的速度为20km/h，离开甲地的时间记为t（单位：h），两艘轮船离甲地的距离y（单位：km）关于t的图象如图所示（游轮在停靠前后的行驶速度不变）．货轮比游轮早2.6h到达丙地．根据相关信息，解答下列问题：(1)填表：游轮离开甲地的时间/h 6 13 16 22 24游轮离甲地的距离/km120 260(2)填空：①游轮在乙地停靠的时长为_______h；②货轮从甲地到丙地所用的时长为_______h，行驶的速度为_______km/h；③游轮从乙地出发时，两艘轮船的距离为_______km．13．我国已取得脱贫攻坚的全面胜利，国家已进入乡村振兴实施阶段，现代物流的高速发展，为乡村振兴的实施提供了良好条件．某物流公司的汽车在市区行驶20km后进入高速路，在高速路上匀速行驶一段时间后，再在乡村道路上行驶1h到达目的地，汽车行驶的时间x（单位：h）与行驶的路程y（单位：km）之间的关系如图所示．请结合图象，回答下列问题：(1)汽车在乡村道路上行驶的平均速度是______ km/h；(2)求汽车在高速路上行驶的路程y与行驶的时间x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；(3)当该物流车行驶到距离出发地120km时，请问该车再过1.5小时能不动达目的地，如果能，写出计算过程；如果不能，直接写出1.5小时后该车离目的地还有多远？14．甲、乙两车分别从相距15km的大连北站和大连广播电视中心同时匀速相向而行．甲车出发10min后，由于交通管制，停止了2min，再出发时速度比原来减少15km/h，并安全到达终点．甲、乙两车距大连北站的路程y（单位：km）与两车行驶时间x（单位：h）的图象如图所示．(1)填空： a______；(2)求乙车距大连北站的路程y与两车行驶时间x的函数解析式，并直接写出自变量x的取值范围；(3)求甲、乙两车相遇时，乙车距大连北站的路程．15．随着疫情的消失，三年的管控使人们的消费和旅游在2023年的“五一”假期得以全面释放．小明和小军分别骑车和驾车从本村出发，沿同一条公路去东门外生态公园游玩．小明骑一段时间后，小军驾车出发，结果半路遭遇堵车，当小明迫上小军后，小军坐小明的自行车一起去生态公园(小军泊车时间忽略不计)，如图是小明、小军两人在去生态公园过程中经过的路程()my与小明出发时间()s x之间的函数图像．请结合图像回答：(1)村与公园的距离为______ ，小明骑车速度是______ m/s．(2)小军在离开村多少公里处遭遇堵车？从小军遇到堵车到追上小明用了多长时间？(3)直接写出两人何时相距520m？16．甲、乙两地相距320km，A，B两辆货车同时分别从甲、乙两地相向而行，货车A先出发，一个小时后，货车B也出发，若它们都保持匀速行驶，货车A、货车B距乙地的距离()y km与时x h之间的关系如图所示．间()(1)求货车B距乙地的距离y与时间x的关系式；(2)求货车B到甲地后，货车A还需多长时间到达乙地．参考答案：1．(1)工厂离目的地的路程为880千米 (2)s 关于t 的函数表达式：()80880011s t t =-+≤≤ (3)t 的取值范围是254t ≤≤1522．(1)400，100，7(2)快车从乙地返回甲地的过程中，y 与x 的函数解析式为100400y x =-+ (3)慢车出发1小时或103小时或143小时，两车相距120km3．(1)王明跑步的速度为8km/h ，陈星的速度为16km/h ． (2)()24241 1.5y x x =-≤≤ 4．(1)70 830y x =+(2)无人机上升了13min ，两无人机高度相差32m ． 5．(1)10.2y x =(2)小明选择A 品牌的共享电动车更省钱 (3)两种收费相差0.5元时，x 的值为15或25；6．(1)线段OD 的函数表达式为()0.5020y x x =≤≤；线段BC 函数表达式为()81218y x x =-≤≤； (2)小赵在超市购物，用时10min ． 7．(1)12121222VV V V V V ++，(2)乙(3)①1210050300V V S ===，，，②3.5小时 8．(1)20a = 140b =； (2)2020y x =+甲1550y x =+乙；(3)飞行1分钟或者11分钟时，两架航模飞行高度相差25米。

中考数学总复习《综合提升题组》专题训练(附带答案)

中考数学总复习《综合提升题组》专题训练(附带答案) 学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________一、选择题(本题有7小题,每小题3分,共21分)1(2022海南)如图,点A(0,3),B(1,0),将线段AB平移得到线段DC,若∠ABC=90°,BC=2AB,则点D的坐标是() A.(7,2) B.(7,5)C.(5,6)D.(6,5)(第1题) (第2题) 2(2022绍兴)如图,在平行四边形ABCD中,AD=2AB=2,∠ABC=60°,E,F是对角线BD上的动点,且BE=DF,M,N分别是边AD,边BC上的动点.下列四种说法:①存在无数个平行四边形MENF;②存在无数个矩形MENF;③存在无数个菱形MENF;④存在无数个正方形MENF.其中正确的个数是() A.1 B.2 C.3 D.43(2022宁波)将两张全等的矩形纸片和另两张全等的正方形纸片按如图方式不重叠地放置在矩形ABCD内,其中矩形纸片和正方形纸片的周长相等.若知道图中阴影部分的面积,则一定能求出()A.正方形纸片的面积B.四边形EFGH的面积C.△BEF的面积D.△AEH的面积4(2022呼和浩特)如图,四边形ABCD是菱形,∠DAB=60°,点E是DA的中点,F是对角线AC上一点,且∠DEF=45°,则AF∶FC的值是()A.3B.√5+1C.2√2+1D.2+√3(第4题) (第5题) 5(2022丽水)如图,已知菱形ABCD的边长为4,E是BC的中点,AF平分∠EAD交CD于点F,FG∥AD交AE于点G,若cos B=14,则FG的长是()A.3B.83C.2√153D.526(2022泸州)如图,在边长为3的正方形ABCD中,点E是边AB上的点,且BE=2AE,过点E作DE的垂线交正方形外角∠CBG的平分线于点F,交边BC于点M,连接DF交边BC于点N,则MN的长为()A.23B.56C.67D.1(第6题) (第7题) 7(2022连云港)如图,将矩形ABCD沿着GE,EC,GF翻折,使得点A,B,D恰好都落在点O处,且点G,O,C在同一条直线上,同时点E,O,F在另一条直线上.小炜同学得出以下结论:①GF∥EC;②AB=4√35AD;③GE=√6DF;④OC=2√2OF;⑤△COF∽△CEG.其中正确的是() A.①②③ B.①③④C.①④⑤D.②③④二、填空题(本题有3小题,每小题3分,共9分)8(2022西宁)矩形ABCD中,AB=8,AD=7,点E在AB边上,AE=5.若点P是矩形ABCD边上一点,且与点A,E构成以AE为腰的等腰三角形,则等腰三角形AEP的底边长是.9(2022天津)如图,已知菱形ABCD的边长为2,∠DAB=60°,E为AB的中点,F为CE的中点,AF与DE相交于点G,则GF的长等于.(第9题) (第10题) 10(2022广西北部湾经济区)如图,在正方形ABCD中,AB=4√2,对角线AC,BD相交于点O.点E是对角线AC上一点,连接BE,过点E作EF⊥BE,分别交CD,BD于点F,G,连接BF,交AC于点H,将△EFH沿EF翻折,点H的对应点H'恰好落在BD上,得到△EFH'.若点F为CD的中点,则△EGH'的周长是.三、解答题(本题有2小题,共22分)11(10分)(2021泰安)四边形ABCD为矩形,E是AB延长线上的一点.(1)若AC=EC,如图(1),求证:四边形BECD为平行四边形;(2)若AB=AD,点F是AB上的点,AF=BE,EG⊥AC于点G,如图(2),求证:△DGF是等腰直角三角形.图(1)图(2)12(12分)(2022临沂)如图,已知△ABC是等边三角形,点B,D关于直线AC对称,连接AD,CD.(1)求证:四边形ABCD是菱形.(2)在线段AC上任取一点Р(端点除外),连接PD.将线段PD绕点Р逆时针旋转,使点D落在BA延长线上的点Q处.请探究:当点Р在线段AC上的位置发生变化时,∠DPQ的大小是否发生变化?说明理由.(3)在满足(2)的条件下,探究线段AQ与CP之间的数量关系,并加以证明.综合提升题组1.D【解析】∵A(0,3),B(1,0),∴OA=3,OB=1.由平移的性质可知,CD=AB,CD ∥AB,∴四边形ABCD是平行四边形.又∠ABC=90°,∴四边形ABCD是矩形.过点D作DE⊥y轴于点E,易证△DEA∽△AOB,∴DEAO =AEOB=ADAB=BCAB=2,∴AE=2,DE=6,∴OE=5,∴D(6,5).2.C【解析】取BD的中点O.∵BE=DF,OB=OD,∴OE=OF,故点M,N只要满足OM=ON且M,O,N三点共线,四边形MENF即为平行四边形,故存在无数个平行四边形MENF,故说法①正确.只要满足MN=EF,且M,O,N三点共线,四边形MENF即为矩形.又点E,F是BD上的动点,故存在无数个矩形MENF,故说法②正确.只要满足MN⊥EF,且M,O,N三点共线,四边形MENF即为菱形.又点E,F是BD上的动点,故存在无数个菱形MENF,故说法③正确.若要四边形MENF是正方形,则要满足MN ⊥EF ,OM=ON=OE=OF ,且M ,O ,N 三点共线,符合要求的正方形只有一个,故说法④错误.故选C .3.C 【解析】设正方形纸片的边长为a ,矩形纸片的长、宽分别为b ,c ,则4a=2b+2c ,EF=HG=a-c ,∴b=2a-c ,∴EH=FG=b-a=a-c ,∴S 阴影=12(a-c )(a+c+a+c )+(a-c )2=2a 2-2ac=2a (a-c ).∵S 正方形纸片=a 2,S 四边形EFGH =(a-c )2,S △BEF =12a (a-c ),S △AEH =12c (a-c ),∴4S △BEF =S 阴影,∴若知道阴影部分的面积,则一定能求出△BEF 的面积.4.D 【解析】 ∵四边形ABCD 是菱形,∠DAB=60°,∴∠DAC=∠ACD=30°,∠ADC=120°.如图,取AC 的中点O ,连接OE ,则OE 是△ACD 的中位线,∴OE=12CD ,OE ∥CD ,∴∠OED=180°-∠ADC=60°,∠AOE=∠ACD=30°,∴∠OEF=∠OED-∠DEF=15°.又∠AFE=∠DEF-∠DAC=15°,∴∠OEF=∠AFE ,∴OF=OE=12CD=12AD.易知AC=2AD cos 30°=√3AD ,∴OA=√32AD ,∴AF=√3+12AD ,∴FC=AC-AF=√3-12AD ,∴AF ∶FC=2+√3.5.B 【解析】如图,过点A 作AH ⊥BC 于点H ,延长FG 交AB 于点P ,由题意可知,AB=BC=4,∵E 是BC 的中点,∴BE=2.∵在Rt △ABH 中,AB=4,cos B=14,∴BH=1,∴H 是BE 的中点,即AH 垂直平分BE ,∴AE=AB=4,∴∠AEB=∠B.∵AF 平分∠DAE ,∴∠FAD=∠FAE.∵AD ∥FG ,∴∠FAD=∠AFG ,∴∠FAG=∠AFG ,∴AG=FG.易得四边形APFD 是平行四边形,∴PF=AD=4.易知PF ∥BC ,∴∠AGP=∠AEB=∠B ,AH ⊥PG ,AP AB =AGAE ,∴AP=AG ,∴AH 垂直平分PG.设FG=x ,则AG=x ,PG=4-x ,∴cos ∠AGP=12PG AG =2−x 2x=14,∴x=83.故选B .6.B 【解析】如图,过点F 作FH ⊥BG 于点H ,FK ⊥BC 于点K ,则四边形BHFK 是正方形.∵DE ⊥EF ,∠EHF=90°,∴∠DEA+∠FEH=90°,∠EFH+∠FEH=90°,∴∠DEA=∠EFH.又∵∠A=∠EHF=90°,∴△DAE ∽△EHF ,∴ADHE =AEHF .∵正方形ABCD 的边长为3,BE=2AE ,∴AE=1,BE=2.设FH=a ,则BH=a ,∴32+a =1a ,解得a=1.易证△DCN ∽△FKN ,∴DCFK =CNKN .∵BC=3,BK=FH=1,∴CK=2.设CN=b ,则 KN=2-b ,∴31=b2−b ,∴b=32,即CN=32.易知△ADE ∽△BEM ,∴ADBE =AEBM ,∴32=1BM ,∴BM=23,∴MN=BC-CN-BM=3-32-23=56.故选B .7.B 【解析】根据折叠的性质知,∠DGF=∠OGF ,∠AGE=∠OGE ,∴∠FGE=∠OGF+∠OGE=12(∠DGO+∠AGO )=90°,同理可得∠GEC=90°,∴GF ∥EC ,故结论①正确.根据折叠的性质知DG=GO=GA ,∴点G 为AD 的中点,同理可得点E 为AB 的中点.设AD=BC=2a ,AB=CD=2b ,则DG=GO=GA=a ,OC=BC=2a ,AE=BE=OE=b ,∴GC=3a.在Rt △CDG中,CG 2=DG 2+CD 2,即(3a )2=a 2+(2b )2,∴b=√2a ,∴AB=2√2a=√2AD ,故结论②不正确.设DF=FO=x ,则 FC=2b-x.在Rt △COF 中,CF 2=OF 2+OC 2,即(2b-x )2=x 2+(2a )2,∴x=b 2-a 2b=√2,即DF=FO=√2.又∵GE=√a 2+b 2=√3a ,∴GE DF =√3aa √2=√6,∴GE=√6DF ,故结论③正确.OCOF =2aa√2=2√2,∴OC=2√2OF ,故结论④正确.∵tan ∠FCO=FO OC =√24,tan ∠GCE=GE CE =√3a√(√2a )+(2a )=√22,∴∠FCO ≠∠GCE ,∴△COF ∽△CEG不成立,故结论⑤不正确.故选B .8.5√2或4√5 【解析】如图,①当AP=AE=5时,点P 在点P 1的位置,此时PE=√2AE=5√2.②当PE=AE=5时,点P 在点P 2的位置.∵BE=AB-AE=8-5=3,∠B=90°,∴PB=√PE 2-BE 2=4,∴AP=√AB 2+BP 2=4√5.综上可知,等腰三角形AEP 的底边长为5√2或4√5.9.√194【解析】 ∵点E 为AB 的中点,∴AE=EB=1.如图,过点C 作AB 的垂线,垂足为点H.在菱形ABCD 中,AD ∥BC ,∴∠CBH=∠DAB=60°,∴BH=12BC=1,CH=√32BC=√3,∴EB=BH.连接BF ,∵EF=FC ,∴FB ∥CH ,FB=12CH=√32,∴∠FBE=90°,∴AF=√AB 2+BF 2=√192.连接BD ,则△ABD 是等边三角形,∴DE ⊥AB ,∴GE ∥FB ,∴点G 是AF 的中点,∴GF=12AF=√194.10.5+√5 【解析】如图,过点E 分别作EM ⊥BC 于点M ,EN ⊥CD 于点N ,由正方形的对称性可知EM=EN.易知∠MEN=90°,∴∠BEF=∠MEN ,∴∠BEM=∠FEN.又∠EMB=∠ENF=90°,EM=EN ,∴△BEM ≌△FEN ,∴EB=EF ,∴∠EBF=∠EFB=45°.∵点F 是CD 的中点,∴CF=12CD=12AB=2√2,∴BF=√BC 2+CF 2=2√10,∴BE=√22BF=2√5 .∵AB ∥CF ,∴△ABH ∽△CFH ,∴FH BH =CF AB =12,∴FH=13BF=23√10.由折叠的性质,得EH=EH',FH'=FH=23√10,∠BFH'=2∠BFE=90°,∴BH'=√BF2+FH'2=203.由AB=4√2,易得AO=BO=4,又∵AC⊥BD,∴cos∠EBO=BOBE =2√55,∴BG=EBcos∠EBG=5,∴EG=√BG2-BE2=√5,GH'=BH'-BG=203-5=53.在△BEH和△CFH中,∠EBH=∠FCH=45°,∠BHE=∠CHF,∴△BEH∽△CFH,∴EH FH =BECF,即23√10=√52√2,解得EH=103,故△EGH'的周长为103+53+√5=5+√5.11.【参考答案】证明:(1)∵四边形ABCD是矩形∴AB CD,CB⊥AE.(1分) 又∵AC=EC∴AB=BE,(2分) ∴BE CD∴四边形BECD是平行四边形.(4分) (2)∵AB=AD∴矩形ABCD是正方形∴∠GAE=45°.∵EG⊥AC∴∠E=∠GAE=45°,(5分) ∴GE=GA.(6分) 又∵AF=BE∴AB=FE∴FE=AD.(7分) 又∵∠DAC=∠E=45°∴△EGF≌△AGD,(8分) ∴GF=GD,∠DGA=∠FGE,(9分) ∠DGF=∠DGA+∠AGF=∠EGF+∠AGF=∠AGE=90°∴△DGF是等腰直角三角形.(10分)12.【参考答案】(1)证明:∵△ABC是等边三角形∴AB=BC.∵点B,D关于直线AC对称∴AD=AB,CD=BC∴AB=BC=CD=AD∴四边形ABCD是菱形.(3分) (2)不发生变化.(4分) 理由:如图,过点P分别作PE⊥AD,PF⊥AB,垂足分别为点E,F,则∠PED=∠PFQ=90°.∵AC是菱形ABCD的对角线,△ABC是等边三角形∴∠CAD=∠CAB=60°∴∠EAF=120°,PE=PF.又∵PD=PQ∴Rt△PDE≌Rt△PQF∴∠DPE=∠QPF∴∠DPQ=∠EPF=360°-90°-90°-120°=60°.(8分)(3)AQ=CP.(9分) 证明:如图,连接DQ.由(2)可知∠DPQ=60°.又PD=PQ∴△PDQ是等边三角形∴DP=DQ,∠PDQ=60°∴∠ADQ=∠PDQ-∠PDA=60°-∠PDA=∠CDP.又∵DA=DC∴△DCP≌△DAQ∴AQ=CP.。

决战2020年中考数学压轴题综合提升训练《三角形》(含解析)

《三角形》1．已知，△ABC是等边三角形，过点C作CD∥AB，且CD＝AB，连接BD交AC于点O．（1）如图1，求证：AC垂直平分BD；（2）如图2，点M在BC的延长线上，点N在线段CO上，且ND＝NM，连接BN．求证：NB ＝NM．（1）证明：∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝∠CAB＝60°，∵CD∥AB，且CD＝AB，∴CD＝CA＝BC，∠ACD＝∠ACB＝60°，∴BO＝DO，CO⊥BD，∴AC垂直平分BD；（2）由（1）知AC垂直平分BD，∴NB＝ND，∵ND＝NM，∴NB＝NM．2．等腰Rt△ABC，点D为斜边AB上的中点，点E在线段BD上，连结CD，CE，作AH⊥CE，垂足为H，交CD于点G，AH的延长线交BC于点F．（1）求证：△ADG≌△CDE．（2）若点H恰好为CE的中点，求证：∠CGF＝∠CFG．证明：（1）在等腰Rt△ABC中，∵点D为斜边AB上的中点，∴CD＝AB，CD⊥AB，∵AD＝AB，∴AD＝CD，∵CD⊥AB，∴∠ADG＝∠CDE＝90°，∵AH⊥CE，∴∠CGH+∠GCH＝90°，∵∠AGD+∠GAD＝90°，又∵∠AGD＝∠CGH，∴∠GAD＝∠GCH，在△△ADG和△CDE中∵∠ADG＝∠CDE＝90°，AD＝CD，∠GAD＝∠GCH∴△ADG≌△CDE（ASA），（2）∵AH⊥CE，点H为CE的中点，∴AC＝AE，∴∠CAH＝∠EAH，∵∠CAH+∠AFC＝90°，∠EAH+∠AGD＝90°，∴∠AFC＝∠AGD，∵∠AGD＝∠CGH，∴∠AFC＝∠CGH，即∠CGF＝∠CFG．3．如图，在△ABC中，AD⊥BC且BD＝DE，EF垂直平分AC，交AC于点F，交BC于点E．（1）若∠BAE＝32°，求∠C的度数；（2）若AC＝6cm，DC＝5cm，求△ABC的周长．解：（1）∵AD⊥BC，BD＝DE，EF垂直平分AC∴AB＝AE＝EC∴∠C＝∠CAE，∵∠BAE＝32°∴∠AED＝（180°﹣32°）＝74°；∴∠C＝∠AED＝37°；（2）由（1）知：AE＝EC＝AB，∵BD＝DE，∴AB+BD＝EC+DE＝DC，∴△ABC的周长＝AB+BC+AC，＝AB+BD+DC+AC，＝2DC+AC＝2×5+6＝16（cm）．4．如图，在△ABC中，∠BAC和∠ABC的平分线相交于点O，过点O作EF∥AB交BC于F，交AC于E，过点O作OD⊥BC于D．（1）求证：∠AOB＝90°+∠C；（2）求证：AE+BF＝EF；（3）若OD＝a，CE+CF＝2b，请用含a，b的代数式表示△CEF的面积，S△CEF＝ab（直接写出结果）．证明：（1）∵OA，OB平分∠BAC和∠ABC，∴，，∴∠AOB＝180°﹣∠OAB﹣∠OBA＝＝＝＝（2）∵EF∥AB，∴∠OAB＝∠AOE，∠ABO＝∠BOF又∠OAB＝∠EAO，∠OBA＝∠OBF，∴∠AOE＝∠EAO，∠BOF＝∠OBF，∴AE＝OE，BF＝OF，∴EF＝OE+OF＝AE+BF；（3）∵点O在∠ACB的平分线上，∴点O到AC的距离等于OD，∴S△CEF＝（CE+CF）•OD＝•2b•a＝ab，故答案为：ab．5．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD为BC边上的中线，DE⊥AB于点E．（1）求证：BD•AD＝DE•AC．（2）若AB＝13，BC＝10，求线段DE的长．（3）在（2）的条件下，求cos∠BDE的值．证明：（1）∵AB＝AC，BD＝CD，∴AD⊥BC，∠B＝∠C，∵DE⊥AB，∴∠DEB＝∠ADC，∴△BDE∽△CAD．∴，∴BA•AD＝DE•CA；（2）∵AB＝AC，BD＝CD，∴AD⊥BC，在Rt△ADB中，AD＝＝＝12，∵•AD•BD＝•AB•DE，∴DE＝．（3）∵∠ADB＝∠AED＝90°，∴∠BDE＝∠BAD，∴cos∠BDE＝cos∠BAD＝．6．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作半圆O，交BC于点D，交AC于点E．（1）求证：BD＝CD．（2）若弧DE＝50°，求∠C的度数．（3）过点D作DF⊥AB于点F，若BC＝8，AF＝3BF，求弧BD的长．（1）证明：如图，连接AD．∵AB是圆O的直径，∴AD⊥BD．又∵AB＝AC，∴BD＝CD．（2）解：∵弧DE＝50°，∴∠EOD＝50°．∴∠DAE＝∠DOE＝25°．∵由（1）知，AD⊥BD，则∠ADB＝90°，∴∠ABD＝90°﹣25°＝65°．∵AB＝AC，∴∠C＝∠ABD＝65°．（3）∵BC＝8，BD＝CD，∴BD＝4．设半径OD＝x．则AB＝2x．由AF＝3BF可得AF＝AB＝x，BF＝AB＝x，∵AD⊥BD，DF⊥AB，∴BD2＝BF•AB，即42＝x•2x．解得x＝4．∴OB＝OD＝BD＝4，∴△OBD是等边三角形，∴∠BOD＝60°．∴弧BD的长是：＝．7．阅读下面材料：数学课上，老师给出了如下问题：如图，AD为△ABC中线，点E在AC上，BE交AD于点F，AE＝EF．求证：AC＝BF．经过讨论，同学们得到以下两种思路：思路一如图①，添加辅助线后依据SAS可证得△ADC≌△GDB，再利用AE＝EF可以进一步证得∠G＝∠FAE＝∠AFE＝∠BFG，从而证明结论．思路二如图②，添加辅助线后并利用AE＝EF可证得∠G＝∠BFG＝∠AFE＝∠FAE，再依据AAS可以进一步证得△ADC≌△GDB，从而证明结论．完成下面问题：（1）①思路一的辅助线的作法是：延长AD至点G，使DG＝AD，连接BG；②思路二的辅助线的作法是：作BG＝BF交AD的延长线于点G．（2）请你给出一种不同于以上两种思路的证明方法（要求：只写出辅助线的作法，并画出相应的图形，不需要写出证明过程）．解：（1）①延长AD至点G，使DG＝AD，连接BG，如图①，理由如下：∵AD为△ABC中线，∴BD＝CD，在△ADC和△GDB中，，∴△ADC≌△GDB（SAS），∴AC＝BG，∵AE＝EF，∴∠CAD＝∠EFA，∵∠BFG＝∠G，∠G＝∠CAD，∴∠G＝∠BFG，∴BG＝BF，∴AC＝BF．故答案为：延长AD至点G，使DG＝AD，连接BG；②作BG＝BF交AD的延长线于点G，如图②．理由如下：∵BG＝BF，∴∠G＝∠BFG，∵AE＝EF，∴∠EAF＝∠EFA，∵∠EFA＝∠BFG，∴∠G＝∠EAF，在△ADC和△GDB中，，∴△A DC≌△GDB（AAS），∴AC＝BG，∴AC＝BF；故答案为：作BG＝BF交AD的延长线于点G；（2）作BG∥AC交AD的延长线于G，如图③所示：则∠G＝∠CAD，∵AD为△ABC中线，∴BD＝CD，在△ADC和△GDB中，，∴△ADC≌△GDB（AAS），∴AC＝BG，∵AE＝EF，∴∠CAD＝∠EFA，∵∠BFG＝∠G，∠G＝∠CAD，∴∠G＝∠BFG，∴BG＝BF，∴AC＝BF．8．如图1，直线AB分别与x轴、y轴交于A、B两点，OC平分∠AOB交AB于点C，点D为线段AB上一点，过点D作DE∥OC交y轴于点E，已知AO＝m，BO＝n，且m、n满足n2﹣8n+16+|n﹣2m|＝0．（1）求A、B两点的坐标；（2）若点D为AB中点，求OE的长；（3）如图2，若点P（x，﹣2x+4）为直线AB在x轴下方的一点，点E是y轴的正半轴上一动点，以E为直角顶点作等腰直角△PEF，使点F在第一象限，且F点的横、纵坐标始终相等，求点P的坐标．解：（1）∵n2﹣8n+16+|n﹣2m|＝0，∴（n﹣4）2+|n﹣2m|＝0，∵（n﹣4）2≥0，|n﹣2m|≥0，∴（n﹣4）2＝0，|n﹣2m|＝0，∴m＝2，n＝4，∴点A为（2，0），点B为（0，4）；（2）延长DE交x轴于点F，延长FD到点G，使得DG＝DF，连接BG，设OE＝x，∵OC平分∠AOB，∴∠BOC＝∠AOC＝45°，∵DE∥OC，∴∠EFO＝∠FEO＝∠BEG＝∠BOC＝∠AOC＝45°，∴OE＝OF＝x，在△ADF和△BDG中，，∴△ADF≌△BDG（SAS），∴BG＝AF＝2+x，∠G＝∠AFE＝45°，∴∠G＝∠BEG＝45°，∴BG＝BE＝4﹣x，∴4﹣x＝2+x，解得：x＝1，∴OE＝1；（3）如图2，分别过点F、P作FM⊥y轴于点M，PN⊥y轴于点N，设点E为（0，m），∵点P的坐标为（x，﹣2x+4），∴PN＝x，EN＝m+2x﹣4，∵∠PEF＝90°，∴∠PEN+∠FEM＝90°，∵FM⊥y轴，∴∠MFE+∠FEM＝90°，∴∠PEN＝∠MFE，在△EFM和△PEN中，，∴△EFM≌△PEN（AAS），∴ME＝NP＝x，FM＝EN＝m+2x﹣4，∴点F为（m+2x﹣4，m+x），∵F点的横坐标与纵坐标相等，∴m+2x﹣4＝m+x，解得：x＝4，∴点P为（4，﹣4）．9．在等边△ABC中，线段AM为BC边上的中线．动点D在直线AM上时，以CD为一边在CD 的下方作等边△CDE，连结BE．（1）若点D在线段AM上时（如图1），则AD＝BE（填“＞”、“＜”或“＝”），∠CAM ＝30 度；（2）设直线BE与直线AM的交点为O．①当动点D在线段AM的延长线上时（如图2），试判断AD与BE的数量关系，并说明理由；②当动点D在直线AM上时，试判断∠AOB是否为定值？若是，请直接写出∠AOB的度数；若不是，请说明理由．解：（1））∵△ABC与△DEC都是等边三角形∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DC E＝60°∴∠ACD+∠DCB＝∠DCB+∠BCE∴∠ACD＝∠BCE．在△ADC和△BEC中，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴AD＝BE；∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC＝60°．∵线段AM为BC边上的中线∴∠CAM＝∠BAC，∴∠CAM＝30°．故答案为：＝，30；（2）①AD＝BE，理由如下：∵△ABC和△CDE都是等边三角形∴AB＝BC，DC＝EC，∠ACB＝∠DCE＝60°，∵∠ACD＝∠ACB﹣∠DCB，∠BCE＝∠DCE﹣∠DCB，∴∠ACD＝∠BCE，∴△ACD≌△BCE（SAS）∴AD＝BE．②∠AOB是定值，∠AOB＝60°，理由如下：当点D在线段AM上时，如图1，由①知△ACD≌△BCE，则∠CBE＝∠CAD＝30°，又∠ABC＝60°，∴∠CBE+∠ABC＝60°+30°＝90°，∵△ABC是等边三角形，线段AM为BC边上的中线∴AM平分∠BAC，即，∴∠BOA＝90°﹣30°＝60°．当点D在线段AM的延长线上时，如图2，∵△ABC与△DEC都是等边三角形∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°∴∠ACB+∠DCB＝∠DCB+∠DCE∴∠ACD＝∠BCE在△ACD和△BCE中，∴△ACD≌△BCE（SAS）∴∠CBE＝∠CAD＝30°，同理可得：∠BAM＝30°，∴∠BOA＝90°﹣30°＝60°．10．数学课上，王老师出示了如下框中的题目．小明与同桌小聪讨论后，进行了如下解答：（1）特殊情况•探索结论：在等边三角形ABC中，当点E为AB的中点时，点D在CB点延长线上，且ED＝EC；如图1，确定线段AE与DB的大小关系．请你直接写出结论AE ＝DB；（2）特例启发，解答题目王老师给出的题目中，AE与DB的大小关系是：AE＝DB．理由如下：如图2，过点E作EF∥BC，交AC于点F，（请你完成以下解答过程）（3）拓展结论，设计新题在△ABC中，AB＝BC＝AC＝1；点E在AB的延长线上，AE＝2；点D在CB的延长线上，ED ＝EC，如图3，请直接写CD的长1或3 ．解：（1）如图1，过点E作EF∥BC，交AC于点F，∵△ABC为等边三角形，∴∠AFE＝∠ACB＝∠ABC＝60°，△AEF为等边三角形，∴∠EFC＝∠EBD＝120°，EF＝AE，∵ED＝EC，∴∠EDB＝∠ECB，∠ECB＝∠FEC，∴∠EDB＝∠FEC，在△BDE和△FEC中，，∴△BDE≌△FEC（AAS），∴BD＝EF，∴AE＝BD，故答案为：＝；（2）解答过程如下：如图2，过点E作EF∥BC，交AC于点F，∵△ABC为等边三角形，∴∠AFE＝∠ACB＝∠ABC＝60°，△AEF为等边三角形，∴∠EFC＝∠EBD＝120°，EF＝AE，∵ED＝EC，∴∠EDB＝∠ECB，∠ECB＝∠FEC，∴∠EDB＝∠FEC，在△BDE和△FEC中，∴△BDE≌△FEC（AAS），∴BD＝EF，∴AE＝BD．故答案为：AE＝DB．（3）解：分为四种情况：如图3，∵AB＝AC＝1，AE＝2，∴B是AE的中点，∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC＝BC＝1，△ACE是直角三角形（根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半），∴∠ACE＝90°，∠AEC＝30°，∴∠D＝∠ECB＝∠BEC＝30°，∠DBE＝∠ABC＝60°，∴∠DEB＝180°﹣30°﹣60°＝90°，即△DEB是直角三角形．∴BD＝2BE＝2（30°所对的直角边等于斜边的一半），即CD＝1+2＝3．如图4，过A作AN⊥BC于N，过E作EM⊥CD于M，∵等边三角形ABC，EC＝ED，∴BN＝CN＝BC＝，CM＝MD＝CD，AN∥EM，∴△BAN∽△BEM，∴，∵△ABC边长是1，AE＝2，∴，∴MN＝1，∴CM＝MN﹣CN＝1﹣＝，∴CD＝2CM＝1；如图5，∵∠ECD＞∠EBC（∠EBC＝120°），而∠ECD不能大于120°，否则△EDC不符合三角形内角和定理，∴此时不存在EC＝ED；如图6，∵∠EDC＜∠ABC，∠ECB＞∠ACB，又∵∠ABC＝∠ACB＝60°，∴∠ECD＞∠EDC，即此时ED≠EC，∴此时情况不存在，答：CD的长是3或1．故答案为：1或3．11．定义：如果一个三角形的一个内角等于另一个内角的两倍，则称这样的三角形为“倍角三角形”．（1）如图1，△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，求证：△ABC是倍角三角形；（2）若△ABC是倍角三角形，∠A＞∠B＞∠C，∠B＝30°，AC＝，求△ABC面积；（3）如图2，△ABC的外角平分线AD与CB的延长线相交于点D，延长CA到点E，使得AE＝AB，若AB+AC＝BD，请你找出图中的倍角三角形，并进行证明．（1）证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∵∠A+∠B+∠C＝180°，∠A＝36°，∴∠B＝∠C＝72°，∴∠A＝2∠C，即△ABC是倍角三角形，（2）解：∵∠A＞∠B＞∠C，∠B＝30°，①当∠B＝2∠C，得∠C＝15°，过C作CH⊥直线AB，垂足为H，可得∠CAH＝45°，∴AH＝CH＝AC＝4．∴BH＝，∴AB＝BH﹣AH＝﹣4，∴S＝．②当∠A＝2∠B或∠A＝2∠C时，与∠A＞∠B＞∠C矛盾，故不存在．综上所述，△ABC面积为．（3）∵AD平分∠BAE，∴∠BAD＝∠EAD，∵AB＝AE，AD＝AD，∴△ABD≌△AED（SAS），∴∠ADE＝∠ADB，BD＝DE．又∵AB+AC＝BD，∴AE+AC＝BD，即CE＝BD．∴CE＝DE．∴∠C＝∠BDE＝2∠ADC．∴△ADC是倍角三角形．12．如图，在平面直角坐标系中，OA＝OB，AC＝CD，已知两点A（4，0），C（0，7），点D 在第一象限内，∠DCA＝90°，点B在线段OC上，AB的延长线与DC的延长线交于点M，AC与BD交于点N．（1）点B的坐标为：（0，4）；（2）求点D的坐标；（3）求证：CM＝CN．解：（1）∵A（4，0），∴OA＝OB＝4，∴B（0，4），故答案为：（0，4）．（2）∵C（0，7），∴OC＝7，过点D作DE⊥y轴，垂足为E，∴∠DEC＝∠AOC＝90°，∵∠DCA＝90°，∴∠ECD+∠BCA＝∠ECD+∠EDC＝90°∴∠BCA＝∠EDC，∴△DEC≌△COA（AAS），∴DE＝OC＝7，EC＝OA＝4，∴OE＝OC+EC＝11，∴D（7，11）；（3）证明：∵BE＝OE﹣OB＝11﹣4＝7 ∴BE＝DE，∴△DBE是等腰直角三角形，∴∠DBE＝45°，∵OA＝OB，∴∠OBA＝45°，∴∠DBA＝90°，∴∠BAN+∠ANB＝90°，∵∠DCA＝90°，∴∠CDN+∠DNC＝90°，∵∠DNC＝∠ANB，∴∠CDN＝∠BAN，∵∠DCA＝90°，∴∠ACM＝∠DCN＝90°，∴△DCN≌△ACM（ASA），∴CM＝CN．13．如图，在△ABC中，BD⊥AC，垂足为C，且∠A＜∠C，点E是一动点，其在BC上移动，连接DE，并过点E作EF⊥DE，点F在AB的延长线上，连接DF交BC于点G．（1）请同学们根据以上提示，在上图基础上补全示意图．（2）当△ABD与△FDE全等，且AD＝FE，∠A＝30°，∠AFD＝40°，求∠C的度数．解：（1）补全示意图如图所示，（2）∵DE⊥EF，BD⊥AC，∴∠DEF＝∠ADB＝90°．∵△ABD与△DEF全等，∴AB＝DF，又∵AD＝FE，∴∠ABD＝∠FDE，∴BD＝DE．在Rt△ABD中，∠ABD＝90°﹣∠A＝60°．∴∠FDE＝60°．∵∠ABD＝∠BDF+∠AFD，∵∠AFD＝40°，∴∠BDF＝20°．∴∠BDE＝∠BDF+∠FDE＝20°+60°＝80°．∵BD＝DE，∴∠DBE＝∠BED＝（180°﹣∠BDE）＝50°．在Rt△BDC中，∠C＝90°﹣∠DBE＝90°﹣50°＝40°．14．如图．CP是等边△ABC的外角∠ACE的平分线，点D在边BC上，以D为顶点，DA为一条边作∠ADF＝60°，另一边交射线CP于F．（1）求证．AD＝FD；（2）若AB＝2，BD＝x，DF＝y，求y关于x的函数解析式；（3）联结AF，当△ADF的面积为时，求BD的长．证明：（1）如图1，连接AF，∵∠ACB＝60°，∴∠ACE＝120°，∵CP平分∠ACE，∴∠ACP＝∠PCE＝60°，∴∠ADF＝∠ACP＝60°，∴A、D、C、F四点共圆，∴∠AFD＝∠ACB＝60°，∴∠ADF＝∠AFD＝60°，∴∠DAF＝60°，∴△ADF是等边三角形，∴AD＝FD；（2）如图2，过点A作AH⊥BC，∵△ABC是等边三角形，AH⊥BC，AB＝2，∴BH＝1，AH＝BH＝，∴HD＝BD﹣BH＝x﹣1，∵DF＝＝，∴y＝（3）∵△ADF是等边三角形，且△ADF的面积为，∴DF2＝，∴DF2＝＝x2﹣2x+4∴x＝∴BD＝或15．如图，△ABC是等边三角形，D是BC边的中点，以D为顶点作一个120°的角，角的两边分别交直线AB、直线AC于M、N两点．以点D为中心旋转∠MDN（∠MDN的度数不变），当DM与AB垂直时（如图①所示），易证BM+CN＝BD．（1）如图②，当DM与AB不垂直，点M在边AB上，点N在边AC上时，BM+CN＝BD是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；（2）如图③，当DM与AB不垂直，点M在边AB上，点N在边AC的延长线上时，BM+CN ＝BD是否仍然成立？若不成立，请写出BM，CN，BD之间的数量关系，不用证明．解：（1）结论BM+CN＝BD成立，理由如下：如图②，过点D作DE∥AC交AB于E，∵△ABC是等边三角形，∴∠A＝∠B＝∠C＝60°，∵DE∥AC，∴∠BED＝∠A＝60°，∠BDE＝∠C＝60°，∴∠B＝∠BED＝∠BDE＝60°，∴△BDE是等边三角形，∠EDC＝120°，∴BD＝BE＝DE，∠EDN+∠CDN＝120°，∵∠EDM+∠EDN＝∠MDN＝120°，∴∠CDN＝∠EDM，∵D是BC边的中点，∴DE＝BD＝CD，在△CDN和△EDM中，，∴△CDN≌△EDM（ASA），∴CN＝EM，∴BD＝BE＝BM+EM＝BM+CN；（2）上述结论不成立，BM，CN，BD之间的数量关系为：BM﹣CN＝BD；理由如下：如图③，过点D作DE∥AC交AB于E，∵△ABC是等边三角形，∴∠A＝∠B＝∠C＝60°，∴∠NCD＝120°，∵DE∥AC，∴∠BED＝∠A＝60°，∠BDE＝∠C＝60°，∴∠B＝∠BED＝∠BDE＝60°，∴△BDE是等边三角形，∠MED＝∠EDC＝120°，∴BD＝BE＝DE，∠NCD＝∠MED，∠EDM+∠CDM＝120°，∵∠CDN+∠CDM＝∠MDN＝120°，∴∠CDN＝∠EDM，∵D是BC边的中点，∴DE＝BD＝CD，在△CDN和△EDM中，，∴△CDN≌△EDM（ASA），∴CN＝EM，∴BD＝BE＝BM﹣EM＝BM﹣CN，∴BM﹣CN＝BD．。

2023年春九年级数学中考复习《圆综合压轴解答题》专题提升训练(附答案)

2023年春九年级数学中考复习《圆综合压轴解答题》专题提升训练（附答案）1．如图，已知四边形ACBD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，AB＝10，点D是半圆的中点，连接CD，点I是CD上一点，且DI＝DB．（1）求证：点I是△ABC的内心；（2）若BC＝6，求△BIC的面积；（3）随着点C的变化，点I的位置也发生改变，请探求CI长度的取值范围．2．如图，在△ABC中，AB＝4，以AB为直径作⊙O，分别交BC于点D，交CA的延长线于点E，过点D作⊙O的切线DH交AC于点H，且DH⊥AC，连接DE与AB交于点G．（1）求证：AB＝AC；（2）填空：①当BD＝时，四边形EODA为菱形；②若∠EGA＝∠EAG，则GO 的长为．3．如图，AB是⊙O的直径，点D在⊙O上，连接AD并延长至点C，连接BC交⊙O于点E，AB＝BC＝10，AC＝12，过点D作DF⊥BC于点F．（1）求证：直线DF是⊙O的切线；（2）连接DE，设△CDE的面积为S1，四边形ADEB的面积为S2，求的值；（3）点P在上，且的长为，点Q为线段BD上一动点，连接PQ，求的最小值．4．（1）如图①，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝4，AC＝3，若AD平分∠BAC交CB于点D，那么点D到AC的距离为；（2）如图②，四边形ABCD内接于⊙O，AC为直径，点B是半圆AC的三等分点（弧AB＜弧BC），连接BD，若BD平分∠ABC，且BD＝8，求四边形ABCD的面积．（3）如图③，有一块半径为1的⊙O，若⊙O的内接四边形ABCD满足∠ABC＝60°，AB＝AD，且AD+DC＝2，求AB的长．5．如图1，△ABC内接于⊙O，弦AE交BC于点D，连接BO，且∠ABO＝∠DAC．（1）求证：AE⊥BC；（2）如图2，点F在弧AC上，连接CF、BF，BF交AE于点M，若∠ACF＝∠OBC，求证：MD＝ED；（3）如图3，在（2）的条件下，∠BFC＝3∠EAC，若BM＝，AM＝3时，求弦CF 的长．6．如图，在△ABC中，AB＝AC，⊙O是△ABC的外接圆，连接BO并延长交边AC于点D．（1）如图1，求证：∠BAC＝2∠ABD；（2）如图2，过点B作BH⊥AC于点H，延长BH交⊙O于点G，连接OC，CG，OC 交BG于点F，求证：BF＝2HG；（3）如图3，在（2）的条件下，若AD＝2，CD＝3，求线段BF的长．7．如图，等边△ABC内接于⊙O，点D是弧AC上一点，连接BD交AC于E．（1）如图1，求证∠ADB＝∠CDB；（2）如图2，点F为线段BD上一点，连接CF，若∠BCF＝2∠ABD时，求证：BF＝DE+AD；（3）在（2）的条件下，作∠BCF的平分线交⊙O于M，在CM上取点R，连接AR交CF于点T，若TR＝1，MR＝5，∠CAT＝3∠ACD，求AT的长．8．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝2．（1）若点D、E、F分别在AB，AC，BC边上（如图1），连接DE，DF，EF，且∠EDF ＝90°，DE＝DF．①四边形DECF的四个顶点是否在同一个圆上，并说明你的理由；②EF最小值为；四边形CEDF的面积是；（请直接写出答案）③点C到线段EF的最大距离为；（请直接写出答案）（2）若点D、E、F分别在AC，BC，AB边上（如图2），连接DE，DF，EF，且∠EDF ＝90°，DE＝DF，求EF的最小值．9．已知，△ABC内接于⊙O，AD⊥BC于点G，连接AO．（1）如图1，求证：∠BAO＝∠CAD；（2）如图2，过点O作ON⊥BC于N，过点B作BH⊥AC于H，交AD于点E，交⊙O 于点F，求证：AE＝2ON；（3）如图3，在（2）的条件下，直线OE交AB于点P，交AC于点Q，若HC：EF＝：2，BP＝11，CQ＝2，求线段AD的长．10．（1）如图1，P是半径为5的⊙O上一点，直线l与⊙O交于A、B两点，AB＝8，则点P到直线l的距离的最大值为．问题探究：（2）如图2，在等腰△ABC中，BA＝BC，∠ABC＝45°，F是高AD和高BE的交点，求S△ABF：S△BFD的值．问题解决：（3）如图3，四边形ABCD是某区的一处景观示意图，AD∥BC，∠ABC＝60°，∠BCD ＝90°，AB＝60m，BC＝80m，M是AB上一点，且AM＝20m．按设计师要求，需在四边形区域内确定一个点N，修建花坛△AMN和草坪△BCN，且需DN＝25m．已知花坛的造价是每平米400元，草坪的造价是每平米200元，请帮设计师算算修好花坛和草坪预算最少需要多少元？11．如图，AB是⊙O的直径，P为AB上一点，弦CD与弦EF交于点P，PB平分∠DPF，连DF交AB于点G．（1）求证：CD＝EF；（2）若∠DPF＝60°，PE：PF＝1：3，AB＝2，求OG的长．12．已知⊙O是△ABC的外接圆，BC为⊙O的直径，弧AB上一点D满足DB＝DA，连结CD交AB于点E．（1）求∠AED+∠ABC的值．（2）求证：AC•BC＝CE•CD；（3）连接OE，若∠BOE＝∠BEO，求△BEO与△BED的面积比．13．【基础巩固】（1）如图1，点A，F，B在同一直线上，若∠A＝∠B＝∠EFC，求证：△AFE∼△BCF；【尝试应用】（2）如图2，AB是半圆⊙O的直径，弦长AC＝BC＝4，E，F分别是AC，AB上的一点，∠CFE＝45°，若设AE＝y，BF＝x，求出y与x的函数关系及y的最大值．【拓展提高】（3）已知D是等边△ABC边AB上的一点，现将△ABC折叠，使点C与D重合，折痕为EF，点E，F分别在AC和BC上．如图3，如果AD：BD＝1：2，求CE：CF的值．14．如图1，▱ABCD为⊙O的内接四边形，已知，以A为顶点作∠P AZ＝45°，交BC于P，交CD于Z．（1）求证：四边形ABCD为正方形；（2）若BC＝4BP，求DZ：CZ的值；（3）如图2，过P作PQ⊥AD于Q，过Z作ZX⊥AB于X，交PQ于Y．若，求四边形ZYPC的面积．15．如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝16cm，AB＝20cm，动点D由点C向点A 以每秒1cm速度在边AC上运动，动点E由点C向点B以每秒cm速度在边BC上运动，若点D、点E从点C同时出发，运动t秒（t＞0），联结DE．（1）求证：△DCE∽△BCA；（2）如图2，设经过点D、C、E三点的圆为⊙P；①当⊙P与边AB相切时，求t的值；②在点D、点E运动过程中，若⊙P与边AB交于点F、G（点F在点G左侧，如图3），联结CP并延长交边AB于点M，连接PF，当△PFM与△CDE相似时，求CE的长．16．问题解决：（1）如图①，半圆O的直径AB＝6，点P是半圆O上的一个动点，则△P AB的面积最大值是．（2）如图②，在扇形OAB中，∠AOB＝90°，OA＝6，点C、D分别在OA和OB上，且AC＝2，D是OB的中点，点E在弧AB上．连接CE、DE，四边形CODE的面积是否存在最大值，若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由．（3）如图③，四边形ABCD中，AB＝AD＝6，∠BAD＝60°，∠BCD＝120°，四边形ABCD的面积是否存在最大值，若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由．17．给出定义：有两个内角分别是它们对角的两倍的四边形叫做倍对角四边形．（1）如图1，在倍对角四边形ABCD中，∠D＝2∠B，∠A＝2∠C，求∠B与∠C的度数之和；（2）如图2，锐角△ABC内接于⊙O，若边AB上存在一点D，使得BD＝BO，∠OBA 的平分线交OA于点E，连结DE并延长交AC于点F，∠AFE＝2∠EAF．求证：四边形DBCF是倍对角四边形；（3）如图3，在（2）的条件下，过点D作DG⊥OB于点H，交BC于点G．当4DH＝3BG时，求△BGH与△ABC的面积之比．18．【概念提出】圆心到弦的距离叫作该弦的弦心距．【数学理解】如图①，在⊙O中，AB是弦，OP⊥AB，垂足为P，则OP的长是弦AB的弦心距．（1）若⊙O的半径为5，OP的长为3，则AB的长为．（2）若⊙O的半径确定，下列关于AB的长随着OP的长的变化而变化的结论：①AB的长随着OP的长的增大而增大；②AB的长随着OP的长的增大而减小；③AB的长随着OP的长的确定而确定；④AB的长与OP的长无关．其中所有正确结论的序号是．【问题解决】如图②，已知线段EF，MN，点Q是⊙O内一定点．（3）用直尺和圆规过点Q作弦AB，满足AB＝EF；（保留作图痕迹，不写作法）（4）若弦AB，CD都过点Q，AB+CD＝MN，且AB⊥CD．设⊙O的半径为r，OQ的长为d，MN的长为l．①求AB，CD的长（用含r，d，l的代数式表示）；②写出作AB，CD的思路．19．阅读，然后解答问题：我们新定义一种三角形，两边平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫做奇异三角形．（1）根据“奇异三角形”的定义，请你证明：“三边分别为3，，5的三角形是奇异三角形；（2）在Rt△ABC中，AB＝c，AC＝b，BC＝1，且c＞b＞1，若Rt△ABC是奇异三角形，求b和c；（3）如图，AB是⊙的直径，C是⊙O上一点（不与点A、B重合），D是半圆的中点，C、D在直径AB的两侧，若在⊙O内存在点E，使AE＝AD，CB＝CE．①求证：△ACE是奇异三角形；②当△ACE是直角三角形时，求∠AOC的度数．20．问题情境：如图1，P是⊙O外的一点，直线PO分别交⊙O于点A，B，则P A是点P 到⊙O上的点的最短距离．（1）探究证明：如图2，在⊙O上任取一点C（不与点A，B重合），连接PC，OC．求证：P A＜PC．（2）直接应用：如图3，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝3，以BC为直径的半圆交AB于D，P是弧CD上的一个动点，连接AP，则AP的最小值是．（3）构造运用：如图4，在边长为2的菱形ABCD中，∠A＝60°，M是AD边的中点，N是AB边上一动点，将△AMN沿MN所在的直线翻折得到△A1MN，连接A1B，则A1B 长度的最小值为．（4）综合应用：如图5，平面直角坐标系中，分别以点A（﹣2，3），B（4，5）为圆心，以1，2为半径作⊙A，⊙B，M，N分别是⊙A，⊙B上的动点，P为x轴上的动点，直接写出PM+PN的最小值为．参考答案1．（1）如图1，证明：∵点D是半圆的中点，∴∠ACD＝∠ABD＝∠BCD＝∠DAB，∵DI＝DB．∴∠DIB＝∠DBI，∴∠DCB+∠CBI＝∠ABD+∠ABI，∴∠CBI＝∠ABI，∴点I是△ABC的内心；（2）如图2，作AE⊥CD于E，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝∠ADB＝90°，∴∠ACD＝∠ABD＝∠BCD＝∠DAB＝45°，在Rt△ABC中，BC＝6，AB＝10，∴AC＝8，在Rt△ACE中，AE＝CE＝AC＝4，在Rt△ADE中，AE＝4，BD＝AD＝＝5，∴DE＝3，∴CD＝CE+DE＝7，∵DI＝BI＝5，∴CI＝2，作IJ⊥BC于J，∴IJ＝CI＝2，∴S△BIC＝＝＝6；（3）如图3，∵DI＝BD＝5，∴I在以D为圆心，5为半径的圆上一段弧上运动，作⊙O的直径DC′与⊙D交于点I′，当C与C′重合，I与I′重合时，IC最大，C′I′＝10﹣5，∴0＜CI≤10﹣52．（1）证明：连接OD，∵DH为⊙O的切线，D为切点，∴OD⊥DH，∵DH⊥AC，∴∠ODH＝∠DHC＝90°，∴OD∥AC，∴∠ODB＝∠C，∵OB＝OD，∴∠OBD＝∠ODB，∴∠OBD＝∠C，∴AB＝AC；（2）解：①如图，连接AD、OD、EO，∵四边形EODA为菱形，∴AD＝OD＝AB＝2，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴BD＝，故答案为：2；②∵∠EGA＝∠EAG，∴∠EAG＝∠OGD，∵AE∥OD，∴∠CED＝∠ODE，∠EAG＝∠AOD，∴∠OGD＝∠GOD，∴OD＝DG，∵∠B＝∠AED，∴∠ODE＝∠B，又∵∠OGD＝∠DGB，∴△OGD∽△DGB，设OG＝x，∴，∴，∵x＞0，∴x＝﹣1，∴OG＝﹣1，故答案为：﹣1．3．（1）证明：连接OD，∵AO＝OD，∴∠OAD＝∠ODA，∵AB＝BC，∴∠OAD＝∠C．∴OD∥BC，∵DF⊥BC，∴DF⊥OD，∵OD是⊙O的半径，∴直线DF是⊙O的切线；（2）解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∵AB＝BC，∴AD＝DC＝6，∵四边形ADEB是⊙O的内接四边形，∴∠ADE+∠ABE＝180°，∵∠ADE+∠CDE＝180°，∴∠CDE＝∠ABC，∵∠C＝∠C，∴△CDE∽△CBA，∴＝，∴；（3）如图，过点Q作QG⊥AB于点G，∵sin∠ABD＝，∴QG＝BQ，∴PQ+BQ＝PQ+QG，∴当P，Q，G三点共线时，PQ+BQ有最小值为PG，∵的弧长为π，∴，∴∠POB＝60°，∴PG＝OP•sin60°＝，∴PQ+BQ的最小值为．4．解：（1）如图1，作DE⊥AC于E，作DF⊥AB于F，∵AD平分∠BAC，∴DE＝DF，由S△ABC＝S△ABD+S△ACD得，AB•AC＝，∴4×3＝4•DE+3DE，∴DE＝，故答案是；（2）如图2，作CE⊥BD于E，作AF⊥BD于F，∵AC是直径，∴∠ABC＝90°，∵BD平分∠ABC，∴∠DBC＝∠ABD＝，∴＝，∠ECB＝90°﹣∠DBC＝45°＝∠DBC，∴AD＝CD，BE＝CE，∵点B是半圆AC的三等分点（弧AB＜弧BC），∴的度数是60°，的度数是120°，∴∠ADB＝30°，∠BDC＝60°，∴∠ADB＝∠DCE＝30°，∴△ADF≌△DCE（AAS），∴AF＝DE，∴AF+CE＝DE+BE＝8，∴S四边形ABCD＝S△ABD＝＝＝＝＝32；（3）如图3连接AC，延长CD至E，使DE＝AD，连接AE，∵AB＝AD，∴＝，∴∠ACB＝∠ACE，∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠ADE＝∠ABC＝60°，∴△ADE是等边三角形，∴∠E＝60°，∴∠B＝∠E，又∵AC＝AC，∴△ABC≌△AEC（AAS），∴BC＝CE，∵CE＝DE+CD＝AD+CD＝2，∴BC＝2．∵⊙O的半径是1，∴BC是⊙O的直径，∴∠BAC＝90°，∴AB＝BC•cos60°＝1．5．（1）证明：延长BO交⊙O于G，连接AG，如图：∵＝，∴∠G＝∠C，∵∠ABO＝∠DAC，∴∠G+∠ABO＝∠C+∠DAC，∵BG为⊙O直径，∴∠BAG＝90°，∴∠G+∠ABO＝∠C+∠DAC＝90°，∴∠ADC＝90°，∴AE⊥BC；（2）证明：设BF交AC于N，延长BO交⊙O于G，连接CG，BE，如图：∵BG为⊙O直径，∴∠BCG＝90°，∴∠G+∠OBC＝90°，∵∠G＝∠BFC，∠OBC＝∠ACF，∴∠BFC+∠ACF＝90°，∴∠CNF＝90°，∴∠NBC+∠NCB＝90°，由（1）知：AE⊥BC有∠DAC+∠NCB＝90°，∴∠NBC＝∠DAC，∵＝，∴∠DAC＝∠DBE，∴∠NBC＝∠DBE，又∠BDM＝∠BDE＝90°，BD＝BD，∴△BDM≌△BDE（ASA），∴MD＝ED；（3）解：连接AF、BE，如图：∵＝，∴∠BFC＝∠BAC，∵∠BFC＝3∠EAC，∴∠BAC＝3∠EAC，∴∠BAE＝2∠EAC，由（2）知∠EAC＝∠DBE＝∠DBM，BE＝BM＝，∴∠EBM＝2∠EAC，∴∠EBM＝∠BAE，又∠BEM＝∠AEB，∴△BEM∽△AEB，∴＝＝，∵AM＝3，∴＝＝，解得：EM＝2，AB＝5，在Rt△AMN中，MN2+AN2＝AM2＝9（Ⅰ），在Rt△ABN中，（+MN）2+AN2＝AB2＝25（Ⅱ），由（Ⅰ）、（Ⅱ）可得：MN＝，AN＝，∵∠AMF＝∠BME，∠AFM＝∠BEM，∴△BEM∽△AFM，∴＝，即＝，∴MF＝，∴NF＝MF﹣MN＝，∵cos∠BAC＝cos∠BFC，∴＝，即＝，∴CF＝．6．（1）如图1，证明：连接OA，OC，∴OB＝OC，又AB＝AC，OA＝OA，∴△AOB≌△AOC（SSS），∴∠OAC＝∠OAB，∴∠BAC＝2∠OAB，∵OA＝OB，∴∠ABD＝∠OAB，∴∠BAC＝2∠ABD；（2）如图2，证明：连接AG，OG，延长AO交BG于M，交BC于P，交⊙O于N，由（1）知，∠BAO＝∠CAO，∴＝，∵AB＝AC，∴AP⊥BC，∵BH⊥AC，∠AMH＝∠BMP，∴∠CBG＝∠CAO，∵＝，∴∠CAG＝∠CBG，∴∠CAG＝∠CAO，∴AM＝AG，＝，∴GM＝2GH，∠BON＝∠COG，∵OB＝OG，∴∠OBG＝∠OGB，∴△BOM≌△GOF（ASA），∴BM＝GF，∴BM+MF＝GF+MF，即BF＝MG＝2GH；（3）如图3，解：设∠ABD＝α，由（1）（2）知，∠BAC＝2∠ABD＝2α，∠CAG＝，连接AG，作DT⊥AB于T，截取TK＝AT，∴AD＝DK＝2，∴∠DKA＝∠DAK＝2α，∵∠BDK＝∠AKD﹣∠ABD＝2α﹣α＝α，∴BK＝DK＝2，∴AK＝AB﹣BK＝3，∴AT＝KT＝＝，∴DT＝＝＝，∴cos2α＝＝＝，tanα＝＝，在Rt△ABH中，AH＝AB•cos2α＝5×＝，在Rt△AHG中，GH＝AH•tanα＝＝，∴BF＝2GH＝．7．解：（1）证明：∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC＝∠ACB＝60°，∴＝，∴∠ADB＝∠CDB；（2）证明：如图，作∠BCF的角平分线，交BD于点G，设∠ACD＝α，∵＝，∴∠ABD＝∠ACD＝α，∵∠BCF＝2∠ABD，∴∠FCG＝∠BCG＝∠ACD＝α，∵△ABC是等边三角形，∴BC＝AC，∵＝，∴∠DAC＝∠DBC，在△ADC与△BGC中，，∴△ADC≌△BGC（SAS），∴BG＝AD，DC＝GC，∵＝，∴∠BDC＝∠BAC＝60°，∴△DGC是等边三角形，∴∠FGC＝∠EDC＝60°，在△CED与△CFG中，，∴△CED≌△CFG（ASA），∴ED＝FG，∴BF＝BG+GF＝AD+DE，即BF＝DE+AD；（3）解：设∠ACD＝α，则∠CAT＝3∠ACD＝3α，如图，延长CF交⊙O点P，交AM于N点，连接P A，过M点作MQ∥AP，交AR于Q 点，连接PM，∵CM是∠BCF的平分线，由（2）得∠FCG＝∠BCG＝∠ACD＝α，∴∠ACP＝∠ACB﹣∠BCF＝60°﹣2α，∠BAT＝∠BAC﹣∠CAT＝60°﹣3α，∵＝，＝，∴∠MAB＝∠BCG＝α，∠MAP＝∠FCG＝α，∴∠MAC＝∠BAC+∠BAM＝60°+α，∴∠MAT＝∠MAC﹣∠CAT＝60°+α﹣3α＝60°﹣2α，∠P AT＝∠MAT+∠MAP＝60°﹣2α+α＝60°﹣α，∵＝，∴∠AMP＝∠ACP＝60°﹣2α，∴∠AMP＝∠MAT＝60°﹣2α，∴MP∥AR，∴∠AMQ＝∠MAP＝α，∠MQT＝∠P AR＝60°﹣α，∵＝，∴∠AMC＝∠ABC＝60°，∴∠QMR＝∠AMC﹣∠AMQ＝60°﹣α，∴∠QMR＝∠MQR＝60°﹣α，∴QR＝MR＝5，∵设MP＝AQ＝m，则QT＝QR﹣TR＝5﹣1＝4，∴AT＝QT+AQ＝4+m，∵＝，∴∠MPC＝∠MAC＝60°+α，又∵∠MNP＝∠ANT＝∠APC+∠P AM＝60°+α，∠ATN＝∠ACP+∠CAT＝60°﹣2α+3α＝60°+α，∴∠MNP＝∠MPC＝∠ANT＝∠ATN＝60°+α，∴MP＝MN，AN＝AT，∴AM＝MN+AN＝MP+AT＝m+4+m＝4+2m，在△AMR中，∠AMR＝60°，AM＝4+2m，MR＝5，AR＝5+m，如图，过R点作AM边的高HR，∴∠MRH＝30°，∴MH＝MR＝，HR＝＝MR＝，∴AH＝AM﹣MH＝+2m，在Rt△AHR中，HR2+AH2＝AR2，∴（）2+（+2m）2＝（5+m）2，解得：m＝2或﹣（舍去），∴AT＝4+m＝6．8．解：（1）①取EF中点P，连接CP，DP，∵点P为EF中点，∴PE＝PF＝EF．∵∠ACB＝∠EDF＝90°，∴CP＝DP＝AC，∴PE＝PF＝PC＝PD，∴点E、D、F、C在以P为圆心，EF为半径的同一个圆上；②当DE⊥AC时，DE的长度最小，此时EF最短，∵∠A＝45°，AD＝，∴DE＝1，∵DE＝DF，∴EF＝＝；∵D是AB的中点，∴AD＝BD＝CD＝，CD⊥AB，∠BCD＝45°，∵DE⊥DF，∴∠EDF＝90°，∴∠ADE＝∠CDF，在△ADE和△CDF中，，∴△ADE≌△CDF（ASA），∴S△ADE＝S△CDF，∴S四边形DECF＝S△DEC+S△DCF＝S△DEC+S△ADE＝S△ADC＝××＝1；故答案为；1．③由②可知当EF取最小值时，点C到线段EF的最大距离为EF＝．故答案为．（2）过点F分别作FG⊥CA于点G，设DC＝a，CE＝b，∵∠CDE+∠GDF＝∠GDF+∠DFG＝90°，∴∠CDE＝∠DFG，∵∠C＝∠DGF，DE＝DF，∴△DCE≌△FGD（AAS），∴FG＝DC＝a，GD＝CE＝b，则2a+b＝2，a2+b2＝DF2，∴DF2＝a2+（2﹣2a）2，＝5a2_8a+4＝5，当a＝时，DF2最小，此时EF2最小，∴EF的最小值为．9．（1）证：如图1，作直径AE，连接BE，∴∠ABE＝90°，∴∠BAO＝90°﹣∠E，∵＝，∴∠E＝∠C，∴∠BAO＝90°﹣∠C，∵AD⊥BC，∴∠AGC＝90°，∴∠CAD＝90°﹣∠C，∴∠BAO＝∠CAD；（2）证：如图2，∵ON⊥BC，∴BC＝2CN，作直径CM，连接BM，AM，∴MB⊥BC，∵ON⊥BC，∴ON∥BM，∴△CON∽△CMB，∴＝＝2，∴BM＝2ON，∵＝，∴∠BAM＝∠BCM，∴∠BAM＝∠BCM＝90°﹣∠BMC，∵＝，∴∠BMC＝∠BAC，∴∠BAM＝90°﹣∠BAC，∵∠AHB＝90°，∴∠ABH＝90°﹣∠BAC，∴∠BAM＝∠ABH，∴BE∥AM，∴四边形AMBE是平行四边形，∴AE＝BM，∴AE＝2ON；（3）解：如图3，连接AF，CF，连接CE并延长交AB于I，连接OB、OC和BD，作OJ⊥AB于J，∵AG⊥BC，BH⊥AC，∴CI⊥AB，又∵∠AEH＝∠BEG，∴∠GBE＝∠EAH，∵＝，∴∠F AC＝∠GBE，∴∠F AC＝∠EAH，∵∠AHF＝∠AHE＝90°，AH＝AH，∴△AHE≌△AHF（ASA），∴EH＝FH，∴FH＝，同理可得：EG＝DG＝，∴tan∠BFC＝＝＝，∴∠BFC＝60°，∵＝，∴∠BAC＝∠BFC＝60°，∴∠BOC＝2∠BAC＝120°，∵OB＝OC，ON⊥BC，∴∠BON＝＝60°，∴OA＝OB＝2ON，∵AE＝2ON，∴AO＝AE，∴∠AOE＝∠AEO，∴∠AOP＝∠AEQ，∵∠BAO＝∠CAD，∵△AOP≌△AEQ（ASA），∴AP＝AQ，∴△APQ是等边三角形，∴∠APQ＝60°，∵∠AEH＝90°﹣∠BAC＝30°，∴∠AEH＝∠ABH＝30°，∴PE＝PB＝11，设AP＝AQ＝PQ＝x∴OP＝EQ＝PQ﹣PE＝x﹣11，AC＝AQ+CQ＝x+2，在Rt△AIC中，∠BAC＝60°，AC＝x+2，∴AI＝AC＝（x+2），CI＝（x+2），∴BI＝AB﹣AI＝（x+11）﹣（x+2）＝+10，在Rt△BIC中，BC2＝BI2+CI2，＝（）2+[（x+2）]2，在Rt△POJ中，∠APH＝60°，OP＝x﹣11，∴PJ＝（x﹣11），OJ＝（x﹣11），∴AJ＝AP﹣PJ＝x﹣（x﹣11）＝，在Rt△AOJ中，OA2＝OJ2+AJ2＝[（x﹣11）]2+（）2，∴OB2＝[（x﹣11）]2+（）2，∵BN＝OB，∴BC＝2BN＝OB，∴BC2＝3OB2＝3•[（x﹣11）]2+（）2，∴3•[（x﹣11）]2+（）2＝（）2+[（x+2）]2，化简，得，x2﹣23x+130＝0，∴x1＝13，x2＝10（舍去），∴AB＝x+11＝24，AC＝x+2＝15，∴BH＝AB＝12，AH＝12，∴CH＝AC﹣AH＝3，∴BC＝＝21，∵∠CAD＝∠CBH，∠AGC＝∠BHC＝90°，∴△ACG∽△BCH，△BGE∽△AGC，∴＝＝，＝∴＝＝＝，∴AG＝，CG＝，∴BG＝BC﹣CG，＝21﹣＝，∴＝，∴DG＝EG＝，∴AD＝AG+DG＝+＝．10．解：（1）点P到直线l距离的最大值，即过圆心O向直线l作垂线交圆O于点P，连接OA，∵AB＝8，OC⊥AB，∴AC＝4，由勾股定理得：OC＝3，∴PC＝8，故答案为：8；（2）过点F作FG⊥AB，∵∠ABC＝45°，AD⊥BC，∴△ABD为等腰直角三角形，∴AB＝BD，又∵△ABC为等腰三角形，且AB＝BC，BE⊥AC，∴BE平分∠ABC，又∵FD⊥BC，FG⊥AB，∴FG＝FD，∴S△ABF＝×AB×FG，S△BDF＝×BD×DF，∴；（3）连接MC，过点A作AP⊥BC于点P，∵∠ABC＝60°，AB＝60，∴BP＝30，AP＝30，∴CD＝30，设总费用为W元，∴W＝400S△AMN+200S△BNC，∴W＝200（2S△AMN+S△BNC），∴当2S△AMN+S△BNC最小时，总费用最小，又∵AM＝20米，BM＝40米，∴2S△AMN＝S△BMN，∴当S△BMN+S△BNC最小时，费用最小，即S四边形BMNC最小时，费用最小，又∵S四边形BMNC＝S△BMC+S△CMN，过点M作MH⊥BC，垂足为H，∵∠ABC＝60°，BM＝40米，∴BH＝20米，MH＝20米，MC＝40米，∴∠BCM＝30°，∴∠DCM＝60°，∴S△BMC＝＝800（平方米），∴当S△CMN最小时，费用最小，∴S△CMN＝×NQ＝20NQ，∴当NQ最小时，费用最小，∵ND＝25米，∴N点在以D为圆心，25为半径的圆上运动，过圆心D向MC作垂线交⊙D于N点，交MC于Q，即此时NQ最小，∵CQ＝15米，DQ＝45米，∴NQ＝45﹣25＝20（米），∴S△MNC最小值＝×20＝400（平方米），∴S四边形BMNC最小值＝1200（平方米）∴W最小值＝200×1200＝240000（元），11．（1）证明：如图，过点O作OM⊥EF于点M，ON⊥CD于点N，连接OF、OD，则∠OMF＝∠OND＝90°，∵PB平分∠DPF，OM⊥EF，ON⊥CD，∴OM＝ON，在Rt△OFM和Rt△ODN中，，∴Rt△OFM≌Rt△ODN（HL），∴FM＝DN，∵OM⊥EF，ON⊥CD，∴EF＝2FM，CD＝2DN，∴CD＝EF；（2）∵PE：PF＝1：3，∴设PE＝x，PF＝3x，则EF＝PE+PF＝4x，∵OM⊥EF，∴EM＝FM＝EF＝2x，∴PM＝EM﹣PE＝2x﹣x＝x，∵PB平分∠DPF，∠DPF＝60°，∴∠FPB＝DPB＝DPF＝30°，∴OM＝x，OP＝x，在Rt△OPM和Rt△OPN中，，∴Rt△OPM≌Rt△OPN（HL），∴PM＝PN，由（1）知：FM＝DN，∴PM+FM＝PN+DN，∴PF＝PD，∵∠DPF＝60°，∴△PDF是等边三角形，∵PB平分∠DPF，∴PB⊥DF，垂足为G，∴DF＝PF＝3x，FG＝DF＝，∴PG＝＝＝，∴OG＝PG﹣OP＝﹣x＝，∵AB＝2，∴OF＝AB＝，在Rt△OFG中，根据勾股定理，得OG2+FG2＝OF2，∴（）2+（）2＝（）2，整理，得x2＝3，解得x＝±（负值舍去），∴x＝，∴OG＝＝＝．12．（1）解：∵BC是直径，∴∠CAB＝90°，∴∠ACB+∠ABC＝90°，∴∠ACB+∠ABC＝45°，∵BD＝AD，∴＝，∴∠ACD＝∠BCD，∵∠AED＝∠ACD+∠CAE，∴∠AED+∠ABC＝90°+∠ACB+∠ABC＝135°；（2）证明：∵＝，∴∠ACD＝∠BCE，∵∠CBE＝∠ADC，∴△CBE∽△CDA，∴＝，∴AC•BC＝CE•CD；（3）解：如图，过点B作BT⊥OE交CD于点T，连接OT．∵BO＝BE，∴BO垂直平分线段OE，TB平分∠ABC，∴TO＝TE，∴TB平分∠OTE，∵CE平分∠ACB，∴∠BTD＝∠TCB+∠TBC＝（∠ACB+∠ABC）＝45°，∴∠OTE＝90°，∴OT⊥CD，∴CT＝TD，∵BC是直径，∴∠BDT＝90°，∴∠BTD＝∠DBT＝45°，∴BD＝DT＝CT，∵CO＝OB，CT＝TD，∴BD＝2OT，∴DT＝CT＝2ET，∴CE＝3DE，∴S△BEC＝3S△ADE，∵BO＝OC，∴S△BEC＝2S△BEO，∴2S△BEO＝3S△DEB，∴＝．13．（1）证明：∵∠A＝∠EFC，∴∠E+∠EF A＝∠EF A+∠CFB，∴∠E＝∠CFB，∵∠A＝∠B，∴△AFE∽△BCF；（2）解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴AB＝＝8，∵AC＝BC，∴∠A＝∠B＝45°，∴∠A＝∠B＝∠CFE＝45°，由（1）可得△AFE∽△BCF，∴，即，∴y＝﹣x2+x（0≤x≤8），∴当x＝4时，y最大＝2；（3）解：连接DE，DF，∵△EFC与△EFD关于EF对称，∴∠EDF＝∠ECF＝60°，EC＝ED，FC＝FD，∵∠BDF+∠EDF＝∠BDE＝∠A+∠DEA，∵∠EDF＝∠A＝60°，∴∠BDF＝∠DEA，∴△ADE∽△BFD，设AD＝x，CE＝DE＝a，CF＝DF＝b，∵AD：BD＝1：2，∴DB＝2x，∴AB＝3x＝AC＝BC，∴AE＝3x﹣a，BF＝3x﹣b，∵△ADE∽△BFD，∴，∴，由前两项得，2ax＝b（3x﹣a），由后两项得，（3x﹣a）（3x﹣b）＝2x2，即：3x（3x﹣a）﹣b（3x﹣a）＝2x2，∴3x（3x﹣a）﹣2ax＝2x2，∴a＝x，∴，∴CE：CF＝4：5．14．（1）∵四边形ABCD为平行四边形，∴∠B＝∠D．又∵∠B+∠D＝180°，∴∠B＝∠D＝90°．∴四边形ABCD为矩形，∵，∴AB＝AD．∴四边形ABCD为正方形．（2）延长CD至点Q，使得DQ＝BP，连接AQ，如图，∵四边形ABCD为正方形，∴∠ABP＝∠ADQ＝90°．在△ABP和△ADQ中，，∴△ABP≌△ADQ（SAS），∴AP＝AQ，∠BAP＝∠DAQ．∵∠BAD＝90°，∴∠DAP+∠BAD＝90°．∴∠DAP+∠QAD＝90°．∴∠QAP＝90°．∵∠P AZ＝45°，∴∠P AZ＝∠QAZ＝45°．在△APZ和△AQZ中，，∴△APZ≌△AQZ（SAS）．∴PZ＝QZ．设AB＝4a，DZ＝t，则BP＝a，ZC＝4a﹣t，ZP＝t+a，在Rt△CPZ中，∵ZC2+CP2＝ZP2，∴（4a﹣t）2+（3a）2＝（t+a）2．解得：t＝．∴DZ＝a，CZ＝a，∴DZ：CZ＝3：2．（3）∵四边形ABCD为正方形，PQ⊥AD，ZX⊥AB，∴四边形AXYQ，AXZD，XBPY，XBCZ均为矩形．设AB＝a，AX＝m，AQ＝n，则mn＝．由（2）可知，PZ＝DZ+BP＝m+n，CZ＝XB＝a﹣m，CP＝DQ＝a﹣n．在Rt△CPZ中，∵ZC2+PC2＝PZ2，∴（a﹣m）2+（a﹣n）2＝（m+n）2．化简得：a2﹣（m+n）a＝mn．∴S四边形ZYPC＝（a﹣m）（a﹣n）＝a2﹣（m+n）a+mn＝2mn＝2×＝5．15．（1）证明：∵∠C＝90°，AC＝16，AB＝20，∴BC＝＝12，∴＝，∵＝＝，∴＝，∵∠C＝∠C，∴△DCE∽△BCA；（2）解：①如图1，作PG⊥AC于G，PF⊥BC于F，作PH⊥AB于H，设CD＝3a，CE＝4a，DE＝5a，由题意得，PH＝PC＝DE＝，PF＝CG＝CD＝a，FG＝2a，∵S△ABC＝S△APB+S△PBC+S△P AC，∴BC•AC＝AB•PH++，∴12×16＝20×a+12×a+16×2a，∴a＝，∴t＝3a＝；②如图2，设CD＝3a，CE＝4a，DE＝5a，∴PF＝DE＝a，由（1）知，△DCE∽△BCA，当△PMF∽△DCE时，∴△PMF∽△BCA，＝＝，∴PM＝a，FM＝2a，由S△ABC＝得20•CM＝12×16，∴CM＝，∵CP+PM＝CM，∴a+a＝，∴4a＝，即CE＝，当△PMF∽△ECD时，类比上可得，a+2a＝，∴4a＝，∴CE＝，综上所述：CE＝或．16．解：（1）点P运动至半圆O的中点时，如图1：此时底边AB上的高最大，即P'O＝r＝3，△P AB的面积最大值，∴S△P'AB＝×3×6＝9，故答案为：9；（2）四边形CODE的面积存在最大值，作OG⊥CD，垂足为G，延长OG交弧AB于点E′，则此时△CDE'的面积最大，如图2：∵OA＝OB＝6，AC＝2，点D为OB的中点，∴OC＝4，OD＝3，在Rt△COD中，CD＝5，OG＝2.4，∴GE′＝6﹣2.4＝3.6，∴四边形CODE'面积为S△CDO+S△CDE′＝×3×4+×5×3.6＝15，∴四边形CODE的面积的最大值为15；（3）四边形ABCD的面积存在最大值，连接BD，作△ABD的外接圆O，过A作AE⊥BD于E，如图3：∵∠DAB＝60°，∠DCB＝120°，∴∠DAB+∠DCB＝180°，∴A、B、C、D四点共圆，即C在⊙O上，∵AD＝AB，∠DAB＝60°，∴△ADB是等边三角形，有BD＝AB＝AD＝6，在Rt△ABE中，BE＝AB＝3，AE＝BE＝3，∴S△ABD＝BD•AE＝×6×3＝9，当C为中点，即A、E、C共线时，△BDC的面积最大，此时∠ACB＝∠ADB＝60°，AC为⊙O直径，∴∠CAB＝30°，∴AC＝＝4，∴CE＝AC﹣AE＝，∴S△BDC＝BD•CE＝×6×＝3，∴S四边形ABCD＝S△ABD+S△BDC＝12，即四边形ABCD的面积的最大值是12．17．（1）解：在倍对角四边形ABCD中，∠D＝2∠B，∠A＝2∠C，∵∠A+∠B+∠C+∠D＝360°，∴3∠B+∠3∠C＝360°，∴∠B+∠C＝120°，∴∠B与∠C的度数之和为120°；（2）证明：在△BED与△BEO中，，∴△BED≌△BEO（SAS），∴∠BDE＝∠BEO，∵∠BOE＝2∠BCF，∴∠BDE＝2∠BCF连接OC，设∠EAF＝α，则∠AFE＝2α，∴∠EFC＝180°﹣∠AFE＝180°﹣2α，∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA＝α，∴∠AOC＝180°﹣∠OAC﹣∠OCA＝180°﹣2α，∴∠EFC＝∠AOC＝2∠ABC，∴四边形DBCF是倍对角四边形；（3）解：过点O作OM⊥BC于M，∵四边形DBCF是倍对角四边形，∴∠ABC+∠ACB＝120°，∴∠BAC＝60°，∴∠BOC＝2∠BAC＝120°，∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB＝30°，∴BC＝2BM＝BO＝BD，∵DG⊥OB，∴∠HGB＝∠BAC＝60°，∵∠DBG＝∠CBA，∴△DBG∽△CBA，∴＝＝，∵4DH＝3BG，BG＝2HG，∴DG＝，∴＝＝，∴＝．18．解：（1）连接OA，∵OP⊥AB，∴AP＝，∵OA＝5，OP＝3，∴AP＝＝4，∴AB＝2AP＝8，故答案为：8；（2）设半径为r不变，∴AB＝2AP＝2，当r不变，OP的长增大时，AB减小；OP长确定时，AB也确定，故选：②③；（3）如图，利用△MPF和△OP'B全等，首先作EF的垂直平分线，再取FM＝r，然后以点O为圆心，MP为半径画圆，再以OQ为直径画圆，两圆交点为P'，从而画出线段AB，如图，线段AB即为所求；（4）①解：设AB＝2m，CD＝2n，如图，可得：，解得：，∴AB＝，CD＝，②作图思路：先作斜边为4r，一条直角边为2，另一条直角边为的直角三角形；再作斜边为，一条直角边为l，另一条直角边为的直角三角形；再在⊙O中作出长为的弦，再如（3）中作法，过点Q作弦AB；最后过点Q作AB的垂直弦CD．19．（1）证明：在△ABC中，三边长分别是3，和5，∵32+52＝2（）2，。

北京市海淀区【中考数学】2022-2023学年专题提升训练—相似三角形综合解答题(含解析)

北京市海淀区【中考数学】2022-2023学年专题提升训练—相似三角形综合解答题1．如图在矩形ABCD中，AB＝12，P是边AB上一点，把△PBC沿直线PC折叠，顶点B的对应点是点G，过点B作BE⊥CG，垂足为点E且点E在AD上，BE交PC于点F．（1）求证：△ABE∽△DEC；（2）当AD＝25时，且AE＜DE时，求tan∠PCB的值；（3）当BP＝9时，求BE•EF的值．2．如图，在△ABC中，BA＝BC，AB＝kAC．点F在AC上，点E在BF上，BE＝2EF．点D 在BC延长线上，连接AD、AE，∠ACD+∠DAE＝180°．（1）求证：∠CAD＝∠EAB；（2）求的值（用含k的式子表示）；（3）如图2，若DH＝AH，求的值（用含k的式子表示）．3．已知在Rt△ABC中，CD⊥AB于点D．（1）在图1中，写出其中两对相似三角形．（2）已知BD＝1，DC＝2，将△CBD绕着点D按顺时针方向进行旋转得到△C'BD，连接AC'，BC．①如图2，判断AC'与BC之间的位置及数量关系，并证明；②在旋转过程中，当点A，B，C'在同一直线时，求BC的长．4．如图，在正方形ABCD中，点E是边CD上的一点（不与点C，D重合），点F在边CB的延长线上，且AE＝AF，连接EF交AB于点M，交AC于点N．（1）求证：AE⊥AF；（2）若∠BAC＝2∠BAF，求证：AF2＝AM•AB；（3）若CE＝nDE，求的值（用含n的式子表示）．5．如图，点E是矩形ABCD中CD边上一点，△BCE沿BE折叠为△BFE，点F落在AD 上．（1）求证：△ABF∽△DFE；（2）若sin∠DFE＝，求tan∠EBC的值；（3）在△ABF中，AF＝5cm，BF＝10cm，动点M从点B出发，在BF边上以每秒2cm的速度向点F匀速运动，同时动点N从点A出发，在AB边上以每秒cm的速度向点B匀速运动，设运动时间为ts（0≤t≤5），连接MN，若△ABF与以点B，N，M为顶点的三角形相似，求t的值．6．【基础探究】如图1，四边形ABCD中，∠ADC＝∠ACB，AC为对角线，AD•CB＝DC•AC．（1）求证：AC平分∠DAB．（2）若AC＝8，AB＝12，则AD＝．【应用拓展】如图2，四边形ABCD中，∠ADC＝∠ACB＝90°，AC为对角线，AD•CB＝DC•AC，E为AB的中点，连结CE、DE，DE与AC交于点F．若CB＝6，CE＝5，请直接写出的值．7．已知：∠ACB＝90°，CD是∠ACB的平分线，点P在CD上，CP＝．将三角板的直角顶点放置在点P处，绕着点P旋转，三角板的一条直角边与射线CB交于点E，另一条直角边与直线CA，直线CB分别交于点F，点G．（1）如图1，当点F在射线CA上时，①求证：PF＝PE；②设CF＝a（0＜a＜1），试求CG的值（用含a的代数式表示）；（2）如图2，点F在AC延长线上，连接EF，当△CEF与△EGP相似时，求EG的长．8．（1）【问题呈现】如图1，△ABC和△ADE都是等边三角形，连接BD，CE．求证：BD＝CE．（2）【类比探究】如图2，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°．连接BD，CE．请直接写出的值．（3）【拓展提升】如图3，△ABC和△ADE都是直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°，且＝＝．连接BD，CE．①求的值；②延长CE交BD于点F，交AB于点G．求sin∠BFC的值．9．如图1，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝3，AC＝4，点M是边AB上的动点（不与A，B 重合），MQ⊥BC于点Q，MN∥BC，交AC于点N，连接NQ．（1）求证：△QBM∽△AMN；（2）若点M为AB的中点（如图2），求QB的长；（3）若四边形BMNQ为平行四边形（如图3），求QB的长．10．如图，已知△ABC是边长为12cm的等边三角形，动点P，Q同时从AB两点出发，分别沿AB、BC匀速运动，其中点P运动的速度是2cm/s，点Q运动的速度是4cm/s，当点Q到达点C时，P、Q两点都停止运动，设运动时间为t（s），解答下列问题：（1）当t＝2时，判断△BPQ的形状，并说明理由；（2）设△BPQ的面积为S（cm2），求S与t的函数关系式；（3）作QR∥BA交AC于点R，连接PR，当t为何值时，△APR∽△PRQ．11．问题初探：数学兴趣小组在研究四边形的旋转时，遇到了这样的一个问题．如图1，四边形ABCD和BEFG都是正方形，BH⊥AE于H，延长HB交CG于点M．通过测量发现CM＝MG．为了证明他们的发现，小亮想到了这样的证明方法：过点C作CN⊥BM于点N．他已经证明了△ABH≌△BCN，但接下来的证明过程，他有些迷茫了．（1）请同学们帮小亮将剩余的证明过程补充完整；（2）深入研究：若将原题中的“正方形”改为“矩形”（如图2所示），且（其中k＞0），请直接写出线段CM、MG的数量关系为；（3）拓展应用：在图3中，在Rt△ABC和Rt△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，∠ACB＝∠AED＝30°，连接BD、CE，F为BD中点，则AF与CE的数量关系为．12．如图1，Rt△ABC中，∠A＝90°，D为AB上一点，∠ACD＝∠B．（1）求证：AC2＝AD•AB；（2）如图2，过点A作AM⊥CD于M，交BC于点E，若，求的值；（3）如图3，N为CD延长线上一点，连接AN、BN，若，∠NBD＝2∠ACD，则tan∠ACN的值为．13．如图（1），点E为正方形ABCD内一动点，连接CE，DE，且∠DEC＝90°，以CE为边向右侧作等腰直角三角形ECF，∠ECF＝90°，连接AF，BF．（1）求∠BFE的度数；（2）如图（2），连接AE，若∠AEF＝90°．①求证：＝；②求tan∠AFE的值．14．（1）阅读解决华罗庚是我国著名的数学家，他推广的优选法，就是以黄金分割法为指导，用最可能少的试验次数，尽快找到生产和科学实验中最优方案的一种科学试验方法．黄金分割是指将整体一分为二，较大部分与整体部分的比值等于较小部分与较大部分的比值，这个比例被公认为最能引起美感的比例，因此被称为黄金分割．如图①，点B把线段AC分成两部分，如果＝，那么称点B为线段AC的黄金分割点，它们的比值为．在图①中，若AB＝12m，则BC的长为 cm；（2）问题解决如图②，用边长为40m的正方形纸片进行如下操作：对折正方形ABCD得折痕EF，连接CE，将CB折叠到CE上，点B对应点为H，折痕为CG．证明：G是AB的黄金分割点；（3）拓展探究如图③在边长为m的正方形ABCD的边AD上任取点E（AE＞DE），连接BE，作CF⊥BE，交AB于点F，延长EF，CB交于点P．发现当PB与BC满足某种关系时，E、F恰好分别是AD、AB的黄金分割点．请猜想这一发现，并说明理由，15．定义：两个相似等腰三角形，如果它们的底角有一个公共的顶点，那么把这两个三角形称为“关联等腰三角形”．如图，在△ABC与△AED中，BA＝BC，EA＝ED，且△ABC～AED，所以称△ABC与△AED为“关联等腰三角形”，设它们的顶角为α，连接EB，DC，则称为“关联比”．下面是小颖探究“关联比”与α之间的关系的思维过程，请阅读后，解答下列问题：（1）当△ABC与△AED为“关联等腰三角形”，且α＝90°时，①在图2中，若点E落在AB上，则“关联比”＝；②在图3中，探究△ABE与△ACD的关系，并求出“关联比”的值．（2）如图4，当△ABC与△AED为“关联等腰三角形”，且α＝120°，①“关联比”＝．②AB＝2时，将△ABC绕点A顺时针旋转60°，线段BC扫过的面积是．[迁移运用]（3）如图5，△ABC与△AED为“关联等腰三角形”．若∠ABC＝∠AED＝90°，AC＝4，点P为AC边上一点，且PA＝1，点E为PB上一动点，当点E自点B运动至点P时，点D所经过的路径长为．16．【教材呈现】华师版九年级上册数学教材第77页的部分内容：如图，在△ABC中，点D、E分别是AB，AC的中点，可以猜想：DE∥BC且DE＝BC．对此，我们可以用演绎推理给出证明．证明：在△ABC中，∵点D、E分别是AB与AC的中点，∴，请根据教材提示，结合图1，写出完整证明过程．【结论应用】如图2，在△ABC中AD垂直于∠ABC的平分线BE于点E，且交BC边于点D，点F为AC 的中点．若AB＝6，BC＝10，求EF的长．【拓展延伸】如图3，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，D为AC中点，将AD绕点A逆时针旋转一定的角度α（0°＜α＜360°），得到线段AD1，连结CD1，取CD1的中点E，连结BE．则△BEC面积的最大值为．17．【观察与猜想】（1）如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别是AB，AD上的两点，连接DE，CF，若DE⊥CF，则的值为；（2）如图2，在矩形ABCD中，AD＝7，CD＝4，点E是AD上的一点，连接CE，BD，若CE⊥BD，则的值为．【类比探究】（3）如图3，在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，点E为AB上一点，连接DE，过点C作DE的垂线交ED的延长线于点G，交AD的延长线于点F，求证：DE•AB＝CF•AD；【拓展延伸】（4）如图4，在Rt△ABD中，∠BAD＝90°，AD＝18，将△ABD沿BD翻折，点A落在点C处，得到△CBD，点F为线段AD上一动点，连接CF，作DE⊥CF交AB于点E，垂足为点G，连接AG．设，求AG的最小值．18．类比推理是根据两个或两类对象在一系列属性上相同或相似，从而推出它们在其他属性上也相同或相似的推理．借助类比推理可以发现解决问题的方法．如图（1），在△ABC中，∠C＝90°，＝m，点D、F分别是边AB、AC上的点，∠B＝2∠ADF，过点A作AE⊥DF交DF的延长线于点E，求的值．为了获取解决问题的方法，小敏先假设m＝1，点D与点B重合（图（2）），此时她发现BE 是∠ABC的角平分线，因为BE又与AE垂直，所以她想到将AE与BC延长，于是她求出了的值．（1）图（2）中，∠CAE＝ °，小敏求出的＝；（2）接着在m＝1的条件下，她让点D与点B不重合，如图（3），请尝试探究此时的值；（3）最后她类比特例中采用的方法，成功地解决的原题．请结合特例探究的经验，尝试求出原题图（1）中的值．（4）如图（4），∠C＝90°，点D、F分别在BC、AC边上，连接AD、BF交于点M，过点A作AE⊥BF，BC＝mAF，CF＝mBD．请直接写出的值．19．如图，△ABC中，D，E分别为AB，AC上的点，DE∥BC，将△ADE绕点A逆时针旋转，连接BD，且B，D，E三点恰好在一条直线上．（1）如图①，连接CE，求证：△ABD∽△ACE；（2）如图②，若△ABC为直角三角形，∠BAC＝90°，∠ABC＝30°，延长AE，BC交于点F，若，求的值；（3）如图③，若△ABC为等腰三角形，AB＝AC＝6，点G为△ABC内一点，连接AG，BG，CG，且∠BAG＝∠GBC，∠BGC＝90°，BG＝2GC，请直接写出AG的长．20．几何学的产生，源于人们对土地测量的需要，后来由实际问题抽象成为数学问题．初中数学常见的几何模型有很多，通过整理归纳，可以从这些基本模型中找到其所藻蕴含的规律．【提出问题】如图1，△ABC和△ADE均为等腰直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°，△ADE绕点A旋转，连结BD、EC，小明通过探究得到∠ABD与∠BCE的大小存在某种数量关系，具体探究过程如下．【探究问题】小明先将上述问题“特值化”，如图1，令AB＝1，AD＝，∠ABD＝100°，则可证明△ABD和△ACE相似，进而可求得∠BCE的度数．请你帮助小明完成解答过程．【解决问题】将问题“一般化”，如图2，在△ADE绕点A旋转过程中，∠ABD与∠BCE满足的数量关系为．【拓展应用】如图3，过线段AB的端点B作射线BM⊥AB，Rt△ADE的直角顶点D在射线BM上运动，连结BE，若AB＝4，＝，则BE的最小值为．答案1．（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠D＝90°，∵BE⊥CG，∴∠BEC＝90°，∴∠AEB＝90°﹣∠CED＝∠DCE，∴△ABE∽△DEC；（2）解：当AD＝25时，如图：由（1）知△ABE∽△DEC，∴＝，设AE＝m，则DE＝25﹣m，∴＝，解得：m＝9或m＝16，经检验，m＝9或m＝16是原分式方程的解，∵AE＜DE，∴AE＝9，DE＝16，∴CE＝20，BE＝15，∵△BPC沿PC折叠得到△GPC，∴∠PGC＝∠PBC＝90°，∠BPC＝∠GPC，BP＝PG，∵BE⊥CG，∴BE∥PG，∴∠GPF＝∠PFB，∴∠BPF＝∠BFP，∴BP＝BF；∴BP＝BF＝PG，∵BE∥PG，∴△ECF∽△GCP，∴＝，设BP＝BF＝PG＝n，∴＝，∴n＝，经检验，n＝是原分式方程的解，∴BP＝，∴tan∠PCB＝＝＝；（3）解：连接FG，如图：∵∠GEF＝∠PGC＝90°，∴BF∥PG，由（2）知BF＝PG＝BP＝9，∴四边形BPGF是菱形，GF＝9，∴BP∥GF，∴∠GFE＝∠ABE，∴△GEF∽△EAB，∴＝，∴BE•EF＝AB•GF＝12×9＝108．2．（1）证明：∵BA＝BC，∴∠BAC＝∠BCA，∵∠ACD+∠DAE＝180°，∠ACD+∠ACB＝180°∴∠DAE＝∠ACB，∴∠DAE＝∠BAC，∴∠DAE﹣∠CAE＝∠BAC﹣∠CAE，即∠CAD＝∠BAE；（2）解：如图1，过点C作∠ACM＝∠ABE，交AD于点M，∵∠DAC＝∠BAE，∴△AEB∽△AMC，∴＝＝，∵AB＝kAC，∴AM＝AE，CM＝BE，∵BE＝2EF，∴CM＝EF，∵∠AEF＝∠EAB+∠ABE，∠DMC＝∠MAC+∠ACM，∴∠DMC＝∠AEF，∵∠ACB＝∠D+∠DAC，∠DAE＝∠DAC+∠EAE，∠DAE＝∠ACB，∴∠D＝∠FAE，∴△DCM∽△AFE，∴＝，∴DM＝AE，∴AD＝AM+DM＝AE，∴＝；（3）解：如图2，过点B作BN∥AC交AE延长线于点N，∵∠D＝∠CAH，∠AHC＝∠DHA，∴△AHC∽△DHA，∴＝，＝＝，∴AH2＝CH•DH，AD＝AC，∵AB＝kAC，∴AD＝AB，∵＝，∴AE＝AB，设AH＝2a，AB＝BC＝b，则DH＝3a，AE＝b，∵BN∥AC，BE＝2EF，∴NE＝2AE＝b，∵EH＝AH﹣AE＝EN﹣NH，∴NH＝b﹣2a，∵AH2＝HC•DH，∴CH＝a，∴CD＝a，由（2）知，BN＝ak，∵△ADH∽△NBH，∴＝，∴＝，整理得：9b2﹣12ab﹣20a2k2＝0，解得：b1＝a（舍去），b2＝a，∴＝．3．解：（1）∵CD⊥AB，∴∠ADC＝∠BDC＝∠ACB＝90°，∴△ABC∽△ACD，△BCD∽△BAC；（2）①，AC'⊥BC，理由如下：由（1）知，在图1中，△ABC∽△CBD∽△ACD，∴，如图2，∵∠BDC'＝∠CDA＝90°，∴∠BDC＝∠C'DA，∴△DBC∽△DC'A，∴，∠DC'A＝∠DBC，∵∠DEB＝∠CEC'，∴∠C'FE＝∠BDC'＝90°，∴AC'⊥BC，∴，AC'⊥BC；②如图，当点A、B、C'在同一直线上时，由①知，，AC'⊥BC，设BC＝x，AC'＝2x，在Rt△ACB中，由勾股定理得，x2+（2x﹣）2＝（2）2，解得x＝（负值舍去），如图，当A、C'、B在同一直线上时，同理可得，x2+（2x+）2＝（2）2，解得x＝（负值舍去），综上：BC＝或．4．（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠D＝∠ABC＝90°，∴∠D＝∠ABF＝90°，在Rt△ABF与Rt△ADE中，，∴Rt△ABF≌Rt△ADE（HL），∴∠FAB＝∠EAD，∵∠EAD+∠BAE＝90°，∴∠FAB+∠BAE＝90°，∴∠FAE＝90°，∴AE⊥AF；（2）证明：∵∠BAC＝45°，∠BAC＝2∠BAF，∴∠BAF＝22.5°，由（1）知，∠DAE＝∠BAF＝22.5°，∵∠DAC＝45°，∴∠CAE＝22.5°，∴∠BAF＝∠CAE，∵AE＝AF，AE⊥AF，∴∠AFE＝∠AEF＝45°，∴∠AFM＝∠ACE，∴△AFM∽△ACE，∴＝，∴AF2＝AC•AM，∵AC＝AB，∴AF2＝AM•AB；（3）解：∵CE＝nDE，∴设DE＝1，CE＝n，由（1）知，Rt△ABF≌Rt△ADE，∴BF＝DE＝1，∴BC＝AB＝CD＝1+n，∴FC＝n+2，∴FE＝＝＝，∵BM∥CE，∴△BFM∽△CFE，∴＝，∴FM＝，∵∠AEN＝∠ACE＝45°，∠EAN＝∠CAE，∴△AEN∽△ACE，∴＝，∵AE＝＝，AC＝CD＝（n+1），∴EN＝＝＝，∴＝＝．5．（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠D＝∠C＝90°，∵△BCE沿BE折叠为△BFE，∴∠BFE＝∠C＝90°，∴∠AFB+∠DFE＝180°﹣∠BFE＝90°，又∵∠AFB+∠ABF＝90°，∴∠ABF＝∠DFE，∴△ABF∽△DFE；（2）解：在Rt△DEF中，sin∠DFE＝，∴设DE＝a，EF＝3a，则DF＝2a，∵△BCE沿BE折叠为△BFE，∴CE＝EF＝3a，CD＝DE+CE＝4a，AB＝4a，∠EBC＝∠EBF，由（1）得：△ABF∽△DFE，∴，∴tan；（3）解：∵AF＝5cm，BF＝10cm，∴AB＝5cm，∵∠ABF＝∠NBM，①当△ABF∽△NBM时，如图，此时，，即，∴t＝2.5；②当△ABF∽△MBN时，如图，此时，即，∴t＝，综上，t＝2.5或．6．（1）证明：∵∠ADC＝∠ACB，，∴△ADC∽△ACB，∴∠DAC＝∠CAB，∴AC平分∠DAB；（2）解：∵△ADC∽△ACB，∴，∴AC2＝AB×AD，∵AC＝8，AB＝12，∴64＝12AD，∴AD＝，故；（3）解：∵∠ACB＝90°，点E为AB的中点，∴AB＝2CE＝10，∴AC＝8，∵△ADC∽△ACB，∴AD＝＝6.4，由（1）知∠DAC＝∠EAC，∵CE＝AE，∴∠ECA＝∠EAC，∴∠DAC＝∠ECA，∴△AFD∽△CFE，∴．7．（1）①证明：过点P作PM⊥AC，PN⊥BC，垂足分别为M、N．∵CD是∠ACB的平分线，∴PM＝PN．由∠PMC＝∠MCN＝∠CNP＝90°，得∠MPN＝90°，∴∠1+∠FPN＝90°，∵∠2+∠FPN＝90°，∴∠1＝∠2．∴△PMF≌△PNE（AAS）．∴PF＝PE．②解：∵CP＝，∴CN＝CM＝1．∵△PMF≌△PNE，∴NE＝MF＝1﹣a．∴CE＝2﹣a．∵CF∥PN，∴△GCF∽△GNP，∴．∴CG＝（0＜a＜1）．（2）解：当△CEF与△EGP相似时，点F的位置有两种情况：①当点F在射线CA上时，∵∠GPE＝∠FCE＝90°，∠1≠∠PEG，∴∠G＝∠1．∴FG＝FE．∴CG＝CE．在Rt△EGP中，EG＝2CP＝2．②当点F在AC延长线上时，∵∠GPE＝∠FCE＝90°，∠1≠∠2，∴∠3＝∠2．∵∠1＝45°+∠5，∠1＝45°+∠3，∠2＝∠3，∴∠5＝∠2．易证∠3＝∠4，可得∠5＝∠4．∴FC＝CP＝．∴FM＝1+．易证△PMF≌△PNE，可得EN＝1+．∵CF∥PN，∴．∴GN＝﹣1．∴EG＝2．8．（1）证明：∵△ABC和△ADE都是等边三角形，∴AD＝AE，AB＝AC，∠DAE＝∠BAC＝60°，∴∠DAE﹣∠BAE＝∠BAC﹣∠BAE，∴∠BAD＝∠CAE，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴BD＝CE；（2）解：∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∴＝＝，∠DAE＝∠BAC＝45°，∴∠DAE﹣∠BAE＝∠BAC﹣∠BAE，∴∠BAD＝∠CAE，∴△BAD∽△CAE，∴＝＝＝；（3）解：①∵＝＝，∠ABC＝∠ADE＝90°，∴△ABC∽△ADE，∴∠BAC＝∠DAE，＝＝，∴∠CAE＝∠BAD，∴△CAE∽△BAD，∴＝＝；②由①得：△CAE∽△BAD，∴∠ACE＝∠ABD，∵∠AGC＝∠BGF，∴∠BFC＝∠BAC，∴sin∠BFC＝＝．9．解：（1）∵MQ⊥BC，∴∠BQM＝90°＝∠A，∵MN∥BC，∴∠B＝∠AMN，∴△QBM∽△AMN；（2）在Rt△ABC中，AB＝3，AC＝4，根据勾股定理得，BC＝5，∵点M为AB的中点，且AB＝3，∴AM＝BM＝＝，∵∠B＝∠B，∠BQM＝∠BAC＝90°，∴△QBM∽△ABC，∴，∴，∴QB＝；（3）∵四边形BMNQ为平行四边形，∴BQ＝MN，∵MN∥BC，∴△AMN∽△ABC，∴，∴，设AM＝3a，则MN＝5a，∵四边形BMNQ为平行四边形，∴BQ＝MN，∴BQ＝MN＝5a，由（1）知，△QBM∽△AMN，∴，∴，∴a＝，∴BQ＝5a＝．10．解：（1）结论：△PBQ是等边三角形．理由：∵△ABC是等边三角形，∴AB＝BC＝AC＝12，∠A＝∠B＝∠C＝60°，∵t＝2，∴AP＝4，BQ＝8，∴PB＝AB﹣AP＝8，∴BP＝BQ，∵∠B＝60°，∴△PBQ是等边三角形．（2）过Q作QE⊥AB，垂足为E由QB＝4t，得QE＝4t•sin60°＝2t由AP＝2t，得PB＝12﹣2t∴S△BPQ＝×BP×QE＝（12﹣2t）×2t＝﹣2t2+12t．（3）∵QR∥BA∴∠QRC＝∠A＝60°，∠RQC＝∠B＝60°∴△QRC是等边三角形∴QR＝RC＝QC＝12﹣4t∵BE＝BQ•cos60°＝×4t＝2t∴EP＝AB﹣AP﹣BE＝12﹣2t﹣2t＝12﹣4t∴EP∥QR，EP＝QR∴四边形EPRQ是平行四边形∴PR＝EQ＝2t又∵∠PEQ＝90°，∴四边形EPRQ是矩形，∴∠APR＝∠PRQ＝90°∵△APR∽△PRQ，∴∠QPR＝∠A＝60°∴tan60°＝，即＝解得t＝∴当t＝s时，△APR∽△PRQ．11．解：（1）过G作GQ⊥BM于点Q，∵BH⊥AE，∴∠GQB＝∠BHE＝90°，∠HBE+∠BEH＝90°，∵正方形BEFG，∴BE＝BG，∠GBE＝90°，∴∠HBE+∠QBG＝90°，∴∠QBG＝∠BEH，∴△EBH≌△BGQ（AAS），∴BH＝GQ，∵△ABH≌△BCN，∴BH＝CN，∴CN＝GQ，又∵∠CMN＝∠QMG，∴△CMN≌△GMQ（AAS），∴CM＝MG，∴M为CG的中点．（2）过点C作CN⊥BM于点N，过G作GQ⊥BM于点Q．∵∠ABC＝90°，∴∠ABH+∠CBN＝90°，∵∠ABH+∠BAH＝90°，∴∠CBN＝∠BAH，∴△ABH∽△BCN，同理可得：△BEH∽△BGQ．∵，∴，∴，∵∠AMN＝∠GMQ，∴△CMN∽△GMQ，∴，∴MG＝k2CM．故MG＝k2CM；（3）延长AF至点G，使AF＝FG，∵AF＝FG，BF＝DF，∴四边形ABGF为平行四边形，∴AD∥BG，AD＝BG，∴∠ABG+∠BAD＝180°，∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠CAE+∠BAD＝180°，∴∠ABG＝∠BAD，∵∠ACB＝∠AED＝30°，∴AC＝AB，AE＝AD＝BG，∴，∴△CAE∽△ABG，∴，∴，∴CE＝2AF．故CE＝2AF．12．（1）证明：∵∠ACD＝∠B，∠A＝∠A＝90°，∴△ABC∽△ACD，∴，∴AC2＝AD•AB；（2）解：过点E作EF⊥AB交AB于点F，∵AM⊥CD，∴∠AMD＝∠DAC＝90°，∴∠DAM+∠ADM＝∠ADM+∠ACD＝90°，∴∠DAM＝∠ACD，∵∠ABC＝∠ACD，∴∠DAM＝∠ABC，∴△AEB为等腰三角形，∴AE＝BE，AF＝BF＝AB，又∵△ABC∽△ACD，∴，∵＝，令CD＝a，则BC＝2a，AB＝2AC，在Rt△ABC中，BC2＝AB2+AC2，∴AC＝a，AB＝a，∴AF＝AB＝a，AD＝AC＝a，∵∠ACD＝∠ABC，∴sin∠ACD＝sin∠ABC，即，∴AM＝＝a，又∵∠BAE＝∠ACD，∠EFA＝∠DCA＝90°，∴Rt△AEF∽Rt△ADC，∴，∴AE＝＝a，∴＝，∴；（3）解：作∠NBD的角平分线BP交DN于点P，过点A作AF⊥CN于F，∴∠NBP＝∠PBD＝∠NBD，∵∠NBD＝2∠ACD，∴∠NBP＝∠PBD＝∠ACD，且∠PDB＝∠ADC，∴∠BPD＝∠BAC＝90°，∴BP⊥DN，在△BNP和△BDP中，，∴△BNP≌△BDP（ASA），∴BN＝BD，NP＝DP，∵∠PBD＝∠ACD，∠PDB＝∠ADC，∴△PDB∽△ADC，∴，由（1）知，AC2＝AD•AB，在Rt△ADC中，AC2＝CD2﹣AD2，AB＝AD+BD，∴CD2﹣AD2＝AD（AD+BD），∵CD＝，BN＝3，BD＝BN＝3，即（）2﹣AD2＝AD2+3AD，解得AD＝1或AD＝﹣（舍去），∵＝＝，∴PD＝AD＝，∵NP＝DP，∴DN＝2PD＝，AC＝2，∵AF•DC＝AD•AC，∴AF＝，在Rt△ADF中，DF＝＝，∴NF＝ND+DF＝+＝，在Rt△ANF中，tan∠ANC＝＝．故．13．（1）解：在正方形ABCD中，BC＝CD，∠BCD＝90°，又∵△ECF是等腰直角三角形，∴CE＝CF，∠ECF＝90°，∠CFE＝45°，∴∠ECF﹣∠ECB＝∠BCD﹣∠ECB，∴∠DCE＝∠BCF，∴△DEC≌△BFC（SAS），∴∠BFC＝∠DEC＝90°，∴∠BFE＝∠EFC＝45°；（2）①证法1：如图2中，将DE边沿着D点顺时针旋转90°得到DH边，连接CH，EH，则DE＝DH．∴∠EDH＝∠ADC＝90°，∠DHE＝∠DEH＝45°，∴∠ADE＝∠CDH，∠HEC＝45°，又∵AD＝CD，∴△ADE≌△CDH（SAS），∴AE＝CH，又∵∠AEF＝∠DEC＝90°，∠CEF＝45°，∴∠AED＝135°＝∠DHC，∴∠EHC＝90°，即EH＝CH，∴，，∴；证法2：如图3中，连接AC．∵∠AEC＝∠AEF+∠FEC＝135°，∴∠AED＝360°﹣∠AEC﹣∠DEC＝135°，∴∠AEC＝∠AED，又∵∠DAE+∠EAC＝45°，∠ACE+∠EAC＝45°，∴∠DAE＝∠ACE，∴△ADE∽△CAE，∴，∵EC＝CF，ED＝BF，∴；②解法1：如图2中，∵AE＝CH，∴，即CE＝，∵EF＝，∴EF＝2AE，即tan∠AFE＝；解法2：如图3中，∵△ADE∽△CAE，∴，又∵EF＝，∴tan∠AFE＝．14．（1）解：∵＝，∴＝，整理得：BC2+12BC﹣144＝0，解得：BC1＝6﹣6，BC2＝﹣6﹣6（舍去），则BC的长为（6﹣6）cm，故（6﹣6）；（2）证明：如图②，分别延长DA、CG交于点M，∵四边形ABCD为正方形，∴AD∥BC，∴∠BCG＝∠M，由折叠的性质可知：∠BCG＝∠ECG，∴∠ECG＝∠M，∴EC＝EM，由勾股定理得：EC＝＝＝20（cm），∴AM＝（20﹣20）cm，∵AD∥BC，∴△MAG∽△CBG，∴＝＝＝，∴G是AB的黄金分割点；（3）当PB＝BC时，E、F恰好分别是AD、AB的黄金分割点，理由如下：∵CF⊥BE，∴∠CBE+∠BCF＝90°，∵∠ABE+∠CBE＝90°，∴∠ABE＝∠BCF，在△ABE和△BCF中，，∴△ABE≌△BCF（ASA），∴AE＝BF，∵AD∥BC，∴△AFE∽△BFP，∴＝，∵F是AB的黄金分割点，∴＝，∴＝，∵AE＝BF，∴BP＝AB＝BC．15．解：（1）①∵△ABC与△AED为等腰直角三角形，∴∠BAC＝∠EAD＝45°，＝＝，∠AED＝∠CBA＝90°，∴DE∥CB，若点E落在AB上，则点D落在AC上，∴＝＝，故；②∵△ABC与△AED为等腰直角三角形，∴∠BAC＝∠EAD＝45°，＝＝，∠AED＝∠CBA＝90°，∴∠BAC﹣∠CAE＝∠EAD﹣∠EAC，∴∠BAE＝∠CAD，∴△ABE∽△ACD，∴＝＝；（2）①如图4，过点E作EF⊥AD于点F，则∠AFE＝90°，∵AE＝DE，∠AED＝α＝120°，∴∠EAD＝∠EDA＝30°，AF＝DF，∴AE＝2EF，AF＝EF，∴AD＝2AF＝2EF，∴＝，同理：∠BAC＝30°，＝＝，∴∠EAD+∠CAE＝∠BAC+∠CAE，即∠CAD＝∠BAE，∴△CAD∽△BAE，∴＝＝，故；②如图4﹣1，由①可知，＝，∴AC＝AB＝2，由旋转的性质得：∠BAB'＝∠CAC'＝60°，△ABC≌△AB'C'，∴线段BC扫过的面积＝△ABC的面积+扇形CAC'的面积﹣（△AB'C'的面积+扇形BAB'的面积）＝扇形CAC'的面积﹣扇形BAB'的面积＝﹣＝，故；（3）如图6同（2）得：△CAD∽△BAE，∴∠ACD＝∠ABE，∴点D所经过的路径是线段CD，此时CP＝AC﹣AP＝4﹣1＝3，PD＝AP＝1，∠CPD＝90°，∴CD＝＝＝，∴当点E自点B运动至点P时，点D所经过的路径长为，故．16．解：【教材呈现】如图1中，∵点D、E分别是AB与AC的中点，∴，∵∠A＝∠A，∴△ADB∽△ABC，∴＝＝，∠ADE＝∠B，∴DE∥BC；【结论应用】如图2中，∵BE⊥AD，∴∠BEA＝∠BED＝90°，∵BE平分∠ABE，∴∠ABE＝∠DBE，∵∠ABE+∠BAE＝90°，∠DBE+∠BDE＝90°，∴∠BAE＝∠BDE，∴BA＝BD，∴AE＝DE，∵AF＝FC，∴EF＝CD，∵AB＝BD＝6，BC＝10，∴CD＝BC﹣BD＝10﹣6＝4，∴EF＝CD＝2．【拓展延伸】如图3中，连接DE，过点D作DH⊥BC于H．在Rt△ABC中，AB＝3，BC＝4，∴AC＝＝＝5，∵AD＝DC，∴AD＝AC＝，∵DH∥AB，AD＝DC，∴BH＝HC，∴DH＝AB＝，∵AD＝DC，ED1＝EC，∴DE＝AD1＝，∴点E在以D为圆心，为半径的圆上运动，∴点E到直线BC的最大距离＝DE+DH＝+＝，∴△BCE的面积的最大值＝×4×＝．故．17．（1）解：如图1，设DE与CF交于点G，∵四边形ABCD是正方形，∴∠A＝∠FDC＝90°，AD＝CD，∵DE⊥CF，∴∠DGF＝90°，∴∠ADE+∠CFD＝90°，∠ADE+∠AED＝90°，∴∠CFD＝∠AED，在△AED和△DFC中，，∴△AED≌△DFC（AAS），∴DE＝CF，即＝1，故1；（2）解：如图2，设DB与CE交于点G，∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠EDC＝90°，AB＝CD，AD∥BC，∵CE⊥BD，∴∠DGC＝90°，∴∠CDG+∠ECD＝90°，∠ADB+∠CDG＝90°，∴∠ECD＝∠ADB，∵∠CDE＝∠A，∴△DEC∽△ABD，∴＝＝，故；（3）证明：如图3，过点C作CH⊥AF交AF的延长线于点H，∵CG⊥EG，∴∠G＝∠H＝∠A＝∠B＝90°，∴四边形ABCH为矩形，∴AB＝CH，∠FCH+∠CFH＝∠DFG+∠FDG＝90°，∴∠FCH＝∠FDG＝∠ADE，∵∠A＝∠H＝90°，∴△DEA∽△CFH，∴，∴，∴DE•AB＝CF•AD；（4）解：如图4，过点C作CH⊥AD于H，过点A作AN⊥DC于N，取CD的中点O，连接AO，CO，∵DE⊥CF，CH⊥AD，∴∠BAD＝∠EGF＝90°＝∠CHF，∴∠AEG+∠AFG＝180°，又∵∠AFG+∠CFH＝180°，∴∠AEG＝∠CFH，∴△DAE∽△CHF，∴＝，∴CH＝AD＝，∵将△ABD沿BD翻折，∴AD＝CD＝18，又∵∠ADC＝∠ADC，∠CHD＝∠AND＝90°，∴△AND≌△CHD（AAS），∴AN＝CH＝，∴DN＝＝＝，∵点O是CD的中点，∴DO＝CO＝9，∴NO＝，∴AO＝＝，∵∠CGD＝90°，∴点G在以CD为直径的圆上运动，∴当点G在线段AO上时，AG有最小值为﹣9．18．解：（1）如图1，延长AE，交BC的延长线于G，∵∠ABC＝2∠ABE，∴∠ABE＝∠GBG，∵BE⊥AE，∴∠AEB＝∠BEG，∵BE＝BE，∴△ABE≌△GBE（ASA），∴AE＝EG，∴AG＝2AE，∵∠AFE＝∠BFC，∴∠CAE＝∠CBD＝＝22.5°，∵AC＝BC，∠ACB＝∠ACG＝90°，∴△ACG≌△BCF（ASA），∴AG＝DF，∴，故22，5°，；（2）如图2，作DH⊥AC，交AE的延长线于G，∵∠ACB＝90°，AC＝BC，∴∠CAB＝∠B＝45°，∴∠ADH＝90°﹣∠CAB＝45°，∴∠CAB＝∠ADH，∴AH＝DH，∴△ADH是等腰直角三角形，∴∠ADH＝∠ABC＝2∠ADE，由（1）得，AG＝DF，AG＝2AE，∴；（3）如图3，作DH⊥AC，交AE的延长线于G，∴∠AHD＝∠C＝90°，∵∠HAD＝∠CAB，∴△AHD∽△ACB，∴＝m，由上可知，AG＝2AE，∠GAH＝∠HDF，∠AHG＝∠DHF＝90°，∴△AHG∽△DHF，∴，∴，∴；（4）如图4，作AG⊥AC，截取AG＝BD，∵∠C＝90°，∴AG∥BC，∴四边形AGBD是平行四边形，∴AD∥BG，∴∠∠EMA＝∠GBF，∵BC＝mAF，CF＝mBD，∴，∴，∵∠FAG＝∠C＝90°，∴△FAG∽△BCF，∴∠FAG＝∠CBF，，∴∠AFG+∠BFC＝∠CBF+∠BFC＝90°，∴∠BFG＝90°，∴∠BFG＝∠E＝90°，∴△AME∽△GBF，∴．19．（1）证明：∵DE∥BC，∴，∵∠DAE＝∠BAC，∴∠DAE﹣∠DAC＝∠BAC﹣∠DAC，∴∠BAD＝∠CAE，∴△ABD∽△ACE；（2）解：如图1，连接CE，由（1）知，△ABD∽△ACE，∴＝＝tan∠ABC＝tan30°＝，∠ACE＝∠ABD，∴∠BEC＝∠BAC＝90°，∵∠AED＝60°，∴∠FEC＝180°﹣∠AED﹣∠AEC＝30°，∵∠ABC＝30°，∴∠FEC＝∠ABC，∵∠F＝∠F，∴△FEC∽△FBA，∴，∵＝，∴，∴；（3）解：如图2，将△ABG绕点A旋转∠BAC的度数至△ACG′，连接CG′，∴AG＝AG′，∠GAG′＝∠BAC，∵AB＝AC，∴，∴△AGG′∽△ABC，∴∠AGG′＝∠ABC，∵∠AGB+∠BAG+∠ABG＝180°，∠BAG＝∠CBG，∴∠AGB+∠CBG+∠ABG＝180°，∴∠AGB+∠ABC＝180°，∴∠AGB+∠AGG′＝180°，∴B、G、G′共线，∴∠CGG′＝90°，设CG＝a，则CG′＝BG＝2a，∴BC＝a，GG′＝＝，。

2022-2023学年人教版中考数学复习《一次函数综合解答题》专题提升训练(附答案)

2022-2023学年人教版中考数学复习《一次函数综合解答题》专题提升训练（附答案）1．直线y＝kx﹣2与坐标轴所围图形的面积为3，点A（3，m）是直线y＝kx﹣2上一点．（1）求点A的坐标；（2）点P在y轴上，且∠P AO＝30°，直接写出点P坐标．2．在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx+4（k＜0）交x轴于点A，交y轴于点B．已知△ABO为等腰直角三角形．（1）请直接写出k的值为；（2）将一次函数y＝kx+4（k≠0）中，直线y＝﹣1下方的部分沿直线y＝﹣1翻折，其余部分保持不变，得到的新图象记为图象G．已知在x轴有一动点P（n，0），过点P作x轴的垂线，交于点M，交图象G于点N．当点M在点N上方时，且MN＜2，求n的取值范围；（3）记图象G交x轴于另一点C，点D为图象G上一点，点E为图象G的对称轴上一点．当以A，C，D，E为顶点的四边形为平行四边形时，则点D的坐标为．3．对于平面上A、B两点，给出如下定义：以点A为中心，B为其中一个顶点的正方形称为点A、B的“领域”．（1）已知点A的坐标为（﹣1，1），点B的坐标为（3，3），顶点A、B的“领域”的面积为．（2）若点A、B的“领域”的正方形的边与坐标轴平行或垂直，回答下列问题：①已知点A的坐标为（2，0），若点A、B的“领域”的面积为16，点B在x轴上方，求B点坐标；②已知点A的坐标为（2，m），若在直线l：y＝﹣3x+2上存在点B，点A、B的“领域”的面积不超过16，直接写出m的取值范围．4．如图，一次函数y＝x+3的图象分别与y轴，x轴交于点A，B，点P从点B出发，沿射线BA以每秒1个单位的速度运动，设点P的运动时间为t秒．（1）点P在运动过程中，若某一时刻，△OP A的面积为3，求此时P的坐标；（2）在整个运动过程中，当t为何值时，△AOP为等腰三角形？请直接写出t的值．5．在平面直角坐标系xOy中，点M的坐标为（x1，y1），点N的坐标为（x2，y2），且x1≠x2，y1≠y2，以MN为边构造菱形，若该菱形的两条对角线分别平行于x轴，y轴，则称该菱形为边的“坐标菱形”，（1）已知点A（2，0），B（0，2），则以AB为边的“坐标菱形”的面积为；（2）若点C（1，2），点D在直线y＝5上，以CD为边的“坐标菱形”为正方形，求直线CD解析式．6．在平面直角坐标系xOy中，点P和图形W的“中点形”的定义如下：对于图形W上的任意一点Q，连接PQ，取PQ的中点，由所有这些中点所组成的图形，叫做点P和图形W的“中点形”．已知C（﹣2，2），D（1，2），E（1，0），F（﹣2，0）．（1）若点O和线段CD的“中点形”为图形G，则在点H1（﹣1，1），H2（0，1），H3（2，1）中，在图形G上的点是；（2）已知点A（2，0），请通过画图说明点A和四边形CDEF的“中点形”是否为四边形？若是，写出四边形各顶点的坐标；若不是，说明理由；（3）点B为直线y＝2x上一点，记点B和四边形CDEF的中点形为图形M，若图形M 与四边形CDEF有公共点，直接写出点B的横坐标b的取值范围．7．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A（1，2），B（3，2），连接AB．若对于平面内一点P，线段AB上都存在点Q，使得PQ≤1，则称点P是线段AB的“临近点”．（1）在点C（0，2），D（2，），E（4，1）中，线段AB的“临近点”是；（2）若点M（m，n）在直线y＝﹣x+2上，且是线段AB的“临近点”，求m的取值范围；（3）若直线y＝﹣x+b上存在线段AB的“临近点”，求b的取值范围．8．在平面直角坐标系xOy中，点P和图形W的中间点的定义如下：Q是图形W上一点，若M为线段PQ的中点，则称M为点P和图形W的中间点．C（﹣2，3），D（1，3），E（1，0），F（﹣2，0）（1）点A（2，0），①点A和原点的中间点的坐标为；②求点A和线段CD的中间点的横坐标m的取值范围；（2）点B为直线y＝2x上一点，在四边形CDEF的边上存在点B和四边形CDEF的中间点，直接写出点B的横坐标n的取值范围．9．在平面直角坐标系xOy中，对于直线l及点P给出如下定义：过点P作y轴的垂线交直线l于点Q，若PQ≤1，则称点P为直线l的关联点，当PQ＝1时，称点P为直线l的最佳关联点，当点P与点Q重合时，记PQ＝0．例如，点P（1，2）是直线y＝x的最佳关联点．根据阅读材料，解决下列问题．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线l1：y＝﹣x+3，l2：y＝2x+b．（1）已知点A（0，4），B（，1），C（2，3），上述各点是直线l1的关联点是；（2）若点D（﹣1，m）是直线l1的最佳关联点，则m的值是；（3）在（1）的条件下，点E在x轴的正半轴上，以OA、OE为边作正方形AOEF．若直线l2与正方形AOEF相交，且交点中至少有一个是直线l1的关联点，则b的取值范围是．10．对于平面直角坐标系xOy中的任意一点P（x，y），给出如下定义：记a＝x+y，b＝﹣y，将点M（a，b）与N（b，a）称为点P的一对“相伴点”．例如：点P（2，3）的一对“相伴点”是点（5，﹣3）与（﹣3，5）．（1）点Q（4，﹣1）的一对“相伴点”的坐标是与；（2）若点A（8，y）的一对“相伴点”重合，则y的值为；（3）若点B的一个“相伴点”的坐标为（﹣1，7），求点B的坐标；（4）如图，直线l经过点（0，﹣3）且平行于x轴．若点C是直线l上的一个动点，点M与N是点C的一对“相伴点”，在图中画出所有符合条件的点M，N组成的图形．11．在平面直角坐标系xOy中，对于点P与▱ABCD，给出如下的定义：将过点P的直线记为l P，若直线l P与▱ABCD有且只有两个公共点，则称这两个公共点之间的距离为直线l P与▱ABCD的“穿越距离”，记作d（l P，▱ABCD）．例如，已知过点O的直线l O：y＝x与▱HIJK，其中H（﹣2，﹣1），I（1，﹣1），J（2，1），K（﹣1，1），如图1所示，则d（l O，▱HIJK）＝2．请解决下面的问题：已知▱ABCD，其中A（1，2），B（3，2），C（t，4），D（t﹣2，4）．（1）当t＝3时，已知M（2，3），l M为过点M的直线y＝kx+b．①当k＝0时，d（l M，▱ABCD）＝；当k＝1时，d（l M，▱ABCD）＝；②若d（l M，▱ABCD）＝，结合图象，求k的值；（2）已知N（﹣1，0），l N为过点N的直线，若d（l N，▱ABCD）有最大值，且最大值为2，直接写出t的取值范围．12．数学课上，李老师提出问题：如图1，在正方形ABCD中，点E是边BC的中点，∠AEF ＝90°，且EF交正方形外角的平分线CF于点F．求证：AE＝EF．经过思考，小聪展示了一种正确的解题思路．取AB的中点H，连接HE，则△BHE为等腰直角三角形，这时只需证△AHE与△ECF全等即可．在此基础上，同学们进行了进一步的探究：（1）小颖提出：如图2，如果把“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上（不含点B，C）的任意一点”，其他条件不变，那么结论“AE＝EF”仍然成立，你认为小颖的观点正确吗？如果正确，写出证明过程，如果不正确，请说明理由；（2）小华提出：如图3，如果点E是边BC延长线上的任意一点，其他条件不变，那么结论“AE＝EF”是否成立？（填“是”或“否”）；（3）小丽提出：如图4，在平面直角坐标系xOy中，点O与点B重合，正方形的边长为1，当E为BC边上（不含点B，C）的某一点时，点F恰好落在直线y＝﹣2x+3上，请直接写出此时点E的坐标．13．定义：在平面直角坐标系中，对于任意P（x1，y1），Q（x2，y2），若点M（x，y）满足x＝3（x1+x2），y＝3（y1+y2），则称点M是点P，Q的“美妙点”．例如：点P（1，2），Q（﹣2，1），当点M（x，y）满足x＝3×（1﹣2）＝﹣3，y＝3×（2+1）＝9时，则点M（﹣3，9）是点P，Q的“美妙点”．（1）已知点A（﹣1，3），B（3，3），C（2，﹣2），请说明其中一点是另外两点的“美妙点”；（2）如图，已知点D是直线y＝x+3上的一点．点E（3，0），点M（x，y）是点D、E的“美妙点”．①求y与x的函数关系式；②若直线DM与x轴相交于点F，当△MEF是以EF为直角边的直角三角形时，求点D的坐标．14．对于平面直角坐标系xOy中的点P（a，b），若点P′的坐标为（其中k为常数，且k≠0），则称点P′为点P的“k属派生点”．例如：P（1，4）的“2属派生点”为，即P'（3，6）（1）①点P（1，2）的“2属派生点”P′的坐标为；②若点P的“k属派生点”P′的坐标为（4，4），请写出一个符合条件的点P的坐标；（2）若点P在x轴的正半轴上，点P的“k属派生点”为P′点，且OP＝2PP′，则k 的值；（3）如图，点Q的坐标为（0，4），点A在函数的图象上，且点A是点B的“−1属派生点”，当线段BQ最短时，求A点坐标．15．在平面直角坐标系xOy 中，若P ，Q 为某个矩形不相邻的两个顶点，且该矩形的边均与某条坐标轴垂直，则称该矩形为点P ，Q 的“相关矩形”．图1为点P ，Q 的“相关矩形”的示意图．已知点A 的坐标为（1，2）．（1）如图2，点B 的坐标为（b ，0）．①若b ＝﹣2，则点A ，B 的“相关矩形”的面积是；②若点A ，B 的“相关矩形”的面积是8，则b 的值为．（2）如图3，点C 在直线y ＝﹣1上，若点A ，C 的“相关矩形”是正方形，求直线AC 的表达式．16．已知函数y ＝，请结合学习函数的经验，探究它的相关性质：（1）自变量x 的取值范围是；（2）x 与y 的几组对应值如下表，请补全表格：x… ﹣2.5 ﹣2 ﹣1.5 ﹣1 ﹣0.5 ﹣0.2 0.2 0.5 1 1.5 2 2.5 … y … 5.85 3.5 1.58 0 ﹣1.75 ﹣4.965.04 m n 2.92 4.56.65 …其中m ＝，n ＝．（3）图中画出了函数的一部分图象，请根据表中数据，用描点法补全函数图象；（4）请写出这个函数的一条性质：；（5）结合图象，直接写出方程的所有实数根：．17．在平面直角坐标系xOy中，图形G的投影矩形定义如下：矩形的两组对边分别平行于x轴，y轴，图形G的顶点在矩形的边上或内部，且矩形的面积最小．设矩形的较长的边与较短的边的比为k，我们称常数k为图形G的投影比．如图1，矩形ABCD为△DEF 的投影矩形，其投影k＝．（1）如图2，若点A（1，3），B（3，5），则△OAB投影比的值为；（2）已知点C（4，0），在函数y＝﹣2x+4（其中x＞0）的图象上有一点D，若△OCD 的投影比k＝2，求点D的坐标；（3）已知点E（3，2），点F（3，4），在直线y＝x+1上有一动点P，若△PEF的投影比k＜2，则点P的横坐标m的取值范围是（直接写出答案）．18．在平面直角坐标系xOy中，对任意两点A（x A，y B）与B（x B，y B）的“识别距离”，给出如下定义：若|x A﹣x B|≥|y A﹣y B|，则点A（x A，y A）与B（x B，y B）的“识别距离”D AB ＝|x A﹣x B|；若|x A﹣x B|＜|y A﹣y B|，则A（x A，y A）与B（x B，y B）的“识别距离”D AB＝|y A ﹣y B|；即D AB＝max{|x A﹣x B|，|y A﹣y B|}．已知点A（1，0），点B（﹣1，4），（1）A、B两点之间的识别距离D AB＝．（2）在图1中的平面直角坐标系中描出到点A的识别距离为2的点．（3）如图2，点C，点D，和点E分别是直线m，直线n，和直线p上的点，若点C、D、E到点A的识别距离最小，求出C、D、E的坐标．19．如图1，A、C是平面内的两个定点，∠BAC＝20°，点P为射线AB上一动点，过点P 作PC的垂线交直线AC于点D．设∠APC的度数为x°，∠PDC的度数为y°．小明对x与y之间满足的等量关系进行了探究．下面是小明的探究过程，请补充完整：（1）如图1，当x＝40°时，依题意补全图形；（2）在图2中，按照下表中x的值进行取点、画图、计算，分别得到了y与x的几组对应值，补全表格；x°406080100y°（3）在平面直角坐标系xOy中，①描出表中各组数值所对应的点（x，y）；②通过研究①中点构成的图象，当y＝50时，x的值为；（4）用含x的代数式表示y为：．20．有这样一个问题：探究函数y＝的图象与性质．小华根据学习函数的经验，对函数y＝的图象与性质进行了探究．下面是小华的探究过程，请补充完整：（1）函数y＝的自变量x的取值范围是；（2）如表是y与x的几组对应值．m的值为；x﹣2﹣﹣1﹣1234…y0﹣m﹣1…（3）如图，在平面直角坐标系xOy中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点．根据描出的点，画出该函数的图象；（4）结合函数的图象，写出该函数的一条性质：．（5）结合函数图象估计﹣x﹣4＝0的解的个数为个．参考答案1．解：（1）直线y＝kx﹣2，当x＝0，则y＝﹣2，当y＝0，则x＝，∴直线y＝kx﹣2与坐标轴的交点坐标为（0，﹣2）和（，0），∵直线y＝kx﹣2与坐标轴所围图形的面积为3，∴×|2|×||＝3，解得k＝±，∴直线的解析式为y＝x﹣2或y＝﹣x﹣2，把点A（3，m）代入y＝x﹣2，得m＝0，∴A（3，0），把点A（3，m）代入y＝﹣x﹣2，得m＝﹣4，∴A（3，0），∴点A的坐标为（3，0）或（3，﹣4）；（2）①当点A的坐标为（3，0）时，如图，在Rt△POA中，∠P AO＝30'，∠POA＝90°，OA＝3，∴OP＝，∴点P（0，）或点P（0．﹣）；②当点A的坐标是（3，﹣4）时，如图，作PB⊥AO于B，AC⊥y轴于点C，则∠PBO＝∠ACO＝90°，AC＝3．OC＝4，AO＝＝5，设PB＝3a（a＞0），∵∠POB＝∠AOC，∴△PBO∽△ACO，∴，∴，∴PO＝5a，∴PC＝PO+OC＝5a+4，∵∠P AO＝30°，∴P A＝2PB＝6a，∵AC2+PC2＝P A2，∴32+（5a+4）2＝（6a）2，解得a＝（负值不合题意，舍去），∴OP＝，∴点P（0，）；③当点A的坐标是（3，﹣4）时，如图，作PB⊥AO于B，AC⊥y轴于点C，则∠PBO＝∠ACO＝90°，AC＝3．OC＝4，AO＝＝5，设PB＝3a（a＞0），∵∠POB＝∠AOC，∴△PBO∽△ACO，∴，∴，∴PO＝5a，∴PC＝OC﹣PO＝4﹣5a，∵∠P AO＝30°，∴P A＝2PB＝6a，∵AC2+PC2＝P A2，∴32+（4﹣5a）2＝（6a）2，解得a＝（负值不合题意，舍去），∴OP＝，∴点P（0，）．综上所述，点P的坐标为（0，）或（0，）或（0，）．2．（1）对于一次函数y＝kx+4（k＜0），令x＝0，则y＝4，故点B（0，4），则OB＝4，∵△ABO为等腰直角三角形，故OA＝OB＝4，故点A（4，0），将点A的坐标代入y＝kx+4并解得k＝﹣1，故答案为﹣1；（2）设图象的翻折点为R，当y＝﹣1时，则﹣x+4＝﹣1，解得x＝5，即点R（5，﹣1），图象的对称轴为x＝5，①当点P在对称轴左侧时，则图象G的解析式为：y＝﹣x+4，∴点N在直线y＝﹣x+4上运动．当M，N重合时，此时n有最小值为，当MN＝2时，此时n有最大值，则根据题意有：，∴解得，∴；②当点P在对称轴右侧时，则图象G的解析式为：y＝x﹣6，∴点N在直线y＝x﹣6上运动．当MN＝2时，此时n有最小值，则根据题意有：，∴解得n＝12，当M，N重合时，此时n有最大值为16，∴12＜n＜16，综上，或12＜n＜16；（3）则设直线RC的表达式为y＝x+b，将点R的坐标代入上式并解得：b＝﹣6，故直线RC的表达式为y＝x﹣6，令y＝0，即x﹣6＝0，解得x＝6，故点C（6，0），①当AC是边时，当点D在点E的左侧时，则ED＝AC＝6﹣4＝2，故点D的横坐标为5﹣2＝3，当x＝3时，y＝﹣x+4＝1，故点D（3，1），此时，点E（5，1），符合条件；当点E在点E的右侧时，同理可得，点D（7，1）；②当AC是对角线时，如上图，则点D（5，﹣1），而点E（5，1），AD＝CD＝AE＝EC＝，故符合条件，故点D（5，﹣1）；综上，点D的坐标为（5，﹣1）或（3，1）或（7，1），故答案为：（5，﹣1）或（3，1）或（7，1）．3．解：（1）∵点A的坐标为（﹣1，1），点B的坐标为（3，3），∴AB＝＝2，由题意可知，AB是正方形对角线的一半，∴正方形的边长为2，∴正方形的面积为40，∴顶点A、B的“领域”的面积为40；故答案为40；（2）①如图，∵点A、B的“领域”的正方形的边与坐标轴平行或垂直，∴AB与x轴的所成锐角为45°，当点B在A左侧，设B（2﹣a，a），∴AB＝＝a，∵点A、B的“领域”的面积为16，∴16＝，∴a＝2，∴点B（0，2），当点B在点A右侧，设B'（2+a，a）∴AB'＝a，∵点A、B的“领域”的面积为16，∴16＝，∴a＝2，∴点B（4，2），综上所述：B（4，2）或B（0，2）；②如图2，过点B作BM⊥AM，∵点A、B的“领域”的正方形的边与坐标轴平行或垂直，∴AB与直线x＝2的所成锐角为45°，∴BM＝AM，设点B（a，﹣3a+2），∴AM＝|m+3a﹣2|，BM＝|2﹣a|∴AB＝|2﹣a|，∵点A、B的“领域”的面积不超过16，∴≤16∴0≤a≤4，∵BM＝AM，∴|m+3a﹣2|＝|2﹣a|∴m＝4﹣4a，或m＝﹣2a，∴﹣12≤m≤4，或﹣8≤m≤0，综上所述：﹣12≤m≤4．4．解：（1）当x＝0时，y＝3，当y＝0时，x＝4，则A（0，3），B（4，0），∴AO＝3，BO＝4，设点P的坐标为（m，﹣m+3），∵△OP A的面积为3，∴×3×|m|＝3，解得：m＝±2，∴点P的坐标为（﹣2，）或（2，）．（2）由题意可知BP＝t，AP＝5﹣t，当△AOP为等腰三角形时，有AP＝AO、AP＝OP和AO＝OP三种情况．①当AP＝AO时，则有5﹣t＝3，解得t＝2；或t﹣5＝3，解得t＝8；②当AP＝OP时，过P作PM⊥AO，垂足为M，如图1，则M为AO中点，故P为AB中点，此时t＝；③当AO＝OP时，过O作ON⊥AB，垂足为N，如图2，则NP＝AN＝AP＝（5﹣t），∵S△AOB＝∴ON＝，∵OB2＝ON2+NB2，∴16＝+（t+﹣）2，∴t＝综上可知当t的值为2、8、和时，△AOP为等腰三角形．5．解：（1）如图1∵点A（2，0），B（0，2），∴OA＝2，OB＝2，在Rt△AOB中，由勾股定理得：AB＝＝＝4，∵四边形ABCD是菱形，∴OA＝OC＝2，OB＝OD＝2∴AC＝4，BD＝4∴以AB为边的“坐标菱形”的面积＝＝8，故答案为：8；（2）如图2，∵以CD为边的“坐标菱形”为正方形，∴直线CD与直线y＝5的夹角是45°，过点C作CE⊥DE于E，∴D（4，5）或（﹣2，5），设直线CD解析式为y＝kx+b，由题意可得或解得：或∴直线CD的表达式为：y＝x+1或y＝﹣x+3；6．解：（1）∵点C的坐标为（﹣2，2），点D的坐标为（1，2），∴线段OC的中点坐标为（﹣1，1），线段OD的中点坐标为（，1）．∵﹣1＝﹣1，﹣1＜0＜，∴点H1（﹣1，1），H2（0，1）在图形G上．故答案为：H1，H2．（2）∵C（﹣2，2），D（1，2），E（1，0），F（﹣2，0），A（2，0），∴线段AC的中点坐标为（0，1），线段AD的中点坐标为（，1），线段AE的中点坐标为（，0），线段AF的中点坐标为（0，0）．依照题意，画出图形，如图1所示．∴点A和四边形CDEF的“中点形”是四边形，各定点的坐标分别为：（0，1），（，1），（，0），（0，0）．（3）∵点B在直线y＝2x上，且点B的横坐标为b，∴点B的坐标为（b，2b）．∵C（﹣2，2），D（1，2），E（1，0），F（﹣2，0），A（2，0），∴线段BC的中点坐标为（b﹣1，b+1），线段BD的中点坐标为（b+，b+1），线段BE的中点坐标为（b+，b），线段BF的中点坐标为（b﹣1，b）．依照题意，画出图形，如图2所示．∵图形M与四边形CDEF有公共点，∴或，解得：﹣1≤b≤0或1≤b≤2．7．解：（1）C（0，2），D（2，）是线段AB的“临近点”．理由是：∵点P到直线AB的距离≤1，A、B的纵坐标都是2，∴AB∥x轴，2﹣1＝1，2+1＝3，∴当横坐标1≤x≤3纵坐标1≤y≤3范围内时，该点是线段AB的“临近点”，∵D（2，），∴D（2，）是线段AB的“临近点”；∵C（0，2），A（1，2），∴AC＝2﹣1＝1，∴C（0，2）是线段AB的“临近点”．故答案为：C和D．（2）如图，设y＝﹣x+2与y轴交于M，与A2B2交于N，易知M（0，2），∴m≥0，易知N的纵坐标为1，代入y＝﹣x+2，可求横坐标为，∴m≤∴0≤m≤．（3）当直线y＝﹣x+b与半圆A相切时，b＝2﹣．当直线y＝﹣x+b与半圆B相切时，b＝2+．∴2﹣．8．解：（1）①∵点A的坐标为（2，0），∴点A和原点的中间点的坐标为（，），即（1，0）．故答案为：（1，0）．②如图1，点A和线段CD的中间点所组成的图形是线段C′D′．由题意可知：点C′为线段AC的中点，点D′为线段AD的中点．∵点A的坐标为（2，0），点C的坐标为（﹣2，3），点D的坐标为（1，3），∴点C′的坐标为（0，），点D′的坐标为（，），∴点A和线段CD的中间点的横坐标m的取值范围为0≤m≤．（2）∵点B的横坐标为n，∴点B的坐标为（n，2n）．当点B和四边形CDEF的中间点在边EF上时，有，解得：﹣≤n≤0；当点B和四边形CDEF的中间点在边DE上时，有，解得：1≤n≤3．综上所述：点B的横坐标n的取值范围为﹣≤n≤0或1≤n≤3．9．解：（1）如图1，将点A（0，4）的纵坐标分别代入直线l1：y＝﹣x+3，得：x＝﹣1∴过点A垂直于y轴的直线与l1的交点横坐标是﹣1，0﹣（﹣1）＝1，∴点A是直线l1的关联点；将点B（，1）的纵坐标分别代入直线l1：y＝﹣x+3，得：x＝2，∴2﹣＝＜1，∴点B是直线l1的关联点；将点C（2，3）的纵坐标分别代入直线l1：y＝﹣x+3，得：x＝0，∴过点A垂直于y轴的直线与l1的交点横坐标是0，2﹣0＝2＞1，∴点C不是直线l1的关联点；故答案为：A，B；（2）将点D的纵坐标分别代入直线l1：y＝﹣x+3，得：x＝3﹣m，∴过点D垂直于y轴的直线与l1的交点横坐标是3﹣m，∵点D（﹣1，m）是直线l1的最佳关联点，∴丨3﹣m﹣（﹣1）丨＝丨4﹣m丨＝1，解得：m＝3或5，故答案为：3或5；（3）如图2，由图可得，直线l2的位置l3与l4之间或l5与l6之间时，符合要求，直线与l3正方形AOEF相交于A（0，4）时，b＝4，直线l4与正方形AOEF相交于A（0，2）时，b＝2，直线l5与正方形AOEF相交于F（4，4）时，b＝﹣4，直线l6与正方形AOEF相交于E（4，0）时，b＝﹣8，∴b的取值范围为2≤b≤4或﹣8≤b≤﹣4．故答案为：2≤b≤4或﹣8≤b≤﹣4．10．解：（1）∵Q（4，﹣1），∴a＝4+（﹣1）＝3，b﹣（﹣1）＝1，∴点Q（4，﹣1）的一对“相伴点”的坐标是（1，3）与（3，1），故答案为：（1，3），（3，1）；（2）∵点A（8，y），∴a＝8+y，b＝﹣y，∴点A（8，y）的一对“相伴点”的坐标是（8+y，﹣y）和（﹣y，8+y），∵点A（8，y）的一对“相伴点”重合，∴8+y＝﹣y，∴y＝﹣4，故答案为：﹣4；（3）设点B（x，y），∵点B的一个“相伴点”的坐标为（﹣1，7），∴或，∴或，∴B（6，﹣7）或（6，1）；（4）设点C（m，﹣3），∴a＝m﹣3，b＝3，∴点C的一对“相伴点”的坐标是M（m﹣3，3）与N（3，m﹣3），当点C的一个“相伴点”的坐标是M（m﹣3，3），∴点M在直线m：y＝3上，当点C的一个“相伴点”的坐标是N（3，m﹣3），∴点N在直线n：x＝3上，即点M，N组成的图形是两条互相垂直的直线m与直线n，如图所示，11．解：（1）当t＝3时，A（1，2），B（3，2），C（3，4），D（1，4），∴此时四边形ABCD为正方形，如图1所示，∵直线l M过点M（2，3），∴3＝2k+b，即b＝3﹣2k，∴①当k＝0时，直线l M为y＝3，由图知，此时d（l M，▱ABCD）＝2，故答案为：2，当k＝1时，直线l M为y＝x+1，由图知，此时d（l M，▱ABCD）＝2，故答案为：2，②由①知，直线l M为y＝kx+3﹣2k，如图1②，设直线l M与AD交于点F，与BC交于点G，∴F（1，﹣k+3），G（3，k+3），过F作FH⊥BC于H，则FH＝2，∵FG＝，∴GH＝＝1，∴k+3﹣（﹣k+3）＝1，∴k＝，由正方形的对称性可知，k＝﹣也符合题意，故k的值为±；如图1③，设直线l M与CD交于点P，与AB交于点Q，∴P（，4），Q（，2），过Q作QN⊥CD于N，则QN＝2，∵PQ＝，∴PN＝＝1，∴﹣＝1，解得k＝2，由正方形的对称性可知，k＝﹣2也符合题意，故k的值为±2；综上，k的值为或±2；（2）如图2，设直线l N与CD边的交点为P，作PH⊥AB交AB延长线于H，由题知PB＝，PH＝2，∴BH＝＝4，即P点坐标为（7，4），由题知P点在CD上，且不能与C点重合，∴7＜t≤7+2，即7＜t≤9．12．解：（1）仍然成立，如图2，在AB上截取BH＝BE，连接HE，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠ABC＝90°＝∠BCD，∵CF平分∠DCG，∴∠DCF＝45°，∴∠ECF＝135°，∵BH＝BE，AB＝BC，∴∠BHE＝∠BEH＝45°，AH＝CE，∴∠AHE＝∠ECF＝135°，∵AE⊥EF，∴∠AEB+∠FEC＝90°，∵∠AEB+∠BAE＝90°，∴∠FEC＝∠BAE，∴△AHE≌△ECF（ASA），∴AE＝EF；（2）如图3，在BA的延长线上取一点N，使AN＝CE，连接NE．∵AB＝BC，AN＝CE，∴BN＝BE，∴∠N＝∠FCE＝45°，∵四边形ABCD是正方形，∴AD∥BE，∴∠DAE＝∠BEA，∴∠NAE＝∠CEF，在△ANE和△ECF中，，∴△ANE≌△ECF（ASA）∴AE＝EF，故答案是：是；（3）如图4，在BA上截取BH＝BE，连接HE，过点F作FM⊥x轴于M，设点E（a，0），∴BE＝a＝BH，∴HE＝a，由（1）可得△AHE≌△ECF，∴CF＝HE＝a，∵CF平分∠DCM，∴∠DCF＝∠FCM＝45°，∵FM⊥CM，∴∠CFM＝∠FCM＝45°，∴CM＝FM＝＝a，∴BM＝1+a，∴点F（1+a，a），∵点F恰好落在直线y＝﹣2x+3上，∴a＝﹣2（1+a）+3，∴a＝，∴点E（，0）．13．解：（1）∵A（﹣1，3），B（3，3），C（2，﹣2），3×（﹣1+2）＝3，3×（3﹣2）＝3，∴点B是A、C的“美妙点”；（2）设点D（m，m+3），①∵M是点D、E的“美妙点”．∴x＝3（3+m）＝9+3m，y＝3（0+m+3）＝m+9，∴m＝x﹣3，∴y＝（x﹣3）+9＝x+；②由①得，点M（9+3m，m+9），如图1，当∠MEF为直角时，则点M（3，6），∴9+3m＝3，解得：m＝﹣2；∴点D（﹣2，2）；当∠MFE是直角时，如图2，则9+3m＝m，解得：m＝﹣，∴点D（﹣，）；综上，点D（﹣2，2）或（﹣，）．14．解：（1）①由题意得：1+＝2，2×1+2＝4，则点P'的坐标为P'（2，4），故答案为：（2，4）；②设点P的坐标为P（a，b），由题意得：，可得4k＝4，即k＝1，∴a+b＝4，当a＝1时，b＝4﹣a＝3，此时点P的坐标为P（1，3），故答案为：（1，3）（答案不唯一）；（2）由题意，设点P的坐标为P（c，0），且c＞0则点P'的坐标为P′（c+，kc+0），即P'（c，kc），∴OP＝c，PP'＝|kc|＝|k|c，∵OP＝2PP'，∴c＝2|k|c，即2|k|＝1，解得k＝±，故答案为：±；（3）设点B的坐标为B（x，y），则点A的坐标为A（x﹣y，﹣x+y），∵点A在函数y＝x+2+2的图象上，∴−x+y＝（x−y）+2+2，整理得：y＝x+2，则点B在直线y＝x+2上，如图，过点Q作直线y＝x+2的垂线，垂足为点B，则此时线段BQ最短，设直线y＝x+2与x轴交于点C，与y轴交于点D，则C（﹣2，0），D（0，2），∴OC＝OD，∴∠ODC＝∠OCD＝45°，DQ＝2，∴∠BDQ＝45°，∴BD＝，过点B作BH⊥y轴于H，∴BH＝DH＝1，∴OH＝3，∴B（1，3），∴点A的坐标为A（﹣2，2）．15．解：（1）①如图：∵b＝﹣2，∴点B的坐标为（﹣2，0），∵点A的坐标为（1，2），∴由矩形的性质可得：点A，B的“相关矩形”的面积＝（1+2）×2＝6，故答案为：6；②如图：由矩形的性质可得：点A，B的“相关矩形”的面积＝|b﹣1|×2＝8，∴|b﹣1|＝4，∴b＝5或b＝﹣3，故答案为：5或﹣3；（2）过点A（1，2）作直线y＝﹣1的垂线，垂足为点G，则AG＝3，∵点C在直线y＝﹣1上，点A，C的“相关矩形”AGCH是正方形，∴正方形AGCH的边长为3，当点C在直线x＝1右侧时，如图：∴CG＝AG＝3，∴C（4，﹣1），设直线AC的表达式为：y＝kx+b，则，解得：，∴直线AC的表达式为：y＝﹣x+3，当点C在直线x＝1左侧时，如图：∴CG＝AG＝3，∴C（﹣2，﹣1），设直线AC的表达式为：y＝k′x+b'，则，解得：，∴直线AC的表达式为：y＝x+1，综上所述，直线AC的表达式为：y＝﹣x+3或y＝x+1；16．解：（1）x≠0．故答案为：x≠0．（2）x＝0.5时，m＝0.25+2＝2.25，x＝1时，n＝1+1＝2，故答案为：2.25，1．（3）函数图象如图所示：（4）当x＜0时，y随x的增大而减小．（5）观察图象可知方程的所有实数根为x＝﹣0.5或1或1.8．故答案为：x＝﹣0.5或1或1.8．17．解：（1）过点B分别作x轴、y轴的垂线，垂足为D、C，如答图1．则矩形ODBC为△OAB的投影矩形，∵B（3，5），∴BD＝5，OC＝3，∴△OAB的投影比k的值为．故答案为：．（2）∵点D在直线y＝﹣2x+4上，∴设点D坐标为（m，﹣2m+4），m＞0，分以下两种情况：①当0≤m≤2时，如答图2．作投影矩形OCQP，∵OC＞QC，∴投影比k＝，得m＝1．故点D坐标为（1，2）；②当2＜m≤4时，如答图3．作投影矩形OCMN，∵OC＞ON，∴投影比k＝，得m＝3．故点D坐标为（3，﹣2）；③当m＞4时，如答图4．作投影矩形OEDF，∵OE＝m，OF＝2m﹣4，∴OF＞OE，∴投影比k＝，解此方程无解．∴当m＞4时，满足条件的点D不存在．综上所述，点D坐标为（1，2）或（3，﹣2）．（3）令y＝x+1中y＝2，解得x＝1．设点P坐标为（m，m+1）．①当m≤1时，作投影矩形P AFB，如答图5所示．∵P A＝3﹣m，F A＝4﹣（m+1）＝3﹣m，∴△PEF的投影比k＝＜2．∴m≤1符合题意；②当1＜m＜2时，作投影矩形CEFD，如答图6所示．∵EF＝4﹣2＝2，EC＝3﹣m，EF＞EC，∴△PEF的投影比k＝，∵1＜m＜2，∴1＜k＜2．∴当1＜m＜2时符合题意；③当2＜m＜3时，作投影矩形GEFH，如答图7所示．∵EF＝4﹣2＝2，EG＝3﹣m，EF＞EG，∴△PEF的投影比k＝，∵2＜m＜3，∴k＞2，不符合题意；④当m＞3时，作投影矩形EIPJ，如答图8所示．∵PI＝m+1﹣2＝m﹣1，EI＝m﹣3，m﹣1＞m﹣3，∴△PEF的投影比k＝，当m＞3时，k＜2．符合题意．综上所述，点P的横坐标m的取值范围是m＜2或m＞3．故答案为：m＜2或m＞3．18．解：（1）∵＝＝2，＝＝4，∴＜，∴D AB＝max{|x A﹣x B|，|y A﹣y B|}＝＝4．故答案为：4．（2）如图1，四边形EFGH边上的所有点均为到点A的识别距离为2的点．（3）【解法1】如图2，点C在直线m上，CQ⊥OA于Q，取点C与点A的“识别距离”的最小值时，根据运算定义：若|x A﹣x B|≥|y A﹣y B|，则点A（x A，y A）与B（x B，y B）的“识别距离”D AB＝|x A﹣x B|；此时，|x A﹣x B|＝|y A﹣y B|，即AQ＝CQ，直线m经过原点O，设直线m解析式为y＝kx，∵直线m经过（1，1），∴k＝1∴直线m解析式为y＝x，设点C（x C，y C），则y C＝x C，根据识别距离的定义，得：1﹣x C＝x C，解得：x C＝，∴y C＝，∴C（，）；如图3，点D在直线n上，DQ⊥OA于Q，取点D与点A的“识别距离”的最小值时，根据运算定义：若|x A﹣x B|≥|y A﹣y B|，则点A（x A，y A）与B（x B，y B）的“识别距离”D AB＝|x A﹣x B|；此时，|x A﹣x B|＝|y A﹣y B|，即AQ＝DQ，直线n经过（﹣2，1），（0，2），可求得直线n解析式为y＝x+2，设D（x D，+2），则：1﹣x D＝+2解得：x D＝，∴y D＝，∴D（，）；如图4，直线p经过（1，﹣3），（2，﹣1），运用待定系数法可得：直线p解析式为：y ＝2x﹣5，设点E（x E，2x E﹣5），则：x E﹣1＝0﹣（2x E﹣5），解得：x E＝2，∴E（2，﹣1）．综上所述，C（，），D（，），E（2，﹣1）．【解法2】如图2，∵直线m经过（0，0），（1，1），∴直线m上的点横坐标＝纵坐标，∵点C在直线m上，∴C（a，a），∴|a﹣1|＝|a﹣0|，∴a﹣1＝a或a﹣1＝﹣a，解得：a＝，∴C（，）；如图3，∵直线n经过（0，2），（2，3），∴直线n上的点变化规律为横坐标±2，纵坐标±1，∴D（0+b，2+b），∴|b﹣1|＝|2+b﹣0|，∴b﹣1＝2+b或b﹣1＝﹣（2+b），解得：b＝6（舍去）或b＝﹣，∴D（，）；如图4，直线p经过（1，﹣3），（2，﹣1），∴直线n上的点变化规律为横坐标±1，纵坐标±2，∴E（1+k，﹣3+2k），∴|1+k﹣1|＝|﹣3+2k﹣0|，∴k＝2k﹣3或k＝3﹣2k，解得：k＝3（舍去）或k＝1，∴E（2，﹣1）；综上所述，C（，），D（，），E（2，﹣1）．19．解：（1）依题意补全的图形如图1：（2）当x＝40°时，即∠APC＝40°，从图1看∠APD＝90°，∠P AD＝∠BAC＝20°，∴∠PCD＝∠P AD+∠APC＝60°，则∠PDC＝90°﹣60°＝30°＝y，同理可得：x＝60时，y＝10，x＝80时，y＝10，x＝100时，y＝30，故答案为：30，10，10，30；（3）①描点连线绘出函数图象如下（图2）：②从图上看，当y＝50时，x＝20或120，故答案为20或120；（4）当x＞70时，从图象看，函数为一次函数，设函数的表达式为y＝kx+b，将（70，0）、（80，10）代入上式并解得，故函数的表达式为y＝x﹣70；当x＜70时，同理可得：函数的表达式为y＝﹣x+70，故答案为：y＝．20．解：（1）由题意得：x+2≥0且x≠0，解得x≥﹣2且x≠0，故答案为x≥﹣2且x≠0；1（2）当x＝﹣1时，y＝＝＝﹣1＝m，故答案为﹣1；（3）描点连线绘出如下函数图象：（4）从图象看，在每个象限内，函数y随x增大而减小，故答案为在每个象限内，函数y随x增大而减小（答案不唯一）；（5）在（3）的基础上，画出y＝x+4的图象，从图象看，两个函数有1个交点，故答案为1．。

2022年九年级数学中考专题训练—一次函数的综合附解析

中考专题训练—一次函数的综合附解析1．已知，在平面直角坐标系中，直线l 的解析式为4y mx =-，它与y 轴交于点B ．(1)若点(),0m 在直线l 上，求出直线l 的解析式；(2)当22x -≤≤时，函数值y 的最大值为m ，求m 的值；(3)若B 点关于x 轴的对称点为A ，过A 作AH l ⊥于点H ，令直线AH 与y 轴的夹角为α，当3045α︒≤≤︒时，直接写出m 的取值范围．2．已知一次函数y ＝kx +b 图像经过点A （2，0）、B （0，2），回答下列问题：(1)求一次函数解析式．(2)在函数y ＝kx +b 图像上有两个点（a ，2）、（b ，3），请说明a 与b 的大小关系．(3)以AB 为直角边作等腰直角△ABC ，点C 不与点O 重合，过点C 的反比例函数的解析式为y ＝kx，请直接写出点C 的坐标以及过点C 的反比例函数的解析式．(4)是否在x 轴上找一点C ，使S △ABC ＝2S △ABO ，若存在，写出点C 坐标若不存在，请说明理由．3．一次函数11y ax a =-+（a 为常数，且a ≠0）．(1)若点（﹣1，3）在一次函数11y ax a =-+的图像上，求a 的值；(2)若0a >，当12x -≤≤时，函数有最大值5，求出此时一次函数1y 的表达式；(3)对于一次函数224y kx k =+-（0k ≠），若对任意实数x ，12y y >都成立，求k 的取值范围．4．随着信息技术的飞速发展，“互联网+”渗透到我们日常生活的各个领域，网上在线学习交流已成为我们日常学习的一种常用方式．现有某教学网站策划了A ，B 两种上网学习的月收费方式：设每月上网学习时间为x 小时，方案A ，B 的收费金额分别为A y ，B y ．收费方式月使用费/元包时上网时间/h超时费/（元/min ）A 7250.01Bm n0.01(1)如图是B y 与x 之间函数关系的图像，请根据图像填空：m =___________，n =___________；(2)分别求出A y ，B y 与x 之间的函数关系式；(3)选择哪种方式上网学习合算，请说明理由？5．已知一次函数1y kx b =+的图像与反比例函数2my x=的图像交于第一、三象限内的A 、B 两点，其中点(1,4)A ，(2,)B n -．(1)求反比例函数和一次函数的解析式，画出一次函数与反比例函数的图像；并写出一次函数1y kx b =+的一条性质：；(2)过A 作AC x ⊥轴于点C ，连接BC ，求三角形ABC 的面积；(3)当12y y ≥时，请直接写出x 的取值范围．6．定义：如果在给定的自变量取值范围内，函数既有最大值，又有最小值，则称该函数在此范围内有界，函数的最大值与最小值的差叫做该函数在此范围内的界值．(1)当21x -≤≤时，下列函数有界的是______（只要填序号）；①21y x =-；②2y x=-；③2y x 2x 3=-++．(2)当2m x m ≤≤+时，一次函数()12y k x =+-的界值不大于2，求k 的取值范围；(3)当2a x a ≤≤+时，二次函数223y x ax =+-的界值为94，求a 的值．7．已知函数12y x m =+，2y mx m =-+（m 为常数，0m ≠）．(1)若点()1,1-在1y 的图象上，①求m 的值．②求函数1y 与2y 的交点坐标．(2)当0m >，且210y y <<时，求自变量x 的取值范围．8．2021年春，河南某高校为做好新型冠状病毒感染的防治工作，计划为教职工购买一批洗手液（每人2瓶）．学校派王老师去商场购买，他在商场了解到，某个牌子的洗手液有两种优惠活动：活动一：一律打9折；活动二：当购买量不超过100瓶时，按原价销售；当购买量超过100瓶时，超过的部分打8折．已知所需费用y （元）与购买洗手液的数量x （瓶）之间的函数图象如图所示．（1）根据图象可知，洗手液的单价为元/瓶，请直接写出y 与x 之间的函数关系式；（2）请求出a 的值；（3）如果该高校共有m 名教职工，请你帮王老师设计最省钱的购买方案．9．如图，在平面直角坐标系中，直线y kx b =+交x 轴于点B ，交y 轴于点A ，3OA OB ==．（1）求直线AB 的解析式；（2）如图，点C 在OA 的延长线上，点D 在x 轴的负半轴上，连接CD 交直线AB 于点E ，点E 为线段CD 的中点，设点D 的横坐标为t ，点C 的纵坐标为d ，求d 与t 的函数解析式；（3）如图，在（2）的条件下，过点E 作EF x ⊥轴于点F ，点G 在OB 的延长线上，点M 为EB 的中点，连接MG 并延长交线段EF 于点H ，点N 在AB 的延长线上，连接NG 、DN 、CM ，MNG ∠为钝角，若,,2FG d ACM GDN MG NG =∠=∠=，求点G 的坐标．10．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 1：y=mx(m≠0)与直线l 2：y=ax+b(a≠0)相交于点A （1，2），直线l 2与x 轴交于点B （3，0）．（1）分别求直线l 1和l 2的表达式；（2）过动点P （0，n ）且平行于x 轴的直线与l 1，l 2的交点分别为C ，D ，当点C 位于点D 左方时，写出n 的取值范围．11．某工厂每天工作15个小时，生产线上生产出来的产品数量y （件）与时间x （小时）之间满足210180(09)810(915)x x x y x ⎧-+<≤=⎨<≤⎩；同时，2个包装小组对生产出来的产品进行装箱．(1)生产线生产4小时后，共有____件产品；(2)若每个包装小组每小时装箱20件，求等待装箱的产品最多时有多少件？(3)全部产品完成装箱需要多长时间？若要在15小时内完成产品全部装箱，那么从一开始就应该至少增加几个装箱小组？12．问题探究：嘉嘉同学根据学习函数的经验，对函数y =-2|x |+5的图象和性质进行了探究．下面是嘉嘉的探究过程，请你解决相关问题：(1)如图，嘉嘉同学在平面直角坐标系中，描出了以表中各对对应值为坐标的点，请你根据描出的点，画出该函数的图象：若A （m ，n ），B （6，n ）为该函数图象上不同的两点，则m =；(2)观察函数y =-2|x |+5的图象，写出该图象的两条性质；(3)直接写出，当0＜-2|x |+5≤3时，自变量x 的取值范围．13．随着国内疫情得到有效控制，某产品的销售市场逐渐回暖．某经销商与生产厂家签订了一份该产品的进货合同，约定一年内进价为0.1万元/台．根据市场调研得知，一年内该产品的售价y （万元/台）与签约后的月份数x （1≤x ≤12且为整数）满足关系式：0.050.40.2x y -+⎧=⎨⎩14412x x ≤<⎫⎬≤≤⎭．估计这一年实际每月的销售量p （台）与月份x 之间存在如图所示的变化趋势．(1)求实际每月的销售量p （台）与签约后的月份数x 之间的函数表达式；(2)求前4个月中，第几个月的利润为6万元？(3)请估计这一年中签约后的第几个月实际销售利润W 最高，最高为多少万元？14．在平面直角坐标系xOy 中，对于点P （x ，y ）和Q （x ，y ′），给出如下定义：如果y ′＝(0)(0)y x y x ≥⎧⎨-<⎩，那么称点Q 为点P 的“关联点”．例如点（5，6）的“关联点”为点（5，6），点（-5，6）的“关联点”为点（-5，-6）．(1)在点E （0，0），F （2，5），G （-1，-1），H （-3，5）中，的“关联点”在函数y ＝2x +1的图象上；(2)如果一次函数y ＝x +3图象上点M 的“关联点”是N （m ，2），求点M 的坐标；(3)如果点P 在函数y ＝-x 2+4（-2＜x ≤a ）的图象上，其“关联点”Q 的纵坐标y ′的取值范围是-4＜y ′≤4，求实数a 的取值范围．15．问题：探究函数|2|1y x +=-的图象和性质小华根据学习函数的方法和经验，进行了如下探究，下面是小华的探究过程，请补充完整：(1)下表是y 与x 的几组对应值，请将表格补充完整：x …-5-4-3-2-10123…y…21mn-2-112…表格中m 的值为，n 的值为.(2)如图，在平面直角坐标系中描点并画出此函数的图象；(提示：先用铅笔画图，确定后用签字笔画图)(3)进一步探究：观察函数的图象，可以得出此函数的如下结论：①当自变量x 时，函数y 随x 的增大而增大；②当自变量x 的值为时，y =3；③解不等式|1|20x +-<的结果为16．问题：探究函数y ＝|x +1|﹣2的图象与性质．小明根据学习函数的经验，对函数y ＝|x +1|﹣2的图象与性质进行了研究．下面是小明的研究过程，请补充完整．（1）自变量x 的取值范围是全体实数，x 与y 的几组对应值列表如下：x …﹣5﹣4﹣3﹣2﹣10123…y…21﹣1m﹣1n2…其中，m ＝，n ＝；（2）在如图所示的平面直角坐标系中，描出表中各对对应值为坐标的点，并根据描出的点，画出该函数的图象，并写出该函数的两条性质；（3）在同一坐标系中直接画出函数y ＝|x |的图像，并说明它是由函数y ＝|x +1|﹣2如何平移得到的．17．在一次函数学习中，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，结合图象研究函数性质的过程．小红对函数1(3)2(3)x x y x -<⎧=⎨≥⎩的图象和性质进行了如下探究，请同学们认真阅读探究过程并解答：（1）请同学们把小红所列表格补充完整，并在平面直角坐标系中画出该函数的图象：（2）根据函数图象，以下判断该函数性质的说法，正确的有．①函数图象关于y 轴对称；②此函数无最小值；③当x ＜3时，y 随x 的增大而增大；当x ≥3时，y 的值不变．（3）若直线y ＝12x +b 与函数y ＝1(3)2(3)x x x -<⎧⎨≥⎩的图象只有一个交点，则b ＝．18．问题：探究函数y＝|x﹣1|+1的图象与性质．小东根据学习一次函数的经验，对函数y＝|x﹣1|+1的图象与性质进行了探究：（1）在函数y＝|x﹣1|+1中，自变量x可以是任意实数，如表是y与x的几组对应值．x……﹣4﹣3﹣2﹣10n234……y……65432123m……①表格中n的值为，m的值为；②在平面直角坐标系中画出该函数的图象；（2）结合函数图象，写出该函数的两条性质．19．在一次函数学习中，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，结合图象研究函数性质并对其性质进行应用的过程．小华根据学习函数的经验，对函数y＝|x|﹣2的图象与性质进行了探究．请同学们阅读探究过程并解答：在函数y＝|x|﹣2中，自变量x可以是任意实数．（1）下表是y与x的几组对应值：x…﹣3﹣2﹣10123…y…10m﹣2﹣10n…m＝_____，n＝_____；在平面直角坐标系xOy中，描出表中各组对应值为坐标的点．并根据描出的点，画出该函数的图象；（2）根据函数图象可得：①当x＝_____时，y有最小值为_____；②请写出该函数的一条性质；③如果y ＝|x |﹣2的图象与直线y ＝k 有两个交点，则k 的取值范围是_____．20．某同学对函数11||2y x =，21||22y x =-，31||12y x =+的图象和性质进行探究：无论x 为何值时，函数均有意义，所得自变量与函数的对应值如表．x …﹣3﹣2﹣10123…y 1… 1.510.500.51 1.5…y 2…﹣0.5﹣1m ﹣2﹣1.5﹣1﹣0.5…y 3…2.5n1.511.522.5…（1）表中m ＝，n ＝；（2）根据表中数据，补画函数图象位于y 轴左边的部分．（3）归纳函数1||2y x b =+的性质：①函数1||2y x b =+与y 轴交点坐标是；②当x时，y 随x 的增大而增大；当x时，y 随x 的增大而减小．（4）类比上述探究函数的图象与性质的过程，探究并写出函数||(0)y k x b k =+<的性质；①；②；．（5）对于函数1||62y x =-+，若函数值1y >，请直接写出自变量x 的取值范围：．参考答案：1．(1)直线的解析式为：y=2x-4或y=-2x-4；(2)43m=-或4m=；13m≤≤或13m-≤≤-【分析】（1）将点(m，0)代入y=mx-4，求出m的值，即可得直线l的解析式；（2）分三种情况：①当m<0时，②当m=0时，③当m>0时，根据一次函数的性质即可求解；（3）由y=mx-4可得它与：x轴交点C(m，0)，分三种情况：①当m=0时，②当m>0时，③当m<0时，根据含30°角的直角三角形的性质即可求解．（1）∵点(m，0)在直线l上，代入解析式y=mx-4，得：240m-=，∴m=±2，∴直线的解析式为y=2x-4或y=-2x-4；（2）m＜0时，y随着x的增大而减小，∴x=-2时，函数值y的值最大，最大值为m，∴m=-2m-4，∴43 m=-；m=0时，直线的解析式为y=-4，∴此种情况不存在；m>0时，随着x的增大而增大，∴x=2时，函数值y的值最大，最大值为m，∴m=2m-4，∴4m=综上，43m=-或4m=；（3）由题意可得，直线l 与y 轴交于点B (0，-4)，∵点A 为B 点关于x 轴的对称点，∴A (0，4)，设直线l 与x 轴交于点C ，当y =0时，mx -4=0，∴4x m =，∴4(,0)C m，m =0时，直线l 为y =-4，与x 轴平行，AH 即为y 轴，不满足题目条件的3045α︒≤≤︒，故0m ≠；0m >时，若30α=︒，则30BAH ∠=︒，∴60ABH ∠=︒，∴30OCB ∠=︒，∴OC =∴4m=解得3m =，若45α=︒，则45BAH ∠=︒，∴45ABH ∠=︒，∴4OC OB ==，∴44m=，解得1m =，∴当3045α︒≤≤︒1m ≤≤；0m <时，若30α=︒，则30BAH ∠=︒，∴60ABH ∠=︒，∴30OCB ∠=︒，∴OC =∴4m=-解得m =若45α=︒，则45BAH ∠=︒，∴45ABH ∠=︒，∴4OC OB ==，∴44m-=，解得1m =-，∴当3045α︒≤≤︒时，1m -≤≤-综上，当3045α︒≤≤︒时，m 1m ≤≤或1m -≤≤【点评】本题是一次函数综合题，考查了一次函数的性质，一次函数图像上点的坐标特征，含30°角的直角三角形的性质，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．2．(1)y ＝−x ＋2；(2)a ＞b ；(3)点C 的坐标为（2，4）或（4，2），过点C 的反比例函数的解析式为：y ＝8x；(4)存在，点C 坐标为（−2，0）或（6，0）．【分析】（1）根据待定系数法求解即可；（2）根据一次函数的增减性判断即可；（3）画出图形，根据等腰直角三角形的性质求出符合题意的点C 的坐标，再利用待定系数法求出过点C 的反比例函数解析式；（4）根据2ABC ABO S S = 可知BC ＝2OB ＝4，然后分情况求解即可．（1）解：∵一次函数y ＝kx ＋b 图像经过点A （2，0）、B （0，2），∴202k b b +=⎧⎨=⎩，解得：12k b =-⎧⎨=⎩，∴一次函数解析式为y ＝−x ＋2；（2）∵一次函数y ＝−x ＋2中k ＝−1＜0，∴y 随x 的增大而减小，∵2＜3，∴a ＞b ；（3）∵OA ＝OB ＝2，∠AOB ＝90°，∴△AOB 为等腰直角三角形，如图，△CAB ，C AB ' ，C AB '' ，C AB ''' 都是以AB 为直角边的等腰直角三角形，∵△AOB 为等腰直角三角形，∴AOC '' ，BOC ''' 为等腰直角三角形，∴点C ''的坐标为（−2，0），点C '''的坐标为（0，−2），∵这两个点在坐标轴上，∴不符合题意；过点C 作CD ⊥x 轴于点D ，在△AOB 和△CDB 中，9045AOB CDB ABO CBD AB CB ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，∴△AOB ≌△CDB （AAS ），∴BD ＝OB ＝2，CD ＝OA ＝2，∴点C 的坐标为：（4，2），设过点C 的反比例函数的解析式为：y ＝k x ，则k ＝4×2＝8，则过点C 的反比例函数的解析式为：y ＝8x ，同理可得：点C '的坐标为：（2，4），过点C '的反比例函数的解析式为：y ＝8x，综上所述：点C 的坐标为（2，4）或（4，2），过点C 的反比例函数的解析式为：y ＝8x ；（4）存在，∵点C 在x 轴上，2ABC ABO S S = ，∴BC ＝2OB ＝4，∴当点C 在点B 的左侧时，点C 的坐标为（−2，0），当点C 在点B 的右侧时，点C 的坐标为（6，0），综上所述：点C 坐标为（−2，0）或（6，0）．【点评】本题考查的是反比例函数、一次函数的综合运用、等腰直角三角形的性质、待定系数法、坐标与图形性质等知识，灵活运用数形结合思想与分类讨论思想是解题的关键．3．(1)1a =-(2)143y x =-(3)53k <且0k ≠【分析】（1）将点（﹣1，3）代入一次函数解析式，转化为关于a 的一元一次方程并求解即可；（2）由0a >时，y 随x 的增大而增大，可确定当2x =时，函数有最大值，然后代入函数解析式求解即可；（3）由题意可知，两直线应该平行，即有k a =，再根据12y y >列出不等式并求解即可．（1）解：将点（﹣1，3）代入一次函数11y ax a =-+，可得31a a =--+，解得1a =-；（2）∵0a >时，y 随x 的增大而增大，∴当2x =时，函数有最大值，即1=215y a a -+=最大，解得4a =，∴此时一次函数1y 的表达式为143y x =-；（3）由题意可知，0k a =≠，∴11y kx k =-+，∵对任意实数x ，12y y >都成立，∴124k k -+>-，解得53k <，∴k 的取值范围为53k <且0k ≠．【点评】本题主要考查了一次函数解析式与点的关系、一次函数的图像与性质、一次函数与不等式的综合应用等知识，熟练掌握一次函数的性质，灵活运用数形结合的思想分析问题是解题的关键．4．(1)10；50(2)()()70250.6825A x y x x ⎧≤≤⎪=⎨->⎪⎩；()()100500.62050B x y x x ⎧≤≤⎪=⎨->⎪⎩(3)当030x ≤<时，A B y y <，选择A 方式上网学习合算；当30x =时，A B y y =，选择两种方式上网学习一样；当30x >时，A B y y >，选择B 方式上网学习合算．理由见解析【分析】（1）观察函数图像，即可找出m 、n 的值；（2）分025x ≤≤和25x >两段来考虑A y 与x 之间的函数关系式，合并在一起即可得出结论；分050x ≤≤和50x >两段来考虑B y 与x 之间的函数关系式；（3）令10A y =求出x 的值，再结合710<、810->-，即可得出结论．（1）解：当0x =时，10y =，∴10m =，∵当50x =时，折线拐弯，∴50n =．故答案为：10；50．（2）解：当025x ≤≤时，7A y =，当25x >时，()725600.010.68A y x x =+-⨯⨯=-，∴A y 与x 之间的函数关系式为：()()70250.6825A x y x x ⎧≤≤⎪=⎨->⎪⎩；当050x ≤≤时，10B y =．当50x >时，()1050600.010.620B y x x =+-⨯⨯=-，∴B y 与x 之间的函数关系式为：()()100500.62050B x y x x ⎧≤≤⎪=⎨->⎪⎩．（3）解：当025x ≤≤时，7A y =，10B y =，∵710<∴A B y y <，∴选择A 方式上网学习合算，当2550x <≤时，A B y y =，即0.6810x -=，解得：30x =，∴当2530x <<时，A B y y <，选择A 方式上网学习合算，当30x =时，A B y y =，选择两种方式上网学习一样，当3050x <≤是，A B y y >，选择B 方式上网学习合算当50x >时，∵0.68A y x =-，0.620B y x =-，820->-∴A B y y >，∴选择B 方式上网学习合算．综上所述：当030x ≤<时，A B y y <，选择A 方式上网学习合算，当30x =时，A B y y =，选择两种方式上网学习一样，当30x >时，A B y y >，选择B 方式上网学习合算．【点评】本题考查一次函数的应用，得到两种收费方式的关系式是解决本题的关键．注意较合算的收费的方式应通过具体值的代入得到结果．5．(1)4y x=；y ＝2x ＋2；y 随x 的增大而增大(2)6(3)−2≤x ＜0或x ≥1【分析】（1）利用待定系数法即可求得函数的解析式；（2）利用三角形面积公式求得即可；（3）根据图像即可求得．（1）∵反比例函数2m y x=的图像过点(1,4)A ，(2,)B n -，∴m ＝1×4＝−2n ，∴m ＝4，n ＝−2，∴反比例函数为4y x =，B （−2，−2），把点A （1，4），B （−2，−2）代入1y kx b =+得422k b k b +=⎧⎨-+=-⎩，解得22k b =⎧⎨=⎩，∴一次函数的解析式为y ＝2x ＋2，画出一次函数与反比例函数的图像，如图所示，一次函数y ＝2x ＋2的图像中，y 随x 的增大而增大，故答案为：y 随x 的增大而增大；（2）∵AC ⊥x 轴于点C ，A （1，4），B （−2，−2），∴AC ＝4，∴S △ABC ＝12×4×(1＋2)＝6；（3）由函数图像可得，当y 1≥y 2时，x 的取值范围是−2≤x ＜0或x ≥1．【点评】此题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了待定系数法求函数解析式以及三角形面积，正确利用数形结合分析是解题关键．6．(1)①③(2)21k -≤<-或10k -≤<，函数2y x =-(3)34-或14-【分析】（1）利用函数有意义时自变量x 的取值范围结合有界函数的定义判定；（2）分情况讨论，①k ＞0时；②k ＜0时，然后求出x =m 和x =m +2时的函数值，再结合有界函数与界高的定义列出方程求得k 的取值，最后得到一次函数的解析式；（3）先求得二次函数的对称轴，得到函数的增减性，从而求得a ≤x ≤a +2时的最大值与最小值，再结合界值为94求得a 的值．（1）解：函数21y x =-，∵2＞0，∴y 随x 的增大而增大，；∵21x -≤≤，∴()min max 2215,2111y y =⨯--=-=⨯-=，∴①有界；函数2y x =-，-2＜0，∴函数的图像在第二、第四象限，在每个象限内，y 随x 的增大而增大，212y ∴≥-=-或221y ≤-=∴②无界如图，函数2y x 2x 3=-++的称轴为()2121x =-=⨯-，∵-1＜0，∴当1x ≤时，y 随x 增大而增大，21x -≤≤ ()()22min max 22235,12136y y ∴=--+⨯-+=-=+⨯+=，如图，∴③有界；故答案为：①③．（2）解：当x m =时，()12y k m =+-；当1x m =+时，()()112y k m =++-．①当10k +>时，即1k >-时，y 随x 的增大而增大，由题意得()()()122122k m k m ++--+-≤⎡⎤⎣⎦，解得，0k ≤．∴10k -≤<．②当10+<k 时，即1k <-时，y 随x 的增大而减小，由题意得()()()121222k m k m +--++-≤⎡⎤⎣⎦，解得，2k ≥-．∴21k -≤<-．∴k 的取值范围为21k -≤<-或10k -≤<．（3）解：∵()222233y x ax x a a =+-=+--，∴该抛物线开口向上，对称轴为22a x a =-=-．∴当x a >-时，y 随x 的增大而增大；当x a <-时，y 随x 的增大而减小．令x a =，得233y a =-；令2x a =+，得2381y a a =++；令x a =-，得23y a =--．①当a a -<，即0a >时，由题意得，()229381334a a a ++--=，解得732a =-（舍去）；②当1a a a ≤-<+，即102-<≤a 时，由题意得，()22938134a a a ++---=，解得114a =-，274a =-（舍去）；③当12a a a +≤-<+，即112a -<≤-时，由题意得，()2293334a a ----=，解得134a =-，234a =（舍去）；④当2a a -≥+，即1a ≤-时，由题意得，()229333814a a a --++=，解得2532a =-（舍去）．综上所述，a 的值为34-或14-．【点评】本题考查了二次函数的性质、一次函数与反比例函数图象上点的坐标特征、二次函数的增减性，解题的关键是熟练利用函数的性质进行分类讨论．7．(1)①3m =；②()0,3；(2)01x <<【分析】（1）①将点()1,1-代入12y x m =+求解即可；②令1y =2y ，即2333x x +=-+，求解即可；（2）根据210y y <<，建立不等式组，求解即可．(1)①将点()1,1-代入12y x m =+得，12m=-+解得3m =所以，m 的值为3；②3m = ∴123y x =+，233y x =-+令1y =2y ，即2333x x +=-+解得0x =3y ∴=∴函数1y 与2y 的交点坐标为()0,3；(2)210y y << 02mx m x m∴<-+<+ 0m >解得01x <<所以，自变量x 的取值范围为01x <<．【点评】本题考查了待定系数法求函数解析式，一次函数图象的交点坐标及函数图象上的点的特征，熟练掌握知识点是解题的关键．8．（1）4，1 3.6y x =，()24(100)3.280100x x y x x ≤⎧=⎨+>⎩．（2）720a =元；（3）当100m <时选活动一：一律打9折合算；当100m =时选活动一：活动二均可，当100m >时选活动二合算．【分析】（1）利用购买100瓶费用400元，洗手液的单价为400÷100=4元/瓶，根据单价×件数=费用均可列出函数均可；（2）利用两函数值相等联立方程组 3.63.280a x a x =⎧⎨=+⎩，解方程组均可；（3）该高校共有m 名教职工，教职工购买一批洗手液（每人2瓶）．一共买2m 瓶分类三种情况两函数作差比较均可．【详解】解：（1）400元购买100瓶，洗手液的单价为400÷100=4元/瓶，19410y x =⨯⋅，1 3.6y x =，()24(100)3.280100x x y x x ≤⎧=⎨+>⎩，故答案为4，1 3.6y x =，()24(100)3.280100x x y x x ≤⎧=⎨+>⎩．（2）联立 3.63.280a x a x =⎧⎨=+⎩，解得720{200a x ==，∴720a =；（3）该高校共有m 名教职工，教职工购买一批洗手液（每人2瓶）．一共买2m 瓶，当2200m <时，即100m <时选活动一：一律打9折合算；∵12 3.6242 1.6050y y m m m m -=⨯-⨯=-<≤，；()12 3.62 3.22800.880050100y y m m m m -=⨯-⨯-=-<<≤；当100m =时选活动一：活动二均可，()12 3.62 3.22800.8800100y y m m m m -=⨯-⨯-=-==；当100m >时选活动二合算，()12 3.62 3.22800.8800100y y m m m m -=⨯-⨯-=->>．【点评】本题考查列一次函数关系，利用一次函数值相等联立方程组，解方程组，根据函数自变量的取值范围进项方案设计，掌握列一次函数关系的方法，利用函数值相等联立方程组，解方程组，根据函数自变量的取值范围进项方案设计．9．（1）y=-x+3；（2）d=-t+6；（3）（6，0）【解析】（1）由题意可得A 、B 坐标，再利用待定系数法可得直线AB 的解析式；（2）由题意可得E 点坐标为（0.5t ，0.5d ）,再根据E 在直线AB 上可得d 与t 的函数解析式；（3）由题意可得△ACM ∽△NDG ，再根据已知条件可得OG=2OB ，从而得到G 点坐标．【详解】解：（1）∵直线y=kx+b 交x 轴于点B ，交y 轴于点A ，OA=OB=3．∴A （0，3）、B （3，0），将A 、B 两点坐标代入y=kx+b 得：b=3，3k+b=0，∴k=-1，∴直线AB 的解析式为：y=-x+3；（2）由题意得：D （t,0）、C （0，d ）,∵E 是CD 中点，∴E 为（,22t d ），又E 在直线AB 上，∴322d t =-+，整理得：d=-t+6，∴d 与t 的函数解析式：d=-t+6；（3）由已知得F 为（,02t ），∵点M 为EB 中点，∴M 点坐标为（6,44t d +）,∵FG=d ，设G （x,0），∴x-0.5t=d ，∴x=0.5t+d ，又∵∠MNG 为钝角，∠ACM=∠GDN,MG=2NG∴△ACM ∽△NDG ，∴OG=2OB ，∴G 点坐标为（6，0）．【点评】本题考查一次函数的应用，熟练掌握一次函数的性质和解析式的求法是解题关键．10．（1）直线l 1的表达式为y=2x ；（2）直线l 2的表达式为y=-x+3；（2）n 的取值范围是n<2．【分析】（1）利用待定系数法求直线l 1，l 2的表达式；（2）直线在点A 的下方时符合条件，根据图象写出结果．【详解】解：（1）∵点A （1，2）在l 1：y=mx 上，∴m=2，∴直线l 1的表达式为：y=2x ；∵点A （1，2）和B （3，0）在直线l 2：y=ax+b 上，∴a 230b a b +=⎧⎨+=⎩解得：a 13b =-⎧⎨=⎩，∴直线l 2的表达式为：y=-x+3；（2）由图象得：当点C 位于点D 左方时，n 的取值范围是：n ＜2．【点评】本题考查用待定系数法求解函数解析式、两直线平行和相交的问题，明确待定系数法只需把所给的点的坐标代入函数表达式列方程或方程组解出即可，同时利用数形结合的思想求n 的取值．11．(1)560(2)490件(3)20.25小时，至少增加1个包装小组【分析】（1）把4x =代入210180,y x x =-+从而可得答案；（2）设第x 小时后等待装箱的产品为W 件，可得40,W y x =-再建立函数关系式为()()21014009=81040915x x x W x x ì-+<£ïíï-<£î，再利用函数的性质可得到最大值；（3）由810400,x -=可得全部产品完成装箱需要20.25小时，设从开始就至少增加m 个包装小组，再列不等式()15202810,m ´+³从而可得答案．(1)解：当4x =时，2101801016720560y x x =-+=-´+=，所以生产线生产4小时后，共有560件产品；(2)解：设第x 小时后等待装箱的产品为W 件，则40,W y x =-()()21014009=81040915x x x W x x ì-+<£ï\íï-<£î当09x <≤时，()2210140107490,W x x x =-+=--+所以当7x =时，函数最大值为490，当915x <≤时，81040,W x =-40,k =-Q W 随x 的增大而减小，210450,W \£<所以等待装箱的产品最多时有490件(3)解：由810400,x -=解得：20.25x =，所以全部产品完成装箱需要20.25小时，设从开始就至少增加m 个包装小组，则()15202810,m ´+³解得：0.7m ³m 为整数，1m ∴=答：从开始就至少增加1个包装小组．【点评】本题考查的是一次函数与二次函数的综合应用，二次函数的性质，一元一次不等式的应用，理解题意，列出函数关系式与不等式是解本题的关键．12．(1)图见解析，6-(2)该图象的两条性质：1、函数25y x =-+的图象关于y 轴对称；2、当0x ≤时，y 随x 的增大而增大；当0x >时，y 随x 的增大而减小(3) 2.51x -<≤-或1 2.5x ≤<【分析】（1）将各点连接起来，画出该函数的图象；将点(6,)B n 代入函数的解析式求出n 的值，再将点(,)A m n 代入函数的解析式即可得；（2）分析函数的对称性和增减性即可得；（3）先求出0y =和3y =时，x 的值，再结合函数图象即可得．(1)解：将各点连接起来，画出该函数的图象如下：(,),(6,)A m n B n Q 为该函数图象上不同的两点，6m ∴≠，将点(6,)B n 代入25y x =-+得：6257n =-⨯+=-，将点(,7)A m -代入25y x =-+得：257m -+=-，解得6m =-或6m =（舍去），故答案为：6-．(2)解：该图象的两条性质：1、函数25y x =-+的图象关于y 轴对称；2、当0x ≤时，y 随x 的增大而增大；当0x >时，y 随x 的增大而减小．(3)解：对于函数25y x =-+，当0y =时，250x -+=，解得 2.5x =或 2.5x =-，当3y =时，253x -+=，解得1x =或1x =-，结合图象可知，当0253x <-+≤时， 2.51x -<≤-或1 2.5x ≤<．【点评】本题考查了一次函数的图象与性质、一次函数与不等式组，熟练掌握函数的图象与性质是解题关键．13．(1)()()540142124x 12x x p x ⎧-+≤⎪=⎨+≤≤⎪⎩＜(2)第2月获利6万元(3)这一年中签约后的第1个月实际销售利润W 最高，最高为8.75万元【分析】（1）分段利用待定系数法求一次函数解析式当1≤x ＜4，p kx b =+，过点(0，40)，（4，20）代入得40420b k b =⎧⎨+=⎩，当4≤x ≤12，p k x b 11=+，过点（4，20），（12，36），代入得11114201236k b k b +=⎧⎨+=⎩解方程组即可；（2）设利润用w 表示，根据每台利润（售价-进价）×销售台数列出w =（-0.05x +0.4-0.1）（-5x +40），然后求函数值即可；（3）根据销售利润=每台利润（售价-进价）×销售台数，得出销售利润w =()()()()()()0.050.40.1540140.2-0.12x 12412x x x x ⎧-+--+≤⎪⎨+≤≤⎪⎩＜，分段确定函数的最值，再比较即可．(1)解：当1≤x ＜4，p kx b =+，过点(0，40)，（4，20）代入得：40420b k b =⎧⎨+=⎩，解得：405b k =⎧⎨=-⎩，∴p x 540=-+，当4≤x ≤12，p k x b 11=+，过点（4，20），（12，36），代入得：11114201236k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得：11212k b =⎧⎨=⎩，p x 212=+，∴()()540142124x 12x x p x ⎧-+≤⎪=⎨+≤≤⎪⎩＜，(2)解：设利润用w 表示，w =（-0.05x +0.4-0.1）（-5x +40）当x =1，w =（-0.05+0.4-0.1）（-5+40）=8.75，当x =2，w =（-0.05×2+0.4-0.1）（-5×2+40）=6，当x =3，w =（-0.05×3+0.4-0.1）（-5×3+40）=3.75，当x =4，w =（-0.05×4+0.4-0.1）（-5×4+40）=2，第2月获利5万元(3)解：销售利润w =()()()()()()0.050.40.1540140.2-0.12x 12412x x x x ⎧-+--+≤⎪⎨+≤≤⎪⎩＜，当x ≥4时，w =0.2x +1.2，k =0.2＞0，w 随x 的增大而增大，当x =12时，w =3.6（万元），∵3.6＜8.75，∴这一年中签约后的第1个月实际销售利润W 最高，最高为8.75万元，【点评】本题考查分段函数的解析式求法，函数图像获取信息与处理信息，待定系数法求函数解析式，销售利润=每台利润×台数，求函数值，函数的性质，掌握分段函数的解析式求法，函数图像获取信息与处理信息，待定系数法求函数解析式，销售利润=每台利润×台数，求函数值，函数的性质是解题的关键．14．(1)F、H(2)点M(-5，-2)(3)2≤<a【分析】(1)点E(0，0)的“关联点”是(0，0)，点F(2，5)的“关联点”是(2，5)，点G(-1，-1)的“关联点”是(-1，1)，点H(-3，5)的“关联点”是(-3，-5)，将点的坐标代入函数y＝2x+1，看是否在函数图象上，即可求解；(2)当m≥0时，点M(m，2)，则2＝m+3；当m＜0时，点M(m，-2)，则﹣2＝m+3，解方程即可求解；(3)如图为“关联点”函数图象：从函数图象看，“关联点”Q的纵坐标y'的取值范围是-4＜y'≤4，而-2＜x≤a，函数图象只需要找到最大值(直线y＝4)与最小值(直线y＝-4)直线x＝a从大于等于0开始运动，直到与y＝-4有交点结束．都符合要求-4＜y'≤4，只要求出关键点即可求解．(1)解：由题意新定义知：点E(0，0)的“关联点”是(0，0)，点F(2，5)的“关联点”是(2，5)，点G(-1，-1)的“关联点”是(-1，1)，点H(-3，5)的“关联点”是(-3，-5)，将点的坐标代入函数y＝2x+1，得到：F(2，5)和H(-3，-5)在函数y＝2x+1图象上；(2)解：当m≥0时，点M(m，2)，则2＝m+3，解得：m＝-1(舍去)；当m＜0时，点M(m，-2)，-2＝m+3，解得：m＝-5，∴点M(-5，-2)；(3)解：如下图所示为“关联点”函数图象：从函数图象看，“关联点”Q的纵坐标y'的取值范围是-4＜y'≤4，而-2＜x≤a，函数图象只需要找到最大值(直线y＝4)与最小值(直线y＝-4)直线x＝a从大于等于0开始运动，直到与y＝-4有交点结束，都符合要求，∴-4＝-a2+4，解得：a=舍去负值)，观察图象可知满足条件的a的取值范围为：2≤<a【点评】本题考查二次函数的性质，一次函数的性质等知识，解题的关键是理解题意，属于创新题目，读懂题意是解决本类题的关键．15．(1)0，-1(2)见解析(3)①＞-1，②4或-6，③-3＜x＜1【分析】（1）把x=-3，-2分别代入y=|x+1|-2即可得到答案；（2）描出表中以各对对应值为坐标的部分点，然后连线；（3）根据函数图象和性质解决．(1)解：当x=-3时，y=|-3+1|-2=0，则m=0，当x=-2时，y=|-2+1|-2=-1，则n=-1．故答案为：0，-1．(2)函数图象如图所示．(3)①当自变量x ＞-1时，函数y 随x 的增大而增大；②当自变量x 的值为4或-6时，y =3；③解不等式|x +1|-2＜0的结果为-3＜x ＜1．故答案为：＞-1，4或-6，-3＜x ＜1．【点评】本题主要考查了一次函数的性质，一次函数与一元一次不等式，函数图象点的坐标的求法、函数图象的画法以及看函数图象，熟练掌握函数图象点的坐标的求法、函数图象的画法以及看函数图象是解决本题关键．16．（1）2-，1；（2）图见解析；当1x <-时，y 随x 的增大而减小；当1x =-时，函数有最小值2-；（3）图见解析，y x ＝是由函数|2|1y x +=-向左平移1个单位，再向下平移2个单位平移得到的【分析】（1）将x ＝﹣1，x ＝2分别代入函数y ＝|x +1|﹣2即可求m 、n 的值；（2）根据表中的数据，描点连线即可，观察函数图像，写出函数图像的两条性质即可；（3）描点法画出函数y ＝|x |的图像，然后观察图像求解即可．【详解】解：（1）1x =-时，1122m =--+=-，2x =时，1122n =+-=，故答案为2-，1；（2）函数图像如下图：。

中考数学基础题型提分讲练专题28综合能力提升含解析

专题28 综合能力提升专题卷〔时间：90 分钟总分值120 分〕一、选择题〔每题 3 分，共36 分〕1．〔2021·福建厦门一中初二期中〕化简( 2)2 的结果正确的选项是( ) A．﹣2 B．2 C．± 2 D．4【答案】 B【剖析】依照二次根式的性质可得原式=2，应选 B.2．〔2021·黑龙江初三月考〕以低等式正确的选项是〔〕2 A．〔3 〕=3 B．2( 3) =﹣3 C．33 =3 D．〔﹣3 〕2=﹣3【答案】 A【剖析】〔3 〕2=3，A 正确；23 =3，B错误；3 = 27=3 3，C错误；3〔- 3 〕2=3，D错误；应选：A．点睛：此题观察的是二次根式的化简，掌握二次根式的性质：a2 =|a| 是解题的要点．3．〔2021·重庆八中初二开学考试〕估计 2 3+6 2 13的值应在〔〕A．4 和5 之间B．5 和6 之间C．6 和7 之间D．7 和8 之间【答案】 C【剖析】解： 2 3+6 2 13=2+623=2+ 24又因为4＜24＜ 5所以 6＜2+ 24＜7 故答案为 C. 【点睛】此题观察了二次根式的化简，其中明确化简方向和正确的估值是解题的要点 . 4．〔2021· 河南初三期中〕 2 是关于 x 的方程 x2-2mx+3m=0的一个根，并且这个方程的两个根恰好是等腰三角形 ABC 的两条边长，那么三角形 ABC 的周长为〔〕 A ．10 B ．14 C ．10 或 14 D ．8 或 10 【答案】 B 【剖析】2∵2 是关于 x 的方程 x ﹣2mx+3m=0的一个根，2∴2 ﹣4m+3m=，0 m=4， ∴x2﹣8x+12=0，解得 x 1=2，x 2=6．①当 6 是腰时， 2 是底边，此时周长 =6+6+2=14； ②当 6 是底边时， 2 是腰， 2+2＜6，不能够构成三角形．所以它的周长是 14．考点：解一元二次方程 - 因式分解法；一元二次方程的解；三角形三边关系；等腰三角形的性质． 5．〔2021· 保定市乐凯中学初三期中〕假设关于 x 的方程20, 0ax bx c a 的解为 x 2，那么关于 m 的方程223 2 3 0a m mb m mc 的解为〔〕A ． 2B ． 0 或 3C ．1或 2D ． 2 【答案】 C 【剖析】∵关于 x 的方程20, 0ax bx c a 的解为 x 2，∴关于方程223 2 3 0a m mb m mc ，23 2 m m ，∴ m 1 2，m 2 1，应选 C ．【点睛】此题主要观察方程的解的定义，掌握方程的解的定义以及解一元二次方程的方法，是解题的要点．6．〔2021·湖南省新化县明德学校初二期中〕直线y x 3与y 2x 2 的交点为( 5, 8) , 那么方程组y x 3的解为( )y 2x 2A．xy58B．xy31C．{xy3D．无法确定【答案】 A【剖析】∵直线y x 3 与y 2x 2的交点为5, 8 ,∴方程组y x 3y 2x 2的解为xy58应选 A.【点睛】此题主要观察二元一次方程组与一次函数的关系，解题的要点是熟知一次函数交点的含义.7．〔2021·四川初二期末〕直角坐标系中，点P〔x，y〕在第三象限，且P到x 轴和y 轴的距离分别为3、4，那么点P的坐标为〔〕A．〔－3, －4〕B．〔3，4〕C．〔－4，－3〕D．〔4，3〕【答案】 C【剖析】解：∵点P〔x，y〕在第三象限，∴P 点横纵坐标都是负数，∵P 到x 轴和y 轴的距离分别为3、4，∴点P 的坐标为〔-4 ，-3 〕．应选：C．【点睛】此题主要观察了点的坐标，要点是掌握到x 轴的距离=纵坐标的绝对值，到y 轴的距离=横坐标的绝对值．8．〔2021·四川初三〕有七张正面分别标有数字﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3 的卡片，它们除数字不相同外其余全部相同．现将它们反面向上，洗匀后从中随机抽取一张，记卡片上的数字为a，那么使关于x 的一元二次2 2+1〕x2方程x ﹣2〔a﹣1〕x+a〔a﹣3〕＝0 有两个不相等的实数根，且以x 为自变量的二次函数y＝x ﹣〔a﹣a+2 的图象不经过点〔1，0〕的概率是〔〕A．27B．37C．47D．67【答案】 B【剖析】令△＝[ ﹣2〔a﹣1〕] 2﹣4a〔a﹣3〕＝4a+4＞0，解得：a＞﹣1，2∴使关于x 的一元二次方程x ﹣2〔a﹣1〕x+a〔a﹣3〕＝0 有两个不相等的实数根的数有0，1，2，3．当二次函数y＝x2﹣〔a2+1〕x﹣a+2 的图象经过点〔1，0〕时，1﹣〔a2 +1〕﹣a+2＝0，解得：a1＝﹣2，a2＝1，2∴使关于x 的一元二次方程x ﹣2〔a﹣1〕x+a〔a﹣3〕＝0 有两个不相等的实数根，且以x 为自变量的二次 2 2+1〕x﹣a+2 的图象不经过点〔1，0〕的数字为0，2，3，函数y＝x ﹣〔 a∴该事件的概率为37 ，应选B．【点睛】此题观察了概率公式、根的鉴识式以及二次函数图象上点的坐标特点，利用根的鉴识式△＞0 及二次函数图象上点的坐标特点，找出使得事件成立的 a 的值是解题的要点．9．〔2021·山东初三〕如图，A、B、C是小正方形的极点，且每个小正方形的边长为1，那么tan ∠BAC的值为〔〕A．12B．1 C．33D．3【答案】 B【剖析】如图，连接BC，由网格可得AB=BC= 5 ，AC= 10 ，即AB2+BC2=AC2，∴△ABC为等腰直角三角形，∴∠BAC=45°，那么tan ∠BAC=1，应选B．【点睛】此题观察了锐角三角函数的定义，解直角三角形，以及勾股定理，熟练掌握勾股定理是解此题的要点．10．〔2021·河北初三期中〕设α、β是方程x2 x 2021 0的两个实数根，那么 2 2 的值为〔〕A．－2021 B．2021 C．2021 D．－2021【答案】 D【剖析】∵α是方程x 2+x+2021=0 的根，∴α2+α+2021=0，即α2+α=-2021 ，∴α2+2α+β=α2+α+α+β=-2021+α+β，∵α，β是方程x 2+x+2021=0 的两个实数根，∴α+β=-1 ，∴α 2 +2α+β=-2021-1=-2021 ．应选D．【点睛】观察了一元二次方程ax 1，x2 是一元二次方程ax 2+bx+c=0〔a≠0〕的根与系数的关系：x2+bx+c=0〔a≠0〕的根与系数的关系：x2+bx+c=0〔a≠0〕的两根时，x1+x2= ba，x1x2=ca．11．〔2021·长沙外国语学校初三月考〕如图，正方形ABCD和正方形CGFE的极点C，D，E在同一条直线上，极点B，C，G在同一条直线上．O是EG的中点，∠EGC的均分线G H过点D，交BE于点H，连接FH交E G于BC 点M，连接OH．以下四个结论：①GH⊥BE；②△EHM∽△GHF；③2CG ﹣1；④SVHOMSV HOG＝2﹣2 ，其中正确的结论是〔〕A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④【答案】 A【剖析】解：如图，∵四边形ABCD和四边形CGFE是正方形，∴B C＝CD，CE＝CG，∠BCE＝∠DCG，在△BCE和△DCG中，BC CDBCE DCGCE CG∴△BCE≌△DCG〔SAS〕，∴∠BEC＝∠BGH，∵∠BGH+∠CDG＝90°，∠CDG＝∠HDE，∴∠BEC+∠HDE＝90°，∴G H⊥BE．故①正确；∵△EHG是直角三角形，O为EG的中点，∴O H＝O G＝O E，∴点H在正方形CGFE的外接圆上，∵EF＝FG，∴∠FHG＝∠EHF＝∠EGF＝45°，∠HEG＝∠HFG，∴△EHM∽△GHF，故②正确；∵△BGH≌△EGH，∴B H＝EH，又∵O是E G的中点，∴HO∥BG，∴△DHN∽△DGC，DN HNDC CG设EC和OH订交于点N．设HN＝a，那么BC＝2a，设正方形ECGF的边长是2b，那么NC＝b，C D＝2a，b2a a2a2b即a2+2ab﹣b2＝0，解得：a＝b＝〔﹣1+2〕b，或a＝〔﹣1﹣2〕b〔舍去〕，2a2b21BCCG21故③正确；∵△BGH≌△EGH，∴E G＝BG，∵HO是△EBG的中位线，∴HO＝12 BG，∴HO＝12 EG，设正方形ECGF的边长是2b，∴E G＝22b，∴HO＝2b，∵O H∥BG，CG∥EF，∴O H∥EF，∴△MHO△MFE，∴OM OH 2b 2EM EF 2b 2 ，∴EM＝2 O M，∴O M OM 1OE (1 2) OM 1 22 1 ，SHOM∴2 1SHOE∵E O＝G O，∴S△HOE＝S△HOG，SHOM∴2 1SHOG故④错误，应选：A．【点睛】此题观察了正方形的性质，以及全等三角形的判断与性质，相似三角形的判断与性质，正确求得两个三角形的边长的比是解决此题的要点．12．〔2021·河北初三期中〕如图，在VABC中，CA CB，ACB 90o，AB 2 ，点D 为AB 的中点，以点D 为圆心作圆心角为90 o的扇形DEF ，点C 恰在弧EF 上，那么图中阴影局部的面积为〔〕A．12 2B．14C．14 2D．14 2【答案】 D【剖析】连接CD，作DM⊥BC，D N⊥AC．∵CA=CB，∠ACB=90°，点D为AB的中点，12∴DC=AB=1，四边形DMCN是正方形，DM=22．那么扇形FDE的面积是：29013604．∵CA=CB，∠ACB=90°，点D为AB的中点，∴CD均分∠BCA，又∵DM⊥BC，DN⊥AC，∴DM=DN，∵∠GDH=∠MDN=9°0，∴∠GDM∠=HDN，那么在△DMG和△DNH中，DMG＝DNHGDM＝HDN，DM DN＝∴△DMG≌△DNH〔AAS〕，∴S四边形DGC=H S 四边形DMC=N12．那么阴影局部的面积是：-412．【点睛】此题观察了三角形的全等的判断与扇形的面积的计算的综合题，正确证明△DMG≌△DNH，获取S四边形DGCH=S四边形DMCN是要点．二、填空题〔每题3分，共18分〕13．〔2021·重庆第二外国语学校初二〕点P(m2,2m1)在y轴上，那么m的值是__________．【剖析】∵点P(m 2,2m 1)在y 轴上∴m 2=0解得m= 2故答案为：2 ．【点睛】此题观察坐标轴上的坐标，熟记x 轴上的点纵坐标为0，y 轴上的点横坐标为0 是解题的要点．14．〔2021·四川石室中学初二期中〕假设分式方程2m 13x 1 1 x产生增根，那么m ________．【答案】1 2【剖析】2m 13x 1 1 x 2m 3x 3 1m 3x 4 2∵分式方程有增根∴x 1 0解得x 1将x 1代入 3x 4 m 中 2m 3x 4 3 1 4 1 2 2 2故答案为：12 ．【点睛】此题观察了分式方程的问题，掌握分式方程有增根的条件是解题的要点．15．〔2021·山东初三〕假设数a 使关于x 的分式方程2 ax 1 1 x=4 的解为正数，且使关于y，不等式组y 2 y 3 2 1的解集为y＜-2 ，那么吻合条件的全部整数 a 的和为______．3(y a) 0【剖析】2 a 解：分式方程+ =4 的解为x 1 1 x6 ax 且x≠1，4∵关于x 的分式方程2 a+x 1 x1=4 的解为正数，6 a 6 a∴>0 且≠1，4 4∴a＜6 且a≠2．y 2 y 3 2 ＞①13(y a) 0②解不等式①得：y＜-2 ；解不等式②得：y≤a．∵关于y 的不等式组y 2 y3 2＞1的解集为y＜-2 ，3( y a) 0∴a≥-2 ．∴- 2≤a＜6 且a≠2．∵a 为整数，∴a=-2 、-1 、0、1、3、4、5，(-2)+(-1)+0+1+3+4+5=10 ．故答案为：10．【点睛】此题观察了分式方程的解以及解一元一次不等式，依照分式方程的解为正数结合不等式组的解集为y＜-2 ，找出- 2≤a＜6 且a≠2是解题的要点．16．〔2021·河北初一期末〕假设关于x 的一元一次不等式组x a 0无解，那么 a 的取值范围是________．1 x x 1【答案】a≥1【剖析】不等式组x a 0，变形为x a,x 1,1 x x 1由不等式组无解，那么a≥1.故答案为a≥1.点睛：不等式组x a,x b无解，即x>a 与x<b 无交集，在数轴上即画出的两弧无交集，可知数轴上 a 点在b点右边或重合. 那么a≥b.17．〔2021·四川初二期末〕如图，有一矩形纸片OABC放在直角坐标系中，O为原点，C在x 轴上，OA＝6，O C＝10，如图，在OA上取一点E，将△EOC沿EC折叠，使O点落在AB边上的D点处，那么点E的坐标为_______。

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中考数学专题训练【综合型问题】提升与解析1在矩形ABCD 中，有一个菱形BFDE （点E 、F 分别在线段AB 、CD 上），记它们的面积分别为S ABCD 和S BFDE ，现给出下列命题：①若232+=BFDE ABCD S S ，则tan ∠EDF =33；②若DE 2=BD ·EF ，则DF=2AD . 则（）A 、①是真命题，②是真命题B 、①是真命题，②是假命题C 、①是假命题，②是真命题D 、①是假命题，②是假命题【解题思路】根据图像和面积的计算可设BE=2x ，AE =x 3，由菱形的性质可知DE =2x ，在Rt △DAE 中，有勾股定理的DA = x ，所以tan ∠EDF =tan ∠DEA=x x AE DA 3=33；由菱形面积的计算方法可知：21BD ·EF 就是菱形BFDE 的面积，而菱形BFDE 的面积还可以用DF ·AD 计算，所以21DE 2=DF ·AD 化简整理的DF=2AD 【答案】A【点评】本题主要考查有关面积的计算，其中涉及到勾股定理、菱形的性质、锐角三角函数值，是一道综合性很强的题。

难度较大2．如图，正比例函数和反比例函数的图象都经过点 A ( 3 , 3) ，把直线 OA 向下平移后，与反比例函数的图象交于点B(6,m)，与x 轴、y 轴分别交于C 、D 两点 ⑴求 m 的值；⑵求过 A 、B 、D 三点的抛物线的解析式；⑶ 若点E 是抛物线上的一个动点，是否存在点 E ，使四边形 OECD 的面积S 1 ，是四边形OACD 面积S 的32?若存在，求点 E 的坐标；若不存在，请说明理由．【解题思路】⑴设正比例函数和反比例函数的解析式分别为)0(),0(≠=≠=n xny k kx y ∵正比例函数和反比例函数的图象都经过点 A ( 3 , 3)∴133==k ，933=⨯=n ∴x y =，xy 9=∵点B(6,m)在反比例函数xy 9=的图像上 ∴2369==m ⑵由⑴得点B(6，23)，设直线OA 向下平移后BD 的解析式为：t x y +=把点B(6，23)代入BD 的解析式：t x y +=得29-=t ∴D(0，29-)设过A ( 3 , 3)，B(6，23)，D(0，29-)的抛物线的解析式为)0(292≠-+=a bx ax y 则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+=-+232963632939b a b a解得：4,21=-=b a . ∴294212-+-=x x y⑶ ∵BD ：29-=x y ，∴令029=-=x y 得29=x 则C(0,29)∴813529292132921=⨯⨯+⨯⨯=s∴445813532321=⨯==S S 假设存在点E ，则4452929212921=⨯⨯+⨯⨯E y∴21=E y ，令21294212=-+-=x x y解得641-=x ，642+=x （不合题意，舍去）∴)2164(，-E【点评】这是一道典型的数形结合的试题，综合考查了二次函数、一次函数、反比例函数、点的坐标、方程、直角坐标系中平行线解析式的处理，知识的综合运用能力强，要求学生有直觉猜想、空间想象、合情推理、抽象概括、符号表示、运算求解、演绎说理等综合能力.难度较大.3.如图所示,AC 为⊙O 的直径,且PA ⊥AC ,BC 是⊙O 的一条弦,直线PB 交直线AC 于点D ,23DC DB DPDO==.(1)求证:直线PB 是⊙O 的切线； (2)求cos ∠BCA 的值.【解题思路】第(1)小题要证切线,须连半径,证垂直.连接OB 、OP ,证明BOP ∆≌AOP ∆即可；第(2)小题要利用平行线性质将所求问题转化为求POA ∠的余弦值,在Rt POA ∆中,设出PA a =,根据已知条件用含a 的代数式表示边OA 、OP 的长,再利用三角函数求之.【答案】(1)证明:连接OB 、OP ………………………………………………………(1分)∵23DC DB DP DO == 且∠D =∠D∴△BDC ∽△PDO ∴∠DBC =∠DPOABCODP·ABD P·∴BC ∥OP ∴∠BCO =∠POA ∠CBO =∠BOP ∵OB =OC ∴∠OCB =∠CBO ∴∠BOP =∠POA 又∵OB =OA OP =OP ∴△BOP ≌△AOP ∴∠PBO =∠PAO 又∵PA ⊥AC ∴∠PBO =90°∴直线PB 是⊙O 的切线 …………………………………(4分) (2)由(1)知∠BCO =∠POA 设PB a =,则2BD a = 又∵PA PB a == ∴22AD a = 又∵BC ∥OP ∴2DC CO= ∴12222DC CA a a ==⨯=∴2OA a =∴6OP a =∴cos ∠BCA =cos ∠POA =3 ……………………………………………(8分)(注:其他解法依据情况酌情给分)【点评】本题以基本图形:三角形与圆相结合为背景,综合考查了圆的切线的判定定理、平行线的判定与性质、三角形的相似与全等、等腰三角形性质、锐角三角函数、勾股定理等知识,知识点丰富；考查了学生综合运用知识以及转化思想来解决问题的能力.2个小题设问方式较常规,为学生熟知,能让学生正常发挥自己的思维水平.对于在几何图形的证明与求解中,辅助线的添加成为部分学生的一大难题,本题中的2条MECA辅助线添法是关键,就这2条辅助线就可以将中下层面的学生拒之题外.难度较大.410.如图，⊿ABC 和⊿CDE 均为等腰直角三角形，点B,C,D 在一条直线上，点M 是AE 的中点，下列结论：①tan ∠AEC=CDBC;②S ⊿ABC +S ⊿CDE ≧S ⊿ACE ;③BM ⊥DM;④BM=DM.正确结论的个数是（）（A ）1个（B ）2个（C ）3个（D ）4个【解题思路】此题易得∠ACE=90°，∴tan ∠AEC=AC BCCE CD=∴①成立; 设AC=a,CE=b ，则22111,,,442ABC CDE ACESa Sb S ab ===而()20,a b -≥故2220,a b ab +-≥ ∴222a b ab +≥，()22112,44a b ab +≥⨯22111442a b ab +≥，即：ABC CDE AECS S S+≥∴②成立；延长DM 交直线AB 于N,易证△AMN ≌△EMD ，进而得到MD=MN,BD=BN,由等腰三角形三线合一，可得③④成立。

ADC【答案】D【点评】本题是一个综合性题目，有一定难度。

5．如图，一次函数y=k 1x+b 的图象经过A （0，－2），B （1，0）两点，与反比例函数y=12x的图象在第一象限内的交点为M ，若△OBM 的面积为2. （1）求一次函数和反比例函数的表达式.（2）在x 轴上存在点P ，使AM ⊥PM ？若存在，求出点P 的坐标，若不存在，说明理由.【解题思路】（1）由于一次函数的图象经过两个已知点A 、B ，利用待定系数法可以求出其表达式；确定反比例函数的表达式的关键是求出点M 的坐标，过点M 作x 轴的垂线段MD ，利用△OBM 的面积为2先求出点M 的纵坐标；（2）过点M 作MP ⊥AM 交x 轴于点P ，注意到基本图形：Rt △BMP 中MD ⊥BP ，利用相似三角形的知识或解直角三角形的知识求出BP 的长度，从而求出点P 的坐标.【答案】（1）∵直线y=k 1x+b 过A （0，－2），B （1，0）.∴⎩⎨⎧b =－2k 1+b =0，∴⎩⎨⎧b =－2k 1=2.∴一次函数的表达式为y=2x －2. 设M （m,n ），作MD ⊥x 轴于点D . ∵S △OBM =2.∴12OB ·MD =2，∴12n =2. ∴n =4.将M （m ，4）代入y =2x －2得：4=2m －2，∴m =3. ∵4=k 23，∴k 2=12.所以反比例函数的表达式为y =12x.(2)过点M （3，4）作MP ⊥AM 交x 轴于点P ， ∵MD ⊥BP ∴∠PMD=∠MBD=∠ABO . ∴tan ∠PMD= tan ∠MBD= tan ∠ABO=OA OB =21=2. ∴在Rt △PDM 中，PDMD=2，∴PD =2MD =8. ∴PO =OD +PD =11.∴在x 轴上存在点P ，使PM ⊥AM ，此时点P 的坐标为（11，0）.【点评】本题是利用一次函数、反比例函数图象与性质解题的综合题，尽管题目的区分度不是很大，但着重考查了初中数学的很多重要的数学知识点与数学的思想方法（如待定系数法、数形结合等）；解决第（1）题的关键是点的坐标与相应线段长度间的转换，解决第（2）题的关键是“基本图形”的运用. 难度中等.6． (本题满分10分) （2011山东枣庄，10，,10分）如图，在平面直角坐标系xoy 中，把抛物线2y x =向左平移1个单位，再向下平移4个单位，得到抛物线2()y x h k =-+.所得抛物线与x 轴交于A B 、两点（点A 在点B 的左边），与y（1）写出h k 、的值；（2）判断ACD △的形状，并说明理由；（3）在线段AC 上是否存在点M ，使AOM △∽ABC △？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，说明理由．【解题思路】（1）将抛物线2y x =向左平移1个单位，再向下平移4个单位，得到抛物线的关系式：y=（x+1）2-4，故h= -1，k= -4；（2）令 y =0，解得：x 1= -3，x 2=1，得到点A 、B 的坐标再令x=0得到点C 的坐标，从而计算出AC ，AD ，CD 的长度，由勾股定理判定三角形的形状；（3）过点O 作OM ∥BC 交AC 于M ，Ｍ点即为所求点．然后再过点M 作x 轴的垂线交x 轴与点G ，确定OG ，MG 的长度即可确定M 的坐标，从而确定存在点M ，使AOM △∽ABC △．【答案】解：（1）2()y x h k =-+的顶点坐标为Ｄ（－１，－４），∴ 1h k =-，=-4.（2）由（1）得2(1)4y x =+-.当0y =时，2(1)40x +-=．解之，得 1231x x =-=，． ∴ (30)10A B -，，(，). 又当0x =时，22(1)4(01)43y x =+-=+-=-，∴C 点坐标为第25题图()03，-.又抛物线顶点坐标()14D --，，作抛物线的对称轴1x =-交x轴于点E ，D F y ⊥轴于点F ．易知在R t A E D △中，2222420A D =+=；在R t A O C △中，2223318A C =+=；在R t C F D △中，222112C D =+=； ∴ 222AC C DAD +=． ∴ △ACD 是直角三角形．（3）存在．作OM ∥BC 交AC 于M ，Ｍ点即为所求点．由（2）知，A O C △为等腰直角三角形，45B A C ∠=︒，A ．由A O M A B C △∽△，得AO AMAB AC=．即4A . 过M 点作MG A B ⊥于点G ，则94A G M G ∴==，93344O G A O A G =-=-=.又点M 在第三象限，所以点M 的坐标为（34-，94-）．【点评】本题属于以二次函数为载体，涉及到多个知识点，属于综合问题，考查同学们综合运用知识的能力，第一小题注重考查学生通过二次函数的图像向左、向下的平移确定h ，k 的值，起点较低，坡度设置合理，第二小题注重考查学生运算能力和逻辑推理能力，第三小题通过逆向思考，假设存在这样的点M ，再通过画图可进一步确认其存在的可能性，从而求出M 的坐标，解题的关键是过点O 作OM ∥BC 找到点M ．难度较大．7．已知，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC =900，BC =2AD ，E 是BC 的中点，连接AE 、AC .（1）点F 是DC 上一点，连接EF ，交AC 于点O （如图①），求证：△AOE ∽△COF ；（2）若点F 是DC 的中点，连接BD ，交AE 于点G （如图②），求证：四边形EFDG 是菱形.【解题思路】（1）先证四边形AECD 为平行四边形，得AE ∥CD ；（2）本小题的关键是证四边形EFDG 的一组邻边相等，连结DE ，先证四边形ABED 为矩形，再根据矩形对角线的性质得出DG =EG .【答案】证明：∵点E 是BC 的中点，BC =2AD ，∴EC=BE=12BC=AD .又∵AD ∥EC ，∴四边形AECD 为平行四边形. ∴AE ∥DC .∴∠AEO=∠CFO ，∠EAO=∠FCO . ∴△AOE ∽△COF . （2）证明：连接DE . ∵AD ∥BE ，AD =BE ， ∴四边形ABED 是平行四边形. 又∠ABE =90°， ∴□ABED 是矩形.∴BD =AE ，GE =12AE ， GD=12BD ，∴GE =GD .∵E 、F 分别是BC 、CD 的中点， ∴EF 是△CBD 的中位线. ∴EF ∥BD ，又AE ∥DC ，∴四边形EFDG 是平行四边形.F EDABCOGFE DOCBA图①图②∴平行四边形EFDG是菱形.【点评】本题涉及线段中点的性质、相似三角形的判定、三角形的中位线性质、平行四边形的判定与性质、矩形的判定与性质和菱形的判定等知识点，有一定的综合性，只有熟练掌握特殊四边形的判定与性质才能顺利解答本题，解法的多样性和追求解法的简洁又为不同层次的学生提供了展示思维成果的机会. 难度中等.8．如图，y关于x的二次函数3()(3)3y x m x mm=-+-图象的顶点为M，图象交x轴于A、B两点，交y轴正半轴于D点．以AB为直径做圆，圆心为C，定点E的坐标为（－3,0），连接ED．（m＞0）（1）写出A、B、D三点的坐标；（2）当m为何值时M点在直线ED上？判定此时直线ED与圆的位置关系；（3）当m变化时，用m表示△AED的面积S，并在给出的直角坐标系中画出S关于m 的函数图象的示意图．【解题思路】（1）分别令x=0，y=0可用含m的代数式表示A、B、D三点坐标；（2）令直线DE的解析式为：y=kx+b，将E(－3,0)、D(0，3m)代入解析式，可确定直线DE的解析式，把二次函数表示成顶点式，确定其顶点M坐标43,m m⎛⎫⎪⎪⎝⎭，因为M点在直线DE上，代入，即可求得m的值；连接CD，此时C点坐标为(1，0)、OD=3，所以CD=2，又因为OE=3，在△CDE中，利用勾股定理逆定理可判定△CDE为直角三角形，所以直线ED与圆相切；（3）此问要注意分类讨论：当0<m<3时，AE=3－m，利用12AE×OD表示出S与m的关系；当m>3时，AE=m－3，同样的方法表示出S与m的关系式，最后根据解析式画出示意图．【答案】解：（1）(),0A m -，()3,0B m ，()0,3D m ．（2）设直线ED 的解析式为y kx b =+，将()3,0-、()0,3D m 代入，得30,3.k b b m -+=⎧⎪⎨=⎪⎩解得3,33.k m b m ⎧=⎪⎨⎪=⎩∴直线ED 的解析式为333y mx m =+． ∵()23343()(3)333y x m x m x m m m m =-+-=--+， ∴顶点M 的坐标为43,3m m ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭．把43,3m m ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭代入333y mx m =+，得2m m =． ∵0m >，∴1m =．∴当1m =时，点M 在直线DE 上．连接CD ，C 为AB 中点，C 点坐标为(),0C m ． ∵3,1OD OC ==，∴CD =2，点D 在圆上．又∵OE =3，22212DE OD OE =+=，216EC =，24CD =． ∴222CD DE EC +=． ∴∠FDC =90°， ∴直线ED 与⊙C 相切．（3）当03m <<时，()13322AED S AE OD m m ∆==-，即233322S m m =-+．MAyNBDP x第23题O C当3m >时，()13322AED S AE OD m m ∆==-，即233322S m m =-．图象示意图如图中的实线部分．【点拨】此题考查了二次函数、一次函数、圆、解直角三角形等知识，属于综合考查代数与几何的综合性问题．它综合考查了用字母表示坐标，直线与圆的位置关系，第（3）问本题渗透了分类讨论的数学思想，重点考查学生审题是否认真，挖掘出题目中各问之间的关系，综合运用数学知识解决实际问题的能力，以及运用方程的思想、数形结合的思想和分类讨论的思想解决实际问题的能力．由于综合性较强，不少学生在第（2）小题中就主动放弃．难度较大．9.（山东济宁）23、（10分）如图，第一象限内半径为2的⊙C 与y 轴相切于点A ，作直径AD ，过点D 作⊙C 的切线l 交x 轴于点B ，P 为直线l 上一动点，已知直线PA 的解析式为：y=kx+3。