2007年“新知杯”上海市初中数学竞赛试题及答案详解

0ma h. 【解析】-1＜2x-1＜1 ⇔ 0＜x＜1 ⇔ 1 ＞1 ⇔ 2 −1＞1.
0 t x
x
.1 0ma 2.【答案】 2 w 0 5
中华数学竞赛网ww 华数学竞赛网www.1 【解析】如图，
中 过点 P 作 PM∥AC，交 BQ 于点 M.由题设 PM= 1 CQ= 1 AQ，得 PR = PM = 1 ， AR = 4 .
网w www. g（x）=f（x+1）-f（x）
=
⎡1 ⎢⎣ n
(x
+ 1)2
+
a(x
+1)
+
b⎤⎥⎦
−
⎛ ⎜⎝
1 n
+
ax
+
b
⎞ ⎟⎠
=
2 n
x
+
1 n
+
a
竞赛 网 也为整数.进而，g（x+1）-g（x）= 2 也是整数.所以，n=1 或 2. 赛 n
学 竞 当 n=1 时，取整数 a、b，则 f（x）=x2+ax+b 对任意整数 x，f（x）都是整数；
24
RA AQ 4 AP 5
com 故 SΔABR
=
4 5 SΔABP
=
4 5
×
1 2
S
ΔABC
=
2. 5
th. m 3.【答案】 15
0ma h.co 【解析】已知方程变形为（c-a）x2- 2 2 bx+（c+a）=0.由Δ=8b2-4（c2-a2）=4b2＞0，知方程有两
www.10 00mat 实根
at .co 点 R，则△ABR 的面积是
.
00m ath 3.在△ABC 中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C 的对边顺次为 a 、 b 、 c .若关于 x 的方程
( ) ( ) w.1 0m c x2 +1 − 2 2bx − a x2 −1 = 0 的两根平方和为 10，则 b 的值为
.
w 10 a
om 在情形（4）中，仅有一个 x=999 满足题意. h.c m 综上，满足题意的 x 共有 46 个. at .co 9.【答案】7 00m ath 【解析】2×36n+k×23n+1-1=2×272n+2k×8n-1≡2×（-1）2n+2k-1≡2k+1（mod7）.但 2×36n+k×23n+1-1 w.1 00m ≡0（mod7），则 2k +1 ≡ 0(mod 7) ，即 2k +1 = 7m （m 为奇数）.因为 1≤k≤50，所以，3≤7m≤101. ww w.1 故 m=1，3，…，13，相应的 k=3，10，…，45，共 7 个. 网 ww 10.【答案】2 或 5 竞赛 赛网 【解析】设 p ( p +1) + 2 = k 2 （ k ∈ Z + .则 p（p+1）=2k2-2=2（k+1）（k-1）.
中华数学竞赛网www.100math.com
圣才学习网www.100xuexi.com
中华数学竞赛网www.100math.com
圣才学习网www.100xuexi.com
( ) ( )( ) b y12 + ay22 = x12 + ax22 y12 + ay22
( ) = x12 y12 + a x12 y22 + x22 y12 + a2 x22 y22
x
2
中华数学竞赛网www.100math.com
圣才学习网www.100xuexi.com
中华数学竞赛网www.100math.com
圣才学习网www.100xuexi.com
( ) ( ) 两边平方并整理得
x2 + 2x + 2
y2 −
x3 + 2x2 + 4x
y
+
2x2
=
0
.解得
y
=
x2
2x + 2x
竞
网
学
赛
数
竞
华
学
中
数
华
中
中华数学竞赛网www.100math.com
圣才学习网www.100xuexi.com
中华数学竞赛网www.100math.com
圣才学习网www.100xuexi.com
2007 年“新知杯”上海市初中数学竞赛
答案详解
om 一、填空题
h.c om 1.【答案】 2 −1 >1 t c x
w w. 4.数 x1 ， x2 ，…， x100 满足如下条件：对于 k = 1，2，…，100， xk 比其余 99 个数的和小 k .则 x25 的
赛网 ww 值为
.
竞 赛网 5.已知实数 a 、 b 、 c ，且 b ≠ 0 .若实数 x1 、 x2 、 y1 、 y2 满足 x12 + ax22 = b ， x2 y1 − x1 y2 = a ，
⇒ （BE-AE）（BE+AE）=11.
中
因为 BE-AE=1，所以，BE+AE=11，即 AB=11.故四边形 ABCD 的周长为 34.
com 7.【答案】 1 . 3
ath om 【解析】设 AD = x ，则 BD = 1− x = CG .于是，由三角形相似得
m c AB
BA
CA
100 th. ( ) SΔADG = x2 ， SΔBDE = 1− x 2 = SΔCFG .
圣才学习网www.100xuexi.com
中华数学竞赛网www.100math.com
圣才学习网www.100xuexi.com
（4）若 a=b=c=9，则 S（x）=27，S（x+1）=1.
由此可见，S（x）和 S（x+1）都是奇数仅是情形（2）和（4）.
在情形（2）中，a+b 为偶数，从而，a、b 同奇偶.这样有 45 个 x 满足题意.
赛 ww 【解析】由勾股定理得
竞 网 PA2-AH2=PD2-DH2，PD2-DG2=PC2-CG2，PC2-CF2=PB2-BF2，PB2-BE2=PA2-AE2.
学 竞赛 上面四式相加得
华数 学 AH2+DG2+CF2+BE2=AE2+BF2+CG2+DH2 中 华数 ⇒ 9+1+36+BE2=AE2+16+25+16
中 是 x 的数字和.
数
中华 （1）若 c≠9，则 S（x）=a+b+c，S（x+1）=a+b+c+1；
（2）若 c=9，b≠9，则 S（x）=a+b+9，S（x+1）=a+b+1；
（3）若 b=c=9，a≠9，则 S（x）=a+18，S（x+1）=a+1；
中华数学竞赛网www.100math.com
华 中
数学 （1+2+…+100）+2S=100S ⇒ S=
2525 49
⇒
x25
=
S
− 25 2
=
650 49
.
5.【答案】 c2 + a3
华
b
中
( ) 【解析】由题设得 x2 y1 − x1 y2 2 = a2 ，即 2x1x2 y1 y2 + a2 = x22 y12 + x12 y22 .故
个.
9.已知 k 为不超过 50 的正整数，使得对任意正整数 n，2×36n+k×23n+1-1 都能被 7 整除.则这样的
中华数学竞赛网www.100math.com
圣才学习网www.100xuexi.com
中华数学竞赛网www.100math.com
圣才学习网www.100xuexi.com
正整数 k 有
中华数学竞赛网www.100math.com
圣才学习网www.100xuexi.com
2007 年“新知杯”上海市初中数学竞赛
一、填空题（第 1～5 小题，每题 8 分，第 6～10 小题，每题 10 分，共 90 分）
om 1.已知 −1 < 2x −1 < 1，则 2 −1的取值范围为
.
c x
h. m 2.在面积为 1 的△ABC 中，P 为边 BC 的中点，点 Q 在边 AC 上，且 AQ=2QC.连接 AP、BQ 交于
学2 数 学竞 （1）当 p=2 时，3=k2-1，k=2； 中华 华数 （2）当 p≠2 时，p|（k+1）或 p|（k-1）. 中 若 p|（k+1），则 p+1≥2（k-1）.从而，k+2≥p+1≥2（k-1） ⇒ k≤4.
当 k=3 时，p（p+1）=16，无质数解；
om 当 k=4 时，p（p+1）=30，p=5. .c 若 p|（k-1），则 k≥p+1≥2（k+1），不可能. ath 综上，p=2 或 5. 00m 二、 www.1 【解答】如图，
为
.
www.100math.com 100math.com 7.如图，△ABC 的面积为 1，点 D、G、E 和 F 分别在边 AB、AC、BC 上，BD＜DA，DG∥BC，
赛网 www. DE∥AC，GF∥AB.则梯形 DEFG 面积的最大可能值为
.
竞
网
学
赛
数
竞
华
学
中
数
华
中 8.不超过 1000 的正整数 x，使得 x 和 x+1 两者的数字和都是奇数.则满足条件的正整数 x 有
数学 竞 x1 y1 + ax2 y2 = c ，则 y12 + ay22 的值为
.
中华 华数学 6.如图，设 P 是凸四边形 ABCD 内一点，过 P 分别作 AB、BC、CD、DA 的垂线，垂足分别为 E、
中 F、G、H.已知 AH=3，HD=4，DG=1，GC=5，CF=6，FB=4，且 BE-AE=1.则四边形 ABCD 的周长
x1、x2，且
x12
+
x22
=
⎛ ⎝⎜⎜
2 c
2b −a
⎞2 ⎟⎟⎠
−2⋅
c c
+a −a
=
c2 − a2
8 (c − a)2
−
2⋅
c c
+ −
a a
=
6⋅
c c
+ −
a a
= 10
.故
网 w.1 c=4a，b= 15 a⇒ b = 15 . 赛 ww a
竞 4.【答案】 650
网
49
数学 竞赛 【解析】设 S=x1+x2+…+x100，则 xk=（S-xk）-k（k=1，2，…，100），即 k+2xk=S.对 k 求和得
om ( ) = x12 y12 + a 2x1x2 y1 y2 + a2 + a2 x22 y22 th.c om = ( x1y1 + ax2 y2 )2 + a3 0ma h.c = c2 + a3.
ww.10 100mat 因为
b≠0，所以，
y12
+ ay22
=
c2
+ b
a3
.
网w w. 6.【答案】34
华数 学 当 n=2 时，取 a= 1 ，b 为整数，则 f（x）= 1 x2+ 1 x+b= 1 x（x+1）+b 对任意整数 x，f（x）都是
中华数学竞赛网ww 华数学竞赛网www.1 三、（20 分）
中 求满足下列条件的正整数 n 的所有可能值：对这样的 n，能找到实数 a、b，使得函数 （f x）= 1 x2 +ax+b
n
om 对任意整数 x，f（x）都是整数. h.c m 四、（20 分）
mat co 在一个盒子里有红、黄、黑三种颜色的小球共 88 个.已知从中任意取出 24 个，就可以保证至少有 10 00 th. 个小球是同色的.问在满足上述条件下，无论各种颜色的小球如何分配，至少要从盒子中任意取出多少个 赛网www.1 www.100ma 小球，才能保证至少有 20 个小球是同色的？
+
（另一解
2
y=x
舍）.
m （2）由（1）得 y = 2 ≤ 2 = 2 −1.当且仅当 x = 2 ，即 x = 2 时，上式等号成立.
co x + 2 + 2 2 2 + 2
x
. x
th com 故当 x = 2 时，y 取最大值 2 −1.
00ma th. 三、
w.1 0ma 【解答】设 f（x）= 1 x2 +ax+b 对任意整数 x，f（x）都是整数.则 w 10 n
网 赛
www.100math.com
竞
网
学
赛
数
竞
华
学
中
数 延长 FE，交 AC 于点 D.显然，DF∥BC，则 Rt△ADF∽Rt△ACB.注意到 AE=AC=x，知
华 中 DE = x2 − ( x − y)2 = 2xy − y2 .于是， x − y = 2xy − y2 + y ⇒ 2x − 2 y − xy = x 2xy − y2 .
. a SΔABC
SΔABC
SΔABC
网www w.100m 因为 SΔABC
= 1，所以， S梯形DEFG
=1−
x2
− 2(1−
x)2
=
−3x2
+ 4x −1=
−3⎛⎜⎝
x−
2 ⎞2 3 ⎟⎠
+
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1 3
.
竞赛 网ww 当
x
=
2 3
时，
S梯形DEFG
取最大值
1 3
.
学8.【答案】46
赛
数
竞
华 学 【解析】显然，x≠1000.设 x= abc ，其中，a、b、c∈｛0，1，…，9｝，且不全为零.S（x）=a+b+c
个.
10.使得 p ( p +1) + 2 是完全平方数的所有质数 p 为
.
2
com 二、（20 分） th. om 如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，BC=2，AC=x，点 F 在边 AB 上，点 G、H 在边 BC 上，四边
ma h.c 形 EFGH 是一个边长为 y 的正方形，且 AE=AC. 100 at （1）求 y 关于 x 的函数解析式. w. 00m （2）当 x 为何值时，y 取到最大值？并求出 y 的最大值.