离散数学 最短路径问题讲课讲稿

5
目标集——设V是图的点集，T是V的子集，且T 含有目标 z 但不含有a， 则称T为目标集。
指标——在目标集T中任取一点 t ，由 a 到 t 但不通过目标集T中 其他点的所有通路中各边权之和（简称为通路权和）的 最小者称为点 t 关于T 的指标，记为 DT(t)。
若取T={e,f,g,z}，点e关于T的指标DT(e)就是由a到e 但不通过T中其
直到目的地z为某个目标集的最小指标点为止。由此可见，求最短通路问题的关是：如何求目标集中各点的指标。
9
以上用穷举法求目标集中各点的指标，思路简单， 但方法不可取,特别是图中的点较多时。 下面介绍用递推的方法来求目标集中各点的指标。
10
如果已经求得目标集T={t1, t2, …, tn}中各点的指标,设t1为T中指标最 小的点，那么能推出T1=T-{t1}中各点的指标. 只须注意到 t1已不属于目标集T1,对于T1中与t1邻接的点 t ,当寻求这点 t 的指标时, 将a到t1的最短通路再加上边t1t所组成的通路,也是一条由a到t 但不通过T1中其他点的所有通路.所以t关于T1的指标
DT1(t) =min(DT(t), DT(t1)+W(t1,t)) 其中W(t1,t)是边t1,t上的权.
对于T1中与t1不邻接的点 t2 , 那么它的指标没有发生变化, 即 DT1(t2) = DT (t2)
当t1 和t2不邻接时,令W(t1,t2)=∞,则t2关于T1的指标也写作 DT1(t2) =min(DT(t2), DT(t1)+W(t1,t2))
离散数学 最短路径问题
一、问题的提法及应用背景
（1）问题的提法——寻求网络中两点间的最 短路就是寻求连接这两个点的边的总权数为 最小的通路。
（2）应用背景——管道铺设、交通网络、线 路安排、厂区布局、设备更新等。
2
二、赋权图的定义
在图的点或边上表明某种信息的数称为权。 含有权的图称为赋权图。 如图
3
如果图中各点表示各个城市，边表示城市间的公 路，这就是一个公路交通网络图， 如果从a点出发，目的地是z，那么如何寻求一条自点 a到z的通路，使通路上各边的权之和最小， 这就是赋权图的最短通路问题。
4
三、赋权图的最短通路
基本思想：先求出a到某一点的最短通路， 然后利用这个结果再去确定a到另一点的最短通路， 如此下去，直到找到a到z的最短通路为止。
当得到目标集T中最小指标点t1后，如果 t1是目的地z，则问题得解。 如果t1不是目的地z，则把t1从T中挖去，得到新的目标集T1，
即
T1=T-{t1}
对于T1，又求出其各点的指标，并确定最小指标点，如果这个最小
指标点就是目的地z，则问题得解。如果不是目的地z，则把在T1中
又挖去这个最小指标点，得到新的目标集T2，不断重复上述过程，
比较T中四个点的指标可知：点f 的指标最小，因此可得：
a 到f 的最短通路权和为DT(f) = 6。
8
一般地，设T={t1, t2, …, tn}，其中t1为T中指标最小的点， 即 DT(t1) =min(DT(t1) , DT(t2),…DT(tn)) 则a到t1的最短通路的权和就是DT(t1) 。
他点（即f,g,z）的所有通路中权和最小者。
6
如图
用穷举法可得：a到e 但不通过T中其他点（即f,g,z）
的通路有：
a
b
e
权和为10
a
b
c
e
权和为9
a
c
e
权和为10
a
c
b
e
权和为15
a
d
c
b e 权和为18
a
d
c
e
权和为13
7
由此可见：e关于T的指标DT(e) = 9
对于目标集T={e,f,g,z}，已用穷举法得到e关于T的指标 DT(e) = 9 ，同样用穷举法可得f 关于T的指标DT(f) = 6, g关于T的指标DT(g) = 8，对于点z ，由于不存在 a到z但不通过T中其它点的通路，约定DT(z) 。
DT2(e)= min(DT1(e), DT1(b)+W(b,e))=min(∞,2+6)=8(a b e)
DT2(f)= min(DT1(f), DT1(b)+W(b,f))=min(∞, ∞)=∞
DT2(g)= min(DT1(g), DT1(b)+W(b,g))=min(∞, ∞)=∞ DT2(z)= min(DT1(z), DT1(b)+W(b,z))=min(∞, ∞)=∞ 比较以上各点的指标可知，d 是最小指标点。但 d 不是目标点，
12
例1 用狄克斯特洛算法求下列图中a 到z的最短通路。
解 （1）首先取目标集T1={b,c,d,e,f,g,z}， T1中各点的指标为： DT1(b) =2, (a b) DT1(c) =4, (a c) DT1(d) =3, (a d)
DT1(e) = DT1(f) = DT1(g) = DT1(z)=∞
比较以上各点的指标可知，b是最小指标点。但b不是目标
点，所以挖去b,于是可得：
13
（2）令T2=T1-{b}={c,d,e,f,g,z}，T2中各点的指标为： DT2(c)=min(DT1(c), DT1(b)+W(b,c))=min(4,2+3)=4 (a c)
DT2(d)= min(DT1(d), DT1(b)+W(b,d))=min(3,∞)=3 (a d)
14
所以挖去d ,于是可得：
11
例如:如图
设T={e,f,g,z}，已用穷举法求得DT(e) = 9 ，DT(f) = 6, DT(g) = 8，DT(g) = ∞ , 其中f 是最小指标点,于是可得到 T1=T-{f}={e,g,z} 的各点指标: DT1(e) =min(DT(e), DT(f)+W(f,e)) =min(9, 6+2)=8 DT1(g) =min(DT(g), DT(f)+W(f,g)) =min(8, 6+6)=8 DT1(z) =min(DT(z), DT(f)+W(f,z)) =min(∞, 6+4)=10 由以上分析可知:当具有n个点的目标集Tn的各点指标求得时,就能推出 n-1个点的目标集Tn-1=Tn-{t1}(t1是T的最小指标)的各点的指标.而初始情 况的目标集T1=V-{a}的各点指标容易求得,因此求点的指标问题解决.